求以下序列的z变换

习题五 Z 变换

1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。

n

n

n n n

n n z a z a -==∑∑+=0

1)

)(1

()1()

1)(1(1111212a z a

z a z a az az a z

a az az ---=

---=

-+-=-)

(21)()

2(n u n x n

⎪⎭

⎫

⎝⎛=)

1(21)()

3(--⎪⎫

⎛-=n u n x n

)1(,1

)()

4(≥=n n x )5()

6()1||()()

1(<=a a

n x n

∞

====<<<

z a z a

z a z a az ,0 1

, 1

1,1 零点为：极点为：即：且

收敛域：

解：(2) 由z 变换的定义可知：

n n

-∞

1(

∑∞

=-=

1

2n n n z z

z

212--=

12

111

--=

z 2

1 1

2 <

(

0 2

1

==z z 零点为：极点为：

解： (4) ∑

-⋅∞

==11)(n n

z n

z X

∞--∙

∙1

1)(n z dX 11n ∞

--

解：因此，收敛域为 ：1>z

∞

==-====-z z z z e z e z j j ,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为：ωω

解：(6)

)1(,1

)()4(≥=

n n

n x 1

0),()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n φω

1

,cos 21)cos(cos cos 21sin sin cos 21cos 1cos )( )()sin(sin )()cos(cos )

(]sin )sin(cos )[(cos( )

()cos()( 2

01

012

010

12

010100000>+---=

+-⋅-+--⋅=∴⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅=⋅+=---------z z

z z z z z z z z z Y n u n n u n n u n n n u n n y ωωφφωωφωωφωφωφφωφωφω设

[则而的收敛域为则 )()( 1 )( X n y Ar n x z z Y n ∴⋅=>2 . 解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得

)

4

3

1)(211)(211(2111111

----+-+-

=Z jZ jZ Z

)

4

3

1)(211)(411()21

1)(211()(11211-----++++-

=

Z Z Z Z Z Z X

X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 ∴ X(Z)的收敛域为 :

(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列， 请看 <图形一> (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列，请看 <图形二>

(3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列， 请看 <图形三>

X z z z X z z z X z z X )3( 41z ,41121)( )2( 21z ,411211)( )1( )(,,.31121

<--=>--=----反变换

的部分分式法求以下留数定理用长除法

z x （（21（11

22

1114112)(--+=

-=z z z X ,2/1||,2/1>-=z z 而收敛域为：极点为

按降幂排列

分母要为因果序列，所以分子因而知)(n x

∙

∙∙-

+---214

12

11z z

1

1

2

1112

11--++

z z

2

11

4

12121------

z z z

24

1-z

--∙∙∙2

111（1 22

1

⎥⎦⎢⎣-=z

，是因果序列由于 )( n x

0)( 0 =

)(21)( n u n x n

⋅⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

=所以

（1）(iii)部分分式法：

212111411211)(121

+=

+=--=---z z z z z z X 因为 2

1

>z

所以 )(21)(n u n x n

⋅⎪⎭⎫

⎝⎛-=

（2）

-∞

=⋅⋅+

=4

78 n z 所以 )1(417)(8)(--⋅⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅+⋅=n u n n x n

δ

（2）(ii)留数定理法:

4

1

)( 21)(1，为设<=

⎰

-z c dz z z X j

n x c n π 内的逆时针方向闭合曲线