复合函数与初等函数共37页文档
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1.3 复合函数和初等函数
练习题答案
[e , e 3 ] ； 一、1 、基本初等函数； 2 、 x2 3、 y e ； 4、 y sin u, u ln v , v 2 x ； 5 、[-1,1],[ 2k , 2k ],[ a ,1 a ] , 1 [a ,1 a ] 0 a 2 . 1 a 2 e , x 1 1, x 0 f [ g ( x )] 0 , x 0 三、 ； g[ f ( x )] 1, x 1 . 1, x 0 1 , x 1 e
三、分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不 同的式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
一般来说，分段函数不是初等函数，但也有例外 .
x, 例如 y x ,
复合而成.
练习：习题1.3 第2题
（ 1）y u , u 1 x 2 （2）y eu , u x 1 3x （3）y sin u, u 2 （4）y u 2 , u cos v, v 3 x 1 （5）y ln u, u v , v 1 x (6) y arccos u, u 1 x 2
二、应用图形的“叠加 ”作函数 y x sin x 的图形 .
1，x 1 三、设 f ( x ) 0，x 1 ，g ( x ) e x ， 1，x 1 求 f [ g( x )] ，g[ f ( x )] ，并作出它们的图形 .
四、火车站行李收费规定如下： 20 千克以下不计费， 20～50 千克每千克收费 0.20 元，超出 50 千克超 出部分每千克 0.30 元，试建立行李收费 f ( x ) (元 ) 于行李重量 x (千克) 之间的函数关系，并作出图 形.
03.反函数_复合函数与初等函数
它们的复合函数为 : y = 2 ，这两种复合结果是不一 样的。
x3
也就是说：两个函数复合时， 也就是说：两个函数复合时，内层函数 与 外层函数 的 次序不可颠倒 ！
（2） 两个以上函数，在可复合的条件下，可以进行有次序的多次 ） 两个以上函数，在可复合的条件下， 复合。例如： 复合。例如：
y = sin x, y = arctgx 与 y = x 2 + 1 按照先后次序可以复合 成：
§4.复合函数与初等函数 复合函数与初等函数 1. 复合函数概念 1）定义 给定函数 u = f ( x )，x ∈ D 和 y = g ( u )，u ∈ U . ） 假定 Z ( f ) ⊆ U .现在以前一函数的定义域 D 作为 新的定义域 ， 现在以前一函数的定义域 如下： 并定义 新的对应规律 如下：对于任意的 x ∈ D , 先令唯一的 u = f ( x ) 与之相对应，因为这里 u ∈ Z ( f ) ⊆ U 与之相对应， 所以再可令唯一的 y = g ( u ) 与 x 最后相对应 ， 即 : x → u → y . 这样定义出的 新函数 被称为原函数 u = f ( x )，x ∈ D 与 y = g ( u )，u ∈ U 的 复合函数，记为 : 复合函数， y = g ( f ( x ) ) ，x ∈ D . 我们称 u = f ( x ) ，x ∈ D 为内层函数 ， y = g ( u ) ，u ∈ U 为 为中间变量。 外层函数 ， u 为中间变量。 由于习惯记法 ， 表示， 表示，因此我们也可说： 函数的自变量总用 x 表示，因变量总用 y 表示，因此我们也可说： 当 Z ( f ) ⊆ U 时 ， y = f ( x )， x ∈ D 与 y = g ( x )， x ∈ U 可以 复合成 复合函数 : y = g ( f ( x ) ) ，x ∈ D .
x3
也就是说：两个函数复合时， 也就是说：两个函数复合时，内层函数 与 外层函数 的 次序不可颠倒 ！
（2） 两个以上函数，在可复合的条件下，可以进行有次序的多次 ） 两个以上函数，在可复合的条件下， 复合。例如： 复合。例如：
y = sin x, y = arctgx 与 y = x 2 + 1 按照先后次序可以复合 成：
§4.复合函数与初等函数 复合函数与初等函数 1. 复合函数概念 1）定义 给定函数 u = f ( x )，x ∈ D 和 y = g ( u )，u ∈ U . ） 假定 Z ( f ) ⊆ U .现在以前一函数的定义域 D 作为 新的定义域 ， 现在以前一函数的定义域 如下： 并定义 新的对应规律 如下：对于任意的 x ∈ D , 先令唯一的 u = f ( x ) 与之相对应，因为这里 u ∈ Z ( f ) ⊆ U 与之相对应， 所以再可令唯一的 y = g ( u ) 与 x 最后相对应 ， 即 : x → u → y . 这样定义出的 新函数 被称为原函数 u = f ( x )，x ∈ D 与 y = g ( u )，u ∈ U 的 复合函数，记为 : 复合函数， y = g ( f ( x ) ) ，x ∈ D . 我们称 u = f ( x ) ，x ∈ D 为内层函数 ， y = g ( u ) ，u ∈ U 为 为中间变量。 外层函数 ， u 为中间变量。 由于习惯记法 ， 表示， 表示，因此我们也可说： 函数的自变量总用 x 表示，因变量总用 y 表示，因此我们也可说： 当 Z ( f ) ⊆ U 时 ， y = f ( x )， x ∈ D 与 y = g ( x )， x ∈ U 可以 复合成 复合函数 : y = g ( f ( x ) ) ，x ∈ D .
函数的基本初等函数与复合函数
函数的基本初等函数与复合函数函数作为数学中重要的概念，是数学研究的核心内容之一。
本文将探讨函数的基本初等函数与复合函数，并介绍它们的定义、性质和应用。
1. 基本初等函数基本初等函数是指一些常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
每个基本初等函数都有其独特的性质和特点。
1.1 常数函数常数函数是指函数图像上所有的点都位于同一条水平线上，即对于任意的x值，函数的取值都是一个常数。
常数函数的表达式为f(x) = C，其中C为常数。
1.2 幂函数幂函数是指函数的定义域为全体实数，并且函数表达式为f(x) = x^a，其中a为实数指数。
幂函数的图像呈现出平滑的曲线，且取决于指数a的不同而有不同的特征。
1.3 指数函数指数函数是以常数e为底的幂函数，其定义域为全体实数。
指数函数的表达式为f(x) = e^x，其中e约等于2.71828。
指数函数具有快速上升的特点，是模型中常见的函数之一。
1.4 对数函数对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数，其定义域为正实数集合。
对数函数的表达式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数。
对数函数具有递增且变化逐渐减缓的特点。
1.5 三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，其定义域为全体实数。
三角函数具有周期性和周期性平移的特点。
反三角函数是指三角函数的反函数，其定义域和值域视情况而定。
2. 复合函数复合函数是指多个函数的组合形成的新的函数。
设有两个函数f(x)和g(x)，则其复合函数为f(g(x))。
复合函数的性质取决于原函数之间的关系。
复合函数的定义要求满足两个函数的定义域和值域相互对应，且内层函数的值域必须是外层函数的定义域。
复合函数的运算法则是由内到外进行运算。
3. 应用基本初等函数和复合函数在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在数学上，基本初等函数是构建更复杂函数的基础，通过组合使用这些基本函数，可以推导出其他函数的性质和特点。
第一章第4节 复合函数与初等函数
作 业
• 习题一的第16、17题（交） • 课外作业，习题一的1-20题中没做过的。
常见的经济函数
1、成本函数 某商品的成本是指生产一定数量的产品所需的全
部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用
总额，它由固定成本与可变成本组成． 平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产 品的成本． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条 件下，产品的成本与平均成本都是产量的函数． 成本函数 平均成本函数
3x 2 例如 函数 y ax bx c， y ， 4x 6
2
x 1 x 2 x , x 0 而y x , y 1 x x2 xn e , x ≥ 0
5
y ln
( x 2 1) cos 2 x
等都是初等函数；
是非初等函数。 大部分分段函数不是初等函数。
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
3、复合函数的中间变量可以不止一个，也就是可以由两个以上 的函数经过复合而成。
x 例如 y cot , 2
y u,
u cot v ,
v
x . 2
例 1：下列函数能否构成复合函数？若能，写出 y=f[g(x)]，并求 其定义域： （ 1） y u ,
（2）幂函数：y=x （常数
x
x
)
a
(特别地，常用对数 y=lgx，自然对数 y=lnx) （5）三角函数：y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx （6）反三角函数：y=arcsinx， y=arccosx， y=arctanx， y=arccotx，
第三讲 反函数 复合函数 初等函数
1, x 0, （1）符号函数 y sgn x 0, x 0, 1, x 0. y
1
O
x
1
[注意] x x sgn x
19
（2）取整函数
y x : k (k x k 1, k Z )
[例如]
2.5 2
3
2
3 2 1
D { x x D( g), 且 g( x) D( f )}上,
可以确定一个函数 y f ( g( x )),则称 这个函数为由 f 与 g 构成的复合函数.
2
记作 f g
即
[例1] (1)
f g( x ) : f ( g( x ))
y f (u) e , u g( x) sinx,
则 f : [
1
有反函数
2 2
,
] [1, 1] 严格单调
x f ( y ) arcsiny
y [1, 1]
[例3] y e
x
(, ) (0, )
是严格单调函数
有反函数 x f 1 ( y ) ln y y (0, ) 习惯上, 记 y ln x x (0, )
第三讲
函 数(1.4复合函数与反函数，1.5初等函数)
一、复合函数与反函数 二、初等函数
1
第四节 复合函数与反函数 1. 复合函数（p:20：16-20） 定义： 假定给了两个函数 y f ( u) 和
u g( x ),并且 g 的值域 R( g ) 与 f 的 定义域 D( f ) 的交集非空, 这时在集合
17
反双曲正弦
arcsinhx ln(x 1 x )
复合函数和初等函数
w z3, z ln t, t 1 x 复合而成
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
2.初等函数
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或 复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为 初等函数.
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
例如， y 1 x2 ， y sin2 x ，y ln x e2x
y ln(1 sin x)， 等等。
1.1.4 复合函数、初等函数
基本初等函数
课前复习
1、常数函数 2、幂函数
y C (C是常数)
y xa (a是常数, a 0)
3、指数函数
y a x (a 0, a 1)
4、对数函数
y loga x (a 0,a 1)
5、三角函数
y sin x y tan x
y secx
y cos x
y cot x
y csc x
6、反三角函数
y arcsinx
y arccosx y arctanx
y arccot x
1.复合函数 定义 1.6 设 y 是 u 的函数 y f (u) ， u 又是 x 的函
数 u (x) ， 如 果 函 数 u (x) 的 值 域 包 含 在 函 数
多项式函数：
f (x) an xn an1xn1 a1x a0
(ai为常数 ，i 0 ，1 ，2 ，...，n)
有理函数：
f
(x)
an xn an1xn1 bm xm bm1xm1
a1x a0 b1x b0
(ai ,b j为常数 , i 0，1，2， ，n；j 0，1，2， ，n)
课堂练习
（ D ）1．下列函数为复合函数的是
Ａ．
y
(1) 2
x
反函数复合函数初等函数课件
三角函数的图像
三角函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=sin x$和$y=cos x$的图 像。
对数函数的图像
对数函数的图像可以通过描点法或变换法 得出，例如$y=log_a x$（$a>0$且 $aneq1$）的图像。
Part
04
反函数与复合函数的应用
在数学中的应用
解决方程问题
通过反函数，可以将一个方程问 题转化为另一个方程问题，从而 简化求解过程。
在某些情况下，反函数和初等函数可以是同一个函数，例如对于线性函数y=ax+b ，其反函数也是初等函数。
反函数与初等函数在数学中的地位
反函数和初等函数在数学中都具有重要的地位，是数学研究和应用的基础。反函 数的概念有助于深入理解函数的性质和图像，而初等函数则是数学分析、微积分 等课程中的基本工具。
在解决实际问题时，常常需要将实际问题转化为数学模型，而反函数和初等函数 是构建这些数学模型的重要工具。
初等函数的性质
有界性
初等函数在其定义域内都 1
是有一定界限的，即其值 域是有限的。
可微性
4
在定义域内，初等函数可 以求导数，即具有可微性 。
单调性
根据不同的定义域和对应
2
法则，初等函数在其定义
域内可以是单调增函数或
单调减函数。
周期性
3 有些初等函数具有周期性
，例如正弦函数和余弦函 数。
初等函数的图像
复合函数的奇偶性
复合函数的值域
复合函数的值域由外层函数的值域和 内层函数的值域共同决定。
如果一个复合函数的内层函数和外层 函数都是奇函数或偶函数，那么这个 复合函数可能是奇函数或偶函数。
复合函数的求法
1.5基本初等函数、初等函数、复合函数PPT
求arccos x
在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
例 如 求 a 1 r ) ccos(
2
因 为 c 2 o 1 所 s 以 a r 1 ) 2 c cos
3 2
2 3
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
( 1 ) y 3 x 1 ; ( 2 ) y ( 1 l g x ) 5 ; ( 3 ) y e e x 2
答案：1.y 2cos2 x
2.(1)y u,u3x1
(2)yu5,u1v,vlgx
(3)yeu,uev,vx2
《微积分束
例1.15
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
复合函数和初等函数
1.1.4 复合函数、初等函数
单击此处添加副标题
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
D
C
A
B
基本初等函数
课前复习
5、三角函数
反三角函数
1.复合函数
注意：
CONTENTS
例如：
01
可看作由
02
复合而成。
03
和
04
其中，
05
为外层，
06
不能复合。
复合后的函数要有意义
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
4、注意复合次序：
01
复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以有多个。
02
例1
03
例2
04
的复合。
例3 指出下列各函数的复合过程：
01
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
02
复合而成的
03
复合而成的
复合而成的
复合而成的 ຫໍສະໝຸດ 0102初等函数
分段函数是其定义域内的一个函数. 分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可以用一个解析式表示，那么它就是一个初等函数．
分段函数
7（1）~（5）
预习：数列的极限
作业：习题1.1：
03
例4
例5
*例6
复合而成
复合而成
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，
等等。
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
2.初等函数
1.1.5 分段函数
如
单击此处添加副标题
常数函数
幂函数
指数函数
对数函数
D
C
A
B
基本初等函数
课前复习
5、三角函数
反三角函数
1.复合函数
注意：
CONTENTS
例如：
01
可看作由
02
复合而成。
03
和
04
其中，
05
为外层，
06
不能复合。
复合后的函数要有意义
3、不是任何函数都可以复合成一个函数。
4、注意复合次序：
01
复合可以多次进行，也就是说，中间变量可以有多个。
02
例1
03
例2
04
的复合。
例3 指出下列各函数的复合过程：
01
重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数（基本初等函数或基本初等函数的四则运算式）的复合。
02
复合而成的
03
复合而成的
复合而成的
复合而成的 ຫໍສະໝຸດ 0102初等函数
分段函数是其定义域内的一个函数. 分段函数一般不是初等函数，但如果分段函数可以用一个解析式表示，那么它就是一个初等函数．
分段函数
7（1）~（5）
预习：数列的极限
作业：习题1.1：
03
例4
例5
*例6
复合而成
复合而成
定义1.7 由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算构成的，并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.
例如，
等等。
本课程讨论的函数绝大多数都是初等函数.
2.初等函数
1.1.5 分段函数
如
数学分析 第一章 12复合函数和反函数、初等函数
14
余弦函数 y cos x
2
y cos x
3
2
2
D(f ) (,),R(f ) [1,1]
2021/3/22
福州大学数学与计算机学院
15
正切函数 y tan x
y tan x
3
3
22
2
2
D(f ) {x | x (2n 1),n Z}, R(f ) (,)
2021/3/22
1
y x
(1,1)
o1
x
y 1 x
2021/3/22
福州大学数学与计算机学院
11
3.指数函数 y a x (a 0, a 1)
y ex
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
D(f ) (,),R(f ) (0,)
2021/3/22
福州大学数学与计算机学院
12
4.对数函数 y loga x (a 0,a 1) y ln x
y log a x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
D(f ) (0,),R(f ) (,)
2021/3/22
福州大学数学与计算机学院
13
5.三角函数
正弦函数 y sin x
2
y sin x
2
D(f ) (,),R(f ) [1,1]
2021/3/22
福州大学数学与计算机学院
例
:
设g(x)
2 2
x x
x x
0 0
,
f
(x)
x2 - x
x 0,求f[g(x)] x0
从里到外
2021/3/22
初等函数_反函数_复合函数
定义
在定义域的不同区间内用不同的对应法则表示的函数叫分段函数。
例
已知函数y
f
(x)
2
x,
0 x 1，
1 x, x 1
并求出f (0), f (0.5), f (1), f (3)的值
解
f (0) 0，f (0.5) 2 0.5, f (1) 2，f (3) 4
f 的反函数.
只有在一一对应的前提下才能有反函数.
y f (x)与 x f -1( y) 互为反函数
y
反函数的图形
y f (x)
y x
函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于
y f 1(x)
第Ⅰ、Ⅲ 象限的角平分线 y = x 对称
O
x
反函数的图形
(1) y sin 1 x2
(2) y ln cos 2x
解 (1) y sin u, u t , t 1 x2
(2) y ln u, u cost, t 2x
以上过程称为分解过程
复合函数分解到什么时候为止 ？
分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止 .
四、分段函数
(1)分段函数是一个函数 注意： (2)分段函数的定义域是各 个表达式定义域的并集
(3)求值时应把自变量代入 相应区间的表达式中计 算
变量 u 称为中间变量
类似地，可以定义多于两重复合关系的复合函数
外层函数 y f (u)
u g(x) 内层函数
y
f
u
gx
y f (g(x))
例1 写出y sin u， u 2x2 1的复合函数
复合函数,反函数,初等函数
四、双曲函数与反双曲函数
1.双曲函数
e x ex 双曲正弦 sinh x 2
D : ( , ),
奇函数.
x x
e e 双曲余弦 cosh x 2
D : ( , ),
偶函数.
sinh x e x e x 双曲正切 tanh x x x cosh x e e
。
1
y
反函数y f 1 ( x )
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作 为函数，习惯上我们还是把反函数记 1 y f ( x) . 为
这样直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
严格单调函数是1-1对应的，所以严格单 调函数有反函数。 但 1-1 对应的函数（有反函 数）不一定是严格单调的，看下面例子
思 下列函数能否复合为函数 y f [ g( x )]， 考 若能，写出其解析式、定义域、值域． 题 (1) y f (u) u, u g( x ) x x 2
( 2) y f ( u) ln u, u g( x ) sin x 1
1 [ f ( x)] 2 , f ( x) 1;
求 f [ f ( x)].
f [ f ( x)]
f ( x) 1 0 x 1 f ( x) 1 x 1或x 0
[ f ( x)] 1, f ( x) 1.
2
当0 x 1时，
1 [ 1 x ] , 0 x 1;
解
10
e ( x ) , ( x ) 1 f [( x )] ( x ), ( x ) 1
反函数-复合函数-初等函数
THANKS
感谢观看
举例
$y = x^2 + 3x + 2$，$y = log_2(x + 1)$，$y = sin(x)$等。
初等函数的性质
01
02
03
04
连续性
初等函数在其定义域内是连续 的。
可微性
大多数初等函数在其定义域内 是可微的。
有界性
初等函数在其定义域内是有界 的。
周期性和奇偶性
某些初等函数具有周期性或奇 偶性。
初等函数的最值
零点与不等式
可以通过描点法或计算 法绘制初等函数的图像。
根据导数的正负判断初 等函数的单调性。
利用导数求出函数的极 值点和最值点。
利用零点定理和导数判 断不等式的真假。
04
反函数与复合函数的应用
在数学中的应用
反函数
在数学中，反函数用于解决方程问题 ，通过找到原函数的反函数，可以将 一个方程转化为另一个方程，从而简 化求解过程。
02
反函数和复合函数在一定程度上 可以相互转化，而初等函数则可 以通过四则运算和复合运算生成 。
区别
反函数
反函数是指对于一个给定的函数y=f(x)，存在另一个函数x=f'(y)，使得对于每一个x的取值， 都有唯一的y值与之对应，且满足y=f(x)。反函数的存在条件是原函数的定义域和值域必须关 于y=x对称。
在工程中的应用
反函数
在工程中，反函数可以用于控制系统，例如通过找到系统的 传递函数的反函数，可以设计合适的控制器来控制系统。
复合函数
复合函数在工程中常用于描述多个参数之间的关系，例如材 料的力学性能可以通过一个复合函数来描述。
05
反函数-复合函数-初等函 数的联系与区别
第7讲——复合函数与初等函数的导数-文档资料36页
yxyuu x(eu)u(tx a)xn
euse 2xcse 2xc etax.n
例 5 设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).
解
f(x)
1 1x4
(x2)x
2x . 1 x4
例 6 设y xex, 求 y .
解 yx1 2(xex)1 2(xex)x
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例如 x yexy, x3y3y0
隐函数的求导法则
隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过 方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 y的导数. 容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导” 不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变 成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的. 对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等 式两边对x求导，遇到 y 时将其认作中间变量，利用 复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可.
1 [1( 1x2)] x 1x2
x
1 1x2
1
x 1x2
1
.
1 x2
二、反函数的导数
如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0，
那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且
f ( x ) 1 。 ( y )
类 似 地 有 ： (a x ) r c 1c 。 os 1 x 2
如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0，
那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且
f ( x ) 1 。 ( y )
例2．求(arctan x)及(arccot x)。 解：因为yarctan x是xtan y的反函数，所以
euse 2xcse 2xc etax.n
例 5 设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).
解
f(x)
1 1x4
(x2)x
2x . 1 x4
例 6 设y xex, 求 y .
解 yx1 2(xex)1 2(xex)x
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
例如 x yexy, x3y3y0
隐函数的求导法则
隐函数一般可用F(x,y)=0表示.现在的问题是通过 方程F(x,y)=0确定了y是x的函数，如何来求 y的导数. 容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导” 不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变 成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的. 对于隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等 式两边对x求导，遇到 y 时将其认作中间变量，利用 复合函数的求导法则，得到含 的方程，解出 即可.
1 [1( 1x2)] x 1x2
x
1 1x2
1
x 1x2
1
.
1 x2
二、反函数的导数
如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0，
那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且
f ( x ) 1 。 ( y )
类 似 地 有 ： (a x ) r c 1c 。 os 1 x 2
如果函数x(y)在某区间Iy内单调、可导且 (y)0，
那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且
f ( x ) 1 。 ( y )
例2．求(arctan x)及(arccot x)。 解：因为yarctan x是xtan y的反函数，所以
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。