北师大版数学必修五：《数列的概念与简单表示法》导学案(含答案)

第1课时数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法).2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型.3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.(1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍.(2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.(3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.问题1:数列的定义:按排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n 项……通项公式:如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 ,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.问题2:数列的分类:(1)按项数分类: 和 . (2)按数列的单调性分类: 、 及 .(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫 .问题3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下:相同点:数列中的每一项都是 、集合中的每一个元素都是 . 不同点:重复性:数列中的某些项可以 、集合中的每一个元素都 . 有序性: 数列中的项 、集合中的元素 . 范围: 数列中的每一项都是 、集合中的元素可以 .问题4:数列的表示方法: 、 、 及 .数列的前n 项和记作S n = .1.把自然数的前五个数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么可以叫作数列的有( )个.A .1B .2C .3D .4 2.已知数列{a n }的通项公式为a n =1+(-1)n+12,则该数列的前4项依次为( ).A .1,0,1,0B .0,1,0,1C .12,0,12,0 D .2,0,2,03.设数列{a n }满足:a 1=2,a n+1=1-1a n,则a 4= .4.已知{a n }满足a 1=3,a n+1=2a n +1,试写出该数列的前5项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式.根据数列的前几项写出通项公式 写出下列数列的一个通项公式: (1)1,-1,1,-1,…; (2)3,5,9,17,33,…; (3)12,2,92,8,252,….待定系数法求通项公式已知数列{a n }中,a 1=3,a 10=21,通项a n 是项数n 的一次函数. (1)求{a n }的通项公式,并求a 2019;(2)若{b n }是由a 2,a 4,a 6,a 8,…组成,试归纳{b n }的一个通项公式.已知数列的单调性求参数若a n =n 2+λn ,且数列{a n }为递增数列,则实数λ的取值范围是 .写出下列数列的一个通项公式: (1)1,0,-13,0,15,0,-17,0,…; (2)0.7,0.77,0.777,….已知数列{a n }中,a 1=-1,a 2=0且a n =xn 2+yn ,求a n .已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值. (3)设数列{a n }的前n 项和S n ,求S n 的最小值.1.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-n-50,则-8是该数列的( ).A .第5项B .第6项C .第7项D .非任何一项2.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( ).A .a n =n 2-n+1B .a n =n(n-1)2C .a n =n(n+1)2D .a n =n 2+13.已知数列{a n }的通项公式为a n =1n(n+2)(n ∈N +),那么1120是这个数列的第 项.4.数列{a n }中,已知a n =n 2+n-13(n ∈N +). (1)写出a 10,a n+1;(2)7923是否是数列中的项?如果是,是第几项?(2019年·北京卷)已知数列{a n }满足:a 4n-3=1,a 4n-1=0,a 2n =a n ,n ∈N +,则a 2019= ,a 2019= .考题变式(我来改编):第一章数列第1课时数列的概念与简单表示法知识体系梳理问题1:一定次序数列的项a n=f(n)问题2:(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列常数列(3)摆动数列问题3:确定的确定的重复不能重复有顺序无顺序数不是数问题4:列表法图像法通项公式法递推公式法a1+a2+…+a n基础学习交流1.D按照数列定义得出答案D.2.A将n=1,2,3,4代入通项公式可知,应选A.,a3=-1,a4=2.3.2a2=124.解:∵a1=3,a n+1=2a n+1,∴a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,注意到:3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,∴猜得a n=2n+1-1.重点难点探究探究一:【解析】(1)这是一个常用的摆动数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是a n=(-1)n+1(n∈N+)或a n=cos(n+1)π(n∈N+)或a n=sin2n-1π(n∈N+).2(2)观察发现每项减1即为2的n次方,所以a n=2n+1(n∈N+).(n∈N+).(3)统一写成分母为2的分数,发现分子是n的平方,故a n=n22【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:(1)对于正负交错出现的数列,符号用(-1)n与(-1)n+1来调节,这是因为n和n+1奇偶交错.(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观察、比较、归纳、转化等方法. (3)对于分数形式的数列,分子、分母可分别找通项,并充分借助分子、分母的关系. 探究二:【解析】(1)设a n =kn+b , 则{k +b =3,10k +b =21,解得{k =2,b =1.∴a n =2n+1(n ∈N +),∴a 2019=4031.(2)又∵a 2,a 4,a 6,a 8,…即为5,9,13,17,…,∴b n =4n+1(n ∈N +).【小结】数列的通项公式a n 是关于n (n ∈N +)的函数,即a n =f (n ).待定系数法是求通项公式的一种常用方法.探究三:【解析】∵(n ,a n )(n ∈N +)是函数f (x )=x 2+λx 图像上的点,且数列{a n }为递增数列,只需-λ2≤1,即λ≥-2,∴λ的取值范围是[-2,+∞).[问题]递增数列是单调递增函数吗?[结论]利用二次函数的单调性时,忽视了数列的离散型特征.数列{a n }为递增数列,只要求满足a 1<a 2<…<a n <…于是,正确解答为:∵数列{a n }是递增数列,且a n =n 2+λn ,其对称轴x=-λ2既可以x ≤1,也可以在 1<x<32之间,故-λ2<32,即λ>-3,∴λ的取值范围是(-3,+∞).【答案】(3,+∞)【小结】此题极易出错,考虑问题要全面. 思维拓展应用应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为11,02,-13,04,15,06,….分母依次为1,2,3,4,…,分子依次为1,0,-1,0,…,呈周期性变化,可以用sin n 2π表示,也可用cos n-12π表示,故a n =sinnπ2n (n ∈N +)或a n =cos n-12πn (n ∈N +).(2)∵0.9,0.99,0.999,…的通项公式为a n =1-110n (n ∈N +),∴0.7,0.77,0.777,…的通项公式为a n =79(1-110n)(n ∈N +). 应用二:由{a 1=x +y =-1,a 2=4x +2y =0,可得x=1,y=-2.∴a n =n 2-2n (n ∈N +).应用三:(1)由a n =n 2-5n+4<0得1<n<4,又n ∈N +,∴n=2,3,即数列中有2项是负数.(2)a n =(n-52)2-94(n ∈N +),∴n=2,3时a n 最小,此时a 2=a 3=-2. (3)由(1)(2)知a 1=a 4=0,a 2=a 3=-2,当n ≥4时,a n >0,∴S 3,S 4最小,且S 3=S 4=-4. 基础智能检测1.C 由n 2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).2.C 令n=1,2,3,4,代入A 、B 、C 、D 检验即可.排除A 、B 、D ,从而答案是C .3.10 ∵1n(n+2)=1120,∴n (n+2)=10×12,∴n=10. 4.解:(1)a 10=1093,a n+1=n 2+3n+13. (2)设a n =7923,即n2+n-13=2393,解得n=15或n=-16(舍去),即7923是数列中的第15项. 全新视角拓展1 0 a 2019=a 4×503-3=1,a 2019=a 1007=a 4×252-1=0. 思维导图构建有序性 集合无序性。