华师大八年级数学下册-分式复习1

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华师大八年级数学下册-分式的复习1

9ab2c
a-1
(2) a2+2a+1 与
6 a2-1
约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
1.已知
xy
ZHale Waihona Puke 2=3 = 4,试求
x+y-z
x+y+z
的值.
11
2x-3xy+2y
2.已知 x + y = 5 ,求
-x+2xy-y
的值.
3.已知 x +
1
x
=3 ,
求 x2 +
1
x2
的值.
变: 已知 x2 – 3x+1=0 ,求 x2+
a -b a+b
(
)
= a2 –b2
(2) ab+b2 = a+b
ab2+b
( ab+1 )
(4)
a+b ab
=
2a2+2ab
(2a2b )
2.下列变形正确的是(
)
C
a
a2
A b = b2
a-b a2-b
B
a = a2
C 2-x = X-2 X-1 1-x
D
4= 2 2a+b a+b
3.填空:
-a-b a+b c-d = ( d-c )
学习目标：
进一步理解分式、有理式、最简分式、最简公分母的概念
熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则；准确熟练地进行分式的运算
通过对例题的学习，进一步理解数学的整体思想
1.分式的定义:
形如 A ,其中 A ,B 都是整式,

华师版八下数学第16章分式知识归纳

华东师大版八年级下册数学第16章分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

最新华师版八年级数学下册第16章分式专题复习测试题及答案全套

最新华师版八年级数学下册第16章分式专题复习测试题及答案全套专训1 分式求值的方法名师点金：分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常见的分式求值方法有：直接代入法求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值、设参数求值等．直接代入法求值1．(中考·鄂州改编)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1，其中a ＝5.活用公式求值2．已知x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x 4的值．3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2的值．整体代入法求值4．已知x y ＋z ＋y z ＋x ＋z x ＋y ＝1，且x ＋y ＋z≠0，求x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y 的值．巧变形法求值5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋12x的值．设参数求值6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz 的值．专训2 全章热门考点整合应用名师点金：本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现．分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．其主要考点可概括为：三个概念、一个性质、一种运算、一个解法、一个应用、四种思想．三个概念概念1 分式1．下列说法中，正确的是( )A ．分式的分子中一定含有字母B ．分母中含有字母的式子是分式C ．分数一定是分式D ．当A ＝0，分式AB的值为0(A ，B 为整式)2．若式子1x 2－2x ＋m不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是( )A ．m≥1B ．m>1C ．m≤1D ．m<1 概念2 分式方程3．关于x 的方程：①x 2－x －13＝6；②x 900＝500x －30；③x 3＋1＝32x ；④a 2x ＝1x ；⑤320x －400x ＝4； ⑥x a ＝35－x.分式方程有____________(填序号)． 4．(中考·遂宁)遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各是多少万千克？设原计划每亩平均产量为x 万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x 万千克，根据题意列方程为( )A .36x －36＋91.5x ＝20 B .36x －361.5x＝20C .36＋91.5x －36x ＝20D .36x ＋36＋91.5x ＝20 概念3 增根5．若关于x 的方程x －4x －5－3＝a x －5有增根，则增根为( )A ．x ＝6B ．x ＝5C ．x ＝4D ．x ＝36．已知方程21＋x －k 1－x ＝6x 2－1有增根x ＝1，求k 的值．7．若关于x 的分式方程2m ＋x x －3－1＝2x无解，求m 的值．一个性质——分式的基本性质8．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．(1)15x －12y 14x ＋23y ； (2)0.1x ＋0.3y 0.5x －0.02y .一种运算——分式的运算9．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab 2a ＋b 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 3a 2－b 22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（a －b ）2，其中a ＝－12，b ＝23.一个解法——分式方程的解法10．(中考·嘉兴)小明解方程1x －x －2x ＝1的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．解：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝1.……① 去括号，得1－x －2＝1.……② 合并同类项，得－x －1＝1.……③ 移项，得－x ＝2.……④ 解得x ＝－2.……⑤∴原方程的解为x ＝－2.……⑥一个应用——分式方程的应用11．某超市用3 000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9 000元购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量比第一次的2倍还多300 kg.如果超市按9元/kg的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600 kg按售价的八折售完．(1)该种干果第一次的进价是多少？(2)超市销售这种干果共盈利多少元？四种思想思想1数形结合思想12．如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是－4，2x＋23x－5，且点A，B到原点的距离相等，求x的值．(第12题) 思想2整体思想13．已知实数a满足a2＋4a－8＝0，求1a＋1－a＋3a2－1·a2－2a＋1a2＋6a＋9的值．思想3 消元思想14．已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z≠0，求x 2＋y 2＋z 22x 2＋y 2－z 2的值．思想4 类比思想15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －b a ＋b －b a －b ÷a －2b a －b .答案专训11．解：原式＝[2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）]·a －1a＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）·a －1a＝3a ＋1. 当a ＝5时，原式＝35＋1＝12.2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x≠0，∴x＋1x＝5.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝25.∴x 2＋1x 2＝23.∴x 4＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2＝232－2＝527.点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．解：x 2＋3xy ＋y 2x 2y ＋xy 2＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）＝（x ＋y ）2＋xyxy （x ＋y ）.因为x ＋y ＝12，xy ＝9，所以原式＝122＋99×12＝1712.4．解：因为x ＋y ＋z≠0，所以等式的两边同时乘(x ＋y ＋z)，得x （x ＋y ＋z ）y ＋z ＋y （x ＋y ＋z ）z ＋x ＋z （x ＋y ＋z ）x ＋y＝x ＋y ＋z ，所以x 2y ＋z ＋x （y ＋z ）y ＋z ＋y 2z ＋x ＋y （z ＋x ）z ＋x ＋z 2x ＋y ＋z （x ＋y ）x ＋y ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y ＋x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z.所以x 2y ＋z ＋y 2z ＋x ＋z 2x ＋y＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0， ∴(2x－1)2＝0.∴2x＝1. ∴原式＝1＋11＝2.6．解：设x 2＝y 3＝z4＝k≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.所以x 2－y 2＋2z 2xy ＋yz ＋xz＝（2k）2－（3k）2＋2（4k）2 2k·3k＋3k·4k＋2k·4k＝27k226k2＝2726.专训21．B2．B点拨：∵x2－2x＋m＝x2－2x＋1＋m－1＝(x－1)2＋m－1，∴当m－1>0，即m>1时，式子1x2－2x＋m总有意义．3．②④⑤4．A 5.B6．解：方程两边同乘x2－1，得2(x－1)＋k(x＋1)＝6.整理得(2＋k)x＋k－8＝0.∵原分式方程有增根x＝1，∴2＋k＋k－8＝0.解得k＝3.7．解：方程两边都乘x(x－3)，得(2m＋x)x－x(x－3)＝2(x－3)，即(2m＋1)x＝－6.①(1)当2m＋1＝0时，此方程无解，∴原分式方程也无解．此时m＝－0.5；(2)当2m＋1≠0时，要使关于x的分式方程2m＋xx－3－1＝2x无解，则x＝0或x－3＝0，即x＝0或x＝3.把x＝0代入①，m的值不存在；把x＝3代入①，得3(2m＋1)＝－6，解得m＝－1.5.∴m的值是－0.5或－1.5.8．解：(1)原式＝12x－30y15x＋40y.(2)原式＝5x ＋15y25x －y.9．解：原式＝（2ab 2）3（a ＋b ）3·（a 2－b 2）2（ab 3）2·14（a －b ）2 ＝8a 3b 6（a ＋b ）3·（a ＋b ）2（a －b ）2a 2b 6·14（a －b ）2 ＝2aa ＋b. 当a ＝－12，b ＝23时，原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋23＝－6.10．解：步骤①去分母时，没有在等号右边乘x ；步骤②括号前面是“－”号，去括号时，没有变号；步骤⑥前没有检验．正确的解答过程如下：解：方程两边都乘x ，得1－(x －2)＝x ，去括号，得1－x ＋2＝x ，移项、合并同类项，得－2x ＝－3，解得x ＝32.经检验x ＝32是原分式方程的解．11．解：(1)设该种干果第一次的进价是x 元/kg ，则第二次的进价是(1＋20%)x 元/kg. 由题意，得9 000（1＋20%）x ＝2×3 000x ＋300.解得x ＝5.经检验，x ＝5是原分式方程的解，且符合题意．答：该种干果第一次的进价是5元/kg.(2)[3 0005＋9 0005×（1＋20%）－600]×9＋600×9×80%－(3 000＋9 000)＝5 820(元)．答：超市销售这种干果共盈利5 820元．12．解：由题意得2x ＋23x －5＝4.去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2.经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．13．解：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3）＝4（a ＋1）（a ＋3）＝4a 2＋4a ＋3.由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故原式＝411.点拨：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子．14．解：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z≠0，得到⎩⎨⎧2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得⎩⎨⎧x ＝4z ，y ＝3z.所以原式＝（4z ）2＋（3z ）2＋z22（4z ）2＋（3z ）2－z 2＝16z 2＋9z 2＋z 232z 2＋9z 2－z 2＝1320.点拨：本题先用含z 的式子分别表示出x 与y ，然后代入所求式子消去x ，y 这两个未知数，从而简化求值过程，体现了消元思想．15．解：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a －b a －2b ＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a ＋b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab （a ＋b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a ＋b ）（a －2b ）＝2aa ＋b.点拨：本题是类比思想的典范，分式的性质、运算顺序、运算律都可以类比分数的相关知识．专训2 分式的意义及性质的四种题型名师点金：1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数⇔分子、分母同号；(5)分式值为负数⇔分子、分母异号．2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础．)分式的识别1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2m中，不是分式的式子有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个．分式有无意义的条件3．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( )A .a ＋1a 2B .a －1a 2＋1C .1a 2－1D .1a ＋1 4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5x 2－6x ＋m总有意义，试求m 的取值范围．分式值为正、负数或0的条件6．若x ＋2x 2－2x ＋1的值为正数，则x 的取值范围是( ) A ．x ＜－2 B ．x ＜1C ．x ＞－2且x≠1D ．x ＞17．若分式3x －42－x的值为负数，则x 的取值范围是________． 8．已知分式a －1a 2－b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是( )A.ab＝a2b2B.ab＝aba＋bC.ab＝a＋cb＋cD.ab＝abb210．要使式子1x－3＝x＋2x2－x－6从左到右变形成立，x应满足的条件是( )A．x＞－2 B．x＝－2 C．x＜－2 D．x≠－211．已知x4＝y6＝z7≠0，求x＋2y＋3z6x－5y＋4z的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求x|y＋z|＋y|z＋x|＋z|x＋y|的值．专训2 分式运算的八种技巧名师点金分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果．约分计算法1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9.整体通分法2．计算：a －2＋4a ＋2.顺次相加法3．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.换元通分法4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m 3m －2n －1.裂项相消法⎝ ⎛⎭⎪⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋15．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）.整体代入法6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abc ab ＋bc ＋ac的值．倒数求值法7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1的值．消元法8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．答案专训11．C 点拨：4x －25，2m ，x 2π＋1不是分式． 2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．3．B 4.±15．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．因为(x －3)2≥0，所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x≠1.7．x ＞2或x ＜438．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b≠±1. 9．D 10.D11．解：设x 4＝y 6＝z 7＝k(k≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k. 所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k＋3×7k 6×4k－5×6k＋4×7k ＝37k 22k ＝3722. 12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1－1－1＝－1. 综上所述，所求式子的值为1或－1.专训21．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．2．解：原式＝a －21＋4a ＋2＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2＝a 2a ＋2. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7x 8－1. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1＝ x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝－2x （x ＋1）（x －1）＝4n －6m （3m －2n ＋1）（3m －2n －1）. 5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100＝100a （a ＋100）.点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用1n（n＋1）＝1 n －1n＋1进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．6．解：1a＋1b＝16，1b＋1c＝19，1a＋1c＝115，上面各式两边分别相加，得⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1c×2＝16＋19＋115，所以1a＋1b＋1c＝31180.易知abc≠0，所以abcab＋bc＋ac＝11c＋1a＋1b＝18031.7．解：由xx2－3x＋1＝－1，知x≠0，所以x2－3x＋1x＝－1.所以x－3＋1x＝－1.即x＋1x＝2.所以x4－9x2＋1x2＝x2－9＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x2－11＝22－11＝－7.所以x2x4－9x2＋1＝－17.8．解：以x，y为主元，将已知的两个等式化为⎩⎨⎧4x－3y＝6z，x＋2y＝7z.解得x＝3z，y＝2z.因为xyz≠0，所以z≠0.所以原式＝5×9z2＋2×4z2－z22×9z2－3×4z2－10z2＝－13.点拨：此题无法直接求出x，y，z的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．专训3 巧用分式方程的解求字母的值名师点金：巧用分式方程的解求字母的值主要体现在以下几方面：(1)利用方程解的定义求字母的值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；(2)利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或值．利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1的解相同，求m 2－2m 的值．利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2有解，求m 的取值范围．利用分式方程有增根求字母的值3．若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则m ＝________. 4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．利用分式方程无解求字母的值5．(中考·东营)若分式方程x －a x ＋1＝a 无解，则a ＝________. 6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m 3－x无解，求m 的值．7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x＝1. (1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值；(2)若方程有增根，求a 的值；(3)若方程无解，求a 的值．答案专训1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3. 经检验，x ＝3是该方程的解．将x ＝3代入2x ＋4＝m x，得27＝m 3.解得m ＝67. ∴m 2－2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫672－2×67＝－4849. 2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.∵分式方程有解，∴x＝4－m 不能为增根．∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解．3．－14．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3.当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则4m＋8m＋3＝3，解得m＝1.经检验，m＝1是方程4m＋8m＋3＝3的解．综上所述，m的值为－3或1.7．解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．。

华师大版八年级数学下册教学课件：第16章分式的复习课件(1)

２m－３４－m
的值相等的分式是（
A
Ａ
３－２m ４－m
Ｂ
２m-３４－m
Ｃ
３－２m ４－m
Ｄ
）３－２m
m－４
５．下列各式正确的是（ A ）
Ａ
－x＋y －x－y ＝
X－y X＋y
Ｂ
－x＋y －x－y ＝
－x－y X＋y
－x＋y X＋y
Ｃ－x－y ＝ X－y
Ｄ－x＋y ＝
－x－y
灿若寒星
X－y X＋y
6．不改变分式的值，将下列分式的分子．分母的最高次项的系数变为正数．（１）－x２＋１
x－２（２） x－x２
３x＋１
（３）２－x x－x２
灿若寒星
x 7．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍，则分式的值（ B ）Ａ扩大３倍Ｂ不变Ｃ缩小１／３Ｄ缩小１／６
xy 8．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍，则分式的值（ A ）Ａ扩大３倍Ｂ不变Ｃ缩小１／３Ｄ缩小１／６
A = ()-A
B
B
A
-A
=
(-) B
= () -B
-A A
() -A
=
=
=
-A
-B () B 灿若寒星 B
() B
1.写出下列等式中的未知的分子或分母.
(1)
(2)
a+b ab
=
(a) 2+ab
a2b
(3)(4) a-b a+b
()a2+b2-2ab
= a2–b2
ab+b2
a+b
=
ab2+b
()ab+1

华师版八下数学第16章分式知识归纳

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

华师大版初中数学八年级下册第16章分式复习(1)

h，采用新工艺前、后每时分别加工多少个零件？
解：设采用新工艺前、后每时分别加工 x 个，1.5x 个，根据题意，得
1200 1200
=
+10
x 1.5x
解，得 x=40,1.5x=40×1.5=60.
经检验 x=40 是原方程的根，也符合题意.
答：采用新工艺前后每时分别加工 40 个、60 个.
［师］下面我们来看第二个问题.
=
÷
a2
ab
a(a b)
ab
b
=
a2
×
=
(a b)(a b) a b
a2 2a 1 1
(a 1)2
1 a 1 1 a
（2）
－
=
－
由分子 x－1=0，得 x=1,
而当 x=1 时，分母 x+1=1+1=2≠0.
所以当 x=1 时，分式的值为零.
［例 2］约分
a2 1
16 x 2
（1）Leabharlann ;（2）.a2 a 2
20xy
a2 1 (a 1)(a 1) a 1
解：（1）
=
=
a2 a 2 (a 2)(a 1) a 2
16x2 4x 4x 4x
［生］我们组来回答此问题，此人晨练时平均每分钟行
米.
mn
我们组也举出一个例子：长方形的面积为 8 m2,长为 p m,宽为____________ m.
8
［生］应为 m.
p
TB:小初高题库
华师大版初中数学
［师］同学们举的例子都很有特色，谁还能举.
［生］如果某商品降价 x%后的售价为 a 元，那么该商品的原价为多少元？
TB:小初高题库

华师大版八年级下册---分式全章复习材料

Байду номын сангаас
( ) x2 x 1 1 a 1 2 x x2 （ 1. .(4) 2 , (2) 2 2 2 ,(3) 3 bc bc ( ) x 1 x 1 3 x x 1
2、去掉分子和分母中的“—”号； (1)不改变分式的值,使分式
y y y , , 的分子,分母不含“—”号； 2 y 2x 2x
②
5x 7y 11z 2 2 2 6 y z 12 xz 8x y
⑤
③x 3
9 3 x
x2 y2 x2 y2 ④x y x y
10 a 1 1 a 3a 4 a 1
2
（四）分式混合运算（先算乘方，再算乘除，最后算加减；先算小括号，再算中括号，最后算大括号）注意：结果要化为最简分式或整式。 1.
2、当 x 为何值时，分式的值为 0？
x3 2x
3x 21 7 x
x2 1 x2 x
的值为零
3.当
时，分式
1
4.当 5. 当式子 A 、 6
时，分式
的值为零
x 5
5x x5
x 4x 5
B、-5
2
的值为零时，x 的值是（ D、-5 或 5
）
C、-1 或 5
（四）拓展二：（分式的值为正或负的条件） 1、分式 m 2 的值为正数，求 M 的取值范围。 m3 2、分式的值是负数，求 X 的取值范围。二、分式的基本性质 1、变形填空
x 2 3x ( x 1) 2 9
1 x 2 1
2、当取何值时，下列分式有意义？
1 2x 1 1
3、当取何值时，下列分式无意义？
（三）拓展一：（分式的值为 0 的条件：分子=0，分母≠0） 1、当 m 为何值时，分式的值为 0？

华师大版数学八年级下册第16章分式复习课件(共21张PPT)

随堂练习
1.下列代数式
1 1 x，1 ，x2 y2 ，1 +m，5a2 ， 5
5
3 m 2a 6 x
中是分式的有（ C ）个.
A.5
B.4
C.3
D.2
2.如果把分式 x5xyy中的 x 、y 都扩大到原
来的 5 倍，那么分式的值（ B ）. A.扩大到原来的 25 倍
B.扩大到原来的 5 倍
解：设前一小时的速度为xkm/小时，则一
小时后的速度为1.5xkm/小时，由题意得：
180 x
1
180 x 1.5 x
2 3
，
解这个方程为x=60，
经检验，x=60是所列方程的根，
答：前一小时的速度为60km/小时．
课后作业
1.从教材习题中选取. 2.完成练习册本课时的习题.
3.分式的运算（1）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．（2）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母后再加减．
(3)分式的四则混合运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些.
C.不变
D.缩小到原来的
1 5
3.下列各分式中，是最简分式的是（ A ）.
x2 y2 A.
x y
x2 y2 B.x yBiblioteka x2 x C.xy
xy D. y2
4. PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025 m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学计数法表示为（ D ）.
A.0.25×10-5
6.零指数幂与负整数指数幂

八年级数学下册第17章分式复习要点华东师大版

第17章分式复习要点1、形如（A、B都是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。

整式和分式统称有理式。

2、分母≠0时，分式有意义。

分母＝0时，分式无意义。

3、分式的值为0，要同时满足两个条件：分子＝0，而分母≠0。

4、分式基本性质：分式的分子、分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

5、分式四则运算1）分式加减的关键是通分，把异分母的分式，转化为同分母分式，再运算．2）分式乘除时先把分子分母都因式分解，然后再约去相同的因式。

3）分式的混合运算，注意运算顺序及符号的变化，4）分式运算的最后结果应化为最简分式或整式．6、分式方程1）分式化简与解分式方程不能混淆．分式化简是恒等变形，不能随意去分母．2）解分式方程的步骤：第一、化分式方程为整式方程；第二，解这个整式方程；第三，验根，通过检验去掉增根。

3）解有关应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤是一样的：设、列、解、验、答。

第18章函数及图象的复习要点1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

数轴上的点与实数一一对应。

数轴上的点A、B的坐标为x1、x2, 则AB＝。

2、具有公共原点且互相垂直的两条数轴就构成平面直角坐标系。

坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

3、坐标轴上的点不属于任何象限。

x轴上的点纵坐标y＝0；y轴上的点横坐标x＝0。

第一象限内的点x>0,y>0；第二象限内的点x<0,y>0；第三象限内的点x<0,y<0；第四象限内的点x>0,y<0；由此可知，x轴上方的点，纵坐标y＞0；x轴下方的点，纵坐标y＜0；y轴左边的点，横坐标x＜0；y轴右边的点，横坐标x＞0.4、关于某坐标轴对称的点，这个轴的坐标不变，另一个轴的坐标互为相反数。

关于原点对称的点，纵、横坐标都互为相反数。

关于第一、三象限角平分线对称的点，横纵坐标交换位置；关于第二、四象限角平分线上对称的点，不但横纵坐标交换位置，而且还要变成相反数。

2024年华师版八年级下册数学期末复习第16章分式

式方程后，整式方程无解；另一种是这个整式方程有
解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根.
题串考点
2.【热身训练】为提高学生解分式方程的能力，张老师对本
班学生进行了专题集训，经专题集训后，学生每五分钟比
原来多解答1道题，要解答30道分式方程题，集训前所用
时间是集训后所用时间的1.5倍，求集训前每五分钟能解答
多少道题.
解：设集训前每五分钟能解答x道题，则集训后每五分钟能
.×
解答（x＋1）道题.根据题意，得＝
.解得x＝2.经检

+
验，x＝2是所列方程的解，且符合题意.
答：集训前每五分钟能解答2道题.
【拓展训练】在集训的基础上，张老师又乘胜追击，给学生
推出了下面的题：
+ −
−
）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
二、填空题
5.[2023·安阳期末]计算：30－
1
2
3
4
−
−
＝

5
6
7
8
－3
9
.
6.当x＝
－3
−
时，分式
的值为0.
−
1
2
3
4
5
6
7
8
9
＋△

7.[2023·泰州期中]小颖在解分式方程
－＝2时，△处
−
−
被污染看不清，但正确答案是：此方程无解.则△处的数应
非负整数，所以x＝1，则原式＝
1
2
3
4
5
6
−
＝－1.

7

华东师大版八年级下册课件第16章分式复习 (共26张PPT)

解：原式＝1x÷x（xx2＋－11）－x－2 1＋x＋1 1
＝1x÷xx（2＋x1－－12）x
＋
1 x＋
1
＝1x·x（（xx－－11））2 ＋x＋1 1
＝x－1
＋ 1
1 x＋
1
＝（x－1x）＋（1x＋1）＋（x＋1x）－（1x－1）
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x x＋1 ＝ad－bc.则满足等式| 2 3 |＝1 的 x 的值为__－__1_0___．
21
20．[2014·聊城]解分式方程：22＋－xx＋x21－6 4＝－1. 解：方程两边同乘(x2－4)，去分母，得－(2＋x)2＋16＝－(x2 －4)，去括号，得－4－4x－x2＋16＝－x2＋4，移项，得－x2＋x2－4x＝4＋4－16，合并同类项，得－4x＝－8，系数化为1，得x＝2. 经检验，当x＝2时，x2－4＝0，故x＝2为增根． ∴原方程无解．
类型之五零指数幂与负整数指数幂、科学记数法
14．在显微镜下，人体内一种细胞的形状可以近似
地看成圆，它的半径约为0.000 000 78 m，这个
数据用科学记数法表示为
A．0.78×10－4m
( B)
B．7.8×10－7m
C．7.8×10－8m
D．78×10－8m
【解析】 0.000 000 78＝7.8×10－7(m)，故选
(2)a2＋a－2a1＋1，
6 a2－1.
解：(1)最简公分母是 18a2b2c， 6axb2＝6axb·2·3a3cac＝183aa2cbx2c； 9ay2bc＝9ay2·bc·2b2b＝182ab2by 2c.

华师大版八年级下册数学分式全章复习及测试小结

第17章分式全章小结第一课时综合复习一、知识结构二、重要知识与规律总结（一）概念1、分式：AB（A、B为整式，B≠0）2、有理式：整式和分式统称有理式。

3、最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。

4、分式方程：分母中含有未知数的方程。

（二）性质1、分式基本性质：A A M A MB B M B M⨯÷==⨯÷（M是不等于零的整式）2、幂的性质：零指数幂：0a=1（a≠0）负整指数幂：1nnaa-=（a≠0，n为正整数）科学记数法：a ×10n，1≤| a |＜10，n是一个整数。

（三）分式运算法则分式乘法：将分子、分母分别相乘，即a c acb d bd=分式除法：将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即a c a d adb d bc bc ÷=⨯=分式的加减：（1）同分母分式相加减：a c a cb b b±±=；（2）异分母分式相加减：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式乘方：()n nna ab b=（b≠0）=（a≥0，b＞0）（四）分式方程解法1、解题思想：分式方程转化为整式方程。

2、转化方法：去分母（特殊的用换元法）。

3、转化关键：正确找出最简公分母。

4、注意点：注意验根。

三、学习方法点拨1、两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，两个分式不能整除时，就出现了分式。

因此，整式的除法是引入分式概念的基础。

2、分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似，因而在学习过程中，要注意不断地与分数的情形进行类比，以加深对新知识的理解。

3、解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉，从而将分式方程转化为整式方程来解，这时可能会出现增根，必须进行检验。

学习时，要理解增根产生的原因，认识到检验的必要性，并会进行检验。

4、由于引进了零指数幂和负整指数幂，绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示。

华东师大版八年级下册数学第16章《分式复习》课件(共27张PPT)

.
3.计算：x2 - 4x + 4 + 5x - x2 = 6 .
x- 2
x- 3 x- 3
x- y
4.在分式① x + y
3x2 y ,② 2x
,③4
5xy + 5xy
,④
3x + 3+
xy y
中
，最
简分式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4
(B)
5. 将分式x + 2 y中的x和y都扩大10倍，那么分式的值
【例2】化简求值：
(
aa2 +
2 2a
-

a2
a- 1 + 4a +
4)
÷
a - 4 ，其中a满足：a2+2a-1=0.
a+ 2
a- 2
解：原式=［a(a + 2) -
a(a +
1 2)
2］×
a+ 2 a- 4
(a2 - 4) - (a2 -
= a(a + 2)2
a)×
a+ 2 a- 4
=
aa(a +
(2)最简公分母的构成:
①各分母系数的最小公倍数；
②各分母中所有不同因式的最高次幂.
分式的运算
1.分式的乘除法法则:
(1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
即：b
•
d

bd .
(2)两个分式相除a,把c除式ac的分子分母颠倒位置后,
再与被除式相乘.
即：b

d

1.计算
(1) 2 + x

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