原子物理3第三章
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粒子性
E h
P
P h
波动性
h
h P
h mv
… … 著名的德布罗意关系式。 ——德布罗意波波长
（2）德布罗意波长的计算:
（a）若 v << c 则有
1 2
2
h m0 v
（b） 电子经加速电势差 U 加速后，其速度由下式决定：
eU mv0
v c 时
代入德布罗意公式得到电子的德布罗意波波长为：
比如对于钠元素来说，它的四个线系分别是：
~ T (3S ) T (nP) 主线系： 从高P态向3S态跃迁产生；
~ T (3P) T (nS) 锐线系： 从高S态向3P态跃迁产生； （又称第二辅线系）
漫线系： 从高D态向3P态跃迁产生； （又称第一辅线系） 基线系： 从高F态向3D态跃迁产生。 （又称柏格曼系） 原子能级之间的跃迁选择规则：
戴维孙－革末实验
检测器
电子束
54 eV 50
干涉相长条件
d sin n , n 1, 2,
h 1.67 Å 2me Ek
散射强度
d
Ni单晶
电子的物质波经各晶体 原子散射后发生衍射
d 2.15 Å
理论值
n 1 51
电子束在单晶晶体上反射的实验结果符合X射线衍射
例 2、计算质量 m= 0.01kg ，速率 v=300m/s的子弹的德布 罗意 波波长 。 解：
h mv
6.6310 0.01300
34
2.211034 m
例 3、己知：质子的德布罗意波波长 =1×10 -13 m， 求 ∶ (1)质子的速度 ； (2)应通过多大电压使质子加速到以上速度 ？
结束
第三章 量子力学导论
New
玻尔理论的困难，迫使新一代物理学家努力寻找更完整、 更准确、应用面更为广泛的原子理论。一门描述原子的崭新 理论——量子力学在1924-1928年诞生了！ 本章将简要介绍：一些不同于经典物理的一些新思想、 新概念及简单应用。介绍只能“言犹未尽”。
。
物理学全明星梦之队--汇聚了物理学界智慧之脑的“明星照”
（ b）
（c）
2π r n
n 1,2,3,4,
n=8
2π r n
n 1,2,3,4,
电子绕核运动其德布罗意波长为:
2r h n mv
2 π rmv nh
角动量量子化条件:
h L mvr n 2π
4.德布罗意假设的实验验证
1925~1927 年间，戴维孙(（G.J.Davisson）和革末（L.H.Germer ）做了电子在晶体中的衍射实验，实验结果有力的证明了电子的 波动性，并且证明了电子的德布罗意波的公式的正确（ 1929 年，德
2 2
( E p c E0 )
pe h 4.85103 mec 2 mec mece pec
说明Ek很小
Eke
pe 1 2 me v 2 2me
Eo mo c po c
2
2
光子的动能即为总能量：
பைடு நூலகம்
Eo po c 2me c 2me ce 2 2 4.110 pe Ee pe h 2me
1961 年，人们第一次在实验室中实现了电子的双缝干涉实验， 实验原理类似光的杨氏双缝干涉实验。
（1） 戴维孙 - 革末电子衍射实验（1927年）
U
K 电子束 M
电子枪
I
50
检测器 电子探测器
散 射 线
G
35 54 75
U /V
电子被镍晶体衍射实验
当散射角 50 时 电流与加速电压曲线
2 200 1.6 1019 1 6 -1 v m s 8 . 4 10 m s 9.11031
v c
h 6.63 1034 nm 31 6 m0 v 9.110 8.4 10
8.67 10 2 nm
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当。
中的布拉格公式. 相邻晶面（布拉格面）电子束反射射线干涉加强条件:
. . . . . . . . d sin k . . . . . . . . . . . . . . . . k 1, 50
2
d sin 2
d
2d sin
2 2
2
cos
2
k
镍晶体晶格常数 理论计算：
德 布 罗 意
1927年第五届索尔瓦会议参与者留影--一张聚集了地球上三分之一最智 慧大脑的照片：二十九人中有十七人先后获得诺贝尔奖！
3.1 波粒二象性及实验验证
1、经典物理中的波和粒子
•波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式。
•在经典物理中，无法同时用波和粒子这两个概念去描述 同一现象。 •粒子可视为质点，具有完全的定域性，其位臵、动量 可精确测定。
d 2.15 1010 m
d sin 1.65 1010 m
U=54V，Ek=54eV
3. 德布罗意（波粒二象性）假设
1923 年，德布罗意把爱因斯坦的光的波粒二象性的观念推 广到所有的粒子，从而朝量子力学的建立迈开了革命性的一步。 法国物理学家 德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 )
1924年在他的博士论文《关于量子理 论的研究》中提出把粒子性和波动 性统一起来。 为量子力学 的建立提供 了物理基础。
2、碱金属原子的光谱 原子的光谱决定于其最外层价电子，碱金属元素的 光谱可以用与氢原子相同的公式来表述。 碱金属原子：带一个正电荷的原子实 + 一个价电子 碱金属原子的基态：-Li、Na、K、Rb、Cs、Fr的基态 依次为：2s、3s、4s、5s、6s、7s。 氢原子和类氢离子的能级
RhcZ 2 En n2
•波具有空间扩展性，其特征量为波长和频率，也可精确测定。
2.光的波粒二象性
1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 十九世纪初，在菲涅耳（A. J. Fresenel）、夫琅和费（ J. Fraunhofer）和杨氏（T. Young）等人证实光的干涉、 衍射的实验之后，光的波动说才为人们普遍承认。 到了十九世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定了光是电磁波，这 个时候，光的波动说似乎得到了决定性的胜利。
路易.德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一 样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光 才具有的，实物粒子也具有二象性。
德布罗意说道：“整个世纪（十九世纪）以来，在辐 射理论（光学）中，比起波动的研究方法来，是过于忽视了 粒子的研究方法；在实物粒子的理论上，是否发生了相反的 错误呢？是不是我们把关于“粒子”的图象想的太多，而过 分地忽视了波的图象？” 于是他大胆地提出假设：认为不只是辐射波具有波粒二象 性，一切实物粒子（如电子、原子、分子.......）也具有波粒二 象性。并且把光子的能量~频率和动量~波长的关系式，引申到 实物粒子。
布罗意获得诺贝尔物理学奖；1937 年，戴维孙和乔治· 佩杰特· 汤姆生因发 现电子在晶体中的衍射现象而获得诺贝尔物理学奖）。
20 世纪30 年代以后，实验进一步发现，不但电子，而且一切实 物粒子，如中子、质子、氦原子和氢分子，甚至大到像 C-60 和C70 这样的大分子的波动性都得到证实，它们的波长都由德布罗意 公式决定，从而进一步证实了德布罗意假设的正确。
1 1 Rhc ' 2 2 (n l ) (m l )
所以碱金属光谱的波数为
～
1 1 v R ' 2 2 (n l ) (m l )
T (n ) T (n )
* *
实验观察表明，碱金属元素的光谱主要分为四个线系 ：
h ( 1 ) 2em0 U
12.2 A 将 e， m0 ，h 等代入得到： U
（c）当 v 与 c （或 Ek E0） 可以相比拟时，要按相对论计算
h h h P P mv m0 v
h
（
1 v 1 2 c
2 2 0
2
）
h 或 P
hc Ek2 2 Ek E0
Review
1、玻尔--索末菲模型：对玻尔的圆轨道模型作出了修正， 提出了椭圆轨道模型，把电子绕核的运动由一维运动推广 为二维运动，并用两个量子数 n，l 来描述这个系统。 n 称为主量子数，且 n=1,2,3……; l 称角量子数，它决定运动系统轨道角动量的大小， 且 n 取定后， l=0，1，2，……，n-1。
（1）德布罗意波：
1924年德国青年物理学家德布罗意提出一切实物粒子（电 子，分子... ）都具有波粒二象性。 一个质量为 m，并以一定速度 v 运动的实物粒子（其动量 为 mv） ，就有一定的波长λ和频率的波与之相对应，这种与 实物粒子相对应的波叫物质波（或德布罗意波），这些量之间 的关系与光波相类似为：
里德伯给出的经验公式：
RhcZ *2 En n2
Rhc En *2 2 n n * Z
Rhc
Z R R R T 2 2 n 2 n n ( ) Z
2
Z* 是价电子感受到的原子实的有效电荷，对于氢原子Z*=1， 对于碱金属原子，由于原子实极化和轨道贯穿效应的存在， 使得Z*>1.
1905年，爱因斯坦，光量子 E h
p
h
（ 1）
E, P v,
------光的波粒二象性
光量子
E h
p
h
（ 1）
光是粒子性和波动性的矛盾统一体。 在干涉、衍射、偏振这些现象上，光显示出波动性； 在涉及能量的问题中，例如黑体辐射、光电效应等问题中， 光又显示出粒子性。 （1）式是光的波粒二象性的数学表示式。 光的波粒二象性在1923 年的康普顿散射实验中直接得到 验证。将在第六章介绍这个实验。
(p c E E )
2 2
电子衍射实验证实了实物粒子（电子）的波动性。 (d) 宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度，
因此宏观物体仅表现出粒子性。
例1 在一束电子中，电子的动能为200eV，求此电子 的德布罗意波长 ？
1 2 v c , E m v 解 k 0 2
v
2 Ek m0
例4、一个光子的德布罗意波长与一个电子的德布罗意波长 皆为5.0埃，此光子的动量与电子的动量之比为——；光子 的动能与电子的动能之比为——。
解： o e 5.0埃
电子的动能：
p
h
po : pe 1 : 1
2 2 2
Ek E E0
2 2
pe c me c 4 me c 2
(n 3,4,5,) (n 4,5,6,)
~ T (3P) T (nD) (n 3,4,5,)
~ T (3D) T (nF)
(n 4,5,6)
l 1
玻尔理论的局限性（困难）：
Atomic Physics 原子物理学
第三章：量子力学导论
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 波粒二象性及实验验证 不确定关系（测不准关系） 波函数及其物理意义 薛定谔方程 氢原子的量子力学处理
因为Z*>1，所以n*<n。令n*=n-△ 实验表明，△与轨道形状 l 有关 那么能级可以表示为 n* ：有效量子数
n* n l
Rhc (n l ) 2
En Enl
hcT
根据玻尔理论，原子内部两能级之间的跃迁产生该原子的谱线：
hv E Em En
解 ∶( 1)
h mv
v
h m
(2)
6.631034 6 1 27 13 3.96 10 m s 1.6710 110
2 eU 1 mv 2
U mv 2e
2
1.6710
27
3.9610
21.61019
6 2
8.18 104V
例5 从德布罗意波导出氢原子玻尔理论中角动量量子化条件。 解 两端固定的弦上引起波动，若其长度等于波长则可形成 稳定的驻波（a）. 将弦逐渐弯曲成圆（半径为 r） 时，则弦上仍是一稳定的驻波 （b）、（c）
（ a）
此时满足： 2π r
只要半径为 r 的周长等于波长的整 数倍是，都可以在弦上形成稳定的 驻波，即有：
E h
P
P h
波动性
h
h P
h mv
… … 著名的德布罗意关系式。 ——德布罗意波波长
（2）德布罗意波长的计算:
（a）若 v << c 则有
1 2
2
h m0 v
（b） 电子经加速电势差 U 加速后，其速度由下式决定：
eU mv0
v c 时
代入德布罗意公式得到电子的德布罗意波波长为：
比如对于钠元素来说，它的四个线系分别是：
~ T (3S ) T (nP) 主线系： 从高P态向3S态跃迁产生；
~ T (3P) T (nS) 锐线系： 从高S态向3P态跃迁产生； （又称第二辅线系）
漫线系： 从高D态向3P态跃迁产生； （又称第一辅线系） 基线系： 从高F态向3D态跃迁产生。 （又称柏格曼系） 原子能级之间的跃迁选择规则：
戴维孙－革末实验
检测器
电子束
54 eV 50
干涉相长条件
d sin n , n 1, 2,
h 1.67 Å 2me Ek
散射强度
d
Ni单晶
电子的物质波经各晶体 原子散射后发生衍射
d 2.15 Å
理论值
n 1 51
电子束在单晶晶体上反射的实验结果符合X射线衍射
例 2、计算质量 m= 0.01kg ，速率 v=300m/s的子弹的德布 罗意 波波长 。 解：
h mv
6.6310 0.01300
34
2.211034 m
例 3、己知：质子的德布罗意波波长 =1×10 -13 m， 求 ∶ (1)质子的速度 ； (2)应通过多大电压使质子加速到以上速度 ？
结束
第三章 量子力学导论
New
玻尔理论的困难，迫使新一代物理学家努力寻找更完整、 更准确、应用面更为广泛的原子理论。一门描述原子的崭新 理论——量子力学在1924-1928年诞生了！ 本章将简要介绍：一些不同于经典物理的一些新思想、 新概念及简单应用。介绍只能“言犹未尽”。
。
物理学全明星梦之队--汇聚了物理学界智慧之脑的“明星照”
（ b）
（c）
2π r n
n 1,2,3,4,
n=8
2π r n
n 1,2,3,4,
电子绕核运动其德布罗意波长为:
2r h n mv
2 π rmv nh
角动量量子化条件:
h L mvr n 2π
4.德布罗意假设的实验验证
1925~1927 年间，戴维孙(（G.J.Davisson）和革末（L.H.Germer ）做了电子在晶体中的衍射实验，实验结果有力的证明了电子的 波动性，并且证明了电子的德布罗意波的公式的正确（ 1929 年，德
2 2
( E p c E0 )
pe h 4.85103 mec 2 mec mece pec
说明Ek很小
Eke
pe 1 2 me v 2 2me
Eo mo c po c
2
2
光子的动能即为总能量：
பைடு நூலகம்
Eo po c 2me c 2me ce 2 2 4.110 pe Ee pe h 2me
1961 年，人们第一次在实验室中实现了电子的双缝干涉实验， 实验原理类似光的杨氏双缝干涉实验。
（1） 戴维孙 - 革末电子衍射实验（1927年）
U
K 电子束 M
电子枪
I
50
检测器 电子探测器
散 射 线
G
35 54 75
U /V
电子被镍晶体衍射实验
当散射角 50 时 电流与加速电压曲线
2 200 1.6 1019 1 6 -1 v m s 8 . 4 10 m s 9.11031
v c
h 6.63 1034 nm 31 6 m0 v 9.110 8.4 10
8.67 10 2 nm
此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当。
中的布拉格公式. 相邻晶面（布拉格面）电子束反射射线干涉加强条件:
. . . . . . . . d sin k . . . . . . . . . . . . . . . . k 1, 50
2
d sin 2
d
2d sin
2 2
2
cos
2
k
镍晶体晶格常数 理论计算：
德 布 罗 意
1927年第五届索尔瓦会议参与者留影--一张聚集了地球上三分之一最智 慧大脑的照片：二十九人中有十七人先后获得诺贝尔奖！
3.1 波粒二象性及实验验证
1、经典物理中的波和粒子
•波和粒子是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式。
•在经典物理中，无法同时用波和粒子这两个概念去描述 同一现象。 •粒子可视为质点，具有完全的定域性，其位臵、动量 可精确测定。
d 2.15 1010 m
d sin 1.65 1010 m
U=54V，Ek=54eV
3. 德布罗意（波粒二象性）假设
1923 年，德布罗意把爱因斯坦的光的波粒二象性的观念推 广到所有的粒子，从而朝量子力学的建立迈开了革命性的一步。 法国物理学家 德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 – 1987 )
1924年在他的博士论文《关于量子理 论的研究》中提出把粒子性和波动 性统一起来。 为量子力学 的建立提供 了物理基础。
2、碱金属原子的光谱 原子的光谱决定于其最外层价电子，碱金属元素的 光谱可以用与氢原子相同的公式来表述。 碱金属原子：带一个正电荷的原子实 + 一个价电子 碱金属原子的基态：-Li、Na、K、Rb、Cs、Fr的基态 依次为：2s、3s、4s、5s、6s、7s。 氢原子和类氢离子的能级
RhcZ 2 En n2
•波具有空间扩展性，其特征量为波长和频率，也可精确测定。
2.光的波粒二象性
1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 十九世纪初，在菲涅耳（A. J. Fresenel）、夫琅和费（ J. Fraunhofer）和杨氏（T. Young）等人证实光的干涉、 衍射的实验之后，光的波动说才为人们普遍承认。 到了十九世纪末，麦克斯韦和赫兹肯定了光是电磁波，这 个时候，光的波动说似乎得到了决定性的胜利。
路易.德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一 样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光 才具有的，实物粒子也具有二象性。
德布罗意说道：“整个世纪（十九世纪）以来，在辐 射理论（光学）中，比起波动的研究方法来，是过于忽视了 粒子的研究方法；在实物粒子的理论上，是否发生了相反的 错误呢？是不是我们把关于“粒子”的图象想的太多，而过 分地忽视了波的图象？” 于是他大胆地提出假设：认为不只是辐射波具有波粒二象 性，一切实物粒子（如电子、原子、分子.......）也具有波粒二 象性。并且把光子的能量~频率和动量~波长的关系式，引申到 实物粒子。
布罗意获得诺贝尔物理学奖；1937 年，戴维孙和乔治· 佩杰特· 汤姆生因发 现电子在晶体中的衍射现象而获得诺贝尔物理学奖）。
20 世纪30 年代以后，实验进一步发现，不但电子，而且一切实 物粒子，如中子、质子、氦原子和氢分子，甚至大到像 C-60 和C70 这样的大分子的波动性都得到证实，它们的波长都由德布罗意 公式决定，从而进一步证实了德布罗意假设的正确。
1 1 Rhc ' 2 2 (n l ) (m l )
所以碱金属光谱的波数为
～
1 1 v R ' 2 2 (n l ) (m l )
T (n ) T (n )
* *
实验观察表明，碱金属元素的光谱主要分为四个线系 ：
h ( 1 ) 2em0 U
12.2 A 将 e， m0 ，h 等代入得到： U
（c）当 v 与 c （或 Ek E0） 可以相比拟时，要按相对论计算
h h h P P mv m0 v
h
（
1 v 1 2 c
2 2 0
2
）
h 或 P
hc Ek2 2 Ek E0
Review
1、玻尔--索末菲模型：对玻尔的圆轨道模型作出了修正， 提出了椭圆轨道模型，把电子绕核的运动由一维运动推广 为二维运动，并用两个量子数 n，l 来描述这个系统。 n 称为主量子数，且 n=1,2,3……; l 称角量子数，它决定运动系统轨道角动量的大小， 且 n 取定后， l=0，1，2，……，n-1。
（1）德布罗意波：
1924年德国青年物理学家德布罗意提出一切实物粒子（电 子，分子... ）都具有波粒二象性。 一个质量为 m，并以一定速度 v 运动的实物粒子（其动量 为 mv） ，就有一定的波长λ和频率的波与之相对应，这种与 实物粒子相对应的波叫物质波（或德布罗意波），这些量之间 的关系与光波相类似为：
里德伯给出的经验公式：
RhcZ *2 En n2
Rhc En *2 2 n n * Z
Rhc
Z R R R T 2 2 n 2 n n ( ) Z
2
Z* 是价电子感受到的原子实的有效电荷，对于氢原子Z*=1， 对于碱金属原子，由于原子实极化和轨道贯穿效应的存在， 使得Z*>1.
1905年，爱因斯坦，光量子 E h
p
h
（ 1）
E, P v,
------光的波粒二象性
光量子
E h
p
h
（ 1）
光是粒子性和波动性的矛盾统一体。 在干涉、衍射、偏振这些现象上，光显示出波动性； 在涉及能量的问题中，例如黑体辐射、光电效应等问题中， 光又显示出粒子性。 （1）式是光的波粒二象性的数学表示式。 光的波粒二象性在1923 年的康普顿散射实验中直接得到 验证。将在第六章介绍这个实验。
(p c E E )
2 2
电子衍射实验证实了实物粒子（电子）的波动性。 (d) 宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度，
因此宏观物体仅表现出粒子性。
例1 在一束电子中，电子的动能为200eV，求此电子 的德布罗意波长 ？
1 2 v c , E m v 解 k 0 2
v
2 Ek m0
例4、一个光子的德布罗意波长与一个电子的德布罗意波长 皆为5.0埃，此光子的动量与电子的动量之比为——；光子 的动能与电子的动能之比为——。
解： o e 5.0埃
电子的动能：
p
h
po : pe 1 : 1
2 2 2
Ek E E0
2 2
pe c me c 4 me c 2
(n 3,4,5,) (n 4,5,6,)
~ T (3P) T (nD) (n 3,4,5,)
~ T (3D) T (nF)
(n 4,5,6)
l 1
玻尔理论的局限性（困难）：
Atomic Physics 原子物理学
第三章：量子力学导论
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 波粒二象性及实验验证 不确定关系（测不准关系） 波函数及其物理意义 薛定谔方程 氢原子的量子力学处理
因为Z*>1，所以n*<n。令n*=n-△ 实验表明，△与轨道形状 l 有关 那么能级可以表示为 n* ：有效量子数
n* n l
Rhc (n l ) 2
En Enl
hcT
根据玻尔理论，原子内部两能级之间的跃迁产生该原子的谱线：
hv E Em En
解 ∶( 1)
h mv
v
h m
(2)
6.631034 6 1 27 13 3.96 10 m s 1.6710 110
2 eU 1 mv 2
U mv 2e
2
1.6710
27
3.9610
21.61019
6 2
8.18 104V
例5 从德布罗意波导出氢原子玻尔理论中角动量量子化条件。 解 两端固定的弦上引起波动，若其长度等于波长则可形成 稳定的驻波（a）. 将弦逐渐弯曲成圆（半径为 r） 时，则弦上仍是一稳定的驻波 （b）、（c）
（ a）
此时满足： 2π r
只要半径为 r 的周长等于波长的整 数倍是，都可以在弦上形成稳定的 驻波，即有：