高三数学考前复习——第2讲 不等式选讲(大题)

高三数学考前复习——第2讲 不等式选讲(大题)

热点一 含绝对值不等式的解法

1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤

(1)求零点.

(2)划区间、去绝对值符号.

(3)分别解去掉绝对值的不等式.

(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.

例1 (2019·四川调研)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －1|.

(1)若正数a ，b 满足a ＋2b ＝f (－1)，求2a ＋1b

的最小值； (2)解不等式f (x )>12

. 解 (1)由题意得a ＋2b ＝f (－1)＝1，

又a >0，b >0，

所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×(a ＋2b )＝4＋4b a ＋a b

≥4＋24＝8.

当且仅当a ＝12，b ＝14

时等号成立. 所以2a ＋1b

的最小值为8. (2)f (x )＝|x －2|－|x －1|.

①当x ≤1时，f (x )＝2－x －(1－x )＝1，

由f (x )>12

，解得x ≤1；

②当112

， 即3－2x >12，解得x <54

， 又1

； ③当x ≥2时，f (x )＝－1不满足f (x )>12

， 此时不等式无解.

综上，不等式f (x )>12

的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，54. 跟踪演练1 设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0.

(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集；

(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值.

解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1，

即|2x －3|＋5x ≥5x ＋1，

即|2x －3|≥1，解得x ≥2或x ≤1，

∴不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}.

(2)由f (x )≤0，得|2x －a |＋5x ≤0，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a 2，7x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x

又a >0，

∴不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ≤－a 3， 由题意得－a 3

＝－1，解得a ＝3. 热点二 含绝对值不等式恒成立(存在)问题

绝对值不等式的恒成立(存在)问题的求解策略

(1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式.

(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )

(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值.

(4)得结论.

例2 (2019·自贡诊断)设函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －1|(x ∈R ).

(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞2的解集；

(2)对任意实数x ∈[2,3]，都有f (x )≥2x －3成立，求实数a 的取值范围.

解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＞2；

当x ≥1时，x ＋1＋x －1＞2，x ＞1，∴x ＞1；

当－1≤x ＜1时，x ＋1＋1－x ＞2，x ∈∅；

当x ＜－1时，－x －1＋1－x ＞2，x ＜－1，∴x ＜－1.

综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).

(2)对任意实数x ∈[2,3]，都有f (x )≥2x －3成立，

即当x ∈[2,3]时，|ax ＋1|＋|x －1|≥2x －3恒成立，

即当x ∈[2,3]时，|ax ＋1|≥x －2恒成立.

根据图1所示，当a ＜0，x ∈[2,3]时，|ax ＋1|≥x －2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧

－1a ≤2，|3a ＋1|≥1，

解得a ≤－23.

根据图2所示，当a ＝0，x ∈[2,3]时，|ax ＋1|≥x －2恒成立，则a ＝0.

根据图3所示，当a ＞0，x ∈[2,3]时，|ax ＋1|≥x －2恒成立，则a ＞0.

综上可知实数a 的取值范围为⎝

⎛⎦⎤－∞，－23∪[0，＋∞). 跟踪演练2 (2019·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2－a |x －1|－1，a ∈R .

(1)当a ＝4时，求函数f (x )的值域；

(2)∃x 0∈[0,2]，f (x 0)≥a |x 0＋1|，求实数a 的取值范围.

解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x 2－4|x －1|－1＝⎩

⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3，x ≥1，x 2＋4x －5，x ＜1， 当x ≥1时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，即此时f (x )≥－1；

当x ＜1时，f (x )＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9≥－9，即此时f (x )≥－9.

综上，f (x )≥－9，即函数f (x )的值域为[－9，＋∞).

(2)由f (x )≥a |x ＋1|等价为x 2－a |x －1|－1≥a |x ＋1|，

即a (|x ＋1|＋|x －1|)≤x 2－1，即a ≤x 2－1|x ＋1|＋|x －1|

在区间[0,2]内有解， 当0≤x ≤1时，a ≤x 2－1|x ＋1|＋|x －1|＝x 2－1

x ＋1＋1－x ＝x 2－12，当0≤x ≤1时，－12≤x 2－12≤0，此时a ≤0；

当1＜x ≤2时，a ≤x 2－1|x ＋1|＋|x －1|＝x 2－1

x ＋1＋x －1

＝x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎫x －1x ，当1＜x ≤2时，0＜12⎝⎛⎭⎫x －1x ≤34，此时a ≤34

； 综上，a ≤34

， 即实数a 的取值范围是⎝

⎛⎦⎤－∞，34. 热点三 不等式的证明

(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明.

(2)对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式.