高三数学考前复习——第2讲 不等式选讲(大题)

高三数学考前复习——第2讲 不等式选讲(大题)热点一 含绝对值不等式的解法1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点.(2)划区间、去绝对值符号.(3)分别解去掉绝对值的不等式.(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.例1 (2019·四川调研)已知函数f (x )＝|x －2|－|x －1|.(1)若正数a ，b 满足a ＋2b ＝f (－1)，求2a ＋1b的最小值； (2)解不等式f (x )>12. 解 (1)由题意得a ＋2b ＝f (－1)＝1，又a >0，b >0，所以2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×(a ＋2b )＝4＋4b a ＋a b≥4＋24＝8.当且仅当a ＝12，b ＝14时等号成立. 所以2a ＋1b的最小值为8. (2)f (x )＝|x －2|－|x －1|.①当x ≤1时，f (x )＝2－x －(1－x )＝1，由f (x )>12，解得x ≤1；②当1<x <2时，f (x )＝3－2x ，由f (x )>12， 即3－2x >12，解得x <54， 又1<x <2，所以1<x <54； ③当x ≥2时，f (x )＝－1不满足f (x )>12， 此时不等式无解.综上，不等式f (x )>12的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，54. 跟踪演练1 设函数f (x )＝|2x －a |＋5x ，其中a >0.(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥5x ＋1的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值.解 (1)当a ＝3时，不等式f (x )≥5x ＋1，即|2x －3|＋5x ≥5x ＋1，即|2x －3|≥1，解得x ≥2或x ≤1，∴不等式f (x )≥5x ＋1的解集为{x |x ≤1或x ≥2}.(2)由f (x )≤0，得|2x －a |＋5x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a 2，7x －a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a 2，3x ＋a ≤0，又a >0，∴不等式f (x )≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 3， 由题意得－a 3＝－1，解得a ＝3. 热点二 含绝对值不等式恒成立(存在)问题绝对值不等式的恒成立(存在)问题的求解策略(1)分离参数：根据不等式将参数分离，化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式.(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值.(4)得结论.例2 (2019·自贡诊断)设函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －1|(x ∈R ).(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞2的解集；(2)对任意实数x ∈[2,3]，都有f (x )≥2x －3成立，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＞2；当x ≥1时，x ＋1＋x －1＞2，x ＞1，∴x ＞1；当－1≤x ＜1时，x ＋1＋1－x ＞2，x ∈∅；当x ＜－1时，－x －1＋1－x ＞2，x ＜－1，∴x ＜－1.综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞).(2)对任意实数x ∈[2,3]，都有f (x )≥2x －3成立，即当x ∈[2,3]时，|ax ＋1|＋|x －1|≥2x －3恒成立，即当x ∈[2,3]时，|ax ＋1|≥x －2恒成立.根据图1所示，当a ＜0，x ∈[2,3]时，|ax ＋1|≥x －2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤2，|3a ＋1|≥1，解得a ≤－23.根据图2所示，当a ＝0，x ∈[2,3]时，|ax ＋1|≥x －2恒成立，则a ＝0.根据图3所示，当a ＞0，x ∈[2,3]时，|ax ＋1|≥x －2恒成立，则a ＞0.综上可知实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[0，＋∞). 跟踪演练2 (2019·成都诊断)已知函数f (x )＝x 2－a |x －1|－1，a ∈R .(1)当a ＝4时，求函数f (x )的值域；(2)∃x 0∈[0,2]，f (x 0)≥a |x 0＋1|，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x 2－4|x －1|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＋3，x ≥1，x 2＋4x －5，x ＜1， 当x ≥1时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，即此时f (x )≥－1；当x ＜1时，f (x )＝x 2＋4x －5＝(x ＋2)2－9≥－9，即此时f (x )≥－9.综上，f (x )≥－9，即函数f (x )的值域为[－9，＋∞).(2)由f (x )≥a |x ＋1|等价为x 2－a |x －1|－1≥a |x ＋1|，即a (|x ＋1|＋|x －1|)≤x 2－1，即a ≤x 2－1|x ＋1|＋|x －1|在区间[0,2]内有解， 当0≤x ≤1时，a ≤x 2－1|x ＋1|＋|x －1|＝x 2－1x ＋1＋1－x ＝x 2－12，当0≤x ≤1时，－12≤x 2－12≤0，此时a ≤0；当1＜x ≤2时，a ≤x 2－1|x ＋1|＋|x －1|＝x 2－1x ＋1＋x －1＝x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎫x －1x ，当1＜x ≤2时，0＜12⎝⎛⎭⎫x －1x ≤34，此时a ≤34； 综上，a ≤34， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34. 热点三 不等式的证明(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明.(2)对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式.(3)对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数).(4)如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法.例3 (2019·内江诊断)已知函数f (x )＝|x －a |＋|x ＋b |(a ＞0，b ＞0).(1)当a ＝1，b ＝2时，解不等式f (x )＜x ＋5；(2)若f (x )的值域为[2，＋∞)，证明：1a ＋1a ＋1＋1b ＋1b ＋1≥3. (1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|＜x ＋5，①当x ＜－2时，不等式可化为－2x －1＜x ＋5，即x ＞－2，无解；②当－2≤x ≤1时，不等式可化为3＜x ＋5，即x ＞－2，得－2＜x ≤1；③当x ＞1时，不等式可化为2x ＋1＜x ＋5，即x ＜4，得1＜x ＜4.综上，不等式的解集为{x |－2＜x ＜4}.(2)证明 f (x )＝|x －a |＋|x ＋b |≥|a ＋b |，∵f (x )的值域为[2，＋∞)，a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝2，故a ＋1＋b ＋1＝4，∴1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝12⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋2≥12(2＋2)＝2，当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时等号成立. 1a ＋1＋1b ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1＋b ＋1a ＋1＋a ＋1＋b ＋1b ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＋1＋a ＋1b ＋1＋2≥14(2＋2)＝1，当且仅当b ＋1a ＋1＝a ＋1b ＋1， 即a ＝b 时等号成立.∴1a ＋1a ＋1＋1b ＋1b ＋1≥3. 跟踪演练3 (2019·绵阳诊断)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋m |.(1)当m ＝1时，解不等式f (x )≥3；(2)证明：对任意x ∈R ,2f (x )≥|m ＋1|－|m |.(1)解 当m ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，①当x ≤－1时，f (x )＝－3x ≥3，解得x ≤－1；②当－1＜x ＜12时，f (x )＝－x ＋2≥3，解得x ≤－1，与－1＜x ＜12矛盾，舍去； ③当x ≥12时，f (x )＝3x ≥3，解得x ≥1. 综上，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}.(2)证明 2f (x )＝|4x －2|＋|2x ＋2m |＝|2x －1|＋|2x －1|＋|2x ＋2m |≥|2x －1|＋|2x ＋2m |≥|2x ＋2m －2x ＋1|＝|2m ＋1|＝|(m ＋1)＋m |≥|m ＋1|－|m |，∴对任意x ∈R ,2f (x )≥|m ＋1|－|m |.真题体验(2019·全国Ⅲ，理，23)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. (1)解 由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知，得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43， 当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时，等号成立. 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)证明 由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)]≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知，得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23， 当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时，等号成立.因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23. 由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1. 押题预测已知函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤9；(2)若不等式f (x )＜2x ＋a 的解集为A ，B ＝{x |x 2－3x ＜0}，且满足B ⊆A ，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )≤9可化为|2x －4|＋|x ＋1|≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞2，3x －3≤9或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，5－x ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－3x ＋3≤9， 解得2＜x ≤4或－1≤x ≤2或－2≤x ＜－1，所以不等式的解集为[－2,4].(2)易知B ＝(0,3)，因为B ⊆A ，所以|2x －4|＋|x ＋1|＜2x ＋a 在x ∈(0,3)上恒成立；即|2x －4|＜x ＋a －1在x ∈(0,3)上恒成立，即－x －a ＋1＜2x －4＜x ＋a －1在x ∈(0,3)上恒成立， ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞x －3，a ＞－3x ＋5，在x ∈(0,3)恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ≥5，所以a ≥5. 所以实数a 的取值范围是[5，＋∞).A 组 专题通关1.(2019·济南模拟)已知实数a >0，b >0，函数f (x )＝|x －a |－|x ＋b |的最大值为3.(1)求a ＋b 的值；(2)设函数g (x )＝－x 2－ax －b ，若对于任意的x ≥a 均有g (x )<f (x )，求a 的取值范围.解 (1)f (x )＝|x －a |－|x ＋b |≤|x －a －x －b |＝|a ＋b |＝3，∵a >0，b >0，∴a ＋b ＝3，(2)由(1)得，0<a <3,0<b <3，∴对于任意的x ≥a ，x －a ≥0，x ＋b >0，此时f (x )＝x －a －x －b ＝－3，若对于任意的x ≥a 均有g (x )<f (x )，即x 2＋ax ＋b －3>0在[a ，＋∞)上恒成立，即x 2＋ax －a >0在[a ，＋∞)上恒成立，对称轴x ＝－a 2<0， 故只需a 2＋a 2－a >0即可，解得a >12，故12<a <3. ∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，3.2.(2019·桂林、崇左联考)已知函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －1，x ≥1，x ＋1，x ＜1.当x ≥1时，由f (x )≥2，即3x －1≥2，解得x ≥1；当x ＜1时，由f (x )≥2，即x ＋1≥2，解得x ≥1不成立，综上所述，当a ＝1时，不等式f (x )≥2的解集为[1，＋∞).(2)记h (x )＝|f (2x ＋a )－2f (x )|＝2||x |－|x －a |＋a |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x ≤0，4x ，0＜x ＜a ，4a ，x ≥a .∴|f (2x ＋a )－2f (x )|max ＝4a .依题意得4a ≤2，∴a ≤12. ∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12. 3.(2019·全国Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明：(1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，且abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c . 所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2. (2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33(a ＋b )3(b ＋c )3(a ＋c )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.B 组 能力提高4.已知函数f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|.(1)求f (x )>－5的解集；(2)若关于x 的不等式|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ，b ∈R ，a ≠0)能成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|＝⎩⎨⎧ x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，3－x ，x >12，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x <－2，x －3>－5或⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤12，3x ＋1>－5或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，3－x >－5， 解得x ∈(－2,8)，故f (x )>－5的解集为(－2,8).(2)由|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立， 得|b ＋2a |－|2b －a ||a |≥|x ＋1|＋|x －m |能成立， 即⎪⎪⎪⎪b a ＋2－⎪⎪⎪⎪2b a －1≥|x ＋1|＋|x －m |能成立，令b a＝t ， 则|t ＋2|－|2t －1|≥|x ＋1|＋|x －m |能成立，即(|t ＋2|－|2t －1|)max ≥(|x ＋1|＋|x －m |)min .由(1)知，|t ＋2|－|2t －1|≤52， 又∵|x ＋1|＋|x －m |≥|1＋m |，当且仅当(x ＋1)(x －m )≤0时等号成立，∴|1＋m |≤52， ∴－72 ≤m ≤32， ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－72，32. 5.已知函数f (x )＝|2x －2|－|x ＋1|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≥ax ＋b 的解集是实数集R ，求2a ＋b 的取值范围. 解 (1)将f (x )去掉绝对值转化为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－1，－3x ＋1，－1≤x <1，x －3，x ≥1，作出它的图象如图1所示.(2)如图2，点A 的坐标为(1，－2)，“不等式f (x )≥ax ＋b 的解集是实数集R ”等价于“对任意的x ∈R ，f (x )≥ax ＋b 都成立”，等价于“函数f (x )图象上所有的点都在直线y ＝ax ＋b 的上方或在直线y ＝ax ＋b 上”，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤1，a ×1＋b ≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a <0，a ×1＋b ≤－2，整合三类情形得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤a ≤1，a ＋b ＋2≤0.在平面直角坐标系aOb 中作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，a ＋b ＋2≤0表示的可行域，如图3所示.记2a ＋b ＝z ，即b ＝－2a ＋z ，当直线l ：b ＝－2a ＋z 经过B (1，－3)时，直线l 在y 轴上的截距最大，(2a ＋b )max ＝z max ＝2×1－3＝－1，从图形可知，截距z 的取值范围是(－∞，－1]，所以2a ＋b 的取值范围是(－∞，－1].。