高三数学阶段性测试卷(附答案)

高三数学阶段性测试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

(1)若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N*}，Q＝{y｜y＝5n＋2，n∈N*}，则P∩Q＝( B)

A.{x｜x＝15k－7，k∈N*}

B.{x｜x＝15k－8，k∈N*}

C.{x｜x＝15k＋8，k∈N*}

D.{x｜x＝15k＋7，k∈N*}

(2)已知tan160o＝a，则sin2000o的值是( A)

A.

a

1＋a2

B.－

a

1＋a2

C.

1

1＋a2

D.－

1

1＋a2

(3)等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( B)

A.66

B.99

C.144

D.297

(4)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是( C )

A.(－∞，－4) (1，∞)

B.[－4，1]

C.(－∞，－4] [1，∞)

D.(－4，1)

(5)设函数f(x)＝1－x2＋log1

2

(x－1)，则下列说法正确的是( D)

A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值

B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值

C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值

D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值

(6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1＋k，2＋k－k2)，若a⊥b，则实数k为( B)

A.－1

B.0

C.－1或0

D.－1或4

(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域

y( C)

A B C D

(8)在直角坐标系中，函数y ＝－21－(x －1)2的图像关于直线y ＝x 的对称曲线为 ( D )

(9)已知定义在实数集上的函数)(x f 满足f

(x ＋1)＝x 2

＋2，则f －

1(x ＋1)的表达式是 ( B )

A.2x －2

B.2x －1

C.2x ＋2

D.2x ＋1

(10)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且对任意实数x 都有f (x )＝f (－m －x )，其中m ∈(0，2)，那么( B ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C.f (0)＜f (2)＜f (－2) D.f (2)＜f (0)＜f (－2) (11) 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π

6

]时的值域是 ( D )

A. [0，

6

2] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] (12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C )

A.7个

B.8个

C.9个

D.10个 二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

(13)已知命题p ：不等式｜x ｜＋｜x －1｜＞a 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q

中有且仅有一个为真命题，则实数a 的取值范围是 [1，2） ． (14)计算：2cos10o －sin20o cos20o

＝

(15)已知f (x )＝2x ＋3x －1，若函数y ＝g (x )的图象与y ＝f －

1(x )＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则g (3)＝__7_．

(16)给出四个命题①函数y ＝a |x |与y ＝log a |x |的图象关于直线y ＝x 对称(a ＞0，a ≠1)；②函数y ＝a |x |与y

B C

D

＝(1

a )|x |的图象关于y 轴对称(a ＞0，a ≠1)；③函数y ＝log a |x |与log 1a |x |的图象关于x 轴对称(a ＞0，a ≠1)；④函数y ＝f (x )与y ＝f

－1

(x ＋1)的图象关于直线y ＝x ＋1对称，其中正确的命题是 ③ ．

三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝1

2(sin ωx ＋a cos ωx )(a ∈R ，0＜ω≤1)满足：f (x )＝f (

π3

－x )，f (x －π)＝f (x ＋π)． （I ）求f (x )的解析式；

（II ）若m 2－4n ＞0，m ，n ∈R ，求证：“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f （x ）]2＋mf (x )＋n ＝0在区间(－5π6，π

6

)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．

解：（I ）由f (x －π)＝f (x ＋π)知f (x )＝f (x ＋2π)，即函数f (x )的周期为2π．

∵ f （x ）＝12（sin ωx ＋a cos ωx ）＝a 2＋12sin （ωx ＋ϕ），其中sin ϕ＝a a 2＋1，cos ϕ＝1a 2＋1，

∴

2π

|ω|

≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ ω＝1． 又∵ f （x ）＝f （π3－x ），∴ f （0）＝f （π

3

），

即 12（sin0＋a cos0）＝1

2（sin π3＋a cos π3），解得 a ＝3，∴ f （x ）＝sin （x ＋π3）． (II)显然，x ∈（－5π6，π6）等价于x ＋π3∈（－π2，π2）．

令u ＝x ＋π

3

，f (x )＝t ，g (t )＝t 2＋mt ＋n ，则f (x )＝sin u ，

由｜m ｜＋｜n ｜＜1得｜m ＋n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴ m ＋n ＞－1． 同理由｜m －n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1得m －n ＜1． ∴ g (1)＝m ＋n ＋1＞0，g (－1)＝1－m ＋n ＞0． 又∵｜m ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴－m

2

∈（－1，1）．

又∵Δ＝m 2－4n ＞0，∴ 一元二次方程t 2＋mt ＋n ＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根． ∵ 函数y ＝sin u （u ∈（－

π2，π2））与u ＝x ＋π3（x ∈（－5π6，π6

））都是增函数， ∴ [f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π

6

）内有两个不等实根．

∴ “｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π

6）内有两个不等实根”的充

分条件．