高三数学阶段性测试卷(附答案)

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2023届河北省高三上学期阶段性检测一数学试卷及答案

2022--2023学年第一学期第一次阶段测试卷高三数学考试说明：1.本试卷共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,3A =-，2=12B x x ≤-⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（）A.{}1- B.{}1,1- C.{}1,1,2- D.{}1,1,2,3-2.已知命题p ：N x ∃∈，e <0x （e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（）A.N x ∀∈，e <0xB.N x ∀∈，e >0xC.N x ∃∈，e 0x ≥ D.N x ∀∈，e 0x ≥3.设0.3log a =，b =，0.10.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b a c<< B.c a b<< C.a c b << D.c b a<<4.下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是（）A.xy -=B.13log y x =C.y =D.12y x =-5.已知函数()cos f x x =，()()14g x x f x '=+，则()g x 的图像大致是（）A.B.C.D.6.已知函数()41sin cos 55f x x x =+，当x β=时，()f x 取得最大值，则cos β=（）A.17B.17C.47D.177.已知函数()=y f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()2f x x x =+，则当[]4,6x ∈时，()=f x （）A.2712x x -+B.2920x x -+-C.2712x x -+- D.2920x x -++8.已知函数()()πsin 03f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ωω，设甲：函数()f x 在区间ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，乙：ω的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

江苏省连云港市灌南县第二中学2023-2024学年高三上学期阶段性测试一数学试卷(含解析)

灌南县第二中学数学阶段性测试姓名：班级：学号：一．单选题1．函数f （x ）＝lg （x 2+3x +2）的定义域是（） A ．（﹣2，﹣1） B ．[﹣2，﹣1] C ．（﹣∞，﹣2）⋃（﹣1，+∞） D ．（﹣∞，﹣2]⋃[﹣1，+∞） 2．设集合A ＝{x |x ＞1}，集合，则（∁R A ）∩B ＝（） A ．B ．C ．{x |x ≤1}D ．3．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（） A ．B ．a 2＜b 2C ．a |c |＞b |c |D ．的值为（）则已知函数)4(,0),3(0,12)(.42f x x f x x x f ⎩⎨⎧>-≤+= 3.A 9.B 19.C 33.D的最小值为则已知121,0,0,1.5++>>=+y xx x y y x （）45.A 0.B 1.C 22.D6．若不等式mx 2+mx ﹣4＜2x 2+2x ﹣1对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣2，2）B ．（﹣10，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）7.若集合A={x|2a +1≤x ≤3a -5},B={x|5≤x ≤16},则能使A ⊆B 成立的所有a 组成的集合为 ( )A.{a |2≤a ≤7}B.{a |6≤≤7}C.{a |a ≤7}D.{a |a<6}8.已知方程05)2(2=-+-+m x m x 有两个不相等的实数根,且两个实数根都大于2,则实数m 的取值范围是 ( )A.(-5,-4)∪(4,+∞)B.(-5,+∞)C.(-5,-4)D.(-4,-2)∪(4,+∞) 二．多选题9．“关于x 的不等式ax 2﹣4ax +4＞0对∀x ∈R 恒成立”的一个充分不必要条件是（） A ．B ．0＜a ＜1C ．0≤a ＜1D ．a ≥010．已知实数x ，y 满足﹣1≤x +y ≤3，4≤2x ﹣y ≤9，则4x +y 可能取的值为（） A ．1B ．2C ．15D ．1611．下列命题中正确的是（）A ．命题：“∀x ≥0，x 2≥0”的否定是“∃x ＜0，x 2＜0”B ．函数f （x ）＝a x ﹣4+1（a ＞0且a ≠1）恒过定点（4，2）C ．已知函数f （2x +1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f （x ）的定义域为[﹣1，3]D ．若函数，则f （x ）＝x 2﹣x ﹣2（x ≥﹣1） 12．下列命题中的真命题有（） A ．当x ＞1时，的最小值是3B ．的最小值是2C ．当0＜x ＜10时，的最大值是5D ．若正数x ，y 为实数，若x +2y ＝3xy ，则2x +y 的最大值为3 三．填空题的最小值为则，且，已知21131,73231.13-+-=+>>y x y x y x ．的取值范围为则已知y x y x -<<-<<,31,42.14 ．15．若函数f （x ）＝lg （x 2﹣mx +1）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是．. 则实数,123+234,=+满足,实数16.2取值范围为的恒成立且不等式若正m m m yx y x y x --≥+四、解答题17.已知二次函数y ＝f （x ）的图象过点A （1，1），不等式f （x ）＞0的解集为（0，2）．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数y ＝f （x ）图象的顶点在函数g （x ）＝b （x ﹣m ）2+f （m ）（m ≠1）图象上，求关于x 的不等式g （x ）＜（2﹣m ）x 的解集．18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的中点.(1)求证：PB 平面AEC ；(2)设PA=AB=1，求平面AEC 与平面AED 夹角的余弦值.．已知ABC 的内角；6，求ABC 面积的最大值．(n na ++=21．已知函数()ln f x x ax =-，()()211g x a x =+-，()R a ∈.(1)当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当()()()2h x f x g x =-时，讨论()h x 的单调性.22．已知双曲线C 的渐近线为430x y ±=，右焦点为()5,0F ，右顶点为A . (1)求双曲线C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点（与点A 不重合），当0AM AN ⋅=时，求直线l 的方程.参考答案1. C2.A3.D4.B5.A6.B7.C8. C9.AB 10.BC 11.BCD 12.AC13.1 14.(-1,5) 15.(-2,2) 16.[-1,3]17.解：（1）因为f（x）＞0的解集为（0，2），所以设f（x）＝ax（x﹣2），因为f（1）＝﹣a＝1，所以a＝﹣1，所以f（x）＝﹣x（x﹣2）；（2）由（1）可知f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣（x﹣1）2+1，函数y＝f（x）的顶点（1，1）在g（x）的图象上，则g（1）＝b（1﹣m）2﹣m（m﹣2）＝1，则b（m﹣1）2＝（m﹣1）2，m≠1，所以b＝1，所以g（x）＝（x﹣m）2﹣m（m﹣2）＜（2﹣m）x，整理为：x2﹣（m+2）x+2m＜0，即（x﹣2）（x﹣m）＜0，当m＞2时，不等式的解集为（2，m），当m＝2时，不等式的解集为∅，当m＜2且m≠1时，不等式的解集为（m，2），综上，当m＞2时，不等式的解集为（2，m），当m＝2时，不等式的解集为∅，当m＜2且m≠1时，不等式的解集为（m，2）．18.【详解】（1）如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点，E为PD的中点，OE PB∴∥AEC PB⊄平面AEC，又OE⊂平面,∴平面AEC.PB（2）方法一：由于CD AD ⊥,,ADPA A AD PA =⊂平面AE ⊂平面PAD ,所以CD AE ⊥由于,PA AD E =为PD 中点，所以因此CED ∠即为平面AEC 与平面由于1,CD ED =22⎝⎭(110,,,1,1,022AE AC ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭平面ADE 的法向量为(1,0,0AB =设平面AEC 的法向量为(,,n x y z =0,0,AE AC ⋅=⋅=即(1,n ∴=-1,13AB n =⨯设平面AEC 与平面ADE3,3AB n =，与平面ADE 夹角的余弦值为）由正弦定理可得3,sin 0,A A ≠π3⎫=⎪，由于所以π3B -=2ac +，，当且仅当a =(n na ++=222a S +=()1n n a -++-()122n n S --+也适合上式，所以)2，故数列()1n ++-()1n ++-122222n n =+++-)12+.定义域为()0,∞+，(f '，77而()(1123,,AM x y AN x =-=-，则(1AM AN x ⋅=-()212122(3)x x m x x m +-+++)214418(7m m ++化简得27542250m m --=，即75)(3)0m +=，而75。

北京市第四中学2023-2024学年高三下学期阶段性测试(零模)数学试题(解析版)

高三数学（试卷满分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{|03}A x x =≤≤，3{|log 1}B x x =<，则A B ⋃=（）A.[0,3]B.[0,3)C.(0,3)D.(0,3]【答案】A 【解析】【分析】先解对数函数不等式化简集合B ，然后利用并集运算求解即可.【详解】因为3log 1{|}{|03}B x x x x =<=<<，又{|03}A x x =≤≤，所以A B ⋃=[]{|03}0,3x x ≤≤=.故选：A2.在复平面内,复数(2)i i -对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A 【解析】【详解】试题分析：()212i i i -=+，对应的点为()1,2，在第一象限考点：复数运算3.命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x =-”的否定是（）A.()0,x ∃∈+∞，ln 1x x ≠-B.()0,x ∃∉+∞，ln 1x x =-C.()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D.()0,x ∀∉+∞，ln 1x x =-【答案】C 【解析】【分析】结合特称命题的否定的方法即可.【详解】命题“()0,x ∃∈+∞，ln 1x x =-”的否定是()0,x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-.故选：C4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 是双曲线22:12y C x -=的两个焦点，点M 在C 上，且120MF MF ⋅= ，则12F F M △的面积为（）A.B.2C.D.4【答案】B 【解析】【分析】利用双曲线的几何性质求解即可.【详解】因为点M 在C 上，12,F F 是双曲线的两个焦点,由双曲线的对称性不妨设12MF MF >，则1222MF MF a -==①，122F F c ===，因为120MF MF ⋅=，所以12MF MF ⊥，由勾股定理得222121212MF MF F F +==②，①②联立可得11MF =+，21MF =，所以1212122F F M S MF MF == ，故选：B5.函数()2xf x x =+，()2log g x x x =+，()h x x =+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c ，的大小顺序为（）A.a b c >>B.b a c>> C.b c a >> D.c a b>>【答案】C 【解析】【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合求解即可.【详解】令()0f x =，即2x x =-，令()0g x =，即2log x x =-，令()0h x =x =-，分别作出2xy =，2log y x =，y =和y x =-的图象，如图所示：由图象可知：0c =，所以b c a >>.故选：C .6.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是圆()()22:341C x y -+-=上的动点．若(),0A a -，(),0B a ，0a ≠，则PA PB +的最大值为（）A.16B.12C.8D.6【答案】B 【解析】【分析】根据题意得到2PA PB PO +=，max1PO OC =+ ，即可得到答案.【详解】因为2PA PB PO +=，max116POOC =+== ，所以max12PA PB +=.故选：B7.在无穷项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，则“{}n a 既有最大值，又有最小值”是“{}n S 既有最大值，又有最小值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】设出公比为()0q q ≠，分10a >且1q >，10a >且01q <<，10a <且1q >，10a <且01q <<，10a <且10q -<<，10a <且10q -<<，1q <-及1q =±等情况，进行分类讨论，从而得到答案.【详解】设公比为()0q q ≠，当10a >，1q >时，110n n a a q -=>，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=->，故10n n a a +>>，所以{}n a 为单调递增数列，此时{}n a 无最大值，{}n S 无最大值，当10a >，01q <<时，110n n a a q -=>，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，故10n n a a +<<，所以{}n a 为单调递减数列，此时{}n a 无最小值，{}n S 无最大值，当10a <时，1q >时，110n n a a q -=<，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，故10n n a a +<<，所以{}n a 为单调递减数列，此时{}n a 无最小值，{}n S 无最小值，当10a <时，01q <<时，110n n a a q -=<，此时()11111110n n n n n a a a q a qa q q --+-=-=->，故10n n a a +>>，所以{}n a 为单调递增数列，此时{}n a 无最大值，{}n S 无最小值，当10q -<<时，11n n a a q-=，{}n a 为摆动数列，且()11111110nn n n n a a a q a q a qq --+-=-=-<，故1n n a a +<，所以随着n 的增大，11n n a a q -=趋向于0，故{}n a 有最大值，也有最小值，若10a >且10q -<<，()1101nn a q S q-=>-，111n n n n S a S a q ++-==，当n 为奇数时，1n n S S +<，当n 为偶数时，1n n S S +>，且随着n 的增大，()111nn a q S q-=-趋向于11a q-，其中111011a a q S q q -=<--，()21112110111a a a q S a q q q q -=-+=>---，故111a S q <-且121a S q>-，故{}n S 有最大值1S ，也有最小值2S ，若10a <且10q -<<，()1101nn a q S q-=<-，111n n n n S a S a q ++-==，当n 为奇数时，1n n S S +>，当n 为偶数时，1n n S S +<，且随着n 的增大，()111nn a q S q-=-趋向于11a q-，其中111011a a q S q q -=>--，()21112110111a a a q S a q q q q-=-+=<---，故111a S q >-且121aS q<-，故{}n S 有最大值2S ，也有最小值1S ，当1q <-时，11n n a a q-=，{}n a 为摆动数列，且()11111110n n n n n a a a q a q a qq --+-=-=->，故1n n a a +>，所以随着n 的增大，11n n a a q -=趋向于正无穷或负无穷，故{}n a 无最大值，也无最小值，此时{}n S 无最大值，无最小值，当1q =时，{}n a 为常数列，此时{}n a 有最大值，也有最小值，此时{}n S 无最大值或无最小值，故充分性不成立，当1q =-时，{}n a 有最大值，也有最小值，此时{}n S 有最大值和最小值，综上，当{}n S 既有最大值，又有最小值时，{}n a 既有最大值，又有最小值，必要性成立，故“{}n a 既有最大值，又有最小值”是“{}n S 既有最大值，又有最小值”的必要不充分条件.故选：B8.在ABC 中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（）A.31010 B.1010C.1010-D.31010-【答案】C 【解析】【详解】试题分析：设2,2,sin cos ,sin ,cos cos2AD a AB CD a AC a A ααββ=⇒=⇒==⇒10cos()10αβ=+=-,故选C.考点：解三角形.9.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是棱1CC 的中点，P 是正方体表面上的一点，若1D P AF ⊥，则线段1D P 长度的最大值是（）A. B.344C.32D.【答案】C 【解析】【分析】通过线面垂直的性质找到点P 的轨迹，然后利用梯形的性质求解即可.【详解】连接1111,,,AC BD A C B D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111D C B A ，四边形1111D C B A 是正方形，因为11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111AA B D ⊥，又1111AC B D ⊥，1111AA AC A ⋂=，且1AA ⊂平面11AACC ，11AC ⊂平面11A ACC ，所以11B D ⊥平面11A ACC ，因为AF ⊂平面11A ACC ，所以11B D AF ⊥，所以当点P 在线段11B D （点1D 除外）时，1D P AF ⊥，取BC 的中点E ，连接1,BF B E ，在正方形11B BCC 中，因为E 为BC 的中点，F 是棱1CC 的中点，所以1BF B E ⊥，因为AB ⊥平面11B BCC ，1B E ⊂平面11B BCC ，所以1AB B E ⊥，因为AB BF B = ，且AB ⊂平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以1B E ⊥平面ABF ，又AF ⊂平面ABF ，所以1B E AF ⊥，因为1111B E B D B = ，且11B D ⊂平面11D B E ，1B E ⊂平面11D B E ，所以AF ⊥平面11D B E ，设平面11D B E ⋂平面ABCD GE =，则11//GE D B ，所以//GE DB ，则G 是棱CD 的中点，所以当点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面线段1111D B B E EG GD ---上时，1D P AF ⊥,由题意可知，在梯形11D GEB 中，11D B =1152D G B E ==，22EG =，132D E ===，所以线段1D P 长度的最大值是132D E =.故选：C10.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C ,的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 ,,AB BCCA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（）A.123x x x >>B.132x x x >>C.231x x x >>D.321x x x >>【答案】C 【解析】【分析】根据每个三岔路口驶入与驶出相应的环岛路段的车辆数列出等量关系，即可比较出大小．【详解】依题意，有13350555x x x =+-=-，所以13x x <，同理，211302010x x x =+-=+，所以12x x <，同理，32230355x x x =+-=-，所以32x x <，所以132x x x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查不等关系的判断，属于基础题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.已知等差数列{}n a 满足12a =，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则d =______.【答案】4【解析】【分析】由等差数列通项公式结合等比数列性质计算求解即可.【详解】因为11252,,,a a a a =成等比数列，所以2215a a a =，即()()22224d d +=+，即240d d -=，解得4d =或0d =（舍）.故答案为：412.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________．（用数字作答）【答案】15【解析】【详解】621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()122123166C 1C 1r r r r r rr r T x x x ---+=-⋅⋅=-⋅，令1230r -=，4r =，故该展开式中的常数项为46C 15=，故答案为15．【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C rn rr r n T ab -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13.抛物线24x y =-的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离为___________.【答案】12##0.5【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标、双曲线的渐近线方程，再利用点到直线距离公式计算即得.【详解】抛物线24x y =-的焦点(0,1)F -，双曲线2213y x -=的渐近线方程为y =，所以点F到直线0y -=的距离为12d ==.故答案为：1214.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P （P 不在坐标轴上）．过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记()f α为点M 到直线OP 的距离，则()f α的最大值为___________，此时α的一个取值为___________.【答案】①.12##0.5②.π4（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义得(cos ,sin )P αα，再利用等面积法求得()f α，借助正弦函数性质求得答案.【详解】依题意，(cos ,sin )P αα，R α∈且π,Z 2k k α≠∈，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得11()|cos |sin ||sin 2|22|f αααα=⋅=≤，当且仅当sin 21α=-或sin 21α=，即π2π,Z 2k k α=+∈，ππ,Z 42k k α=+∈时取等号，所以()f α的最大值为12，ππ,Z 42k k α=+∈.故答案为：12；π415.设n 是正整数，且2n ≥，数列{}{},k k a b 满足：()10a a a =>，()211,2,,1kk k a a a k n n+=+=⋅⋅⋅-，()11,2,,k k b k n a n==⋅⋅⋅+，数列{}k b 的前k 项和为k S .给出下列四个结论：①数列{}k a 为单调递增数列，且各项均为正数；②数列{}k b 为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，{}1,2,,1k n ∈⋅⋅⋅-，111k k S a a +=-；④对任意正整数{}1,2,,k n ∈⋅⋅⋅，1k S <.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】由210k k k a a a n+-=>和10a >可确定①正确；由10k k b b +-<知②错误；根据已知等式可得11111k k k k a n a a a ++⋅=-及1k k k a a n a n ++=，推导得到111k k k b a a +=-，加和可得③正确；由已知等式可推导得到1111k k a a n +->-，累加得到1111k a a+>-，进而得到1k S <，知④正确.【详解】对于①，，()10a a a => ，210k k k a a a n +∴-=>，∴数列{}k a 为单调递增数列，10a > ，0k a ∴>，即数列{}k a 各项均为正数，①正确；对于②，()()111111k k k k k k k k a a b b a n a n a n a n ++++--=-=++++，由①知：10k a n ++>，0k a n +>，10k k a a +-<，∴数列{}k b 单调递减数列，②错误；对于③，由21k k k a a a n +=+得：21k k ka a a n +=-，11111k k k k a n a a a ++∴⋅=-又11k k k k a a a n a n n ++=+=，11111k k k k k k a b a n na a a ++∴===-+，122311111111111111k k k k k S a a a a a a a a a a +++∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-=，③正确；对于④，由21k k k a a a n +=+得：()1111k k k k k n a a a n a a n +==-++，11111k k k a a a n n +∴-=->-+，1112111111111111k k kkk a a a a a a a a a ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111k a a +∴-<-，1111111k a a a a+∴-<+-=，即1k S <，④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式研究数列相关性质及前n 项和的问题；求解关键是能够对已知递推关系式进行变形，得到111k k k b a a +=-、1111k k k a a a n+-=-+等关系式，结合累加法、放缩法来进行求解.三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数1()cos cos )2f x x x x =-+.（1）求π()3f 的值；（2）当π[0,2x ∈时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围．【答案】（1）1；（2）1(1,)2--.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再代入求值即可；（2）由x 的取值范围求出π26x -的取值范围，从而得到函数的值域，由()2c f x c <<+，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）()21cos cos +2f x x x x-1=sin 2cos222x x -π=sin(2)6x -，所以π()13f =.（2）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭.由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-.所以实数c 的取值范围为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭.【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数的性质的应用，属于基础题.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面π,//,32ABCD AD BC ABC PA PB ∠===，1,2,3BC AB AD ===，点O 是AB的中点．（1）求证：PO CD ⊥；（2）求直线CP 与平面POD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质及线面垂直的性质推理即得.（2）以点O 为原点建立空间直角坐标系，求出相关点及向量的坐标，利用空间向量求出线面角的正弦.【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，由PA PB =，点O 是AB 的中点，得PO AB ⊥，而平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥.【小问2详解】在平面ABCD 内过点O 作Oy AB ⊥，由（1）知直线,,OB Oy OP 两两垂直，以点O 为原点，直线,,OB Oy OP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，由π//,,32AD BC ABC PA PB ∠===，1,2,3BC AB AD ===，得PO ==则(0,0,0),(1,1,0),(1,3,0)O P C D -，(1,1,(1,3,0)PC OP OD =-==-，设平面POD 的一个法向量(,,)n x y z =，则030n OP n OD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，得(3,1,0)n = ，所以直线CP 与平面POD所成角的正弦值为||2|cos ,|5||||n PC n PC n PC ⋅〈〉==.18.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻1月1日7∶364月9日5∶467月9日4∶5310月8日6∶171月12日7∶314月28日5∶197月27日5∶0710月26日6∶362月10日7∶145月16日4∶598月14日5∶2411月13日6∶563月2日6∶476月3日4∶479月2日5∶4212月1日7∶163月22日6∶156月22日4∶469月20日5∶5912月20日7∶31表2：某年2月部分日期的天安门广场升旗时刻表日期升旗时刻日期升旗时刻日期升旗时刻2月1日7∶232月11日7∶132月21日6∶592月3日7∶222月13日7∶112月23日6∶572月5日7∶202月15日7∶082月25日6∶552月7日7∶172月17日7∶052月27日6∶522月9日7∶152月19日7∶022月29日6∶49（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7∶00的概率；（2）甲，乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立．记X为这两人中观看升旗的时刻早于7∶00的人数，求X的分布列和数学期望()E X；（3）将表1和表2中的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7∶31化为31760）．记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2*s，判断2s与2*s的大小﹒（只需写出结论）【答案】（1）3 4（2）分布列见解析，()2 3E X=（3）22*s s<【解析】【分析】（1）记事件A为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，由此能求出从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00的概率；（2）X 可能的取值为0，1，2，记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则51()153P B ==．2(1()3P B P B =-=，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）由方差性质推导出22*s s <．【小问1详解】记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，()P A ∴153204==．【小问2详解】X 可能的取值为0，1，2．记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则51()153P B ==．2(1()3P B P B =-=．4(0)(()9P X P B P B ===，()121241C 339P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1(2)()()9P X P B P B ==⋅=，所以X 的分布列为：X012P 4949194412()0129993E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由表1所有升旗时刻对应数据比较集中，而表2所有升旗时刻对应数据比较分散，可得22*s s <．19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为()2,0A -，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形，过点()1,0P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点P 且平行于AM 的直线交直线52x =于点Q ，求证：直线NQ 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意列关于,,a b c 的方程组，即可得到结果；（2）设方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线MN 方程和椭圆的方程可得()121232my y y y =+，表示出直线NQ 方程，对称性可知直线NQ 恒过的定点在x 轴上，令0y =，将()121232my y y y =+代入化简即可得出答案.【小问1详解】由题意得，2,a b ==，所以222244b c c a +===，解得1c =，所以23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题意直线MN 过点()1,0P 且斜率不为0，故设直线MN 方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()2234690m y my ++-=，所以122122Δ0634934m y y m y y m ⎧⎪>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，所以()121232my y y y =+，因为112AM PQ y k k x ==+，则PQ ：()1112y y x x =-+，令52x =，解得11324yy x =+，所以1135,224y Q x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故直线QN 的方程为：()12122232452y y x y y x x x -+-=--，根据对称性，直线QN 所过的定点在x 轴上，不妨令0y =，则222211221121221510532332424y x y y x y x x x y y y x y y x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=+=---+，将11221,1x m y x m y =+=+代入得所以()()()()()2211221122112212121212121221051311533153218232143623639y y my y my y y y y y y my y y x y y my y y y my y y y y y y --+++-+-+-+--=====-+-----+-，故直线NQ 恒过定点()2,0.20.已知函数()ln .f x x a x =-（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若关于x 的方程ln =0x a x -有两个不相等的实数根，记较小的实数根为0x ，求证：()01a x a -＞【答案】（1）(1)y a x a =-+；（2）当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解；（2）由()af x x x'-=，分0a ≤和0a >两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间；（3）分析可得要证0(1)a x a ->，0010x lnx -->，令000()1g x x lnx =--，利用导数证得0()0g x >，即可得证．【详解】（1）()ln f x x a x =-，()11f =，()1af x x'=-，()11f a '=-，所以在点()()1,1f 处的切线方程为1(1)(1)y a x -=--，整理得：(1)y a x a =-+，（2）函数()ln f x x a x =-定义域为(0,)+∞，()1a x a f x x x'-=-=当0a ≤时，()0f x '≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时在(0,)a 上()0f x '<，()f x 单调递减，在(,)a +∞上()0f x ¢>，()f x 单调递增，综上：0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（3）证明：由（2）可知，当0a >时，()0f x x alnx =-=才有两个不相等的实根，且00x >，则要证0(1)a x a ->，即证011a a x ->，即证0111a x ->，而000x alnx -=，则000(1x a x lnx =≠，否则方程不成立），所以即证00011lnx x x ->，化简得0010x lnx -->，令000()1g x x lnx =--，则000011()1x g x x x -'=-=，当001x <<时，0()0g x '<，0()g x 单调递减，当01x >时，0()0g x '>，0()g x 单调递增，所以0()g x g （1）0=，而01x ≠，所以0()0g x >，所以0(1)a x a ->，得证．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过证明0111a x ->即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明00011lnx x x ->，利用构造函数的方法即可.21.对给定的正整数n ，令(){}{}12,,,0,1,1,2,,n n i a a a a a i n Ω==⋯∈=⋯∣，对任意的()12,,,…=n x x x x ，()12,,,n n y y y y =⋯∈Ω，定义x 与y 的距离()1122,n n d x y x y x y x y =-+-++- ．设A 是n Ω的含有至少两个元素的子集，集合(){},,,D d x y x y x y A =≠∈中的最小值称为A 的特征，记作()A χ．（1）当3n =时，直接写出下述集合的特征：()(){}()()()(){}()()()(){}0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,1A B C ===；（2）当2020n =时，设2020ΩA ⊆且()2A χ=，求A 中元素个数的最大值；（3）当2020n =时，设2020ΩA ⊆且()3A χ=，求证：A 中的元素个数小于202022021．【答案】（1）()3A χ=，()2B χ=，()1C χ=（2）20192（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）根据x 与y 的距离d 的定义，直接求出(,)d x y 的最小值即可；（2）一方面先证明A 中元素个数至多有20192个元素，另一方面证明存在集合A 中元素个数为20192个满足题意，进而得出A 中元素个数的最大值；（3）设{}12,,,m A x x x = ，定义x 的邻域2020(){Ω|(,)1}i i N x a d a x =∈≤，先证明对任意的1i j m ≤≤≤，()i N x 中恰有2021个元素，再利用反证法证明()()i j N x N x ⋂=∅，于是得到12()()()m N x N x N x 中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202个元素，所以202020212m ≤，进而证明结论．【小问1详解】依题意可得()3A χ=，()2B χ=，()1C χ=．【小问2详解】（a ）一方面：对任意的()12320192020,,,,,a a a a a a A =∈ ，令()()12320192020,,,,,f a a a a a a = ，则()()2020,1212d a f a a =-=<，故()f a A ∉，令集合(){}|B f a a A =∈，则A B ⋂=∅，则2020ΩA B ⊆ 且A 和B 的元素个数相同，但2020Ω中共有20202个元素，其中至多一半属于A ，故A 中至多有20192个元素．(b )另一方面：设()123201920202020122020{,,,,,Ω|A a a a a a a a a a ==∈++⋯+ 是偶数}，则对任意的()122020,,,x x x x = ，()122020,,,y y y y A =∈ ，x y ≠，都有A 中的元素个数为024202020192020202020202020C C C C 2+++⋯+=，易得1122(,)n n d x y x y x y x y =-+-+⋯+-与112220202020x y x y x y ++++⋯++奇偶性相同，故(,)d x y 为偶数，又x y ≠，则(,)0d x y >，所以(,)2d x y ≥，注意到()0,0,0,0,,0,0 ，()1,1,0,0,,0,0A ∈ 且它们的距离为2，故此时A 满足题意，综上，A 中元素个数的最大值为20192．【小问3详解】当2020n =时，设2020A ⊆Ω且()3A χ=，设{}12,,,m A x x x = ，则对任意的i x A ∈，定义x 的邻域2020(){Ω|(,)1}i i N x a d a x =∈≤，（a ）一方面：对任意的1i m ≤≤，()i N x 中恰有2021个元素，事实上，①若(,)0i d a x =，则i a x =，恰有一种可能；，②若(,)1i d a x =，则a 与i x ，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，()i N x 中恰有2021个元素，（b ）对任意的1i j m ≤≤≤，()()i j N x N x ⋂=∅，事实上，若()()i j N x N x ⋂≠∅，不妨设()()i j a N x N x ∈⋂，()()122020122020,,,,,,,i j x x x x x x x x ''='= ，则()11112020202020202020(,)2k k k k i j k k kk k k d x x x x xa a x x a a x =====∑-'≤∑-+-'=∑-+∑-'≤，这与()3A χ=矛盾，由（a ）和（b ）可得12()()()m N x N x N x 中共有2021m 个元素，但2020Ω中共有20202个元素，所以202020212m ≤，即202022021m ≤，注意到m是正整数，但202022021不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A中的元素个数m小于20202 2021．【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题．。

江苏省徐州市如东一中、宿迁一中、徐州中学2025届高三上学期第一次阶段性测试数学试题(含答案)

江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学2025届高三上学期第一次阶段性测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=｛x|sin x>12｝，B=｛1，3，5｝则A∩B=A. ｛1｝B. ｛3｝C. ｛1，3｝D. ｛1，3，5｝2.已知α，β是两个平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是A. 若m//α，l//α，则m//lB. 若m//α，n⊥α，则m⊥nC. 若α//β，m⊥α，l⊥m，则l//αD. 若α⊥β，m⊥α，则m//β3.设向量a=(x,x+4)，b=(2,x)，若a//b，则x=A. 0或−6B. 4或−2C. 2或−4D. 0或−24.生物丰富度指数d=S−1ln N是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.85提高到3.8，则A. 3N1=4N2B. 3N2=4N1 C. N31=N42D. N32=N415.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是A. f(x)=sin e x−1e x+1B. f(x)=cos e x−1e x+1C. f(x)=e sin x−1e sin x+1D. f(x)=e cos x−1e cos x+16.若函数f(x)=log2(−x2+ax+2)在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2]7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为12，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，则( )A. △ADP的周长为定值，面积有最大值B. △ADP的周长为定值，面积有最小值C. △ADP的面积为定值，周长有最大值D. △ADP的面积为定值，周长有最小值8.已知a =sin 13，b =tan 13，c =14，则a ，b ，c 的大小关系是A. b >c >aB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b 二、多选题：本题共3小题，共18分。

高三数学阶段测试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^2 + 1答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)，只有选项B满足条件。

2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，那么第10项an是（）A. 29B. 31C. 33D. 35答案：B解析：等差数列的第n项公式为an = a1 + (n-1)d，代入得a10 = 2 + (10-1)×3 = 31。

3. 函数y = log2(x+1)的图像与直线y = x的交点个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：由于log2(x+1)的定义域为x > -1，且当x = 0时，y = 1，所以函数图像与直线y = x有两个交点。

4. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示复数z到点(1,0)和点(-1,0)的距离相等，因此z位于实轴上。

5. 下列命题中，正确的是（）A. 如果a > b，那么a^2 > b^2B. 如果a > b，那么ac > bcC. 如果a > b，那么a/c > b/cD. 如果a > b，那么a/c < b/c答案：B解析：选项B是正确的，因为当c > 0时，如果a > b，那么ac > bc；当c < 0时，如果a > b，那么ac < bc。

二、填空题（每题10分，共40分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x在区间[-2, 2]上的最大值是______。

答案：8解析：f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。

2024-2025学年四川省成都市树德中学高三上学期10月月考数学试题及答案

1.已知集合2，0，则A ．{}2x x ≤B ．{}4x x ≤C ．{}04x x <≤D ．{}02x x <≤2.设()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥，则a b +=A ．5B ．C ．20D ．253.设甲：{}n a 为等比数列；乙：{}1n n a a +⋅为等比数列，则A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4.已知tan 3α=-，则3sin sin sin 2（）ααπα-=+A ．34-B ．34C ．310D ．310-5.已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是A ．47（，）-∞B ．33（-，）∞C ．(]0，-∞D ．()0，-∞6.已知抛物线E ：24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与E 交于,A B 两点，与E 的准线交于,C D两点，若CD =，则AB =A ．3B ．4C ．6D ．87.在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x ='的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则A ．函数()e x y f x =⋅的最大值为1B ．函数()e xy f x =⋅的最小值为1C ．函数()e x f x y =的最大值为1D ．函数()exf x y =的最小值为18.已知函数()2ln2x f x x+=-，设()()()220.3log 0.32ln 2，，a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a c b>>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a>>二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，坐公交车平均用时10min ，样本方差为9；骑自行车平均用时15min ，样本方差为1.已知坐公交车所花时间X 与骑自行车所花时间Y 都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计,X Y 分布中的参数，并利用信息技术工具画出X 和Y 的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是A ．()2103，X NB ．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有60%以上的可能性会迟到C ．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车D ．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车10.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对于任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立．当[)0,2x ∈时，()21x f x =-，下列结论中正确的有A ．()20f =B ．函数()y f x =在()2,4上单调递增C ．直线4x =是函数()y f x =的一条对称轴D ．关于x 的方程()2log 2f x x =+共有4个不等实根11.我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为1θ，2θ，则下列结论中正确的有附：椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=.A ．圆法中圆的半径为52B ．12tan 3θ=C ．12θθ>D ．12θθ<三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.“十一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，将增派6名警力去,A B 两个景区执勤.要求A 景区至少增派3名警力，B 景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为.13.已知圆台的下底面半径为6，上底面半径为3，其侧面积等于上、下底面积之和，则圆台的高为．14.已知函数()()()()123(0)f x a x x x x x x a =--->，设曲线()y f x =在点()(),i i x f x 处切线的斜率为()1,2,3i k i =，若123,,x x x 均不相等，且22k =-，则134k k +的最小值为．四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足)2222sin bc A a c b =+-．(1)求B 的大小；(2)若3b =，ABC ∆，求ABC ∆的周长．16.(15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点,（E P 为椭圆C 的右顶点，O 为坐标原点，OPE ∆的面(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(1,0)D -作直线l 与椭圆C 交于,A B ,A 关于原点O 的对称点为C ，若||||BA BC =，求直线AB 的斜率.17.(15分)如图，在四棱锥Q ABCD -中，四边形ABCD 为直角梯形，//CD AB ，BC AB ⊥，平面QAD ⊥平面ABCD ，QA QD =，点M 是AD 的中点.(1)证明：QM BD ⊥.(2)点N 是CQ 的中点，22AD AB CD ===，当直线MN 与平面QBC 时，求QM 的长度．18.(17分)已知函数()22ln f x x x a x =-+，()a ∈R .(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线；(2)若对任意的()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有()()()1221120x x x f x x f x ⎡⎤-⋅->⎣⎦恒成立，求实数a 的取值范围.19.(17分)2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球最快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为量子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X .(1)已知13p =，求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率；(2)若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为1p ，2p ，…，n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H ；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y (1,2,3,,,)Y n = ，证明：当n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数.参考公式：01q <<时，lim 0nn q →+∞=，lim 0n n nq →+∞=.树德中学高2022级高三上学期10月阶段性测试数学试题参考答案一．单选题：1-8CAACB DCC 二．多选题：9-11ACD AC AD 三．填空题12-14354181.【答案】C 【详解】由2log 1x ≤，则22log log 2x ≤，所以02x <≤，所以{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，{}04A B x x ⋃=<≤故选：C2.【答案】A 【详解】()1,2a =- ，()4,b k = ，若a b ⊥ ，则有1420a b k ⋅=-⨯+=，解得2k =，则有()()()1,24,23,4a b =-+=+ ，得5a b += .故选：A 3.【答案】A 【详解】充分性：若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则12111n n n n n n a a a a a a q ++--⋅⋅==，所以{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2q ，满足充分性.必要性：若{}1n n a a +⋅为等比数列，公比为2-，则112n n n n a a a a +-⋅=-⋅，即112n n aa +-=-，假设{}n a 为等比数列，此时1212n n a q a +-==-无解，故不满足必要性.所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A 4.【答案】C 【详解】因为tan 3α=-，则33sin sin sin sin cos sin 2ααααπαα--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2222sin 1sin sin cos tan 3cos cos sin 1tan 10ααααααααα---====++.故选：C.5.【答案】B 【详解】当(]0,2x ∈时，由2230ax x a -+<可得22233x a x x x<=++，由基本不等式可得23x x≤+，当且仅当x =3a <.故选：B.6.【答案】D 【详解】由抛物线方程知：12p=，()1,0F ∴，不妨设点A 在第一象限，如图所示，直线CD 与x 轴交于点E ，由CD =，则2ED EF ==，圆的半径()222125r +=，所以5AF =，由抛物线的定义可得：52A px +=，所以4A x =，又因为点A 在抛物线上，所以()4,4A ，248AB ∴=⨯=．故选：D.7.【答案】C 【详解】AB 选项，由题意可知，两个函数图像都在x 轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为()y f x '=，实线部分为()y f x =，故()()()()()0e e e x x xy f x f x f x f x ='''=⋅+⋅+>⋅恒成立，故()e xy f x =⋅在R 上单调递增，则A ，B 显然错误，对于C ，D ，()2()e ()e ()()e e x xxx f x f x f x f x y ''--'==，由图像可知(,0)x ∈-∞，e ()()0x f x f x y '-=>'恒成立，故()e xf x y =单调递增，当(0,)x ∈+∞，()()0e xf x f x y '-'=<，()ex f x y =单调递减，所以函数()e xf x y =在0x =处取得极大值，也为最大值，()010ef =，C 正确，D 错误.故选：C8.【答案】C 【详解】解：函数()2ln2x f x x+=-，由202x x+>-，即(2)(2)0x x +-<，2x <解得()2,2x ∈-显然()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，∴当()0,2x ∈时，()2ln2xf x x+=-在()0,2x ∈单增，()f x ∴在()20，-上为减函数，在()0，2上为增函数()220.30.301=∈，，322222103log 0.3log 0.3log log 232=-=>=所以22103log 0.3log ,232⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭3232ln 2ln 4ln 2e =<=，32ln 212⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c a >>．故选：C ．二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】ACD 【详解】由题意知，()2~10,3X N ，()2~15,1Y N ,A 正确。

四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)

2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．2．已知复数满足，则（）A ．B ．C ．D ．3．已知向量满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（）A ．B ．C ．D ．5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．6．在体积为12的三棱锥中，，平面平面，若点都在球的表面上，则球的表面积为（）A ．B ．C ．D ．7．若，则的最大值为（）ABCD8．设，则（）{{},21x A x y B y y ====+A B = (]0,1(]1,2[]1,2[]0,2z 23i z z +=+3iz+=12i+12i-2i+2i-,a b 222a b a b -=-= 1b = a b ⋅=1414-1212-()y f x =[]6,6-()f x ())ln cos f x x x=+())lnsin f x x x=+())ln cos f x x x=-())ln sin f x x x=-()()cos f x x a x =+()y f x =()()π,πf ππ0x y +-=ππ0x y -+=π0x y -+=0x y +=A BCD -,AC AD BC BD ⊥⊥ACD ⊥ππ,,34BCD ACD BCD ∠=∠=,,,A B C D O O 12π16π32π48π()()sin cos2sin αβααβ+=-()tan αβ+202420230.2024log 2023,log 2022,log 0.2023a b c ===A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（）A ．B ．C ．是数列中的最大值D ．数列无最大值10．透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）A ．事件与事件是互斥事件B ．事件与事件是对立事件C ．事件与事件是相互独立事件D ．事件与事件是互斥事件11．已知，其中，则的取值可以是（）A ．eB ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12．若，则______．13．设是数列的前n 项和，点在直线上，则数列的前项和为______．14．已知点是轴上的动点，且满足的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15．（13分）设的内角的对边分别为，且，边上的两条中线相交于点．c a b <<b c a <<b a c <<a b c<<{}n a q n n S n n T 2024120242025202511,1,01a a a a a ->><-20242025S S <202420261a a <2024T {}n T {}n T 1,2,3,41A =2A =3A =1A 2A 1A 3A 1A 3A 23A A 13A A 6ln ,6e n m m a n a =+=+e nm ≠e nm +2e23e24e1sin 3α=-()cos π2α-=n S {}n a ()()*,n n a n ∈N 2y x =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()()2,0,1,4,A B M N 、y 4,MN AMN =△P y Q P PQ PB +ABC △,,A B C ,,a b c ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-,BC AC ,AD BE P（1）求；（2）若，求的面积．16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：每天看电子产品的时间近视情况超过一小时一小时内合计近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为，每天看电子产品超过一小时的人数为，求的值．BAC ∠2,cos AD BE DPE ==∠=ABC △D ABC -ABC △AB ABD △E AD F DC BEF ⊥ABD AD ⊥BEF ABC ⊥ABD BEF BCD αx α()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++0.05α=2χX Y ()P X Y =18．（17分）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．19．（17分）已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于两点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试（参考答案）一、单项选择题：BAACDDDC8．【解】由对数函数的性质知，，所以；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，．二、多项选择题：ABC ACD CD ．11．【解】令，则，()()ln 1f x x =+()y f x =3x =()()()F x ax f x a =-∈R ()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ()y g x =x m =C )⎛- ⎝C ()2,0M l C ,A B ,A B xDE AE BD P P PAB △0.20240.2024log 0.2023log 0.20241c =>=2024202420242023202320230log 1log 2023log 20241,0log 1log 2022log 20231=<<==<<=1,01,01c a b ><<<<2n >()()ln 1ln ln 10n n n +>>->()()()()222ln 1ln 1ln 1ln 1(ln )(ln )2n n n n n n ++-⎡⎤+⋅--<-⎢⎥⎣⎦()()()2222222222ln 1ln 11ln (ln )(ln )(ln )(ln )(ln )0222n n n n n n n n n ⎡⎤-+-⎡⎤⎛⎫=-=-<-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦2023n =2lg2022lg2024(lg2023)0⋅-<220232024lg2022lg2023lg2022lg2024(lg2023)log 2022log 20230lg2023lg2024lg2023lg2024b a ⋅--=-=-=<⋅b a <b ac <<()6ln f x x x =-()661xf x x x-=-='故当时，单调递增，当时，单调递减，，又，不妨设，解法一：记，设，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以．解法二：由，两式相减，可得，令，则；令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，因为在上恒成立，所以在上单调递增，则，即，所以．解法三：，两式相减得，，可得，三、填空题：；3()0,6x ∈()()0,f x f x '>()6,x ∈+∞()()0,f x f x '<()()6ln ,66lne e ,e n n n m m a n a f m f =+==+∴= e n m ≠06e n m <<<12,e nx m x ==()()()()12,0,6g x f x f x x =--∈()()()()2662(6)1201212x x x g x f x f x x x x x ---=---=-=<--'''()0,6()g x ()0,6()()()()()1260,0,6g x f x f x g x =-->=∈()()()11212f x f x f x ->=()1212,6,x x -∈+∞()f x ()6,+∞1212x x -<1212x x +>e 12n m +>6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+e 6ln e n nm m =-e (1)n t t m=>()()61ln 6ln 6ln 6ln 1,,e ,e 111n n t t t t tt m t m mt m t t t +=-===∴+=---()()()1ln 21,1g t t t t t =+-->()11ln 2ln 1t g t t t t t+=+-=+-'1ln 1(1)y t t t =+->221110t y t t t-=-=>'()1,+∞()g t '()1,+∞()()10g t g ''>=()1,+∞()g t ()1,+∞()()10g t g >=()1ln 21t t t +>-()61ln e 121n t tm t ++=>-6ln ,66lne e nnm m a n a =+==+ e 6lne ln n n mm-=-212121ln ln 2x x x xx x -+<<-e 12n m +>79-1n n +24y x =14．【解】设点，则根据点是的外心，，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．四、解答题：15．【解】（1）因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以．（2）因为是边上的两条中线与的交点，所以点是的重心．又，所以在中，由余弦定理，所以，又，所以，所以，所以的面积为．()0,M t ()0,4)N t -P AMN V (),2P x t -22||PM PA =2224(2)(2)x x t +=-+-2(2),24t x y t -==-P 24y x =()1,0F 1PF PQ =+4,14PF PB BF PF PB PQ PB +≥=+=++≥3PQ PB +≥P BF ()()()sin sin sin sin b a ABC BAC c ABC C +∠-∠=∠-222b c a bc +-=2221cos 22b c a BAC bc +-∠==0πBAC <∠<π3BAC ∠=P ,BC AC AD BE P ABC △2,AD BE APB DPE ==∠=∠ABP △22222cos c AB PA PB PA PB APB==+-⋅∠22442433⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭2c =π2,3BE BAC =∠=2AE BE ==24b AE ==ABC △1π42sin 23⨯⨯⨯=16．【解】（1）是边长为的正三角形，为的中点，则．且平面平面，平面平面平面，则平面．（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取中点，连接，则．且平面平面，且平面平面，则平面．因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．是边长为2的正三角形，则可求得高．底面为等腰直角三角形，求得．可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取．设平面的法向量为，且，则，则，解得．则．则平面与平面17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，ABD △2E AD BE AD ⊥BEF ⊥ABD BEF ,ABD BE AD =⊂ABD AD ⊥BEF ABC △ABD △AB O OD ,OD AB OC AB ⊥⊥ABC ⊥ABD ABC ABD AB =OD ⊥ABC ,,OC OA OD O xyz -ABD △OD =ABC △1OC OA OB ===()()()(0,1,0,0,1,0,1,0,0,A B C D -BEF (0,AD =-BCD (),,m x y z = ()(1,1,0,BC CD ==- 0m BC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩)m = cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉===⋅ BEF BCD 0H 220.0550(1025105)4006.349 3.8411535203063x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=2χ0H ξ则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（3）依题意，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得；（2）由题意可知，则的定义域为，当时，，则在上单调递减；当时，令，即，解得，若；若，则在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；()()()21310510331515C C C 45512069223C C 45591P P P ξξξ⨯+≥==+==+==6991()()1111110,22245525P X Y P X Y ===⨯====⨯=1X Y ==()1122111161C C 2551025P X Y ===⨯⨯+⨯⨯=()()()()1165301242525100P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+===++=()3,ln4()11f x x '=+()134k f ='=()y f x =3x =()1ln434y x -=-48ln230x y -+-=()()ln 1F x ax x =-+()F x ()1,-+∞()()11,1,,11ax a F x a x x x +-=-=∈-'+∞++0a ≤()101F x a x '=-<+()F x ()1,-+∞0a >()0F x '=10ax a +-=11x a=-()11111,01a ax a x F x a a x '-+--<≤=-=≤+()111,01ax a x F x a x +--'>=>+()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()F x ()1,-+∞0a >()F x 11,1a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（3）证明：函数，函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以由．可知曲线关于直线对称．19．【解】（1）设椭圆的方程为，代入已知点的坐标，得：，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）如图：①设直线的方程为，并记点，由消去，得，易知，则．由条件，，直线的方程为，直线的方程为()()111ln 1ln 2g x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()(),10,-∞-+∞ m ()y g x =x m =()(),10,-∞-+∞ x m =12m =-()()111ln 1ln 211g x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21121lnln ln ln 111x x x x x x x x x x +++=--=-+++()()()11211211lnln ln 1ln ln 1x x x x x x x g x x x x x x+++++=+--=+-=+()y g x =12x =-C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠312413m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩1612m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩C 22162x y +=l ()20x my m =+≠()()()112200,,,,,A x y B x y P x y 222,162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()223420m y my ++-=()()222Δ16832410m m m =++=+>12122242,33m y y y y m m --+==++()()12,0,,0D x E x AE ()1212y y x x x x =--BD，联立解得，所以点在定直线上．②，而，所以，则令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以．()2121y y x x x x =--()()2112211212012121222223my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++====++++P 3x =0212121121111312222PAB S AD x x y x y my y my y =⋅-=⋅-=⋅-=-△121212my y y y =+()121212my y y y =+1211211224PABy y S y y y +=-=-==△t =1t >2122PAB t S t t t==≤=++△t =PAB △。

高三数学阶段性试卷及答案

考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心是：A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(1, 0)$D. $(0, 0)$2. 若复数$z = a + bi$（其中$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则实数$a$的取值为：A. $0$B. $1$C. $-1$D. 无解3. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为：A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D. $\frac{3}{4}$4. 下列命题中，正确的是：A. 若$a > b$，则$a^2 > b^2$B. 若$a > b$，则$\log_a b < 1$C. 若$a > b$，则$\sqrt{a} > \sqrt{b}$D. 若$a > b$，则$a^3 > b^3$5. 已知函数$y = \log_2(x + 1)$的图象上一点$P(x, y)$，若点$P$到直线$y = x$的距离为1，则$x$的值为：A. $1$B. $\sqrt{3} - 1$C. $\sqrt{3} + 1$D. $\frac{1}{\sqrt{3}}$6. 若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_5 = 20$，$S_8 = 56$，则公差$d$的值为：A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，若点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点为$B$，则$B$的坐标为：A. $(2, -1)$B. $(1, -2)$C. $(-2, 1)$D. $(-1, 2)$8. 已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 = 1$，$S_3 = 7$，则公比$q$的值为：A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 3D. $\frac{1}{3}$9. 若函数$y = ax^2 + bx + c$的图象开口向上，且顶点坐标为$(h, k)$，则下列不等式中正确的是：A. $a > 0$B. $b > 0$C. $c > 0$D. $ah^2 + bh + c > 0$10. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 6$，则$f(x)$的极值点为：A. $x = 1$B. $x = 2$C. $x = 3$D. $x = 4$二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2$，则$f'(x) =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\。

南阳市第一中学2023届高三上学期第三次阶段测数学(理)试卷(PDF版,含解析)

2023届年高三第三次阶段性测试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（） A ．2B ．3C ．5D ．62.设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（） A ．4B ．2−C ．4或2−D ．4−或23．在等比数列{}n a 中，12318a a a =，且86434a a a =+，则3a =（）A ．1B ．2C ．±1D ．2±4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．355．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（） A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅ 7. 给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 和OB u u u r，它们的夹角为120°.如图所示.点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动.则的最小值为 A. 4− B. 2− C. 0 D. 28．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()213cos sin 222x f x x ϕϕ+=−++22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当5,1818x ππ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时，函数()g x 的值域为（）A ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（） A ．3 B ．2 C ．()9322− D ．32211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（） A ．2a b >>B ．2b a >>C ．2b a >>D ．2a b >>12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰.14.2．已知，，且与的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．15. 在ABC V 中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．16.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （12分）如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=.（1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =3AC =，求BDC ∆的面积.20．（12分）已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点． (1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．21. （12分）已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，点()5,0P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.高三第三次阶段性测试理科数学试题解析版一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi −的模等于（） A 2B 3C 5D 6【答案】C2．设集合3(,)2,,1y A x y x y R x −⎧⎫==∈⎨⎬−⎩⎭，{}(,)4160,B x y x ay x y R =+−=∈，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为（） A ．4 B ．2− C ．4或2− D ．4−或2【答案】C【分析】本题先化简集合A 、集合B ，再结合A B ⋂=∅，确定直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，最后求实数a 的值.【详解】解：集合A 表示直线32(1)y x −=−，即21y x =+上的点，但除去点(1,3)，集合B 表示直线4160x ay +−=上的点，当A B ⋂=∅时，直线21y x =+与4160x ay +−=平行或直线4160x ay +−=过点(1,3)，所以42a−=或43160a +−=，解得2a =−或4a =．故选：C.3．在等比数列{}n a 中，1238a a a =，且86434a a a =+，则3a =（）A ．1B ．2C ．±1D ．2±【答案】C4．若点(cos ,)P sin αα在直线2y x =−上，则cos(2)2πα+的值等于A ．45−B ．45C ．35-D ．35【答案】B5．设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面，下列四个命题中真命题是（ D ）A ．若,a b 与α所成角相等，则//a bB ．若//,//,//a b a ααβ，则b β//C ．若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβD ．若,,a b αβαβ⊥⊥⊥，则a ⊥b6．如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）． D A ．221x y x =−− B ．2sin y x x =⋅ C. ln xy x=D ．2(2)x y x x e =−⋅u u u r u u u rA. 4−B. 2−C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，以,OA OB u u u r u u u r为平面内一组基底，根据平面向量的加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质，结合辅助角公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设([0,120])AOC αα︒∠=∈，因此有2()()CB CA CO OB CO OA CO CO OA OB CO OB OA ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2CO OC OA OB OC OB OA =−⋅−⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r422cos 22cos(120)22cos120αα︒︒=−⨯−⨯⋅−+⨯⋅44cos 4cos(120)2αα︒=−−−− 24cos 2cos 23ααα=−+− 22cos 23αα=−−24cos(60)α︒=−−，因为[0,120]α︒∈，所以60[60,60]α︒︒︒−∈−，所以当600α︒︒−=时，即60α︒=，CB CA ⋅u u u r u u r有最小值，最小值为242−=−. 故选：B8．下列四个结论中正确的个数是 ①若22am bm <，则a b <②“已知直线m ，n 和平面α、β，若m n ⊥，m α⊥，n β∥，则αβ⊥”为真命题 ③3m =是直线()320m x my ++−=与直线650mx y −+=互相垂直的充要条件 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A9．已知函数()()213cos 22x f x x ϕϕ+=−+22ππϕ⎛⎫−<< ⎪⎝⎭，函数()f x 图象的一个对称中心为,03π⎛−⎫⎪⎝⎭，现将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数ππA ．(]1,2B ．(]1,2−C ．1,12⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎤−⎢⎥⎣⎦【答案】B ()()21cos 22x f x x ϕϕ+=−+ ()()1cos sin 26x x x πϕϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵函数()f x 的一个对称中心为,03π⎛−⎫ ⎪⎝⎭，∴36k ππϕπ−++=，∴6k πϕπ=+，∵22ππϕ−<<，∴6π=ϕ，∴()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标缩小到原来的13（纵坐标不变），纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()sin 332g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，∵51818x ππ−<<，73636x πππ<+<，所以函数()g x 的值域为(]1,2−.故选：B .10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（）BA ．3 BC．92D．211．已知实数a ，b 满足312log 4log 9a =+，51213a a b +=，则下列判断正确的是（） A ．2a b >> B ．2b a >> C ．2b a >> D ．2a b >>【详解】由题意，31333323log 92lo 12g 4log 9log 4log 4log 1log 4a =+=+=++，所以3322log 421log 4a −=+−+()333log log 1g 4144lo =+−，因为3log 41>，所以()333414log log 01log 4>+−，即2a >.所以2213512512169b a a >==++,即21313b >，所以2b >.再来比较,a b 的大小：因为20a −>，所以222512135144122511693a a a a a a −−−++⨯−=⨯−⨯22212144122516913a a a −−−<⨯−⨯+⨯221691216931a a −−=−⨯⨯()2216912301a a −−=−<，所以b a <.综上所述，2a b >>. 故选：A.12. 已知正方体ABCD A B C D ''''−的棱长为4，E ，F ，G 分别为BB '，C D ''，AA '的中点，点P 在平面ABB A ''中，25=PF ，点N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（） ①点P 的轨迹长度为2π；②FP 的轨迹平面A B CD ''的交线为圆弧； ③NP 的最小值为65105−；④若CG P D ⊥'，则tan BPC ∠的最大值为5． A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】D【详解】解：根据正方体的性质知，F 到平面''ABB A 的距离为4，因为254PF =>，所以FP 的轨迹为圆锥的侧面，P 点在圆锥底面的圆周上，圆锥的底面的圆半径为()222542−=，圆锥的高为4，母线25=PF ，对于①，点P 的轨迹长度为224ππ⨯=，故①错误，对于②，由题意知，平面''A B CD 与圆锥的高不垂直，所以平面''A B CD 截圆锥所形成的曲线为椭圆，所以FP 的轨迹与平面''A B CD 的交线不是圆弧，故②错误，对于③，以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，以'AA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，()4,2N ，P 点所在的圆的圆心为()2,4O ，所以圆的标准方程为()()22244x y −+−=，AE 所在的直线方程为12y x =，所以圆心到直线的距离为222465512−⨯=+，所以圆上的点到直线的距离最小值为6525−，即NP 的最小值为65105−，故③正确；则(0,D 0，0)，'(0,D 0，4)，(0,C 4，0)，(4,G 0，2)，(4,B 4，0)设(4,P y ，)z ，因为'D P CG ⊥，所以'0D P CG =g u u u u r u u u r，即()164240y z −+−=，对于P ，()()22244y z −+−=，tan BC BPC BP∠=，即求BP 的最小值，()222452432BP y z y y =−+=−+，由二次函数的性质知，当24 2.425y −=−=⨯时，BP 取得最小值455，又因为42BC =，所以10BC BP=，所以tan BPC ∠的最大值为10，所以④错误，故选：D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 12200cos 1πxdx x dx +−=⎰⎰. 14π+14.已知(),2a k =−r ，() 3,5b =−r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是______．【答案】1066,,355⎛⎫⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;15. 在中，若22(sin 3cos )40a a B B −++=，27b =，则的面积为_____．【答案】3【详解】解：由题得24sin()403a a B π−++=，因为方程有解，所以2216sin ()160,sin ()133B B ππ∆=+−≥∴+≥,所以sin()13B π+=±,因为0.333B B πππππ<<∴<+<+,所以24402a a a −+=∴=，. 由余弦定理得22328=4+22,23240,432c c c c c −⨯⨯⨯∴−−=∴=. 所以的面积为111sin 24323222S ac B ==⨯⨯⨯=. 故答案为：2316.已知函数()()e sin 0xf x a x x =−>有两个零点，则正实数a 的取值范围为______．【答案】944(2e ,2e )ππ【分析】由已知可得方程e sin x a x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，利用导数研究e sin xy x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，的单调性，作出其函数图象，观察图象可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()()e sin 0,0xf x a x x a =−>>有两个零点，所以方程()e sin 00,0xa x x a −=>>有两个根，所以()2,2N x k k k πππ∈+∈，所以方程e sin xa x =其中()2,2N x k k k πππ∈+∈，有两个根，设e ()sin xg x x=，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，所以2e sin cos e ()sin x xx x g x x−'=，令()0g x '=可得e sin cos e 0x x x x −=，化简可得24x k ππ=+，N k ∈，所以当22,N 4k x k k πππ<<+∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当22,N 4k x k k ππππ+<<+∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，作函数()g x 的图象可得，由图象可得，当9()()g a g ππ<<时，直线y a =与函数e()xg x =，()2,2N x k k k πππ∈+∈，，的图象有且仅有所以当9442e 2e a ππ<<时，函数()()e sin 0xf x a x x =−>()0a >有两个零点，故答案为：944(2e ,2e )ππ．题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.（1）求数列{}n b 及{}n a 的通项公式；（2）若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 17．解：（1）依题意12b =,3328b ==,设数列{}n b 的公比为q ,由120n a n b +=>,可知0q >,由223128b b q q =⋅=⨯=,得24q =,又0q >,则2q =,故111222n n n n b b q−−==⨯=,┅┅┅┅┅┅4分又由122n a n +=,得1n a n =−. ┅┅┅┅┅┅6分（2）依题意1(1)2n n c n −=−⨯.┅┅┅┅┅┅7分01221021222(2)2(1)2n n n S n n −−=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,①则12312021222(2)2(1)2n n n S n n −=⨯+⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯,②①-②得12122222(1)2(1)212nn nn n S n n −−−=+++−−⨯=−−⨯−…,┅┅┅┅┅┅10分即2(2)2n n S n −=−+−⨯,故2(2)2nn S n =+−⨯.┅┅┅┅┅┅12分18. 如图所示，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝3π，D 为B 1C 1的中点．（1）证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；（2）若AC 1＝2，求二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值．【答案】（1）证明见解析（215（1）证明：由AB ＝AC ，则有A 1B 1＝A 1C 1. ∵D 为B 1C 1的中点，∴A 1D ⊥B 1C 1. 由BC ＝2，则有B 1D ＝1，BB 1＝2， ∵1113B BC C BC π=∠=∠，∴2222111112cos21221332BD B B B D B B B D π=+−⋅=+−⨯⨯⨯= ∴BD 2+B 1D 2＝BB 12，∴BD ⊥B 1C 1，∵A 1D ∩BD ＝D ，∴B 1C 1⊥平面A 1DB . ┅┅┅┅┅┅6分（2）取BC 中点为E ，连接AE ，C 1E ，由AB ⊥AC ，得AE ＝12BC ＝1，由题意得C 1E ＝BD ＝3，∴222114AE C E AC +==，∴AE ⊥C 1E ，又可知AE ⊥BC ，AE ∩C 1E ＝E ，则AE ⊥平面BB 1C 1C ，如图，以E 为坐标原点，1C E BE AE u u u u r u u u r u u u r，，分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，┅┅┅┅┅┅7分则C （0，﹣1，0），B 1（3，2，0），A 1（3，1，1），B （0，1，0），D （3，1，0），由A 1D ∥AE ，得A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，∴BD ⊥B 1C 1，∵BD ⊥B 1C 1，A 1D ∩B 1C 1＝D ，∴BD ⊥平面A 1B 1C 1， ∴平面A 1B 1C 1的法向量BD u u u r＝（3，0，0），┅┅┅┅┅┅8分设平面A 1B 1C 的法向量n r＝（x ，y ，z ），则，不妨取x ＝﹣3，得n r＝（﹣3，3，3），┅┅┅┅┅┅9分设二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的平面角为θ，由图示θ为锐角. ┅┅┅┅┅┅10分则cosθ＝，┅┅┅┅┅┅11分 ∴二面角C 1﹣A 1B 1﹣C 的余弦值为155．┅┅┅┅┅┅12分 19．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 所对的边，1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=. （1）求角A ；（2）已知D 是AB 上一点，2AB AD AC =<，7CD =，3AC =，求BDC ∆的面积.19．（1）∵1sin cos sin 23cos 2a A C c Ab A +=， ∴sin cos sin cos 3cos a A C c A A b A +=，由正弦定理得()sin sin cos cos sin 3sin cos A A C A C B A +=， ∴()sin sin 3sin cos A A C B A +=，即sin sin 3sin cos A B B A =， ∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴sin 3cos A A =，显然cos 0A ≠，∴tan 3A =，∵0A π<<，∴3A π=.┅┅┅┅┅┅6分（2）在ADC ∆中，由余弦定理知，2222cos DC AD AC AD AC A =+−⋅，即()222173232AD AD =+−⨯⨯⨯，解得1AD =或2AD =（舍），∵2AB AD =，∴1BD AD ==，∴133313224BDC ACD S S ∆∆==⨯⨯⨯=.┅┅┅┅┅┅12分20．已知圆C 的方程为22840x y x y +−+=，12,l l 是经过(0,2)P −且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆C 于,M N 两点，2l 交x 轴于Q 点．(1)若8MN =，求直线1l 的方程； (2)求面积的最小值．20.（1）圆C 的方程为22(4)(2)20x y −++=，圆心(4,2)C −，半径25r =．若1l 垂直于x 轴，则4MN =不合题意，┅┅┅┅┅┅2分故1l 斜率存在，设为k ，则1l 的方程为2y kx =−，即20kx y −−=．┅┅┅┅┅┅3分8MN =，C 到1l 的距离()222542d =−=，242221k k +−=+，解得33k =±，┅┅┅┅┅┅4分故直线1l 的方程为323y x =±−，即3360x y ±−−=．┅┅┅┅┅┅5分（2）由已知，2l 斜率不为0，故1l 斜率存在．┅┅┅┅┅┅6分当2l 斜率不存在时，2l 方程为0x =，则(0,0)Q ，此时1l 方程为=2y −，此时45MN =， 1452452QMN S =⨯⨯=△．┅┅┅┅┅┅7分当2l 斜率存在时，设1:2l y kx =−即20kx y −−=，则圆心C 到直线MN 的距离为241k k +．┅┅┅┅┅8分()222222216420522524111k k k MN k k k ++=−==+++，┅┅┅┅┅┅9分 2l 方程为12y x k =−−，即20x ky ++=，()2,0Q k −，则点Q 到MN 的距离为22221k k−−+．┅┅┅┅┅┅10分22222122454545211QMNk k S k k k ++=⨯⨯=+>++△.┅┅┅┅┅┅11分综上：面积的最小值为45．┅┅┅┅┅12分21. 已知函数()()2121ln 1f x x x a x x x ⎛⎫=−+−−+ ⎪⎝⎭.其中()a ∈R(1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若对于任意0x >，都有()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（1）()12ln 1f x x x ⎛⎫'=+− ⎪⎝⎭，令其为()p x ，则()21120p x x x ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭┅┅┅┅┅┅1分所以可得()p x ，即单调递增，┅┅┅┅┅┅2分而()10f '=，则在区间()0,1上，，函数()f x 单调递减；┅┅┅┅┅┅3分在区间上，函数()f x 单调递增┅┅┅┅┅┅4分（2）()()2112ln x f x x x a x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，令()212ln x h x x ax −=+，可知()10h =. ()222ax x a h x x++'=，令()22,0g x ax x a x =++>，┅┅┅┅┅┅5分 ①当1a ≤−时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以函数()h x 单调递减，∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x >，()1,∈+∞x 时，()0h x <，可知此时()0≤f x 满足条件；┅┅┅┅┅┅7分②当0a ≥时，结合()g x 对应的图像可知，()0h x '>，()h x 单调递增， ∵()10h =，∴()0,1∈x 时，()0h x <，()1,∈+∞x 时，()0h x >，可知此时()0≤f x 不恒成立，┅┅┅┅┅┅9分 ③当10a −<<时，研究函数()22g x ax x a =++.可知()10g >.对称轴11x a=−>. 那么()g x 在区间11,a ⎛⎫−⎪⎝⎭大于0，即()h x '在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭大于0， ()h x 在区间11,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递增，()()10h x h >=，可知此时()0f x >.所以不满足条件. ┅┅┅┅┅11分综上所述：1a ≤−.┅┅┅┅┅┅12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，点)P，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为223645cos ρθ=+，1F ，2F 是曲线C 的下、上焦点．（1）求曲线C 的标准方程和直线2PF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2PF 垂直的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求11AF BF −的值．解：由223645cos ρθ=+得()2245cos 36ρρθ+=，即()2224536y x x ++=，所以229436x y +=，即22149x y +=，┅┅┅┅┅┅2分∴(2F ，∴直线2PF 1=，即0x y +=；┅┅┅┅┅┅4分（2）解：由（1）知(10,F ，直线l的直角坐标方程为y x =，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C的标准方程可得：213320t −−=，┅┅┅┅┅┅6分设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=123213t t =−，∴1t ，2t 异号，┅┅┅┅┅┅8分∴111213AF BF t t −=+=．┅┅┅┅┅┅10分 23．已知函数()|1||3|f x x x =−+−.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a ba b +≥++.23．(1)()1f x x ≤+，即131x x x −+−≤+.当1x <时，不等式可化为421x x −≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅； ┅┅┅┅┅┅1分当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.┅┅┅┅┅┅2分当3x >时，不等式可化为241x x −≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.┅┅┅┅┅┅3分综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤.┅┅┅┅┅┅4分 ∴原不等式的解集为[]1,5.┅┅┅┅┅┅5分(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x −+−≥−−−=， ∴2c =，即2a b +=.┅┅┅┅┅┅6分令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =−=−+=,,，┅┅┅┅┅┅7分()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n −−+=+=+++−=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， ┅┅┅┅┅┅9分当且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立.原不等式得证. ┅┅┅┅┅┅10分。

河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试(二)数学试题含答案

河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试（二）数学试题考生注意：（答案在最后）1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(2)30},(,2)(4,)A xx x B =-+>=-∞⋃+∞∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[2,3)B.(1,2)-C.(,3)(4,)-∞⋃+∞D.(1,4]-【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据交，并，补的运算，即可求解.【详解】()2230230x x x x -+>⇔--<，即()()130x x +-<，得13x -<<，即()13A ,=-,[]R 2,4B =ð，所以()[)R 2,3A B ⋂=ð.故选：A2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.-1B.32-C.12-D.32【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的定义求cos α和sin α，再代入两角和的余弦公式，即可求解.【详解】由终边点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭可知，cos 2α=-，1sin 2α=-，所以πππ111cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛⎫+=-=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C3.已知函数e ,1()ln 2,1(4),1x x f x x f x x -⎧<⎪==⎨⎪->⎩，则()(9)f f =（）A.2eB.1C.ln 2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用.【详解】由题意，()()()1lnln 221(9)(5)(1)(ln 2)ee2f f f f f f f -======.故选：D.4.已知π6cos 46α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.56-B.23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 1212463αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π2sin 2cos 223αα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故选：C5.函数2e ()e 1xx x f x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【详解】函数的定义域为R ，且()()22e e e 1e 1x xx x x x f x f x ---⋅-⋅-===-++，所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，且当0x >时，()0f x >，故排除C ，()1e e x xx f x =+，当x →+∞时，0y →，故排除D ，满足条件的只有B.故选：B6.若命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.(,-∞B.(∞-C.(),-∞⋃+∞D.)⎡+∞⎣【答案】A 【解析】【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.【详解】由题意，命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，等价于其否定“21,e e 10x x x k +∀∈-+≥R ”是真命题，令()e0xt t =>，则2e 10t kt -+≥对0t ∀>恒成立，即1e k t t ≤+，需满足min 1e k t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，而0t >，1e t t +≥=，当且仅当1e t t =，即e et =时取等号.所以min1e t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭k ≤故选：A.7.将函数π()cos (06)6f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 是奇函数，则()f x 在区间(0,π)内的极值点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由平移关系与奇函数性质可得()f x 的对称性，求得()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可.【详解】若()g x 是奇函数，则()g x 图象关于(0,0)对称，由题意得()g x 的图象向左移π6个单位长度得到函数()f x 的图象，故()f x 的图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则cos 066ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则,662k k πππωπ-+=+∈Z ，解得62,k k ω=--∈Z ，又因为06ω<<，则当1k =-时，4ω=.()cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π()0,x ∈，令ππ25π4,666t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭极值点的个数与()f x 在区间(0,π)内的极值点个数相同.而函数()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭内的所有极值点为π,2π,3π,4π，共4个.故()f x 在区间(0,π)内的极值点个数也为4个.故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()2f x +为偶函数，则()()()1216f f f =+++L （）A.0B.16C.22D.32【答案】B 【解析】【分析】由()1f x -为奇函数得对称中心为 벘ࢿ，结合(2)f x +为偶函数，求周期为8，从而求出()()()128f f f +++ ，即可得到()()()1216f f f +++ 的值.【详解】因为()1f x -为奇函数，则()01f =，且函数()f x 的图象关于 벘ࢿ中心对称，即()()2f x f x +-=，因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x +=-，则()()4f x f x +=-，所以()()42f x f x ++=，()()482f x f x +++=，所以()()8f x f x =+，故()f x 的周期为8，因为()()()()()()()()152,262,372,482f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()1216212816f f f f f f ⎡⎤+++=+++=⎣⎦ ，故选：B .【点睛】关键点点睛：由()1f x -为奇函数，()2f x +为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数()f x 的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知110a b<<，则（）A.22a b >B.ln()ln()b a ->-C.()2222()a ba b +>+ D.2a ab<【答案】BCD 【解析】【分析】首先判断0b a <<，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.【详解】由110a b<<，可知，0b a <<，所以22a b <，故A 错误；0b a ->->，对数函数ln y x =单调递增，所以()()ln ln b a ->-，故B 正确；()()()222220a b a b a b +-+=->，即()()2222a b a b +>+，故C 正确；()2a ab a a b -=-，由0b a <<，可知()20a ab a a b -=-<，即2a ab <，故D 正确.故选：BCD10.已知函数1()sin 2sin cos f x x x x=+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的值域为(,)-∞-⋃+∞C.()f x 的图象关于直线3π4x =对称D.()f x 以π为周期【答案】ACD 【解析】【分析】首先化简函数()2sin 2sin 2f x x x=+，再根据奇函数的定义，判断A ，通过换元分析函数2y t t =+的单调性，即可求函数的值域，判断B ，证明()3π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断C ，根据()()πf x f x +=，即可判断D.【详解】()2sin 2sin 2f x x x=+，sin 20x ≠，则π2π2k x k x ≠⇒≠，Z k ∈，则函数的定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，函数的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故A 正确；设[)(]sin 21,00,1t x =∈- ，2y t t=+在区间(]0,1单调递减，[)3,y ∈+∞，因为函数是奇函数，所以函数的值域是(][),33,∞∞--⋃+，故B 错误；()()()3π22sin 3π2sin 22sin 3π2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=+= ⎪-⎝⎭，所以函数()f x 关于3π4x =对称，故C 正确；()()()()22πsin 22πsin 2sin 22πsin 2f x x x f x x x+=++=+=+，所以函数()f x 的周期为π，故D 正确.故选：ACD11.已知对任意0x >，不等式32e 2ln 0x ax ax x -+≥恒成立，则实数a 的可能取值为（）A.1B.e 2C.eD.2e 【答案】ABC 【解析】【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得a 的范围.【详解】由0x >，32e 2ln 0xax ax x -+≥可化为2e 2ln 0xax a x x-+≥，则又可化为()2222e e e ln 0ln 0x x x a x x a x x x--≥⇔-≥，令2()x e x xϕ=，则3e (2)()x x x x ϕ-'=，令()0x ϕ'=，得2x =，当02x <<时，()0x ϕ'<，则()ϕx 在(0,2)单调递减；当2x >时，()0x ϕ'>，则()ϕx 在(2,)+∞单调递增；故2mine ()(2)4x ϕϕ==，且当x →+∞，()x ϕ→+∞.再令2e xt x =，则2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则关于t 的不等式ln 0t a t -≥在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，即ln ta t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，令()ln t h t t =，2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2ln 1()(ln )t h t t -'=，由()0h t '=解得e t =，当2e e 4t ≤<时，()0h t '<，则()h t 在2e ,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减；当t e >时，()0h t '>，则()h t 在(e,)+∞单调递增；所以min ()(e)e h t h ==，要使ln t a t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则e a ≤.故选：ABC.【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：()ln ln ln e e e ee e ln l ,n e ,ln ln e ,,x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x+--===+=-=.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){,12},{ln 20}P yy x a x Q x x ==+-<≤=-<∣∣，若x P ∈是x ∈Q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】[]0,2【解析】【分析】化简集合,P Q ，再结合P 是Q 的必要不充分条件列不等式族求解.【详解】由y x a =+，12x -<≤，则12a y a -<≤+，所以{}12P y a y a =-<≤+，由()ln 20x -<，即()ln 2ln1x -<，解得12x <<，所以{}12Q x x =<<，因为P 是Q 的必要不充分条件，所以1122a a -<⎧⎨+>⎩，且11a -=，22a +=也符合题意，解得02a ≤≤.所以实数a 的取值范围为 벘h .故答案为： 벘h .13.已知,a b 均为正实数，且23a b ab +=，则1332a b +--的最小值为_____________.【解析】【分析】由已知条件等式配凑积为定值(3)(2)6a b --=的形式，再利用基本不等式求解可得最小值.【详解】由23a b ab +=，得230ab a b --=，则236(3)(2)6ab a b a b --+=--=，由已知0,0a b >>，则23(3)0a ab b b a =-=->，所以3a >，且32(2)0b ab a a b =-=->，所以2b >.所以30,20a b ->->，故1332a b +≥--当且仅当1332a b =--，即32a b ==+所以1332a b +--.14.已知曲线e x y =上有不同的两点P 和Q ，若点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，则实数k 的取值范围为_____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，将问题转化为曲线ln y x =与2y kx x =-有2个交点，即方程ln 1x kx x=-有2个不同的实根，进而转化为()ln xh x x =和1y kx =-有两个交点，利用导数求函数()ln xh x x=的大致图象，结合图象即可求解.【详解】曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，又点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，∴曲线()ln 0y x x =>与2y kx x =-有2个交点，即2ln x kx x =-有2个不同的实根，即方程ln 1xkx x=-有2个不同的实根，设函数()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当0e x <<时，，在()0,e 上单调递增，当e x >时，，在()e,+∞上单调递增，()()max 1e eh x h ∴==，再根据当0x →时，()h x ∞→-，当x →+∞时，()0h x →，作出的大致图象，如图，由于直线1y kx =-过定点()0,1-，当直线1y kx =-与的图象相切时，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时00200ln 11ln x x x k x x +-==，即002ln 10x x +-=，可得01x =，此时切线的斜率为1，由图可知，01k <<时，直线1y kx =-与的图象有2个交点，∴实数k 的取值范围为 벘ࢿ，故答案为： 벘ࢿ.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数32()2g x x mx mx n =+-+的图象在点(1,(1))g --处的切线与直线820x y +-=垂直.（1）求m 的值;（2）已知()g x 在区间[1,2]-上的最小值为5-，求()g x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）1m =-（2）1.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断()g x 的单调性，结合()g x 的最小值为5-，求出n ，并求出最大值.【小问1详解】由已知，得2()34g x x mx m '=+-，由题知(1)348g m m '-=--=，解得1m =-.【小问2详解】由（1）可知，32()2g x x x x n =-++，21()3413(1)3g x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，,(),()x g x g x '的变化情况如表所示：x 1-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,2)2()g x '+0-0+()g x 4n - 极大值427n + 极小值n 2n +4n n -< ，min ()45g x n ∴=-=-，1n ∴=-，max 42,()2 1.27n n g x n +<+∴=+= 即()g x 在区间[1,2]-上的最大值为1.16.已知向量(cos sin ),(cos sin ,2cos )m x x x n x x x =+=- ，函数()g x m n =⋅ .（1）求()g x 的最小正周期;（2）若函数()()f x g x a =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π（2）[1,2).【解析】【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为y a =与函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】22()cos sin cos g x m n x x x x =⋅=-+，cos 222sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()g x ∴的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由题知()g x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，即函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y a =恰有两个交点，令72,0,,,6266u x x u ππππ⎡⎤⎡⎤=+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，作出72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =，如图.由图知，当12a ≤<时，72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知57cos 14C =，4a =，且ABC V 的面积为（1）求c ；（2）延长CB 至点D ，使得ABD △是等腰三角形，求sin DAC ∠.【答案】（1）2（2）32114【解析】【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出sin C ，然后根据三角形的面积公式求出b 的值，再利用余弦定理求解即可；（2）首先利用余弦定理的推论求出1cos 2ABC ∠=-，进而得到3ABD π∠=，根据ABD △是等腰三角形得到ABD △是边长为2的等边三角形，再利用ADC ABD ABC S S S =+ 求解即可.【小问1详解】cos 14C = ，(0,π)C ∈，sin 14C ∴===，1121sin 42214ABC S ab C b ==⨯⨯⨯= ，b ∴=∴由余弦定理得222222cos 424414c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，2c ∴=；【小问2详解】如图，由（1）及余弦定理可得，222222421cos 22422a cb ABC ac +-+-∠===-⨯⨯，2π3ABC ∴∠=，π3ABD ∴∠=， ABD △是等腰三角形，∴ABD △是边长为2的等边三角形，2AD AB ==，224ADC ABD ABC S S S =+=⨯+=又1sin 2ADC S AD b DAC DAC =⨯∠=∠= 321sin14DAC ∴∠=.18.已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y ++-=-.（1）求(1),(1)f f -;（2）判断()f x 的奇偶性;（3）若当1x >时，()0f x >，且(2)1f =，求不等式(2)(1)2f x f x +--<的解集.【答案】（1）0；0（2）偶函数（3）2(,2)2,(2,)5⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用赋值法计算可得；（2）对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，即可得到()()()f a f b f ab +=，再令1b =-，即可得解；（3）首先说明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再得到(4)2f =，则不等式转化为(2)(44)f x f x +<-，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】因为对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y++-=-，令1,0x y ==，得(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f ∴=，令1,0x y =-=，得(1)(1)(1)0f f f -+-==，(1)0f ∴-=.【小问2详解】对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，可得()()()f a f b f ab +=.在上式中，令1b =-，得()(1)()f a f f a +-=-，即对任意非零实数a ，都有()()f a f a =-，()f x ∴是偶函数.【小问3详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，有22111,0x x f x x ⎛⎫>∴> ⎪⎝⎭，由（2）知()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增.(2)1,211(2)(2)(4)f f f f =∴=+=+= ，(2)(1)2f x f x +--< ，(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x ∴+<-+=-+=-()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，∴原不等式转化为0|2||44|x x <+<-，解得2x <-或225x -<<或2x >，∴原不等式的解集为2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭.19.已知函数()(2)e (2)1x f x x ax x =---+.（1）若()f x 仅有一个极值点且()2f x >-恒成立，求实数a 的取值范围;（2）当a 变化时，求()f x 的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数tan()y A x ωϕ=+，使其图象经过上述所有定点;（3）证明：21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦.【答案】（1）(]e 3,0-（2）ππtan 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()(1)e 2x f x x a =--'分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可；（2）令a 的系数为0求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可；（3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得.【小问1详解】由题知()()(1)e 22(1)e 2x x f x x ax a x a '=--+=--，①当0a ≤时，20x e a ->恒成立，∴当1x <时，()0,()'<f x f x 在(,1)-∞单调递减，当1x >时，()0,()'>f x f x 在(1,)+∞单调递增，则()f x 仅有一个极值点，且min ()(1)e 1f x f a ==-++.要使()2f x >-恒成立，得(1)e 12f a =-++>-，解得e 3a >-.所以e 30a -<≤；②当0a >时，由()0f x '=，得11x =或()2ln 2x a =.当ln(2)1a =，即e 2a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在R 上单调递增，即函数()f x 无极值点，不满足题意；当ln(2)1a >时，即2e a >时，1ln(2)a <当1x <时，()0f x '>，()f x 在(,1)-∞单调递增；当1ln(2)x a <<时，()0f x '>，()f x 在()1,ln(2)a 单调递减；当ln(2)x a >时，()0f x '>，()f x 在()ln(2),a +∞单调递增；则()f x 在1x =与ln(2)x a =处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意；同理，当ln(2)1a <时，即0e 2a <<时，()f x 也有两个极值点，故不满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(]e 3,0-.【小问2详解】令(2)0x x -=，可得0x =或2x =，(0)1,(2)1f f =-= ，()f x ∴的图象经过的所有定点的坐标为(0,1)-和(2,1).函数tan()y A x ωϕ=+图象过(0,1)-和(2,1)，则tan 1A ϕ=-，且()tan 21A ωϕ+=.当ππ1,,44A ωϕ===-时，函数ππ()tan 44x x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π14(0)tan ϕ⎛⎫-⎝==-⎪⎭，且1(2)ta 4n πϕ==满足题意.图象经过点(0,1)-和(2,1)的函数tan()y A x ωϕ=+可以是ππtan 44y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.(函数解析式不唯一)【小问3详解】要证21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦，即证21(21)e e 2ln 304x x x x ---+>.设21()(21)e e 2ln 34x x g x x x =---+，则()222()e e e 1e x x x x g x x x x x '⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭0,e 10,x x x >∴+> 设2()e (0)x h x x x=->，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，232(1)e 20,e 303h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭故存在唯一的02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002e 0x h x x =-=，即002e x x =，即00ln ln 2x x =-+.∴当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，()min 0()()g x g x g x ∴≥=()00200121e e 2ln 34x x x x =---+()20000122212ln 2234x x x x ⎛⎫=-⨯--++ ⎪⎝⎭0201232ln 2.x x =-+-设21()232ln 2t x x x =-+-，则()t x 在区间2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2491()32ln 22(1ln 2)033412t x t ⎛⎫>=-+-=+-> ⎪⎝⎭，21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤∴++-->+-⎣⎦.【点睛】方法点睛：在导函数应用题型中，有些题目零点不会解，可以采用设出零点，利用导数为0条件代回函数解析式求解最值的方法，一般步骤如下：（1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程()0f x '=，并结合()f x 的单调性得到零点的取值范围．（2）以零点为分界点，说明导函数()f x '的正负，进而得到()f x 的最值表达式．（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小．。

山西省部分学校2023-2024学年高三年级阶段性测试(定位)数学试题及答案

【山西专版】考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,0A =-，{}0,1,2B =，则()U A B ð数学试题=A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}0,1,22．832x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中常数项为A ．112B ．56C ．28D ．163．已知函数()()()()32321f x a x a x a x a =-+-+-+若对任意0x R ∈，，曲线()y f x =在点()()0,x f x 和()()0,x f x --处的切线互相平行或重合，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．34．干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为A ．丁辰年B ．癸未年C ．甲午年D ．甲申年5．将一个圆台的侧面展开，得到的扇环的内弧长为4π，外弧长为8π，外弧半径与内弧半径之差为m ，若该圆台的体积为3，则m =A ．4B ．3C ．2D ．16．设非零复数1z 和2z 在复平面内对应的向量分别为OP uu u r 和OQ uuu r ，其中O 为原点，若12zw z =为纯虚数，则A ．OP OQ∥u u u r u u u r B ．OP OQ=u u u r u u u r C ．()()OP OQ OP OQ+⊥-u u u r u u u r u u u r u u u r D ．OP OQ OP OQ+=-u u u r u u u r u u u r u u u r 7．已知α，β，γ均是锐角，设sin cos sin cos sin cos αββγγα++的最大值为tan θ，则()sin sin cos θθθ+=AB ．1513C ．1D ．5138．已知实数a ，b ，c 满足ln 15a =，73log 2b =，67c=，则A ．c a b>>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．a b c>>二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点()00,M x y 在C 上，若∠MOF =45°（O 为坐标原点），则A ．04x =B ．04y =C ．5MF =D ．3cos 5OFM =∠10．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，则A ．2A =B ．0ωϕ+=C ．()f x 的图象关于点()23,0对称D ．不等式()41f x >的解集为()513221212,k k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎭+⎝+11．在四棱锥P ABCD -中，已知2222AD PD AB BC CD =====，AP =，且BAD ADC ∠=∠，则A ．四棱锥P ABCD -的体积的取值范围是0,3⎛ ⎝⎦B ．2PB 的取值范围是(7-+C ．四棱锥P ABCD -的外接球的表面积的最小值为8πD ．PB 与平面PAD 所成角的正弦值可能为7三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆C 经过点()8,6M ，且有一条直径的两个端点分别在x ，y 轴上，则圆C 的面积的最小值为______．13．甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为34，乙每次射门射进的概率均为23，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为______．14．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，斜率为12的直线l 经过点1F 且交C 于A ，B 两点（点A 在第一象限），若12AF F △的面积是12BF F △的面积的3倍，则C 的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某学校准备订做新的校服，有正装和运动装两种风格可供选择，为了解学生和家长们的偏好，学校随机调查了200名学生及每名学生的一位家长，得到以下的2×2列联表：更喜欢正装更喜欢运动装家长12080学生16040（Ⅰ）根据以上数据，判断是否有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异；（Ⅱ）若从家长中按不同偏好的人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人进行座谈，再从这5人中任选2人，记这2人中更喜欢正装的家长人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.82816．（15分）如图，A 是以BC 为直径的圆O 上的点，PA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是线段PA ，PB 上的点，且满足()01PD PEPA PBλλ==<<，2PA AB AC ==．（Ⅰ）求证：DE CD ⊥；（Ⅱ）若二面角B CE D --的正弦值为12，求λ的值．17．（15分）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆222x y a +=的一个交点为(A ．（Ⅰ）求C 的方程．（Ⅱ）过点A 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，且1l 与C 的左、右支分别交于B ，D 两点，2l 与C 的左、右支分别交于E ，F 两点，判断AB AF AD AE +=+能否成立．若能，求该式成立时直线1l 的方程；若不能，说明理由．18．（17分）已知函数()()cos sin ax b xf x e a b x -=-，0a >，0b >．（Ⅰ）若12a =，1b =，讨论()f x 在区间()0,2π上的单调性；（Ⅱ）设t 为常数，若a b t =+”’是“()f x 在R 上具有单调性”的充分条件，求t 的最小值．19．（17分）对于数列{}n a ，若存在0M >，使得对任意*n N ∈，总有11nk k k aa M +=-<∑，则称{}n a 为“有界变差数列”．（Ⅰ）若各项均为正数的等比数列{}n a 为有界变差数列，求其公比q 的取值范围；（Ⅱ）若数列{}n b 满足112n nb b ++=，且12b =，证明：{}n b 是有界变差数列；（Ⅲ）若{}n x ，{}n y 均为有界变差数列，且10n y y ≥>，证明：n n x y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是有界变差数列．天一大联考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案数学（山西专版）答案C命题意图本题考查集合的表示与运算．解析由已知易得{}U 2,1,2A =-ð，所以(){1,2}U A B =I ð．2．答案A 命题意图本题考查二项式定理的应用．解析常数项为226288324112C x C x ⎛⎫= ⎪⎭=⎝⋅-．3．答案C命题意图本题考查导数的几何意义和函数的奇偶性．解析由题意知()()()233221f x a x a x a '=-+-+-为偶函数，则2a =．4．答案D命题意图本题考查等差数列的应用．解析天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于221242024100-=，故100年后天干为甲，由于1001284÷=L L ，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，所以2124年为甲申年．5．答案B命题意图本题考查圆台的有关计算．解析易知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为m ．设圆台的高为h ，根据题意可知该圆台的体积为()()2222112852244333V r rR R h h ππ=++=+⨯+=，解得h =，则3m ===．6．答案D命题意图本题考查复数的几何意义以及平面向量的运算．解析设1z a bi =+，2z c di =+，w ki =，其中a ，b ，c ，d ，k R ∈，且a ，b 不同时为0，c ，d 不同时为，k ≠，由题意()a bi ki c di kd cki+=+=-+，所以(,)(,)0OP OQ a b c d ac bd kdc kcd ⋅=⋅=+=-+=uu u r uuu r，所以OP OQ OP OQ +=-uu u r uuu r uu u r uuu r ．7．答案B命题意图本题考查三角恒等变换及基本不等式的应用．解析由基本不等式可得22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，三式相加，可得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，当且仅当α，β，γ均为4π时等号成立，所以3tan 2θ=，则2222sin (sin cos )tan tan 15sin (sin cos )sin cos tan 113θθθθθθθθθθθ+++===++．8．答案C命题意图本题考查指数函数和对数函数的综合性质．解析由已知得15a e=，7log 8b =，6log 7c =．令()ln(1)ln (1)xx f x x +=>，则()2(1)ln(1)ln ln (1)()x x x f x x x x x -++'=+，显然()0f x '<，即()f x 单调递减，所以()()67f f >，即ln 7ln8ln 6ln 7>，亦即67log 7log 8>，c b >．由1xe x ≥+，可得1516155e >+=，而5666log 7log 66<=，所以66log 75<，所以a c >．综上可知a c b >>．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．答案AC 命题意图本题考查抛物线的方程与性质．解析若∠MOF =45°，则00tan 1MO y F x ==∠，又2004y x =，解得0044y x =⎧⎨=⎩或0044y x =⎧⎨=-⎩，故A 正确，B 错误；由抛物线的定义，得()415MF =--=，故C 正确；由余弦定理得(222153cos 2155OFM +-==-⨯⨯∠，故D 错误．10．答案ABD 命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析设()f x 的最小正周期为T ，由图象可知2A =，()35164T =--=1-解得8T =，故284ππω==，则()2sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()1,2--代入解析式，得2sin 24πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+=-，所以4πϕ=-，所以()2sin 44f x x ππ⎛=-⎫ ⎪⎝⎭，故A ，B 正确；()11232sin 2sin 222f ππ⎛⎫ ⎝=-⎪⎭==-，故C 错误；()41f x >即为2sin 14x ππ⎛⎫ -⎪⎭>⎝，得1sin 42x ππ⎛⎫ ⎪⎭>⎝-，得()522646k k x Z k ππππππ+<<+∈-，得()513221212Z k x k k +<+∈<，故D 正确．11．答案BCD命题意图本题考查棱锥的结构以及棱锥与球的综合问题．解析由已知可得，四边形ABCD 是上底为1，下底为2，底角为60°的等腰梯形，所以232444ABCD S =⨯⨯=梯形，PD AD ⊥．对于A ，当PD ⊥底面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大，最大体积为12342⨯⨯=，故A 错误；对于B ，在PBD △中，2PD =，BD =，60120PDB <∠<︒︒，用余弦定理可知2PB 的取值范围是(77-+，故B 正确；对于C ，当PD ⊥平面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的外接球的半径等于PAD △的外接圆的半径，此时外接球的半径最小，为2PA=248ππ=，故C 正确；对于D ，设PB 与平面PAD 所成角为θ，当PD ⊥平面ABCD 时，计算可得sin 14147θ=>=，当P 靠近平面ABCD 时，θ趋向于0，所以存在某个P 点，使得sin 7θ=，故D 正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．答案25π命题意图本题考查圆的方程与性质．解析因为圆C 的一条直径的两个端点分别在x ，y 轴上，所以该圆一定过原点O ．又圆C 经过点()8,6M ，所以当OM 为圆C 的直径时，圆C 的面积最小，又10OM ==．所以圆C 的面积最小值为210252ππ⎛⎫⎪⎭= ⎝⨯．13．答案109216命题意图本题考查概率的乘法公式．解析若乙射进1次，则他赢的概率为221322311133472C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯-⨯⨯-=；若乙射进2次，则他赢的概率为222322371133436C ⎡⎤⨯-⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；若乙射进3次，则他赢的概率为328327⎛⎫ ⎪⎝⎭=．故乙赢的概率为178109723627216++=．14．答案4命题意图本题考查椭圆与直线的位置关系．解析因为12AF F △的面积是12BF F △的面积的3倍，所以3AB y y =-．设C 的半焦距为()0c c >，则直线l ：2x y c =-，联立方程可得2222222x y c x a y b b a =-⎧⎨+=⎩消去x 得()22224440b a y b cy b +--=，则22244A B b cy y a b +=+，4224A B b y y a b =-+，又()22A B A B A BB Ay y y y y y y y +=++，即2222422441423334b c a b b a b +=-+-=--+⎛⎫⎪⎝⎭，化简可得2224143c a b =+，得2222244154543c e a c e ==--，解得4e =．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题意图本题考查独立性检验的应用以及超几何分布．解析（Ⅰ）由题可知()22400160801204040019.04820020028012021χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为19.048 6.635>，所以有99%的把握认为学生与家长对校服风格的偏好有差异．（Ⅱ）座谈的家长中更喜欢正装的人数为12053200⨯=，更喜欢运动装的人数为8052200⨯=．由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，则()22251010C P X C ===，()112325315C C P X C ===，()23523210C P X C ===，故X 的分布列为X 012P11035310所以X 的数学期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．16．命题意图本题考查空间位置关系的推理与证明、二面角的计算．解析（Ⅰ）因为A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的点，所以AB AC ⊥，因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥．又AC PA A =，所以AB ⊥平面PAC ，因为PD PEPA PB=，所以DE AB ∥，所以DE ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面PAC ，所以DE CD ⊥．（Ⅱ）分别以AC ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2PA AB ==，1AC =，则点()0,2,0B ，()1,0,0C ，()0,0,2P ，()()0,0,21D λ-，()()0,2,21E λλ-，则()1,2,0BC =-u u u r ，(1,0,2)CP =-u u u r，()()1,0,21CD λ=--u u u r ，()()1,2,21CE λλ=--u u u r 设平面CDE 的法向量为(),,nx y z =，则()()2102210n CD x z n CE y x z λλλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 取()()21,0,1n λ=- ．设平面BCE 的法向量为(),,m p q r =，则2020m BC p q m CP p r ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取()2,1,1m =．因为二面角B CE D --的正弦值为12，所以cos,2mnn mnm===⋅，解得12λ=或52λ=-（舍去）．17．命题意图本题考查双曲线的性质，双曲线与直线的位置关系．解析（Ⅰ）由题可知2 a==，1ba=，b=，故C的方程为221412x y-=．（Ⅱ）不能成立．显然直线1l，2l的斜率均存在，设直线1l的方程为(1)y k x=-+，直线2l的方程为1(1)y xk=--+，()11,B x y，()22,D x y．（6分）联立1l与C的方程可得()221312y k xx y⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩222(3)2(150k x k k x k-+--+-=，因为1l与C的左、右支分别相交，所以k<<同理1k<-<3k<<-或3k<<（*）因为12x x+=，所以1212(1)(1AB AD x x x x-=---=+-=，同理可得AE AF-==．若AB AF AD AE+=+，则AB ADAE AF-=-，=即可，解得12k=-，22k=+，显然1k ，2k 都不符合（*）．所以AB AF AD AE +=+不能成立．18．命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性．解析由题可知()()cos 222sin cos ax b x f x ea b x b -'=--，即()()cos 2222cos cos ax b x f x e b x b x a b -'=-+-．（I ）12a =，1b =，则()c 12os 312c os 2os c x x x x x f e -⎛⎫'=⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭-．由()0f x '<得0os 2c 1x +>，即203x π<<或423x ππ<<；由()0f x '>得0os 2c 1x +<，即2433x ππ<<．因此()f x 在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在24,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）若()f x 具有单调性，则2222cos cos b x b x a b -+-不变号．设cos u x =，则11u -≤≤，即()2222g u b u bu a b =-+-不变号，由于0b >，因此()g u 是二次函数．若()0g u ≤在[]1,1-恒成立，则()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即2200a b a b ⎧+≤⎨-≤⎩由于0a >，0b >，所以该情形不成立．若()0g u ≥在[]1,1-恒成立，则1021012g b b ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<<⎪⎩或()10112g b ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩即12a b ⎫≥>⎪⎭或a 102ab ⎫≥<≤⎪⎭．由于t a b =-，因此()10212,,b b t h b b b ⎧-<≤⎪⎪≥=>恒成立当102b <≤时，()2111244h b ⎫=-+≤⎪⎭（当14b =时等号成立），当12b >时，()1144h b =<<，因此()max 14h b =，故t 的最小值为14．19．命题意图本题考查数列的综合问题．解析（Ⅰ）因为{}n a 的各项均为正数，所以10a >，0q >，11k k k k k a a a q a a q +-=-=-，当1q =时，10k k a a +-=，110n k k k a a +=-=∑，任取0M >即可，所以{}n a 为有界变差数列．当1q ≠时，11121(1),||()|1||1|1n n k k n k a q a a a a a q q q +=--=+++-=--∑L ，若01q <<，则()()1111|1|11nn a q q aq a q --=-<-，令1M a =即可，所以{}n a 为有界变差数列，若1q >，则()()111|1|11nn a q q aq q --=--，当n →+∞时，()11n a q -→+∞，显然不存在符合条件的M ，故{}n a 不是有界变差数列．综上，q 的取值范围是(]0,1．（Ⅱ）由112n n b b ++=，可得111n n nb b b +--=，易知1n b ≠，所以1111111n n n n b b b b +==+---，因此11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1111b =-，公差为1的等差数列，所以11n n b =-，即11n b n=+．所以1111111k k b b k k k k +-=-=-++，1111111111n n k k k k b b k k n +==⎛⎫-=-=-< ⎪++⎝⎭∑∑，所以{}n b 是有界变差数列．（Ⅲ）由有界变差数列的定义可知，1112111n k k n n n n k xx x x x x x x M ++-=-=-+-++-<∑L ，1112121nk k n n n n k y y y y y y y y M ++-=-=-+-++-<∑L ．因为1111112111211n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x M +++-+--≤-=-+-++-≤-+-++-<L L ，所以111n x M x +≤+．111111111111||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x y x y x y x y x y x y y y y y y y ++++++++++++--+--==111111111|()()|||||||||||||||||n n n n n n n n n n n n n n n n y x x x y y x x x y y y y y y y +++++++++-----=+ ()1111211n n n n M x y y x x y y +++--≤+因此()()1111112111122111111n n k k k k nk k k k k k k x x M x y y M x M x x M y y y y y y +++===+-+-+-≤+<+∑∑∑∣，所以n n x y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是有界变差数列．。

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高三数学阶段性测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若集合P＝{x｜x＝3m＋1，m∈N*}，Q＝{y｜y＝5n＋2，n∈N*}，则P∩Q＝( B)A.{x｜x＝15k－7，k∈N*}B.{x｜x＝15k－8，k∈N*}C.{x｜x＝15k＋8，k∈N*}D.{x｜x＝15k＋7，k∈N*}(2)已知tan160o＝a，则sin2000o的值是( A)A.a1＋a2B.－a1＋a2C.11＋a2D.－11＋a2(3)等差数列{a n}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则前9项的和S9等于( B)A.66B.99C.144D.297(4)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax＋4－3a)的值域为实数集R，则实数a的取值范围是( C )A.(－∞，－4) (1，∞)B.[－4，1]C.(－∞，－4] [1，∞)D.(－4，1)(5)设函数f(x)＝1－x2＋log12(x－1)，则下列说法正确的是( D)A.f(x)是增函数，没有最大值，有最小值B.f(x)是增函数，没有最大值、最小值C.f(x)是减函数，有最大值，没有最小值D.f(x)是减函数，没有最大值、最小值(6)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1＋k，2＋k－k2)，若a⊥b，则实数k为( B)A.－1B.0C.－1或0D.－1或4(7)设函数y＝f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，若对于任意的正数a，函数g(x)＝f(x＋a)－f(x)都是其定义域y( C)A B C D(8)在直角坐标系中，函数y ＝－21－(x －1)2的图像关于直线y ＝x 的对称曲线为 ( D )(9)已知定义在实数集上的函数)(x f 满足f(x ＋1)＝x 2＋2，则f －1(x ＋1)的表达式是 ( B )A.2x －2B.2x －1C.2x ＋2D.2x ＋1(10)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且对任意实数x 都有f (x )＝f (－m －x )，其中m ∈(0，2)，那么( B ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C.f (0)＜f (2)＜f (－2) D.f (2)＜f (0)＜f (－2) (11) 函数y ＝－3sin x ＋cos x 在x ∈[－π6，π6]时的值域是 ( D )A. [0，62] B.[－3，0] C.[0，1] D.[0，3] (12)已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 ( C )A.7个B.8个C.9个D.10个二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.(13)已知命题p ：不等式｜x ｜＋｜x －1｜＞a 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若p ，q中有且仅有一个为真命题，则实数a 的取值范围是 [1，2）． (14)计算：2cos10o －sin20o cos20o＝(15)已知f (x )＝2x ＋3x －1，若函数y ＝g (x )的图象与y ＝f －1(x )＋1的图象关于直线y ＝x 对称，则g (3)＝__7_．(16)给出四个命题①函数y ＝a |x |与y ＝log a |x |的图象关于直线y ＝x 对称(a ＞0，a ≠1)；②函数y ＝a |x |与yB CD＝(1a )|x |的图象关于y 轴对称(a ＞0，a ≠1)；③函数y ＝log a |x |与log 1a |x |的图象关于x 轴对称(a ＞0，a ≠1)；④函数y ＝f (x )与y ＝f－1(x ＋1)的图象关于直线y ＝x ＋1对称，其中正确的命题是 ③ ．三、解答题：本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数f (x )＝12(sin ωx ＋a cos ωx )(a ∈R ，0＜ω≤1)满足：f (x )＝f (π3－x )，f (x －π)＝f (x ＋π)．（I ）求f (x )的解析式；（II ）若m 2－4n ＞0，m ，n ∈R ，求证：“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f （x ）]2＋mf (x )＋n ＝0在区间(－5π6，π6)内有两个不等的实根”的充分不必要条件．解：（I ）由f (x －π)＝f (x ＋π)知f (x )＝f (x ＋2π)，即函数f (x )的周期为2π．∵ f （x ）＝12（sin ωx ＋a cos ωx ）＝a 2＋12sin （ωx ＋ϕ），其中sin ϕ＝a a 2＋1，cos ϕ＝1a 2＋1，∴2π|ω|≤2π，即|ω|≥1．又0＜ω≤1，∴ ω＝1．又∵ f （x ）＝f （π3－x ），∴ f （0）＝f （π3），即 12（sin0＋a cos0）＝12（sin π3＋a cos π3），解得 a ＝3，∴ f （x ）＝sin （x ＋π3）． (II)显然，x ∈（－5π6，π6）等价于x ＋π3∈（－π2，π2）．令u ＝x ＋π3，f (x )＝t ，g (t )＝t 2＋mt ＋n ，则f (x )＝sin u ，由｜m ｜＋｜n ｜＜1得｜m ＋n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴ m ＋n ＞－1．同理由｜m －n ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1得m －n ＜1． ∴ g (1)＝m ＋n ＋1＞0，g (－1)＝1－m ＋n ＞0．又∵｜m ｜≤｜m ｜＋｜n ｜＜1，∴－m2∈（－1，1）．又∵Δ＝m 2－4n ＞0，∴ 一元二次方程t 2＋mt ＋n ＝0在区间（－1，1）内有两个不等的实根． ∵ 函数y ＝sin u （u ∈（－π2，π2））与u ＝x ＋π3（x ∈（－5π6，π6））都是增函数， ∴ [f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根．∴ “｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分条件．令m ＝56，n ＝16，由于方程t 2＋56t ＋16＝0有两个不等的实根－13，－12，且－13，－12∈(－1，1)，∴ 方程sin 2（x ＋π3）＋56sin （x ＋π3）＋16＝0在（－5π6，π6）内有两个不等的实根，但｜m ｜＋｜n ｜＝56＋16＝1，故“｜m ｜＋｜n ｜＜1”不是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的必要条件．综上，“｜m ｜＋｜n ｜＜1”是“方程[f (x )]2＋mf (x )＋n ＝0在区间（－5π6，π6）内有两个不等实根”的充分不必要条件．(18)（本小题满分12分）已知函数f (x )＝a x －24－a x －1(a ＞0，a ≠1).(I)求函数f (x )的定义域、值域；(II)是否存在实数a ，使得函数f (x )满足：对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0.(I)解：由4－a x ≥0,得a x ≤4．当a ＞1时，x ≤log a 4；当0＜a ＜1时，x ≥log a 4．即当a ＞1时，f (x )的定义域为(－∞，log a 4]；当0＜a ＜1时，f (x )的定义域为[log a 4，＋∞)．令t ＝4－a x ，则0≤t ＜2，且a x ＝4－t 2，∴ f (x )＝4－t 2－2t －1＝－(t ＋1)2＋4，当t ≥0时，f (x )是t 的单调减函数，∴f (2)＜f (x )≤f (0)，即－5＜f (x )≤3， ∴ 函数f (x )的值域是(－5，3]．(II)若存在实数a 使得对于区间(2，＋∞)上使函数f (x )有意义的一切x ，都有f (x )≥0，则区间(2，＋∞)是定义域的子集．由(I)知，a ＞1不满足条件；若0＜a ＜1，则log a 4＜2，且f (x )是x 的减函数．当x ＞2时，a x ＜a 2．由于0＜a 2＜1，∴t ＝4－a x ＞3，∴f (x )＜0，即f (x )≥0不成立．综上，满足条件的a 的取值范围是．(19)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是边长为a 的正方形，且PD ＝a ，P A ＝PC ＝2a ． (Ⅰ)求证：直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求二面角A －PB －D 的大小．DBACP(Ⅰ)证明：∵ 在ΔPDA 中，AD ＝a ，PD ＝a ，P A ＝2a ，)∴ AD 2＋PD 2＝P A 2，即 PD ⊥AD ．同理，PD ⊥CD ． (第19题) 又AD 、CD ⊂平面ABCD ，AD CD ＝D ，∴ 直线PD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)解：如图，连接AC 和BD ，设AC BD ＝O ．由(I)知AC ⊥PD ．又 AC ⊥BD ，且PD 、BD ⊂平面PBD ，PD BD ＝D ，∴ 直线AC ⊥平面PBD ．过点O 作OE ⊥PB ，E 为垂足，连接AE ．由三垂线定理知 AE ⊥PB ，∴ ∠AEO 为二面角A －PB －D 的平面角． ∵ AB ⊥AD ，由三垂线定理知 AB ⊥P A ，∴ 在ΔPAB 中，AE ＝P A ·AB PB ＝23a ，在ΔABD 中，OA ＝22a ，在ΔAOE 中，sin ∠AEO ＝AEOA＝22a 23a ＝32，即 ∠AEO ＝60o ，∴ 二面角A －PB －D 为60o ．(20)（本小题满分12分）以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润． (I)分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；(II)问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？解：设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b （k ＜0），则旺季的最高价格为－bk元/件，利润函L （x ）＝（x －100）·（kx ＋b ）＝kx 2－（100k －b ）－100b ，x ∈[100，－bk]，D BACP OE当x ＝100k －b 2k ＝50－ b 2k 时，L （x ）最大，由题意知，50－ b 2k ＝140，解得－ b k ＝180，即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是180×23＝120（元/件）．现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n （m ＜0），则淡季的最高价格为－nm＝120（元/件），即n ＝－120m ，利润函数L （t ）＝（t －100）·（mt ＋n ）＝（t －100）·（mt －120m ）＝－m （t －100）·（120－t ），t ∈[100，120]． ∴ t －100＝120－t ，即t ＝110时，L （t ）为最大，∴ 在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．(21)（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．（I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n +1＞50成立的正整数n 的最小值．解：（I ）设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，其中a 1≠0，q ≠0．由题知⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ①a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2)， ②由②×7－①得 6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0，即 2q 2－5q ＋2＝0，解得 q ＝2或q ＝12．∵ 等比数列{a n }单调递增，∴a 1＝2，q ＝2，∴ a n ＝2·2n -1＝2n ．（II ）由（I ）得 b n ＝a n log 12a n ＝2n log 122n ＝－n ·2n ，∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－（1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ）．设 T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ③ 则 2T n ＝ 1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ④由③－④得－T n ＝1×2＋1×22＋1×23＋…＋1×2n －n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝－（n －1）2n ＋1－2，∴ S n ＝－（n －1）·2n ＋1－2．要使S n ＋n ·2n +1＞30成立，即要－（n －1）·2n ＋1－2＋n ·2n +1＞50，即要 2n ＞26． ⑤ ∵ 函数y ＝2x 是单调增函数，且24＝16＜26，35＝32＞26，由⑤得n 的最小值是5．(22)（本小题满分14分）已知F 1(－2，0)，F 2(2，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 的两个交点为M ，N ，且|MN |的最小值为6． (I)求椭圆C 的方程；(II)设A ，B 为椭圆C 的长轴顶点．当|MN |取最小值时，求∠AMB 的大小．解：(Ⅰ)由题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其中c ＝2，a 2－b 2＝4．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN ⊥x 轴，则MN 的方程为x ＝－2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y 2＝b 2(1－4a 2)＝b 4a 2，∴ |y 1－y 2|＝b 2a ，即|AB |＝2b 2a．若直线MN 不与x 轴垂直，则设MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得 x 2a 2＋k 2(x 2＋4x ＋4)b 2＝1，即 (a 2k 2＋b 2)x 2＋4a 2k 2x ＋a 2(4k 2－b 2)＝0．△＝(4a 2k 2)2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(4k 2－b 2)＝4a 2b 2[(a 2－4)k 2＋b 2]＝4a 2b 4(1＋k 2)， ∴ |x 1－x 2|＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b2，∴ |MN |＝2ab 21＋k 2a 2k 2＋b 2·1＋k 2＝2ab 2(1＋k 2)a 2k 2＋b2＝2b 2a ·1＋k 2k 2＋b 2a2＞2b 2a ．综上，|MN |的最小值为2b 2a ．由题知 2b 2a＝6，即 b 2＝3a ．代入a 2－b 2＝4，得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1(舍)，或a ＝4．∴ b 2＝12． ∴ 椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知A (－4，0)，B (4，0)．当|MN |取得最小值时，MN ⊥x 轴．根据椭圆的对称性，不妨取M (－2，3)，∠AMB 即直线AM 到直线MB 的角．∵ AM 的斜率k 1＝3－0－2＋4＝32，BM 的斜率k 2＝3－0－2－4＝－12，∴ tan ∠AMB ＝k 2－k 11＋k 1k 2＝－12－321－12×32＝－8．∵ ∠AMB ∈(0，π)，∴ ∠AMB ＝π－arctan8．。