空间向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a1b1,a2 b2,a3 b3) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B
课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
空间向量运算的坐标表示ppt课件
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示课件
53
53
53
13
A. 4
B. 2
C. 2
D. 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
解析答案
12345
3.设 O 为坐标原点，M(5,－1,2)，A(4,2,－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( B )
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
自主学习
答案
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23.
知识点三 空间两点间的距离 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|A→B|
学习目 标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些 知识解决一些相关问题.
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
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北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
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题型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 例 1 设 O 为坐标原点，向量O→A＝(1,2,3)，O→B＝(2,1,2)，O→P＝(1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动，则当Q→A·Q→B取得最小值时，求点 Q 的坐标.
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
空间向量运算的坐标表示
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
《空间向量运算的坐标表示》知识解读
《空间向量运算的坐标表示》知识解读1、空间向量的坐标在空间直角坐标系O xyz -中,分别沿x 轴、y 轴、z 轴正方向作单位向量,,i j k ,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{,,}i j k ,这组基叫作标准正交基.根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p ,都存在唯一的三元有序实数组(,,)x y z ,使得p xi yj zk =++反之,任意给出一个三元有序实数组(,,)x y z ,,也可找到唯一的一个向量x y z =++p i j k 与之对应.这样,就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系,把三元有序实数组(,,)x y z 叫作向量p 在标准正交基{,,}i j k 下的坐标,记作(,,)x y z =p单位向量,,i j k 都叫作坐标向量.,,x y z i j k 实际上分别是向量p 在,,i j k 方向上所作的投影向量,,,x y z 分别是向量p 在,,i j k ,方向上所作投影向量的数量. 在空间直角坐标系O xyz -中,对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP =p ,.若点p 的坐标为(,,)x y z ,由空间向量的加法不难得出OP =x y z ++i j k (如图),于是向量OP 的坐标也是(,x y ,)z(1)标准正交基是两两互相垂直且长度为1的向量,即i i ⋅=1,0.⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=j j k k i j j k i k(2)只有在标准正交基下的分解才是空间向量的坐标,其他基下的分解不是向量的坐标.空间中任一向量的坐标是唯一的. (2)空间向量的坐标表示 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b ,则()121212,,.x x y y z z +=+++a b ()121212,,.x x y y z z -=---a b()111,,().x y z λλλλλ=∈R a 121212x x y y z z ⋅=++a b3空间向量平行和垂直的条件 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b . (1)向量平行的坐标表示212121,//(),,x x y y z z λλλλ=⎧⎪≠⇔=⇔=⎨⎪=⎩a b a 0b a当a 与三个坐标平面都不平行时,222111//x y z x y z ⇔==a b . (2)向量垂直的坐标表示12121200x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=a b a b .4空间向量长度公式的坐标表示若()111,,x y z =a ,则||===a即||=a .空间向量长度公式表示的是向量的长度,其形式与平面向量长度公式一致,它的几何意义是相应长方体的体对角线的长度. 5空间向量夹角公式的坐标表示 若()()111222,,,,,x y z x y z ==a b 则cos ,||||⋅〈〉==a ba b a b空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个的坐标),与平面向量的坐标运算相比,空间向量的坐标运算适用范围更广,它可以解决立体几何中的相关问题.。
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
下面将详细介绍这些运算。
1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。
3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。
4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。
通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。
点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。
需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。
高中数学选择性必修一课件：空间向量运算的坐标表示
探究 1 求空间某点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点． (1)当向量的始点为原点时，向量的坐标即为终点的坐标．如O→P＝3，32，－2 (其中 O 为原点)，则 P3，32，－2. (2)当向量的始点不为原点时，求终点坐标需将位置向量加上始点坐标．例如， A→P＝3，32，－2，A(2，－1，2)，则 P 的坐标为3＋2，32－1，－2＋2，即 P5，12，0.
【解析】 a⊥b⇔λ2＋1－2＝0，解得 λ＝±1.
故 λ＝1 是 a⊥b 的充分不必要条件．
(3)在空间直角坐标系中，若向量 a＝(－2，1，3)，b＝(1，－1，1)，c＝
1，－12，－32，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
D．a∥b 且 a∥c
要点 3 设 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P→1P2＝O→P2－ O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
于是|P→1P2|＝ P→1P2·P→1P2 ＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2. P1P2＝|P→1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2. 这就是_____空_间__两_点__间_的__距_离__公_式________．
题型三 夹角和距离的计算
例 4 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的 中点，G 在棱 CD 上，且 CG＝14CD，H 为 C1G 的中点，应用空间向量方法求解 下列问题．
(1)求证：EF⊥B1C； (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值； (3)求 FH 的长．
要点 2 当 b≠0 时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝ a·a＝ a12＋a22＋a32； cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ a12＋aa12b21＋＋aa322b2b＋12a＋3bb322＋b32.
空间向量运算的坐标公式
空间向量运算的坐标公式首先，我们需要明确什么是空间向量。
空间向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在空间中，我们通常使用坐标系来描述向量的位置和方向。
坐标系分为直角坐标系和斜坐标系两种。
直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，分别为X轴、Y轴和Z轴，构成一个三维空间。
而斜坐标系是以线段手段两个切平面之间的夹角小于90度的坐标系。
根据空间向量的定义，我们可以将向量表示为一个三元组(a,b,c)，其中a、b、c分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影长度。
例如，向量A可以表示为(Ax,Ay,Az)，向量B可以表示为(Bx,By,Bz)。
根据向量的定义，我们可以得到以下关于向量的基本性质：1.向量相等：当且仅当两个向量的对应分量相等时，它们相等。
即，向量A=向量B当且仅当Ax=Bx,Ay=By,Az=Bz。
2.向量的数量乘法：向量与一个实数相乘，其结果仍然是一个向量。
公式为：k*向量A=(k*Ax，k*Ay，k*Az)。
3.向量的加法：两个向量相加的结果是一个新的向量，其坐标分别为对应坐标的和。
公式为：向量A+向量B=(Ax+Bx，Ay+By，Az+Bz)。
4.向量的减法：两个向量相减的结果是一个新的向量，其坐标分别为对应坐标的差。
公式为：向量A-向量B=(Ax-Bx，Ay-By，Az-Bz)。
5. 向量的线性组合：对于n个向量A1, A2, ... An和n个实数k1, k2, ... kn，他们的线性组合记作k1 * A1 + k2 * A2 + ... + kn * An，其中k1, k2,..., kn为各自的系数。
线性组合的结果仍然是一个向量。
以上是关于向量的基本性质和运算规则。
在实际运算中，我们可以根据这些规则进行计算，将向量的坐标代入公式，求出运算结果的坐标。
除了基本运算外，我们还可以进行向量的点积和叉积运算。
1.向量的点积也称为内积或数量积，其结果是一个实数。
两个向量A 和B的点积公式为：A·B=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz。
空间向量及其运算的坐标表示(15张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
点的位置
向量位置
坐标
特点
x轴上
平行于x轴
(x,0,0)
纵、竖坐标均为0
y轴上
平行于y轴
(0,y,0)
横、竖坐标均为0
z轴上
平行于z轴
(0,0,z)
横、纵坐标均为0
Oxy平面上
平行于Oxy平面
(x,y,0)
竖坐标为0
Oyz平面上
平行于Oyz平面
(0,y,z)
横坐标为0
Ozx平面上
平行于Ozx平面
典例分析
例4如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，E,F分别是BB₁ ,D₁B₁ 的中点，求证：EF⊥DA₁证明：不妨设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 则
典例分析
所以EF ·所以EF⊥DA₁,即EF⊥DA₁
,又A₁(1,0,1),D(0,0,0),
所以DA₁=(1,0,1)
深度探究
空间向量的坐标：在空间直角坐标系0xyz 中，给定向量a,作 0A=a,
由空间向量基本定理，
(1) 垂面法：过点A作三个平面分别垂直于x轴 ，y 轴 ，z轴于B,C,D三点，点B,C,D在x轴 ，y 轴 ，z 轴上的坐标分别为x,y,z,则(x,y,z)就是点 A的坐标。(2) 垂线段法：先确定点A在0xy平面内的射影A₁,由A₁A的长度及与z轴正方向的异同，确定竖坐标z, 再在0xy平面内确定点A₁ 的横坐标x 和纵坐标y, 那么点A的坐标就是(x,y,z).(3) 向量法：当向量的起点是原点时，向量坐标与向量终点的坐标相同。
例 1 如图，在长方体OABC-D'A'B'C′中 ，OA=3,0C=4,0D'=2,以为单位正交基底，建立如图所示的直角坐标系Oxyz。
空间向量及其运算的坐标表示(解析版)
第3讲 空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )； (4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； (6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0； (7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则： (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB→|＝ (a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2 .名师导学【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【分析】点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数． 【解答】解：点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数，∴点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是(1，2-，3)．故选：B ．【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为( ) A ．(1-，2-，4)- B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)【分析】空间直角坐标系中，点关于y 轴对称，则y 值不变，x 和z 的值改变符号．【解答】解：空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，2-，4)关于y 轴对称的点为(1P '-，2-，4)-． 故选：A ．【例2-1】（钦州期末）已知(1a =，2，1)，(2b =，4-，1)，则2a b +等于( ) A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．【解答】解：22(1a b +=，2，1)(2+，4-，1)(4=，0，3)， 故选：B ．【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值； (3)设|c |＝3，c ∥BC→，求c .【分析】对于(1)直接套两向量的夹角公式即可；对于(2)将向量垂直，转化为数量积为0求解；对于(3)利用共线向量求解．【解答】 (1)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a |＝2，|b |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1010. (2)k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝k (1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.(3)∵c ∥BC→，又BC →＝(－2，－1,2)，∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c |＝3， ∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1. ∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ； (2)2a －3b ； (3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【分析】利用空间向量坐标运算公式计算即可. 【解答】(1)∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．∴a ＋b ＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a －3b ＝2(2，－1,3)－3(0，－1,2)＝(4，－2,6)＋(0,3，－6)＝(4,1,0)． (3)a ·b ＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7. (4)∵|a |＝22＋(－1)2＋32＝14， |b |＝02＋(－1)2＋22＝5， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝14－5＝9.【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )A.66 B ．－66C ．±66D ．±6【分析】利用向量数量积的计算公式变形和已知条件，将坐标带代入计算即可. 【解答】∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1,1)，∴cos 120°＝(OA →＋λOB →)·OB →|OA →＋λOB →||OB →|＝2λ2λ2＋1×2＝－12，可得λ<0，解得λ＝－66. 【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先求出BC 中点D 的坐标，再代入两点间距离公式即可计算. 【解答】∵B (4，－3,7)，C (0,5,1)，∴BC 边上的中点D (2,1,4)．又A (3,3,2)， ∴|AD |＝(2－3)2＋(1－3)2＋(4－2)2＝3.【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为 ，||OM = ．【分析】点(a ，b ，)c 关于x 轴对称的点的坐标为(a ，b -，)c -，利用两点间距离公式能求出||OM ． 【解答】解：点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点， 点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1-，2-，3)-，||(OM =-．故答案为：(1-，2-，3)-名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(( ) A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)【分析】利用对称的性质和中点坐标公式直接求解．【解答】解：设空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(a ，b ，)c ， 则212122332abc +⎧=-⎪⎪-+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得4a =-，5b =，3c =， Q ∴点坐标为(4-，5，3)．故选：B ．2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为( ) A ．(3-，2-，1)- B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-【分析】根据点(A a ，b ，)c 关于xOy 平面的对称点为(A a '，b ，)c -，写出即可． 【解答】解：点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为(3A '，2，1)-．3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为( ) A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-【分析】点(a ，b ，)c 关于原点对称的点的坐标为(a -，b -，)c -． 【解答】解：点(1A ，2-，3)，∴点A 关于原点的对称点坐标为(1-，2，3)-．故选：B ．4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =--及(4,2,0)b =-则a b +等于( ) A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)【分析】根据空间向量的坐标运算，求和即可． 【解答】解：由向量(1,1,2)a =--，(4,2,0)b =-， 所以(3a b +=-，1，2)-． 故选：A ．5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a x b y c z a b c xyz =-==+=则的值为 ) A ．2±B ．2-C ．2D ．0【分析】利用空间向量运算法则、向量相等的性质直接求解．【解答】解：空间向量(1a =-，x ，1)，(3b =，1，)y ，(c z =，0，0)，a b c +=， (2∴，1x +，1)(y z +=，0，0)，∴21010z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1x =-，1y =-，2z =， (1)(1)22xyz ∴=-⨯-⨯=．故选：C ．6．（丰台区期末）已知(2AB =，3，1)，(4AC =，5，3)，那么向量(BC = ) A ．(2-，2-，2)- B ．(2，2，2) C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)【分析】利用向量BC AC AB =-即可得出．【解答】解：向量(4BC AC AB =-=，5，3)(2-，3，1)(2=，2，2)，7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0) 【分析】利用空间点的对称性即可得出．【解答】解：由图形及其已知可得：点1B 的坐标为(4，5，3)，点1(0C ，5，3)关于点B 对称的点为(4-，5，3)-，点A 关于直线1BD 对称的点为1(0C ，5，3)，点(0C ，5，0)关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)． 因此ACD 正确． 故选：ACD ．8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b += ．【分析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点(x ，y ，)z 关于平面xoy 对称的点坐标为(x ，y ，)z -，可知答案．【解答】解：在空间直角坐标系中，两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，1b ∴=，4a =-， 413a b ∴+=-+=-． 故答案为：3-．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【分析】在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原不的相反数，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原不的相反数，再由两点间距离公式能求出||B C ''．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-， 若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是 ；||OM = ．【分析】根据空间直角坐标系中，点(M x ，y ，)z 关于x 轴的对称点坐标是(M x '，y -，)z -； 以及两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是(1M '，1，1)-；||OM ．故答案为：(1，1，1)-11．（兴庆区校级期末）已知(2a =，3-，1)，(2b =，0，3)，(1c =，0，2)，则68a b c +-= ． 【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可．【解答】解：68(2,3,1)6(2,0,3)8(1a b c +-=-+-，0，2)(6=，3-，3)． 故答案为：(6，3-，3)．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，则a b += ． 【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解． 【解答】解：(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，∴(1a b +=-，1，5)．故答案为：(1-，1，5)．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，若2AB a =，则点B 的坐标是 ． 【分析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标．【解答】解：点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，2AB a =， 设(B x ，y ，)z ，则(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-， 解得7x =，10y =，24z =-，∴点B 的坐标(7，10，24)-．故答案为：(7，10，24)-．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，则||a b += 【分析】先利用向量坐标运算法则求出a b +，由此能求出||a b +． 【解答】解：向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，∴(4a b +=，3，12)， ∴||16913a b +=+．故答案为：13．15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''=，1，5)，求点B 的坐标．【分析】由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点，根据向量坐标运算性质即可得出． 【解答】解：由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点， 设(B x ，y ，)z ，则(1,3,3)(3,1,5)(3,1,5)AB x y z =+-+=-=--- 所以133135x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，解得428x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴点B 的坐标为(4-，2，8)-．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2) （1）求向量AB AC 与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．【分析】（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，计算可得cos ,||||AB ACAB AC AB AC <>=．（2）向量3AB AC AB k AC-+与向量垂直，可得22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，即可得出．【解答】解：（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，2||1AB ==||3AC =．2233AB AC =-+-=-．∴cos ,||||3AB AC AB AC AB AC -<>===．（2）向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，∴22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，311(31)(3)90k k ⨯+-⨯--=，解得2k =．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，求：()a b c -+、68a b c +-． （Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a 同向，且||214AB =． 【分析】（Ⅰ）利用空间向量运算法则能求出()a b c -+、68a b c +-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ，由向量AB 与a 同向，且||214AB =列出方程组能求出点B 坐标．【解答】解：（Ⅰ）向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，∴()(3a b c -+=，5，4)(2--，0，5)(1=，5，9)-．68(3a b c +-=，5，4)(12-+，0，18)(0-，0，16)(15=，5，2)-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ， 向量AB 与a 同向，且||214AB =，∴120123x y z -+⎧==>⎪-=， 解得1x =-，2y =，6z =，∴点B 坐标为(1-，2，6)．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b +，a b -，c 下的坐标为( ) A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,)22D ．51(,,1)22【分析】可设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)；由此求出向量a b +、a b -，再设()()p x a b y a b zc =++-+，列方程组求出x 、y 和z 即可．【解答】解：设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)； 则向量(1a b +=，1，0)，(1a b -=，1-，0)， 又向量(3p =，2，1)，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+， 则(3，2，1)(x y =+，x y -，)z ， 即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩， 解得52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在a b +，a b -，c 下的坐标为5(2，12，1)．故选：D ．2. （安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；11 / 11 (2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．【解析】(1)∵AP →∥BC →，∴设AP →＝λBC →，又BC →＝(3，－2，－1)，∴AP →＝(3λ，－2λ，－λ)，又|AP →|＝ 9λ2＋4λ2＋λ2＝214，得λ＝±2， ∴AP →＝(6，－4，－2)或AP →＝(－6,4,2)． 又A (0,2,3)，设P (x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝6，y －2＝－4，z －3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x －0＝－6，y －2＝4，z －3＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝－2，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6，z ＝5.∴P (6，－2,1)或(－6,6,5)．(2)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴∠BAC ＝60°.∴以AB →，AC →为邻边的平行四边行的面积 S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝14×32＝7 3.。
第一章 空间向量运算的坐标表示
问题 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公 式吗？
提示 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点， P—1→P2＝O→P2－O→P1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
于是|P—1→P2|＝
—→ —→ P1P2·P1P2
(2)求证：CF⊥平面BDE.
证明 因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相
互垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.
则 C(0,0,0)，A(
2， 2，0)，B(0， 2，0)，D(
2，0,0)，E(0,0,1)，F
22，
22，1.
所以C→F＝
x1－6＝3， 所以y1＋4＝－2，
z1－5＝5，
x1＝9， 解得y1＝－6，
z1＝10，
所以点C的坐标为(9，－6,10).
②求C→A·B→C； 解 因为C→A＝(－7,1，－7)，B→C＝(3，－2,5)， 所以C→A·B→C＝－21－2－35＝－58.
③若点 P 在 AC 上，且A→P＝12P→C，求点 P 的坐标.
且GH∥BD1，
所以m－－112＝－n1＝－112， 解得 m＝1，n＝12. 所以点 H 的坐标为1，12，0，
所以点H为线段AB的中点.
反思感悟 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直 的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的 充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解. (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
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答案:(1)B
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=
3|NC1|,则MN的长为
.
解析:(2)如图,以D为顶点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所 在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(4,0,4),B(4,4,0), C1(0,4,4),D1(0,0,4). 因为M为BD1的中点,所以M(2,2,2), 因为N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,
方法技巧 向量平行与垂直问题的两种类型 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线; ②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两 向量的数量积是否为0. (2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注 意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;② 选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
梳理 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
;
a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3)
;
λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
a·b= a1b1+a2b2+a3b3
;
a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);
题型四 易错辨析——由向量的夹角求参数的取值范围时忽略隐含或限制 条件而致误
纠错:解答本题易出现的失误是忽视了a·b<0包含a与b夹角为180°的情况,即a与b 的夹角为钝角不等价于a·b<0.
a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
.
知识点二 空间向量夹角和距离的坐标计算公式
梳理 (1)夹角公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则cos<a,b>=
.
课堂探究 素养提升
题型一 空间向量的坐标运算
方法技巧
题型二 利用向量解决平行与垂直问题
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
一题多变:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相 平行”,其他条件不变,求k的值.
解:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), a+kb=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k), 因为ka+b与a+kb平行,所以ka+b=λ(a+kb)(λ∈R), 即(k-1,k,2)=λ(1-k,1,2k),
题型三
利用向量的坐标形式求夹角与距离
方法技巧 (1)求空间中两向量夹角的方法 ①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来, 然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出 两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是 坐标系的选取,二是要注意夹角的范围<a,b>∈[0,π],要特别关注向量共线 的情况. (2)求空间中线段的长 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出线段端点的坐标,并求出对应向量的 坐标;③利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.
空间向量运算的坐标表 示
课标要求
素养达成
1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些 简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断 两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模,夹角公式和两点间 距离公式,并能运用这些知识解决一些相 关问题.
通过与平面向量的坐标 运算的比较,培养学生观 察、分析、类比转化能 力,提高学生的分析问题 和解决问题的能力.
新知探求 素养养成
知识点一 空间向量运算的坐标表示 已知在单位正交基底{i,j,k}下,向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 问题:向量a+b,a-b的坐标分别是如何推导的? 答案:a+b=(a1i+a2j+a3k)+(b1i+b2j+b3k)=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,故 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),同理有a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).