第五节 条件分布与条件期望

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条件分布与条件期望

条件分布与条件期望

33
XY 3 1 2
P
61
77
43 P
77 4
例2. 设随机变量X ,Y相互独立,X P(1), Y P(2 ) ,
在X Y n的条件下,求X的条件分布.
解:X Y P(1 2 )
P(X k X Y n) P(X k, X Y n) P(X k,Y n k)
P(X Y n)
pY ( y)E( X Y y) dy E( X Y y)看作是y的函数.
E[E( X Y )]
13
例5 一矿工被困在有三个门的矿井里,第一个门通 甲坑道,须走3小时到达安全区;第二个门通乙坑 道,走5小时回到原处;第三个门通丙坑道,走7小 时回到原处。问他平均用多长时间能够到达安全区。 分析:到达安全区的时间与第一次选择的门有关,
i
1 (1 (2 EX )
yi )P(Y yi )
(n EX ))
EX
n(n 1) . 2
n
17
作业:
P197 2 4
18
The End!
Thank You!
Department of Mathematics
19
即有
P(X x Y y)
x p( x, y) dx;
pY ( y)
同样可得 P(Y y X x)
y p( x, y) dy .
pX ( x)
8
2、连续随机变量的条件分布
定义3:对y,且pY ( y) 0,在给定Y y条件下
X的条件分布函数和条件密度函数分别是:
F ( x y)
3 E( X Y 2) 5 EX; E( X Y 3) 7 EX .
E( X ) E( X Y y j )P(Y y j )

§3.5---条件分布与条件期望

§3.5---条件分布与条件期望
在Y y 的条件下X的条件分布密度记为PX|Y(x | y)
FX|Y(x | y) P(X x |Y y)
lim P(X x | y Y y y) y0
lim P(X x, y Y y y) y0 P( y Y y y)
lim F (x, y y) F (x, y) 分子、分母同除 y y0 FY ( y y) FY ( y)
Pij PJ
i=1,2,.....
Pj|i
Pij Pi
j=1,2,........
例3.5.5.设(X, Y)的联合密度为:
P( x,
y)
24(1
0
x)
y
0 x 1, 0 y x 其它
求条件密度函数 PX|Y (x | y)和 PY|X ( y | x)
解:PX (x)
P(x, y)dy
5 4 20
PX 0,Y 1 P(X 0)P(Y 1| X 0) 2 3 6
5 4 20
PX 1,Y 0 P(Y 1)P(Y 0 | X 1)
32 6 5 4 20
PX 1,Y 1 P(X 1)P(Y 1| X 1)
32 6 5 4 20
XY 0 1
0
2
6
20 20
1
X|Y 3 1
2
P
4/7 3/7
例3.5.3 设随机变量X,Y独立,X P(1),Y P(2)
在X Y n 条件下,求X 的条件分布?
解:由已知条件和泊松分布的可加性得:XY P(1 2)
所以 P(X k |XY n)
P(X k, XY P(XY n)
n)
P(X k ,Y n k) P(XY n)
6
6
20 20

条件分布与条件期望

条件分布与条件期望

为例,
将上式左边乘以 dx , 右边乘以 dx·dy/dy 即得
pX|Y(x|y)dxp(pxY,(yy))d dxydy P {xXxd x,yYyd y}
P {yYyd y}
P { x X x d x | y Y y d y }
pX|Y(x| y)dx P { x X x d x | y Y y d y } 换句话说,对很小的dx和 dy,pX|Y(x| y)dx 表示已知 Y 取值于y和y+dy之间的条件下,X 取值 于x和x+dx之间的条件概率.
E [g(X )|y] i g g ((x x i))p P ((x X | y)d x x i|,Yy),
在 离 散 场 合 在 连 续 场 合
定理3.5.1 (重期望公式)条件期望的期望就是(无条件)期 望,即 E[E(X|Y)] = E(X) .
证: 在连续场合
E(X)
0x1,p(y| 其它
x)11x, 0,
0xy1 其它
求(X,Y)的联合密度p(x,y)和Y的边际密度pY(y) 及
解P(:Y>0.5).
p(x,y)p(y|x)pX(x) 1 1x, 0xy1
0,
其 它
y
pY(y)
x<y
y =x
0
1
x
p(x,y)0的区域
0
1
y
pY(y)的图形
y1
pY(y)
p X |Y ( x | y ) 可知,当X与Y相互独立时,
p(x, y) pY ( y )
pY|X(y|x)pY(y), pX |Y(x|y)pX(x)
也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个 分量X与Y是否相互独立.

第五节__条件分布与条件期望

第五节__条件分布与条件期望

2.重期望公式
定理: 设(X,Y)为二维随机向量, 且E(X)存在, 则
E ( X ) E ( E ( X | Y )).
证明:略.
特殊的情形
(1) Y离散情形下
E ( X ) Eg(Y ) E ( X | Y y j ) P (Y y j ).
j
给定Y=y时算X的 条件期望,然后按 Y=y的可能性大小 进行加权平均
(2) Y连续情形下
E ( X ) Eg(Y )



E ( X | Y y ) pY ( y ).
条件期望的应用 例 设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能ξ是一个随机 变量,且 ξ 在[10, 30]上服从均匀分布.该公司对于电能的需 要量η也是一个随机变量,且 η 在[10, 20] 上服从均匀分布. 对于所供给的电能,公司取得每千瓦0.03元利润,如果需要量 超过所能供给的电能,公司就从另外的来源取得附加的电能 加以补充,并取得每千瓦0.01元利润,问在所考虑的指定时间 内,公司所获得的利润的期望值是多少? 解:设 T 是公司所获得的利润,则
当 x [20, 30] 时,
1 E (T | x ) 0.03 y dy 0.45 10 10
由条件概率密度定义知, p( x , y ) pY ( y ) p X |Y ( x | y ) p X ( x ) pY | X ( y | x ), 故
pX ( x ) pY ( y ) pX |Y ( x | y )dy.

pY ( y ) pX ( x ) pY | X ( y | x )dx.
2
2,),求
( x 1 )( y 2 )

条件概率,条件分布,条件期望

条件概率,条件分布,条件期望

FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明

fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .
定义
设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x , y ), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为 fY ( y ).若 f ( x, y) 对于固定的 y , fY ( y ) 0, 则称 为在Y y fY ( y ) 的条件下 X 的条件概率密度 , 记为 f ( x, y) f X Y ( x y) . fY ( y )
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.

条件分布
一、离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .
现在如果限制Y 取值从1.5 m 到1.6 m , 在这个限制下求X 的 分布 .
一 条件概率 (Conditional Probability) 条件概率是指在事件A发生的条 件下,另一事件B发生的概率,记用 P(B|A).
引例 从所有有两个孩子的家庭随机抽取一个家庭记录男 孩女孩的情况。
则试验所有可能的结果为(男孩记为“b”,女孩记为“g”) (b,b) (b,g) (g,b) (g,g) 设A={ 至少一个男孩}, B ={ 至少一个女孩}, 考虑在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。
定义 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 , 对于固定

条件分布与条件期望

条件分布与条件期望



这表明,二元正态分布的条件分布仍为正态分布:
1 2 2 N r y , 1 r 2 1 1 2



31
二.条件数学期望
32
1.条件数学期望的概念
33
条件分布的数学期望称为条件数学期望.
34
对于离散型随机变量,当 Y y j 时,随机变量 X 的条 件分布律为
1 2 PX Y n
n!
n
e
1 2

所以,当 X Y n 时, X 的取值为 0, 1,
2, , n .
13
PX k X Y n
PX k , X Y n PX k , Y n k PX Y n PX Y n
PX k PY n k k! n k ! PX Y n 1 2 n e 1 2 n!
n! 1 k!n k ! 1 2
k
1k
e 1
2 n k
e 2
2 2 1
17
所以,
PY k PX nP Y k X n
n 0

PX nP Y k X n PX nP Y k X n
n 0 nk
k 1


n 0
k 1
n
n!
e 0
nk

n
n!
e C p 1 p
f X x 0 .
26

设二维随机变量 X , Y 服从平面区域
x, D
y:
x y 1

条件概率、条件分布与条件数学期望

条件概率、条件分布与条件数学期望

A)
P(AB) P(A)
10 3
1 2
5
法二:因为n(AB)=6,n(A)=12,所以
P(BA)n(AB)61 n(A) 12 2
法三:第一次抽到理科题,则还剩下两道理科、 两道文科题,故第二次抽到理科题的概率为1/2
例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字
都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
Ω
B
A
P(B |A)相当于把A看作 新的样本空间求AB发生 的概率
条件概率的定义:
一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,则
P(B A) P(AB) P( A)
在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意: (1)条件概率的取值在0和1之间,即0≤P(B|A) ≤1 (2)如果B和C是互斥事件,则
只需求事件 A 发生的条件下,
事件 B 的概率即P(B|A)
51
B3
A
2
P(B| A)n(AB) 2
4,6
n(A) 3 解法一(减缩样本空间法)
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
(1)若已知 某一家有一个女孩,求这家另一个是男孩 的概率;
(2)若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩 (相当于第二个也是男孩)的概率
由 古 典 概 型 可 知 , 最 后 一 名 同 学 抽 到 中 奖 奖 券 的
概 率 为 : P(B)n(B)1 n( ) 3
一般地,我们用来 表示所有基本事件 的集合,叫做基本 事件空间(或样本 空间)
思考1:
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少?

条件分布与条件期望

条件分布与条件期望

p j P Y y j pij 0
i
的 y j ,称
P X xi Y y j
P X xi , Y y j
2,
3,
为在给定 Y y j 条件下,随机变量 X 的条件分布列.
7
同理,对一切使得
pi PX xi pij 0
布(无此限制下体重的分布)会有很大的不同.
4
1.离散型随机变量的条件分布
5
设二维离散型随机变量 X , Y 的联合分布列为
pij P X xi , Y y j , i 1, 2, , j 1, 2, .
仿照条件概率的定义,我们很容易地如下给出离散型随机变量的 条件分布列.
6
定义 5.1 对一切使得
件下, X i 的取值为 0 或者1.而且
P
Xi 0 X1 X2
Xn r
PXi 0, PX1
X1 X2 X2
Xn
Xn r
r
PX i
0,
X1 X i1 X i1
PX1 X 2 X n r
Xn
r
22
1 p Cnr1 pr 1 p Cnr pr 1 p nr
是 p 0 p 1 , 设 X i 表 示 第 i 次 试 验 中 成 功 的 次 数 , i 1, 2, , n .试在 X1 X 2 X n r 0 r n 的条件下,给出 X i 1 i n的分布列.
21
解:
由于 X1 X 2 X n ~ Bn, p,所以在 X1 X 2 X n r 的条
17
所以,
P Y
k
PX
nPY
k
X
n
n0
k 1
PX
nPY
k

概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归

概率论与数理统计3-6 条件分布与条件期望、回归与第二回归

p(u, y)du.

1 yy
lim
[ p(u, v)du]dv.
y0 y y

lim
y0
1 y
y y y
p
(u)dv
p
( y)

0.
F
(
x
y)

x
p(u, y) p ( y)
du.
由此可见:在 y的条件下,的分布列仍是
§3.6 条件分布与条件期望、回归 与第二回归
一、条件分布
在离散型R.V中,我们利用条件概率公式
P(A B)

P( AB) , P(B)
P(B)
0.
求出了离散型R.V .的条件分布列:P(

xi


yj)

Pi
.
j
类似的问题对连续型R.V .也存在.
由于连续型R.V .取单点值的概率为零,所以用分布列
lim P( x, y y y) . y0 P( y y y)
P( x, y y y)
lim
.
y0 P( , y y y)
设(,)的p d f 为p(x, y),则上式又变为
x yy
密度为P ( y


那么称 xP (


x y
), 如果

x
P

(y
x
x )dx为在(
)dx . y)发生的条件下的条件
数学期望,记为 E( y).即
E(

y)


xP

(y

第五节条件分布

第五节条件分布
F ( x, y ) y dFY ( y ) dy
def.

x

p(u , y )du pY ( y )
p( x , y )连续 pY ( y ) 0,连续
P( X x Y y )
定义3 若 pY (y) > 0, 则称 FX Y ( x y )
x
为给定Y = y 的条件下X 的条件分布函数. p( x , y ) 称 pX Y ( x y) pY ( y ) 为给定Y = y 的条件下X 的条件概率密度函数. y p( x,v ) dv 类似地, 称 FY X ( y x) pX ( x )



pY ( y) p( x , y)dx pY X ( y x) p X ( x)dx



类似于Bayes公式
p ( x , y ) p X Y ( x y) pY ( y )
pY X ( y x) p X ( x)




pY X ( y x) p X ( x)dx
X


r x
=

r 2 x2

1 dy , 2 2 2 r x r
0,
2 r 2 x2 r x r , r x r r 2 0, 其他 其他
同理
2 r 2 y2 , r y r pY ( y ) r 2 0, 其他


P( X xi Y y j )P(Y y j ) i 1,2,
j 1

j 1
j 1
P(Y y j ) pij P( X xi ,Y y j )

§3.5条件分布与条件期望

§3.5条件分布与条件期望

解 由题意知随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
1 π , x 2 + y 2 ≤ 1, p( x , y ) = 0, 其 它.
已知条件概率密度
p( x , y ) p( x y ) = , pY ( y )
又知边际概率密度为
pY ( y ) =

+∞ −∞
p( x , y ) d x
x −∞
p( u, y ) d u. pY ( y )
同理, 定义在 X = x 的 条件下 Y 的 条件概率 密度为
p( x, y ) p( y x ) = pX ( x )

p( x, y ) = pX ( x ) p( y x ).
称∫ p( y x )d y = ∫
−∞
y
x
−∞
p(u, y ) d u 在 X = x 的条件下, pY ( y)
(1) 求在Y = 1 的条件下,X 的条件分布列; (2) 求在 X = 0 的条件下, 的条件分布列. Y
解 由上述分布律的表格可得
P{ X = 0,Y = 1} 0.030 2 = = , P{ X = 0 Y = 1} = 0.045 3 P{Y = 1}
P{ X = 1,Y = 1} 0.010 2 P{ X = 1 Y = 1} = = = , P{Y = 1} 0.045 9
2 2 1 1− y dx = 1 − y 2 , − 1 ≤ y ≤ 1, ∫− 1− y 2 = π π 0, 其他 .
于是当 − 1 < y < 1 时, 有
1π 1 , − 1 − y2 ≤ x ≤ 1 − y2 , = p( x y) = (2 π ) 1 − y2 2 1 − y2 其他 . 0,

概率论(PDF)

概率论(PDF)

条件期望与条件分布我们已经学习了条件概率的基本概念和性质,但只局限于讨论以事件(集合)为条件的情形。

事件作为条件,意味着先验知识的加入导致了样本空间的变化,从而影响概率计算。

由于随机变量是概率论研究的核心内容,很自然地需要将“条件”的概念和方法拓展到随机变量中来。

特别地,条件概率刻画了样本空间中不同集合在概率计算中的相互影响,容易由此联想到“条件”在研究随机向量的各分量间相互关联以及随机过程中所具有的价值。

所以,本章引入条件期望和条件分布的概念,并讨论其性质和应用,让读者体会“条件”对于研究随机变量间关联的重要意义,明确基本概念,掌握与之相关的基本计算方法。

PART A条件期望我们用一个简单例子作为引入。

设离散随机变量X和Y,X取值于{x1,···,x n},Y取值于{y1,···,y m}。

考虑事件{Y=y k},在其条件下,X的概率分布会发生变化,P({X=x i}|{Y=y k})=P({X=x i}∩{Y=y k})P({Y=y k}),通常称该概率分布为条件分布,记作P(X=x i|Y=y k)=P(X=x i,Y=y k)P(Y=y k),(1-1)这个概率中包含了Y所提供的先验信息,并将该信息带入到了期望的计算中。

E(X|Y=y k)=n∑i=1x n P(X=x i|Y=y k),(1-2)称该期望为条件期望。

条件期望给出了在已知某些先验信息的条件下,随机变量X取值的平均水平。

上述讨论对于离散随机变量比较准确,但是推广到连续情形会遇到本质的问题。

如果Y是连续随机变量,则P(Y=y)=0,(1-1)没有明确的含义。

如何克服这一困难呢?现代概率论中关于条件期望的阐述为我们提供了帮助。

基本概念首先,明确一个基本事实,条件期望是随机变量,不同于普通期望是确定性常数。

事实上,条件期望的取值取决于随机变量Y,并由此依赖于样本空间。

具体地说,设概率空间为(Ω,F,P),如果Z(ω)=E(X|Y=Y(ω)),ω∈Ω,(1-3)则有Y(ω)=y k=⇒Z(ω)=E(X|Y=y k),为方便,记Z(ω)为E(X|Y)(ω)。

3.6条件分布与条件数学期望

3.6条件分布与条件数学期望
6


x
f ( x y )d x
x
f ( u, y ) d u 为在 Y y 的 fY ( y )
条件下, X 的条件分布函数,记为
P{ X x Y y } 或 F ( x y ), 即 F ( x y ) P{ X x Y y }
x
f ( u, y ) d u. fY ( y )
当X 1与X 2相互独立时, E ( X 1 X 2 Y y ) E ( X 1 Y y ) E ( X 2 Y y ). 等等.
20
③ X在Y=y的条件下的条件期望是y的函数,它是一个 变量. 这不同于无条件期望E(X).
E( X | Y y)
Y取确定值y的条件下
E( X | Y )
pY ( y )


p( x, y )d x
y 1 d x ln(1 y ),0 y 1, 0 1 x 其它. 0,
16
四、条件数学期望
定义 条件分布的数学期望(若存在)称为条件期望, 其定义如下: xi P ( X xi Y y ), ( X , Y )为离散型; i E ( X Y y) + xp( x y )dx , ( X , Y )为连续型. -
证 仅就连续型给出证明,离散型类似可证.
设( X , Y )的联合密度函数为 p( x , y ),Y 的边际分布 密度pY ( y ),记 g( y ) E ( X Y y ),g(Y ) E ( X Y ) 由公式 p( x , y ) pY ( y ) p( x y ),得
22
25
例7 设电力公司月供某厂的电力X ~U (10, 30)(单位: 104 kw),而该厂月实际需要电力Y ~U (10, 20)当满足 供电时,每104 kw 可创利润30万元,供电不足时,缺 口由工厂自行解决,但自行解决的电力每104 kw 的利 润只有10万元,试求该厂的月期望利润.

概率论与数理统计2-6 条件分布与条件期望

概率论与数理统计2-6 条件分布与条件期望



边际分布列:pig
pij
p 2 q 2
j i1
j i1
p2qi1 pqi1, i 1, 2,...
1j1q
j 12
i 1
i 1
( j 1) p2q j2 , j 2, 3,...
条件分布列为pi/j pij pgj p2q j2 [( j 1) p2q j2 ]

证明
E{ / bj}P( bj )
j 1

E{ / bj}

ai pi / j
i1

i1
ai
gpij pgj
E(E{ /})
j 1

ai
i 1
pij pg j
pgj


ai
i 1
j 1
pij


ai pig E
i 1
三小结
概念 E{ / bj}
条件数学期望
E(C / bj ) C.


E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
E(E{ /}) E
二、离散型随机变量条件数学期望
❖ 定义 若随机变量 分布列为 pi / j 又

在条件"
bj " 下的条件

ai pi / j

i 1
称 ai pi/ j 为 在 bj 条件下的条件数学期望 i 1
记作: E{ / bj}
例2 某射手进行射击,每次设计击中目标的
2.对任意实数k1,k2,又E{1 / bj},E{2/=bj}存在, 则E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}

条件分布与条件期望

条件分布与条件期望

由上述分布律的表格可得
P{ X 1,Y 0} 0.030 , P{Y 0 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 , P{Y 1 X 1} 0.045 P{ X 1} P{ X 1,Y 2} 0.005 , P{Y 2 X 1} 0.045 P{ X 1}
射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目 标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击 次数.试求 X 和 Y 的联合分布律 取 m 且 Y 取 n 时, 有

P{ X m ,Y n} p p (1 p) (1 p)(1 p)
x

f ( x, y) d x. fY ( y )
同理定义在 X x 的条件下Y 的条件概率密度为
FY X ( y x ) P{Y y X x }
y

f ( x, y) d y. f X ( x)
请同学们思考
为什么不能用条件概率 的定义来直接定义条 件分布函数 FX Y ( x y ) ? 答 条件分布是指在一个随 机变量取某个确定值
FX Y ( x y )
x
y
f X Y ( x y ) d x [ f ( x , y ) fY ( y )]d x .
y
x
FY X ( y x )
说明

fY X ( y x ) d y [ f ( x , y ) f X ( x )]d y .

联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
离散型随机变量的条件分布
问题
考虑一大群人, 从其中随机挑选一个人 , 分别 用 X 和 Y 记此人的体重和身高 , 则X 和 Y 都是随 机变量, 他们都有自己的分布 .

条件分布与条件数学期望

条件分布与条件数学期望

(X,Y )为一般二维随机向量
重要结论
如果 X,Y 相互独立,则 F Y | X ( y | x )= F Y ( y )。
证明
如果 X,Y 相互独立,则 F (x, y )= FX (x) FY ( y ), 进而, F (xε,y)-F (x ,y)
F Y |X(y|x)ε l 0 iF m (xε, )-F (x , ) lim F X(xε)F Y(y)-F X(x)F Y(y) ε 0 F X(xε)F Y( )-F X(x)F Y( )
.
例题 3
一个工人看管分布在一直线上的 n 台同 类型机床,相求工人两次
调整机床之间所走路程的数学期望。
设Y :工人两次调整机床之间所走路程
X :第一次调整的机床号码 Y | X=i (i -1)a … a 0 a … (n- i) a
P 1/n … 1/n 1/n 1/n … 1/n
条件分布函数
lim P{Yy|xXxε} ε 0

计算公式
F X |Y(x|y)ε l 0 iF m F (( x,,y y ε ε) )- -F F ( ( x,,y y ))
F Y |X(y|x . )ε l 0 iF m F ((x x ε ε,, y) )- -F F ( (x x,, y))
( 5 ) 全数学期望公式 E { E ( Y | X ) } = E ( Y )
(X,Y)连续 E (Y|: x) yY f|X(y|x)dy
-
全数学期望公式的证明:假设(X,Y )为二维连续型随机向量,得
E{E(Y|X)} E(Y|x)fX(x)dx {[yY f|X(y|x)d]yfX(x)} dx
若对于固定的 x , f X ( x ) > 0,则

茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (5)

茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (5)

p( x , y )dy]dx pY ( y )dy

积分中值定理


x

p( u, y )du pY ( y )

x

p( u, y ) du pY ( y )
所 以与 一 维 随机 变 量概 率 密度 的 定 义 : F ( x) 不 难得 出 如 下定 义 :
x

f ( x )dx相 类比 ,
这称为 在Y y j的条件下 , X的条件分布列 .
类似地 , 在X xi的 前 提 下 , Y的 条 件 分 布 列 为 P (Y y j | X xi ) pij pi , j 1,2,
例一. 设(X,Y)的联合分布为 X Y
1 2 3
5 0.08 0.11 0.03
i 1 i 1
当( X , Y )为 连 续 型 时 , p( x , y ) E ( g( X ) | Y y ) g( x ) p( x | y )dx g( x ) dx pY ( y )

条件数学期望 E ( X | Y y )为 常 数 , 而E ( X | Y )可 以 看 成 是一个变量 ,以 离 散 情 形 为 例 ,该变量的取值和相应 的概率为
E(X|Y) E(X|Y=y1)
P P(Y=y1)
E(X|Y=y2)

P(Y=y2)

故E ( X | Y )作为随机变量 , 因而有相应的数学期望 E[ E ( X | Y )],对此, 我们有如下重要结果 :
(4)重 期 望 公 式 : E[ E ( X | Y )] E ( X )
性质(4)的证明: (仅证连续情形 )

3.6 条件分布与条件期望--概率论课件

3.6 条件分布与条件期望--概率论课件
然后用X的分布对条件期望 E(Z|X=x) 再作一次平 均,即得
x
20
E ( Z ) E ( E{Z | X })
E ( Z | X x) pX ( x)dx E ( Z | X x) p X ( x)dx
10 20
30 1 20 2 (50 40 x x )dx 450dx 20 20 10
注意
FX Y ( x y ), f X Y ( x y ) 仅是 x 的函数,
y是常数, 对每一 fY (y) >0 的 y 处, 只要
符合定义的条件, 都能定义相应的函数. FY X ( y x), fY X ( y x) 相仿论述. 类似于乘法公式:
f ( x, y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) fY ( y ) f X Y ( x y )
1 2 2 F | ( x | y ) 为 N a1 ( y a2 ), 1 (1 ) 分布 2
2 2 2 F| ( y | x) 为 N a2 ( x a1 ), 2 (1 ) 分布 1
r x
2
2

— 这里 x 是常数,当X = x 时,
Y ~ U r 2 x2 , r 2 x2


条件数学期望
定义3.6.2 如果随机变量 ξ 在 ( η = y ) 发生的条 件下的条件密度函数为 pξ|η ( x | y ) , 若

则称


| x | p | ( x | y)dx
二维正态随机变量,试求条件概率密度 pξ|η( x | y ) 及 p η | ξ(y | x ) . 解:

条件概率、条件分布与条件数学期望

条件概率、条件分布与条件数学期望

练习、
设“取出的是黄球”为事件B,“取出的是黑球”为事件C, 1、5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不 10 10 15 5 放回的取两次,求: 则P(C)= ,( P C)=1- ,( P B)= 25 25 25 25 3/5 (1)第一次取到新球的概率; 5 B C, P (BC)=P(B)= 3/5 (2)第二次取到新球的概率; 25 P(BC) 1 (3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率( P B|C)= P( C) 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回
的依次抽取2道题 (1)第一次抽到理科题的概率 (2)第一次与第二次都抽到理科题的概率 (3)第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回
的依次抽取2道题 (1)第一次抽到理科题的概率 (2)第一次与第二次都抽到理科题的概率 (3)第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科 题的概率.
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回 地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率;
解:设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题 为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
(2) n( AB) A 6
P ( AB) n( AB) P B A P ( A) n( A)
例题2 在某次外交谈判中,中外双方都为了自身的利益 而互不相让,这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理,否则按中 方的决议处理,假如你在现场,你会如何抉择? 解1:设A={出现的点数不超过3}={1,2,3} B={出现的点数是奇数} ={1,3,5}
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−∞
+∞
=∫
=
+∞
−∞
− 1 e 2πσ1
( x−µ )2
2 2σ1
− 1 e ⋅ 2πσ2
( y− x)2
2 2σ 2
dx.
1 2πσ1σ2

( x−µ )2 ( y− x)2 − − +∞ 2 2 2σ1 2σ 2
按x 配方积分
dx.
−∞
e
=
1 2π (σ +σ )
2 1 2 2

( y−µ )2
第五节 条件分布与条件期望
一、离散型随机变量的条件分布律
是二维离散型随机变量, 设(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 P{X=xi,Y=yj}=pij , i, j=1,2,…. (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为 P{X=xi}=pi· i=1,2,…. P{Y=yj}=p·j j=1,2,…. >0,考虑在事件{Y= 设pi·>0,p·j>0,考虑在事件{Y=yj}已发生的条件下事 发生的概率, 件{X=xi}发生的概率,即 {X=xi|Y=yj}, i=1,2,…. 的概率,由条件概率公式, 的概率,由条件概率公式,
p( x , y ) = 1 2πσ 1σ 2 − 2ρ 1 ( x − µ1 ) 2 exp{− [ 2 2 2 2(1 − ρ ) σ1 1− ρ
( x − µ1 )( y − µ 2 )
σ 1σ 2
+
( y − µ2 )2
σ2
2
]}
由以前的例子知道
pX ( x ) =
− 1 e 2π σ 1
− ∞ < x < +∞, ∞ < y < +∞ −
2 2
求Y的概率密度 pY (y). 解 根据题意,有 根据题意 有
pX ( x ) = 1 e 2π σ 1
− ( x − µ )2
2 2σ 1
pY | X ( y | x ) =
1 2π σ 2

( y − x )2
2 2σ 2
e

pY ( y) = ∫ pX ( x) pY|X ( y | x)dx.
−∞
pX ( x) pY|X ( y | x)dx
. pY ( y) pX|Y ( x | y)dy
pY ( y) pX|Y ( x | y)

+∞

贝叶斯公式的 密度函数形式
−∞

X=x的条件下 设X~ N ( µ , σ 1 ), 在X= 的条件下 Y | X = x~N ( x , σ 2 ),
[F( x, y + ε ) − F( x, y − ε )]/ 2ε = lim ε →0 [FY ( y + ε ) − FY ( y − ε )]/ 2ε
+
∂F ( x , y ) ∂y = d FY ( y ) dy
x
亦即FX|Y
∫ ( x | y) =
−∞
p(u, y)du x p(u, y) du , 或写成FX|Y ( x | y) = ∫ −∞ p ( y) pY ( y) Y
按题意X 解: 按题意X具有概率密度
1 pX ( x ) = 0 0< x<1 其它
对于任意的x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度
1 pY | X ( y | x ) = 1 − x 0 0< x< y<1 其它
于是得关于Y的边缘概率密度为
y 1 +∞ ∫ dx = − ln(1 − y ) pY ( y ) = ∫ f ( x , y )dx = 0 1 − x −∞ 0 其它
p( x, y) 同理, 同理, pY|X ( y | x) = pX ( x)
称为在X= 条件下X的条件概率密度, 称为在X=x条件下X的条件概率密度,且满足概率密度 的两个性质。 的两个性质。
(X,Y)服从二维正态分布 ),求 例: 设(X,Y)服从二维正态分布 N(µ1,µ2,σ12,σ22,ρ),求 的条件下,Y ,Y的条件密度函数 在X=x的条件下,Y的条件密度函数pY|X(y|x). | ). (X,Y)的密度函数为 解: (X,Y)的密度函数为
解:X与Y的边缘分布如表: 的边缘分布如表:
X Y Y=0 Y=3/2 Y=2 pi .
X1=-1 1/12 2/12 3/12 6/12
X2=1 0 1/12 1/12 2/12
X3=2 3/12 1/12 0 2/12
p.j 4/12 4/12 4/12 4/12
P{X==3/4; P{X=-1|Y=2}=p13/p.3=3/4; P{X=1|Y=2}=p /p =1/4; 23 .3=1/4; =0; P{X=2|Y=2}=p33/p.3=0; 又如:P{X=1|Y=0}=p21/p.1=0等; 又如: =0等
可以看出,X在 的条件下的条件期望是y的函数 可以看出 在Y=y的条件下的条件期望是 的函数 它是一个 的条件下的条件期望是 的函数,它是一个 变量. 这不同于无条件期望E(X). 变量 这不同于无条件期望
为在Y= 条件下随机变量 的条件分布律。 随机变量X 为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。
同理,对于固定的i }>0, 同理,对于固定的i,若P{X=xi}>0,则称
P{Y = y j | X = xi } = P{ X = xi ,Y = y j } P{X = xi } = pij pi• , j = 1,2,⋯.
0< y<1

+∞ −∞
p X ( x ) pY | X ( y | x )dx
三、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式
由条件概率密度定义知, 由条件概率密度定义知 p( x, y) = pY ( y) pX|Y ( x | y) = pX ( x) pY|X ( y | x), 故
pX ( x) = ∫ pY ( y) pX|Y ( x | y)dy.
类似地可以定义 FX |Y ( y | x )和 FY | X ( y | x ) = ∫
y −∞
p( x , v ) dv pX ( x )
3.条件概率密度 3.条件概率密度 定义 pX|Y ( x | y) = p( x, y)
pY ( y)
称为在 条件下X的条件概率密度, 称为在Y=y条件下X的条件概率密度,且满足概率密度 的两个性质。 的两个性质。
二、连续型随机变量条件分布的定义
设(X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有 (X,Y)是二维连续型随机变量,这时由于对任意x,y有 是二维连续型随机变量 x,y ,因此不能直接用条件概率公式引 P{X=x}=0 , P{Y=y}=0 ,因此不能直接用条件概率公式引 入条件分布函数P{X≤ |Y= }.下面我们用极限的方法来 入条件分布函数P{X≤x|Y=y}.下面我们用极限的方法来 处理. 处理. 设对于任意固定的正数ε,P{ 给定y,设对于任意固定的正数ε,P{y-ε<Y≤y+ε}>0 , 于是对于任意x有 于是对于任意 有 P{ X ≤ x , y − ε < Y ≤ y + ε } P{ X ≤ x | y − ε < Y ≤ y + ε } = P{ y − ε < Y ≤ y + ε } 上式给出了在任意y+ε下 上式给出了在任意 -ε<Y≤y+ε下X的条件分布 Y≤ +ε 函数,现在我们引入以下的定义. 函数,现在我们引入以下的定义.
(
)
这正是正态分布
σ2 N (µ2 + ρ ( x − µ1 ), σ 2 2 (1 − ρ 2 )) σ1
设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X= (0<x<1) (0,1)上随机地取值 X=x(0< <1)时 例: 设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X= (0< <1)时, 在区间( ,1)上随机取值. ,1)上随机取值 数Y在区间(x,1)上随机取值.求Y的概率密度pY(y). ).
2 2 2(σ1 +σ 2 )
e
.
2 即 Y仍服从正态分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ N ( µ , σ 1 + σ 2 ) . 仍服从正态分布 2
二、条件数学期望
1 定义 X在Y=y的条件下的条件分布的数学期望 若存在 称 定义: 在 的条件下的条件分布的数学期望 若存在)称 的条件下的条件分布的数学期望(若存在 为X在Y=y的条件下的条件期望 在 的条件下的条件期望. 的条件下的条件期望 具体定义式: 具体定义式 (1) 当(X,Y)为离散随机向量时 为离散随机向量时, 为离散随机向量时
P{ X = xi | Y = y j } = P{ X = xi , Y = y j } P {Y = y j } = pij p• j , i = 1,2, ⋯ .
显然, 显然,上述条件概率具有分布律的特性 }≥0; (1).P{X=xi|Y=yj}≥0;
( 2). ∑ P { X = x i | Y = y j } = ∑
( x − µ1 ) 2 2σ 1 2
所以X= 条件下 所以X=x条件下Y的条件概率密度为 X= 条件下Y
p( x , y ) pY | X ( y | x ) = = pX ( x )
σ ( y − µ 2 + ρ 2 ( x − µ1 ) ) 2 σ1 1 ] exp[− 2 2σ 2 1 − ρ 2 2π σ 2 1 − ρ 2
1.条件分布函数的定义:给定 ,设对于任意实数x, 1.条件分布函数的定义:给定y,设对于任意实数 ,若极 条件分布函数的定义 限
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