2017年上海市延安中学高考数学三模试卷(解析版)

2017年上海市延安中学高考数学三模试卷

一、填空题（本题满分54分，第1题到第6题，每小题4分；第7题到第12题，每小题4分）

1．若复数（a+i）（1+i）在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a=．

2．设集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，集合B={x|x＞0}，则A∩B=．

3．（x2﹣）8的二项展开式中x7项的系数为．

4．若一个球的体积为36π，则它的表面积为．

5．若等差数列{a n}前9项的和为27，且a10=8，则d=．

6．函数的单调递增区间为．

7．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为．

8．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．

9．若命题“对任意，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是．

10．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为

b，则方程组只有一个解的概率为．

11．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为．

12．已知O为△ABC的外心，且，若，则α+β的最大值为．

二、选择题（本题满分20分，每小题5分）

13．已知向量都是非零向量，“”是“”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件

14．已知x＞y＞0，则（）

A．B．sinx﹣siny＞0 C．D．lnx+lny＞0

15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）

A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）

16．已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）

构成的区域面积为（）

A．4﹣B．4﹣C．D． +

三、解答题（本题满分76分）

17．已知图一是四面体ABCD的三视图，E是AB的中点，F是CD的中点．

（1）求四面体ABCD的体积；

（2）求EF与平面ABC所成的角．

18．已知函数f（x）=x2﹣4x+a+3：

（1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；

（2）设函数g（x）=x+b，当a=3时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[5，8]，使得g（x1）=f（x2），求实数b的取值范围．

19．如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三

角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S1和S2．

（1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；

（2）求的最小值．

20．已知椭圆的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，定义：△F1BF2为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似

椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且C1上任意一点到它的两焦点的距离之和为4．

（1）若椭圆C2与椭圆C1相似，且C2与C1的相似比为2：1，求椭圆C2的方程；

（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C1上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线

异于原点的交点，证明：点Q一定在双曲线4x2﹣4y2=1上；

（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为C b，是否存在正方形ABCD，（设其面积为S），使得A、C在直线l上，B、D在曲线C b上？若存在，求出函数S=f（b）的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．

21．如果存在常数a，使得数列{a n}满足：若x是数列{a n}中的一项，则a﹣x也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．

（1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）已知有穷等差数列{b n}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列{b n}是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；

（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c n}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．

2017年上海市延安中学高考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本题满分54分，第1题到第6题，每小题4分；第7题到第12题，每小题4分）

1．若复数（a+i）（1+i）在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a=﹣1．

【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【解答】解：复数（a+i）（1+i）=a﹣1+（a+1）i在复平面上所对应的点（a﹣1，a+1）在实轴上，则实数a满足a+1=0，

解得a=﹣1．

故答案为：﹣1．

2．设集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，集合B={x|x＞0}，则A∩B=[3，+∞）．

【考点】1E：交集及其运算．

【分析】解关于A的不等式，求出A，B的交集即可．

【解答】解：A={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}={x|x≥3或x≤2}，

B={x|x＞0}，

故A∩B=[3，+∞），

故答案为：[3，+∞）．

3．（x2﹣）8的二项展开式中x7项的系数为﹣56．

【考点】DB：二项式系数的性质．

【分析】利用通项公式即可得出．

=（﹣1）r C8r x16﹣3r，

【解答】解：（x2﹣）8的二项展开式通项公式T r

+1

令16﹣3r=7，解得r=3，

故（x2﹣）8的二项展开式中x7项的系数为﹣56，

故答案为：﹣56