第二学期七年级数学下

一元一次不等式【教学内容】认识不等式 解一元一次不等式【教学目的】1、复习等式，引出不等式的概念，复习方程的解，引出不等式的解与解集的概念。

2、会检验一个数是否是某个不等式的解3、使学生会列不等式4、使学生掌握在数轴上表示不等式的解集5、掌握不等式的三条性质，并且利用性质，掌握一元一次不等式的解法。

6、会将一些实际问题转化为不等式来解决。

【知识重点与难点】不等式中的难点是不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

知识重点有下面3个：1、不等式：用不等号表示不等关系的式子。

不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。

不等式的解集：一个不等式所有解的集合。

解不等式：求不等式的解集的过程。

2、不等式的性质：①不等式的两边都加上(或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

用数学符号语言表示为：如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+, ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

用数学符号语言表示为：如果b a >，并且0>c ，那么bc ac > ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

用数学符号语言表示为：如果b a >，并且0<c ，那么bc ac <3、一元一次不等式：不等式中只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1【方法指导和教材延伸】1、不等式的解与解不等式不是同一回事，能使不等式成立的未知数的值是不等式的解（即不等式的解是数值），而求不等式的解的过程叫做解不等式（即解不等式是一个过程），可以说，“不等式的解”是“解不等式”的结果。

2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解，若不成立则就不是不等式的解。

3、不等式的三条性质是解不等式的重要依据。

4、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为a x >或a x <的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。

这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。

但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

5、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，可以直观地反映出不等式有无限多个解，是数学中，数形结合思想的重要体现，要注意的是“两定”：一是定边界点，二是定方向。

若边界点包含在解集中，则用实心点表示，若边界点不包含在解集中，则用空心圈表示；定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”。

6、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于抓住问题中的有关数量的不等关系，列出不等式，求出不等式的解集后，从而得出具体问题的解答。

7、常见不等式的基本语言的意义： （1）0>x ，则x 是正数； （2）0<x ，则x 是负数； （3）0≤x ，则x 是非正数； （4）0≥x ，则x 是非负数； （5）0>-y x ，则x 大于y ； （6）0<-y x ，则x 小于y ； （7）y x ≥，则x 不小于y ； （8）y x ≤，则x 不大于y ； （9）0>xy 或0>yx，则x ，y 同号；（10）0<xy 或0<yx，则x ，y 异号； （11）x ，y 都是正数，若1>y x ，则y x >；若1<y x，则y x <； （12）x ，y 都是负数，若1>y x ，则y x <；若1<yx，则y x >； 【典型例题】例1、用不等式表示：（1）x 与1的和是正数 （2）a 的21与b 的31的差是负数 （3）y 的2倍与1的和大于3（4）x 的一半与4的差不大于x （5）a 的4倍与b 的和是非负数分析：列不等式时要注意抓住关键词的意义，如“正数”、“负数”、“不大于”、“非负数”等等，一定要弄清不等关系。

解：（1）01>+x （2）03121<-b a （3）312>+y （4）x x ≤-421（5）04≥+b a注意：列不等式与列方程一样，先列出代数式，然后用不等号连接，形成不等式。

在列代数式时，仍然遵循“边读边写，先读先写”的原则。

例2、根据不等式性质，在横线上填上不等号，并说明理由： （1）若24ba -<-，则a 2b（2）若0,<>c b a ，则ac bc ，c a --32 c b --32，a -c b ， （3）若0>>a b ，且1,1<<b a ，则a 2a ，2a b ，a ab ，a 1 b1（4）若0<<b a ，则2a 2b分析：不等式性质有三条，特别是第三条，不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。

解：（1）由于24ba -<-，根据不等式性质3，两边同乘以4-，不等号方向改变，得b a 2>。

（2）由于0,<>c b a ，根据不等式性质3，两边同乘以负数c ，不等号方向改变，得bc ac <；由于b a >，根据不等式性质3，两边同乘以32-，不等号方向改变，得b a 3232-<-，再根据不等式性质1，两边同减去c ，不等号方向不变，得c b c a --<--3232 由于b a >，0<-c ，根据不等式性质3，两边同乘以负数0<-c ，不等号方向改变，得c b c a -<-（3）由于0,1><a a ，根据不等式性质2，两边同乘以正数a ，不等号方向不变，得2a a >，再由于b a <得b a <2，由于0,1><a b ，根据不等式性质2，两边同乘以正数a ，不等号方向不变，得ab a >，由于0>>a b ，根据两个同分子的正分数，分母大的反而小，得ba 11> （4）方法①：由于0<<b a ，故0>>b a ，所以22b a >。

（这是根据绝对值的性质）方法②：由于0,<<a b a ，则ab a >2（根据不等式性质3），再由于0.<<b b a ，则2b ab >（根据不等式性质3），所以22b a >（根据不等式的传递性）注意：不等式的三条性质是极其重要的，一定要很好掌握并能够熟练运用。

例3、根据不等式性质，把下列不等式化为a x >或a x <的形式（a 为常数） （1）23231-->x x （2）)6(2121x x -≤ （3）23>-x （4）3223+<+-x x解：（1）根据不等式性质1，不等式两边都加上x 32，不等号方向不变。

所以x x x x 322323231+-->+ 故2->x（2）根据不等式性质1，不等式两边都加上x 21，不等号方向不变。

所以x x x x 21)6(212121+-≤+ 故3≤x（3）根据不等式性质3，不等式两边都除以3-，不等号方向改变。

所以3233-<--x 故32-<x （4）根据不等式性质1，不等式两边都加上22--x ，不等号方向不变。

所以22322223--+<--+-x x x x 故15<-x再根据不等式性质3，不等式两边都除以5-，不等号方向改变。

所以5155->--x 故51->x 点评：不等式性质1中，两边同加上或减去的可以是数，也可以是整式，不等式性质3中的变号问题一定不能忽略。

那么不等式b ax >的解集是什么呢？这要分情况讨论： ①0>a ，则b ax >的解集是a b x > ②0<a ，则b ax >的解集是ab x <③0=a 且0<b ，则b ax >的解集是一切数 ④0=a 且0≥b ，则b ax >的解集是无解那么不等式b ax <的解集是什么呢？同学们可以自己仿照上面的分类方法进行讨论。

例4、比较大小：（1）a 与a 31（2）1224++x x 与124++x x分析：比较大小常用的方法是“作差法”，即如果0>-b a ，那么b a >；如果0<-b a ，那么b a <；如果0=-b a ，那么b a =解：（1）∵a a a 3231=-∴当0>a 时，032>a ，故031>-a a ，所以a a 31> 当0<a 时，032<a ，故031<-a a ，所以a a 31< 当0=a 时，032=a ，故031=-a a ，所以a a 31= （2）∵22424)1()12(x x x x x =++-++而02≥x∴1122424++≥++x x x x点评：（1）中的比较大小要分情况讨论，分类讨论是数学中的一个重要思想方法，分类时一定要做到“不重不漏”，既不要范围重合，也不要漏掉全体范围中的一部分。

（2）中作差后得到一个具有特性的代数式，利用这个特性——平方是非负数，从而比较出两个代数式的大小。

例5、解不等式68313622--<----x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来。

分析： 解不等式的步骤与解方程的步骤一样，①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1，其中要注意的是去分母和系数化为1，如果乘以或除以负数，不等号方向改变。

解： 去分母：)83(6)62(236--<----x x x x 去括号：83612436+-<+---x x x x 合并同类项：x x 3141213-<+- 移项：1214313-<+-x x合并同类项：210<-x 系数化为1：51->x 不等式的解集在数轴上表示为：注意：51-不包括在解集中，所以用空心圈，而用向右表示“大于” 例6、解关于x 的不等式)1(14-≥+x m x )4(≠m 解：去括号：m mx x -≥+14 移项：14--≥-m mx x 合并同类项：1)4(--≥-m x m 讨论：①当04>-m 即4<m 时，m m x ---≥41，即41-+≥m m x②当04<-m 即4>m 时，m m x ---≤41，即41-+≤m m x点评：解含有字母的不等式，首先要弄清未知数，在系数化为1这一步时，如果未知数的系数含有字母，那么就要对系数的正负性进行讨论，以此决定不等号是否要改变。