第二学期七年级数学下

一元一次不等式

【教学内容】

认识不等式 解一元一次不等式

【教学目的】

1、复习等式，引出不等式的概念，复习方程的解，引出不等式的解与解集的概念。

2、会检验一个数是否是某个不等式的解

3、使学生会列不等式

4、使学生掌握在数轴上表示不等式的解集

5、掌握不等式的三条性质，并且利用性质，掌握一元一次不等式的解法。

6、会将一些实际问题转化为不等式来解决。

【知识重点与难点】

不等式中的难点是不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 知识重点有下面3个：

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子。 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的集合。 解不等式：求不等式的解集的过程。

2、不等式的性质：

①不等式的两边都加上(或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用数学符号语言表示为：如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+, ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

用数学符号语言表示为：如果b a >，并且0>c ，那么bc ac > ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 用数学符号语言表示为：如果b a >，并且0

3、一元一次不等式：不等式中只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1

【方法指导和教材延伸】

1、不等式的解与解不等式不是同一回事，能使不等式成立的未知数的值是不等式的解（即不等式的解是数值），而求不等式的解的过程叫做解不等式（即解不等式是一个过程），可以说，“不等式的解”是“解不等式”的结果。

2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解，若不成立则就不是不等式的解。

3、不等式的三条性质是解不等式的重要依据。

4、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为a x >或a x <的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

5、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，可以直观地反映出不等式有无限多个解，是数学中，数形结合思想的重要体现，要注意的是“两定”：一是定边界点，二是定方向。若边界点包含在解集中，则用实心点表示，若边界点不包含在解集中，则用空心圈表示；定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”。

6、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于抓住问题中的有关数量的不等关系，列出不等式，求出不等式的解集后，从而得出具体问题的解答。

7、常见不等式的基本语言的意义： （1）0>x ，则x 是正数； （2）0-y x ，则x 大于y ； （6）0<-y x ，则x 小于y ； （7）y x ≥，则x 不小于y ； （8）y x ≤，则x 不大于y ； （9）0>xy 或

0>y

x

，则x ，y 同号；

（10）0

0

x

，则x ，y 异号； （11）x ，y 都是正数，若

1>y x ，则y x >；若1

，则y x <； （12）x ，y 都是负数，若

1>y x ，则y x <；若1

x

，则y x >； 【典型例题】

例1、用不等式表示：

（1）x 与1的和是正数 （2）a 的21与b 的3

1

的差是负数 （3）y 的2倍与1的和大于3

（4）x 的一半与4的差不大于x （5）a 的4倍与b 的和是非负数

分析：列不等式时要注意抓住关键词的意义，如“正数”、“负数”、“不大于”、“非负

数”等等，一定要弄清不等关系。

解：（1）01>+x （2）03121

<-

b a （3）312>+y （4）x x ≤-42

1

（5）04≥+b a

注意：列不等式与列方程一样，先列出代数式，然后用不等号连接，形成不等式。在列代数式时，仍然遵循“边读边写，先读先写”的原则。

例2、根据不等式性质，在横线上填上不等号，并说明理由： （1）若2

4b

a -<-

，则a 2b

（2）若0,<>c b a ，则ac bc ，c a --

32 c b --3

2

，a -c b ， （3）若0>>a b ，且1,1<

a ，2

a b ，a ab ，a 1 b

1

（4）若0<

a 2

b

分析：不等式性质有三条，特别是第三条，不等式两边同乘以（或除以）同一个负

数，不等号方向改变。

解：（1）由于2

4b

a -<-

，根据不等式性质3，两边同乘以4-，不等号方向改变，得b a 2>。

（2）由于0,<>c b a ，根据不等式性质3，两边同乘以负数c ，不等号方向改变，

得bc ac <；

由于b a >，根据不等式性质3，两边同乘以3

2

-

，不等号方向改变，得b a 32

32-<-

，再根据不等式性质1，两边同减去c ，不等号方向不变，得c b c a --<--

3

2

32 由于b a >，0<-c ，根据不等式性质3，两边同乘以负数0<-c ，不等号

方向改变，得c b c a -<-

（3）由于0,1>

得2

a a >，再由于

b a <得b a <2

，由于0,1>，由于0>>a b ，根据两个同分子的正分数，分母大的反而小，得

b

a 1

1> （4）方法①：由于0<>b a ，所以2

2

b a >。（这是根据绝对值

的性质）

方法②：由于0,<2

（根据不等式性质3），再由于

0.<（根据不等式性质3）

，所以2

2b a >（根据不等式的传递性）

注意：不等式的三条性质是极其重要的，一定要很好掌握并能够熟练运用。

例3、根据不等式性质，把下列不等式化为a x >或a x <的形式（a 为常数） （1）

23

231-->x x （2）)6(21

21x x -≤ （3）23>-x （4）

3223+<+-x x