递推数列常用十种方法

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数列递推求通项常用方法

数列递推求通项常用方法：（1）累加法：形如)(1n f a a n n +=+，转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解．（2）迭乘法：形如n n a n f a )(1=+，转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解．（3）递推公式为：()n n S f a =或)(n g S n =，利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn ． )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n ；或)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解．（4）构造法：一. 累加法与迭乘法1．设数列中，，则．2．已知}{n a 中，n n a n n a 21+=+，且21=a ，则n a = ．二. 递推法 ()n n S f a =或)(n g S n =3．已知下列各数列}{n a 的前n 项和n S 的公式为)(232*∈-N n n n S n ＝，求}{n a 的通项公式．4．已知n S 是}{n a 的前n 项和，且有12-=n n a S ，求}{n a 的通项公式．{}n a 112,1n n a a a n +==++n a =5．设数列的前项和为，且，求数列的通项公式．6．设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 1 =1,且（1）求证是等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式．三. 构造法7．在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a = ．8．已知数列{}n a 中，11=a ,1124+++=n n n a a ，求n a ． 9．数列中，，求数列的通项公式． 10．数列}{n a 中，若2,821==a a ，且满足03412=+-++n n n a a a ，求n a ．四. 其他递推类型11．数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，n a a a a n 3212=恒成立，则数列的通项n a = ． 12．设数列{}n a 满足21*123333,3N n n n a a a a n -+++⋯+=∈，求数列的通项=n a ．巩固练习1．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a =【】A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++2．（2011杭州二中）已知数列中，，则通项公式为【】A ．B ．C ．D ．3．已知数列{}n a 中，131+=+n n n a a a ，11=a ，则2009a = ． 4．已知数列{}n a 中n n n a a a ⋅==+3,311，则该数列的通项n a = ．5．已知数列的首项为，前n 项和为，且．证明数列是等比数列．}{n a n n S 31=a 321+=+n n S a }{n a ),2(1222≥-=n S S a n n n }1{n S {}n a )(42,211++∈+==N n a a a a nn n {}n a {}n a 111,34(*2)n n a a a n N n -==+∈≥且n a 13n -138n +-32n -3n6．已知数列{a n }满足a n +1=1122+++⋅n n nn a a ，a 1=2，求数列{a n }的通项公式．7．已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式.8．设数列的前项和为（1）求数列的通项公式（2）是否存在正整数使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由． n n n a a a 32,111+==+{}n a n ,n S *11,2(1),().n n S a a n n N n ==+-∈{}n a ;n a n 1212s s ++....+()212011n s n n --=n。

数列-递推公式求通项的十大模型

递推公式求通项的十种类型类型1.等差数列：相邻两项递推形式：d d a a n n ，（=--1为常数，+∈≥N n n 且2）或者相邻三项递推形式：)2(211++-∈≥=+N n n a a a n n n 且.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =1=，则n a =（）A．21n -B．nC．21n +D．12n -解析：∵11a ==1，∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，(1)11(1)1n n n =-⨯=+-⨯=，即2n S n =，∴()221121n n n a S S n n n -=-=--=-（2n ≥）.当1n =时，11a =也适合上式，∴21n a n =-.故选：A.注1：在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即b kn a a n n +=++1，它可以得到两个子数列分别是公差为k 的等差数列.例2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2021项的和为()A．20212022B．20202021C．20192020D．10101011解析：∵12a =，()142n n a a n n +++=+∈N ，∴216a a +=，解得24a =．142n n a a n ++=+ ，∴2146n n a a n +++=+，两式相减，得24n na a +-=，∴数列{}n a 的奇数项与偶数项均为公差为4的等差数列，∴当n 为偶数时，2(1)422n n a a n =+-⨯=．当n 为奇数时，1n +为偶数，∴根据上式和(*)知1422n n a n a n +=+-=，数列{}n a 的通项公式是2n a n =，易知{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，故()()2212n n nS n n +==+，()111111n S n n n n ==-++，设1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n T ，则20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-= ．故选：A．例3．数列{}n a 中，112,21,N n n a a a n n *+=+=+∈．求{}n a 的通项公式；解析：（1）由121++=+n n a a n ①2123n n a a n ++⇒+=+②，②-①22n n a a +⇒-=，∴{}n a 的奇数项与偶数项各自成等差数列，由11223a a a =⇒+=，∴21a =，∴2112(1)2n a a n n -=+-=，∴1n a n =+，n 为奇数，212(1)21n a n n =+-=-，∴1n a n =-，n 为偶数．∴()()**1,21,N 1,2,Nn n n k k a n n k k ⎧+=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩.类型2.等比数列：相邻两项递推：)2,0,0(1+-∈≥≠≠=N n n a q qa a n n n且且或q a a n n=-1.或者相邻三项递推：)2(211≥∈=+-+n N n a a a n n n 且.注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即++∈∀⋅=N n m a a a n m m n ,,，我们可以对其赋值得到一个等比数列.例4．数列{}n a 中，112a =，对任意,N m n *∈有m n m n a a a +=，若19111k k k a a a +++++ 15522=-，则k =（）A．2B．3C．4D．5解析：由任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=，所以令1m =，则11n n a a a +=，且112a =，所以{}n a 是一个等比数列，且公比为12，则1910155191112222222k k k k k k k k a a a ++++++++=+++=-=- 所以5k =，故选：D.例5．已知数列{}n a 满足22,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且11a =，22a =．求通项n a ；解析：当n 为奇数时，由22n n a a +-=知数列{}21k a -是公差为2的等差数列，()2111221k a a k k -=+-⨯=-，∴n a n =，n 为奇数；当n 为偶数时，由22n n a a +=知数列{}2k a 是公比为2的等比数列，1222k kk a a q -==，∴22nn a =，n 为偶数∴2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.类型3.)(1n f a a n n =--累加型例6．若数列{}n a 满足11a =，12n n a a n +-=．求{}n a 的通项公式.解析：因为12n n a a n +-=，11a =，所以()()()1122112(1)2(2)21n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+++2222(1)112n n n n -+⋅-+=-+=，故21n a n n =-+.类型4.)(1n f a a n n=-(2≥∈+n N n 且)累乘型.例7．数列{}n a 及其前n 项和为n S 满足：11a =，当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，则12320231111a a a a ++++= （）A．20211011B．40442023C．20231012D．40482025解析：当2n ≥时，111n n n a a n -+=-，即111n n a n a n -+=-，所以3124123213451,,,,,12321n n n n a a a a a n n a a a a n a n ---+=====-- 累乘得：()113451123212n n n a n n a n n ++=⨯⨯⨯⨯=-- ，又11a =，所以()12n n n a +=所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则1232023111111111111222212233420232024a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14046202321202420241012⎛⎫=-== ⎝⎭.故选：C.类型5.d ca a n n +=-1型（待定系数法）一般形式：1(,n n a ca d c d -=+为常数，0,1,0)c c d ≠≠≠，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数1dx c =-，1()n n a x c a x -+=+，令n n b a x =+，则n b 为等比数列，求出n b ，再还原到n a ，1)1(11--⋅-+=-c dc cd a a n n .例8．在数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈．求{}n a 的通项公式.解析：依题意，数列{}n a 中，12a =，()*1432,N n n a a n n -=-≥∈，所以()()1*N 1412,n n a a n n --=-≥∈，所以数列{}1n a -是首项为111a -=，公比为4的等比数列.例9.(2014年新课标全国1卷)已知数列{}n a 满足13,111+==+n n a a a ，证明⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式.解析：显性构造：13,111+==+n n a a a ，)21(3211+=++n n a a ，)13(21-=n n a .类型6.nn n b m qa a ⋅+=+1型例10．已知数列{}n a 的首项1=6a ，且满足1142n n n a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式；解析：∵1142n n n a a ++=-，∴112122n n n n a a ++=⋅-，∴1112122n n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又∵1122a -=，故12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列．112222n nn n a --=⋅=，则42n n n a =+．类型7.)1)((1≠+=+p n f pa a n n 型.方法1.数学归纳法.方法2.1111)()(+++++=⇒+=n n n n n n n p n f p a p a n f pa a ，令n n n p a b =，则11)(++=-n n n pn f b b ，用累加法即可解决！（公众号：凌晨讲数学）例11.(2020年新课标全国3卷)设数列{}n a 满足31=a ，n a a n n 431-=+.（1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明；（2）求数列{}n na 2的前n 项和n S .解析：方法1：归纳法.（1）235,7,a a ==猜想21,n a n =+得1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+，1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+方法2：构造法.由n a a n n 431-=+可得：1113433+++-=-n n n n n n a a ，累加可得：123123+=⇒+=n a n a n n n n .（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯ .①23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯ .②-①②得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯ ，1(21)2 2.n n S n +=-+类型8.)0(1≠⋅+=+q p qpa ta a n nn 型例12．已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 1nn n a a n a +=∈+，求数列{}n a 的通项公式.因为*1,N 1n n n a a n a +=∈+，所以1111n na a +=+，即1111n n a a +-=，又11a =，所以111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，所以()1111n n n a =+-⨯=，故1n a n =，所以数列{}n a 的通项公式为1n a n=.类型9.已知n S 与n a 关系，求n a .（公众号：凌晨讲数学）解题步骤：第1步：当1=n 代入n S 求出1a ；第2步：当2≥n ，由n S 写出1-n S ；第3步：1--=n n n S S a （2≥n ）；第4步：将1=n 代入n a 中进行验证，如果通过通项求出的1a 跟实际的1a 相等，则n a 为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，.)2()1(1⎩⎨⎧≥==n a n a a n n 在本考点应用过程中，具体又可分为三个角度，第一，消n S 留n a ，第二个角度，消n a 留n S ，第三个角度，级数形式的前n 项和，下面我们具体分析.例13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，112n n n S S a ++⋅=-.证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.证明：∵112n n n S S a ++⋅=-，∴112n n n n S S S S ++⋅=-，易知0n S ≠，∴111112n n n n n nS S S S S S +++-=-=⋅，∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列.例14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1=2a ，()*123N n n n a S n +=+∈.求n S .解析：因为()*123N n n n a S n +=+∈,所以11233,3n nn n n n n S S S S S ++-=+=+∴，则111111,333333n n n n n n n n S S S S ++++-=+=，11233S =，即{}3n n S 为首项为23，公差为13的等差数列，则211(1)(1)3333n n S n n =+-=+，故1(1)3n n n S -=+⋅.例15．已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++----…．求数列{}n a 的通项公式.解析：123123252525253n n na a a a +++=----…，①当1n =时，14a =．当2n ≥时，123112311252525253n n n a a a a ---++++----…，②由①-②，得()3522n n a n +=≥，因为14a =符合上式，所以352n n a +=．例16.（2022新高考1卷）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．求{}n a 得通项公式.解析：111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．类型9：已知前n 项积求n a .例17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．解析：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb b b b +++=-,由于10n b +≠，所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈，所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列.（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n n b n ∴=+-⨯=+,22211n n n b n S b n +==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.类型10.特征方程法（强基层次）：n n n ba aa a +=++12型.求解方程：02=--b a λλ，根据方程根的情况，可分为：（1）若特征方程有两个相等的根，则nn x b An a 0)(+=（2）若特征方程有两个不等的根，则n nn Bx Ax a 21+=例18．已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-.求数列{}n a 的通项公式；解析：2143n n n a a a ++=-，变形为：()2113n n n n a a a a +++-=-，216a a -=，∴数列{}1n n a a +-是等比数列，首项为6，公比为3.∴116323n nn n a a -+-=⨯=⨯，变形为：1133n n n n a a ++-=-，131a -=-，∴31n n a -=-，∴31n n a =-例19.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩，1322n n n a --∴=．例20.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a ．解析：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =-，∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n n n n na --∴=+-．。

_求递推数列通项公式的十种技巧

求递推数列通项公式的十种技巧一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a n n 1n 1n =-++，故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)21n 23(a -=。

评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ⋅+=+转化为232a 2a nn1n 1n =-++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12a nn -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。

二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-=所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。

例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

9类常见递推数列求通项公式方法

数列通项九种求解方法类型一：1n n a pa q+=+（1p ≠）思路（构造等比数列法）：设()1n n a p a μμ++=+，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列。

例1、已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-。

3(a a ++-21n a n =+类型三：1()n n a f n a +=⋅ （累乘法）思路（累乘法）：=n a 13211221n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式例3、已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a 。

解：,2≥n 111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a =，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…21243(1)n n ⋅⋅=+,11=a 也符合。

类型四：1()n n a pa f n +=+ （0p ≠且1p ≠）思路（转化法）：1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n n a a f n p p p ---=+，我们令nn na b p =，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。

例4 、已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a 。

解：142nn n a a -=+，式子两边同时除以4n得111442nn n n n a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令4n n n a b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由累加法得nn b )21(1-= 1441422n n n n n n n a b ⎡⎤⎛⎫∴=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。

递推数列常十种方法

求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。

笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。

仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。

二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n)1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-= 所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。

高考数学解题技巧-递推数列通项公式的十种策略例析

求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也特别灵巧，常常能够经过合适的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采纳不完整概括法的方法，由特殊情况推导出一般情况，从而用数学概括法加以证明，因此求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受喜爱的考察内容。

笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学概括法、换元法、不动点法、特点根的方法。

认真辨析递推关系式的特点，正确选择合适的方法，是快速求出通项公式的重点。

一、利用公式法求通项公式例 1 已知数列 { a n } 知足 a n 1 2a n 3 2n ， a 1 2 ，求数列 { a n } 的通项公式。

解： a n12a n 3 2n两边除以2n 1 ，得an 1a n 3 ，则an 1a n 3 ，2n 12 n22 n 12 n2故数列 {a n} 是以a 12 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 2 n 211 为首，以22a n1 (n1) 3，所以数列 { a n } 的通项公式为 a n ( 3n1)2n 。

2n222评注：此题解题的重点是把递推关系式a n 1 2a n列 { a n} 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出2 n列 { a n } 的通项公式。

3 2n转变为a n 1 a n 3 ，说明数2n12n2a n 1 ( n 3，从而求出数2 n1)2二、利用累加法求通项公式例 2 已知数列 { a n } 知足 a n 1an2n 1， a 1 1 ，求数列 { a n } 的通项公式。

解：由 a n 1 a n 2n1得 a n 1 a n 2n 1则 a n(a n a n 1 ) (a n 1 a n 2 ) (a 3 a 2 ) ( a 2a 1 ) a 1 [2(n 1) 1][2(n2) 1] (2 2 1)(2 1 1)12[( n 1) (n 2)2 1] ( n 1) 12 ( n1)n ( n 1) 12所以数列 { a n } 的通项公式为 a nn 2评注：此题解题的重点是把递推关系式 an 1a n 2n 1 转变为 a n 1 a n 2n 1 ，从而求出 (a na n 1 ) (a n 1 a n 2)(a 3 a 2 ) ( a 2 a 1 ) a 1 ，即得数列 { a n } 的通项公式。

求递推数列的通项公式的十一种方法包含特征根和不动点

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵ n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n1. 三、换元法例 3 已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n ≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式na （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a ab ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )31(2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。

常见递推数列通项的求法 (很齐全)

常见递推数列通项的求法类型一：1()n n a a f n +=+思路1（递推法）：123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= (1)11()n i a f n -==+∑。

思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑。

例1 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。

解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ……1[23a =+++…1(1)(2)(1)]2ni n n n n n n =++-+-+==∑。

方法2（叠/累加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、212a a -=，将各式叠加并整理得12nn i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑。

例2、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ，……，nn a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 例3．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得()()()21232113231-=-+-=-+++=n n n n a n【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。

递推数列求通项公式的常见类型及方法

递推数列求通项公式的常见类型及方法递推数列求通项即依据给出数列中相邻两项或几项的关系式，n a 与n S 的关系式等，求出通项公式，是数列中的重要内容，是高考中常见的题目．本文给出常见的类型和方法．1. )(1n f a a n n +=+.方法：叠加法. 令1,2,1-=n n，得21321(1)(2)(1)n n a a f a a f a a f n -=+=+=+-以上1-n 个式子相加，得111().n ni a a f i -==+∑ 例１．数列{}n a 中，)2(1,1211≥-+==-n n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解: 令n n ,,3,2 =,得212322121221331n n a a a a a a n n -=+-=+-=+-n n a a n -++-+-+=∴22211331221 11111223(1)111111(1)()()223112.a n n n n n =+++⨯⨯-=+-+-++--=- 2. )(1n f a a n n =+. 方法:累积法. 令1,2,1-=n n,得21321(1)(2)(1).n n a a f a a f a a f n -===-以上1-n 个式子求积，得)(111i f a a n i n-=∏+=. 例2. 数列{}n a 中，)2()11(,2121≥⋅-==-n a na a n n ，求数列{}n a 的通项.解: 由题1212)1)(1()11(--+-=-=n n n a nn n a n a ,令1,2,1-=n n ,得 21232212132243(1)(1)n n a a a a n n a a n -⨯=⨯=-+= 2221)1)(1(342231n n n a a n +-⋅⋅⨯⋅⨯⋅=∴ 11121.n a n n n +=⋅⋅+= 3. )0,1(1≠≠+=+q p q pa a n n . 方法一:配凑法.1().n n a p a λλ+-=-方法二:待定系数法.令)(1λλ-=-+n n a p a 比较已知得,.1q p q pλλλ-==- λ是方程q px x +=的根. q px x +=是特征方程.方程三: 两根同除以1+n p ,得111++++=n n n n n p q p a p a 转化为类型1. 例3(07.全国) 数列{}n a 中， ,3,2,1),2)(12(,21=+-==n a a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解法一: )2)(12(1+-=+n n a a {}为公比的等比数列为首项，是以数列122222)2)(12(211--=--∴--=-∴+a a a a n n nn n na )12(2)12)(22(21-⨯=--=-∴- 故 2)12(2+-⨯=n n a解法二:令))(12(1λλ--=-+n n a a)12(2)12(-=--∴λλ 解得2=λ下同解法一.解法三:)12(2)12()2)(12(1-+-=+-=+n n n a a a两边同除以1)12(+-n ,得nn n n n a a )12(2)12()12(11-+-=-++ 令n n n n n a a b )12()12(+=-= 则n n n b b )12(21++=+.令.1,2,1-=n n 得11223112)12(2)12(2)12(2--++=++=++=n n n b b b b b b1211)12(2)12(2)12(2-+++++++=∴n n b b2)12(2)12(1])12(1)[12(2)12(21++=+-+-+⋅++=-n nn n n n b a )12(22)12(-⨯+=-=∴.4. )0,1(,1≠≠+=+q p q pa a n n n .方法一：两边同除以1+n p ，得111++++=n nn n n n p q p a p a 转化为类型一.方法二：待定系数法.令)(11-+-=-n n n n q a p q a λλ比较已知得p q q -=λ. 例4．数列{}n a 中，)1(,23,111≥+==+n a a a n n n ，求数列{}n a 的通项. 解法一：两边同除以13+n ，得1113233++++=n nn n n n a a . 令n n n a b 3=，则1132+++=n nn n b b . 令.1,2,1-=n n 得n n n n b b b b b b 323232113223212--+=+=+= n n n b b 32323213221-++++=∴ nn n n )32(1321])32(1[31323232311322-=--=++++=- n n n a 23-=∴.解法二：令)2(3211-+⋅-=-n n n n a a λλn n n 22321=-⋅∴-λλ解得2-=λ.即)2(3211n n n n a a +=+++,所以数列{}n n a2+是以321=+a 为首项，3为公比的等比数列. .23,32n n n n n n a a -==+∴故5. )1).((1≠+=+p n f pa a n n .方法：两边同除以1+n p ，得111)(++++=n n n n n pn f p a p a 转化为类型一. 例5. 数列{}n a 中，)1(,223,111≥-+==+n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项.解: 两边同除以13+n ，得11132233+++-+=n n n n n n a a 令n nn a b 3=,得11322++-+=n n n n b b . 利用叠加法及错位相减法,以求得2123+-=n a n n ． 6.)()(1n g a n f a n n +=+.方法: 两边同除以)()2()1(n f f f ,得)()2()1()()()2()1()()2()1(1n f f f n g n f f f a n f f f a n n +=+转化为类型一例6. (2008年河南省普通高中毕业班教学质量调研考试)数列{}n a 中，)1(2)1(22,111≥++++==+n n n a n n a a n n ，求数列{}n a 的通项. 解: 令,2)(+=n n n f 则)2)(1(2211534231)()2()1(++=+⨯+-⨯⨯⨯⨯=n n n n n n n f f f 两边同除以)()2()1(n f f f ,得)2)(1(22)1(2)1(2)2)(1(21++++++=+++n n n n n n a n n a n n 即21)1(2)1()1)(2(+++=+++n na n a n n n n 令n n na n b )1(+=,则21)1(2++=+n b b n n令.1,2,1-=n n 得2122321223222n b b b b b b n n +=⨯+=⨯+=-)32(22221n b b n +++⨯+=∴3)12)(1(]16)12)(1([212++=-++⨯+⨯=n n n n n n 312+=∴n a n . 7. )(1n f a a n n =+. 方法: 由已知)1(12+=++n f a a n n ,两式相除,得)()1(2n f n f a a n n +=+. 例7. 数列{}n a 中，)1(,)31(,211≥==+n a a a n nn ，求数列{}n a 的通项. 解: 由题2,31121==a a a ,得612=a n n n a a )31(1=+ ………..① 112)31(+++=n n n a a ……...② ②÷①得 312=+n n a a k k a a a a a a 2421231,,,,,,和+∴都是以31为公比的等比数列当n 为奇数时,21211)31(2--⋅==n n n q a a 当n 为偶数时,22222)31(61--⋅==n n n q a a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅=∴--为偶数，为奇数n n a n nn 2221)31(61,)31(2． 8.n n n qa pa a +=++12. 方法一: 配凑法.)(112n n n n a a a a αβα-=-+++方法二: 待定系数法. 令)(112n n n n a a a a αβα-=-+++,比较已知得 ⎩⎨⎧==+q p αββα 得出βα, 其中βα,是方程q px x +=2的两根,方程q px x +=2是特征方程.例8. 数列{}n a 中，)1(,65,5,11221≥-===++n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项.解: 令)(112n n n n a a a a αβα-=-+++比较已知得⎩⎨⎧==+65αββα 得出2,3==βα )3(23112n n n n a a a a -=-∴+++数列{}n n a a 31-+是以2312=-a a 为首项,2为公比的等比数列.则n n n a a 231=-+,即n n n a a 231+=+.下同例4. 9.)0(,1≠++=+ac b aa d ca a n n n . 方法: 不动点法. 令bax d cx x ++=………(＊) 若(＊)有两重根,021x x x ==,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧-01x a n为等差数列. 若(＊)有两根,21x x ≠,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21x a x a nn 为等比数列. 例9.(08，洛阳三练)数列{}n a 中,n n a a a -==+21,2111,求数列{}n a 的通项. 解：令xx -=21,得1=x . 111121111111-=----=---+n n n n a a a a , 为公差的等差数列为首项，是以1-2121111111-=-=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴a a n . 1)1()1(211--=-⨯-+-=-∴n n a n 1+=∴n n a n ．例10.(07.全国)数列{}n b 中,)1(3243,211≥++==+n b b b b n nn ,求数列{}n b 的通项. 解: 令3243++=x x x ,解得2,221=-=x x , 则411)12(2223243232432222+=-+-+++++=-+-+++n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+22n n b b 是以22222211-+=-+b b 为首项,4)12(+为公比的等比数列. 24)1(4)12()12(222222--+=+⋅-+=-+∴n n n nb b故1)12(1)12(22424-+++⋅=--n n nb ．10. n n S a 与的关系.方法: ⎩⎨⎧-=-,,1n nn n S S S a 21≥=n n 可以向n a 转化,也可以向n S 转化.例11. 数列{}n a 的前n 项和,)1(12≥+=n a a S nn n ,求数列{}n a 的通项公式. 解法一: 1=n 时，1111212a a a S =+=，解得11=a )2(,1212111≥+=∴+=---n a a S a a S n n n nn n 两式相减得 11112---+-=n n n n n a a a a a ,)1(111--+-=-n n n n a a a a . 平方得 4)1()1(212122=+-+--n n n n a a a a . 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+221n n a a 是以212121=+a a 为首项，4为公差的等差数列。

数列递推公式的九种方法

数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。

2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。

如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。

如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。

回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。

6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。

斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。

阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。

8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。

斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。

9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。

卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。

数列递推的技巧

数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。

下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。

线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。

常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。

2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。

指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。

常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。

3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。

差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。

常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。

4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。

递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。

常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。

5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。

高中精品-数学：求递推数列通项公式的十种策略例析

3.3递推数列一、基本知识简述1．有关概念：我们在研究数列{a n }时，如果任一项a n 与它的前一项1-n a （或几项）间的关系可以用一个公式来表示，则此公式就称为数列的递推公式。

通过递推公式给出的数列，一般我们也称之为递推数列。

主要有以下几种方法：（1）构造法：通过构造特殊的数列（一般为等差数列或等列），利用特殊数列的通项求递推数列的通项.（2）迭代法：将递推式适当变形后，用下标较小的项代替某些下标较大的项，在一般项和初始之间建立某种联系，从而求出通项.（3）代换法：包括代数代换、三角代换等（4）待定系数法：先设定通项的基本形式，再根据题设条件求出待定的系数。

3.思想策略：构造新数列的思想。

4.常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）类型II:分式线性递推数列:)0(1≠++=+A BAa DCa a n n n二、例题：例1：231+=-n n a a ，21=a ，求通项n a分析：构造辅助数列， )1(311+=+-n n a a ，则13-=nn a求通项过程中，多次利用递推的思想方法以及把一般数列转化为等差、等比数列去讨论，从而求出了通项公式n a 。

[一般形式] 已知q pa a n n +=-1，a a =1，其中p,q,a 为常数，求通项n a [同类变式]已知数列}{n a 满足)12(21-+=+n a a n n ，且21=a ，求通项n a分析：（待定系数），构造数列}{b kn a n ++使其为等比数列，即)(2)1(1b kn a b n k a n n ++=++++，解得1,2==b k求得12251--⋅=-n a n n[归纳]：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归）其特例为：（1）1)(=n p 时,)(1n q a a n n +=+利用累加法，将)1(1-+=-n q a a n n ，=-1n a 2-n a +)2(-n q ,=2a 1a +)1(q …,各式相加，得 =n a 1a +∑-=11)(n k k q (n ≥2)(2)0)(=n q 时,n n a n p a )(1=+;利用累乘法,∏-==111)(n k n k p a a（3）q n q p n p ==)(,)(时,)0(1≠+=+p qpa a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列法1：(常数变易法) 设)(1x a p x a n n +=+- 则)1(1-+=-p x pa a n n ，从而1-=p qx 亦即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 是以1-+p q a n为首项，公比为p 的等比数列，从而可得：11)1(1--+=-+n n p p qa p q a ， 1)1(1---+=-p q p p q a a n n 1])1([1--⋅+-=-p q p q p a n法2：)(211----=-n n n n a a p a a利用{}1--n n a a 成等比数列求出1--n n a a ，再利用迭代或迭另法求出n a 法3：由q pa a n n +=-1，则可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=-------21221221111........p q p a p a p qp a pa p q p a p a n n n n n nn n nn,从而又可得n n n p q p q p q p a p a ++++=...321 即)]...11([121-+++⋅+=n nn pq p p p q p a p a 1])1([1--⋅+-=-p qp q p a n（4）q n q p n p ==)(,)(n时,)0(1≠+=+p qpa a n n n两边同除以np例2：数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n S ＝*)(2N n a n n ∈，求数列}{n a 的通项公式.例3：数列}{n a 中，且311=a ，1221+=+n nn a a a ，求数列}{n a 的通项公式.[提示]112111+=+nn a a[归纳]：类型II:分式线性递推数列:)0(1≠++=+A BAa DCa a n n n练习：1.已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； ⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和。

数列的十种典型递推式

1 十大递推数列求通项： (1)等差数列：a n =a n-1+d例1：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3,(n ≥2).求a n 的通项公式。

答a n =3n-2. (2)等比数列： a n =a n-1q例2：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =2a n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。

答a n =12-n .(3)似等差数列： a n =a n-1+f(n) 用叠加法。

例3：已知：数列{a n }中a 1=1,a n =a n-1+3n+1,(n ≥2).求a n 的通项公式。

答a n =265n 3n 2-+.(4)线性数列： a n =pa n-1+q 构造等比数列。

例4：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =2a n-1-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。

答a n =12+n.(5) 似等比数列： a n =a n-1f(n) 叠乘法。

例5：已知：数列{a n }中a 1=3,a n =na n-1,(n ≥2).求a n 的通项公式。

答a n =3n ！.(6)三项递推： a n =pa n-1+qa n-2 设a n+1-xa n =y(a n -xa n-1),构造一个或二个等比数列再通过等差数列或解方程组求出。

例6：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =3a n-1-2a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。

答a n =2n -1. 例7：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=3,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。

答a n =(n+1)2n-2. 例8：已知：数列{a n }中a 1=1,a 2=4,a n =4a n-1-4a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。

答a n =n2n-1.例9：已知：数列{a n }中a 1=2,a 2=3,a n =5a n-1-6a n-2,(n ≥3).求a n 的通项公式。

求数列递推表达式常用的八种方法

求数列递推表达式常用的八种方法1. 通项公式法（Explicit Formula Method）通项公式法是一种使用列中已知项的数值来构建一个递推表达式的方法。

根据数列的性质和规律，可以通过观察和找到一个数学模型来表示数列的通项公式。

该公式可以直接给出任意项的值，无需依赖于前面的项。

2. 递推关系法（Recurrence Relation Method）递推关系法是通过关系式来定义后一项与前面一项之间的关系。

可以根据已知项之间的关系来构建递推关系，从而求得数列的递推表达式。

递推关系可以是线性或非线性的，具体要根据数列的性质来确定。

3. 线性代数法（Linear Algebra Method）线性代数法是将数列看作一个向量，通过矩阵运算来求得数列的递推表达式。

可以利用矩阵的特征值和特征向量等性质来求解。

这种方法适用于一些特殊的线性数列，但对于非线性数列则不适用。

4. 拟合法（Curve Fitting Method）拟合法是通过数学函数来逼近数列的变化趋势，从而得到递推表达式。

可以选择不同的函数模型，如多项式、指数函数、对数函数等，并使用最小二乘法来拟合数列的数据点。

这种方法适用于不规律和随机的数列。

5. 差分法（Difference Method）差分法是通过数列中相邻项之间的差值来构建递推表达式。

可以通过一次差分、二次差分等方法来获得递推关系，进而求解数列的递推表达式。

这种方法适用于差分规律明显的数列。

6. 特殊性质法（Special Property Method）特殊性质法是根据数列的特殊性质来求解递推表达式。

可以利用数列的对称性、周期性、递增性、递减性等特点来构建递推关系。

该方法需要对数列的性质特别敏感，适用性较为有限。

7. 生成函数法（Generating Function Method）生成函数法是将数列看作一个形式幂级数，通过对生成函数进行操作来求解递推表达式。

可以利用生成函数的性质和运算法则来求得数列的递推关系，进而得到递推表达式。

求递推数列的通项公式的十一种方法包含特征根和不动点

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1 在数列{n a }中,31=a ,)1(11++=+n n a a n n ,求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ,……,n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列,且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n n=1,2,3…,则它的通项公式是n a =▁▁▁2000年高考15题解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵ n n a a ++1＞0, 11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……,n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：na a n 11=,即n a =n1. 三、换元法例3 已知数列{n a },其中913,3421==a a ,且当n ≥3时,)(31211----=-n n n n a a a a ,求通项公式n a 1986年高考文科第八题改编.解：设11---=n n n a a b ,原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列,9134913121=-=-=a a b ,公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )31(2123-=.例4已知数列{n a },其中2,121==a a ,且当n ≥3时,1221=+---n n n a a a ,求通项公式n a ;解由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ,令11---=n n n a a b ,则上式为121=---n n b b ,因此}{n b 是一个等差数列,1121=-=a a b ,公差为1.故n b n =.;由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n,即)2(212+-=n n a n四、积差相消法例51993年全国数学联赛题一试第五题设正数列0a ,1a ,n a …,n a ,…满足2-n n a a 21---n n a a =12-n a)2(≥n 且110==a a ,求}{n a 的通项公式.解将递推式两边同除以21--n n a a 整理得：12211=----n n n n a aa a 设nb =1-n na a ,则011a a b ==1,121=--n n b b ,故有 1212=-b b ⑴1223=-b b⑵… … … …121=--n n b b 1-n由⑴22-⨯n + ⑵32-⨯n +…+1-n 02得122221-++++=n n b =12-n ,即1-n n a a =12-n.逐项相乘得：n a =2)12(-222)12()12(-⋅⋅-⋅n ,考虑到10=a ,故⎩⎨⎧-⋅⋅--=2222)12()12()12(1n n a )1()0(≥=n n .五、取倒数法例6 已知数列{n a }中,其中,11=a ,且当n ≥2时,1211+=--n n n a a a ,求通项公式n a ;解将1211+=--n n n a a a 两边取倒数得：2111=--n n a a ,这说明}1{na 是一个等差数列,首项是111=a ,公差为2,所以122)1(11-=⨯-+=n n a n,即121-=n a n .六、取对数法例7 若数列{n a }中,1a =3且21n n a a =+n 是正整数,则它的通项公式是n a =▁▁▁2002年上海高考题.解由题意知n a ＞0,将21n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+,即2lg lg 1=+nn a a ,所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项,公比为2的等比数列,12113lg 2lg lg -=⋅=-n n na a ,即123-=n n a .七、平方开方法例8 若数列{n a }中,1a =2且213-+=n n a a n 2≥,求它的通项公式是n a .解将213-+=n na a 两边平方整理得3212=--n n a a ;数列{2n a }是以21a =4为首项,3为公差的等差数列;133)1(212+=⨯-+=n n a a n ;因为n a ＞0,所以13+=n a n;八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、B Aa a n n +=+1A 、B 为常数型,可化为λ++1n a =A λ+n a 的形式.例9 若数列{n a }中,1a =1,n S 是数列{n a }的前n 项之和,且nnn S S S 431+=+n 1≥,求数列{n a }的通项公式是n a .解递推式nnn S S S 431+=+可变形为41311+⋅=+nn S S 1设1式可化为)1(311λλ+=++nn S S 2比较1式与2式的系数可得2=λ,则有)21(3211+=++n n S S ;故数列{21+nS }是以3211=+S 为首项,3为公比的等比数列;21+nS =n n 3331=⋅-;所以131-=nn S ; 当n 2≥,1238332231231211+⋅-⋅-=---=-=--n n nn n n n n S S a ;数列{n a }的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n ; 2、B Aa a n n +=+1n C ⋅A 、B 、C 为常数,下同型,可化为11++⋅+n n C a λ=n n C a A ⋅+λ(的形式.例10 在数列{n a }中,,342,1111-+⋅+=-=n n n a a a 求通项公式n a ;解：原递推式可化为：)3(2311-+⋅+=⋅+n n n n a a λλ①比较系数得λ=-4,①式即是：)34(23411-+⋅-=⋅-n n n n a a .则数列}34{1-⋅-n n a 是一个等比数列,其首项534111-=⋅--a ,公比是2. ∴112534--⋅-=⋅-n n n a 即112534--⋅-⋅=n n n a .3、n n n a B a A a ⋅+⋅=++12型,可化为)()(112n n n n a a A a a λλλ+⋅+=++++的形式;例11 在数列{n a }中,2,121=-=a a ,当N n ∈,n n n a a a 6512-=++ ① 求通项公式n a .解：①式可化为：比较系数得λ=-3或λ=-2,不妨取λ=-2.①式可化为：则}2{1n n a a -+是一个等比数列,首项122a a -=2-2-1=4,公比为3.∴11342-+⋅=-n n n a a .利用上题结果有：112534--⋅-⋅=n n n a .4、C Bn Aa a n n ++=+1型,可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式;例12 在数列{n a }中,231=a ,12--n n a a =63-n ① 求通项公式n a .解 ①式可化为：21121)1()(2λλλλ+-+=++-n a n a n n ② 比较系数可得：1λ =-6,92=λ,② 式为12-=n n b b}{n b 是一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为21. ∴1)21(29-=n nb 即 n nn a )21(996⋅=+-故96)21(9-+⋅=n a nn .九、猜想法运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出123,,,a a a ……,然后猜想出满足递推式的一个通项公式n a ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的;例13 在各项均为正数的数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和,n S =1(2na + 1)na ,求其通项公式; 求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q++===+是常数的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ,其特征方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ,则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数若①有二重根αβ=,则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ,进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为232x x =-,解得121,2x x ==,令1212n n n a c c =⋅+⋅,由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩,得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩,112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2441x x =-,解得1212x x ==,令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩,得1246c c =-⎧⎨=⎩, 1322n n n a --∴=．二、形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa Ba Ca D++=+,*1,(,,,a m n N A B C D=∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠其特征方程为Ax Bx Cx D+=+,变形为2()0Cx D A x B +--=…② 若②有二异根,αβ,则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--其中c 是待定常数,代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--,公比为c 的等比数列,于是这样可求得n a ．若②有二重根αβ=,则可令111n n c a a αα+=+--其中c 是待定常数,代入12,a a 的值可求得c 值．这样数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-,公差为c 的等差数列,于是这样可求得n a ．此方法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为221x x x +=+,化简得2220x -=,解得121,1x x ==-,令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a =得245a =,可得13c =-, ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项,以13-为公比的等比数列,1111133n nn a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭,3(1)3(1)n nn n na --∴=+-．例4．已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特征方程为2146x x x -=+,即24410x x ++=,解得1212x x ==-,令1111122n n c a a +=+++由12,a =得2314a =,求得1c =,∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项,以1为公差的等差数列,123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+,135106n na n -∴=-．。

求递推数列的通项公式的十一种方法

求递推数列的通项公式的十一种方法
递推数列是一种数学数列，其中每一项都是由前一项推算出来的。

通
项公式则是通过已知的数列项之间的关系，找出数列的整体规律，从而可
以直接计算任意一项的值。

下面将介绍11种方法来推导递推数列的通项公式。

1.递归定义法
递归定义法是通过规定数列的首项以及前面项与后面项之间的关系，
来表达出数列的通项公式。

2.直接求和法
直接求和法是通过将数列的前n项求和，并将结果化简得出通项公式。

3.递推关系法
递推关系法是通过规定数列前两项之间的关系，并将该关系推广到前
n项之间的关系，从而求出通项公式。

4.变量代换法
变量代换法是通过引入新的变量，将原数列表示成一个新的数列，从
而得到新数列的通项公式。

5.假设公式法
假设公式法是通过猜测数列的通项公式，并验证猜测的公式是否符合
已知项的规律。

6.拆项法
拆项法是通过拆解数列的项，将数列表示成两个或多个部分，再求和得出通项公式。

7.枚举法
枚举法是通过穷举数列的前几项，找出数列项之间的规律，推算出通项公式。

8.差分法
差分法是通过计算数列项之间的差值，找出数列项之间的规律，从而得到通项公式。

9.生成函数法
生成函数法是通过将数列视为多项式的系数，构造一个生成函数，再通过求导、积分等运算得到通项公式。

10.求和公式法
求和公式法是通过利用已知的数列求和公式，计算数列的前n项和，并化简得出通项公式。

11.对称性法
对称性法是通过观察数列的对称性，推断出数列的通项公式。

求数列递推式常用的八种方法

求数列递推式常用的八种方法1. 直接法直接法是最简单和直接的方法，通过观察数列的规律，直接写出递推式。

例如，对于等差数列，递推式可以直接表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 分析法分析法是通过对数列进行数学分析，找出其中的规律，并根据规律推导出递推式。

这种方法通常需要一定的数学知识和分析能力，适用于较复杂的数列。

3. 求通项法求通项法是通过求出数列的通项公式，然后根据通项公式得到递推式。

对于一些特殊的数列，可以通过求通项的方式得到简洁的递推式。

4. 差分法差分法是通过对数列的前后项进行差分，找出差分序列的规律，并根据差分序列得到递推式。

差分法适用于一些变差规律较为明显的数列。

5. 指标法指标法是通过设立指标，将数列的各项表示为指标的函数，然后根据指标的变化规律得出递推式。

指标法通常用于描述具有规律性的数列。

6. 递推法递推法是通过递推关系式，从已知的前几项不断递推得到后面的项，并找到递推关系的规律性。

递推法适用于对于递推关系有一定了解的数列。

7. 求和法求和法是通过数列的和式表达式，将和式中的各项表示为数列的递推式，然后得出递推式。

求和法常用于求解数列的递推式，特别是对于等差数列和等比数列。

8. 递归法递归法是通过将数列的递推关系式表示为函数的递归定义，然后根据递归定义得到递推式。

递归法适用于递推关系较为复杂的数列。

以上是求数列递推式常用的八种方法，通过不同的方法可以找到适合不同数列的递推式，帮助我们更好地理解和描述数列的规律。