最后冲刺系列解析几何专题系列一圆锥曲线的基本量问题
专题02 圆锥曲线基本量问题(原卷版)
圆锥曲线基本量问题高考定位圆锥曲线的基本量（a,b,c,p）是近年高考的一个热点,有关基本量的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,基本量问题既体现了基础型，而且综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.专题解析（1）基本的值的求法（求曲线方程、求离心率、求轴长、求渐近线、解焦点三角形）（2）基本量的范围与最值求解方法总结（1）基本量的值的求法：找a,b,c,p的方程（组）（2）基本量的范围与最值求法：创建不等式、函数、数形结合专项突破类型一、基本量的值例1-1．（2022·江苏高三开学考试）从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A B C D练.（2022•运城模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的左，右焦点分别为1F，2F，以原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线C 在第一象限交于点A ，若16OAF π∠=，则双曲线C 的离心率为( )A B 1C D 1练.（2022·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，坐标原点为O ，若椭圆上存在一点P 使得△OAP 是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D练.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D例1-2.（2022•滁州期末）如图，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是( )A ．12 B ．13C ．23D ．14例1-3（广东省高州市第一中学2022届高三下学期3月T 8）．已知椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若2BA BF ⋅=0，且｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ）A 2B C D ．12练.（2022•浙江期中）如图，A ，B ，C 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ⊥且||3||BF CF =，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D练.（2022•湖南校级模拟）如图所示，A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过坐标原点O ，AC 经过双曲线的右焦点F ，若BF AC ⊥，且||AF a =，则该双曲线的离心率是( )A B C ．32D ．3例1-4.（广东省东莞高级中学2022届高三下学期3月模拟T 15）．椭圆2222:1(0)x y r a b a b +=>>的左、右焦点分别为12.F F 、焦距为2c ，若直线)y x c +与椭圆r 的一个交点M 满足12212,MF F MF F ∠=∠则该椭圆的离心率等于 .练．（2022•榆林四模）已知直线2x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线的左、右焦点分别为1F 、2F 且211cos 4PF F ∠=-，则双曲线C 的离心率为() A ．53B ．53或3C ．1611D ．1611或4练． 如图，1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右两个焦点，若直线y x=与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC ．2D 例1-5 .（广东省部分重点中学2022届高三下学期2月联考T 16）．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，使得12F F ，2F P ，1F P 依次构成一个公差为2的等差数列，则双曲线C 的实轴长为___________，若12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为___________.练．（2022•常德期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，以A点为圆心，AF 长为半径的圆与椭圆C 相交于点M ，||2||AM MF =，则椭圆C 的离心率为( ) A ．27B ．37C ．47D ．57例1-6（广东省2022届高三下学期六校第三次联考T 16）．已知双曲线22221x y E a b-=：的两焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线与双曲线E 交于,A B 两点，若222AF F B =且1ABF 为等腰三角形，则双曲线E 的离心率为______.练. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别是F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于P ，Q 两点，若PF 2＝F 1F 2且2PF 1＝3QF 1，则椭圆的离心率为( )A. 13B. 23C. 35D. 45例1-7．（2022•广州一模）已知O 为坐标原点，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若12||2||b F F OA =-，则双曲线C 的离心率为( ) A ．54B ．43 C ．53D ．2练．（2022•新疆模拟）已知1(5,0)F -，2(5,0)F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，过1F 的直线l 与圆222:O x y a +=切于点T ，且与双曲线右支交于点P ，M 是线段1PF 的中点，若||||1OM TM -=，则双曲线的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．2211213x y -=D ．2211312x y -=类型八、利用平行与垂直建立斜率的方程例8-1【云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（理）】设1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点1F 关于直线AB 的对称点为M .若212MF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A BC ．12D ．2练.【江西省景德镇一中2022届高三8月月考数学（理）】已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，B 为该椭圆的右顶点，过2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），若1//BP FQ ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12 C ．13 D ．23类型二、基本量的范围最值计算例2-1. (2020·湛江二模)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P ，使得PF 中点到原点的距离等于点P 到点F 的距离，则双曲线E 的离心率的取值范围是( )A. (1,3)B. (1,3]C. (1，3]D. [3，3]练.(2020·九江二模)已知点P 在离心率为12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，F 是椭圆的一个焦点，M是以PF 为直径的圆C 1上的动点，N 是半径为2的圆C 2上的动点，圆C 1与圆C 2相离且圆心距C 1C 2＝92，若MN 的最小值为1，则椭圆E 的焦距的取值范围是( )A. [1,3]B. [2,4]C. [2,6]D. [3,6]练.(2020·浙江期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，12，直线y ＝－x ＋1交椭圆于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ⊥ON ，则椭圆长轴长的取值范围是( )A. [7，8]B. [6，7]C. [5，6]D. [8，9]例2-2.（2020新课标Ⅱ卷 理T8）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8C. 16D. 32练.(广东省东莞高级中学2022届高三下学期3月模拟T22)．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，P 是双曲线右支上一点，2121,PF F F OH PF ⊥⊥，垂足为点 H ，1OH OF λ=，11,92λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）当13λ=时，求双曲线的渐近线方程；（2）求双曲线的离心率e 的取值范围.练. 【四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高三下学期第一次学月考】设A 为椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，且AF BF ⊥.若5,412ABF ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．⎡⎢⎣⎦D ．2⎣⎦练．（2022•双流区校级期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ，满足b >，若点P 为椭圆上一点，记||PF 的最大值为m ，记||PF 最小值为n ，则mn的取值范围为()A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(2,)+∞D ．(3,)+∞练．【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. )+∞B. 2)C.D. (1,2)例2-3．（2022•浙江期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，P 是椭圆C 上一点（不在坐标轴上），Q 是12F PF ∠的平分线与x 轴的交点，若2||2||QF OQ =，则椭圆离心率的范围是 1(3，1) ．练. l 是经过双曲线 ()2222:10,0x y C a b a b-=>>焦点F 且与实轴垂直的直线,,A B 是双曲线C 的两个顶点, 若在l 上存在一点P ,使60APB ∠=︒,则双曲线离心率的最大值为（ ）A ．3B C ．2 D ．3练．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期高考模拟考试（二）】平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右准线与x 轴的交点为A ，若在椭圆C 上存在一点P ，使得PA PF =，则椭圆C 的离心率的取值范围为_______________．类型三、有曲线上动点参与的基本量的值的计算例3-1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A. 13 B. 23 C. 83 D. 32或83练. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．43y x =± B ．34yx C ．y = D ．y x =练．已知直线l 分别切抛物线22x py =（0p >）和圆22(1)1x y ++=于点A ，B （A ，B 不重合），点F 为抛物线的焦点，当AF 取得最小值时，p =___________.练．两个长轴在x 轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若A ，B 分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线AC ，BD ，切点分别为C ，D ，且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（ ）A ．34B C ．916D练．l 经过抛物线22y px =的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，且8AB =，则p 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4练．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作倾斜角为60︒的直线交双曲线右支于A ，B 两点，若5AF FB =，则双曲线的离心率为（ ）A ．65B C ．2D ．43练．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，F 分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M ，若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A. 13B. 23C. 83D. 32或83练．（2022春•昌江区校级期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，12PF PF ⊥，直线2PF 交y 轴于点Q ，且223F P PQ =，则双曲线C 的离心率为 ．练.(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程.类型四、有曲线上动点参与的基本量范围最值的计算例4-1. (2022·江苏模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．设D (b,0)，过点D 的直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，且E ，F 均在y 轴的右侧，DF →＝2ED →，求椭圆离心率的取值范围．练.（2022•河南）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在第一象限的点0(M x ，0)y ，使得过点M且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点(,0)(2cc 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是 ．练.（广东省惠来县第一中学2022届高三下学期15）．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.练.(2020·浙江期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，12，直线y＝－x ＋1交椭圆于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ⊥ON ，则椭圆长轴长的取值范围是( )A. [7，8]B. [6，7]C. [5，6]D. [8，9]练.广东省惠来县第一中学2022届高三下学期15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =，则椭圆离心率的取值范围是___________.练．（多选题）【江苏省徐州市2020-2022学年高三上学期12月模拟测试】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．2例3-2．（2022•浙江模拟）已知点F 为双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的右焦点，直线y kx =，k ∈与双曲线C 交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．1]C ．[21]D ．[2+类型五、焦点三角形例5-1．(2022·全国甲卷)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216＋y 24＝1的两个焦点，P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________.练（2022•天心区）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ= )A ．14 B ．13C ．23D ．12练．（2022•河南模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线与双曲线C 的左支相交于点A ，与双曲线的右支相交于点B ，O 为坐标原点．若212||3||BF AF =，且12||2||F F OB =，则双曲线C 的离心率为( )A B C ．2 D练.已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n －y 2＝1(n >0)，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化练.已知M (x 0,y 0)是双曲线C:2212-=x y 上的一点, F 1,F 2是C 上的两个焦点,若△F 1MF 2是钝角三角形 ,则y 0的取值范围是( )A.(33-B.(,66-C.(D.(练.椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为( )练.设动点P 到两定点F 1(-1,0)和F 2(1,0)的距离分别为d 1和d 2,△F 1PF 2=2θ,且存在常数λ(0<λ<1),使得d 1d 2sin 2θ=λ.(△)证明:动点P 的轨迹C 为双曲线,并求出C 的方程;(△)过点F 2的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点,问:是否存在λ,使△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.练.（2022春•浙江）设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若212||||PF F F =，且113||4||PF QF =，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．57 C ．35D ．34练.(2022·新高考Ⅰ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6。
高三+圆锥曲线基本量问题.doc
动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。
分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的 ）。
解：如图， ，
∴
∴ （*）
代入④得[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9
∴ ，
≥
当4x02+1=3即 时， 此时
法二：如图，
∴ ，即 ，
∴ ，当AB经过焦点F时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
解：（1）椭圆 中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦点F1(-1,0)
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0
得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0
∴(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-
圆锥曲线的性质有哪些？
圆锥曲线的结论有什么？
高三圆锥曲线复习(基础和大题含问题详解)
考纲要求（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；④了解圆锥曲线的简单应用；⑤理解数形结合的思想。
（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。
基本知识回顾（1）椭圆①椭圆的定义设F1，F2是定点（称焦点），P为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a为定值，且2a＞|F1F2|)的动点P的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a（2a＞| F1F2|)。
②椭圆的标准方程和几何性质例题例1：椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 。
变式1：已知12F 、F 是椭圆的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且→→⊥21PF PF 。
若12PF F ∆的面积为9，则b = 。
例2：若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．y 2=16-xB ．y 2=32-xC ．y 2=16xD ．y 2=32x变式2：动圆与定圆A ：(x +2)2+y 2=1外切，且与直线 ∶x =1相切，则动圆圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ． y x 82-=变式4：在抛物线y 2=2x 上有一点P ，若 P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小，则点P 的坐标是 。
课后作业1．已知椭圆162x +92y =1, F 1、F 2分别为它的左右焦点，CD 为过F 1的弦，则△F 2CD 的周长是（ ）A ．10B ．12C ．16D ．不能确定2．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A ．B ．12C ．D ．243．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．115 D ．3716答案：例题例1、2，120°解：∵229,3a b ==，∴c ==∴12F F =又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，又由余弦定理，得(22212241cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2，120°。
圆锥曲线重要几何量问题的求解
圆锥曲线重要几何量问题的求解纵观近几年全国高中数学联赛和部分省市高中数学竞赛试题，圆锥曲线是命题的热点之一，而且比较接近高考．在圆锥曲线中，焦半径、焦（顶）点弦长、焦（顶）点三角形面积等是非常重要的几何量，也是各类竞赛的重点．为此，本讲主要介绍与这些几何量有关问题的求解策略．一、基础知识1．圆锥曲线定义、方程、基本元素ａ、ｂ、ｃ、ｅ、ｐ之间的关系，焦半径以及一些重要公式．2．焦点弦长：ＡＢ是经过圆锥曲线（指的是椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞0）、双曲线ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞0，ｂ＞0）、抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0），以下相同）焦点的弦，若ＡＢ的倾斜角为α，半焦距为ｃ，则（1）对于椭圆，｜ＡＢ｜＝2ａｂ２／（ｂ２＋ｃ２ｓｉｎ２α）；（2）对于双曲线，｜ＡＢ｜＝2ａｂ２／｜ｂ２－ｃ２ｓｉｎ２α｜；（3）对于抛物线，｜ＡＢ｜＝2ｐ／ｓｉｎ２α．证明过程见文［1］，此处从略．3．顶点弦长：经过圆锥曲线顶点Ａ（对于椭圆或双曲线，指的是长轴或实轴顶点）作倾斜角为α的弦ＡＢ，半焦距为ｃ，则（1）对于椭圆，｜ＡＢ｜＝2ａｂ２｜ｃｏｓα｜／（ｂ２＋ｃ２ｓｉｎ２α）；（2）对于双曲线，｜ＡＢ｜＝2ａｂ２｜ｃｏｓα｜／｜ｂ２－ｃ２ｓｉｎ２α｜；（3）对于抛物线，｜ＡＢ｜＝2ｐ｜ｃｏｓα｜／ｓｉｎ２α．证明过程见文［2］，此处从略．4．焦点三角形的面积：Ｐ是椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞0）或双曲线ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞0，ｂ＞0）上一点，Ｆ１、Ｆ２是两焦点，若∠Ｆ１ＰＦ２＝α，则（1）对于椭圆，Ｓ△Ｆ１ＰＦ２＝ｂ２ｔｇ（α／2）；（2）对于双曲线，Ｓ△Ｆ１ＰＦ２＝ｂ２ｃｔｇ（α／2）．一般的书刊资料均可找到，证明从略．例1在椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为Ｆ，右顶点为Ａ，上顶点为Ｂ，若该椭圆的离心率ｅ＝（1／2）（－1），求∠ＡＢＦ．（2000年全国高中数学联赛题）．导析：如图1，△ＡＢＦ是椭圆的一焦点和两顶点组成的，是一个非常特殊的三角形．但在短暂的思考中学生也是不易找到方法．这时教师可提醒学生观察图中的三角形，它们的边均与ａ，ｂ，ｃ有关，由此可改造条件．即由ｅ＝ｃａ＝（1／2）（－1）可得2ｃ＋ａ＝ａ，两边平方可得ｂ２＝ａｃ，由此结论便迎刃而解了，且方法是多样的．即用相似三角形或两斜率的积或用两角和的正、余弦均可得∠ＡＢＦ＝90°．例2已知点Ｐ在双曲线（ｘ２／16）－（ｙ２／9）＝1，且点Ｐ到这条双曲线的右准线的距离恰是点Ｐ到这条双曲线的两个焦点的距离的比例中项，那么点Ｐ的横坐标是．（1999年全国联赛题）．导析：学生见到此题，常常会用如下方法：设左、右焦点为Ｆ１、Ｆ２，点Ｐ（ｘ，ｙ）到右准线ｘ＝ａ２／ｃ＝16／5的距离为ｄ，则2ｄ＝｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜，由此即得方程组这是多么复杂的运算，能回避吗?教师可提醒学生直接运用焦半径公式，即由双曲线焦半径公式及题设便得2｜ｘ－（16／5）｜＝｜4－（5／4）ｘ｜＋｜4＋（5／4）ｘ｜．结合双曲线的范围ｘ≤－4或ｘ≥4即可得ｘ＝－64／5．例3Ｆ是抛物线ｙ２＝2ｐｘ（ｐ＞0）的焦点，Ｐ为抛物线上一点，抛物线的准线ｌ交ｘ轴于Ｈ，若∠ＰＦＨ＝α，∠ＰＨＦ＝β，求证：ｓｉｎα＝ｔｇβ．导析：这是与圆锥曲线焦半径有关的三角恒等式，虽然学生很少遇到此类问题，但是通过观察，学生自然会画图分析，这时教师可引导学生从抛物线定义和正弦定理来思考，即作ＰＱ⊥ｌ，垂足为Ｑ，则有｜ＰＱ｜＝｜ＰＦ｜，∠ＱＰＨ＝β，从而有｜ＰＨ｜＝｜ＰＱ｜／ｃｏｓβ＝｜ＰＦ｜／ｃｏｓβ和｜ＰＨ｜／ｓｉｎα＝｜ＰＦ｜／ｓｉｎβ．由这两个等式易得ｓｉｎα＝ｔｇβ．二、综合应用圆锥曲线涉及知识面广，如平面几何、平面三角、代数等知识，它是高中数学中综合性较强的一个学科．故在解答解析几何综合题时，教师要注意引导学生掌握重要的数学思想方法，如数形结合、等价转化、对称、分类讨论等思想，注意知识的纵横联系．例4经过椭圆（ｘ２／4）＋（ｙ２／2）＝1的长轴顶点Ａ作椭圆的弦ＡＢ，若｜ＡＢ｜＝8／7，试求弦ＡＢ的倾斜角α．导析：此题涉及二次曲线弦长问题，课本是极少提及的．若学生的思路方法不当，则运算量较大，甚至难以完成．若教师给予启发诱导，则学生是能解决的．常用方法有：①应用弦长公式｜ＡＢ｜＝｜ｘＡ－ｘＢ｜·和韦达定理；②运用直线参数ｔ的几何意义；③直接应用顶点弦长公式．下面给出两种解法：解法1由对称性，不妨设Ａ为右顶点（2，0），则直线ＡＢ的参数方程为（ｔ为参数），代入椭圆方程得（ｃｏｓ２α＋2ｓｉｎ２α）ｔ２｜＝4｜ｃｏｓα｜＋4ｃｏｓα·ｔ＝0．由ｔ的几何意义知｜ＡＢ｜＝｜ｔＢ／（ｃｏｓ２α＋2ｓｉｎ２α）＝8／7，从而得2｜ｃｏｓα｜２＋7｜ｃｏｓα｜－4＝0α＝60°或120°．解法2 由椭圆顶点弦长公式得8／7＝2·2·2｜ｃｏｓα｜／（2＋2ｓｉｎ２α）．以下同法1．例5ＡＢ是经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心Ｏ的弦ＭＮ∥ＡＢ，求证：｜ＭＮ｜２∶｜ＡＢ｜是定值．导析：求解定值问题是学生感到比较困难的，而难点主要在于定值究竟是什么，一旦找出了定值，那么问题就转化为一般相等关系的证明了．教师可给学生介绍一些求定值问题的常用方法，如本题可从一般退向特殊，特殊问题的解决可为我们解决一般问题提供有益的启示，可作为解决一般问题的借鉴和有力工具．对于本题，ＭＮ、ＡＢ分别为中心弦和焦点弦，可将其倾斜角退到0°，此时有｜ＭＮ｜２＝4ａ２，｜ＡＢ｜＝2ａ．∴｜ＭＮ｜２∶｜ＡＢ｜＝2ａ（定值）．下面再证明一般性．设平行弦ＭＮ、ＡＢ的倾斜角为α，则ＭＮ的方程为（ｔ为参数），代入椭圆方程后注意到ｔ的几何意义即得｜ＭＮ｜２＝4ａ２ｂ２／（ｂ２＋ｃ２ｓｉｎ２α）．①另一方面，ＡＢ的参数方程为（ｔ为参数）．仿①可得｜ＡＢ｜＝2ａｂ２／（ｂ２＋ｃ２ｓｉｎ２α）．②①÷②得｜ＭＮ｜２∶｜ＡＢ｜＝2ａ（定值）．关于②式也可直接由焦点弦长公式得到．例6某建筑工地要挖一个横截面为半圆柱形的土坑，挖出的土只能沿ＡＰ、ＢＰ运到Ｐ处，如图3，其中ＡＰ＝100ｍ，ＢＰ＝150ｍ，∠ＡＰＢ＝60°，问怎样运土才能最省工?导析：这是一道解析几何建模应用题．即要在半圆内划出一条分界线，这就要运用解析几何知识．“最省工”的含义是：到点Ｐ的距离最近，所以半圆内的点有三类：①沿ＡＰ到Ｐ较近；②沿ＢＰ到Ｐ接近；③沿ＡＰ、ＢＰ到Ｐ等距．其中第③类点集是第①、②类点集之交集（分界线）．设Ｍ是分界线上任一点，则有｜ＭＡ｜＋｜ＡＰ｜＝｜ＭＢ｜＋｜ＭＰ｜，即｜ＭＡ｜－｜ＭＢ｜＝｜ＰＢ｜－｜ＰＡ｜＝50（定值）．∴Ｍ在以Ａ、Ｂ为焦点的双曲线右支上．由题设可得｜ＡＢ｜２＝17500，于是以ＡＢ所在直线为ｘ轴，ＡＢ中垂线为ｙ轴建立直角坐标系，可得分界线是双曲线弧：（ｘ２／625）－（ｙ２／3750）＝1（ｘ≥25）．故运土时在双曲线左侧的土沿ＡＰ运到Ｐ处，右侧的土沿ＢＰ运到Ｐ处最省工．例7ｌ是椭圆的右准线，Ｆ１、Ｆ２是左、右焦点，Ｐ∈ｌ．若椭圆的离心率ｅ＝／2，试求∠Ｆ１ＰＦ２的最大值．导析：此问题一出现，学生遇到的第一个困难是如何建立ｅ与∠Ｆ１ＰＦ２（记为α）的关系式．教师可引导学生画图分析，步步追踪．如图4，由对称性，不妨设椭圆方程为（ｘ２／ａ２）＋（ｙ２／ｂ２）＝1（ａ＞ｂ＞0），ｌ为右准线且Ｐ在ｘ轴上方，由此可设点Ｐ为（ａ２／ｃ，ｙ）（ｙ＞0），又在Ｆ１（－ｃ，0）、Ｆ２（ｃ，0），在△ＰＦ１Ｆ２中，由两条直线所成的角得ｔｇα＝（ｋＰＦ２－ｋＰＦ１）／（1＋ｋＰＦ１·ｋＰＦ２． ①又∵ｋＰＦ１＝ｙ∶（（ａ２／ｃ）＋ｃ），ｋＰＦ２＝ｙ∶（（ａ２／ｃ）－ｃ），代入①得ｔｇα＝2ｃ３ｙ／（ａ４－ｃ４＋ｃ２ｙ２），∵ｙ＞0，ａ４－ｃ４＞0，∴ｔｇα＞0．又∵α∈（0，π），∴α为锐角．由基本不等式得 ｔｇα≤当且仅当ａ４－ｃ４＝ｃ２ｙ２，即ｙｐ＝（1／ｃ）时取“＝”．从而可得ｃｔｇ２α≥（ａ４－ｃ４）／ｃ４＝ｅ－４－1，∴ｃｓｃ２α≥ｅ－４．∴ｓｉｎα≤ｅ２＝（／2）２．∵ｓｉｎα在（0，π／2）上是增函数，∴α的最大值为π／6．三、强化训练1．已知Ａ为双曲线ｘ２－ｙ２＝1的左顶点，点Ｂ和Ｃ在双曲线的右支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（）． Ａ．／3Ｂ．（3／2） Ｃ．3 Ｄ．6（2000年全国联赛）2．Ｐ是椭圆上的一点，Ｆ１、Ｆ２是两个焦点，若恒有∠Ｆ１ＰＦ２＝60°，则该椭圆的离心率ｅ的范围是（）．Ａ．（0，1）Ｂ．［／2，1）Ｃ．［／3，1）Ｄ．［1／2，1）．3．圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞0）的两个焦点Ｆ１（－ｃ，0）、Ｆ２（ｃ，0），它们有四个交点，其中一个交点为Ｐ，若△ＰＦ１Ｆ２的面积为26，椭圆长轴为15，则ａ＋ｂ＋ｃ＝_____．（2000年“希望杯”赛题）4．设Ｏ为抛物线的顶点，Ｆ为焦点，ＰＱ为过Ｆ的弦，已知｜ＯＦ｜＝ａ，｜ＰＱ｜＝ｂ，则Ｓ△ＰＯＱ＝_____．5．双曲线的离心率ｅ＝2＋－－，过双曲线的右焦点Ｆ2作垂直于双曲线的实轴的直线交双曲线于一点Ｐ，Ｆ１为左焦点，试求∠ＰＦ１Ｆ２的大小．（1998年河南省、重庆市高中赛题）6．经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞0）的长轴顶点Ａ作倾斜角为45°的弦ＡＢ，若弦ＡＢ的长恰好等于椭圆的通径长，试求此椭圆的离心率ｅ．7．ｌ是椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞0）的左准线，在椭圆上放置ｎ个点（ｎ＞1）使每相邻两点与左焦点Ｆ连线所成的夹角均相等，如图5，∠Ｐ１ＦＰ２＝∠Ｐ２ＦＰ３＝…＝∠ＰｎＦＰ１＝2π／ｎ，试证明：这ｎ个点到ｌ的距离的倒数之和为一个仅与ｎ有关的常数．参考答案与提示：1．Ｃ．由对称性知∠ＢＡｘ＝∠ＣＡｘ＝30°，｜ＡＢ｜＝｜ＡＣ｜．从而可按求弦长的思路求得｜ＡＢ｜＝2，也可运用顶点弦长公式知｜ＡＢ｜＝2·1·1·ｃｏｓ30°／｜1－2ｓｉｎ２30°｜＝2．∴Ｓ△ＡＢＣ＝（1／2）｜ＡＢ｜２ｓｉｎ60°＝3．2．Ｄ．可用焦半径公式和余弦定理等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．3．ａ＋ｂ＋ｃ＝13＋．易知∠Ｆ１ＰＦ２＝90°，从而可用勾股定理和椭圆定义等有关知识求解，也可直接运用焦点三角形的面积公式．4．Ｓ△ＰＯＱ＝ａ．本题可用焦点弦长公式求出弦ＰＱ的倾斜角，然后再用三角形的面积公式求解．也可建立极坐标系利用极径及极角求解．5．设∠ＰＦ１Ｆ２＝α，双曲线方程为ｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２，∵ＰＦ２⊥Ｆ１Ｆ２，∴ｘｐ＝ｃ，由焦半径公式得｜ＰＦ２｜＝｜ａ－ｅｘｐ｜＝｜ａ－ｅｃ｜＝ｅｃ－ａ＝（1／ａ）（ｃ２－ａ２）．又∵｜Ｆ１Ｆ２｜＝2ｃ，∴ｔｇα＝｜ＰＦ２｜∶｜Ｆ１Ｆ２｜＝（1／ａ）（ｃ２－ａ２）∶（2ｃ）．∴ｔｇα＝（ｃ２－ａ２）／2ａｃ＝（1／2）（ｅ－（1／ｅ））…＝2－．∴α＝15°．6．可按求弦长的方法求出通径和｜ＡＢ｜的表达式，也可直接应用通径长为2ｂ／ａ和顶点弦长公式．所求离心率ｅ＝7．设在椭圆上的ｎ个点为Ｐ１、Ｐ２、…，Ｐｎ，它们到ｌ：ｘ＝－（ａ２／ｃ）的距离记为ｄ１、ｄ２，…，ｄｎ，α＝2π／ｎ，∠Ｐ１ＦＯ＝β，由椭圆定义得｜ＰｉＦ｜＝ｅｄｉ（ｉ＝1，2，…，ｎ）．如图5知ｄｉ－｜ＰｉＦ｜ｃｏｓ［（ｉ－1）α＋β］＝（ａ２／ｃ）－ｃ，即ｄｉ－ｅｄｉｃｏｓ［（ｉ－1）α＋β］＝ｂ２／ｃ，∴ｄｉ＝．经计算知故（是仅与ｎ有关的常数）．参考文献1玉邴图．圆锥曲线焦点弦长的三角形式及应用．中学数学（武汉），1997．92玉邴图．圆锥曲线顶点弦长的一种计算方法．数学大世界（高中版）（长春），1998，9。
高三高考数学总复习《圆锥曲线》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值（范围）问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值（范围）问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ，S 是圆()723:22=+-y x C （C 为圆心）上的动点，SG 的垂直平分线与SC 交于点E ，设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =，所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ，C 为焦点，长轴长为26的椭圆，动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ， 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示，设(),P x y ，(),0N x ，()1,M x y . 由2NP NM =知，12y y =，即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上，则有22122x y +=，即222x y +=.例3 如图，矩形ABCD 中， ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分，曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ，由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-，整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆，由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法：直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法：找动点之间的转化关系（平移，伸缩，中点，垂直等），用要求的代替已知轨迹的，代入化简3.参数法：可用联立求得参数方程，消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法：联立求交点，变形的轨迹. 题型二 最值（范围）问题例1 已知F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则DE AB +的最小值为（ ）A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=， 同理直线2l 与抛物线的交点满足：22342224k x x k ++=， 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=， 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】见解析【解析】（1）2(c,0)F c c 设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （2）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时，12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当，即OPQ ∆所以，当的面积最大时，l 的方程为2222y x y x =-=--或． 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个：(1)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；(2)利用基本不等式求出参数的取值范围；(3)利用函数的值域的求法（甚至求导），确定参数的取值范围． 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上.（1）求C 的方程.（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 （1=22421a b+=，解得28a =，24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. （2）设直线l ：()00y kx b kb =+≠≠，，()11A x y ，， ()22B x y ，，()M M M x y ，.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题，并会结合中点坐标，方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =，点()0,m M 在x 轴的正半轴上，过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1) 若1=m ，且直线l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程；(2) 是否存在定点M ，使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动，2211AMBM+恒为定值？【答案】（1）()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】（1）当1=m 时，()0,1M ，此时，点M 为抛物线C 的焦点，直线l 的方程为1-=x y ，设()()1122,,A x y B x y ，，联立24{ 1y xy x ==-，消去y 得， 2610x x -+=，∴126x x +=， 121224y y x x +=+-=，∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=，∴圆的半径为4，∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得： 2440y ky m --=，则124y y m =-， 124y y k +=，()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值， 于是2=m ，此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ，满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果（取特殊位置或特殊值），因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x （0≠y ） 【解析】因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠， 所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x （0≠y ）.2.已知动圆G 过定点()4,0F ，且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程； 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ，设圆交y 轴于,M N 两点，连接,GF GM ， 则GF GM =，过点G 作GH MN ⊥，则点H 是MN 的中点， 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+，于是()222244x y x -+=+，化简整理得28y x =，故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】（1）见解析； （2）12-=x y ．【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值（范围）问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-，点E 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P ， Q 两点，求OP OQ ⋅的最大值．【答案】（1）()22124x y x +=≠±（2）14 【解析】（1）设(),E x y ，则2x ≠±．因为E 到点A ()2,0，与点B ()2,0-的斜率之积为14-，所以122y yx x ⋅=-+-，整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±． （2）当l 垂直于轴时，l 的方程为1x =，代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭，1,Q ⎛ ⎝⎭．11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭． 当l 不垂直于x 轴时，依题意可设()()10y k x k =-≠，代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=．因为()216130k ∆=+>，设()11,P x y ， ()22,Q x y ．则2122814k x x k +=+， 21224414k x x k -=+．()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤，当l 垂直于x 轴时等号成立，故OP OQ ⋅的最大值是14．2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点，且12PF F ∆的面积为2． （1）求椭圆M 的方程；（2）设O 为坐标原点，过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ，若对任意实数k ，存在实数m ，使得12k k mk +=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）[)2,m ∈+∞． 【解析】（1）略（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由221{ 43x y y kx t+==+，得()2223484120k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++，()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--， 由12k k mk +=对任意k 成立，得22223t m t =--，∴()232m t m-=，又()0,t 在椭圆内部中，∴203t ≤<，∴2m ≥，即[)2,m ∈+∞．题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12， ,M N 分别是椭圆的上、下顶点，22•2MF NF =-.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ，且满足直线,MA MB 的斜率之积为14，证明：直线AB 恒过定点，并求定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）直线AB恒过定点(0,.【解析】（1）由题知()0,2c F ，()b M ,0，()b N -,0，22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ，得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得：42=a ，32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）证明：由椭圆E 的方程得，上顶点()3,0M ，设()11,y x A ，()22,y x B ，由题意知，01≠x ，02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得：()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+，()22214334k m x x +-=， 又111133x m kx x y k MA -+=-=，222233x m kx x y k MB -+=-=， 由41=⋅NB MA k k ，得()()2121334x x m kx m kx =-+-+， ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ，化简得：06332=+-m m 解得：3=m 或32=m ，结合01≠x ，02≠x 知32=m ，即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．【答案】（1） 1422=+y x （2）见解析. 【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上，BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y += 相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1） 2213x y += （2）见解析【解析】（1）由2223c e c a a ==⇒=，所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b+=，所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为：2213x y += （2）存在点M 满足要求，使OAB ∆得面积最大．假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<，∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以2213m n +=②，由①②得：203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅，当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈，∴2231,22m n ==，此时满足要求的点(M 有四个． 此时对应的OAB ∆的面积为12． 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.【答案】（1）24y x = （2）直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭，消元得： 22204p x px -+=， ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-，得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0； 当1k=±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0.综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题16圆锥曲线的基本量问题(含解析)
专题圆锥曲线的基本量问题【自主热身，归纳总结】、双曲线－＝的渐近线方程为．【答案】：±＝把双曲线方程中等号右边的换为，即得渐近线方程．该双曲线的渐近线方程为－＝，即±＝.、已知椭圆的焦点坐标为(，)，(，)，且椭圆过点(，)，则椭圆的标准方程为．【解析】，椭圆的标准方程为．、在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线－＝有公共的渐近线，且经过点(－，)，则双曲线的焦距为．【答案】.解法与双曲线－＝有公共的渐近线的双曲线的方程可设为－＝λ，又它经过点(－，)，故－＝λ，即λ＝，所以双曲线的方程为－＝，故＝，＝，＝＋＝，＝，＝.解法因为双曲线－＝的渐近线方程为＝±，且双曲线过点(－，)，它在渐近线＝－的下方，而双曲线与－＝具有共同的渐近线，所以双曲线的焦点在轴上，设所求的双曲线方程为－＝(>，>)，从而解得从而＝，故双曲线的焦距为.、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是．【解析】由，得．【变式】、已知抛物线＝(＞)的焦点是椭圆＋＝(＞＞)的一个焦点，若，是椭圆与抛物线的公共点，且直线经过焦点，则该椭圆的离心率为．【答案】－解法由抛物线方程可得，焦点为；由椭圆方程可得，上焦点为(，)．故＝，将＝代入椭圆方程可得＝±.又抛物线通径为，所以＝＝，所以＝－＝，即＋－＝，解得＝－.解法由抛物线方程以及直线＝可得，.又＝，即(，)，代入椭圆方程可得＋＝，化简可得－＋＝，解得＝－，＝＋＞(舍去)，即＝＝－(负值舍去)．解后反思本题是典型的在两种曲线的背景下对圆锥曲线的几何性质的考查．这类问题首先要明确不同曲线的几何性质对应的代数表示．本题有两个解法，解法将直线＝与抛物线、椭圆相交所得弦长求出后，利用等量关系求离心率，其所得等量关系比解法简单．【变式】、如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为.【答案】：思路分析：由于，故可将点的坐标用，的坐标表示出来，利用点在椭圆上，得到关于的一个等式关系，求出椭圆的离心率。
高三数学高考一轮复习系列教案第八章 圆锥曲线 大纲版
第八章圆锥曲线知识结构高考能力要求1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．高考热点分析圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。
纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p 五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．高考复习建议1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．2．计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破“运算关”,要寻求合理有效的解题途径与方法．3．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用．4．重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训练，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．８．1 椭圆知识要点1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足： ．3．椭圆的几何性质(对12222=+by a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．(6) 椭圆的参数方程为 ． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)例题讲练【例1】 中心在原点，一个焦点为F 1(0，52)的椭圆被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为21，求此椭圆的方程．【例2】 已知点P(3, 4)是椭圆2222b y a x +＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF 1F 2的面积．【例3】如图，射线OA 、OB 分别与x 轴、 y 轴所成的角均为︒30；已知线段PQ 的长度为2，并且保持线段的端点),(11y x P 在射线OA 上运动，点),(22y x Q 在射线OB 上运动(1) 试求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程(2) 求轨迹C 上的动点N 到直线03=--y x 的距离的最大值和最小值．【例4】 （2005年全国卷I ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与＝(3, －1)共线.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设M 是椭圆上任意一点，且＝μλ+(λ、μ∈R)，证明22μλ+为定值.小结归纳 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，在2005年的考题中足以说明了这一点，应引起重视．基础训练题 一、选择题1． 动点M 到定点)0,4(1-F 和)0,4(2F 的距离的和为8，则动点M 的轨迹为 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．无图形 D ．两条射线2． (2005年全国高考试题III) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．22 B ．212- C ．2－2D ．2－13． （2004年高考湖南卷）F 1、F 2是椭圆C ：14822=+y x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．无数个 D ．不确定4． 椭圆171622=+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．45． 已知点P 在椭圆(x －2)2＋2y 2＝1上，则xy的最小值为（ ）A ．36-B ．26-C ．6-D ．66-6． 我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设)0(12222>>=+b a by a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于 （ ） A ．︒60 B ．︒75 C ．︒90 D ．︒120二、填空题 7． 椭圆400162522=+y x 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ．8． 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1，2， )，使得|FP 1|、|FP 2|、|FP 3|…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 ． 9． 设1F ，2F 是椭圆14322=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且121=-PF PF ，则得=∠21PF F ． 10．若椭圆2222)1(-+m y m x ＝1的准线平行于x 轴则m 的取值范围是 ．三、解答题11．根据下列条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21．(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当∠21PF F 为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．13．(2005年高考湖南卷)已知椭圆C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为e ．直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B 、M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ． (Ⅰ)证明：λ＝1－e 2；(Ⅱ)若λ＝43，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(Ⅲ)确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．提高训练题14．(2006年高考湖南卷)已知C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：(y －m )2＝2px (p ＞0)，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(Ⅱ)若p ＝34，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程．15．（成都市2006届毕业班摸底测试）设向量i ＝(1, 0)，j ＝(0, 1)，＝(x ＋m )i ＋y j ，＝(x －m )i ＋y j ，且||＋||＝6，0< m < 3，x >0，y ∈R ． ( I )求动点P(x ，y )的轨迹方程；( II ) 已知点A(－1, 0)，设直线y ＝31(x －2)与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得AC AB ⋅＝31？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．2 双 曲 线知识要点 1．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在 上)的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF ==22112．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-bx ay ，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,122>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若),(00y x P 是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若),(00y x P 是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ． (6) 具有相同渐近线x aby ±=的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．(8) 12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．例题讲练【例1】 根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【例2】 （04年高考湖北卷）直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【例3】 在双曲线1121322-=-y x 的一支上有不同的三点A(x 1，y 1)，B(x 2，6)，C(x 3，y 3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．(1)求y 1＋y 3；(2)求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．【例4】 （2004年高考全国卷II ）设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点．(1) 求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2) 设直线l 与y 的交点为P ，且＝125，求a的值．小结归纳1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a 、b 、c 、e 的关系．2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．4．求双曲线的方程的常用方法： (1) 定义法．(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．5．例2的第(1)问是数材P 132第13题的引申，因此高考第一轮复习要紧扣教材．6．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．基础训练题 一、选择题1． A 、B 是平面内两定点，动点P 到A 、B 两点的距离的差是常数，则P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．不能确定2． （04年高考湖南卷）如果双曲线1121322=-y x 上一点p 到右焦点的距离等于13，那么点p 到右焦线的距离是 （ ）A ．513 B ．13 C ．5D ．1353． 已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 （ ）A ．152022=-y x B ．152022±=-y x C ．120522=-y xD ．120522±=-y x4． （2005年高考湖南卷）已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右焦线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a ，（0为原点）则两条渐近线的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5． 已知双曲线14922=-y x ，则过点A(3，1)且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6． (2005年江苏高考最后冲刺题) 设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为（9，2），则|MA|＋53|MF 2|的最小值为（ ）A ．9B ．536C ．542D ．554二、填空题7． 中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为45的双曲线方程为 ．8． (2004年高考·吉林、四川)设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为 ．9． （2006年高考湖南卷）过双曲线M ：1222=-b y x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率是 ．10．可以证明函数x bax y +=(b ≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C ：xx y 33+=的离心率e 等于 ．三、解答题11．(1) 已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；(2) 已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e ＝2，求双曲线的方程． 12．ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．13．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．提高训练题 14．已知动点p 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－91．(1) 求动点p 的轨迹方程；(2) 若已知点D(0，3)，点M 、N 在动点p 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．15．(2005年武汉市高三调考)已知等轴双曲线C ：)0(222>=-a a y x 上一定点P(00,y x )及曲线C 点上两个动点A 、B ，满足0=⋅PB PA(1) M 、N 分别为PA 、PB 中点，求证：0=⋅ON OM (O 为坐标原点)；(2) 求|AB|的最小值及此时A 点坐标．抛 物 线 1．抛物线定义：离 的点的轨迹叫抛物线，焦点， 叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① px y 22=，焦点为 ，准线为 ． ② px y 22-=，焦点为 ，准线为 ． ③ py x 22=，焦点为 ，准线为 ． ④ py x 22-=，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB ＝ ，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB ＝ ．特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB ＝ ．iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）．iv) ||1||1BF AF +为定值，且等于 ． 例题讲练【例1】 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．【例2】 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB 的最小值．【例3】 若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标．【例4】 （05全国卷(Ⅲ)）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？(2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．基础训练题 一、选择题1． 过抛物线)0(22>=P px y 的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，若P x x 321=+，则AB等于（ ）A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P2． 已知动点),(y x P 满足22)2()1(5-+-y x ＝|1243|++y x ，则P 点的轨迹是 （ ）A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆3． 已知抛物线212:x y C =与抛物线2C 关于直线x y -=对称，则2C 的准线方程是（ ）A ．81-=x B ．21=xC ．81=x D ．21-=x4． （2005年高考上海卷）过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无数条 D ．不存在5． (2003年新课程卷)抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）A ．81B ．81-C ．8D ．8-6． （04年高考湖北卷）与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是 （ ） A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0二、填空题7． 点M 与点F(4，0)的距离比它到连线l ：x ＋5＝0的距了小1，则点M 的轨迹方程为 ． 8． 某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为 米(精确到0.1米)． 9． 过点（3，3）的直线与抛物线y 2＝3x 只有一个公共点，则这样的直线的条数为 ．10．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是三、解答题11．求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．12．正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积．13．设A 和B 为抛物线y 2＝4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？提高训练题 14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，试问：以AB 为直径的圆与抛物线的准线是相交、相切还是相离？若把抛物线改为椭圆12222=+b y a x 或双曲线12222=-b y a x ，结果又如何呢？15．(2004年高考上海卷)如图，直线x y 21=与抛物线4812-=x y 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5-=y 交于Q 点． (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB(含点A 、B)下方的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．8．4 直线与圆锥曲线的位置关系知识要点 1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=————————或：—————————．利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为AB 的中点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y ax b y a x 两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--即 ．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例题讲练 【例1】 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？x【例2】 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【例3】 在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【例4】 （2006届苏州市高三调研测试）已知椭圆222y ax +＝1(a 为常数，且a >1)，向量m ＝(1, t ) (t >0)，过点A(－a , 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B ，直线BO 交椭圆于点C （O 为坐标原点）．(1) 求t 表示△ABC 的面积S( t )；(2) 若a ＝2，t ∈[21, 1]，求S( t )的最大值．小结归纳1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．基础训练题 一、选择题1． 曲线x 2＋4y 2＋D x ＋2E y ＋F ＝0与x 轴有两个交点，且这两个交点在原点的两侧的充要条件是 （ ） A ．D ≠0，E ＝0，F ＞0 B ．E ＝0，F ＜0 C ．D 2－F ＞0 D ．F ＜0 2． 若椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A ．2 B ．－2C ．31D ．－213． 经过抛物线)0(22>=p px y 的所有焦点弦中，弦长的最小值为 （ ） A ．p B ．2p C ．4p D ．不确定4． 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若∣AB ∣=4，则这样的直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5． （华师大二附中2005年模拟试卷2） 直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)椭圆E ：1422=+y m x ，若直线l 被椭圆E 所截弦长为d ，则下列直线中被椭圆E 截得的弦长不是d 的是 （ ） A ．kx ＋y ＋1＝0 B ．kx －y －1＝0 C ．kx ＋y －1＝0 D ．kx ＋y ＝06． 椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过两点O 与线段MN 之中点的直线的斜率为22，则xnm的值是 （ ）A ．22B ．332 C ．229D ．2732二、填空题7． 已知直线x －y ＝2与抛物线y 2－4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .8． 对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧==θθs i n 4c o s 2y x (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是 ．9． 已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2），则2111y y +＝ ．10．若直线mx ＋ny －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，则m 、n 的关系式为___________;以(m ，n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个.三、解答题 11．已知直线l 交椭圆162022y x +＝1于M 、N 两点，B(0，4)是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l 的方程.12．已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.13．（05重庆）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 的满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 提高训练题14．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求m 的取值范围．15．（04湖南）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上任一点P(0，m )(m ＞0)，作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． (Ⅰ)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明：)(λ-⊥；(Ⅱ)设直线AB 的方程是x －2y ＋12＝0，过A 、B 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．8．5 轨迹方程知识要点1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例题讲练【例1】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【例2】已知抛物线过点N(1，－1)，且准线为l：x ＝－3，求抛物线顶点M的轨迹．【例3】已知直线l与椭圆12223=+byax(a>b>0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS的顶点P的轨迹方程．【例4】已知点H（0，－3），点P在x轴上，点Q 在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足PMHP⋅＝0，MQPM23-=．(1) 当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C 的方程；(2) 过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．小结归纳1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．4．参数法求轨迹关键在于如何选择好参数，建立起x ，y 的参数方程，以便消参，选择n 个参数，要建立n ＋1个方程，消参时，要注意等价性．5．求轨迹比求轨迹方程多一个步骤，求轨迹最后须说明轨迹的形状、大小、位置、方向．基础训练题 一、选择题1． 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ |＝| PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2． 动点P 与定点)0,1(,)0,1(B A -的连结的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1)1(±≠x C ．x 2＋y 2＝1)0(≠x D ．21x y -=3． 已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y＋2|，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定4． 设P 为椭圆12222=+by a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 5． 设P 为双曲线12222=-b y a x 上一点， 过右焦点F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．直线 D ．椭圆 6． 已知点P(x ，y )在以原点为圆心，半径为1的圆上运动，则点(x ＋y ，xy )的轨迹是 （ ） A ．半圆 B ．抛物线的一部分 C ．椭圆 D ．双曲线的一支二、填空题7． 长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程为 ．8． 经过定点M(1，2)，以y 轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程 ． 9． 已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=，当m 变化时抛物线焦点的轨迹方程为 ． 10．（04北京）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是 ．三、解答题 11．以动点P 为圆心的圆与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49及圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动点P 的轨迹.12．已知双曲线2222ny m x -＝1(m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q. (1) 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2) 当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.13．设直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：ax 2＋y 2＝2(a ＞1)交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．(1)若k ＝1，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值； (2)若a ＝2，当k 变化时，(k ∈R)，求点P 的轨迹方程．提高训练题14．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：(1) 动点P 的轨迹方程； (2) ||NP 的最小值与最大值.A1。
圆锥曲线概念与基本量计算
圆锥曲线概念与基本量计算圆锥曲线是解析几何中研究的一个重要课题，其在数学、物理、工程等领域应用广泛。
本文旨在介绍圆锥曲线的概念以及与圆锥曲线相关的三个基本量的计算方法。
一、圆锥曲线的概念圆锥曲线是由一个固定点（焦点）到一个固定直线（准线）上各点的距离之比为定值（离心率）的点轨迹。
根据焦点与准线的相对位置，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
1.椭圆：当焦点到准线的距离之比小于1时，得到的图形为椭圆。
在平面直角坐标系中，椭圆的数学方程为((x-h)²/a²)+((y-k)²/b²)=1其中(a,b)为椭圆的两个半轴长度，(h,k)为椭圆的中心坐标。
2.双曲线：当焦点到准线的距离之比大于1时，得到的图形为双曲线。
在平面直角坐标系中，标准双曲线的数学方程为((x-h)²/a²)-((y-k)²/b²)=1或者((y-k)²/b²)-((x-h)²/a²)=1其中(a,b)为双曲线的两个半轴长度，(h,k)为双曲线的中心坐标。
3.抛物线：当焦点到准线的距离之比等于1时，得到的图形为抛物线。
在平面直角坐标系中，抛物线的数学方程为(y-k)²=4a(x-h)或者(x-h)²=4a(y-k)其中a为抛物线的焦点到准线的距离，(h,k)为抛物线的顶点坐标。
二、圆锥曲线的基本量计算与圆锥曲线相关的三个基本量为焦距、半通径和离心率。
1.焦距：焦距是指焦点到准线的距离。
对于椭圆和双曲线，焦距的长度为c，可以通过焦点与准线的距离之比离心率e和半轴长度a或半通径长度r来计算，公式为c = ea。
对于抛物线，焦距的长度为p，可以通过抛物线方程中的系数a来计算，公式为p = 1 / (4a)。
2.半通径：半通径是指焦点到曲线上一点的距离。
对于椭圆和双曲线，半通径的长度为r，可以通过焦点到曲线上一点的距离d和焦距的长度c来计算，公式为r=(c²+d²)/(2c)。
高考数学复习 圆锥曲线的概念与基本量
第8讲圆锥曲线的概念与基本量本讲分三小节，分别为椭圆、双曲线、抛物线，建议用时3—4课时．本讲的教学重点在于掌握圆锥曲线的代数方程特点、几何图形特点，以及准确理解基本量的代数表示与对应的几何线段．对于椭圆和抛物线还应在此基础上能够解决一些较为复杂的组合图形问题．第一小节为椭圆，共3道例题．其中例1主要讲解椭圆的方程；例2主要讲解椭圆的性质；例3主要讲解椭圆的基本量（其中包括解一些与椭圆有关的几何图形问题）．第二小节为双曲线，共3道例题．其中例4主要讲解双曲线的方程；例5主要讲解双曲线的性质；例6主要讲解双曲线的基本量．第三小节为抛物线，共2道例题．其中例7主要讲解抛物线的定义、方程与性质；例8主要讲解与抛物线有关的简单几何图形．知识结构图椭圆越扁双曲线开口越大⑴（2009北京理12）椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．⑵（2010北京理13）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ．⑶（2012年北京理12）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF △的面积为 ．真题再现知识梳理【解析】⑴ 2，120︒． ⑵ (40)±，0y ±=． ⑶1、已知椭圆的长轴长是8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是（ ） A ．221169x y += B ．221167x y +=或221716x y +=C ．2211625x y +=D ．2211625x y +=或2212516x y +=2、椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍3、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）ABC1 D4、若椭圆221x y m n+=（0,0m n >>）与曲线22x y m n +=-无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．,1⎫⎪⎪⎝⎭ B．0,⎛ ⎝⎭ C．,1⎫⎪⎪⎝⎭ D．0,⎛ ⎝⎭5、过椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．19,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭6、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） ABCD7、 如图，1F ，2F 分别是双曲线2222:x y C a b-()10a b =>，的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P Q ，两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若212MF F F =，则C 的离心率是（ ） AB小题热身CD8、若椭圆221x y m n+=与双曲线221x y p q -=（m ，n ，p ，q 均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12PF PF ⋅等于（ ）A ．22p m -B ．p m -C ．m p -D ．22m p -9、直线l 过抛物线22y px =（0p >）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．28y x = C ．26y x = D ．24y x =10、已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 恰好是椭圆22221x y a b+=的右焦点，且两条曲线的公共点连线过F ，则椭圆的离心率是（ ）A1 B．2 CD考点：椭圆的方程 【备注】本考点为椭圆的代数特征，即对椭圆方程的代数形式特点的认识．【例1】 ⑴已知方程E ：221mx ny +=① 若E 表示椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ；② 若E 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ． ⑵若椭圆1C ：2222111x y a b +=（110a b >>）和椭圆2C ：2222221x y a b +=（220a b >>）的焦点相同且12a a >．给出如下四个结论： ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22221212a a b b -=-； ④ 1212a a b b -=-．其中，所有正确结论的序号为 ． ⑶椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围为22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c ，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是 ．【解析】 ⑴ ① ,0m n >且m n ≠；8.1椭圆经典精讲② 0m n >>． ⑵ ①③．⑶ 1,2⎡⎢⎣⎦考点：椭圆的性质【备注】本考点为椭圆的几何特征，即对椭圆的曲线形状特点的认识． 性质1 椭圆上的点到两个焦点的距离的和为2a ．性质2 椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[],a c a c -+．【例2】 ⑴椭圆221184x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上．若1PF =则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．⑵已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若2212F A F B +=，则AB = ．⑶P 为椭圆2212516x y +=上一点，,M N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的点，则PM PN +的取值范围是 ．⑷椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(),0F c ，点2,0a A c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在x 轴上．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．【解析】 ⑴ 2π3．⑵ 8．⑶ []7,13．⑷ 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【拓1】 已知椭圆22:12516x y C +=的左右焦点分别为12F F ，，点()1,3A ，点P 是椭圆上一个动点，则2AP F P +的最大值为_________，最小值为________． 【解析】 155，；考点：椭圆的基本量【备注】本考点为椭圆方程中的a 、b 、c 在几何图形中的具体表现（即对应线段），在知识层面上与前两个考点有所重叠，但综合性较强，以训练学生利用代数方程或不等式表达几何条件为重点．【例3】 ⑴在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ．⑵已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2B F F D =，则C 的离心率为 ．⑶如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=°，则该椭圆的离心率是 ．⑷设12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则E 的离心率为 ．【解析】 ⑴．⑵．⑶⑷ 34．考点：双曲线的方程【备注】本考点为双曲线的代数特征，即对双曲线方程的代数形式特点的认识．【例4】 ⑴已知方程E ：221mx ny +=① 若E 表示双曲线，则m 、n 需要满足的条件是 ；② 若E 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ． ⑵若双曲线1C ：2222111x y a b -=（11,0a b >）和双曲线2C ：2222221x y a b -=（22,0a b >）的焦点相同且12a a >．给出如下四个结论： ① 双曲线1C 和双曲线2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22221122a b a b -=-； ④ 22221122a b a b +=+．其中，所有正确结论的序号为 ．⑶点()00,A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ．【解析】 ⑴ ① 0mn <；⑵ 0m <且0n >．⑵ ①②④．⑶ 2．考点：双曲线的性质【备注】本考点为双曲线的几何特征，即对双曲线的曲线形状特点的认识． 性质1 双曲线上的点到两个焦点的距离的差为2a -或2a ． 性质2 双曲线上的点到焦点的距离的取值范围为[),c a -+∞． 性质3 双曲线的焦点到渐近线的距离为b ．8.2双曲线【例5】 ⑴已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，1122MF AF MF AF =，则2AF = ．⑵双曲线2211620x y -=的左右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足19PF =，则2PF = ．⑶P 是双曲线221916x y -=右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)4x y -+=上的点，则PM PN -的最大值是 ．⑷以双曲线2214x y m-=的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则m = ．【解析】 ⑴ 6．⑵ 17．⑶ 10;⑷ 43【拓2】 若椭圆或双曲线上存在一点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“Γ点”，下列曲线中存在“Γ点”的是（ ）A ． 2211615x y += B ． 2212524x y += C ． 22115y x -= D ． 221x y -=【解析】 D ；考点：双曲线的基本量【备注】本考点为双曲线方程中的a 、b 、c 在几何图形中的具体表现（即对应线段）以及渐近线方程by x a =±与渐近线的对应关系，在知识层面上与前两个考点有所重叠，但综合性较强，以训练学生利用代数方程或不等式表达几何条件为重点．【例6】 ⑴设1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ．⑵过双曲线222:1y M x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点，且AB BC =，则双曲线M 的离心率为_________．【解析】 ⑴ 43y x =±．【拓3】 如图，从双曲线221925x y -=的左焦点1F 引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长1FT 交双曲线右支于P 点．设M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则1FT = ；MO MT -= ．【解析】 5；2．【拓4】 如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ．若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ．则：⑴ 双曲线的离心率e =______；⑵ 菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =_____． 【解析】 ⑴e =；⑵1+；考点：抛物线的定义、方程与性质【例7】 ⑴已知抛物线C ：24y x =，若存在定点A 与定直线l ，使得抛物线C 上任一点P ，都有点P到A 的距离与点P 到直线l 的距离相等，则定点A 到定直线l 的距离为 ． ⑵若点P 到()0,2F 的距离比它到直线40y +=的距离小2，则P 的轨迹方程为 ． ⑶已知P 为抛物线212y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是1762⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则PA PM +的最小值是 ． ⑷已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．【解析】 ⑴ 18．⑵ 28x y =．⑶ 192．⑷ 2．【拓5】 设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．38.3抛物线考点：解与抛物线相关的几何图形 【例8】⑴已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且A K A F =，则AFK △的面积为 ．⑵抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其面积为 ．【解析】 ⑴ 8．⑵【拓6】 已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =（ ）A ．13BC ．23D【解析】 D ．一、选择题1、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【解析】 B 2、已知椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值为（ ） A ．3 BCD ．253或3 【解析】 D【点评】 椭圆有焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情形，注意不要漏解．3、方程221sin 2cos2cos2sin 2x y -=+-所表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线课后习题二、填空题4、已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．【解析】 221369x y +=．5、已知椭圆C 的离心率e =，且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重合，则椭圆C 的方程为 ．【解析】 22182x y +=．6、 双曲线221259x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线与双曲线左支交于A 、B 两点，若弦AB 的长为4，则2ABF △的周长为_________． 【解析】 287、已知点P 是抛物线24y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．【解析】8、设集合()()2222,|1,1x y S x y k k k *⎧⎫⎪⎪=+=∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N ，(){},|5Q x y x y =+≤，则满足“S Q ⊆”的常数k 的个数是 ．【解析】 3．9、 若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的两个焦点为12F F ，，P 为双曲线上一点，且123PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________． 【解析】 (12]，；10、已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以2PF 为底边的等腰三角形．若210PF =，椭圆的离心率的取值范围是1223⎛⎫⎪⎝⎭，，则双曲线的离心率的取值范围为 ．三、解答题 11、 （2010年江西）设椭圆22221x y a b +=（0a b >>），抛物线2C ：21y x b b=-+． ⑴ 若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；⑵ 设()0A b ，，54Q b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若AMN △的垂心为304B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且QMN △的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程．【解析】 ⑴e ． ⑵ 椭圆1C 的方程为2211643x y +=，抛物线2C 的方程为：2122y x =-+．12、 （2012年昌平高三期末文）已知椭圆G ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为23e =，椭圆G 上的点N 到两焦点的距离之和为12，点A 、B 分别是椭圆G 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA PF ⊥．⑴ 求椭圆G 的方程；⑵ 求点P 的坐标；⑶ 设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【解析】 ⑴ 2213620x y +=；⑵P 3,2⎛ ⎝⎭．⑶【解析】。
2021年高考数学三轮冲刺训练圆锥曲线中的基本量及性质的考查含解析
圆锥曲线中的基本量及性质的考查考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程·一、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)图形性质X围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2焦半径公式：称P到焦点的距离为椭圆的焦半径①设椭圆上一点()00,P x y，则1020,PF a ex PF a ex=+=-（可记为“左加右减”）②焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c+，最小值为a c-焦点三角形面积：122tan2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）一、 双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪||MF 1－||MF 2＝2a }，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当a ＜c 时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当a ＞c 时，点P 不存在． 二 、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)图形性质X 围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±ba xy ＝±a b x离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)a ，b ，c 的关系 c 2＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长||A 1A 2＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长||B 1B 2＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长常用结论1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．2、与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .4、若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .三、抛物线的标准方程与几何性质标准 方程y 2＝2p x (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2焦半径公式：设抛物线()220y px p=>的焦点为F，(),A x y，则2pAF x=+焦点弦长：设过抛物线()220y px p=>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x yB x y，则12AB x x p=++（AB AF BF=+，再由焦半径公式即可得到）1、已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=A．2B．3C．6D．9【答案】C离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2 X围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C ．2、设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0) 【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B ．3、设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = A ． 1B ． 2 C ． 4D ． 8 【答案】A 【解析】5ca=，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A ．4、设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -= 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -， 又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．5、已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A ． 4B ． 5 C ． 6D ． 7 【答案】A【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A ．6、若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8 【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p+=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．7、双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 A ．24B ．322C ．22．32【答案】A【解析】由222,2,6a b c a b ===+6,2P PO PF x =∴=， 又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在by x a =上，则2632P P b y x a =⋅==11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 8、已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b 【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =， 故选B.9、已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为AC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24b a=，2b a =，∴c e a ===故选D.10、渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A ．2B ．1C ．2D ．2 【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则222c a b a =+=，所以双曲线的离心率2ce a==.故选C. 11、已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅． 在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得2n =22224,312,a n a b a c ∴==∴∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 12、已知曲线22:1C mx ny +=.A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为nB 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得y =，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y =，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD ．13、已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为.【答案】2【解析】联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．14、已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________． 【答案】5【解析】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =6==5r ． 故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．15、已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】()3,0【解析】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C=故答案为：()3,016、在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线222105()x y a a -=>的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是▲． 【答案】32【解析】双曲线22215x y a -=，故b =.由于双曲线的一条渐近线方程为2y x =，即2b a a =⇒=，所以3c =，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：3217、设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF FF c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M 的坐标为(．18、已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且43CD AB=． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2ba-；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c=.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c--+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =.所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.19、已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．【解析】（1=22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=.（2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =||BQ =因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ =直线11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为15222⨯=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q，故22APQ △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.20、已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==． 故413||AB =．一、单选题1、抛物线22y x =的焦点坐标为（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1 【答案】C 【解析】由22y x =得212x y =，所以抛物线为开口向上的抛物线，且14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：C2、已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则a 值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．4± 【答案】C 【解析】因为双曲线221y x a-=的渐近线方程为(0)y a =>，又其一条渐近线与直线230x y -+=垂直，直线230x y -+=的斜率为12，所以24a =-⇒= 故选：C.3、若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为（ ）A ．230x y ±=B ．320x y ±=C ．20x y ±=D ．230x y ±= 【答案】C 【解析】由题,离心率2c e a ===,解得12b a =,因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±= 故选：C4、抛物线24y x =上一点M 与焦点间的距离是10，则点M 到y 轴的距离是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．5 【答案】B 【解析】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，因为M 到焦点的距离为10， 由定义可知，M 到准线的距离也为10，所以到M 到y 轴的距离是9. 故选:B ．5、设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过点2F 的直线交双曲线的右支于,A B 两点，若223AF BF =，且124cos 5F AF ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A【答案】B 【解析】设2BF m =，则211||3,||23,|2AF m AF a m BF a m ==+=+∣， 由余弦定理得2228(2)(4)(23)4(23)5a m m a m m a m +=++-⨯+， 解得11,5,||4,3m a AF m AB m BF m =∴===，1ABF 为直角三角形，122,,22c c F F c m e a =====，故选：B.6、已知双曲线C ：22221y x a b-=（0a >，0b >）的上、下顶点分别为1A ，2A ，点P 在双曲线C 上（异于顶点），直线1PA ，2PA 的斜率乘积为34，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B．2y x =±C．3y x =±D ．2y x =± 【答案】B 【解析】设点()00,p x y ，又()10,A a ，()20,A a -，则100PA y a k x -= ，200PA y ak x +=所以1222000200034PA PA y a y a y a k k x x x -+-⋅=⋅==，又因为点P 在双曲线C 上得2200221y x a b-=， 所以2220022y a x a b -=，故222022034y a a x b -==，所以a b = 则双曲线C的渐近线方程为a y x x b =±=. 故选：B 二、多选题7、已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ）A ．4p =B ．DF FA =C ．2BD BF =D ．4BF = 【答案】ABC 【解析】如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形， 60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.8、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C的方程为221169x y -=的是( ) A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4 【答案】ABC 【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确； C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>， 所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误； 故选：ABC.9、关于双曲线22:145x y C ，下列说法正确的是（ ）A ．该双曲线与双曲线22154y x -=有相同的渐近线B ．过点()3,0F 作直线l 与双曲线C 交于AB 、，若||5AB =，则满足条件的直线只有一条C ．若直线l 与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线l的斜率k ⎛∈ ⎝⎭D ．过点()1,2P 能作4条直线与双曲线C 仅有一个交点 【答案】ACD 【解析】双曲线22:145x y C 的渐近线方程可表示为为22045x y -=，双曲线22154y x -=的渐近线方程可表示为22054y x -=，整理后都是52y x =±，故A 正确； 由于双曲线的实轴长为24a =,∴过焦点F 与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值X 围是[)4,+∞,存在关于x 对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x 轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，如图所示：故B 错误；由于双曲线的渐近线的斜率为5±，焦点在x 轴上， ∴若直线l 与双曲线C 的两支各有一个交点，则直线l 的斜率55,k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭， 如图所示：故C 正确；由于()1,2P 点在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：故过能作4条直线与双曲线C 仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切. 故选：ACD .10、如图，过点()1,0P 作两条直线1x =和l ：1x my =+（0m >）分别交抛物线24y x =于A ，B 和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方），直线AC ，BD 交于点Q ．则下列说法正确的（ ）A ．C ，D 两点的纵坐标之积为4-B ．点Q 在定直线1x =-上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，PO 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有CQP BQP ∠=∠【答案】ABC【解析】设点()()1122,,,C x y D x y ，将直线l 的方程1x my =+代入抛物线方程24y x =得：2440y my --=. 则124y y =-，故A 正确；由题得(1,2),(1,2)A B -，则1121112241214AC y y k y x y --===-+-，2122212241214BD y y k y x y ++===---， 直线AC 的方程为142(1)2y x y -=-+， 直线BD 的方程为242(1)2y x y +=--， 消去y 得1212124y y y y x y y -+=-+，将124y y =-代入上式得1x =-， 故点Q 在直线1x =-上，故B 正确； 设抛物线上任一点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则214y PM ===+，当0y =时，PM 最小，此时()0,0M ，即PO 最短，故C 正确；因为PA PB =，但QA QB ≠，所以D 错误.故选：ABC.11、已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点,A B ，且,4p A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，32AF =.下列结论正确的是（ ） A ．4p =B．a =．3BF =D ．△AOB的面积为2 【答案】BCD【解析】选项A. 由抛物线的定义可得32422A p p p AF x =+=+=，解得2p =，所以A 不正确. 选项B. 所以1,2A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0F ，抛物线方程为24y x =将点1,2A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭坐标代入抛物线方程，得21422a =⨯=，所以2a =±，所以B 正确 选项C. 当2a =时，则202212l k -==--，则直线l 的方程为：()221y x =-- 则()22214y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩ ，得282080x x -+=，解得112x =或22x = 所以2B x =，则2132B p BF x =+=+=， 同理当2a =时，可得3BF =，所以C 正确.选项D.由上可知当2a =时，()1,22,222A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 121132132222AOB S OF y y =⋅-=⨯⨯= 同理当2a =时，322AOB S =，所以D 正确. 故选：BCD三、填空题12、双曲线2213y x -=的左､右顶点分别为A ，B ，右支上有一点M ，且1MA k =，则MAB △的面积为______________.【答案】3【解析】因为1MA k =，()1,0A -，故直线MA 的方程为1y x =+， 代入2213y x -=，整理得220x x --=，解得1x =-或2x =， 故()2,3M ±，故3MAB S =△.故答案为：3.13、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,03x y a b a b -=>>的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为________.【答案】2y x =±【解析】 因为椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,03x y a b a b -=>>的焦点相同， 所以222233a b a b -=+， 即222a b =， 解得a =，所以双曲线的渐近线方程为b y x x a =±=，故答案为：y x = 14、已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点P 是抛物线C 上一点，以F 为圆心，半径为p 的圆与PF 交于点Q ，过点P 作圆F 的切线，切点为A ，若PA =，且OPQ △的面积为3，则p =______． 【答案】2【解析】因为3PA =，FA p =，PA FA ⊥ 所以2PF p =，因为FQ p =，所以Q 是线段PF 的中点,因为OPQ △的面积为32，所以OPF △3又由2=2P p PF p x =+可得32P p x =，所以3P y =±,所以13322OPF p =⨯=△S 2p =. 故答案为：2四、解答题15、在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMG SHN S S =，求直线MN 的方程.【解析】 (1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =， ∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点). 设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b+=>>≠则1,24c a ==， 即2222,3a b a c ==-= 所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠. (2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ， 所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S 因为2a c =，所以2SG SH =， 所以1sin 2261sin 2SMG SMN SM SG MSG SM S S SN SN SH NSH ∠===∠ 所以3SMSN =，所以3SM SN =-设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =-()22,1SN x y =-，所以123x x =-①直线MN斜率不存在时， MN 方程为0x =此时2SMSN ==. ②直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-= 所以122122834834k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123x x =-代入得222228348334k x k k x k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k k k k ⎛⎫=⎪⎭+ ⎝+.所以23,22k k ==±， 所以直线MN的方程为1y x =+或1y x =+. 16、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=.（1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，某某数k 的取值X 围.【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y += （2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-,22(3,)QB x y =-, 联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>,所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+ 12121293()x x x x y y =-+++ 2121293()(1)x x k x x =-+++ 2216(1)9041k k +=->+,解得k >k <。
2022年高考数学满分冲刺讲义：第13讲 圆锥曲线的基本量
第13讲 圆锥曲线的基本量 金题精讲 题一：设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点是1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆交双曲线于,,,A B C D 四点，若12,,,,,A B C D F F 恰为正六边形的六个顶点，则双曲线的离心率等于_____________.题二：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为12F F ，,若P 为其上一点，且212PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为__________.题三：如图，从双曲线221925x y -=的左焦点F 1引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长F 1T 交双曲线右支于P 点. 设M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则1||FT =_____________；||||MO MT -=__________.思维拓展题一：已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，椭圆的离心率为e ，P为椭圆上异于顶点的任意一点，12PF F △的内切圆圆心为M ，连接PM 并延长交x 轴于点N ，则PM MN =. 题二：已知12F F ，为双曲线22221y x a b-=(0,0,)a b a b >>≠的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个关于“12PF F △的内切圆”命题正确的是______________. （1）圆心必在直线x a =上； （2）圆心必在直线x b =上； （3）圆心必在直线OP 上；（4）必通过点0a ()，．第13讲圆锥曲线的基本量金题精讲题一：31题二：(1,3]题三：5；2思维拓展题一：1e题二：（1）（4）。
专题11 圆锥曲线的基本量(解析版)
专题 11 圆锥曲线的基本量1、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.2、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.3、【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________． 【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以b =， 因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =． 本题主要考查双曲线的几何性质，考查考生的运算求解能カ和应用意识，考查的核心素养是数学运算.熟记结论：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b .4、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是（ ） A．2B ．1CD ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.5、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ）A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒， 故选D ．6、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．7、【2019年高考北京卷文数】已知双曲线2221x y a-=（a >0，则a =（ ）A B ．4 C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c=12a =， 故选D.本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a ，b ，c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、【2019年高考天津卷文数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D 【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a ===故选D.本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.9、【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13 B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率e ==，故选C ．本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,a b c 的关系求得结果.10、【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由．【解析】（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.11、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥.当4b =，a ≥P ． 所以4b =，a的取值范围为)+∞．本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.一、椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - 焦点三角形面积：122tan2PF F S b θ=V （其中12PF F θ=∠）二、双曲线的标准方程和几何性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，22b PQ a=焦半径公式：设双曲线上一点()00,P x y ，左右焦点分别为12,F F ，则 ① 1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”）② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c a - 焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则122cot 2PF F S b θ=V （其中12PF F θ=∠）三、抛物线的标准方程与几何性质焦半径公式：设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2AF x =+焦点弦长：设过抛物线()220y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到）题型一 圆锥曲线的基本量圆锥曲线的基本量涉及到椭圆的长轴、短轴、焦距等基本量、双曲线的实轴、虚轴、焦距、渐近线等基本量，以及抛物线焦点坐标、准线方程等知识。
圆锥曲线的概念与基本量
第8讲圆锥曲线的概念与基本量本讲分三小节，分别为椭圆、双曲线、抛物线，建议用时3—4课时．本讲的教学重点在于掌握圆锥曲线的代数方程特点、几何图形特点，以及准确理解基本量的代数表示与对应的几何线段．对于椭圆和抛物线还应在此基础上能够解决一些较为复杂的组合图形问题．第一小节为椭圆，共3道例题．其中例1主要讲解椭圆的方程；例2主要讲解椭圆的性质；例3主要讲解椭圆的基本量（其中包括解一些与椭圆有关的几何图形问题）．第二小节为双曲线，共3道例题．其中例4主要讲解双曲线的方程；例5主要讲解双曲线的性质；例6主要讲解双曲线的基本量．第三小节为抛物线，共2道例题．其中例7主要讲解抛物线的定义、方程与性质；例8主要讲解与抛物线有关的简单几何图形．知识结构图知识梳理椭圆越扁双曲线开口越大⑴（优质试题北京理12）椭圆22192x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．⑵（优质试题北京理13）已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 ．⑶（2012年北京理12）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF △的面积为 ．【解析】 ⑴ 2，120︒．真题再现⑵ (40)±，0y ±=． ⑶1、已知椭圆的长轴长是8，离心率为34，则此椭圆的标准方程是（ ） A ．221169x y += B ．221167x y +=或221716x y +=C ．2211625x y +=D ．2211625x y +=或2212516x y +=2、椭圆221123x y +=的左、右焦点分别为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍3、已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）ABC1 D4、若椭圆221x y m n+=（0,0m n >>）与曲线22x y m n +=-无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A．,1⎫⎪⎪⎝⎭ B．0,⎛ ⎝⎭ C．,12⎫⎪⎪⎝⎭ D．0,2⎛ ⎝⎭5、过椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．19,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭6、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） ABCD7、 如图，1F ，2F 分别是双曲线2222:x y C a b-()10a b =>，的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P Q ，两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若212MF F F =，则C 的离心率是（ ）小题热身ABCD8、若椭圆221x y m n+=与双曲线221x y p q -=（m ，n ，p ，q 均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12PF PF ⋅等于（ ）A ．22p m -B ．p m -C ．m p -D ．22m p -9、直线l 过抛物线22y px =（0p >）的焦点，且与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．28y x = C ．26y x = D ．24y x =10、已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 恰好是椭圆22221x y a b+=的右焦点，且两条曲线的公共点连线过F ，则椭圆的离心率是（ ）A1 B．2 CD考点：椭圆的方程【备注】本考点为椭圆的代数特征，即对椭圆方程的代数形式特点的认识．【例1】 ⑴已知方程E ：221mx ny +=① 若E 表示椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ；② 若E 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ． ⑵若椭圆1C ：2222111x y a b +=（110a b >>）和椭圆2C ：2222221x y a b +=（220a b >>）的焦点相同且12a a >．给出如下四个结论： ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22221212a a b b -=-； ④ 1212a a b b -=-．其中，所有正确结论的序号为 ．8.1椭圆经典精讲⑶椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围为22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c ，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是 ．【解析】 ⑴ ① ,0m n >且m n ≠；② 0m n >>．⑵ ①③．⑶ 1,2⎡⎢⎣⎦考点：椭圆的性质【备注】本考点为椭圆的几何特征，即对椭圆的曲线形状特点的认识． 性质1 椭圆上的点到两个焦点的距离的和为2a ．性质2 椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[],a c a c -+．【例2】 ⑴椭圆221184x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上．若1PF =则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．⑵已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若2212F A F B +=，则AB = ．⑶P 为椭圆2212516x y +=上一点，,M N 分别是圆()2234x y ++=和()2231x y -+=上的点，则PM PN +的取值范围是 ．⑷椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(),0F c ，点2,0a A c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在x 轴上．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．【解析】 ⑴ 2π3．⑵ 8．⑶ []7,13．⑷ 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【拓1】 已知椭圆22:12516x y C +=的左右焦点分别为12F F ，，点()1,3A ，点P 是椭圆上一个动点，则2AP F P +的最大值为_________，最小值为________． 【解析】155，；考点：椭圆的基本量【备注】本考点为椭圆方程中的a 、b 、c 在几何图形中的具体表现（即对应线段），在知识层面上与前两个考点有所重叠，但综合性较强，以训练学生利用代数方程或不等式表达几何条件为重点．【例3】 ⑴在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ． ⑵已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2B F F D =，则C 的离心率为 ．⑶如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=°，则该椭圆的离心率是 ．⑷设12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF △是底角为30︒的等腰三角形，则E 的离心率为 ．【解析】 ⑴．⑵．⑶．⑷ 34．考点：双曲线的方程【备注】本考点为双曲线的代数特征，即对双曲线方程的代数形式特点的认识．【例4】 ⑴已知方程E ：221mx ny +=① 若E 表示双曲线，则m 、n 需要满足的条件是 ；② 若E 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 、n 需要满足的条件是 ． ⑵若双曲线1C ：2222111x y a b -=（11,0a b >）和双曲线2C ：2222221x y a b -=（22,0a b >）的焦点相同且12a a >．给出如下四个结论： ① 双曲线1C 和双曲线2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22221122a b a b -=-； ④ 22221122a b a b +=+．其中，所有正确结论的序号为 ．⑶点()00,A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ．【解析】 ⑴ ① 0mn <；⑵ 0m <且0n >．⑵ ①②④．⑶ 2． 8.2双曲线考点：双曲线的性质【备注】本考点为双曲线的几何特征，即对双曲线的曲线形状特点的认识． 性质1 双曲线上的点到两个焦点的距离的差为2a -或2a ． 性质2 双曲线上的点到焦点的距离的取值范围为[),c a -+∞． 性质3 双曲线的焦点到渐近线的距离为b ．【例5】 ⑴已知1F 、2F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，1122MF AF MF AF =，则2AF = ．⑵双曲线2211620x y -=的左右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足19PF =，则2PF = ．⑶P 是双曲线221916x y -=右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)4x y -+=上的点，则PM PN -的最大值是 ．⑷以双曲线2214x y m-=的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则m = ．【解析】 ⑴ 6．⑵ 17．⑶ 10;⑷ 43【拓2】 若椭圆或双曲线上存在一点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲线上存在“Γ点”，下列曲线中存在“Γ点”的是（ ）A ． 2211615x y += B ． 2212524x y += C ． 22115y x -= D ． 221x y -=【解析】 D ；考点：双曲线的基本量【备注】本考点为双曲线方程中的a 、b 、c 在几何图形中的具体表现（即对应线段）以及渐近线方程by x a=±与渐近线的对应关系，在知识层面上与前两个考点有所重叠，但综合性较强，以训练学生利用代数方程或不等式表达几何条件为重点．【例6】 ⑴设1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ．⑵过双曲线222:1y M x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点，且AB BC =，则双曲线M 的离心率为_________．【解析】 ⑴ 43y x =±．【拓3】 如图，从双曲线221925x y -=的左焦点1F 引圆229x y +=的切线，切点为T ，延长1F T 交双曲线右支于P 点．设M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则1FT = ；MO MT -= ．【解析】 5；2．【拓4】 如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ．若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ．则：⑴ 双曲线的离心率e =______；⑵ 菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12SS =_____． 【解析】⑴e =；⑵1+；考点：抛物线的定义、方程与性质【例7】 ⑴已知抛物线C ：24y x =，若存在定点A 与定直线l ，使得抛物线C 上任一点P ，都有点P到A 的距离与点P 到直线l 的距离相等，则定点A 到定直线l 的距离为 ． ⑵若点P 到()0,2F 的距离比它到直线40y +=的距离小2，则P 的轨迹方程为 ． ⑶已知P 为抛物线212y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是1762⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则PA PM +的最小值是 ． ⑷已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 ．【解析】 ⑴ 18．⑵ 28x y =．⑶ 192．⑷ 2．8.3抛物线【拓5】 设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3【解析】 B考点：解与抛物线相关的几何图形 【例8】 ⑴已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF ，则AFK △的面积为． ⑵抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其面积为 ．【解析】 ⑴8．⑵ ．【拓6】 已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =（ ） A ．13BC ．23D【解析】 D ．一、选择题1、 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（）ABCD 【解析】B 2、已知椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值为（ ） 课后习题A ．3BCD ．253或3 【解析】 D【点评】 椭圆有焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情形，注意不要漏解．3、 方程221sin 2cos2cos2sin 2x y -=+-所表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线【解析】 B ．二、填空题4、已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 ．【解析】 221369x y +=．5、已知椭圆C 的离心率e =，且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重合，则椭圆C 的方程为 ．【解析】 22182x y +=．6、 双曲线221259x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过焦点1F 的直线与双曲线左支交于A 、B 两点，若弦AB 的长为4，则2ABF △的周长为_________．【解析】287、已知点P 是抛物线24y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．【解析】8、设集合()()2222,|1,1x y S x y k k k *⎧⎫⎪⎪=+=∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N ，(){},|5Q x y x y =+≤，则满足“S Q ⊆”的常数k 的个数是 ．【解析】 3．9、 若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的两个焦点为12F F ，，P 为双曲线上一点，且123PF PF =，则该双曲线离心率的取值范围是________． 【解析】(12]，；91第8讲·教师版10、 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以2PF 为底边的等腰三角形．若210PF =，椭圆的离心率的取值范围是1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则双曲线的离心率的取值范围为 ．【解析】三、解答题 11、 （优质试题年江西）设椭圆22221x y a b+=（0a b >>），抛物线2C ：21y x b b =-+． ⑴ 若2C 经过1C 的两个焦点，求1C 的离心率；⑵ 设()0A b ，，54Q b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又M 、N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若AMN △的垂心为304B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且QMN △的重心在2C 上，求椭圆1C 和抛物线2C 的方程．【解析】 ⑴e =． ⑵ 椭圆1C 的方程为2211643x y +=，抛物线2C 的方程为：2122y x =-+．12、 （2012年昌平高三期末文）已知椭圆G ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为23e =，椭圆G上的点N到两焦点的距离之和为12，点A、B分别是椭圆G长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴的上方，PA PF⊥．⑴求椭圆G的方程；⑵求点P的坐标；⑶设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【解析】⑴2213620x y+=；⑵P3,2⎛⎝⎭．⑶．92 第8讲·教师版。
高考数学一轮复习专题01 圆锥曲线方程(轨迹方程)(解析版)
解析几何 专题一：轨迹方程一、知识储备 1、曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系： ①曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0F x y =的解； ②以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都是曲线C 上的点．此时，把方程(,)0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0F x y =的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围． 3、求轨迹方程的方法： （1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
(2)直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标(,)x y 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
(3)参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标,x y 与该参数t 的函数关系()x f t =，()y g t =，进而通过消参化为轨迹的普通方程(,)0F x y =.(4)代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P '的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线y x 、方程），则可以设出(,)P x y ，用(,)x y 表示出相关点P '的坐标，然后把P '的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
高考数学考点20 圆锥曲线的基本量问题(解析版)
高考数学总复习
【答案】 10
【解析】思路分析 由渐近线经过点(－3，1)，确定 a，b 的比值．
y2 x2 设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，则渐近线方程为 by±ax＝0.
c 由点(3，－1)在一条渐近线上，得 b＝3a，所以 a∶b∶c∶＝1∶3∶ 10，离心率 e＝a＝ 10.
54
2
所以抛物线的标准方程是 y2＝12x.
2、(2019 苏锡常镇调研）已知双曲线 C 的方程为 x2 y2 1，则其离心率为
．
4
5
【答案】
2
【解析】因为 a2 4 ， b2 1 ，所以 c2 a2 b2 5 ，故离心率为 e c 5 . a2
3、 (2019 泰 州 期 末 ） 若 抛 物 线 y2＝ 2px(p>0)的 准 线 与 双 曲 线 x2－ y2＝ 1 的 一 条 准 线 重 合 ， 则 p＝
解得
m
3 （舍）或
m
3
，故实数 m
取值集合为
3 .
2
2
x2 y2
x2 y2
10、(2018 苏州期末） 已知双曲线 C：a2－b2＝1(a>0，b>0)与椭圆16＋12＝1 的焦点重合，离心率互为倒
PF 数，设 F1，F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则PF2的最小值为________．
4
4
4
PF
基本不等式可得 PF2＋PF2＋4≥2
PF2
×
PF2＋4＝8，当且仅当
PF2＝PF2，即
PF2＝2
时取“＝”，所以 PF2
的最小值为 8.
【问题探究，变式训练】
高三+圆锥曲线基本量问题
x2 y2 1 ∴点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b =15 轨迹方程为 16 15
2
点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即
2 2 列出 ( x 1) y
( x 1) 2 y 2 4 ，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较
繁琐！
一、专题精讲
例 1：△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sin C sin B
3 sin A 求点 A 的轨迹方程。 5
分析：由于 sin A 、 sin B 、 sin C 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可转
化为边长的关系。 解： sin C sin B ∴ AB AC
辅导讲义
学员编号： 学员姓名： 授课 类型 授课日 期时段 教学内容 年 级： 辅导科目： 课 时 数： 学科教师：
(圆锥曲线的性质)
（圆锥曲线的例题）
一、同步知识梳理
见附件（可采用一问一答式或者学生总结教师补充的形式进行讲解）
二、同步题型分析
题型 1： (1) 抛 物 线 C:y =4x 上 一 点 P 到 点 A(3,4 ______________ (2)抛物线 C: y =4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为
连 PF ， 当 A 、 P 、 F 三 点 共 线 时 ， AP PH AP PF 最 小 ， 此 时 AF 的 方 程 为
y
1 4 2 0 （注：另一交点为( , 2 )，它 ( x 1) 即 y=2 2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2 2 )， 2 3 1
冲刺高考二轮核心考点专题16：圆锥曲线的基本量问题
专题16 圆锥曲线的基本量问题【自主热身，归纳总结】1、双曲线x 24－y23＝1的渐近线方程为________．【答案】： 3x ±2y ＝0思路分析 把双曲线方程中等号右边的1换为0，即得渐近线方程．该双曲线的渐近线方程为x 24－y23＝0，即3x ±2y ＝0.2、 已知椭圆C 的焦点坐标为F 1(4，0)，F 2(4，0)，且椭圆C 过点A (3，1)，则椭圆C 的标准方程为 ． 【解析】 AF 1+ AF 2=62，椭圆C 的标准方程为221182x y +=．3、在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 与双曲线x 2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C 的焦距为________． 【答案】. 4 3解法1 与双曲线x 2－y 23＝1有公共的渐近线的双曲线C 的方程可设为x 2－y 23＝λ，又它经过点P(－2，3)，故4－1＝λ，即λ＝3，所以双曲线C 的方程为x 23－y 29＝1，故a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，c ＝23，2c＝4 3.解法2 因为双曲线x 2－y23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，且双曲线C 过点P(－2，3)，它在渐近线y ＝－3x 的下方，而双曲线C 与x 2－y23＝1具有共同的渐近线，所以双曲线C 的焦点在x 轴上，设所求的双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，从而⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，4a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝9，从而c ＝23，故双曲线C 的焦距为4 3.4、若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ．【解析】 由，得9252m <<． 【变式2】、已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 是椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，若P ，Q 是椭圆与抛物线的公共点，且直线PQ 经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________． 【答案】 2－1解法1 由抛物线方程可得，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2；由椭圆方程可得，上焦点为(0，c )．故p2＝c ，将y ＝c 代入椭圆方程可得x ＝±b 2a .又抛物线通径为2p ，所以2p ＝2b 2a＝4c ，所以b 2＝a 2－c 2＝2ac ，即e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.解法2 由抛物线方程以及直线y ＝p2可得，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2.又p2＝c ，即Q (2c ，c )，代入椭圆方程可得c 2a 2＋4c 2b 2＝1，化简可得e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22，e 2＝3＋22＞1(舍去)，即e ＝3－22＝2－1(负值舍去)．解后反思 本题是典型的在两种曲线的背景下对圆锥曲线的几何性质的考查．这类问题首先要明确不同曲线的几何性质对应的代数表示．本题有两个解法，解法1将直线y ＝c 与抛物线、椭圆相交所得弦长求出后，利用等量关系求离心率，其所得等量关系比解法2简单．【变式3】、如图，已知过椭圆的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .【答案】：25思路分析1：由于2PQ QA =，故可将Q 点的坐标用A ，P 的坐标表示出来，利用点Q 在椭圆上，得到关于,,a b c 的一个等式关系，求出椭圆的离心率。
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解析几何专题系列一：圆锥曲线的基本量问题[考情分析把握方向]圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高考的命题的热点之一，其特点是用代数的方法研究和解决几何问题，所以它是数形结合思想的典型载体。
圆锥曲线的基本量是江苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有所体现，考查内容如下表所示：高考年填空题解答题知识点份2010年第6题中心在坐标原点的双曲线的标准方程、圆锥曲线的统一定义2011年第18题椭圆的标准方程2012年第8题第19题双曲线的性质、椭圆的性质、直线方程、两点间的距离公式由上表可以看出，在江苏近三年的高考中，主要考察的是圆锥曲线的基本量及其方程（特别是离心率的考查），弱化了直线与圆锥曲线的位置关系，而且又以椭圆与双曲线的性质考查为主。
[备考策略提升信心]1．江苏高考的圆锥曲线的考查方式与其他新课标地区不同，淡化双曲线与抛物线，淡化直线与圆锥曲线的关系，以椭圆为载体的综合问题是考查的重点。
2．新型的圆锥曲线的试题主要呈现以下特点：（1）在曲线的准线、渐近线、离心率上做文章，围绕圆锥曲线的定义、性质、几何量的含义进行解题，主要考查处理有关问题的基本技能、基本方法；（2）椭圆处于更加突出的位置，几乎所有的解答题都会围绕椭圆展开；（3）与圆一起出现，特别是直线与圆的位置关系，相切的内容更是常考内容。
3.找出题中的等量关系（或不等关系）利用c b a ,,表示关系式中的量，再代入求解[小题训练 激活思维]1.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2 = 4x 的准线交于A 、B 两点，AB =3，则C 的实轴长为 .12.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .答案：353.设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点，且12PF F V 的面积为6，则点P 的坐标为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,556 提示：注重方法的选择4.（2012苏北四市元月）已知椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，过椭圆的右焦点且与x 轴垂直的直线与椭圆交于Q P ,两点，椭圆的右准线与x 轴交于点M ，若PQM ∆为正三角形，则椭圆的离心率为335.已知1F 、2F 分别是椭圆14822=+y x 的左、右焦点, 点P 是椭圆上的任意一点, 则121||PF PF PF -的取值范围是 ．答案：[0,222]+ 提示：整体消元；或焦半径公式（文科学生适当掌握一些焦半径（椭圆）知识会有帮助）6.设P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上除顶点外的的任意一点，21,F F 分别为左右点，21PF F ∆内切圆交实轴于点M ，则M F M F 21⋅值为 ．2b 说明：本题目的在于强化定义的运用 [核心问题 聚焦突破]如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .275e =-变式训练：已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左准线与x 轴的交点，点(0,)A b ，若满足2AP AB =u u u r u u u r的点P 在双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．2[变式拓展 分类解密] 题型一：直接求出c a ,，求解e例1：已知圆锥曲线的标准方程或c a ,易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
（2012扬州期末）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 过点)1,3(P ，其左右焦点分别是21,F F ，且621-=⋅→→P F P F ，则椭圆的离心率为332 题型二：构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==ace （31-舍去）题型三：采用离心率的定义以及椭圆的定义（或统一定义）求解例3：（1）设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：12121222222221-=+=+=+===cc c PF PF c a c a c e（2）设椭圆12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 .解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的第二定义，21211===AD AB AD AF e 题型四：建立,a c 不等关系求解离心率的范围.例4：（1）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是解析： 由题意可知2233()()22a a a e a c c ->+即331122e e->+解得2e >利用圆锥曲线相关性质建立,a c 不等关系求解.（2）双曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 分析 ：求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？解析：∵|PF 1|=2|PF 2|,∴|PF 1|?|PF 2|=|PF 2|=2a ，|PF 2|c a ≥-即2a c a ≥-∴3a c ≥ 所以双曲线离心率的取值范围为13e <≤点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于c a -）则可建立不等关系使问题迎刃而解.变式训练：设椭圆12222=+by a x 的左、右焦点为21,F F ，左准线为l ，P 为椭圆上一点，l PQ ⊥，垂足为Q ，若四边形21F PQF 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围为________)1,21(（3）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右顶为A,点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且OP垂直于PA ，则椭圆的离心率e 的取值范围为解：设P 点坐标为（00,x y ）,则有2200222200010x y a b x ax y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩ 消去20y 得22232200()0a b x a x a b --+=若利用求根公式求0x 运算复杂，应注意到方程的一个根为a,由根与系数关系知222002222a b ab ax x a b a b=∴=--由00x a <<得212e << 变式训练：椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=u u u u v u u u u v. 则椭圆离心率e 的取值范围为 解析： 设22212(,),0M x y FM F M x y c ⋅=⇒+=u u u u v u u u u v……① 将22222b y b x a =-代入①得22222a b x a =- 220x a ≤≤Q 求得212e ≤< . 点评：22221(0)x y a b a b+=>>中x a ≤，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视. 运用函数思想求解离心率例5：设1>a ，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 解析：由题意可知22111()1(1)a e a a +=+=++1>a ∴1112a<+< 题型五：圆锥曲线定义、焦半径公式的运用 例6：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i ）若126AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．变式训练：已知某椭圆的交点是12F F （-4,0）,（4,0），过点2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210F B F B +=，椭圆上不同的两点11(,)A x y ，22(,)C x y ，满足条件222,,F A F B F C 成等差数列。
(1)求该椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标。
【专题总结 画龙点睛】 精要归纳：1.离心率问题的求解方法：（1）建立一个关于,,a b c 的齐次等式，再消除b ，求出e ；（2）建立一个关于,,a b c 的齐次不等式，再消除b ，求出e 的范围；（3）利用定义或题中蕴含的几何关系，直接建立等式或不等式来求解e 。
（4）在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.2.圆锥曲线的显着特点是用代数的方法解决几何问题，它的重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题。
在圆锥曲线问题中转化后常出现多字母的等式（不等式）的化简，对字母运算能力要求较高。