三角函数的易错点以及典型例题与高考真题

三角函数的易错点以及典型例题与真题

1.三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________；二倍角公式:_________________ 万能公式______________正切半角公式____________________；解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次。

万能公式：

(1) (sinα)2+(cosα)2=1 (2)1+(tanα)2=(secα)2(3)1+(cotα)2=(cscα)2

(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（证明：利用A+B=π-C ）

同理可得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论：

(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

(7)(cosA）2+(cosB）2+(cosC）2=1-2cosAcosBcosC

(8)（sinA）2+（sinB）2+（sinC）2=2+2cosAcosBcosC

(9)设tan(A/2)=t

sinA=2t/(1+t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）

tanA=2t/(1-t^2) （A≠2kπ+π，k∈Z）

cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2) k∈Z）

2.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整

个定义域是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 3.在三角中，你知道1等于什么吗？（x x x x 2222tan sec cos sin 1-=+= ΛΛ====⋅=0cos 2

sin

4

tan

cot tan π

π

x x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的

种种代换有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系；诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）

4.在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如

,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-=

⎪⎭

⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβ

α222

等）

5.你还记得三角化简题的要什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）

6.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公式吗？cos 2

x=(1+cos2x)/2;sin 2

x=(1-cos2x)/2 7.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？ （4

1

518sin ,4

2

615cos 75sin ,4

2

675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=

︒=︒） 8.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(lr S r l 2

1,=

=扇形α) 9. 辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由a

b

=

θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 10.三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴、对称中心，取最值时的x 值的集合吗？（别忘了k ∈Z ） 三角函数性质要记牢。函数y=++⋅)sin(ϕωx A k 的图象及性质： 振幅|A|，周期T=

ω

π

2, 若x=x 0为此函数的对称轴，则x 0是使y 取到最值的点，

反之亦然，使y 取到最值的x 的集合为——————————， 当0,0>>A ω时函数的增区间为————— ，减区间为—————；当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论。 五点作图法：令ϕω+x 依次为ππ

ππ

2,2

3,

,2

求出x 与y ，依点()y x ,作图 注意（1）ϕω+x 的整体化法思维求单调性、对称轴、对称中心、值域等。 （2）用换元法时，注意新的定义域围。 11.三角函数图像变换还记得吗？

平移公式（1）如果点 P （x ，y ）按向量()k h a ,=→

平移至P ′（x ′，y ′），则

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.

,

'

'

k y y h x x （2） 曲线f （x ，y ）=0沿向量()k h a ,=→

平移后的方程为f （x-h ，y-k ）=0 12.解三角形的几个结论：(1) 正弦定理: (2)

余弦定理: (3)面积公式

13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值围及意义？

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值围依次是

],0[],2,0[,2,0πππ⎥⎦

⎤

⎝⎛。

②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值围依次是

]2

,

0(),,0[),,0[πππ。

③反正弦、反余弦、反正切函数的取值围分别是)2,2(],,0[],2,2[π

ππππ--。

14.三角函数易错点的典型例题