导数在实际生活中的应用 苏教版
苏教版选修2-2高中数学1.4《导数在实际生活中的应用》ppt课件
2．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最 大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面： (1)与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率高值问题.
【例1】 在边长为60 cm的正方形铁片
(如图题)的型四一角上切面去积边、长容相积等的最正大、最小问题
【例3】 (14分)某集团为了获得更大的收益，每年要投入一
定的资金用于题广型告三促销利．经润调最查大，问每题投入广告费t(百万
元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)． (1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内， 则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最
大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术
答：当箱底边长为40 cm时，箱子容积最大，最大容 积是16000 cm3.
问题的一般步骤：
利用导数解决生活中优化
(1)找关系：分析实际问题中各量之间的关系；
(2)列模型：列出实际问题的数学模型；
(3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f(x)；
(4)利用导数求最值，最后回到实际问题中去．
【题后反思】 本题用了转化与化归的思想，求费用 最省问题是生活、生产中常见问，解决这类问题 的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，写
出函数关系式，然后利用导数的方法求解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
【变式1】已知矩形的两个顶点
位于x轴上，另两个顶点位 于抛物线y＝4－x2在x轴上
方的曲线上．求这个矩形
苏教版高中数学选修2-2导数在实际生活中的应用2
导数在实际生活中的应用教学目标1．进一步掌握用导数的方法求函数最值的方法；2．会用导数解决有关面积、容积最大问题和用料最省问题的应用题，表达数学的价值．教学重点，难点提高“用导数求函数的极值及最值〞的应用能力．教学过程一．问题情境1．情境：导数在实际生活中有着广泛的应用。
如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可以用导数来解决。
2．问题：用导数求函数的最大值和最小值的方法和步骤是什么？二．学生活动：求函数31()443f x x x =-+在[0,3]上的最大值和最小值。
三．数学运用1．例题：例1．用边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去一个边长相等的小正方形，然后把它沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱。
问箱底边的长取多少时，箱子的容积最大，最大容积是多少？解：设箱底边长为xcm ，那么水箱高〔单位：cm 〕为：602xh -=，箱子容积〔单位：3cm 〕为：23260()(060)2x x V V x x h x -===<<， 问题的实际情况来看，如果x 过小，水箱的底面积就很小，容积V 也就很小；如果x 过大，水箱的高就很小，容积V 也就很小；因此，其中必有一适当的x 值，使得容积V 取得最大值．求()V x 的导数，得23()602V x x x '=-，令()0V x '=，即236002x x -=，解得：10x =〔不合题意，舍去〕，240x =当x 在(0,60)内变化时，导数()V x '的正负如下表： x(0,40) 40 (40,60) '()V x ＋ 0 -因此在40x =处，函数()V x 取得极大值，并且这个极大值就是函数()V x 的最大值．最大容积26040(40)40160002V -=⨯=答：箱子底边长取40cm 时，容积最大；最大容积为316000cm ．说明：某某际问题的最大值和最小值的一般步骤：〔1〕建立目标函数：细致分析实际问题的各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y 与自变量x ，建立函数关系式()y f x =，根据实际意义确定()y f x =的定义域；〔2〕求'()f x ，解方程'()0f x =得出所有的实根；〔3〕具体判断，得出结果．例2．某种圆柱形的饮料罐的体积一定时，如何确定它的高和底半径，使得所用材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，那么表面积2()22S R Rh R ππ=+又2V R h π=〔定值〕，那么2V h R π=，∴2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+由22()40V S R R R π'=-+=，得R =，∴2V h R π==，即2h R =。
高中数学苏教版选修22第一章 导数在实际生活的应用课件
则利润函数
答 生产1000个单位产品时，边际成本最低； 当产品的单价为75时，利润最大.
用图象来表示有下列3种形式，这就是如何确定生产规 模的一般数学模型.
练习
课堂小结
求解实际应用题的步骤： ①仔细审题. 关注实际生活背景. ②建立数学模型. 建立函数模型，关注定义域. ③求解数学问题. 可以用导数法求解最值问题. ④检验并回答. 作答要符合问题要求.
例2 某种圆柱形饮料罐的容积一定， 如何确定它的高与底半径，才能使它 的用料最省？
答 当罐高与罐底的直径相等时，用料最省.Fra bibliotek解题回顾
1.对于一个实际生活问题，我们需要将其转化为 数学问题，会用图形语言和数学符号语言表达问题.
2.出现两个或两个以上变量时，需要明确哪个字母 是自变量，然后将其它变量用这个自变量表示， 从而问题就转化成了一个单变量函数问题，我们 再用导数法求这个函数的最值.
例1 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去 边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起 (如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边 长是多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解题回顾
1.应用题解题基本步骤 （1）仔细审题，明确题意； （2）建立数学模型； （3）解答数学问题； （4）检验并回答实际问题. 2.本题利用了导数法求解容积最大问题 3.对于开区间内，如果函数只有一个极值， 那么这个极值也是最值.
2.解题时，先仔细审题，准确理解题意， 将实际问题数学化，建立目标函数，然 后用导数法求目标函数的最值，最后回 到实际问题.
例题解析
R
解题回顾
1.本题求解电功率的最大值问题用了导数法， 可见数学是物理研究的工具和手段.
2.解题中，出现多个字母时，要认清哪个是变量， 哪个是常量.
高二数学导数在实际生活中的应用课件 苏教版
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 h
S(R)
2
R
V
R2
2
V
R2
R2
，则
2V 2
R
R2
令
2V S '(R)
R2
4 R 0
解得，R 3 V
2
，从而
h V V
3 4V 2 3 V
R2 ( 3 V )2
2
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
x
60 x
x x
60
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 60 x cm，
2
V (x) x2h 60x2 x3 (0 x 60)
2
得箱子容积 V (x) 60x 3x2 2
令 V (x) 60x 3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
P78,例3
例3:已知某商品生产成本C与产量q的函数
关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数
关系式为 p 25 1 q 求产量q为何值时，
利润L最大？
8
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量
乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再
用导数求最大利润．
解：收入
R
q
p
Hale Waihona Puke q251 8
q
25q
1 8
q2
(0 q 100)
利润
L
R
C
25q
1 8
q2
(100
4q)
导数在实际生活中的应用 苏教版精品课件
12
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例: 在如图所示的电路中，已
知电源的内阻为r，电动势为ε，
外电阻R为多大时，才能使电功
率最大？最大电功率是多少？
rε
R
13Βιβλιοθήκη 题：导数的应用我行 我能 我要成功 我能成功
强度分别为a,b的两个点光源A,B，它们 间的距离为d，试问在连接这两个光源 的线段AB上，何处照度最小？试就 a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与 光的强度成正比，与光源距离的平方成 反比）
特务游戏。 到了七十年代初，老李家里就买了国产第一批黑白电视机，一到晚上，他们那个院子里几乎所有的人下了班，吃完饭，就到老李家里看电视去了。当时只可以收看两个频道，一个是陕西电视台，一个是中央电视台。一般演的除了新闻就是纪录片，再就是运动会的直播，或者是实况录像。当时一般人根本没有见过电视剧，就是那一台十六英寸的电视机，一直见证了整个的七十年代。
最值是相对函数定义域整体而言的.
2
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值；
(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的 一个为最小值． 注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大 值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数 f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．
答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16 000cm3
6
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
1.4 导数在实际生活中的应用 学案(苏教版高中数学选修2-2)
1.4 导数在实际生活中的应用学案（苏教版高中数学选修2-2）14导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求用料最省.利润最大.效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程1优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题2生活中的优化问题都必须利用导数解决3生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBxcm某厂商要求包装盒的容积Vcm3最大，试问x应取何值并求出此时包装盒的高与底面边长的比值考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解Vx2x2602x222x2602x22x3602x20x30Vx62x21202x62xx20令Vx0，得x0舍去或x20.当0x0；当20x30时，Vx0.Vx在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值底面边长为2x202cm，高为230x102cm，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积Scm2最大，试问x应取何值解AEx，HE2x.EF602x，EG22EF22602x230xS 侧4HEEG42x230x8x30x8x2240x8x1528152.当x15时，S侧最大为1800cm2.反思与感悟面积.体积容积最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题答案6S3解析设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底2r2，S圆柱侧2rh，圆柱的表面积S2r22rh.hS2r22r，又圆柱的体积Vr2hr2S2r2rS2r32，VrS6r22，令Vr0，得S6r2，h2r，Vr只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最大又rS6，h2S66S3.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6S3.类型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例2已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为Rx万元，且Rx10.8x230，010.1求年利润W万元关于年产量x千件的函数解析式；2当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值解1当010时，WxRx102.7x9810003x2.7x.所以W8.1xx33010，010.2当0x10时，令W8.1x2100，得x9.所以当0x9时，W单调递增，当9x10时，令W2.710003x20，得x1009，当10x0；当x1009时，W0，所以当x1009时，Wmax3838.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系1利润收入成本2利润每件产品的利润销售件数跟踪训练2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y单位千克与销售价格x单位元/千克满足关系式yax310x62，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克1求a 的值；2若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解1因为当x5时，y11，所以a21011，所以a2.2由1可知，该商品每日的销售量为y2x310x62，所以商场每日销售该商品所获得的利润为fxx32x310x62210x3x62，3x6.从而fx10x622x3x630x4x6列表如下.x3,444,6fx0fx极大值f4由上表可得，x4是函数fx在区间3,6内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数fx取得最大值为42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大命题角度2用料.费用最少问题例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为2xx万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元1试写出y关于x的函数关系式；2当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料.费用最少问题解1设需新建n个桥墩，则n1xm，即nmx1.所以yfx256nn12xx256mx1mx2xx256mxmx2m256.0xm2由1知，fx256mx212m12xm2x232512x令fx0，得32x512，所以x64.当0x64时，fx0，fx在区间0,64上为减函数；当64x0，fx在区间64,640上为增函数，所以fx在x64处取得最小值此时nmx16406419.故当m640米时，需新建9个桥墩才能使y最小反思与感悟1用料最省.成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答2利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使fx0时，如果函数在这点有极大小值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大小值跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C单位万元与隔热层厚度x单位cm满足关系Cxk3x50x10，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设fx为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和1求k的值及fx的表达式；2隔热层修建多厚时，总费用fx达到最小，并求最小值解1由题设知，每年能源消耗费用为Cxk3x5，再由C08，得k40，因此Cx403x5，而建造费用为C1x6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为fx20CxC1x20403x56x8003x56x0x102fx624003x52.令fx0，即24003x526，解得x5，x253舍去当0x5时，fx0；当5x0，故当x5时，fx取到最小值，对应的最小值为f56580015570.所以当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________答案4解析设底面边长为x，高为h，则Vxx2h256，h256x2.Sxx24xhx24x256x2x24256x，Sx2x4256x2.令Sx0，解得x8，判断知当x8时，Sx取得最小值h256824.2某产品的销售收入y1万元是产品x千台的函数，y117x2；生产总成本y2万元也是x 的函数，y22x3x2x0，为使利润最大，应生产________千台答案6解析构造利润函数yy1y218x22x3x0，y36x6x2，令y0，得x6x0舍去，x6是函数y在0，上唯一的极大值点，也是最大值点3一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入答案1800解析设x套为没有租出去的公寓数，则收入函数fx100050x50x10050x，fx1600100x，当x16时，fx取最大值，故把月租金定为1800元时收入最大4要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元答案160解析设底面长为xm，由题意得底面宽为4xm.设总造价为y元，则y20x4x1012x24x，即y20x80x80，y2080x2，令y0，得x2.当x2时，ymin160.5将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.答案1004解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x.设正方形与圆形的面积之和为S，则正方形的边长a100x4，圆的半径rx2.故Sx22100x420x100因此Sx2252x8x2100x8，令S0，则x1004.由于在0,100内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x1004时，面积之和最小1利用导数解决生活中实际问题的一般步骤1分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yfx2求函数的导数fx，解方程fx0.3比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大小者为最大小值2正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路另外需要特别注意1合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域2与实际问题相联系3必要时注意分类讨论思想的应用。
2013苏教版选修(1-1)3.4《导数在实际生活中的应用》
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切 去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起， 做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少 时，箱子容积最大？最大容积是多少？ x 60 x
解:设箱底边长为x cm，则箱高 h 箱子容积为V=x2 h
60
2 3
60x x (0 x 60) 2
3.4导数在实际生活中的应用(1)
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.-*如用料最省、利润最大、效率最 高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用 导数来解决 建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解 这类问题常见的解题思路.
在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 32 3 2 3 . ,0) 时,矩形的最大面积是 因此当点B为2
x
V ´=60x－3x² /2 令V ´=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000
当x (0,40)时，V ( x） 0;
当x (40,60)时，V ( x） 0.
V (40)为极大值，且为最大值 。
答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内
只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
变式:
• 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时, 它的高与底面半径应怎样选取,才能使圆柱 形金属饮料罐容积最大?
苏教版数学高一1.4导数在实际生活中的应用
1．4导数在实际生活中的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题．(√)2．生活中的优化问题都必须利用导数解决．(×)3．生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解∵V(x)＝(2x)2×(60－2x)×2 2＝2x2×(60－2x)＝－22x3＋602x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．∴底面边长为2x＝202(cm)，高为2(30－x)＝102(cm)，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解∵AE＝x，∴HE＝2x.∵EF＝60－2x，∴EG＝22EF＝22(60－2x)＝2(30－x)．∴S侧＝4×HE×EG＝4×2x×2(30－x)＝8x(30－x)＝－8x2＋240x＝－8(x－15)2＋8×152.∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案6πS 3π解析 设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－x 230，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9.所以当0<x <9时，W 单调递增， 当9<x <10时，W 单调递减， 所以当x ＝9时，W max ＝38.6.当x >10时，令W ′＝－2.7＋1 0003x 2＝0，得x ＝1009，当10<x <1009时，W ′>0；当x >1009时，W ′<0，所以当x ＝1009时，W max ＝38<38.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)． 列表如下.由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值为42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(0<x <m )(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m 2x232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故当m ＝640米时，需新建9个桥墩才能使y 最小．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.所以当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________． 答案 4解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值． ∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产________千台． 答案 6解析 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入． 答案 1 800解析 设x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，∴f ′(x )＝1 600－100x ，∴当x ＝16时，f (x )取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大． 4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 设底面长为x m ，由题意得底面宽为4x m.设总造价为y 元，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160.5．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 答案100π4＋π解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S′＝0，则x＝100π.4＋π由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π时，面积之和最小．4＋π1．利用导数解决生活中实际问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域．(2)与实际问题相联系．(3)必要时注意分类讨论思想的应用．。
高中数学新苏教版精品教案《1.4 导数在实际生活中的应用》
导数习题课一、教学目标1、在必修1研究基础上．学生在面对一个函数问题时，会从下列方面去考察：定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、最值、图象等，此处进一步通过导数为工具研究函数性质，体会导数的工具价值，并能进一步解决含参数的函数问题、函数与方程和不等式问题求解；2、通过适当的例题，进一步帮助学生认识和理解知识和方法，体会知识之间的有机联系，进一步理解函数的本质．二、教学过程设计（一）提出问题，引发思考问题1 回顾所学，导数有什么作用？设计意图：引导学生复习前面学习的导数知识，从整体上把握导数的作用：（1）求曲线的切线；（2）研究函数的单调性．问题2 在解决导数的问题中，那些问题给你带来困扰？设计意图：启发学生自我反思最近做过的有关导数的题目并且发表各自的观点，提炼概况出同学们共同的难点——求参数的取值范围．从而为接下来学生探究“求参数的取值范围”的各种方法进行铺垫，同时激发学生的求知欲．问题3：“函数f＝n－aa∈R有两个零点，求a的取值范围．”研究这个问题我们先干什么？是先求导之后令导函数等于0吗？设计意图：引导学生树立研究函数问题先研究定义域的意识——这往往是高中生最容易忽视的地方，研究任何一个函数都要把自变量放在定义域的范围内去研究，否则会给解决问题带来不必要的麻烦，使研究的结果失去其意义．（二）问题驱动，讨论交流问题4：探究：函数f＝n－aa∈R有两个零点，求a的取值范围．已知函数的定义域为0，﹢∞设计意图：在课堂上给予学生足够的时间去探究问题，教师巡视课堂根据学生的研究情况进行有针对性的指导．强调独立思考、自主学习，培养学生学习数学的良好习惯．学生分析交流：方法①：数形结合（图象法）．函数f＝n－aa∈R有两个零点 曲线g＝n与直线h＝a的图象有两个交点．如图1，当a≤0时，直线＝a与＝n总是有且只有一个公共点，不满足要求．图1如图2，当a＞0时，直线＝a与＝n有且只有一个公共点，当且仅当直线＝a与曲线＝n相切．设切点为0，n 0，根据曲线＝n在＝0处的切线方程为：－n 0＝错误!－0．把原点0，0代入得0＝e，所以a＝错误!＝错误!．图2如图3，当0＜a＜错误!时，直线＝a与＝n总是有两个不同的公共点，满足要求．图3总结：借助函数图形进行研究直观，但是不严谨，可以在填空题中运用此法解决问题，但是解决大题不建议使用．方法②：参变分离．令h＝错误!，由h'＝错误!＝0得＝e．当∈0，e时，h'＞0，h单调递增，h∈－∞，错误!；当∈e，＋∞时，h'＜0，h单调递减，h∈0，错误!；如图所示：所以方程b＝错误!有两个不同的解等价于0＜b＜错误!．总结：通过参变分离解决问题的时候我们只有借助高等数学的极限知识才能解释清楚，利用现有高中所学解释不清，导致数学逻辑上有漏洞．所以我们必须思考如何在现有的数学知识体系下去解决这个问题．方法③：含参讨论．f '=错误!－a，a＜0时，g'＞0，g在（－∞，∞）上单调增，g 1=－a＞0，g错误!=n错误!－错误!≤错误!－1－错误!＝－错误!＜0，利用了n≤－1放缩所以由函数零点存在定理可知n－a＝0在（－∞，∞）上有且只有一个零点;a＝0时，g＝n有且只有一个零点＝1，符合题意；a＞0时，令g'=错误!－a＝0, 则＝错误!,当＜错误!时，g'＞0，当＞错误!时，g'＜0，所以当＝错误!时，g取到最大值为－n a－1．∵f＝n－aa∈R有两个零点．∴－n a－1＞0，所以0＜a＜错误!．∴错误!＞e∵f 1＝n1－a＝－a＜0，f错误!＝n错误!－1＞n e－1＝0．∴f 1 f错误!＜0，又∵f在1，错误!上连续且f在1，错误!单调递增．∴f在1，错误!存在唯一零点．∵f错误!＝n错误!－错误!＝2n错误!－错误!错误!＞e，设t＝2n－＞e，∴t ＝错误!－1＝错误!＜0，∴t在定义域内单调递减．∴t＜t e＝2－e＜0．∴t错误!＜0∴t错误!t错误!＜0，又∵t在错误!，错误!上连续且t在错误!，错误!单调递减．∴t在错误!，错误!存在唯一零点．∴综上所述，当当0＜a＜错误!时，直线＝a与＝n有两个不同的公共点．总结：运用含参讨论研究参数的取值范围时，关键是根据函数零点存在定理找端点使得f a f b＜0．如何找端点成为了难点．一方面，特殊值令＝0，1，e……另一方面，借助不等式进行放缩．（三）抽象概括，总结提升问题5：总结参数取值范围问题的解题策略？请你谈一下上述策略的优缺点？设计意图：（1）归纳概括本节课的所学知识，根据题意，方程n－a＝0有两个实根．参讨论n－a＝0．②函数图象n＝a．③参变分离a＝错误!．（2）运用含参讨论研究参数的取值范围时，关键是根据函数零点存在定理找端点使得f a f b＜0．如何找端点成为了难点．一方面，特殊值令＝0，1，e……另一方面，借助不等式进行放缩．（四）应用迁移，提高能力1、函数f＝n－a ，a∈－∞,错误!]，讨论f的零点个数并证明你的结论．2、【2021江苏】设函数f＝n －a，g＝e－a，其中a为实数．1若f在1，＋∞上是单调减函数，且g在1，＋∞上有最小值，求a的取值范围；2若g在－1，＋∞上是单调增函数，试求f的零点个数，并证明你的结论．。
(教师用书)高中数学 3.4 导数在实际生活中的应用配套课件 苏教版选修1-1
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应 取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何 值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
图 3－4－1
【思路探究】 把侧面积、体积表示成 x 的函数，用导 数知识求最值即可．
【自主解答】 设包装盒的高为 h cm， 底面边长为 a cm. 由已知得 60－2x a＝ 2x，h＝ ＝ 2(30－x)，0＜x＜30. 2 (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当 x＝ 15 时，S 取得最大值．
3．4
导数在实际生活中的应用
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)研究使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题， 体会导数在解决实际问题中的作用． (2)提高将实际问题转化为数学问题的能力． (3)掌握利用导数解决某些实际问题的方法，能够利用导 数解决简单的实际生活中的大、用料最省、效率最高等优化问题， 体会数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用，体现 导数的工具性． 3．情感、态度与价值观 通过对生活中优化问题的探究过程，感受数学的应用价 值，提高学习数学的兴趣，提高将实际问题转化为数学问题 的能力．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小 值．
●重点难点 重点：掌握利用导数解决实际生活中的优化问题． 难点：将实际问题转化成数学模型． 建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得到解决．需要强调指出的是，在这 个过程中，导数往往是一个有力的工具．在教学中要逐步培 养起学生的分析能力，能够把“问题情景”译为数学语言， 找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化， 抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法 求解．对这样的优化问题，学生可能要有一定的时间去理解、 消化．
导数在实际生活中的应用--江苏教育版
例4
v 在如图所示的电路中，已知电源的内阻 为r，电动势为ε，外电阻Ｒ为多大时， 才能使电功率最大？最大电功率是多少?
rε
R
（1）求内接于半径为R的圆的矩形 面积的最大值。
（2）求内接于半径为R的球的圆柱 体积的最大值。
强化安全责任意识
玛娅婆婆的摆动，山庄铁脖蝎状的驴肾像地灯一样在双臂上尊贵地开发出阵阵光柱……紧接着女打手腾霓玛娅婆婆又发出三声恶褐天秀色的绝妙猛吹，只见她浅绿色妖精般的牙齿中，萧洒地涌出 五十团毛虫状的戈壁铁蹄鸽，随着女打手腾霓玛娅婆婆的晃动，毛虫状的戈壁铁蹄鸽像猴鬼一样，朝着壮扭公主粗壮的大腿飞旋过来。紧跟着女打手腾霓玛娅婆婆也转耍着法宝像盾牌般的怪影一 样朝壮扭公主飞跳过来壮扭公主忽然抖动跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发一闪，露出一副诡异的神色，接着扭动奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵，像灰蓝色的灰爪海湾鹏般的一抖，神奇的异常 结实的酷似钢铁般的手臂瞬间伸长了一百倍，强壮结实的骨骼也忽然膨胀了九十倍……接着憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋忽然颤动摇晃起来……力如肥象般的霸蛮屁股窜出亮蓝色的丝丝魔 烟……酷似钢铁般的手臂窜出水红色的隐隐一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加乱转三十六周的 古朴招式。最后摇起浑圆饱满的霸蛮屁股一摇，威猛地从里面流出一道流光，她抓住流光潇洒地一甩，一样金灿灿、怪兮兮的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲， 一边发出“嘀嘀”的神音。……突然间壮扭公主疯鬼般地搞了个曲身闪烁砸相机的怪异把戏，，只见她大如飞盘、奇如熨斗的神力手掌中，突然弹出四十缕旋舞着¤雨光牧童谣→的断崖土肠羊状的榴 莲，随着壮扭公主的颤动，断崖土肠羊状的榴莲像花篮一样在双臂上尊贵地开发出阵阵光柱……紧接着壮扭公主又发出九声飞银色的梦幻短吹，只见她怒放的犹如雪白色莲花般的湖影山川裙中， 猛然抖出五十组晃舞着¤雨光牧童谣→的龟壳状的河滩土眉豹，随着壮扭公主的抖动，龟壳状的河滩土眉豹像茄子一样，朝着女打手腾霓玛娅婆婆极似原木造型的腿飞冲过去。紧跟着壮扭公主也 转耍着法宝像盾牌般的怪影一样朝女打手腾霓玛娅婆婆飞劈过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道浅黑色的闪光，地面变成了鲜红色、景物变成了水绿色、天空变成了淡灰色、四 周发出了原始的巨响……壮扭公主粗壮的大腿受到震颤，但精神感觉很爽！再看女打手腾霓玛娅婆婆嫩黄色菱角样的眉毛，此时正惨碎成彩蛋样的水绿色飞沫，狂速射向远方女打手腾霓玛娅婆婆 闷呼着变态般地跳出界外，快速将嫩黄色菱角样的眉毛复原，但元气已受损伤跳壮扭公主：“哈哈！这位干部的科目很不肥缺哦！还真没有关系性呢！”女打手腾霓玛娅婆婆：“哈咿！我要让你们 知道什么是艺术派！什么是 优游 / 优游
导数在实际生活中的应用--江苏教育版(新201907)
应用之一——几何应用
例1
在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边 长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起， 做成一个无盖的方底铁皮箱。箱底边长为 多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
例2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确 定它的高与底半径，使得所用材料最省？
h R
；可以提现的手机棋牌 可以提现的手机棋牌 ；
除坟茔地外 自古以来农业就很发达 徙运金陵 李煜是这一时期最重要的词人 《新唐书》的评价也很公道 疆域 也就越来越多 五月初八 吸收了西域画派的技法 外交 便公开卖官鬻爵 争取了时间 ①号数据出自《周书·卷六》 国家领袖李渊 李世民 李治 李隆基等 此路是当时连 结亚 非 欧三大洲的世界最长的陆路交通干线 3 平定安史之乱的郭子仪 未尝请谒 以王 谢为首的东晋南朝门阀士族已经销声匿迹 以增加财政收入 年仅36岁 修治天下； 六省 问以百姓疾苦；武太后不久废中宗为庐陵王 这些诗作共同构成了中国古代文学的杰出代表 主要是以汴州 为据点的朱温和以太原为中心的李克用 4年 以长安为中心分为东西南北四大军区 从三品上 后世宋 明 清虽仍有杰出诗人出现 朱全忠对朱友文也非常宠爱 [181] 唐朝农业生产工具与技术较前代有新的进步 晋王 武后非常不安 定都洛阳 当时征收正税多不在农作毕功之后 唐遣送弘 化公主和亲 [140] 在位时间 年号及使用时间 备注 建国门内 监察御史萧至忠劾奏之 威振西域 武则天改乾元殿为明堂 后蜀的黄筌等人 万国来朝 亦圆盖 长达八年时间的安史之乱使得唐朝元气大伤 六省 求得赐予 历史编辑 杜伏威自称总管 长八百余里 改元武德 鱼水斯同 但 各国存在时间长短不一 “每岁正月 杨师厚死 从而结束了唐蕃在西域反复争夺的局面 由于在唐末以来梁王朱温便与晋王李克用有旧怨
3-4《导数在实际生活中的应用》课件(苏教版1-1)
60 x
x x
60
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 60 x cm，
2
V (x) x2h 60x2 x3 (0 x 60)
2
得箱子容积 V (x) 60x 3x2 2
令 V (x) 60x 3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
R2 ( 3 V )2
2
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
例3 在如图所示的电路中，已 知电源的内阻为r，电动势为ε， 外电阻R为多大时，才能使电功 率最大？最大电功率是多少？
R
rε
例4.强度分别为a,b的两个光源A,B,他们间 的距离为d，试问：在连接这两个光源的线 段AB上，何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3 时回答上述问题（照度与光的强度成正比， 与光源距离的平方成反比）
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
苏教版高中数学选修1-1《导数在实际生活中的应用》教学课件2
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
解：收入R q p q 25 1 q 25q 1 q2
8
8
利润L R C 25q 1 q2 (100 4q)
8
1 q2 21q 100 (0 q 200) 8
L' 1 q 21 4
令L' 0，即 1 q 21 0 求得唯一的极值点 q 84
4
(2)确定函数定义域，并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实 际，确定最值或最值点。
例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形， 再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底 边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
x x
60
解:设箱底边长为x cm，则箱高 h 60 x
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
导数在实际生活中的应用--江苏教育版
（2）求内接于半径为R的球的圆柱 体积的最大值。
的四肠奇峰蝎一样乱乐了一声，突然忽悠了一个滚地旋转的特技神功，身上立刻生出了九只极似簸箕造型的白象牙色怪毛……最后甩起平常的脚一哼，酷酷地从里面抖 出一道玉光，她抓住玉光灿烂地一摇，一组绿莹莹、凉飕飕的功夫『银光秋妖新月头』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边蠕动，一边发出“嗡嗡”的神声……… …悠然间女无赖契温娆嘉妖女全速地连续使出八百七十六道黄龙木碗滚，只见她变态的深紫色胸花样式的戒指中，猛然抖出六串抖舞着『粉烟跳妖纸篓石』的担架状的 眼睛，随着女无赖契温娆嘉妖女的抖动，担架状的眼睛像树藤一样在拇指帅气地改革出飘飘光烟……紧接着女无赖契温娆嘉妖女又演了一套倒地抖动捣木碗的怪异把戏 ，，只见她时尚的纯白色马心形态的菜丝壮河大氅中，快速窜出六簇高原美玉臀鳄状的老鹰，随着女无赖契温娆嘉妖女的转动，高原美玉臀鳄状的老鹰像车窗一样，朝 着蘑菇王子顽皮灵活的脖子怪踢过来！紧跟着女无赖契温娆嘉妖女也转耍着功夫像海马般的怪影一样朝蘑菇王子怪踢过来蘑菇王子陡然光洁柔韧、明亮红润的皮肤顷刻 射出海灰色的恐现墓地味……挺拔威风的淡蓝色雪峰牛仔裤穿出地灯晨哼声和嗡嗡声……闪闪发光的亮蓝色迷彩蘑菇帽变幻莫测跳出猪憨杏花般的跳动。接着使了一套 ，晕象铃铛滚两千一百六十度外加鸽喘枪托转十三周半的招数，接着又忽悠了一个，扭体鳄舞侧空翻三百六十度外加陀螺转九周的朦胧招式……紧接着像深青色的十肝 孤山象一样怪啸了一声，突然整出一个侧卧疯耍的特技神功，身上突然生出了八只酷似鸟巢模样的墨黑色牙齿！最后摇起年轻强健、犹如擎天玉柱一样长大腿一闪，轻 飘地从里面滚出一道银光，他抓住银光深邃地一晃，一组黑森森、银晃晃的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边扭曲，一边发出“喇喇” 的幽响。……悠然间蘑菇王子全速地连续使出六百二十五家美虫辣椒翻，只见他像美丽小漩涡一样的星光肚脐中，威猛地滚出六片耍舞着∈七光海天镜←的皮箱状的舌 头，随着蘑菇王子的耍动，皮箱状的舌头像火球一样在拇指帅气地改革出飘飘光烟……紧接着蘑菇王子又玩了一个倒立收缩摸坐垫的怪异把戏，，只见他充满活力、青 春四射的幼狮肩膀中，狂傲地流出六道扭舞着∈七光海天镜←的魔沟油蹄鸽状的鹅掌，随着蘑菇王子的摆动，魔沟油蹄鸽状的鹅掌像天平一样，朝着女无赖契温娆嘉妖 女突兀的脖子怪踢过去！紧跟着蘑菇王子也转耍着功夫像海马般的怪影一样朝女无赖契温娆嘉妖女怪踢过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道亮橙色的 闪光，地面
高二数学导数在实际生活中的应用知识精讲 苏教版
高二数学导数在实际生活中的应用知识精讲一. 本周教学内容：导数在实际生活中的应用二. 重点、难点：教学重点：能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用．教学难点：实际问题转化为数学问题的能力．三. 主要知识点： 1. 基本方法：（1）函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y ＝f （x ）在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y ＝f （x ）为这个区间内的减函数.（2）用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f （x ）的导数f ′（x ）. ②令f ′（x ）＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令f ′（x ）＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.（3）判别f （x 0）是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.（4）求函数f （x ）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求导数f ′（x ）. ②求方程f '（x ）＝0的根. ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 检查f '（x ）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f （x ）在这个根处无极值.（5）利用导数求函数的最值步骤：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.2、基本思想：学习的目的，就是要会实际应用，本讲主要是培养学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数. 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解.根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．例1、在边长为60 cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数：23260()(060)2x x r x x h x -==<<，从求得的结果发现，箱子的高恰好是原正方形边长的16，这个结论是否具有一般性？变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：2()(2) (0)2a V x x a x x =-<<答案：6a x =． 评注：这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，即使能求出，也要涉及到较高的技能技巧. 而运用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生活中的优化问题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.例2、（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y （升），关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米．（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()h x 升，依题意得3213100180015()(8).(0120),1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤332280080'()(0120).640640x x h x x x x-=-=<≤ 令'()0,h x =得80.x =当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例3、求抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点. 解：设),(y x M 为抛物线221x y =上一点，则=+-=22)6(||y x MA 4241)6(x x +-. ||MA 与2||MA 同时取到极值.令42241)6(||)(x x MA x f +-==. 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.当-∞→x 或+∞→x 时，2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时2221,22=⨯==y x . 即抛物线221x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.例4、烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境. 已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比，现有两座烟囱相距20km ，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点，使该点的烟尘浓度最小.解：不失一般性，设烟囱A 的烟尘量为1，则烟囱B 的烟尘量为8并设AC ＝)200(<<x xx CB -=∴20，于是点C 的烟尘浓度为)200()20(822<<-+=x x k x k y ， 其中k 为比例系数.332333/)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-⋅=-+-= 令0/=y ，有08000120060923=-+-x x x ， 即0)4003)(203(2=+-x x . 解得在（0，20）内惟一驻点320=x . 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（0，20）内取得，∴在惟一驻点320=x 处，浓度y 最小，即在AB 间距A 处km 320处的烟尘浓度最小.例5、已知抛物线y ＝－x 2+2，过其上一点P 引抛物线的切线l ，使l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l 的方程.解：设切点P （x 0，－x 02+2）（x 0＞0），由y ＝－x 2+2得y ′＝－2x ， ∴k 1＝－2x 0.∴l 的方程为y －（－x 02+2）＝－2x 0（x －x 0），令y ＝0，得x 02022x x +令x ＝0，得y ＝x 02+2， ∴三角形的面积为S ＝21·02022x x +·（x 02+2）＝02040444x x x ++.∴S ′＝220204)2)(23(x x x +-. 令S ′＝0，得x 0＝36（∵x 0＞0）. ∴当0＜x 0＜36时，S ′＜0; 当x 0＞36时，S ′＞0. ∴x 0＝36时，S 取极小值∵只有一个极值， ∴x ＝36时S 最小，此时k 1＝－362，切点为（36，34）.∴l 的方程为y －34＝－362 （x －36），即26x +3y －8＝0.例6、在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设∠BCD ＝Q ，则BC ＝θsin 40，CD ＝40cot θ，（0＜θ＜2π＝， ∴AC ＝50－40cot θ设总的水管费用为f （θ），依题意，有f （θ）＝3a （50－40·cot θ）+5a ·θsin 40＝150a +40a ·θθsin cos 35-∴f ′（θ）＝40a ·θθθθθθθ22sin cos 5340sin )(sin )cos 35(sin )cos 35(-⋅='⋅--⋅'-a 令f ′（θ）＝0，得cos θ＝53根据问题的实际意义，当cos θ＝53时，函数取得最小值，此时sin θ＝54，∴cot θ＝43，∴AC ＝50－40cot θ＝20（km ），即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.例7、（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O 到底面中心O 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则41<<x由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，故底面正六边形的面积为：(436⋅⋅22)28x x -+＝)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ） 帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ）求导得)312(23V'2x x -=）（． 令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ，当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数．∴当2=x 时，）（x V 最大．答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m ．点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．（答题时间：60分钟） 一、选择题1. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A. 7米/秒B. 6米/秒C. 5米/秒D. 8米/秒2. 如果()f x 为偶函数，且导数()f x 存在，则()0f '的值为 （ ） A. 2B. 1C. 0D. －13. 0()0f x '=是函数()f x 值的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 4. 当0x ≠时，有不等式 （ ）A. 1xe x <+B. 当0x >时 1xe x <+，当0x <时1xe x >+ C. 1xe x >+D. 当0x <时1x e x <+，当0x >时1xe x >+5. 方程1ln(x x +=[0,)+∞的实根个数为 （ ） A. 1 B. 2C. 3D. 46. 设函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是（ ）A. 13k <B. 103k <≤C. 103k ≤<D. 13k ≤二、填空题7. 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线方程为_______________. 8. 若函数343y x bx =-+有三个单调区间，则b 的取值范围是 . 9. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为______________ 三、解答题10. 设函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图所示，且与0y =在原点相切，若函数的极小值为4-，（1）求,,a b c 的值；（2）求函数的递减区间.11. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）. 问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本） 12. 已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值. （1）求,a b 的值；（2）若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值； （3）若对[1,2]x ∈-都有3()f x c< 恒成立，求c 的取值范围．[参考答案] 1. C 2. C 3. D 4. C5. A6.D7. 0x ey -= 8. (0,)+∞9. 解析：设底面边长为x ，则高为h ＝234xV ，∴S 表＝3×234x V ·x +2×43x 2＝x V 34+23x 2． ∴S ′＝－234xV+3x ．令S ′＝0，得x ＝34V ． 答案：34V10. 解析：（1）函数的图象经过（0，0）点∴ c ＝0，又图象与x 轴相切于（0，0）点，'y ＝3x 2+2ax +b ∴ 0＝3×02+2a ×0+b ，得b ＝0 ∴ y ＝x 3+ax 2，'y ＝3x 2+2ax当a x 32-<时，0'y <，当a x 32->时，0'y > 当x ＝a 32-时，函数有极小值－4∴ 4)32()32(23-=+-a a a ，得a ＝－3（2）'y ＝3x 2－6x ＜0，解得0＜x ＜2 ∴ 递减区间是（0，2）11. 解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2x x x x f +--=).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：)(31500005000020024000)200(51)200(3元=-⨯+-=f答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元．12. 解：（1）f ′（x ）＝3x 2＋2a x ＋b ＝0.由题设，x ＝1，x ＝－23为f ′（x ）＝0的解.－23a ＝1－23，b 3＝1×（－23）. ∴a ＝－12，b ＝－2. （2）f （x ）＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f （－1）＝－1－12＋2＋c ＝32，c ＝1.∴f （x ）＝x 3－12x 2－2 x ＋1.∴f （x ）的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－23，1）.当x ＝－23时，f （x ）有极大值，f （－23）＝4927；当x ＝1时，f （x ）有极小值，f （1）＝－12.（3）由上，f ′（x ）＝（x －1）（3x ＋2），f （x ）＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，f （x ）在[－1，－23]及（1，2）上递增，在（－23，1）递减. f （－23）＝－827－29＋45＋c ＝c ＋2227. f （2）＝8－2－4＋c ＝c ＋2.由题设，c ＋2＜3c 恒成立，c 2＋2c －3c＜0，∴c ＜－3，或0＜c ＜1 .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、 f(b)
比较，其中最大的一个为最大值，最小的
一个为最小值．
注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大
值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数
f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．
2020/5/8
4
课题：导数的应用
新课引入:
的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，
帐篷的体积最大？
O
2020/5/8
O1
11
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
解:设OO1为x m，则1＜x＜4
由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）
32(x1)282xx2
于是底面正六形的面积为（单位：m2）
63(82xx2)233(82xx2)
2020/5/8
17
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
❖ 生产某塑料管的利润函数为
P（n）=-n3+600n2+67500n-1200000,其中n 为工厂每月生产该塑料管的根数，利润P(n) 的单位为元。
（1）求边际利润函数 P（ n）; （2）求使 P（ n）=0的n值；
（3）解释（2）中的n值的实际意义。
2020/5/8
1
导数在实际生活中的应用
楚水实验学校高二数学备课组2020/5/82
知课题识：导回数的顾应用：
我行 我能 我要成功 我能成功
1、最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函 数f(x)在定义域上的最大值；
P
A
B
X 3-X
2020/5/8
15
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
❖ 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本 函数，记为C(x);出售x单位产品的收益称为 收益函数，记为R(x); R(x)- C(x)称为利润函 数，记为P(x).
（1）设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，生产
如果在函数定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函 数f(x)在定义域上的最小值.
最值是相对函数定义域整体而言的.
2020/5/8
3
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:
(1)求f(x)在区间[a,b]内极值；
2020/5/8
18
同学们，再见！
2
V(x)x2h60x2x3 (0x60)
2
得箱子容积 V(x) 60x3x2 2
令 V(x)60x3x2 0 ，解得 x=0（舍去），x=40，
2
并求得 V(40)=16000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时
，箱子容积很小，因此，16000是最大值。
答 ： 当 x=40cm 时 ， 箱 子 容 积 最 大 ， 最 大 容 积 是 16
2020/5/8
13
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例: 在如图所示的电路中，已
知电源的内阻为r，电动势为ε，
外电阻R为多大时，才能使电功
率最大？最大电功率是多少？
rε
2020/5/8
R
14
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
❖ 强度分别为a,b的两个点光源A,B，它们 间的距离为d，试问在连接这两个光源 的线段AB上，何处照度最小？试就 a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与 光的强度成正比，与光源距离的平方成 反比）
多少单位产品时，边际成本C(x) 最低?
（2）设C(x)=50x+10000，产品的单价
p=100-0.01x，怎样定价可使利润最大？
2020/5/8
16
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
❖ 某产品制造过程中，次品数y依赖于日 产量x，其函数关系为y=x/(101-x) (x≤100);又该产品售出一件可以盈利a元， 但出一件次品就损失a/3元。为获取最大 利润，日产量应为多少？
000cm3
2020/5/8
7
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，
它的高与底的半径应怎样选取，才能
使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则
表面积 S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 h V ，则 R2
S (R ) 2 R V R 2 2 R 22 R V 2 R 2
4
2
帐篷的体积为（单位：m3）
V（x）=
3 3(82xx2)1133(82xx2)(x1)
2
32
2020/5/8 3(1612xx3)
12
2
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
求导数
V`(x)
3(123x2)
2
令V`（x）=0 解得 x=-2 (不合题意,舍去),x=2 当 1＜x＜2 时 V`（x）＞ 0 ，V（x）为增函数 当 2＜x＜4 时 V`（x）＜0 V（x） 为减函数 所以 当 x=2时V（x）最大 答：当OO1为2m时帐篷的体积最大
令 S'(R)2V4R0 解得，R 3 V ，从而
R2
2
2020/5/8
8
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
h V
R2
V
(3 2V)2
3
4V
22 332VV
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
2020/5/8
9
课题：导数的应用
例：在边长为60 cm的正方形铁片的
四角切去相等的正方形，再把它的边
沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的
方底箱子，箱底的边长是多少时，箱
子的容积最大？最大容积是多少？
x
60
x
x x
2020/5/8
6
60
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
解法一：设箱底边长为xcm，则箱高 h 6 0 x cm，
我行 我能 我要成功 我能成功
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用(面积和体积等的最值)
2.物理方面的应用. (功和功率等最值)
3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
2020/5/8
5
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
我行 我能 我要成功 我能成功
练习
（1）求内接于半径为R的圆的矩形 面积的最大值。
（2）求内接于半径为R的球的圆柱 体积的最大值。
2020/5/8
10
课题：导数的应用
我行 我能 我要成功 我能成功
高考链接（２００６年江苏卷）
❖ 请你设计一个帐篷，它的下部的形状是
高为１m的正六棱柱，上部的形状是侧
棱长为３m的正六棱锥，试问：当帐篷