3.3函数的基本性质(零点)
函数与函数的零点知识点总结
函数与函数的零点知识点总结函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数一般用f(x)或者y来表示，其中x称为自变量，y称为因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取值的集合。
零点，也称为函数的根或者零，是指函数在一些特定的自变量值下，对应的函数值为0的情况。
即f(x)=0时的x值。
零点是函数图像与x轴的交点。
知识点一：线性函数的零点线性函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的零点可以通过给定y=0来求解方程kx + b = 0，解方程可得x的值，即为线性函数的零点。
知识点二：二次函数的零点二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的零点可以通过求解方程ax^2 + bx + c = 0来得到，解方程的方法一般有因式分解、配方法和求根公式等。
知识点三：多项式函数的零点多项式函数是由一系列单项式相加或相减而得到的函数。
多项式函数的零点是使得函数值等于0的自变量值。
求多项式函数的零点可以通过因式分解，然后将每个因子设置为0，解出自变量的值。
知识点四：无理函数的零点无理函数是指具有无理指数或无理根的函数，常见的无理函数有开方函数、分式函数等。
求无理函数的零点一般通过化简为二次方程或者其他方程，然后求解方程得到。
知识点五：幂函数的零点幂函数是指以幂指数函数为自变量的函数，形如y=x^a，其中a为常数。
幂函数的零点可以通过将幂指数函数设置为0来求解。
当a为偶数时，幂函数的零点只有一个，即x=0；当a为奇数时，幂函数的零点有两个，即x=0和x=-0。
知识点六：三角函数的零点三角函数是一类基本的数学函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数的零点是指函数值等于0的自变量的值。
求三角函数的零点一般通过观察三角函数图像的周期性，找到函数值为0的自变量区间。
综上所述，函数与函数的零点是高中数学中的重要内容。
函数的基本性质 知识总结
《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。
⑴函数单调性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.单调性的等价定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。
《函数的基本性质》知识总结大全
《函数的基本性质》知识总结大全函数的基本性质是数学中非常重要的一部分内容，对于理解和应用函数有着重要的作用。
以下是《函数的基本性质》的知识总结大全：1. 定义域和值域：函数的定义域是指函数可以取值的所有实数的范围，值域是指函数实际取值的范围。
函数的定义域和值域可以用图像来表示。
2. 奇偶性：如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数中的任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
3. 函数的图像：函数的图像是指函数在坐标平面上的显示，可以通过画图来表示函数的特点。
可以通过图像来判断函数的增减性、极值、特殊点等。
4. 单调性：如果函数f(x)在定义域上是递增的，则称函数f(x)为增函数；如果函数f(x)在定义域上是递减的，则称函数f(x)为减函数。
5. 极值：如果函数在某一点上的函数值比它邻近的点上的函数值都大（或小），则称这个点为函数的极大值点（或极小值点）。
极大值和极小值统称为极值。
6. 零点：函数的零点是指函数在定义域上满足f(x) = 0的实数x的值。
7. 对称轴：如果函数的图像关于某一直线对称，则这条直线称为函数的对称轴。
8. 周期性：如果函数f(x)在一个定义域上的每一个x都有f(x+T) = f(x)成立，其中T>0，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期。
9. 常用函数：常用函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，这些函数有着特殊的性质和应用。
10. 复合函数：复合函数是指由两个函数构成的新函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。
复合函数的求值需要按照函数的定义进行计算。
03 函数的基本性质
1）f(x) x 和g(x) x 2 , 2）f(x) 1和g(x) x 0 3）f(x) x3 和g(x) x 3 x3 , 4）f(x) x和g(t) t 2 x 3
2、求下列函数的定义域：来自y2 x ，y x4
3x 4 1 2 x y ，y y 5 x x 2 ( x 1)0 2 2x 3 4x x4 3x 2 x 1
x 1(x 0 ) 1、 f(x) 0(x 0 ) ，（1）求 f（-3），f（f（1）） x 1(x 0 )
2、下列各图中能表示函数的是
（2）画出函数图像
（
）
3、 （）已知 1 f x x 2 1,求f 1 , f 2 , f a 2 1 的值
2
所需时间 t 表示成 v 的函数 3、已知 2005 年底上海市老年人口达 609.35 万，设老年人口的年平均增长率为 x%，2015 年底上海市老年人 口数为 y 万，试用解析式将 y 表示 x 的函数 【思考与提高】
2 1、设 , 是关于 x 的方程 x 22 x m 0 的两个实数根，将 表示为 m 的函数
§1 数学中的函数关系
2）设变量，列出等量关系。 4）根据问题的实际意义给出函数的定义域。
1、如图，一个边长为 a、b（b<a)的长方形被平行于边的两条直线所分割，其中长方形的左上角是一个边长为 x 的正方形，试用解析式将图中阴影部分的面积 S 表示成 x 的函数
2、
如图，有一圆柱形的无盖杯子，他的内表面积是100(cm2 ), 试用解析式将杯子的容积V(cm 3 )表示成底内半径x的(cm)的函数
1 x
3x 2 4( x 0) 4、（1） f ( x) 2( x 0) ,求f (2), f (1), f (0), 值域和定义域 3x 2 4( x 0) x 2( x 1) （2） f ( x) x 2 (1 x 2), 则当x 时，f ( x) 3 2 x( x 2)
高中数学必修一函数零点知识点总结
高中数学必修一函数零点知识点总结函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，也就是函数使得y=0的x值。
函数零点是函数的重要特征之一，对于数学问题的解决有着重要的意义。
本文将会对于高中数学必修一中的函数零点知识点进行总结和归纳，目的是帮助大家更好的理解和掌握这一知识点。
一、函数零点的基本概念在高中数学必修一中，我们首先需要了解函数和零点的基本概念。
1.函数函数是一种映射关系，通常用f(x)表示。
f(x)代表的是自变量x 经过一个映射后得到的因变量y。
2.零点零点是指函数图像与x轴交点的横坐标，即函数使得y=0的x 值。
二、函数零点的求解方法了解了基本的概念后，下一步就是了解函数零点的求解方法。
通常用以下几种方法进行求解：1.图像法用函数的图像上的交点来确定零点的大致位置。
这是一种较为直观的方法，但是可能存在误差。
2.代数法代数法是计算函数表达式的零点。
对于一次函数，可以通过解一元一次方程的方法求解零点；对于高次函数，可以使用因式分解再使用一元高次方程求解零点。
3.牛顿迭代法牛顿迭代法是利用导数求得函数的切线，再求得切线与x轴的交点，作为函数零点的估算值，通过反复迭代不断无限接近真实的零点。
三、函数零点的意义函数零点的意义不仅仅是代表交点的横坐标，而且它还有许多重要的实际意义。
1.解方程函数零点可以帮助我们解出方程，对于很多实际问题，都可以通过建立函数模型，然后求出函数的零点来解决问题。
2.最优解函数的零点常常代表着一些最优解。
例如，在一段时间内销售收入为0的时间点可能是关键节点，需要重点关注。
3.寻找某些性质在研究函数性质的过程中，函数的零点也具有重要的作用。
比如，函数在零点处是否有极大值或者极小值等。
四、函数零点的应用函数零点在实际应用中也有着广泛的应用。
1.物理学应用物理学中的许多问题都可以通过建立函数模型求解。
例如，简谐运动的周期、波浪的速度等等，都需要求解函数的零点。
2.经济学应用函数零点可以帮助我们优化经济模型，例如，一些变量的收益和成本之间的平衡点可以通过函数零点来寻找。
2023年高考数学客观题专题六 函数与导数
2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称
函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数则
称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
A∩B= (
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
【答案】D
【解析】由题意得x-1>0,解得x>1,则集合B={x|x>1}.
而集合A={x|-1≤x≤2},
于是A∩B={x|1<x≤2}.故选D.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
1
D.-4
)
3.若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=
【答案】-3
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1)=3.
y=f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-3.
.
1
4.函数f(x)=ln(+1)+
4 − 2 的定义域为
(
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即
存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;
《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。
函数零点的性质及应用
函数零点的性质及应用函数的零点指的是函数的图像与x轴（或称为横轴）相交的点，在数学中也被称为函数的根、解或交点。
零点的性质及其应用广泛存在于数学、物理、工程等各个领域，下面将从数学的角度来探讨函数零点的性质及应用。
一、函数零点的性质：1. 零点的存在性：函数存在零点的条件是函数的图像与x轴相交，即f(x) = 0。
对于连续函数而言，根据介值定理，如果函数在闭区间[a, b]上有不同的符号，即f(a)f(b) < 0，则在[a, b]上一定存在一个实数c，使得f(c) = 0，即函数在[a, b]上一定存在一个零点。
2. 零点的唯一性：对于单调函数而言，如果函数在某个区间上是单调递增（递减）的，那么这个函数在该区间上的零点是唯一的。
特别地，对于严格单调递增（递减）的函数，其零点一定只有一个。
3. 零点的重数：零点的重数指的是函数在该零点处连续的次数，也叫做该零点的重子数。
常见的有一重零点、二重零点等。
如果一个函数在某个点x=a处的导数为0，且导数的导数在该点不为0，则称x=a是函数的二重零点。
4. 零点的性质：函数的零点是函数图像与x轴的交点，因此在零点处，函数的取值为0。
而在零点附近，函数的取值可能会从负数变成正数或从正数变成负数，因此可以利用函数的零点来确定函数表达式的变号区间。
此外，零点还可以用来求解函数的方程，即通过求解f(x)=0来确定x的值。
二、函数零点的应用：1. 方程的求解：函数的零点在求解方程中有很重要的作用。
通过求解f(x)=0，可以将一个方程转化为一个函数的零点问题，从而可以利用函数零点的性质来解决方程。
例如，求解一元二次方程ax^2+bx+c=0可以转化为求解函数f(x)=ax^2+bx+c的零点问题。
2. 函数图像的描绘：函数的零点是函数图像与x轴相交的点，因此可以通过求解函数的零点来确定函数图像的交点。
通过绘制函数的零点，可以更加清晰地了解函数的增减性、拐点、极值等信息。
高中数学：函数的基本性质
⾼中数学：函数的基本性质⼀、知识点1、函数（1）了解构成函数的要素，会求⼀些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的⽅法（如图象法、列表法、解析法）表⽰函数．（3）了解简单的分段函数，并能简单应⽤．（4）理解函数的单调性、最⼤（⼩）值及其⼏何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．（5）会运⽤函数图象理解和研究函数的性质．2、指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景．（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．（3）理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点．（4）知道指数函数是⼀类重要的函数模型．3、对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道⽤换底公式能将⼀般对数转化成⾃然对数或常⽤对数；了解对数在简化运算中的作⽤．（2）理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点。
（3）知道对数函数是⼀类重要的函数模型．（4）了解指数函数与对数函数互为反函数．4、幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数的图象，了解它们的变化情况．5、函数与⽅程（1）结合⼆次函数的图象，了解函数的零点与⽅程根的联系，判断⼀元⼆次⽅程根的存在性及根的个数．（2）根据具体函数的图象，能够⽤⼆分法求相应⽅程的近似解．6、函数模型及其应⽤（1）指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．（2）函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）在社会⽣活中普遍使⽤的函数模型）的⼴泛应⽤．⼆、点拨：1、关于映射和函数的基本概念在应⽤时应注意把重点放在它们的⼏个要素上，从定义⼊⼿，其规律⽅法是：（1）映射的定义是有⽅向性的，即从集合A到B与从集合B到A的映射是两个不同的映射，映射是⼀种特殊对应关系，只有⼀对⼀、多对⼀的对应才是映射。
（2）函数的定义有两种形式，都描述了定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。
《32函数的基本性质》教研教案教学设计
《32函数的基本性质》教研教案教学设计一、教学目标1.理解函数的定义和表示方法。
2.掌握函数的基本性质。
3.能够应用函数的性质解决实际问题。
二、教学重点1.函数的定义和表示方法。
2.函数的基本性质。
三、教学难点1.函数的定义和表示方法的理解和应用。
2.函数的性质的理解和应用。
四、教学内容与过程1.预习导入（10分钟）-引导学生回顾函数的定义和表示方法，并简要复习函数的基本性质。
-提问：函数的定义是什么？函数有哪些表示方法？函数的基本性质有哪些？2.理论学习（30分钟）-讲解函数的定义和表示方法：-函数的定义：函数是一个集合，它由一个自变量集合、一个因变量集合和一个对应关系组成。
其中，自变量集合中的每个元素只能和因变量集合中的一个元素对应。
-函数的表示方法：方程表示法、图像表示法、映射表示法等。
-讲解函数的基本性质：-单调性：函数在定义域上的任意两个元素的对应值之间的大小关系不变。
-奇偶性：函数的奇偶性与函数的对称性有关，可通过函数的对称轴和图像的对称性来确定函数的奇偶性。
-周期性：函数的周期性表示函数的图像在一定的横坐标上有规律地重复出现。
-最值和增减性：函数图像在一定范围内是否有最大值、最小值以及函数的增减情况。
-零点和方程的解：函数的零点是函数在定义域上使得函数值为零的自变量值，根据函数的定义域和图像可以求解方程。
3.实例分析（30分钟）-提供一些函数实例，引导学生分析函数的性质。
-案例一：已知函数f(x)在区间[0,2π]上单调递增，并且f(0)=0，f(π)=1，求f(x)的表达式。
-案例二：已知函数g(x)=x^2-4x+3在区间[-1,5]上单调递增，求g(x)的零点和最值。
4.练习巩固（20分钟）-给出一些综合性的练习题，让学生应用函数的性质解答。
-练习题一：已知函数h(x)=2x+1，求h(x)在区间[-2,3]上的图像。
-练习题二：已知函数k(x)在区间[-π,π]上的零点为x=-π/2，x=0，x=π/2，求k(x)的表达式。
3.4 函数的基本性质——最值和零点
3.4 函数的基本性质——最值和零点【知识解读】1、函数的最值：设函数D x x f y ∈=),(，D x ∈0。
若对于任意D x ∈，成立)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为函数)(x f 的最大值，记作)()(0max x f x f =；若对于任意D x ∈， 成立，那么称)(0x f 为函数)(x f 的最小值，记作)()(0min x f x f =2、函数的零点：设函数D x x f y ∈=),(，若存在实数D c ∈，满足0)(=c f ，那么就称c x =叫做函数)(x f 在D 上的一个零点。
*3、零点存在定理，二分法：设)(x f 是],[b a 上的连续函数（即图像是一条不间断的连续曲线），若0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 在],[b a 上至少存在一个零点。
求零点的近似值通常可以用二分法。
【例题讲解】例1、求下列二次函数的最大值或者最小值：（1）1322+-=x x y （2）322++-=x x y例2、分别求函数1322+-=x x y 在区间]2,1[和]1,1[-上的最大值或最小值。
例3、求函数⎪⎩⎪⎨⎧-<--≤≤-->-=1,111,11,1)(2x x x x x x x f 的最大值或最小值。
例4、求下列函数值域（1）]2,0()0,1[,2)( -∈=x x x f （2）12)(--=x x x f（3）]4,1(,1)(∈-=x x x x f （4）112)(-+=x x x f（5）)1(,13)(2>-+=x x x x f （6）]2,1[,21)(22∈+-=x x x x x f例5、已知函数b kx x f +=)(在区间]7,1[-上的最大值为13，最小值为－3，求b k ,的值例6、求函数m mx x x f +-=2)(2在区间]3,1[上的最小值。
例7、求函数22)(2+-=x x x f 在区间)0](,0[>m m 上的最大值。
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数零点的定义函数零点：对于函数f(x)f(x)f(x)，如果存在某个实数ccc使得f(c)=0f(c) = 0f(c)=0，则称ccc为函数f(x)f(x)f(x)的零点。
二、函数零点与方程根的关系函数零点与方程的关系：函数f(x)f(x)f(x)的零点就是方程f(x)=0f(x) = 0f(x)=0的实数根。
方程的根与函数图像的关系：方程的根对应于函数图像与xxx轴的交点的横坐标。
三、函数零点的求法直接法：对于简单的函数或方程，可以直接通过代数运算求得零点。
图形法：通过绘制函数的图像，观察图像与xxx轴的交点来确定函数的零点。
数值法：对于复杂函数，可以利用数值方法（如二分法、牛顿法等）来近似求解函数的零点。
四、函数零点的性质零点存在性定理：如果函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a, b][a,b]上连续，且f(a)⋅f(b)<0f(a) \cdot f(b) < 0f(a)⋅f(b)<0，则函数f(x)f(x)f(x)在区间(a,b)(a, b)(a,b)内至少存在一个零点。
零点个数定理：根据函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，可以判断函数零点的个数。
五、函数零点与函数图像的关系函数零点与函数图像的变化趋势：函数在零点处的取值由正变负或由负变正，反映了函数图像在零点处的穿越xxx轴的情况。
六、应用实例通过求解函数的零点来解决实际问题，如求解物理、化学等领域中的方程或不等式。
综上所述，函数的零点知识点涉及定义、与方程根的关系、求法、性质以及与函数图像的关系等多个方面。
掌握这些知识点有助于深入理解函数的性质和行为，并应用于实际问题的求解中。
考点34 零点定理(解析版)
考点34 零点定理一．函数的零点（1）零点的定义：对于函数y ＝f （x ），我们把使f （x ）＝0的,实数x 叫做函数y ＝f （x ）的零点． 函数的零点不是函数y=f(x)与x 轴的交点，而是y=f(x)与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数（2）零点的几个等价关系：方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点． 二．函数的零点存在性定理1.如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ⇔（a ，b ），使得f （c ）＝0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件考向一 求零点【例1】（2021·全国课时练习）函数()ln f x x x =的零点为（ ） A ．0或1 B ．1C ．()1,0D ．()0,0或(()1,0【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，令()ln 0f x x x ==，得1x =，零点不是点，CD 错误，故选：B.知识理解考向分析【举一反三】1．（2021·上海市西南位育中学=）函数256y x x =-+的零点是___________. 【答案】2x =和3x =【解析】令y =0，即2560x x -+=，解得：2x =和3x =故答案为：2x =和3x =2．（2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考（理））函数256y x x =--的零点是__________. 【答案】6或-1【解析】解方程()()260561x x x x --=+=-得6x =或1x =-.所以函数256y x x =--的零点是6或-1.故答案为：6或-1.考向二 零点区间【例2】（2021·四川高一开学考试）函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】B【解析】由于函数xy e =、123y x =-均为R 上的增函数，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 因为()010f =-<，()11203f e =+->，则()()010f f ⋅<.因此，函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为()0,1.故选：B. 【举一反三】1．（2021·安徽省泗县第一中学）函数()123log 4xf x x =-++的零点所在的区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】易知函数()123log 4xf x x =-++在()0,∞+上为减函数， ()110f =>，()260f =-<，则()()120f f ⋅<，因此，函数()f x 的零点所在的区间为()1,2.故选：C. 2．（2021·浙江开学考试）函数()26log f x x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】D【解析】由题意，函数()26log f x x x=-，可函数()f x 为定义域上的单调递减函数， 又由()()22332log 30,4log 402f f =->=-<，即()()340f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得函数()f x 的零点所在的区间是()3,4.故选：D. 3．（2021·内蒙古包头市）函数()3xf x x e =+的零点所在区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B【解析】函数()3xf x x e =+为R 上的增函数，且()2260f e--=-+<，()1130f e --=-+<，()010f =>，()()100f f ∴-⋅<，因此，函数()3x f x x e =+的零点所在区间为()1,0-.故选：B.考向三 零点的个数【例3】（2021·云南高三其他模拟）函数()13sin f x x =-在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()0f x =，得1sin 3x =，作出函数sin y x =在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示，因为511sin623π=>， 所以由图可知直线13y =与图象有3个交点，从而()f x 在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个零点.故选：B【例3-2】（202112log x =的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B 【举一反三】1．（2021·云南昆明市）已知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 在[0,]π上的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由23x k ππ+=得,26k x k Z ππ=-∈， 又[0,]x π∈，∴3x π=或56π，共2个．故选：C ． 2．（2021·云南丽江市·丽江第一高级中学）函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由21|log |02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 作出函数2log y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图形如图，由图可知，函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是2．故选：C ．3（2021·江西吉安市）函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】函数21()ln 20202f x x x =+-的定义域为()0,∞+， 因为函数21ln 20,022y y x x ==-在()0,∞+上递增， 所以()f x 在()0,∞+上递增， 又1(1)20200,(2020)10092020ln 202002f f =-<=⨯+>， 由零点存在定理得：函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是1个数，故选：C 4．（2021·北京高三期末）已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则函数()2xy f x =-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令()20xf x -=，得()2xf x =，则函数()2xy f x =-的零点个数等价于函数()f x 与函数2xy =的图象的交点个数，2,021,02x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数()f x 与函数2xy =的图象如下图所示：由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数()2xy f x =-的零点个数为2.故选：C.1．（2021·陕西西安市·高三月考（文））函数21()12x f x x =--的零点的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】21()012x f x x =-=-，2210x x --=，1x =1x =()0f x =的解，()f x 有两个零点．故选：B ．2．（2021·湖北开学考试）函数()lg(1)3f x x x =+--零点所在的整区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且()210f =-<，()3lg20f => 所以零点所在的区间是()2,3，故选：C ．强化练习3．（2021·四川资阳市）方程24x x +=的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-<，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.4．（2020·全国课时练习）函数()()ln 11f x x x =+-+在下列区间内一定有零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[]3,4【答案】C【解析】因为函数()()ln 11f x x x =+-+连续，且()()22ln31ln 10,3ln 42ln 20f e f e =->-==-<-=，所以在区间[]2,3内一定有零点，故选：C5．（2021·广西河池市=）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）．A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，131111ln 21ln 21ln 2ln 0222222f ⎛⎫=-<--=-<-=-= ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.6．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数()()1,02ln ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ． 4【答案】C【解析】令()f x t =，当()0f t =时，解得12t =或1t =-. 在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y =-，12y =的图象如图所示，观察可知，()y f x =与1y =-有1个交点，()y f x =与12y =有2个交点，则()()y f f x =的零点个数为3. 故选：C.7．（2021·北京丰台区）已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，令()0f x =，当0x ≤时，220x x -=，解得：0x =或2x =（舍去）； 当0x >时，110x-=，解得：1x = 所以()0f x =有2个实数解，即函数()f x 的零点个数为2个.故选：C. 8．（2021·山西吕梁市）函数()1542xf x x =+-的零点[]01,x a a ∈-，*a ∈N ，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】已知()115042=+-<f ，()124502=+-<f ；()338504=+->f ，所以()2(3)0⋅<f f ，可知函数零点所在区间为[]2,3，故3a =.故选：C.9．（2021·安徽高三期末（文））设函数3()sin log f x x x =-，0.5()3log xg x x =-，0.5()sin log h x x x=-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >>D ．a b c >>【答案】A【解析】设函数1()sin f x x =，23()log f x x =，30.5()log f x x =，4()3xf x =，则a 是1()f x 与2()f x 图象交点的横坐标，b 是3()f x 与4()f x 图象交点的横坐标，c 是1()f x 与3()f x 图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 的图象，如图所示．由图可知a c b >>． 故选：A10．（2021·山东威海市·高三期末）若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞【答案】B【解析】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=-()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B11．（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ，则0x 所在区间为（ ） A ．31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()39x f x x =+-在R 上单调递增，323315390222f ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，525513390222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可得()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一零点，035,22x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.12．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 方程()f x m =恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m =恰有三个不同的实数解，即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 如图，()112f -=， 当112m ≤<时，函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 故选：D13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()3,4 B ．()2,eC ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】因为()21ln 201f =-<，()22ln 302f =->，且函数f （x ）在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选：C14．（2021·兴宁市第一中学高三期末）若00cos x x =，则（ ） A ．0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ B ．0,43x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．0,64x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ D ．00,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设函数()cos f x x x =-，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()010,0,066442f f f ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=<=->⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 10,033222f f ππππ⎛⎫⎛⎫=->=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以有064f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,064332f f f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅>⋅>⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以由零点存在性定理可知函数()f x 的一个零点位于,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C15．（2021·上海）已知函数1()1f x a x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】01a <<【解析】画出函数11y x =+的图象如下：函数1()1f x a x =-+有两个零点等价于函数11y x =+的图象与直线y a =有两个交点 所以01a <<故答案为：01a <<16．（2021·全国=课时练习）函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩零点的个数为___________.【答案】2【解析】当0x ≤时，令()0f x =，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）； 当0x >时，令()0f x =，即2ln 0x -+=，解得2x e =， 所以函数()f x 有两个零点. 故答案为：2.17．（2021·贵州毕节市）函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是________.【答案】2【解析】当0x ≤时，由230x -=解得x = 当0x >时，由ln 0x =解得1x =，所以函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是2故答案为：218．（2020·云南师大附中高三月考（文））函数()ln f x x =的零点个数为__________． 【答案】2【解析】令ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．故答案为：2.。
函数的基本性质(单元教学设计)高中数学人教A版2019必修第一册
《函数的基本性质》单元教学设计一、内容和及其解析（一）内容函数的单调性；函数的最大值、最小值；函数的奇偶性.（二）内容解析1. 内容本质变化中的不变性是性质，变化中的规律性也是性质．函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型，因此，我们可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物变化的规律．高中阶段研究的函数性质有：单调性、最大（小）值、奇偶性、周期性、函数的零点、增减的快慢等.本节研究函数的单调性、最大（小）值、奇偶性．单调性是函数最重要的性质，刻画了函数值y随自变量x增大而增大或减小的变化趋势，绝大多数函数都具有单调性.函数的最大（小）值与函数的单调性有着密切的联系．通常，知道了函数的单调性，就能较方便地确定函数的最大（小）值，因此，求解函数的最大（小）值一般需要先判断函数的单调性.函数的奇偶性是一种特殊的对称性．如果函数具有奇偶性就能将研究函数的“工作量”减半．函数的单调性是函数的局部性质，函数的奇偶性和最大（小）值都是函数的整体性质．函数的单调性、最大（小）值、奇偶性的定义，都是在分析函数图象特征的基础上，利用代数运算对其进行定量刻画，进而用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质．2.蕴含的思想方法在函数性质概念形成的过程中，从图象特征到形式化定义，从形到数，蕴含着数形结合的思想．从几个特殊函数出发，归纳出共同特征，再概括形成函数的一般性质，这是特殊到一般的研究方法．利用定义证明具体函数性质的过程，最后形成标准化的求解步骤，蕴含着算法思想．3.知识的上下位关系函数的“集合——对应说”，并用抽象符号f（x）表示函数，为用严格的数学符号语言精确刻画函数的性质奠定了基础．函数的概念与性质这部分内容，先从一般性角度研究函数概念及其性质，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用．为后续研究基本初等函数、数列、导数及其应用、概率的基本性质、随机变量等内容提供了依据．4. 育人价值在函数性质概念形成的过程中，从特殊到一般，从直观到抽象，有利于发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养；在利用定义判断或证明具体函数性质的过程中，有利于发展学生逻辑推理、数学运算的核心素养．5.教学重点用符号语言表示函数的单调性、奇偶性，用定义法证明函数的单调性、用定义法判断函数的奇偶性.二、目标及其解析（一）目标1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.（二）目标解析达成上述目标的标志是：1.在从图象直观到自然文字语言描述再到符号语言表达函数单调性的过程中，能感悟引入符号表示“12,x x D ∀∈”的作用和力量，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”的方式进行表达.2.会用符号语言正确表达函数的单调性、最大（小）值，并能说出“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，知道函数单调性和最大（小）值的现实意义.能说出判断函数单调性的基本步骤，会用函数单调性的定义证明函数的单调性.能说出求函数最大、最小值的基本步骤，会用函数最大值、最小值的定义求最值，能说明最值与单调性之间的关系.3.能类比单调性的定义的学习过程，用符号语言表达函数的奇偶性，并说明偶（奇）函数的定义与函数图象关于y 轴（原点）对称之间是等价的.知道判断函数奇偶性的基本步骤，会用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.三、教学问题诊断分析1.问题诊断及破解方法（1）函数单调性的符号语言描述的构建.学生在初中学习一次函数、反比例函数、二次函数时已经会从图象的角度观察“从左到右图象上升”“从左到右图象下将”的变化趋势，并且会用文字语言“y 随x 的增大而增大或减小”描述这种变化规律，而本单元需要将自然语言转化为符号语言：12,x x D ∀∈，当12x x <，都有()()12f x f x <（或()()12f x f x >），则称函数()f x 在区间D 上的单调递增（或递减），这样的语言学习是学生第一次接触，对学生而言是一个很大的难点.破解方法：从某种意义上来讲，这也属于语言的学习，可以遵循“示范—模仿—熟练运用”的学习规律．在教学中，以初中学习过的具体函数为载体，老师示范如何完成图形语言——自然语言——符号语言的转化，进而用符号语言完整表达函数的单调性，再让学生模仿．在具体函数中熟练掌握符号语言的表达方式的基础上，再给出函数单调性严格的定义．最后，在用定义证明具体函数单调性的过程中，进一步让学生理解符号语言.（2）利用定义证明函数的单调性.学生刚开始证明函数单调性时，会出现不作差，直接写出函数值大小关系或者变形不充分就做判断的情况，这是因为学生对证明的每一步依据的“大前提”模糊导致的，经常出现依据函数单调性证明函数单调性的状况．破解方法：教学中先利用简单的具体函数的单调性证明问题，帮助学生理解代数变形的必要性，然后进一步梳理证明的步骤，总结变形的基本方法，逐步学会函数单调性的代数证明.（3）最大（小）值概念的理解．对于最大（小）值的概念，学生往往对条件“0x I ∃∈，使得()0f x M =”的必要性的理解会存在一些困难.破解方法：在教学中，可以给出丰富而典型的数学情境，给出正例和反例，让学生归纳最值的本质特征，体会“∀”和“∃”这两方面的条件缺一不可.也可以结合基本不等式求最值的问题进行解释．2.教学难点用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值；利用定义证明函数的单调性.四、教学支持条件函数的性质指的是在变化过程中的不变性和规律性，所以要借助信息技术绘制函数图象，将静态的图象进行动态演示，展示函数值随自变量变化而变化的情况.五、课时分配本单元分3课时.第1课时，函数的单调性；第2课，函数的最大值、最小值；第3课时，函数的奇偶性.。
函数的基本性质(含答案)
年级：高一辅导科目：数学课时数：3
课题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学内容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
若f（x）的定义域为［－1，0］时，值域也是［－1，0］，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.
解：∵函数图象的对称轴是
x=－ ，又b≥0，∴－ ≤－ .
设符合条件的f（x）存在，
①当－ ≤－1时，即b≥1时，函数f（x）在［－1，0］上单调递增，则
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
②当－1＜－ ≤－ ，即0≤b＜1时，则
（舍去）.
综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x.
例4、设f（x）是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意a、b∈［－1，1］，当a+b≠0时，都有 ＞0.
（1）若a＞b，比较f（a）与f（b）的大小；
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将一个集合的元素（称为自变量）映射到另一个集合的元素（称为因变量）的规则或方法。
形式上，函数可以表示为f: X → Y，其中 X 是自变量的集合，Y 是因变量的集合，f 是一个特定的规则或方法。
1.2 函数的性质（1）定义域和值域：对于函数f: X → Y，定义域是指所有可能的自变量的取值集合，而值域是指所有可能的因变量的取值集合。
（2）单调性：函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。
一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。
（3）奇偶性：对于函数 f(x)，如果 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
（4）周期性：如果存在一个正数 T，使得对于任意的 x，有 f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T 称为该函数的周期。
（5）连续性：如果一个函数在某个区间上具有连续性，即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z，使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间，那么该函数在这个区间上是连续的。
（6）可导性：如果一个函数在某一点处具有导数，那么称该函数在该点可导。
二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。
形式上，如果 f(a) = 0，那么 a 就是函数 f 的一个零点。
2.2 求解零点的方法对于一般的函数，其零点通常需要通过特定的方法来求解，以下是一些常用的方法：（1）代数法：对于一些简单的函数，可以通过代数运算将函数转化成方程，然后直接求解方程来得到零点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，可以直观地看出函数的零点。
（3）数值法：对于复杂的函数，可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点，如二分法、牛顿迭代法等。
（4）分析法：对于一些特殊函数，可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。
三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。
函数的基本性质(含答案)
x＋ ≥2 ＝ （当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知 是定义 上的奇函数，且 在 上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年 级： 高一辅导科目： 数学 课时数：3
课 题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.
函数与函数的零点知识点总结
函数及函数的零点有关概念函数的概念：设A 、B 是非空的数集;如果按照某个确定的对应关系f;使对于集合A 中的任意一个数x;在集合B 中都有唯一确定的数fx 和它对应;那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=fx;x ∈A ．其中;x 叫做自变量;x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值;函数值的集合{fx| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 一函数三要素1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.. 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：1分式的分母不等于零； 2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必须大于零；4指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 5指数为零底不可以等于零.. 6如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么;它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.7三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈.8实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义;还要保证实际问题或几何问题有意义.9以上这些在题目中都没出现;则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=fuu ∈M;u=gxx ∈A;则 y=fgx=Fxx ∈A 称为f 、g 的复合函数.. 1已知fx 的定义域是a;b;求fgx 的定义域;是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围；2已知fgx 的定义域是a;b;求fx 的定义域;是指在[,]x a b ∈的条件下;求gx 的值域；3 已知fgx 的定义域是a;b;求fhx 的定义域;是指在[,]x a b ∈的条件下;求gx 的值域;gx 的值域就是hx 的值域;再由hx 的范围解出x 即可.. 2.求函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法3.值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法1、图像法；2、层层递进法；3、分离常数法；4、换元法；5、单调性法；6、判别式法；7、有界性；8、奇偶性法；9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 二分段函数问题1：已知定义域求值域问题代入法 2：已知定义域求值域问题代入法 3.分段函数解析式的求法 要点2．函数的性质 一函数的单调性局部性质： 1.函数单调性的判定A 定义法：定义1：设函数y=fx 的定义域为I;如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1;x 2;当x 1<x 2时;都有fx 1<fx 2;那么就说fx 在区间D 上是增函数.区间D 称为y=fx 的单调增区间.. 等价定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么：[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.定义2．设函数)(x f y =在某个区间内可导;如果0)(>'x f ;则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ;则)(x f 为减函数. B 图象法从图象上看升降2.函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：错误! 任取x 1;x 2∈D;且x 1<x 2；错误! 作差fx 1－fx 2；错误! 变形通常是因式分解和配方；错误! 定号即判断差fx 1－fx 2的正负；错误! 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性．B 图象法从图象上看升降C 复合函数的单调性复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ;y=fu 的单调性密切相关;其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ;不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. D 导数法2函数的单调区间3利用函数单调性解不等式;比较大小;求参数的值或取值范围及最值问题1. 比较大小2.最值3.参数范围问题4.解不等式4抽象函数的单调性5.函数单调性的常用结论：1、若(),()+在这个区间上也为增减函f xg xf xg x均为某区间上的增减函数;则()()数2、若()-为减增函数f x为增减函数;则()f x3、若()f x与()g x的单调性f x与()=是增函数；若()y f g xg x的单调性相同;则[()]不同;则[()]=是减函数..y f g x4、奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反..5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象..二函数的奇偶性整体性质：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化;特别注意“奇函数若在x＝0处有定义;则一定有f0＝0;偶函数一定有f|x|＝fx”在解题中的应用．1函数奇偶性的判断1.1一般函数奇偶性的判断1.定义:偶函数一般地;对于函数fx的定义域内的任意一个x;都有f－x=fx;那么fx就叫做偶函数．奇函数一般地;对于函数fx的定义域内的任意一个x;都有f－x=—fx;那么fx就叫做奇函数．2.性质：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称;反过来;如果一个函数的图象关于原点对称;那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称;那么这个函数是偶函数．3.利用定义判断函数奇偶性的步骤：错误!首先确定函数的定义域;并判断其是否关于原点对称；错误!确定f－x与fx的关系；错误!作出相应结论：若f－x = fx 或 f－x－fx = 0;则fx是偶函数；若f－x =－fx 或 f－x＋fx = 0;则fx是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称;若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称;1再根据定义判定; 2由 f-x±fx=0或fx／f-x=±1来判定; 3利用定理;或借助函数的图象判定 .1.2分段函数奇偶性的判断方法：图像法、定义法注意带人2利用奇偶性求函数的解析式注意带入3抽象函数奇偶性的证明4函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在0x=处有定义;则(0)0=既是奇函y f xf=;如果一个函数()数又是偶函数;则()0f x=反之不成立2、两个奇偶函数之和差为奇偶函数；之积商为偶函数..3、一个奇函数与一个偶函数的积商为奇函数..4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数;只要其中有一个是偶函数;那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时;该复合函数是奇函数..5、若函数)(x f y =是偶函数;则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数;则)()(a x f a x f +-=+.6、若函数()f x 的定义域关于原点对称;则()f x 可以表示为11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--;该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和.. 三函数的周期性几个函数方程的周期约定a>0 1)()(a x f x f +=;则)(x f 的周期T=a ； 20)()(=+=a x f x f ;或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ;或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠;或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈;则)(x f 的周期T=2a ； 3)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ;则)(x f 的周期T=3a ；4)()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<;则)(x f 的周期T=4a ；5()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++;则)(x f 的周期T=5a ；6)()()(a x f x f a x f +-=+;则)(x f 的周期T=6a.要点3．函数的图象1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质;善于利用函数的性质来作图;要合理利用图象的三种变换．2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时;要注意用好其与图象的关系、结合图象研究． 一图像变换问题 1 画法 A 、描点法：B 、图象变换法常用变换方法有三种:1平移变换;2伸缩变换;3对称变换; 二图像识别问题 要点4．二次函数一闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得;具体如下：1当a>0时;若[]q p a bx ,2∈-=;则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=;{}max max ()(),()f x f p f q =;{}min min ()(),()f x f p f q =. 2当a<0时;若[]q p a b x ,2∈-=;则{}min ()min (),()f x f p f q =;若[]q p abx ,2∉-=;则{}max ()max (),()f x f p f q =;{}min ()min (),()f x f p f q =. 二二次函数的移轴问题 1定区间动轴 2定轴动区间 3轴动区间动三一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <;则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(;则1方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；2方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；3方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .四.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据1在给定区间),(+∞-∞的子区间L 形如[]βα,;(]β,∞-;[)+∞,α不同上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥t 为参数恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.2在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤ t 为参数恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.30)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.五二次函数的奇偶性 要点5.基本初等函数 一、指数函数一指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地;如果a x n =;那么x 叫做a 的n 次方根;其中n >1;且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0;记作00=n ..当n 是奇数时;a a n n =;当n 是偶数时;⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义;规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ;)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm◆ 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质1ra ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； 2rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；3s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．二指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地;函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数;其中x 是自变量;函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围;底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质注意：利用函数的单调性;结合图象还可以看出：1在a;b 上;)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； 2若0x ≠;则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； 3对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且;总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数1．对数的概念：一般地;如果N a x =)1,0(≠>a a ;那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数;记作：N x a log =a — 底数;N — 真数;N a log — 对数式 说明：错误! 注意底数的限制0>a ;且1≠a ； 错误! x N N a a x =⇔=log ；错误! 注意对数的书写格式． 两个重要对数：错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ；错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数二对数的运算性质如果0>a ;且1≠a ;0>M ;0>N ;那么：错误! M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；错误! =NM a log M a log －N a log ； 错误! n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a b b c c a log log log = 0>a ;且1≠a ；0>c ;且1≠c ；0>b ．利用换底公式推导下面的结论 1b mn b a n a m log log =；2a b b a log 1log =． 二对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ;且)1≠a 叫做对数函数;其中x 是自变量;函数的定义域是0;+∞．注意：错误! 对数函数的定义与指数函数类似;都是形式定义;注意辨别..如：x y 2log 2=;5log 5x y = 都不是对数函数;而只能称其为对数型函数． 错误! 对数函数对底数的限制：0(>a ;且)1≠a ．2、对数函数的性质：函数图象都过定点1;0函数图象都过定点1;0三幂函数 1、幂函数定义：一般地;形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数;其中α为常数．2、幂函数性质归纳．1所有的幂函数在0;+∞都有定义并且图象都过点1;1；20>α时;幂函数的图象通过原点;并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地;当1>α时;幂函数的图象下凸；当10<<α时;幂函数的图象上凸；30<α时;幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内;当x 从右边趋向原点时;图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于∞+时;图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．要点6．函数模型的实际应用解决函数模型的实际应用题;首先应考虑该题考查的是何种函数;并要注意定义域;然后结合所给模型;列出函数关系式;最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：错误!→错误!→错误!→错误!要点7．函数零点 1.函数零点方程的根的确定问题;常见的类型有1零点或零点存在区间的确定；2零点个数的确定；3两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法;尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解..检验 收集数画散点选择函数求函数模用函数模型解释实际符合实际不符合实2．函数零点方程的根的应用问题;即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题;解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想;构建关于参数的方程或不等式求解..3.用二分法求函数零点近似值;用二分法求函数零点近似值的步骤1确定区间a;b;验证fa ·fb<0;给定精确度ε；2求区间a;b 的中点1x ；3计算f 1x ;①当f 1x =0;则1x 就是函数的零点；②若fa ·f 1x <0;则令b=1x 此时零点01(,)x a x ∈;③若f 1x ·fb<0;则令a=1x 此时零点01(,)x x b ∈..4判断是否达到其精确度ε;则得零点近似值;否则重复以上步骤..。
函数的基本性质-函数的零点剖析
y f (x) y A
B
x [a,b]bx a
B
2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时，AB间一段 连续不断的函数图像与x轴一定有交点？
3.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示？
f (a) f (b) 0
探究一：
在什么情况下,函数f (x)在(a,b)一定存在零点?
函数y f (x)在[a,b]上图像连续不断 f (a) f (b) 0
练一练：
(1)用二分法研究函数f ( x) x3 3x 1的零点时 第一次经计算f (0) 0, f (0.5) 0,可得其中一个
零点x0 (0, 0.5) ,第二次应计算 f (0.25)
练一练：
(2)用二分法求函数f ( x) x3 2x 1的零点近似 值时，现已将零点锁定在区间(1,2)内，则下一步 可断定该零点所在区间为 ( 3 ,2)
2
试一试：求f ( x) 4x3 52x2 169x 140在(3,4)
内的零点的近似值。（精确到0.1）
左端点 (a
中点 c
右端点 f(a) f(c) f(b) b) 符号 符号 符号
求f ( x) 4x3 52x2 169x 140在(3,4) 内的零点的近似值。（精确到0.1）
f (3) 7
f (3.125) 2.4
3.15625
( ( () ) 3.125 3.1875 3.25
3
f (3.25) 2.7
) 3.5
f (3.5) 14
)
4
f (4) 40
试一试：求f ( x) 4x3 52x2 169x 140在(3,4)
内的零点的近似值。（精确到0.1）
x1 1 x2 3 f (x) x2 2x 3
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第三章：函数的基本性质
第三节：函数的基本性质（零点）
【知识讲解】
函数零点
1． 函数的零点：对于函数)(x f y =)(D x ∈，如果存在实数c )(D c ∈，当c x =0)(=c f 那么就把c x =叫做函数)(x f y =)(D x ∈的零点。
函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的解，也就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标。
2． 函数零点的求法：求函数零点一般采取二分法。
所谓二分法即通过每次把)(x f y =的
零点所在的小区间收缩一半，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值的方法。
二分法的理论依据是：如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上满足0)()(<⋅b f a f ，那么一定存在()b a c ,∈，使0)(=c f
方法：求函数)(x f 的零点就是求方程0)(=x f 的根
例1.求函数2111322--+--=x
x x x y 的零点
例2.对于函数13)12()(+-+=k x k x g
（1） 若1=x 是其零点，求k 的值
（2） 若在区间[]0,1-上存在零点，求k 的取值范围
例3.用二分法求函数281832)(2
3+--=x x x x f 在区间()2,1内的零点（精确到0.1）
巩固练习：
1.已知函数19)13(22
-+--=m x m mx y ，若它在区间()2,1中仅有一个零点，求实数m 的取值范围
2.已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2
，如果函数)(x f y =在区间[]1,1-上有零根，求实数a 的取值范围。
3.已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解，
则这2009个实数解之和为 .
4.函数)(4)2(2)2()(2
R a x a x a x f ∈--+-=
（1） 是否存在实数a ，使[]3,1∈x 时，0)(<x f 恒成立？
（2） 是否存在实数a ，使()3,1∈x 时，0)(<x f 恒成立？
5.若在区间[]1,1-上，1)(2+-=x x x g 的图像恒在直线m x y +=2的上方，则实数m 的取值范围。