一元函数积分学练习题

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一元函数积分学

一元函数积分学一．定积分的定义【例1】（用定义）求极限1lim_______n n →∞++= . 说明：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积，于是由积分的定义，有1()lim().nb an i i b af x dx f a b a n n →∞=-⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑⎰。

解11lim 11limcos 2n nn k n n x dx πππππππ→∞→∞=+++====∑⎰⎰【例2】（定义及夹逼定理）求2sin sin sin lim 1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭解由于sinsin sin 12i i i n n n i n nn πππ<<++，故111sin11sinsin12nnni i i i i i n i n nn nn πππ===<<++∑∑∑. 又1011112limsin lim .sinlim sin 111nnn n n i i i n i n xdx n n n nn n πππ→∞→∞→∞==⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑⎰，由夹逼定理知：原式=2π.二．积分计算基本方法：换元法，分部积分法，万能变换等.基本题型：带根号的积分常用换元法去根号. 下面几种类型的积分常用分部积分法处理：12320sin ,arctan ,ln ,,cos .x axx xdx xdx x xdx x e dx ebxdx -⎰⎰⎰⎰⎰熟悉2111dx dd xx -==等.【例1】（分部积分）arcsin arccos x xdx ⋅⎰分析：与arctan xdx ⎰类型同. 解原式arcsin arccos x x x x dx ⎛⎫=-⎝⎰()a r c s i na r c c o s a r c c o s1x x x x x x=--⎰arcsin arccos x x x dx ⎫=---⎝⎰a r c s i n a r c c o s 2x xx x c=-+【例2】（三角变形）2sin cos _________(cos sin )x x xdx x x x +=-⎰. （赛.2004.苏）分析：变形使被积函数的个数变少.解222sin cos sec tan (cos sin )(1tan )x x xx x x dx dx x x x x x ++=--⎰⎰=211tan (tan 1)tan 1dx x c x x x x =-+--⎰.【例3】（变量代换）12arctan _______.(1)x dx x =+⎰（赛.2006.苏）解作变量代换arctan t x =，则原式24441sec (1cos 2)sec 2t tdt t t dt tππ==+⎰⎰22444011sin 2sin 24464168||tt t tdt πππππ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭⎰. 【例4】(奇偶性)222(cos())sin ________.x x xdx ππ-+=⎰（赛.1991.苏）分析：注意被积函数的奇偶性和积分区间的对称性.解 2222022(cos())sin sin 2sin 2x x xdx x xdx x xdx πππππ--+===⎰⎰⎰.【例5】（轮换对称）计算2011tan J dx xπ=+⎰解原式20cos sin cos x dx x x π=+⎰，记20sin sin cos x I dx x xπ=+⎰，作变量代换2u x π=-则20cos sin cos uI du u uπ=+⎰J =. 又2I J π+=，故4J π=.注 1作变量代换tan u x =, 也可计算. 2 一般地，若f 连续，则（i ）2200(sin )(cos );f x dx f x dx ππ=⎰⎰(ii ）0(sin )(sin ).2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰【例6】（递推计算）求定积分220tan.nn I xdx π=⎰解 442212221sin 11sincos21cosn n n nn x I dx xdxn xππ--==-⎰⎰4222(1)2111(21)sincos 1,2121cos21n n n n x xdx I n n xn π----=-=----⎰所以12111(1)(1).2123254n nn I n n n π+=-+-+-+----三. 变限积分的应用基本公式：()'()()x af t dtf x =⎰拓广公式：()'()''()()(())()(())()x x f t dtf x x f x x ψϕψψϕϕ=-⎰.【例1】设()f x 在[0,)+∞上连续，且11()1()xf x f t dt x=+⎰，求()f x .解对等式1()()xxf x x f t dt -=⎰两边求导，得'()()1().f x xf x f x +-=即'1().f x x=且(1)1f =. 因此()ln 1.f x x =+【例2】设'()f x 连续，'(0)0,(0)0,f f =≠求22()lim()x x x f t dtxf t dt→⎰⎰.（赛.2000.苏）解原式222002()2()limlim2()()2()()xxx x xf x f x x f t dt x f x f t dt xf x →→==++⎰⎰'2'2'''''4()4()4(0)limlim13[()(0)]3()()3(0)(0)()x x xf x f x f f x f f x xf x f f f x x→→====-+++.【例3】()2()51lim1_____.x tx x edt x-→-=⎰（赛.2006.苏）解作变量代换u tx =，则原式=()()224440654411.211limlimlimlim.6333x uxxx x x x eduexex xxxx---→→→→----====-⎰【例4】设()f x 在[0,1]上可导，'0()1f x ≤≤且(0)0f =，证明：()2113()()f x dxf x dx ≥⎰⎰.证只需证明一般情形()23()()x x f t dtf t dt ≥⎰⎰.令()23()()()x x F x f t dtf t dt =-⎰⎰, 则'3200()2()()()()2()(),x xF x f x f t dt f x f x f t dt f x ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰再令2()2()(),xG x f t dt f x =-⎰ 则'''()2()2()()2()1()0,G x f x f x f x f x f x ⎡⎤=-=-≥⎣⎦从而()0.F x ≥【例5】设0sin (),x tf x dt tπ=-⎰计算0().f x dx π⎰解由于'sin (),xf x xπ=- 用分部积分法得'sin sin ()()()sin sin 2.|txf x dx xf x xf x dx dt xdxtxx xdx xdx xππππππππππππ=-=----===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰四．定积分的证明题.熟悉柯西-许瓦滋不等式：()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx≤⋅⎰⎰⎰积分中值定理：若()f x 在[,]a b 上连续，则存在a b ξ<<，使()()().b af x dx f b a ξ=-⎰【例1】（柯西-许瓦滋不等式）设f 为[0,1]上正连续函数，证明：2110()1()()4dxm M f x dx f x m M+≤≤⎰⎰.其中0101max (),min ().x x M f x m f x ≤≤≤≤==证由柯西-许瓦滋不等式得21101()()dxf x dx f x ⎡⎤=≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.另一方面10()1()f x m m dx M f x M ⎡⎤⎛⎫+≤+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，即11011()()m M f x dx m dx Mf x M++≤⎰⎰.而上式左端≥2112()()()4m dxm M f x dx Mf x M+≤⎰⎰.【例2】（积分中值定理）设f 为[0,1]上连续函数，()()0bb xaaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证：()f x 在(,)a b 内至少有两个零点.解方法一：令()(),()x aF x f t dt a x b =≤≤⎰，则()()0F a F b ==. 于是()()()()()()()|b b bbbxxxxx caaaaaf x e dx e dF x e F x F x e dx F x e dx F c e b a ==-=-=--⎰⎰⎰⎰ 其中(,)c a b ∈. 于是()0F c =. 在[,]a c 和[,]c b 上应用Roll 定理，存在 12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使''12()()0F F ξξ==，即12()()0f f ξξ==. 于是()f x 在(,)a b 内至少有两个零点.方法二：由积分中值定理，11()()(),baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰，得1()0f ξ=.（反证）设()f x 在(,)a b 内仅有一个零点1ξ，不妨设1a x ξ<<时，()0f x >，1x b ξ<<时，()0f x <. 由条件得 1()()0b xae ef x d x ξ-=⎰. 又11111()()()()()()000b bxxxaaee f x dx ee f x dx ee f x dx ξξξξξ-=-+->+=⎰⎰⎰,从而导出矛盾.【例3】（计算型证明）设"()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)0f f ==，求证：（1）11"001()(1)()2f x dx x x f x dx =-⎰⎰，（2）1"011|()|m ax |()|12x f x dx f x ≤≤≤⎰.证：（1）11"'11(1)()(1)()22x x f x dx x x df x -=-⎰⎰=11''11(1)()()(21)22|x x f x f x x dx ---⎰=111111(21)()[()(21)()]()22|x df x f x x f x dx f x dx --=---=⎰⎰⎰.（2）11"01|()||(1)()|2f x dx x x f x dx =-⎰⎰1""010111m ax |()|(1)m ax |()|212x x f x x x dx f x ≤≤≤≤≤-=⎰.【例4】（'()()()b af b f a f x dx -=⎰的应用）设:[0,1]f → 具有二阶连续导数，又设(0)(1)0f f ==，且对一切(0,1)x ∈有()0f x >，证明："10()4()f x dx f x >⎰.证记01max ()x M f x ≤≤=，则存在0(0,1)x ∈使得0()f x M =，且'0()0f x =. 由微分中值定理，存在,()a b a b <使''000()(0)(1)()(),()1f x f f f x f a f b x x --==-，于是""1''0()()1()()()()()b af x f x dx dx f b f a f x f x f x ≥≥-⎰⎰000000()()114.()1(1)f x f x f x x x x x =--=≥--【例5】（正负分开估计）证明20x dx >.分析：由于2sin x 的原函数无初等表达式，故直接计算不可能. 但可以估计其正的部分和负的部分的差.证作变量代换2y x =，有22211ni n i n .22x dx ππππ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 对上述第二个积分进行换元，则有原积分为0011sin .22y dy ππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰由于在(0,)π上，被积函数是一个正函数，从而其积分大于零.【例6】（泰勒公式）设在区间[0,]a 上"()0,f x > 证明：().2a a f x d x a f ⎛⎫≥⎪⎝⎭⎰解 '"2'2222222()()()()()()()()(),a a a a a a a f x f f x f x f f x ξ=+-+-≥+-积分后得().2a a f x d x a f ⎛⎫≥⎪⎝⎭⎰【例7】（构造型）设()f x ∞∞在(-,+)上是导数连续的有界函数， '|()()|1,f x f x -≤ 求证：|()|1,(,).f x x ≤∈-∞+∞证方法一：任取,x ∈ 有''[()](()())x x e f x e f x f x --=-，又 '()()[()]|x xxxx e f x ef x ef x d x +∞+∞----==⎰，故''|()||[()]||()()|,xxxx xxxxef x ef x dx ef x f x dx e dx e +∞+∞+∞------=≤-≤=⎰⎰⎰即|()|1f x ≤.方法二：令'()(()1),1()()1,x F x e f x f x f x -=+-≤-≤由题意所以 ''()(()()1)0,x F x e f x f x -=--≤ 因而()F x 单调减，故 ()1()l i m ()l i m 0.x x x f x F x F x e→+∞→+∞+≥== 而0,x e -> 故()10f x +≥，即() 1.f x ≥-令'()(()1),1()()1,x G x e f x f x f x -=--≤-≤由题意所以 ''()(()()1)0,x G x e f x f x -=-+≥ 因而()G x 单调增，故 ()1()l i m ()l i m 0.x x x f x G x G x e→+∞→+∞-≤== 而0,xe -> 故()10f x -≤，即() 1.f x ≤五. 定积分的应用【例1】设22:4,.D x y x y x +≤≤- 在D 的边界y x =-上任取点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于y x =-，交D 的边界224x y x +=于Q .（1）试将,P Q 的距离||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =-旋转一周的旋转体体积. （赛.2004.苏）解沿y x =-作坐标轴t ，原点为O ，则P 在t 轴上的坐标为t ，在xy 平面上P 的坐标为⎛-⎝，所以直线PQ的方程为(0y x t =-≤≤，由22,4y x x y x⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得Q 点的横坐标为01x =所以01P Q x ⎫⎫=-=⎪⎪⎭⎭. 所求旋转体体积为221222V dt t dt ππ==+--⎝⎰⎰22(2)u -=-=-=-⎰【例2】曲线Γ的极坐标方程1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点处的切线L 的直角坐标方程，并求曲线Γ、切线L 与x 轴所围图形的面积.（赛.2006.苏）解曲线的参数方程为cos (1cos )cos x ρθθθ==+ s i n (1c o s )si y ρθθθ==+''c o s c o s 2s i n s i n 2d y y d xxθθθθ+==--，41|dydx πθ==-又4πθ=时，1122x y ++==，故切线L 的方程为(1)22y x ⎛-=-- ⎝⎭，即1(12y x+=-+. 令0y=得2x=+如图所示，三角形OPB的面积为111102228S++⎛=+⋅=⎝，曲边三角形OPA的面积为22444200011131(1cos)2cos cos222222S d d dπππρθθθθθθ⎛⎫==+=++⎪⎝⎭⎰⎰⎰311628π=+于是所求图形的面积为1293816S S Sπ=-=+.【例3】求曲线|ln||ln|1x y+=所围成的平面图形的面积.解方法一：上述曲线方程去掉绝对值后为,1,1,101,,011,1,0101,x y e x yy x x yey e x x yx y x ye=≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且所以11111.eee xA ex dx dx eex x e e⎛⎫⎛⎫=-+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰方法二：令ln,ln,u x v y==则,,u vx e y e==':||||1,.uu v u vvu vx x eD u v J e ey y e+≤===⋅故''01111101||1.u uu v u v u vu uD D Ddxdy J dudv e e dudv e du e dv e du e dvee+-----==⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题1.n lim ln _________→∞=. 2. 211()sin _______.x x e xdx -+=⎰3. 计算120(1)x xe dx x +⎰.4. 求200sin lim .x x t dt t x →⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰（赛.1997.京）5.设连续非负函数满足()()1(),f x f x x -=-∞<<+∞ 则22cos ___________.1()x dx f x ππ-=+⎰（赛.2004.京）6. 设()()3,f x f x ≤≤在[0,1]上连续，且1 证明：110011() 3.()f x dx dx f x ≤≤⎰⎰（赛.2004.京）7. 证明：200.x dx >赛.前苏联） 8. 设()f x π在[0,2]上具有一阶连续导数，且"()0,f x ≥ 求证：对任意的自然数n ，有 202()s i n [(2)(0)].f x n x d x f f n ππ≤-⎰ 9. 有一弹璜，假定被压缩0.5cm 时需用力1N （牛顿），现弹璜在外力的作用下被压缩3 cm,求外力所做的功.10. 设()f x 在 [,]a b 上具有连续导数, 求证:'1m a x |()|()|()|.bb a a a x b f x f x dx f x dx b a ≤≤≤+-⎰⎰（赛.2008.苏）。

考研数学一(一元函数积分学)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)

考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2010年]设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n的取值有关C．与m，n的取值都有关D．与m，n的取值都无关正确答案：D解析：易看出所给的反常积分有两个瑕点x=0与x=1，因而先将该反常积分分解为两个单一型的反常积分之和，即记．下面讨论I1的敛散性．(1)设n＞1，取，因知，I1收敛；(2)设n=1，m=1，2，则，此时I1已不是反常积分，当然收敛；(3)设n=1，m＞2，取P=1—2／m，则0＜p＜1，且有可知I1也收敛．综上所述，无论m，n取何正整数，I1均收敛．下面讨论I2的敛散性．对任意0＜p ＜1，知，对任意正整数n，m，有可得I2=∫1/21f(x)dx收敛．因此对任意正整数m，n，所给反常积分都收敛．仅D入选．知识模块：一元函数积分学2．[2016年]若反常积分收敛，则( )．A．a＜1且b＞1B．a＞1且b＞1C．a＜1且a+b＞1D．a＞1且a+b＞1正确答案：C解析：因收敛，故上述等式右端的两个反常积分收敛，当a＜1时，收敛．当a+b＞1时，收敛，因而仅C入选．知识模块：一元函数积分学3．[2017年] 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，下图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt与∫0t2v2(t)dt，要使乙追上甲，则有[v2(t)-v1(t)]dt=10，由定积分的几何意义可知，∫025[v2(t)-v1(t)]dt=20—10=10 ，可知t0=25．仅C入选．知识模块：一元函数积分学填空题4．[2002年] =______.正确答案：1解析：故知识模块：一元函数积分学5．[2013年]=______.正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学6．[2011年] 曲线y=∫0xtantdt 的弧长s=______．正确答案：解析：因y’(x)=tanx，故知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一元函数积分学经典习题

,
, 所以
=
九. 设当 x 0 时,
连续, 求
.
解.
=
=
+
－
=
+c.
十. 设
, 求 f(x).
解. 令
, 所以
所以十一. 求下列不定积分:
1.
解. 令
=
2. 解. 令
=
3.
解.
+
=
－=ຫໍສະໝຸດ 4. 解.( a > 0)
=
=
=
=
=
= 十二. 求下列不定积分:
1.
解.
=
2.
解.
=
=
= 一．若 f(x)在[a，b] 上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数 (x), 均有 , 则 f(x) 0. 证明: 假设 f() 0, a < < b, 不妨假设 f( ) > 0. 因为 f(x) 在[a ，b]上连续, 所以存在 > 0, 使得在[ － , + ] 上 f(x) > 0. 令 m = 定义[a ，b] 上 (x): 在[ －, + ]上 (x) = 所以 . 按以下方法 , 其它地方 (x) = 0.
证明: 将 lnx 在 x 0 用台劳公式展开
（1 ）
令
x = f （t ）
代入（1 ）
将上式两边取
，最后一项为 0 ，得
十三. 设 f(x) 在[0, 1] 上有一阶连续导数, 且 f(1)－f(0) = 1, 试证:
证明:
十四. 设函数 f(x) 在[0, 2] 上连续, 且 [0, 2], 使|f( )| a.
1.

考研数学一(一元函数积分学)模拟试卷15(题后含答案及解析)

考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以又esinxcos2x≥0，故选(A)．知识模块：一元函数积分学2．设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值( )A．仅与a有关B．仅与a无关C．与a及k都无关D．与a及k都有关正确答案：C解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以故此积分与a及k都无关．知识模块：一元函数积分学3．设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：当g(x+T)=g(x)时，因为因为f(x)是以T为周期的函数，所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅是以T为周期的函数．知识模块：一元函数积分学4．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项(A)中，知识模块：一元函数积分学5．以下4个命题正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：A解析：设f(x)=x，则f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且.但是故f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．知识模块：一元函数积分学填空题6．设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________正确答案：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x 求导得f(x3-1).3x2=1，f(x3-1)=令x=2，即得f(7)= 知识模块：一元函数积分学7．设=________正确答案：解析：令3x+1=t，x= 知识模块：一元函数积分学8．设，则a=_________正确答案：2解析：知识模块：一元函数积分学9．设=_______正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学10．=_______正确答案：ln3解析：因知识模块：一元函数积分学11．=_______正确答案：，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学12．设f’(sinx2)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，则f(x)=________正确答案：-ln(1-x)-x2+C，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学13．设y=y’(x)，若，且x→+∞时，y→0，则y=_______正确答案：e-x解析：由已知得，分离变量，两边积分，再由已知条件得结果y=e-x．知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2017年] 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，如图1．3．5．19，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)则( )．A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：用定积分求变速运动的位移．从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt与∫0t2v2(t)dt，要使乙追上甲，则有∫0t0[v2(t)一v1(t)]dt=10，由定积分的几何意义可知∫025[v2(t)一v1(t)]dt=20—10=10，可知t0=25．仅(C)入选．知识模块：一元函数积分学填空题2．[20l1年] 曲线y=∫0xtant dt(0≤x≤)的弧长s=_________．正确答案：曲线弧长的方程由直角坐标方程给出，应按式(1．3．5．12)计算弧长s．因y′(x)=tanx，故s=∫0π/4secxdx=ln∣secx+tanx∣∣0π/4=ln(1+√2)．涉及知识点：一元函数积分学3．[2010年] 当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为__________．正确答案：利用求曲线弧长的公式直接计算即可．解一对于0≤θ≤π，r=eθ，由极坐标弧长公式(1．3．5．14)得所求弧长为S==∫0π√2eθdθ=√2e θ∣0π=√2(eπ一1)．解二令x=rcosθ=eθcosθ，y=rsinθ=eθsinθ，则由弧长公式(1．3．5．13)得到s==∫0π√2eθdθ=√2eθ∣0π=√2[eπ一1)．涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷61(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷61(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，则( )A．I1＞I1＞。

B．I1＞＞I2。

C．I2＞I1＞。

D．I2＞＞I1。

正确答案：B解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有，从而可见有I1＞I2，又由，I2＜知，故选B。

知识模块：一元函数积分学2．设f(x)=∫0π(ecost—e—cost)dt，则( )A．f(x)=f(x+2π)。

B．f(x)＞f(x+2π)。

C．f(x)＜f(x+2π)。

D．当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。

正确答案：A解析：由题意f(x+2π)一f(x)=∫xx+2π(ecost一e—cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f(x+2π)一f(x)=∫—ππ(ecost —e—cost)dt=2∫0π(ecost—e—cost)dt 2∫0π(ecosu+e—cosu)du，因此f(x+2π)—f(x)=0。

故选A。

知识模块：一元函数积分学3．设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )A．∫0xtf(t)一f(一t)dtB．∫0xtf(t)+f(一t)dt。

C．∫0xf(t2)dt。

D．∫0x[f(t)]2dt。

正确答案：B解析：取f(x)=x，则相应的∫0xt[f(t)—f(—t)]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x3，∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3，均为奇函数，故选B。

知识模块：一元函数积分学4．曲线y=e—xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为( ) A．一∫03πe—xsinxdx。

B．∫03πe—xsinxdx。

C．∫0πe—xsinxdx—∫π2πe—xsinxdx+∫2π3πe—xsinxdx。

考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷33(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷33(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学2．=__________。

正确答案：解析：已知函数可化为知识模块：一元函数积分学3．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学4．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学5．设a＞0，则=__________。

正确答案：解析：由题干可知，原式可化为知识模块：一元函数积分学6．设=__________。

正确答案：解析：令x一1=t，知识模块：一元函数积分学7．=__________。

正确答案：解析：令x=sint，则知识模块：一元函数积分学8．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．=__________。

正确答案：解析：本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式。

知识模块：一元函数积分学10．=__________。

正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学11．设函数则∫一∞+∞xf(x)dx=____________。

正确答案：解析：已知x≤0时，函数f(x)值恒为0，因此可得知识模块：一元函数积分学12．已知则k=_________。

正确答案：一2解析：已知要求极限存在，所以k＜0。

那么所以k=一2。

知识模块：一元函数积分学13．由曲线和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为_____________。

正确答案：4ln2解析：先画图，作出y=4x与的交点(1，4)，直线y=x与的交点(2，2)，由图可知，面积S分两块(如图1一3—8)。

知识模块：一元函数积分学14．设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是__________。

正确答案：解析：直接利用封闭曲线图形的面积公式可得知识模块：一元函数积分学15．在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取_______时，A=A1+A2取最小值。

考研数学一-一元函数积分学

考研数学一-一元函数积分学(总分：222.50，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：31，分数：124.00)1.下列命题不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若f(x)在区间(a，b)内的某个原函数是常数，则f(x)在(a，b)内恒为零．B.(B) 若f(x)的某个原函数为零，则f(x)的所有原函数为常数．C.(C) 若f(x)在区间(a，b)内不是连续函数，则在这个区间内f(x)必无原函数．√D.(D) 若F(x)是f(x)的任意一个原函数，则F(x)必定为连续函数．解析：[分析] 假设F(x)是f(x)的一个原函数，则必有F'(x)=f(x)．对于命题(A)：如果f(x)在区间(a，b)内的某个原函数F(x)=k(k是常数)，则在(a，b)内任意点x处，f(x)=F'(x)=0，所以此命题正确．对于命题(B)：若F(x)=0是f(x)的一个原函数，则F(x)+c=c就是f(x)的所有原函数，从而此命题正确．f(x)在区间(a，b)内连续是其原函数存在的充分条件，命题(C)是错误的，只需举反例说明，如函数在(-1，1)内不连续，但它存在原函数若F(x)是f(x)的一个原函数，则必有F'(x)=f(x)，说明F(x)可导，而可导必连续，所以命题(D)正确．综上分析，应选(C)．2.设则下列结论①在[-1，1]上f1(x)存在原函数②存在定积分③存在f'2(0) ④在[-1，1]上f2(x)存在原函数中正确的是（分数：4.00）A.(A) ①、②．B.(B) ③、④．C.(C) ②、④．√D.(D) ①、③。

解析：[分析] ①不正确．若存在原函数F(x)，则在区间[-1，0]，；在区间(0，1]上F(x)=e x+C2．在x=0处F(x)应连续，所以C1=C2+1，于是但此F(x)在x=0处F'-(0)=0，F'+(0)=1，F'(0)不存在，所以此F(x)在[-1，1]上不是f1(x)的原函数，矛盾，故①不正确．②正确．f1(x)在[-1，1]上有界且只有1个间断点，所以存在，且③不正确．由导数定义可知f'2(0)不存在．④正确．因为f2(x)在[-1，1]上连续，所以存在原函数．综上分析，应选(C)．3.设函数f(x)在[a，b]上有界，把[a，b]任意分成n个小区间，ξi为每个小区间[x i-1，x i]上任取的一点，则所表示的和式极限是（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[分析] 由定积分的定义可知(D)正确，应选(D)．4.下列关于反常积分的命题①设f(x)是(-∞，+∞)上的连续奇函数，则②设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且存在，则必收敛，且③若都发散，则不能确定是否收敛④若都发散，则不能确定是否收敛中是真命题的个数有（分数：4.00）A.(A) 1个．√B.(B) 2个．C.(C) 3个．D.(D) 4个．解析：[分析] 反常积分收敛的充分必要条件是对常数a，两个反常积分与都收敛．设f(x)=x，f(x)是(-∞，+∞)上的连续奇函数，且．但是发散．所以①、②、④不是真命题．设f(x)=x，g(x)=-x，由上面的讨论知都发散，但g(x)]dx收敛；设f(x)=x，g(x)=x，由上面的讨论知都发散，且也发散．这表明③是真命题．所以应选(A)．5.设f(x)及g(x)在[a，b]上连续，则下列命题①若在[a，b]上，f(x)≥0，则f(x)≠0，②若在[a，b]上，f(x)≥0，且，则在[a，b]上f(x)=0 ③若f(x)在[a，b]的任意子区间[α，β]上有，则f(x)=0() ④若在[a，b]上，f(x)≤g(x)，且，则在[a，b]上f(x)≡g(x) 中正确的是（分数：4.00）A.(A) ①、②．B.(B) ①、②、③．C.(C) ①、②、④．D.(D) ①、②、③、④．√解析：[分析] ①正确．根据条件必定存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＞0．由函数f(x)在x0连续可知，存在a≤α＜β≤b，使得当x∈[α，β]时．因此有由定积分性质得到故得到结论．②正确．用反证法．如果f(x)≠0，由由①得到，与假设条件矛盾，因此②成立．③正确．用反证法．若f(x)≠0(x∈[a，b])，则，f(x0)≠0，不妨设f(x0)＞0，由连续性，，f(x)＞0(x∈[x0-δ，x0+δ])．取[α，β]=[x0-δ，x0+δ]，则，与已知矛盾．因此，f(x)≡0(x∈[a，b])．④正确．臣为h(x)=g(x)-f(x)≥0，且，由②可得h(x)≡0，从而结论成立．综上分析，应选(D)．6.积分上限函数(a≤x≤b)是一种由积分定义的新的函数，它的特征是自变量x为积分上限，F(x)与x的对应法则由定积分给出下列对F(x)的理解不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数f(x)在[a，b]上连续，则F(x)可导，且F'(x)=f(x)．B.(B) 若函数f(x)存[a，b]上连续，则F(x)就是f(x)在[a，b]上的一个原函数．C.(C) 若函数f(x)存[a，b]上(有界，且只有有限个第一类间断点)可积，则F(x)在[a，b]上连续，且可微．D.(D) 若积分上限是x的可微函数g(x)，则是F(u)与u=g(x)的复合函数，求导时必须使用复合函数求导法则，即解析：[分析] 对于(A)：由变上限积分的性质可知(A)正确．由此得到一个重要结论：连续函数一定存在原函数．有些积分如等虽然“积”不出来，但因被积函数在其定义区间上连续，所以一定存在原函数．对于(B)：若f(x)为[a，b]上的连续函数，由变上限积分函数的性质可知，必有由原函数的定义可知，若f(x)为[a，b]上的连续函数，则必为f(x)在[a，b]上的一个原函数．故(B)正确．评注1°此命题表明任何连续函数都存在原函数．2°若f(x)在[a，b]上存在原函数，则f(x)在[a，b]上的所有原函数可以表示为3°若f(x)为[a，b]上的连续函数，则为4°若f(x)不是[a，b]上的连续函数，则不一定为f(x)在该区间上的原函数．因为若f(x)不是连续函数，很可能不可导．如，设，则 (A)F(x)在x=0处不连续． (B)F(x)在(-∞，+∞)上连续，但在点x=0处不可导． (C)F(x)在(-∞，+∞)内可导，且满足F'(x)=f(x)． (D)F(x)在(-∞，+∞)内可导，但不一定满足F'(x)=f(x)．首先要注意：当f(x)为连续函数，的原函数，此时有如果f(x)不为连续函数，则上述结论不成立．由于f(x)为分段函数，因此变上限积分F(x)出为分段函数．当x＜0时；当x＞0时；当x=0时F(0)=0；因此F(x)=|x|，可知F(x)在(-∞，+∞)上连续，但是在x=0点处不可导．故应选(B)．对于(C):F(x)在[a，b]上连续的结论是明显的，但F(x)不一定可微．假设F(x)可微，即有 F'(x)=f(x)，这表明在某区间上可微函数的导函数具有第一类间断点，这与“若导函数有不连续点，则只可能是第二类间断点”相矛盾，故(C)不正确．对于(D)：显然正确．综上分析，应选(C)．7.设F(x)是函数f(x)=max{x，x2}的一个原函数．则（分数：4.00）A.(A) F(x)可能在x=0，x=1两点处间断．B.(B) F(x)只可能在x=1处间断．C.(C) F(x)的导函数可能在x=1处间断．D.(D) F(x)的导函数处处连续．√解析：[分析] 由于，所以f(x)处处连续．又因为F(x)是f(x)的原函数，所以F'(x)=f(x)，从而选(D)．8.设F(x)是f(x)在(a，b)上的一个原函数，则f(x)+F(x)在(a，b)上（分数：4.00）A.(A) 可导．B.(B) 连续．C.(C) 存在原函数．√D.(D) 不是分段函数．解析：[分析] 因为F(x)是f(x)在(a，b)上的一个原函数，所以F'(x)=f(x)，因此F(x)在(a，b)上连续，于是F(x)在(a，b)上存在原函数，从而F(x)+f(z)在(a，b)上存在原函数，因此选(C)．函数f(x)在(a，b)上存在原函数，f(x)在(a，b)上不一定连续(函数f(x)在(a，b)上连续是它在(a，b)上存在原函数的充分条件)．又F(x)在(a，b)上连续，因此F(x)+f(x)在(a，b)上不一定连续，因此不选(B)，从而也不选(A)．另外，f(x)+F(x)存在原函数，但它不一定是初等函数，例如e|x|在(-∞，+∞)上存在一个原函数但就是分段函数，因此不选(D)．9.设F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数，则（分数：4.00）A.(A) F(x)必是初等函数且有界．B.(B) F(x)必是初等函数，但未必有界．C.(C) F(x)在I上必连续且有界．D.(D) F(x)在I上必连续，但未必有界．√解析：[分析] 根据原函数的定义，知F(x)在I上可导且F'(x)=f(x)，所以F(x)在I上连续，但未必有界，如在(0，1)上的原函数是lnx，但lnx在(0，1)内是无界的．故应选(D)．10.设，则根据定积分的几何意义可知下列结论正确的是（分数：4.00）A.(A) I是由曲线y=f(x)及直线x=a、x=b与x轴所围图形的面积，所以I＞0．B.(B) 若I=0，则上述图形面积为零，从而图形的“高”f(x)=0．C.(C) I是曲线y=f(x)及直线x=a、x=b与x轴之间各部分而积的代数和．√D.(D) I是曲线y=|f(x)|及直线x=a、x=b与x轴所围图形的面积．解析：[分析] 由定积分的几何意义可知，(C)正确．例如：，而由曲线y=sinx，x轴与直线所围成的曲边梯形的面积为由此可知(A)，(B)均不正确．(D)显然不正确．故应选(C)．11.下列结论不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则定积分表示一个常数值，且该值与区间[a，b]、函数f(x)及积分变量的记号均有关．√B.(B) 若函数f(x)在[a，b]上可积，将[a，b]n等分，在每个小区间△x i上任取一点ξi，则必定存在，且C.(C) 设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，不论ξi在[x i-1，x i]中怎样选取，只要λ＞δ，总有D.(D) 若函数f(x)在[a，b]上满足下列条件之一：(ⅰ)在[a，b]上连续；(ⅱ)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点；(ⅲ)在[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上可积．解析：[分析] 对于(A)：定积分定义中，是一种新的类型的极限，它既不能表示成数列的极限，也不能表示成函数的极限．λ愈小，表示分点愈密．对于[a，b]的任意划分，不论小区间|x i-1，x i]上点ξi怎样取法，当λ→0时，和为极限．因此，定积分仅与被积函数f(x)及积分区间[a，b]有关，而与积分变量的记号无关．即有故(A)不正确．对于(B)：由定积分的定义可知(B)正确．该命题提供了一条求极限的途径．对于(C)：这是定积分定义的等价表述(利用“ε-δ”的说法)，因此，(C)正确．对于(D)：这三个条件均为f(x)在[a，b]上可积的充分条件，故(D)正确．综上分析，应选(A)．12.设f(x)在(-∞，+∞)内连续，则下列叙述正确的是（分数：4.00）A.(A) 若f(x)为偶函数，则B.(B) 若f(x)为奇函数，则C.(C) 若f(x)为非奇非偶函数，则D.(D) 若f(x)为以T为周期的周期函数，且是奇函数，则是以T为周期的周期隔数．√解析：[分析] 由于0既是偶函数又是奇函数，且，所以不选(A)，(B)．若f(x)为非奇非偶函数，也可能有．例如在(-∞，+∞)上为非奇非偶函数，但，因此不选(C)，由排除法应选(D)．事实上，利用“若f(x)为以T为周期的周期函数，则的值与a无关”与奇函数的积分性质可得，有所以是以T为周期的周期函数．13.下列命题不正确的是（分数：4.00）A.(A) 初等函数在其定义区间(a，b)内必定存在原函数．B.(B) 设a＜c＜b，f(x)定义在(a，b)上，若x=c是f(x)的第一类间断点，则f(x)在(a，b)不存在原函数．C.(C) 若函数f(x)在区间，上含有第二类间断点，则该函数在区间，上不存在原函数．√D.(D) 设函数x∈(-∞，+∞)，则函数f(x)在(-∞，+∞)上不存在原函数．解析：[分析] 对于(A)：由于初等函数在其定义区间内必定为连续函数，而连续函数必定存在原函数，因此(A)正确．对于(B)：设f(x)在(a，b)存在原函数记为F(x)，则它在(a，b)可导、连续．另一方面若x=c是f(x)的跳跃间断点，这与F(x)在x=c可导矛盾．若x=c是f(x)的可去间断点，则，也与F(x)是f(x)在(a，b)的原函数矛盾．因此，f(x)在(a，b)不存在原函数．故(B)正确．对于(C)：例如函数的导函数为显然，x=0是f(x)的第二类间断点，但F(x)却是f(x)的原函数．故(C)不正确．对于(D)：设f(x)在(-∞，+∞)存在原函数F(x)，则由此可知，F(x)在点x=0处不可导，这与F'(0)存在矛盾．因此f(x)在(-∞，+∞)不存原函数．故(D)正确．综上分析，应选(C)．14.下列命题正确的是（分数：4.00）A.(A) 设f(x)为(-∞，+∞)上的偶函数且在[0，+∞)内可导，则，f(x)在(-∞，+∞)内可导．B.(B) 设f(x)为(-∞，+∞)上的奇函数且在[0，+∞)内可导，则f(x)在(-∞，+∞)内可导．√C.(C) 设D.(D) 设x0∈(a，b)，f(x)在[a，b]除x0外连续，x0是f(x)的第一类间断点，则f(x)在[a，b]上存在原函数．解析：[分析] 对于(A)：令f(x)=|x|，则f(x)为(-∞，+∞)上的偶函数且在[0，+∞)内可导，但f(x)在x=0不可导．对于(C)：令不存在．对于(D)：令则f(x)在[-1，1]上不存在原函数．事实上在所给条件下，f(x)在[a，b]上一定不存在原函数．对于(B)：当X0∈(-∞，0)时，由于所以f(x)在(-∞，0)内可导；当x0=0，由于故(B)正确．15.下列命题①设∫f(x)dx=F(x)+C，则对任意函数g(x)，有∫f[g(x)]dx=F[g(x)]+C ②设函数f(x)在某区间上连续、可导，且f'(x)≠0．又f-1(x)是其反函数，且∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C ③设∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，常数a≠0，则∫f(ax)dx=F(ax)+C．④设∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，则中正确的是（分数：4.00）A.(A) ①、③．B.(B) ①、④．C.(C) ②、③．D.(D) ②、④．√解析：[分析] 这是一些函数恒等式，且左端均为不定积分，所以右端必须含一项任意常数项C，否则就不成立．余下就看右端的非常数项函数与左端的被积函数是否有相同的定义域以及右端函数的导数是否是左端的被积函数．对于①：例如函数g(x)=2x，有故①不正确．但当g(x)=x+b时，等式还是成立的，即∫f(x+b)dx=F(x+b)+C．对于②：应用分部积分法可得∫f-1(x)dx=xf-1(x)-∫fx[f-1(x)]'dx．记y=f-1(x)，则x=f(y)，dy=[f-1(x)]'dx，于是∫x[f-1(x)]'dx=∫f(y)dy=F(y)+C，∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C．故②正确．对于③：因为F'(x)=f(x)，所以[F(a x)]'=F'(ax)·a=af(ax)，即a∫f(ax)dx=F(ax)+C，因此，a≠1时等式不成立．由此可知③不正确．对于④：因为F'(x)=f(x)，所以因此．故④正确．综上分析，应选(D)．16.设f(e x)=x，则函数f(x)在区间[1，2]上的平均值等于（分数：4.00）A.(A) ln2+1．B.(B) ln2-1．C.(C) 2ln2+1．D.(D) 2ln2-1．√解析：[分析] 令e x=t，则f(t)=lnt,从而它在区间[1，2]的平均值为．故应选(D)．17.下列反常积分发散的是（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[分析] 发散．选(D)．18.设，则F(x)（分数：4.00）A.(A) 是零．B.(B) 是一个正数．√C.(C) 是一个负数．D.(D) 不是常数．解析：[分析] 因被积函数f(t)=e cost cost是以2π为周期的偶函数，当x∈[0，π]时e cosx cosx≥0且不恒等于零，于是F'(x)=f(x+2π)-f(x)=0．所以F(x)必是一个常数．又因为，故应选(B)．19.下列各式成立的是（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 根据反常积分的定义可知(A)，(C)两个反常积分都不存在，所以不正确．而(D): 由排除法知应选(B)．20.曲线y=x2与直线y=2x围成的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积V等于（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 解方程组可得两交点(0，0)和(2，4)．故所求体积为21.下列结果正确的是（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[分析] 对于(D)：因为的可去间断点，故存在，应选(D)．对于(A)，(B)：由于(A)，(B)是反常积分，不能使用牛顿-莱布尼兹公式．对于(C)：换元积分法要求所作代换x=ψ(t)在所讨论范围内单值，而此处所作的代换不是单值函数．22.下列结果不正确的是（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[分析] 对于(A)：以x为变量，为常数，故．(A)正确．对于(B)：以b为变量，这是变上限积分的求导，则．故(B)正确．对于(C)：以a为变量，这是变下限积分的求导，则．故(C)正确．对于(D)：故(D)不正确．评注①在变限积分求导中常犯的错误是漏项，如分别漏掉了 (2x2)'=4x，(cos2x)'=-sin2x．②对积分上限的函数求导时应注意以下两点：第一，首先要弄清是对哪个变量求导，把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来．积分上限的函数的自变量是上限变量，因此对积分上限的函数求导，就是对上限变量求导，与积分变量没有关系．但有时会遇到上限变量也含在被积表达式内的情况，这时应先设法把上限变量从被积表达式内分离出来，并提到积分号外，然后再进行求导．例如对求导时，应先把它写作，然后应用乘积的求导公式求导．第二，当积分上限，甚至积分下限，都是x的函数时，就要应用复合函数的求导法则进行求导．一般说来，有下述结果：当函数α(x)，β(x)均在(a，b)内可导，函数f(x)在[a，b]上连续时，则有综上分析，应选(D)．23.下列等式或结论正确的是（分数：4.00）A.(A) [∫f(x)dx]'=∫f(x)dx=f(x)．B.(B) ∫d[∫f(x)dx]=f(x)．C.(C) d[∫f(x)dx]=f(x)dx．√D.(D) 若∫f(x)dx]'=[∫g(x)dx]'，则∫f(x)dx=∫g(x)dx.解析：[分析] 对于(A)：由于第二个等式的右侧没有积分常数，故(A)不正确．正确的结论为：[∫f(x)dx]'=f(x)，∫f(x)dx=f(x)+C．对于(B)：由于d[∫f(x)dx]=f(x)dx，所以∫d[f(x)dx]=∫f(x)dx．故(B)不正确．对于(C)：显然正确．对于(D)：由不定积分的性质[∫f(x)dx]'=f(x)及条件[∫f(x)dx]'=[∫f(x)dx]'可以得到f(x)=g(x)．据不定积分的定义(带有任意常数项的原函数)，则有∫f(x)dx=∫g(x)dx+C．故(D)不正确．综上分析，应选(C)．24.设（分数：4.00）A.(A) 为反常积分，且发散．√B.(B) 为反常积分，且收敛．C.(C) 不是反常积分，且其值为10．D.(D) 不是反常积分，且其值为．解析：[分析] 由于，所以于是而发散，故为反常积分，且发散．选(A)．25.下列结论正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]上必有界；反之，若函数f(x)在[a，b]上有界，则f(x)在[a，b]上必可积．B.(B) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]内必定有原函数；反之，若函数f(x)在[a，b]内有原函数，则f(x)在[a，b]上必定可积．C.(C) 若函数f(x)在任何有限区问上可积，则对任一点c，有√D.(D) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则必存在ξ∈[a，b]，使得解析：[分析] 对于(A)：前半句正确，注意函数f(x)在[a，b]上有界是f(x)在[a，b]上可积的必要条件．后半句不正确，例如狄利克雷函数在[0，1]上有界，但不可积．因此(A)不正确．对于(B)：前半句不正确，例如函数在[-1，1]上可积，且=1，但点x=0为f(x)的第一类间断点，从而在(-1，1)内f(x)没有原函数．后半句也不正确，例如函数在区间(0，1)内有原函数F(x)=lnx但f(x)在[0，1]上不可积．故(B)不正确．评注只有当函数f(x)在[a，b]上连续时，可积与原函数存在是相互等价的，而当f(x)在[a，b]上不连续时，这种相互等价的关系并不存在．对于(C)：由“定积分对于积分区间具有可加性”可知，(C)正确．对于(D)：例如函数在[0，2]上可积，且但不存在ζ∈[0，2]，使得．故(D)不正确·评注函数在闭区间上连续是积分中值定理成立的充分、非必要条件．例如符号函数sgnx在[-1，1]上可积，且，若取ξ=0∈[-1，1]，则有但sgnx在[-1，1]上不连续．综上分析，应选(C)．26.设有一椭圆形的薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于液体巾，而其短半轴与液面相齐，液体的比重为γ，则液体对薄板的侧压力为（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 建坐标如图所示．取y当积分变量，则其收取范围是[-a，0]．压力微元素为所以所受压力为应选(B)27.下列命题①若函数F(x)、Φ(x)是同一个函数f(x)在区间I上的两个原函数，则其差F(x)-Φ(x)等于确定的常数②设F'(x)、Φ'(x)，f(x)在集合D上有定义，且满足F'(x)=Φ'(x)=f(x)，则F(x)-Φ(x)≡C ③若取积分常数C=0，则可积函数f(x)的原函数唯一④若f(x)在区间I上有原函数，则f(x)的任意两个原函数之和必为2f(x)的原函数中正确的是（分数：4.00）A.(A) ①、②．B.(B) ②、③．C.(C) ①、④．√D.(D) ③、④．解析：[分析] 对于①：由题设，有F'(x)=f(x)，Φ'(x)=f(x)，于是[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0．由“在一个区间上导数恒为零的函数必为常数”可知，Φ(x)-F(x)=C0(C0为某个常数)．故①正确．对于②：例如函数F(x)=arctanx，，在集合D=(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)内满足：F'(x)=Φ'(x)=f(x)，但是这说明在D内F(x)-Φ(x)≠C．这与“函数的任意两个原函数之差为常数”的结论并无矛盾，因为原函数是建立在某一区间上的．故②不正确．对于③：例如函数e2x为连续函数，从而若取C=0，得e2x的一个原函数，但容易证明e x shx，e x chx也是e2x的原函数．又如，函数arcsin(2x-1),arocos(1-2x)和的原函数．对于④：由不定积分的性质可知④正确．综上分析，应选(C)．28.下列计算（分数：4.00）A.(A) 0个．√B.(B) 1个．C.(C) 2个．D.(D) 3个．解析：[分析] 这几道题都是想用牛顿一莱布尼兹公式来计算定积分，在应用这个公式时要注意验证条件．若条件不满足则不能用．对于(1)：被积函数在[0，3]是无界的，因此是不可积的(黎曼不可积)，定积分不存在，第①步就是错的．对于(2)：被积函数在[0，π]连续恒正，所以积分值是正的，从答案看，这是错的．错在哪里?第①、②、③步的变形是为了求出原函数没有定义，即不满足条件：，从而不能在[0，π]上用牛顿-莱布尼兹公式，第④步是错的．改正：注意，连续，且又于是可分别在利用推广的牛顿-莱布尼兹公式得对于(3)：注意，此步骤①是错误的．改正：评注1°实质上被积函数是分段函数，所以要用分段积分法．2° 被积函数在上恒正，积分值应是正的，若算出I≤0，自然就是错的，应检查错在哪里?这里的错误是对于(4)：可以验证：在x=0不可导，在[-1，1]上不满足用牛顿-莱布尼兹公式的条件，因此解法是错误的．改正：用分段积分法，并分别在[-1，0]与[0，1]上用推广的牛顿-莱布尼兹公式：评注这里要验证它在[-1，1]可积，只须考察因此f(x)在[-1，1]有界，只有间断点x=0，于是f(x)在[-1，1]可积．事实上，若补充定义f(0)=0，则f(x)在[-1，1]连续．29.设a＞0，f(x)在[-a，a]上连续，则在[-a，a]上（分数：4.00）A.(A) f(cosx)的全体原函数为奇函数．B.(B) x[f(x)-f(-x)]的全体原函数为偶函数．C.(C) f(x2)有唯一原函数为奇函数．√D.(D) x[f(x)-f(-x)]的任一原函数既不是奇函数也不是偶函数．解析：[分析] 因奇函数的原函数一定是偶函数；而偶函数的原函数既有奇函数又有偶函数．所以(A)、(B)、(D)不正确．由于是f(x2)的一个原函数，且所以F(x)是奇函数，此外当常数c≠0时f(x)的原函数F(x)+c都不是奇函数，所以应选(C)．30.下列函数不可积的是（分数：4.00）A.(A) f(x)=x a，x∈[0，1]，a＞0．B.(B) x∈[0，2]．√C.(C) x∈[-1，1]．D.(D) x∈[0，1]．解析：[分析] 对于(A)：因为x a(a＞0)在[0，1]上连续，所以可积．对于(B)：因为lnx在(0，2]上无界，所以不可积．对于(C)：因为|f(x)|≤1，在[-1，1]上有界，除x=0外连续，所以可积．对于(D)：因为f(x)在[0，1]单调上升，所以可积．综上分析，应选(B)．评注①题中给出了一个有界而不可积的函数．该题表明，有下面的函数类的包含关系：[a，b]上的连续函数类上的可积函数类上的有界函数类．②若函数在区间上有原函数，这函数不一定在该区间上可积．例如函数F(x)=容易知道F(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(x)=F'(x)=即函数f(x)在(-∞，+∞)上有原函数F(x)，但由于函数f(x)在x=0的任一邻域内无界，故函数f(x)在包含x=0的区间上不可积．31.下列等式或结论正确的是（分数：4.00）A.(A) ∫0dx=0．B.(B) ．√C.(C)D.(D) 设等式a+∫f(x)dx=∫f(x)dx成立，则a=0．解析：[分析] 对于(A)：由于0只是0的一个原函数，并不是0的全体原函数，由不定积分的定义可知(A)不正确．事实上，应该是∫0dx=C．对于(B)：由于等式右端的非常数项函数与左端的被积函数有相同的定义域，且右端函数的导数是左端的被积函数，由不定积分的定义可知(B)正确．评注注意．因为等式右端仅当x＞0时才有意义，而左端对x＜0时出有意义，所以当x＜0时该等式不成立．对于(C)：由于当a=-1时此等式不成立，因此(C)不正确．对于(D)：由不定积分的定义知，对任意的a∈(-∞，+∞)，a+∫f(x)dx=∫f(x)dx成立，因此(D)不正确．综上分析，应选(B)．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：40，分数：40.00)解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析] 令t=e x，．再令t=sinu，则填空项1:__________________ （正确答案：xln(lnx)+C）解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析]填空项1:__________________ （正确答案：ln(x+1)ln(x+2)+C）解析：[分析]41.若的原函数F(x)的表达式中，(Ⅰ)不包含对数函数；(Ⅱ)不含反正切函数，则其中的常数a和b分别满足条件______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：(Ⅰ)a任意且b=1(Ⅱ)a=0时且b任意）解析：[分析] 按真分式的分解公式，有(Ⅰ)F(x)的表达式中不包含对数函数的充分必要条件是A=0，C=0，即，即且b=1，即a任意且b=1．(Ⅱ)F(x)的表达式中不含反正切函数的充要条件是D=0，即x2+ax+b≡A(x+1)(x2+1)+B(x2+1)+Cx(x+1)2，且b=1+2A，即a=0时且b任意．42.设a≠b，，则A 1，B 2．（分数：1.00）解析：[分析] 两端对x同时求导可得43.设x≠0，，则∫f(x)dx 1．（分数：1.00）解析：[分析]44.设，且f[ψ(x)]=lnx，则∫ψ(x)dx=______．（分数：1.00）解析：[分析] 令x+1=t,则，于是∫ψ(x)dx=-2ln|1-x|+C．45.已知f(x)的一个原函数为，则∫xf'(2x)dx=______．（分数：1.00）解析：[分析] 令2x=u，则填空项1:__________________ （正确答案：-12π）解析：[分析] 利用对称区间上的奇、偶函数的简化计算公式知由于所以填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[分析] 令cosx=t，则，从而记，可见f(t)为奇函数，故原式=0．填空项1:__________________ （正确答案：4-π）解析：[分析] 根据定积分的对称性与定积分的几何意义可得填空项1:__________________ （正确答案：π）解析：[分析] (有端第一项因其被积函数为奇函数，故积分为0；第二项则是半径为2的圆面积的．) 解析：[分析]填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[分析]填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析] 由于评注类似可求(n为正整数)．56.设，则f(x)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：x+2）解析：[分析] 等式两边都乘以cosx得：，则 f(x)cosx=xcosx-Acosx，因此所以A=-2，故f(x)=x+2．57.若（分数：1.00）解析：[分析] 由于令所以58.已知f(x)为非负连续函数，且当x≥0时，则f(x)=______．（分数：1.00）解析：[分析] 由于令，由于F(0)=0，所以C=0．因此，又因为当x≥0时f(x)为非负连续函数，所以F(x)≥0．从而，因此．59.设F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)具有连续导数，且F(0)=0，F(2)=F'(2)=1，则= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[分析]60.设f'(x)在[-1，1]上连续，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[分析]61.已知f(x)满足（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：8e4）解析：[分析]又因为，所以f(2)=4e4，f(0)=0，，62.设f(x)有一个原函数为（分数：1.00）解析：[分析] 由题设63.设连续非负函数满足f(x)f(-x)=1(-∞＜x＜+∞)，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[分析] 因为所以解析：[分析]65.函数f(x)在[1，+∞)上连续，且反常积分收敛，并满足则函数f(x)的表达式是______．（分数：1.00）解析：[分析]66.已知，则a= 1，b= 2．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：a=b=2e-2）解析：[分析]67.曲线y=ln(1-x2)相应于的一段的弧长为 1．（分数：1.00）解析：[分析] 先求．因此该段曲线的弧长为68.摆线的一拱(0≤t≤2π)的弧长为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[分析] 因此，摆线的一拱(O≤t≤2π)的弧长为69.曲线y=x2-x与x轴及直线y=-2x+6在x≥0时所围成图形的面积为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：[分析] 由题设所同面积为70.曲线y=xsinx(0≤x≤π)与x轴所围成的图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2π3-8π）解析：[分析] 所求旋转体的体积为71.在y轴上的0≤y≤2一段上，有一根细棒，其上每一点处的线密度等于该点到棒两端的距离平方之积，则其质心（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[分析]三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：7，分数：58.50)求下列不定积分．（分数：4.50）(1).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(2).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由于，所以(3).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[分析] 凑微分一般有两种方法：一是观察法，须对求导公式熟练；二是检验法，对于被积函数复杂的积分，一般将较复杂的那个因子或其主要部分来求导，若其导数是另一个因子的常数倍，则将那个较复杂的因子凑成微分．求下列不定积分：（分数：13.50）(1).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令x=sint，则(2).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令x=tant，则(3).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令x=3sect，则(4).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(5).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：方法1°令x+1=tant，则原不定积分变为方法2° 记x+1=t，则(6).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记令当x＜0时，(7).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令．于是(8).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令cost=A(sint+cost)+B(sint+cost)'，可得(9).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当被积函数中的分母含有因子x n(n≥2的自然数)，一般可选倒代换消去被积函数分母中的变量因子x n．令．所以[分析] 求无理函数不定积分的一般方法是换元法．其基本思想是通过某种变量代换将根式去掉，将它化为有理函数的积分．必须记住常用的去根号的代换．求下列不定积分：（分数：9.00）(1).∫x2e2x dx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(2).∫(2x2+x+1)cos2xdx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(3).∫xarcsinxdx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(4).∫xlnxdx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(5).∫e2x cos(x+1)dx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(6).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令，则 [分析] 当被积函数为“多项式与指数函数的积、多项式与三角函数的积、多项式与对数函数的积、多项式与反三角函数的积、指数函数与三角函数的积”时，须利用分部积分完成．求下列不定积分：（分数：7.50）(1).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(2).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为所以(3).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(4).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(5).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设x n=tant，则，所以[分析] 分式有理函数积分的一般方法是将被积函数(如果是似分式的话)化为多项式与有理真分式的和，再把真分式分解成部分分式的和，然后分项积分．但当有理真分式的分母次数大于等于4时，用特殊的方法求解往往比较简单，常用的方法有凑微分和变量代换，特别当被积函数中的分母含有因子x n(n≥2的自然数)，一般可选倒代换消去被积函数分母中的变量因子x n．求下列不定积分：（分数：15.00）(1).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对于∫sinn m xcos n xdx，或m，n至少有一个奇数(不管是正奇数还是负奇数)可采用“凑微分”解决．(2).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对于∫sin m xcos n xdx，若m，n都是小于零的偶数，一般设法化成∫R(tan k x)dtan k x或∫R(cot k x)dcot k x 形式求解；若m，n都是大于零的偶数，可先利用倍角公式降幂，再积分．(3).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(4).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(5).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(6).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由于被积函数的分子、分母为sinx，cosx的线性组合，故可用“待定系数法”计算．令12sinx+cosx=A(5sinx-2cosx)+B(5sinx-2cosx)'，则(7).。

考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷30(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷30(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．记P=，则( )．A．P＜Q＜RB．Q＜R＜PC．Q＜P＜RD．R＜P＜Q正确答案：C解析：因为三者的大小为Q＜P＜R，应选(C)．知识模块：一元函数积分学填空题2．设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ，则L所围成的平面图形的面积为________正确答案：解析：曲线所围成的平面图形的面积为知识模块：一元函数积分学3．区域D：(x2+y2)2≤x2-y2所围成的面积为_______正确答案：1解析：设区域D位于第一卦限的区域为D1，由对称性，区域D的面积为A=4A1=1．知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4．证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学5．设f(x)=正确答案：涉及知识点：一元函数积分学6．设f(x)=正确答案：涉及知识点：一元函数积分学7．设f’(x)=arcsin(x-1)2且f(0)=0，求I=正确答案：由f(0)=0得f(x)=，则涉及知识点：一元函数积分学8．设f(u)是连续函数，证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学9．设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)-f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：正确答案：由｜f(x)｜=｜f(x)-f(1)｜=｜arctanx-arctan1｜=｜arctanx-｜得涉及知识点：一元函数积分学10．证明：，其中a＞0为常数．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学11．证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学12．设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：正确答案：令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)｜ax≤6，a≤y≤b}，因为f(x)，g(x)在[a，b]上为增函数，所以F(x，y)≥0，从而涉及知识点：一元函数积分学13．设f(x)在[0，1]上可导，且｜f’(x)｜＜M，证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学14．设函数f(x)在[0，2π]上连续可微，f’(x)≥0，证明：对任意正整数n，有正确答案：因为f’(x)≥0，所以f(0)≤f(2π)，从而f(2π)-f(0)≥0．涉及知识点：一元函数积分学15．设f(x)在(-∞，+∞)上是导数连续的有界函数，｜f(x)-f’(x)｜≤1，证明：｜f(x)｜≤1．正确答案：因为f(x)有界，所以涉及知识点：一元函数积分学16．设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’’(x)＜0，证明：正确答案：令[f(x)+f(a)]，φ(a)=0，因为f’’(x)＜0，所以f’(x)单调递减，从而φ’(x)＞0(a＜x＜b)．由得φ(x)≥0(a＜x＜b)，于是φ(b)≥0，故涉及知识点：一元函数积分学17．已知f(x)在[0，2]上二阶连续可微，f(1)=0，证明：正确答案：由泰勒公式得f(x)=f’(1)(x-1)+(x-1)2，其中ξ位于1与x之间，积分得涉及知识点：一元函数积分学18．计算曲线y=的弧长．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学19．设D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)，直线l：x+y=t(t≥0)，S(t)为正方形区域D位于l左下方的面积，求正确答案：涉及知识点：一元函数积分学20．求曲线y=2e-x(x≥0)与x轴所围成的图形的面积．正确答案：所围成的面积为=2．涉及知识点：一元函数积分学21．设f(x)是(-∞，+∞)上的连续非负函数，且f(x)f(x-t)dt=sin4x，求f(x)在区间[0，π]上的平均值．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学22．设抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)满足：(1)过点(0，O)及(1，2)；(2)抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+2x所围图形的面积最小，求a，b，c的值．正确答案：由y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)得则y=ax2+(2-a)x．令ax2+(2-a)x=-x2+2x得x=0及x=所围成的图形面积为S(a)=[-x2+2x-ax2-(2-a)x]dx 得a=-3，且当a＜-3时，S’(a)＜0；当a＞-3时，S’(a)＞0，故当a=-3时，所围成的面积最小，此时a=-3，b=5，c=0 涉及知识点：一元函数积分学设L：y=sinx(0≤x≤)．由x=0，L及y=sint围成面积S1(t)；由y=sint，L及x=围成面积S2(t)，其中0＜t＜23．t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?正确答案：S1(t)=tsint-sinxdx=tsint+cost-1，S2(t)=S(t)=S1(t)+S2(t)=2(t-)sint+2cost-1．当t=时，S(t)最小，且最小面积为涉及知识点：一元函数积分学24．t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?正确答案：当t=0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)=1．涉及知识点：一元函数积分学25．设f(x)=(1-｜t｜)dt(x＞-11)，求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．正确答案：当-1＜x≤0时，f(x)=当x＞0时，f(x)=即f(x)=由故所求的面积为A= 涉及知识点：一元函数积分学26．求曲线y=xe-x(x≥0)绕x轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学27．设由y轴、y=x2(x≥0)及y=a(0＜a＜1)所围成的平面图形及由y=a，y=x2及x=1所围成的平面图形都绕x轴旋转，所得旋转体的体积相等，求a．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学设曲线y=在点(x0，y0)处有公共的切线，求：28．常数a及切点坐标；正确答案：由，切点坐标为(e2，1)．涉及知识点：一元函数积分学29．两曲线与x轴所围成的平面图形绕X轴旋转所得旋转体的体积．正确答案：所求体积为V=V1+V2，涉及知识点：一元函数积分学。

考研数学一分类真题一元函数积分学

考研数学一分类真题一元函数积分学(总分：65.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：14，分数：26.00)1.由曲线y=lnx与两直线y=(e+1)-x及y=0所围成的平面图形的面积是______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：这种求面积问题一般先画草图(见下图)，然后确定积分表达式．[*] 解1 令lnx=0，得x=1；令e+1-x=0，得x=e+1；令lnx=e+1-x，得x=e．则所求面积为 [*] 解2 对y积分，则所求面积为 [*] 本题主要考查利用定积分求面积，显然解2较解1方便．2.设f(x)f(7)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解等式[*]f(t)dt=x两边对x求导，得3x2f(x3-1)=1．令x=2，得12f(7)=1，f(7)=[*]本题主要考查变上限积分求导．3.设f(x)是连续函数，且f(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：x-1．）解析：解1 令[*]，则f(x)=x+2a．将f(x)=x+2a代入[*]，得[*]，即[*]+2a=a，由此可得a=[*] 则f(x)=x-1 解2 等式f(x)=x+[*]两端从0到1对x积分得 [*] 即 [*]，由此可知从而可知 f(x)=x-1．本题主要考查定积分的计算．本题的关键是要注意[*]是个常数，只要定出这个常数，f(x)便可求得．4.＞0)的单调减少区间为______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解F'(x)=[*](x＞0) 令[*]，解得[*]．则F(x)单调减少区间为[*] 本题主要考查变上限求导和函数单调性的判定．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解由于[*] 所以 [*] 本题主要考查变上限积分求导．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：sinx2．）解析：解令x-t=u，则 [*] 本题主要考查定积分变量代换和变上限积分求导．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解1 [*]△解2 由定积分的几何意义知，积分[*]应等于圆x2+y2=2x围成面积的[*]，此圆半径为1，其面积为[*]，故[*]．本题主要考查定积分换元法(解1)，但显然解2最好．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：解 [*] 本题主要考查广义积分计算．9.已知f'(e x)-xe-x，且f(1)=0，则f(x)=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：解令e x=t，则x=Int，代入f'(e x)=xe-x得[*]由f(1)=0知，C=0，故f(x)=[*]本题主要考查对f'(e x)的理解和不定积分．解决此类问题的方法是先作变量代换求出f'(t)，然后积分便可求得f(t)．．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解1 [*] 解2 令[*]，则 [*] 本题主要考查计算定积分的分部积分法．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：-4π）解析：解令[*]，则x=t2，dx=2tdt原式=[*]=-4π本题主要考查定积分的计算方法．重点是两种方法，即换元积分法和分部积分法．12.s=______．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解[*] 则 [*] 本题主要考查平面曲线弧长计算和变上限积分求导．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：解1 由于[*]令x-1=sint, 则dt=costdt[*]解2 由于[*]令x-1=t, 则dx=dt[*]本题是一道定积分计算的基本题，用到定积分计算中很多常用方法和结论、换元法(x-1=sint, x-1=t), 其中结论[*][*]定积分几何意义：[*](单位圆x2+y2≤1面积的[*])．．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：(ln2)．）解析：[*] 本题主要考查反常积分的计算.二、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：19，分数：19.00)15.设f(x)s＞0，t＞0，则I的值 ______∙ A.依赖于s和t．∙ B.依赖于s．t，x．∙ C.依赖于t和x，不依赖于s．∙ D.依赖于s，不依赖于t．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：解 [*] 由此可见，I的值只与S有关，所以应选D．本题主要考查定积分的概念和变量代换．16.设f(x)是连续函数，且F'(x)等于 ______∙ A.-e-x f(e-x)-f(x)∙ B.-e-x f(e-x)+f(x)∙ C.e-x f(e-x)-f(x)∙ D.e-x f(e-x)+f(x)（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：解由[*]可知F'(x)=-e-x f(e-x)-f(x)故应选A．本题主要考查变上限积分求导．17.x→0时，f(x)是g(x)的 ______∙ A.等价无穷小．∙ B.同阶但非等价的无穷小．∙ C.高阶无穷小．∙ D.低阶无穷小．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：解因为[*] 所以，当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价的无穷小．本题主要考查无穷小量阶的比较和变上限积分求导．18.双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为______A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的图形关于y轴和x轴都对称．因此，所求面积应为第一象限的4倍．而在计算双纽线围成的面积时应用极坐标方程r2=cos2θ，并且应特别注意在第一象限θ的取值范围应是0≤θ≤[*]，而不是0≤θ≤[*]．解设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则[*]所求面积为 [*]所以应选A．本题主要考查平面图形的面积计算．19. ______∙ A.N＜P＜M.∙ B.M＜P＜N.∙ C.N＜M＜P．∙ D.P＜M＜N．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：注意本题中所给三个定积分的积分区间都是关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解由被积函数的奇偶性可知 M=0 N=[*] P=[*] 因此P＜M＜N，故应选D．本题主要考查关于原点对称区间上奇偶函数积分的性质．20.设f(x)有连续导数，f(0)=0，f'(0)≠0，x→0时，F'(x)与x k是同阶无穷小，则k 等于 ______∙ A.1．∙ B.2．∙ C.3．∙ D.4．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：解1 F(x)=[*]F'(x)=[*][*]由于[*]=f'(0)≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以应选C．解2 由原题知当x→0时，F'(x)与x k为同阶无穷小，换句话说，当x→0时，F'(x)是x的k阶无穷小，本题要决定k，即要决定当x→0时，F'(x)是x的几阶无穷小，如果能决定F(x)是x的几阶无穷小，降一阶就应是F'(x)的阶数．下面来决定F(x)是x的几阶无穷小．由于f(t)=f(0)+f'(0)t+o(t)=f(0)t+o(t)由于上式中第二项o(t)是高阶无穷小，略去它不影响F(x)的阶数，则x→0时，[*]与F(x)的阶数相同，而[*]显然它是x的四阶无穷小。

专升本高等数学二(一元函数积分学)模拟试卷2

专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷2(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.cos x的一个原函数是（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：+C(C为任意常数)，可知当C=0时，cos x B．2.经过点(1，0)且在其上任一点x处的切线斜率为3x 2的曲线方程是 ( )（分数：2.00）A.y=x 3一1 √B.y=x 2一1C.y=x 3 +1D.y=x 3＋C解析：解析：因为y ' =3x 2 ,所以y=∫y ' dx=x 3 +C，又过点(1，0)，所以C=一1．3.已知∫f(x 2 )dx= +C，则（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：∫f(x 2 )dx= +C，两边求导得f(x 2 )= ，所以4.∫xf(x 2 )f ' (x 2 )dx= ( )（分数：2.00）2 (x 2 )+C √2 (x 2 )+C2 )+CD.4f 2 (x 2 )+C解析：解析：∫xf(x 2 )f ' (x 2 )dx= ∫f(x 2 )f ' (x 2 )d(x 2 )= ∫f(x 2 )df(x 2f 2 (x 2 )＋C．5.∫ －11 (3x 2 +sin 5 x)dx= ( )（分数：2.00）A.一2B.一1C.1D.2 √解析：解析：∫ －11 (3x 2 +sin 5x)dx=3∫ －11 x 2dx+∫ －11 sin 5 xdx，因为f 1 (x)=x 2为偶函数，所以∫ －11 x 2dx=2∫ 01 x 2 dx= ，因为f 2 (x)=sin 5 x为奇函数，所以∫ －11 sin 5 xdx=0．故∫ －11 (3x 2 +sin 5×3=2．∫ 0x e t dt= ( )（分数：2.00）A.e x√B.e x一1C.e x－1D.e x＋1解析：解析：因为∫ a x f(t)dt=f(x)，故0x e t dt=e x．7.设f(x)连续，则0x tf(x 2－t 2 dt)= ( )（分数：2.00）A.xf(x 2 ) √B.一xf(x 2 )C.2xf(x 2 )D.一2xf(x 2 )解析：解析：∫ 0x tf(x 2一t 2 )dt f(μ)dμ．则[∫ 0x tf(x 2－t 2x2 f(μ)dμ]=xf(x 2 )，故选A．8.设函数f(x)=∫ 0x e t2 dt，则f ' (0)= ( )（分数：2.00）A.0B.1 √C.2D.e解析：解析：因为f(x)=∫ 0x e t2 dt，所以f ' (x)=e x2，f ' (0)=1．9.由曲线y=x，x=2所围面积为( )（分数：2.00）A.∫ 12x)dxB.∫ 12 (x一√C.∫ 12 (2一12 (2一y)dyD.∫ 12 (2一12 (2一x)dx解析：解析：曲线y= 与直线y=x，x=2所围成的区域D如图3—4所示，则S D=∫ 12 (x一)dx．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：x—arctanx+C）—arctanx+C．11.已知函数f(x)在[0，1]上有连续的二阶导数，且f(0)=1，f(1)=2，f '(1)=3，则定积分∫ 01xf ''(x)dx 的值等于 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：∫ 01 xf ''(x)dx=∫ 01 xdf ' (x)=xf ' (x)｜01－∫ 01 f ' (x)dx=f ' (1)一[f(1)一f(0)]=3—2+1=2．12.设f(x)=e －x，则∫ 12．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由f(x)=e －x知，f ' (x)=一e －x，因此f ' (lnx)= ，所以13.当p 1时，反常积分∫ 1＋∞收敛．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：＜0）解析：解析：=x p－1，∫ 0＋∞dx＜∫ 0＋∞ x p－1 dx= x p｜0＋∞，只有当P＜0时，∫ 0＋∞ x p－1 dx才收敛，也即∫ 0＋∞dx收敛，故p＜0时，∫ 0＋∞dx收敛．14.由y=x 3与Ox轴旋一周所得旋转体的体积为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：交于点(0，0)，(1，1)，故绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫ 01(x－x 6)dx=．三、解答题(总题数：10，分数：26.00)15.求∫(x—e x )dx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：∫(x－e x)dx=∫xdx－∫e x一e x +C．)解析：16.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：17.求∫x 2 e x dx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：∫x 2 e x dx=∫x 2 de x =x 2 e x一∫2xe x dx=x 2 e x一2∫xde x =x 2 e x一2(xe x－∫e x dx)=x 2 e x一2xe x +2e x +C．)解析：18.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令x=2sint，如图3—3，t∈，则dx=2costdt，)解析：19.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(=sin1．)解析：20.设∫ 1＋∞1)dx=1，求常数a，b．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由此积分收敛知，应有b一a=0，即b=a，故ln(1+a)=1，所以1+a=e，a=e一1，且b=e一1．)解析：21.若01 f(t)dt，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设∫ 01 f(t)dt=k，则两边同时在[0，1]上定积分得求得．) 解析：22.已知∫ 0x (x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫ 0[*] f(x)dx=1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因∫ 0x (x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫ 0x x．f(t)dt—∫ 0x tf(t)dt=1一cosx，即x．∫ 0x f(t)dt—∫ 0x tf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫ 0x f(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫ 0x f(t)dt=sinx，故=1．)解析：已知曲线y=x 2，（分数：6.00）(1).求该曲线在点(1，1)处的切线方程；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为y ' =2x，所以在点(1，1)处的切线方程为y=2(x一1)+1=2x一1；)解析：(2).求该曲线和该切线及直线y=0所围成的平面图形的面积S；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：S=∫ 01；)解析：(3).求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：V=∫ 01π(x 2 ) 2 dx一．)解析：已知曲线y= (a＞0)与曲线(x 0，y 0 )处有公共切线，求（分数：4.00）(1).常数a及切点(x 0，y 0 )；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由题设条件可得解此方程组可得，x 0 =e 2，y 0 =1，于是切点为(e 2，1)．)解析：(2).两曲线与x轴围成的平面图形的面积S．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：画出曲线y= 的图形，则两曲线与x轴围成的平面图形(如图3—7)的面积S=∫1 (e 2y一e2 y 2 )dy= ．)解析：。

专升本高等数学第三章一元函数微积分练习题

第三章一元函数积分学1、计算下列不定积分（1）⎰-942x dx （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+-245xx dx（4）⎰+dx x 922（5）dx xe x⎰-+)12(2（6）dx xx 2)2cos 2(sin ⎰-（7）dx x x x ⎰-)tan (sec sec （8）dx x x x⎰-sin cos 2cos2、计算下列不定积分（1）⎰+-dx xx x )1)(12(（2）dx x ⎰-)32cos(π（3）dx x ⎰-32)12(（4）dx x x ⎰2cos（5）dx x ⎰-232（6）xdx e x cos 2⎰（7）⎰dx x x 2arcsin （8）⎰+22)9(x dx（9）⎰x dx 3sin（10）xdx e x 3sin 2⎰-（11）⎰xdx x 5sin 3sin3、计算下列不定积分（1）dx x x ⎰++3131（2）dx xx⎰+31（3）dx xx⎰-241（4）dx x x ⎰-229（5）dx x x ⎰+222)1( （6）⎰+dx xx )1(1104、计算下列不定积分（1）xdx x cos 2⎰（2）⎰dx e x x 32（3）⎰+dx x x )1ln(4（4）xdx x arccos 2⎰（5）dx xxx ⎰-+11ln（6）⎰xdx arc cot（7）dx x x ⎰++)1ln(2（8）dx xx x ⎰-21arcsin5、求下列极限（1）341limx dt t xx ⎰++∞→（2）2)1ln(limx dt t xx ⎰+→6、计算下列定积分（1）dx x x⎰--+213（2）dx x x ⎰-+1123)3(（3）dx x x ⎰+5231（4）dx xx ⎰-+210211（5）⎰+101xe dx（6）dx x x⎰-743（7）⎰+21ln 1e xx dx（8）dx x )2(cos 02⎰π7、计算下列定积分（1）dx xxe⎰+1ln 1（2）dx e x ⎰-2ln 01（3）dx xx⎰++311 （4）dx ee xx⎰+2ln 021 （5）dx xx ⎰-2121（6）dx x ⎰-1248、计算下列定积分（1）dx x⎰+12)1ln(（2）dx x ⎰31arctan（3）dx ex ⎰-12112（4）xdx x2cos 2⎰-ππ9、求下列图形的面积（1）曲线xxe y e y -==,与直线1=x 所围成的图形（2）曲线x y 22=与022=-+x y 所围成的图形（3）曲线x y -=1与x 轴、y 轴所围成的图形10、设曲线21x y -=，x 轴与y 轴在第一象限所围成的图形被曲线2ax y =分为面积相等的两部分，其中0>a 为常数，试确定a 的值.11、求下列各组曲线所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转，所得的旋转体体积（1）1,12+=+=x y x y（2）e x y x y ===,0,ln（3）1,0,3===x y x y12、在曲线)0(2≥=x x y 上某一点处作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为121，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程（3）由上述所围成平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积13、已知曲线三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成，求（1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕0=y 旋转成所旋转体的体积14、求由曲线xe y -=与直线0,1,0===y x x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.习题答案1、（1）C x x +-+942ln 212；（2）C x ++21arctan21；（3）C x x x ++-+-)452ln(2 （4）C x x x x +++++)922ln(42992222；（5）C x e x++arcsin 2；（6）C x x ++cos ；（7）C x x +-sec tan ；（8）C x x +-cos sin 2、（1）C x x x x +--+21232234（2）C x +-)32sin(21π（3）C x +-35)12(103（4）C x +2sin 21（5）C x x x x +-+--233ln 3323222 （6）C x x e x++)cos 2(sin 512（7）C x xx x +-+-22442arcsin )12( （8）C x x x +++3arctan 541)9(182 （9）C x x x x +-+-cot csc ln 21sin 2cos 2 （10）C x x e x++--)3cos 33sin 2(132 （11）C x x ++-2sin 418sin 161 3、（1）C x x +++32)13)(2(51；（2）C x x x x +-+-61216567arctan 625676（3）C xx +--242ln21；（4）C xx x x +---+99ln 22（5）C x xx ++⋅-2121arctan 21 （6）C x x ++10101ln101 4、（1）C x x x x ++-cos 2sin )2(2（2）C e xe e x xx x ++-33322729231 （3）C x x x x ++-+2242arctan )1ln(21 （4）C x x x x +-+-222192arccos 3（5）C xx x x x x +-+-+-+11ln 2111ln 212 （6）C x x xarc +++21ln cot （7）C x x x x ++-++1)1ln(22（8）C x x x ++--arcsin 12 5、（1）31；（2）21 6、（1）12ln 3-；（2）2；（3）)26ln 25(21- （4）1236+-π（5）)1ln(2ln 1e +-+ （6）332 （7）)13(2- （8）2π 7、（1）23 ；（2）22π-；（3）35；（4）42arctan π-；（5）33π-；（6）233+π8、（1）2ln 22+-π（2）3165-+π（3）1（4）π9、（1）21-+-e e （2）49（3）32 10、3=a 11、（1）6,157ππ==y x V V ；（2）)1(2),2(2+=-=e V e V y x ππ；（3）ππ52,7==y x V V 12、（1）)1,1(A ；（2）12-=x y ；（3）30π=x V13、（1）61；（2）4π； 14、)21(21--e π。

高等数学一元函数微积分学题目与答案A

三、一元函数积分学练习题（ A ）一．选择题1. =+⎰dx x )1(cos （）C x x A ++sin . C x x B ++-s i n . C x x C ++c o s . C x xxD ++-cos .2.=⎰dx x 41（） C x A +-331. C x B +331. C x C +31. C xD +-31.3. 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中()f x 的原函数是（） A 21x - B 21x + C 22x x - D 22x x +4. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x = （）A 1B -1C 0D x5. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（） A1x B 21x- C ln x D ln x x 6. 定积分⎰1221ln xdx x 值的符号为（）.A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定7. 曲线)2)(1(--=x x x y ,x 轴所围成的图形的面积可表示为（）.A ⎰--10)2)(1(dx x x x ； .B ⎰--20)2)(1(dx x x x ；.C ⎰⎰-----2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x ；.D ⎰⎰--+--2110)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x8. 已知dt t x F x ⎰+=021)(，则=)('x F （）212.x x A + 11.2++x B 21.x C + 11.2-+x D 9.=⎰-dx x 115（）2.-A 1.-B 0.C D .110.若()211x x F -='，()231π=F ，则()=x F （） A.x arcsin B. c x +arcsin C.π+x arccos D. π+x arcsin二．填空题1. 写出下列函数的一个原函数 (1) 52x 的原函数为 (2) cos x -的原函数为 (3)12t的原函数为(4) 221x--的原函数为2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）dx = (51)d x -；（2）xdx = 2(2)d x -；（3）3x dx = 4(32)d x +；（4）2x e dx -= 2()x d e -；（5）219dxx =+ (a r c t a n 3d x ；（6）212dxx =+ (a r c t a n 2)d x ；（7）2(32)x dx -= 3(2)d x x -；（8）dxx= (3l n )d x ；（9）21dx x=- (2a r c si n d x -；（10）21xdx x =- 21d x -.3. 若()1x f e x '=+,则()f x =4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）120x dx ⎰130x d x⎰（2）1x e dx ⎰10(1)x dx +⎰5. _________3=⎰dx e x6.__________1=⎰dx e x 7. ⎰+dx xxln 1=_____________ 8. 已知一阶导数 2(())1f x dx x '=+⎰ ，则(1)f '= 9. 当x = 时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值.10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，()⎰20dx x f =11. 已知⎰=xdt t xf y 0)(，则=dxdy12. dt ttx x x )1sin (1lim3-⎰→=三．计算题 1.不定积分的计算（1）1xxedx e +⎰ （2）12xe dx x ⎰（3）ln dx x x ⎰ （4）211x dx x --⎰（5）3431x dx x-⎰ （6）12dx x -⎰（7）223x dx x -⎰ （8）3x a dx ⎰（9）sin tdt t⎰ （10）2cos ()x dx ωϕ+⎰（11）2cos ()sin()x x dx ωϕωϕ++⎰ （12）22(arcsin )1dxx x-⎰（13）3tan sec x xdx ⎰ （14）sec (sec tan )x x x dx -⎰ （15）11cos 2dx x+⎰ （16）2(4)x x dx -⎰（17）32(32)x dx -⎰ （18）221dx xx-⎰（19）1231dx x -+⎰ （20）sin x xdx ⎰（21）x xe dx -⎰ （22）arcsin xdx ⎰（23）2t te dt -⎰ （24）2arcsin 1x dx x-⎰（25）sin cos x xe dx ⎰ （26）1cos sin xdx x x++⎰（27）dxx 43-⎰ （28）dx x 122-⎰（29）dxx xe e --⎰ （30）e 32x dx +⎰（31）()232xx dx +⎰ （32）1252+⎰x dx（33） sin 5xdx ⎰ （34）cos 25xdx ⎰（35）()()244522x dxx x +++⎰ （36）x dx x 23412-⎰（37）sin cos sin cos x x x x dx +-⎰3 （38）dxx x (arcsin )221-⎰（39）dxx x 222-+⎰ （40）sin cos sin x xx dx 14+⎰（41）2xxe dx ⎰ （42）23523x xxdx ⋅-⋅⎰2.定积分的计算（1）10e x x dx -⎰ （2）e1ln x xdx ⎰（3）41ln x dx x ⎰ （4）324sin xdx xππ⎰（5）220e cos x xdx π⎰ （6）221log x xdx ⎰（7）π2(sin )x x dx ⎰ （8）e1sin(ln )x dx ⎰（9）121ln(1)x x dx -++⎰ （10）41xdx ⎰（11）dx x x x )1(241+⎰ （12）dx xx ⎰+10241 （13）dx x⎰+20241（14）dx x x ⎰40tan sec π（15）xdx ⎰242cot ππ （16）⎰--112d x x x（17）dx ⎰2121)-(3x1 （18）dx ⎰+3ln 0x x e 1 e（19）dx x x ⎰-123 （20）⎰1arctan xdx x3.反常积分的计算（1）2048dxx x +∞++⎰ （2）21arctan x dx x+∞⎰ （3）11(1)dx x x -⎰ （4）1ln e dx x x ⎰4. 比较下列各对积分的大小：（1）⎰40arctan πxdx 与⎰402)(arctan πdx x（2）⎰43ln xdx 与⎰432)(ln dx x（3）dx x ⎰-+1141与dx x ⎰-+112)1(（4）⎰-2)cos 1(πdx x 与⎰2221πdx x四．综合题 1.求导数（1）201x d t dt dx +⎰ （2）5ln 2x t d t e dt dx -⎰（3）cos 20cos()x d t dt dx π⎰ （4）sin x d t dt dx tπ⎰ (0x >).2. 验证下列等式 (1) 2311d 2-=-+⎰x x C x ； (2) (sin cos )cos sin x x dx x x C +=-++⎰.3. 求被积函数()f x . (1) 2()ln(1)f x dx x x C =+++⎰；(2) 21()1f x dx C x=++⎰.4 求由下列曲线所围成的平面图形的面积： (1) 2y x =与22y x =-(2) x y e =与0x =及y e =(3) 24y x =-与0y =(4) 2y x =与y x =及2y x =5. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积： (1) ,1,4,0y x x x y ====，绕x 轴；(2) 3,2,y x x x==轴，分别绕x轴与y轴；(3) 22,y x x y==，绕y轴；(4) 22(5)1x y-+=，绕y轴．(5).32y x=，x=4 ,绕y轴．6. 当k 为何值时，反常积分+2(ln )kdxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这反常积分发散?7. 设13201()()1f x x f x dx x =++⎰，求10()f x dx ⎰．8. 求函数2()(1)x t f x t e dt -=-⎰的极值．9. 设()f x 在[],a b 上连续，且()1baf x dx =⎰，求()baf a b x dx +-⎰．10. 设曲线通过点(0,1)，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为x e -，求此曲线方程．11. 设3()1x x f e e '=+,且(0)1f =,求()f x .12. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ.13. 设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dxx f .14. 已知222(sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ，求()f x .三、一元函数积分学练习题（ A ）参考答案一．选择题1. A2. A3. D4. A5. B6. B7. C8. C9. C 因为5x 为奇函数 10. D二．填空题1. 写出下列函数的一个原函数(1) 613x (2) sin x - (3) t (4) 2arcsin x -2. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立（1）51；（2）21-；（3）121；（4）21-；（5）31；（6）21；（7）1-（8）31；（9）1-；（10）1-3. ()(1ln )ln f x x dx x x C =+=+⎰4. 根据定积分的性质，比较积分值的大小（1）11230x dx x dx >⎰⎰；∵ 当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x 3x ,所以11230x dx x dx >⎰⎰（2）11(1)x e dx x dx >+⎰⎰；令()1,()1x x f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1x e x ≥+，所以11(1)x e dx x dx >+⎰⎰5. C e x+33 6. C e x +-- 7. c x x ++2ln 21ln 8. 229. 0. 10.3811. )()(0x xf dt t f x+⎰ 12. 181-三．计算题 1.不定积分的计算（1）1(1)ln(1)11x x x x x e dx d e e C e e=+=++++⎰⎰ （2）11121xxx e dx e d e C x x =-=-+⎰⎰（3）ln ln ln ln ln dx d xx C x x x==+⎰⎰ （4）211(1)ln 11(1)(1)1x x d x dx dx x C x x x x --+===++-+-+⎰⎰⎰（5）3444444333(1)3ln 1141414x dx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰ （6）1(12)1ln 12122122dx d x x C x x -=-=--+--⎰⎰ （7）22222211(23)123263232323xdx d x dx x C x x x -==-=--+---⎰⎰⎰（8）33311(3)33ln x x x a dx a d x a C a==+⎰⎰ （9）sin 2sin 2cos tdt td t t C t==-+⎰⎰ （10）21cos(22)cos ()2x x dx dx ωϕωϕ+++=⎰⎰11 cos(22)(22)24x x d x ωϕωϕω=+++⎰ 11sin(22)24x x C ωϕω=+++ （11）221cos ()sin()cos ()cos()x x dx x d x ωϕωϕωϕωϕω++=-++⎰⎰31cos ()3x C ωϕω=-++ （12）222arcsin 1(arcsin )arcsin (arcsin )1dxd x C x xx x ==-+-⎰⎰（13）32231tan sec tan sec (sec 1)sec sec sec 3x xdx xd x x d x x x C ==-=-+⎰⎰⎰（14）2sec (sec tan )(sec sec tan )tan sec x x x dx x x x dx x x C -=-=-+⎰⎰（15）221111sec tan 1cos 22cos 22dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰ （16）515173222222228(4)(4)473x x dx x x dx x dx x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰⎰（17）33522211(32)(32)(32)(32)25x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰（18）令sin ()22x t t ππ=-<<，则cos dx tdt =，所以22222cos 1csc cot sin cos 1dxtdt x tdt t C C t t x xx-===-+=-+⋅-⎰⎰⎰ （19）令23x t -=,则23,2t x dx tdt +==,所以 11(1)ln(1)11231tdt dx dt t t C t t x ==-=-++++-+⎰⎰⎰23ln(231)x x C =---++（20）sin cos cos cos cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰ （21）x x x x x x xe dx xde xe e dx xe e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰ （22）222111arcsin arcsin arcsin (1)211xdx x x x dx x x d x x x =-⋅=+---⎰⎰⎰ 2arcsin 1x x x C =+-+ （23）2222221111122224t tt t t t te dt tde te e dt te e C ------=-=-+=--+⎰⎰⎰ （24）22arcsin 1arcsin arcsin arcsin 21xdx xd x x C x ==+-⎰⎰（25）sin sin sin cos sin x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰ （26）1cos (sin )ln sin sin sin x d x x dx x x C x x x x ++==++++⎰⎰（27）dx x 43-⎰=1(43)1ln 434434d x x C x -=-+-⎰。

考研数学一(一元函数积分学)模拟试卷7(题后含答案及解析)

考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷7(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．设是f(x)的一个原函数，则=__________。

正确答案：解析：由于是f(x)的原函数，所以，所以知识模块：一元函数积分学2．正确答案：ln3解析：知识模块：一元函数积分学3．=_________．正确答案：，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学4．设f’(sin2x)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，则f(x)=____________．正确答案：一ln(1一x)一x2+C，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学5．设y=y(x)，若，且x→+∞时，y→0，则y=_________．正确答案：e-x解析：由已知得由不变积分定义有所以∫ydx=±y→±y’=y，即分离变量，两边积分，再由已知条件得结果y=e-x．知识模块：一元函数积分学6．设f(x)连续，则=___________.正确答案：xf(x2)解析：知识模块：一元函数积分学7．设n是正整数，则正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学8．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．定积分中值定理的条件是f(x)在[a，b]上连续，结论是___________．正确答案：在[a，b]上至少存在一点ξ，使涉及知识点：一元函数积分学10．正确答案：1解析：知识模块：一元函数积分学11．正确答案：解析：令则x=t2+2，dx=2tdt，知识模块：一元函数积分学12．反常积分正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学13．反常积分正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学14．曲线9y2=4x3上从x=0到x=1的一段弧的长度为__________．正确答案：解析：曲线方程可化为，弧长元素知识模块：一元函数积分学15．正确答案：－xf(x2－1)解析：知识模块：高等数学部分16．设f(x，y)在区域D：x2＋y2≤t2上连续且f(0，0)＝4，则正确答案：8π解析：知识模块：高等数学部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

专升本高等数学(二)-一元函数积分学(一)

专升本高等数学(二)-一元函数积分学(一)(总分：99.92，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)1.在区间(a，b)内，如果f'(x)=g'(x)，则下列各式中一定成立的是______∙ A.f(x)-g(x)∙ B.f(x)=g(x)+1∙ C.(∫f(x)dx)'=(∫g(x)dx)'∙ D.∫f'(x)dx=∫g'(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于f'(x)=g'(x)，则f(x)与g(x)之间相差任意常数．2.如果等式成立，则f(x)等于______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的定义，有[*]，即 [*]，则[*]．3.设cotx是f(x)的一个原函数，则f(x)等于______∙ A.csc2x∙ B.-csc2x∙ C.sec2x∙ D.-sec2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由原函数的定义，有f(x)=(cotx)'=-csc2x．4.下列等式中，成立的是______ A．d∫f(x)dx=f(x) B．∫f(x)dx=f(x)dxD．d∫f(x)dx=f(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由不定积分的基本性质可知，d∫f(x)dx=f(x)dx成立．5.设f'(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)=______A．cosx+cos2x B．cos2x-cos4xC．x+x2 D．x2（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f'(cos2x)-sin2x=1-cos2x，f'(x)=1-x，f(x)=∫f'(x)dx=∫(1-x)dx=x-[*]+C由f(0)=0，得C=0，则f(x)=x-[*]．6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-x f(e-x)dx等于______∙ A.F(e-x)+C∙ B.-F(e-x)+C∙ C.F(e x)+C∙ D.-F(e x)+C（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 凑微分法，使用凑微分公式e-x dx=d(e-x)，∫e-x f(e-x)dx=-∫f(e-x)de-x=-F(e-x)+C．7.等于______ A．+sinx+C B．-cotx+sinx+C D．cotx+sinx+C （分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] [*]．8.设函数f(x)=2x，则不定积分∫f'(x)dx等于______A．2x In2+C B．2x+C C+C D．2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的基本性质，∫f'(x)dx=∫(2x)'dx=2x+C．9.若f(x)的一个原函数是e-x，则不定积分∫xf(x)dx等于______∙ A.e-x(x+1)+C∙ B.e-x(1-x)+C∙ C.e-x(x-1)+C∙ D.-e-x(x+1)+C（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 因为e-x是f(x)的一个原函数，则有f(x)=(e-x)'=-e-x,由分部积分公式，∫xf(x)dx=-∫xe-x dx=∫xd(e-x)=xe-x-∫e-x dx=xe-x+e-x+C.10.若cosx是f(x)的一个原函数，则∫xf'(x)dx等于______∙ A.xsinzc+cosx+C∙ B.-xsinx+cxosx+C∙ C.xsinx-cosx+C∙ D.-xsinx-cosx+C（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 因为cosx是f(x)的一个原函数，则有f(x)=(cosx)'=-sinx，由分部积分公式，∫xf'(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=-xsinx-cosx+C．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)11.若∫f(x)dx=arcsin2x+C，则f(x)= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式dx=[*](1-3x)， [*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*](x2)，[*]14.∫x2e2x3=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式x2dx=[*](2x3)[*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*]．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：arcsinlnx+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]=dlnx， [*]17.设∫f(x)dx-F(x)+C，则∫sinxf(cosx)dx=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-F(cosx)+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式sinxdx=-dcosx ∫sinxf(cosx)dx=-∫f(cosx)dcosx=-F(cosx)+C．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：ln|x+cosx|+C）解析：凑微分法，使用凑微分公式(1-sinx)dx=d(x+cosx)， [*]19.f(x)=e-x．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：凑微分法，使用凑微分公式[*]=dlnx， [*]20.∫xf(x2)f'(x2)dx=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：使用凑微分公式xdx=[*]，f(x2)dx=df(x2)，连续两次凑微分[*]三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：1，分数：80.00)求下列不定积分．（分数：79.92）2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先对被积函数进行代数式的恒等变形，化为幂函数的代数和，然后用幂函数的积分公式，逐项积分． [*])解析：(2).∫3x e x dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先用指数的运算法则将被积函数转化为指数函数的形式，然后用指数函数的积分公式，求不定积分． [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题应先用二倍角的余弦公式，将被积函数进行三角函数式的恒等变形，然后再逐项积分．[*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5).∫cos(2x-1)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式dx=[*](2x-1)， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式dx=-2d[*]， [*])解析：(7).计算∫xcosx2dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*]， [*])解析：(8). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(用凑微分法，使用凑微分公式xdx=[*](x2-3)，[*])解析：(9). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*])解析：(10). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*]， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(12). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(凑微分法，使用凑微分公式[*] [*])解析：(13).计算∫tanx(tanx+1)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(使用积分公式∫tanxdx=-ln｜cosx｜+C,∫tanx(tanx+1)dx=∫(tan2x+tanx)dx=∫(sec2x-1+tanx)dx=tanx-x-ln｜cosx｜+C.)解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作根式代换，令[*]，则x=1-t2，dx=-2tdt，[*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作根式代换，令[*]，则[*]，dx=tdt， [*])解析：（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作正弦代换，令x=2sint，则dx=2costdt， [*])解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(作正切代换，令x=tant，则dx=sec2tdt，[*])解析：(18).计算∫xtan2dx．（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(∫xtan2xdx=∫x(sec2x-1)dx=∫xdtanx-∫xdx=xtanx-∫tanxdx-∫xdx=xtanx+ln｜cosx｜-[*]+C.)解析：(19).计算∫x3lnxdx．（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(20). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(用凑微分法与分部积分法求不定积分． [*])解析：(21).计算∫e2x cose x dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(∫e2x cose x dx=∫e x cose x de x=∫e x dxine x=e x sine x-∫sine x de x=e x sine x+cose x+C.)解析：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(先进行根式代换，再用分部积分法求不定积分．令[*]，得x=t2=1，dx=2tdt，则有[*])解析：(23).∫e2x sin x xdx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]其中[*]经整理得∫e2x cos2xdx=[*](sin2x+cos2x)+C1所以[*])解析：(24). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(25). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(26). 2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(27).设f(x)的一个原函数是xlnx，求∫xf(x)dx.（分数：2.96）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f(x)=(xlnx)'=lnx+1. [*])解析：。

考研数学三一元函数积分学-试卷1_真题(含答案与解析)-交互

考研数学三（一元函数积分学）-试卷1(总分64, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.下列反常积分中收敛的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：利用对，则有若q＞1，则积分，收敛；若q≤1，则积分I发散．由此可知应选(C)．令t=lnx通过换元法，经计算也可选出(C)．2.下列反常积分其结论不正确的是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C解析：对于(A)：由于收敛，于是故(A)正确．对于(B)：由分部积分有综上分析，(C)不正确，故选(C)．3.设M=，则有SSS_SINGLE_SELA M＜1＜N．B M＜N＜1．C N＜M＜1．D 1＜M＜N．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在上连续，由sinx ≤ x知sin(sinx)即N＞1．因此选(A)．4.设P=．则有SSS_SINGLE_SELA P＜Q＜1．B P＞Q＞1．C 1＜P＜Q．D 1＞P＞Q．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：利用上连续，且满足由Q＜P可见结论(A)，(C)不正确，由可见结论(B)不正确．故应选(D)．5.设函数f(x)=，则SSS_SINGLE_SELA F(x)是f(x)在(-∞，+∞)上的一个原函数．B F(x)在(-∞，+∞)内可微，但不是f(x)的原函数．C F(x)在(-∞，+∞)上不连续．D F(x)在(-∞，+∞)上连续，但不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函数．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：(1)利用分段积分法求F(x)，当x≤0时，由此可见F(x)在(-∞，+∞)上连续，在x≠0处F"(x)=f(x)，又F"- (0)=(x 2 +1)｜x=0=1，F"+(0)，从而F"(0)不存在．因此(A)，(B)，(C)都不正确，应选(D)． (2)不必计算F(x)．因为f(x)在(-∞，+∞)上的任意区间[a，b]上可积，故F(x)连续，但x=0是f(x)的跳跃间断点，不存在原函数，故选(D)．6.设函数则在(-∞，+∞)内SSS_SINGLE_SELA f(x)不连续，F(x)可微且是f(x)的一个原函数．B f(x)不连续且不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数．C f(x)与F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数．D f(x)连续，且F"(x)=f(x)．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：可验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为上式等号右端第二项极限不存在(无界，但不为无穷大量)．但可以验证F(x)在x=0处可微，且即当x∈(-∞，+∞)时有F"(x)=f(x)，因而F(x)是f(x)在(-∞，+∞)上的一个原函数．故选(A)．7.设F(x)=，f(x)连续，则F"(x)=SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得故应选(A)．2. 填空题1.函数f(x)=上的平均值为_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：1解析：由于2.设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos 2 x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且F(0)=0，则F(x)=______.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：-2sinx解析：按题意F(x)= 为求f(x)，将题设等式求导得f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]=(cos 2 x+C)"=-2sinxcosx，从而f(x)=-2cosx，于是3.若函数f(x)连续并满足f(x)=x+，则f(x)=_____．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：定积分是积分和的极限，当被积函数与积分区间确定后，它就是一个确定的数．从而由题设知可令，只要求得常数A就可得到函数f(x)的表达式．为此将题设等式两端同乘x并从0到1求定积分，就有4.已知反常积分=______.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：利用分部积分法，可得3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一元微积分数学函数题库有答案

一元微积分数学函数题库有答案一元微积分学数学（1）函数一、填空题： 1．函数 y=arcsin 92-x定义域是:310103-≤≤-⋃≤≤x x2.设y=f (x)的定义域是[0，1]，则复合函数f (sinx)的定义域是:z k k x k ∉+≤≤,22πππ.3．函数33+=x y 的值域是 0≤y ≤+∝ . 4．函数)1,0(11≠>+-=a a ax ax y 的反函数是:axa xy +-=1. 5．函数12+-=x y 在区间 ]0,(-∞ 内是单调增加的.在区间)0[∞+，内是单调减少.6．设21)1(x x xf ++=，（x>o ）,则)(x f =x x 211++.7．设1)(-=x x x f ,则))(((x f f f =1-x x, ))((x f f = x . 8．函数⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=x x x x x y x 4,241,1,2的反函数y=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤≤≤<<-∞.16,log ,161,,1,2x x x x x x. 二．选择题：1．在同一直角坐标系中，函数与它的反函数说代表的曲线具有的性质是（D ）(A) 关于y 轴对称; (B) 关于x 轴对称; (C)重合； (D) 关于直线y=x 对称.2.下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是（C ）.（A ）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(= （B ）x x f =)(与2)(x x g = （C ）2)(x x g =与2)(x x g = （D ）1)(=x f 与xxx g =)( 3．已知的定义域为则的定义域是（C ）（A ）[-a,3a] (B) [a,3a] (C) {a} (D) {-a} 4．如果1)(-=x xx g ，那么))(1(x f f 的表达式是（B ）(A) x-1 (B)1-x (C)xx 1- (D) 都不是三．设函数)(x f y =是线性函数，已知,3)1(,1)0(-==f f 求此函数. 解：设f(x)=ax+b,则有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四．证明函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界.证明：f(x)的定义域为R.xx x x1112+=+因为2111,21≤+≥+xx xx 所以所以：函数1)(2+=x xx f 在它的整个定义域内是有界五．试讨论函数21121)(+-=x x f 的奇偶性.解：21121)(+-=x x f21121)(+-=--x x f211211+-=x 212211+-=xx 21212+-=x x 2121211+-+-=xx 212111+-+-=x21211--=x )(x f -= 所以 21121)(+-=xx f 偶函数. 一元微积分学题库（2）数列的极限一．判断题：1．如果数列{n u }以A 为极限，那么在数列｛n u ｝增加或去掉有限项之后，说形成的新数列｛n u ｝仍以阿A 为极限． ( T )2．如果0lim =∞→n n n v u ，则有0lim =∞→n n u 或0lim =∞→n n v( F )3．如果a a n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n>N 时恒有n a ＜０，则必有a<０． ( F )4．如果n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 均不存在，则有)(lim n n n b a +∞→必不存在． ( F )一元微积分学题库（3）函数的极限，无穷大，无穷小一．选择题：下列题中其条件对其结论来说是（Ａ）充分但非必要条件；（Ｂ）必要但非充分条件；（Ｃ）充分必要条件：（Ｄ）既非充分又非必要条件；１．条件a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim .结论b a b a n n n +=+∞→)(lim （A ）２．条件)(lim 0x f a n -→和)(lim 0x f a n +→都存在.结论)(lim x f an →存在（B ）３．条件)(lim x f an →和)(lim x g an →都存在.结论 )]()([lim x g x f an +→存在. （A ）４．条件f(x)在a 的某个邻域内单调有界．结论)(lim x f an →存在．（D ）三．求0)(,)(→==x xx x g x xx f ，当时的左右极限，并说明它们在x →0时的极限是否存在？解：xxx f =)(=1，所以1)(lim 0=→x f x .⎩⎨⎧><-==.0,1,0,1)(x x x xx g 所以 1)(lim 00-=-→x g x ， 1)(lim 00=+→x g x 显然≠-→)(lim 00x g x )(lim 00x g x +→，故)(lim 0x g x →不存在.五．证明：函数 xx y 1cos 1=在区间（０，１］上无界，但当x →＋０时，这函数不是无穷大．证明：1. 取+∞→∈=k N k k x 当),(21π时，x x y 1cos 1==+∞=πk 2 所以 x x y 1cos 1=在区间（０，１］上无界.2.取0),(21+→+∞→∈+=x k N k k x 时，当ππ，x x y 1cos 1==021⋅+ππk =0即在0的任何邻域都不可能有M xx y >=1cos 1（M>0）成立. 所以当x →＋０时，这函数不是无穷大．一元微积分学题库（4）极限的求法一．判断题：下列运算是否正确：0)(lim .12=∞-∞=--∞→x x x n(F).1)53(lim )32(lim 5332lim .24343=∞∞=++=++∞→∞→∞→x x x x x x x(F)0lim 2lim 1lim )21(lim .3222222=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n n n （F ）二．计算下列极限：１．x x xx x x 2324lim 2230++-→解：xx x x x x 2324lim 2230++-→ =23124lim 20++-→x x x x =21 ２．)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→解：)2141211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→=211)21(1lim--∞→nn =2３．)1111(lim 31x x x ---→ 解：设31111)(x x x f ---=，则311111)(1x x x f ---=因为2313111lim 11111lim )(1lim x x x x x x f x x x +-=---=→→→=0，所以∞=→)(lim 1x f x即：∞=---→)1111(lim 31xx x 从而时，当,10,1lim .40-∞→-→→xx x arctg x 从而时，当,10,21lim 0+∞→+→-=-→x x x arctgx π)(.1lim ,21lim 00T xarctg x arctgx x 不存在所以→+→=π４．x x x 11lim-+→ 解：xx x 11lim-+→ =)11()11()11(lim++⋅++⋅-+→x x x x x=)11(lim++⋅→x x x x=111lim 0++→x x=21 ５．xarctgxx ∞→lim解：因为 22ππ<<-arctgx 所以arctgx 为有界函数.而 xx 1lim∞→=0，由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知.x arctgxx ∞→lim =0６．)(lim x x x x x -+++∞→解：)(lim x x x x x -+++∞→=xx x x x x x x x x x x x ++++++⋅-+++∞→)()(lim=xx x x x x x x x +++-+++∞→)(lim=xx x x x x x +++++∞→lim=xxx 111111lim+++++∞→=21 ７．)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→解：)1()1)(1(lim 2n n x x x +⋅⋅⋅++∞→=x x x x x n n -+⋅⋅⋅++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2=xx n n --∞→11lim 2=x-11 三．已知a x f x a x x x x f x 存在，求且)(lim ,3,3,3)(3→⎩⎨⎧<+≥-=解：)(lim 03x f x +→=3lim3-+→x x =0，)(lim 03x f x -→=)(lim 03a x x +-→=3+a,)(lim 3x f x →存在，即：)(lim 03x f x +→=a x f x +==-→3)(lim 003所以. 3-=a .一元微积分学题库（5）极限存在准则两个重要极限无穷小的比较一、判断题：1．因为0→x 时，tgx~x,sinx~x,所以 0lim sin lim 330=-=-→→xxx xtgx x x x （F ） 2． 222)21(lim )2(lim e xx x xx x x =+=+•∞→∞→ (T)3． 1sin lim )sin (lim sin lim=⋅=⋅=→→→x xx tgx x x x tgx x tgx x x x πππ (F)二、计算下列极限1. xxx 5sin 2sin lim 0→解：x x x 5sin 2sin lim 0→=)525sin 522sin (lim 0⋅⋅→x x x x x =⋅→x x x 22sin lim 0⋅→x x x 5sin 5lim 052=522. xctgx x 0lim →解：xctgx x 0lim →=)cos sin (lim 0x x x x ⋅→=)sin (cos lim 0x x x x ⋅→=⋅→x x cos lim 0xxx sin lim0→=1 3. xx xx sin 2cos 1lim0-→解：x x x x sin 2cos 1lim 0-→=x x x x sin sin 2lim 20⋅→=x x x sin 2lim 0→=xx x sin lim 20→⋅=24. xx x 1sin lim ∞→解：x x x 1sin lim ∞→=x x x 11sinlim∞→=xx x11sinlim 01→=1.5. kx x x)11(lim -∞→解：kx x x )11(lim -∞→=)()()11(lim k x x x -•-∞→--+=k x x x --∞→--+])11[(lim =ke -6. xx x x )11(lim -+∞→解：x x x x )11(lim -+∞→=x x x x ]12)1([lim -+-∞→=xx x )121(lim -+∞→=1221)2111(lim +•-∞→-+x x x=)]2111()2111[(lim 221-+⋅-+•-∞→x x x x =2e . 二、证明：当x →0时，下列各对无穷小量是等价的 1.x arctgx ~证明：设A=arctgx,则 x=tgA, 当0→x 时，0→A . xarctgxx 0lim→=tgA A A 0lim →=1 2.1-cosx ~ 22x证明：2cos 1lim 20x x x -→=2)2sin(2lim 220x x x ⋅→=2202)2(2)2sin(2lim x x x ⋅⋅→=222)2()2sin(lim x x x →=1. 四、证明：0)2124321(lim =-⋅⋅⋅⋅∞→nn n 用两边夹法则：（解法一）设F(n)= n n 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 则2)2124321()(nn n F -⋅⋅⋅= 22222)2()12(4321n n -⋅⋅⋅⋅=1)2()12(14312122222--⋅⋅⋅-⋅-<n n )12()12()12(75353122+⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n121+=n 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.（解法二）：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅>0 因为 n n n n 112-<--（n 为自然数），所以有F(n)< 12254322124321+⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n n=n21 设 g(n)=0, h(n)= 121+n , 则g(n)=0 < F(n) < h(n).显然0)(lim =∞→n g n ，0)(lim =∞→n h n ；由极限存在准则I 知：0)(lim =∞→n F n .证毕.另解：设F(n)=nn 2124321-⋅⋅⋅⋅( 0<F(n)<1 )，则F(n+1)= 122)(+⋅n nn F ，有F(n+1)<F(n).所以F(n)为单调有界数列，由极限存在准则II 知F(n)有极限.设A n F n =∞→)(lim .则有)1(lim +∞→n F n =))(1(lim n F n nn ⋅+∞→ )1(lim +∞→n F n =1+n n)(lim n F n ∞→⋅A=1+n nA , A=0. 即0)(lim =∞→n F n .证毕.五、设2112,,2,1,10n n n x x x n x -=⋅⋅⋅=<<+，证明数列}{n x 的极限存在，并求其极限.证明： 212n n n x x x -=+ 2211n n x x -+-=2)1(1n x --= ]))1(1(1[1221-----=n x 221)1(1---=n x 322)1(1---=n x = (1)21)1(1---=k x因为 ,101<<x 所以 ,10<<n x 因为 212n n n x x x -=+所以)1(1n n n n x x x x -=-+>0 即： n n x x >+1 所以}{n x 为单调有界数列，由极限存在准则II 知}{n x 有极限. A x n n =∞→lim ，则有 )2(lim lim 21n n n n n x x x -=∞→+∞→，A=2A--2A ，解得：A=1 或A=0（舍去，因为}{n x 为递增数列且01>x .）所以 1lim =∞→n n x一元微积分学题库（6）函数的连续性一．判断题1．21))12)(12(1...5*313*11(lim =+-+++∞→n n n （ T ） 2.设)(x f 在0x 点连续，则)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=（ T ）3．如果函数)(x f 在],[b a 上有定义，在],[b a 上连续，且<)(*)(b f a f 0，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)(ξf = 0（ T ）4．若)(x f 连续，则)(x f 必连续. （ T ）5．若函数)(x f 在],[b a 上连续且恒为正，则)(1x f 在],[b a 上必连续. （ T ）6．若a x f x x =→)(lim 0,且0>a ，则在0x 的某一邻域内恒有0)(>x f .（ F ）7．0=x 是函数xx x f 1sin )(=的振荡间断点.（ F ）二．填空题：1．-→ππx xx sin lim (1-)2. =∞→x x x sin lim ( 0 )3. =+--+-→123lim2312x x x x x x ( ∞ ) 4. 0=x 是xe xf 1)(=的第（二）类间断点.三．求xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛++→解：xx x x sin 10sin 1tan 1lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→=()()1sin 1tan 1lim sin 1sec cot 0==++→ee x x xxx x 四．求函数4tan()1()(π-+=x xx x f 在)2,0(π内的间断点，并判断其类型.解：)(x f 在()π2,0内的间断点有：4π=x ，43π=x ，45π=x ，47π=x因为 ),(lim 4x f x π→)(lim 45x f x π→不存在，,1)(lim 43=→x f x π1)(lim 47=→x f x π 所以43π=x ，47π=x 是)(x f 的第一类（可去）间断点; 4π=x ，45π=x 是)(x f 的第二类间断点.五．设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f ，（1）求)(x f ；（2）当)(x f 连续时，求b a ,的值.解：(1) n n n n xx bx ax x f 2122231lim )(---∞→+++= ∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+-=-+-=++>=112112111)(2x bx ax x b a x b a x x x f(2) )(x f 连续21)1(11lim)(lim 0101ba f x x f x x ++====+→+→1=+⇒b a21)1(11lim )(lim )01()01(ba f x x f x x -+-====--→--→ 1-=-⇒b a∴⎩⎨⎧==1b a .一元微积分学题库（7）连续函数的性质一．计算下列极限： 1．2321lim4--+→x x x 解：原式= )321)(4()2)(921(lim4++-+-+→x x x x x =321)2(2lim4+++→x x x =342．22011lim xx x +-→ 解：原式=2220)11(lim x x x x ++→=)11(lim 20x x ++→=2 3．x x x sin lnlim 0→ 解：原式=)sin lim ln(0xxx →=01ln =4．ctgx x tgx )31(lim 0+→解：原式=tgxx tgx 33)31(lim +→=331])31(lim [tgx x tgx +→=3e5．145lim1---→x xx x解：原式=)45)(1()1(4lim1x x x x x +---→=xx x +-→454lim1=26．xe x x 1lim 0-→解：令t e x =-1，得)1ln(+=t x ，当0,0→→t x 时原式=)1ln(limt tt +→=tt t 10)1ln(1lim+→=])1(lim ln[110tt t +→=1ln 1=e二．证明方程b x a x +=sin 至少有一个不超过b a +的正根（其中0,0>>b a ）. 证明：设x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在],0[b a +上连续. 又0)0(>=b f ，0]1)[sin()(≤-+=+b a a b a f . 若0)(=+b a f ，则结论成立.若0)(<+b a f ，则由零点定理0)(),0(=+∈∃ξξf b a 使得. 三．设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得ξξ=)(f .证明：设x x f x F -=)()(，则)(x F 在]1,0[上连续. 又0)0(0)0()0(≥=-=f f F ,01)1()1(≤-=f F 若0)1(0)0(==F F 或，则结论成立.若0)1(0)0(<>F F 或，则由零点定理0)()1,0(=∈∃ξξf 使得. 四．设)(x f 在),(b a 上连续，且B x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim 00，又存在),(1b a x ∈使 B x f >)(1.证明)(x f 在),(b a 上有最大值. 证明：取),(1B x f -=ε1δ∃, 当10δ<-<a x 时, B x f B x f -<-)()(1. 即当),(1δ+∈a a x 时，)()(1x f x f <.2δ∃, 当02<-<-b x δ时, B x f B x f -<-)()(1. 即当),(2b b x δ-∈时，)()(1x f x f <.若21δδ->+b a ,)(1x f 为最大值),(1b a x ∈.若21δδ-≤+b a ,)(x f 在],[21δδ-+b a 上连续,必有最大值. )()(10x f x f ≥, ],[210δδ-+∈b a x .∴在),(b a 上)(x f 取得最大值)(0x f .一元微积分学题库（8）导数的概念一．选择题：1．设f ′ (x)存在，a 为常数，则ha h x f a h x f h )()(lim0--+→等于（C ）. (A) f ′(x) ; (B) 0 ; (C) )('2x f a; (D) )('2x f .2. 在抛物线23x y =上，与抛物线上横坐标11=x 和22-=x 的两点连线平行的切线方程是（B ）.(A) 12x-4y+3=0; (B)12x+4y+3=0; (C) 4x+12x+3=0; (D)12x+4y+1=0.3. 将一个物体铅直上抛，设经过时间t 秒后，物体上升的高度为22140gt t s -=，则物体在3秒时的瞬时速度为（B ）.(A) g 2340-; (B) 40-3g ; (C) 0 ; (D) g 29120-.4. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f 在x=0处 (B). (A) 连续且可导；（B ）连续，不可导；（C ）不连续；（D ）都不是.二．设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在处x=1可导，求a 和b. 解：)(x f 在x=1处可导∴)(x f 在x=1处连续，可得 )(lim )(lim 0101x f x f x x -→+→= 即 1=+b a (1)又)(x f 在x=1处可导, 可得1)1()(lim1)1()(lim0101--=---→+→x f x f x f x f x x 即 211lim 11lim20101=--=--+-→+→x x x b ax x x (2) 由(1),(2)得 2=a , 1-=b . 三．设5323)(xx x x f =，求)('x f .解: 67)(x x f =, 由幂函数的导数公式可得6167)('x x f =.四．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)('x f .（提示：分段点x=0处的导数用导数的定义求）解: 当x=0时, 令0-=x h , 1sinhlim )0()0(lim 00==-+--→→hh f h f h h ;1lim )()0(lim 00==-+++→→h hh x f h f h h .所以 1)0('=f∴ ⎩⎨⎧≥<=0,10,cos )('x x x x f五．设f(x)在),(+∞-∞上有连续导函数.证明f(x)为偶函数的充要条件是：)('x f 为奇函数（充分性的证明用到不定积分的概念，只证必要性）.证明: 对于∀ ),(0+∞-∞∈x 则有),(0+∞-∞∈-x 依题意令0x x h -=有 h x f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→;hx f h x f x f h )()(lim)('0000--+-=-→;)(x f 为偶函数).(')()(lim )('00000x f hx f h x f x f h -=--=-∴→一元微积分学题库（9）求导法与复合函数求导一．填空题：1．曲线xx y 1-=与x 轴交点的切线方程是)1(2±=x y .2．曲线2sin 2x x y +=在横坐标x=0点处的切线方程是x y 2=,法线方程是x y 21-=.3．设x x y ln 1ln 1+-=，则2)ln 1(2'x x y +-=. 4．设xxy 2sin =，则22sin 2cos 2'x x x x y -=. 5．设)(cos )(sin 22x f x f y +=，则x x f x x f y 2sin )(cos '2sin )(sin ''22-=. 二．求下列函数的导数.1. 52322+-=xx y .解: 3222246)'2()'3()'523('x x x x x x y +=-=+-=.2. x x y cos 2=.解: )'(cos cos )()'cos ('222x x x x x x y +==x x x x sin cos 22-=. 3. x x y cos sin ⋅=.解: x x x x y 2cos )'2sin 21()'cos (sin '==⋅=.4. )13(2+-=x x e y x .解: )'13()13('22+-++-=x x e x x e y x x )3213(2-++-=x x x e x )2(2--=x x e x .5. 110110+-=x x y .解: 2)110()110(10ln 10)110(10ln 10'+--+=x x x x x y2)110(10ln 102+⋅=x x . 三.求导数:1. x y 2ln 1+=,求'y . 解: xx x x x y 222ln 1211ln 2ln 121)'ln 1('+⋅⋅=+⋅+= xx x 2ln 1ln +=.2. 2ln x tgy =,求dx dy. 解: x x x x x x tg y csc sin 12cos 2sin 212sec 2121'2==⋅=⋅⋅=.3. t t y cos 1sin 1-+=,求dt dy.解: 2)cos 1()'cos 1()sin 1()cos 1()'sin 1('t t t t t y --⋅+--⋅+=222)cos 1(sin cos sin cos t t t t t ----= 2)cos 1(1sin cos t t t ---=. 四.已知)2523(+-=x x f y ,2arctan )('x x f =,求=x dx dy .解: 令2523+-=x x u ,则 22)2523()25()23(5)25(3)('''+-⋅+--+=⋅=x x arctg x x x u f u y ===140arctg dxdyx π.一元微积分学题库(10) 复合函数求导(二) 高阶导数一. 求下列函数的导数: 1. )21arcsin(2x y -=. 解：2222124)21(11)'21('xx x x x y --=--⋅-=.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<--<<--=01,1210,1222x xx x2．x e y arcsin =.解： x xe xxe x y arcsin arcsin1121)'(arcsin '⋅-⋅=⋅=2arcsin2xx e x -=.3．3212ttarctgy +=. 解： 1444)21()21(82)212(11)'212('23623233233++++⋅+-=++⋅+=t t t t t t tt tty 1444822363+++-=t t t t .4．242arcsin x xx y -+=.解： 22422)2(11212arcsin'xx xx x y ---⋅⋅+=)4242(22arcsin22xx x x ---+=2arcsin x=.5．xey 1sin 2-=.解： xx e x x xe x y 1sin 21sin 222)1cos 1sin 2(1)'1sin ('--⋅⋅-⋅-=⋅-=xe xx 1sin 222sin-⋅=. 二. 求下列函数的二阶导数:1. )1ln(2x y -=.解： 212'x x y --=, 222222)1()1(2)1(22)1(2''x x x x x x y -+-=-⋅---=. 2. arctgx x y )1(2+=.解： 1211)1(2'22+=+⋅++=xarctgx x x xarctgx y , 2122''xxarctgx y ++=. 3. x xe y =.解： x x xe e y +=', x x x x x xe e xe e e y +=++=2''. 三. 求函数x x y ln =的n 阶导数. 解： 1ln '+=x y ，x y 1''=，21'''x y -=，3)4(2xy =，一般地，可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--=+=-2,)!2()1(1,1ln 1)(n x n n x y n n n . 四. 设)()()(2x a x x f ϕ-=,其中)('x ϕ在点a 的邻域内连续,求)(''a f . 解： )(')()()22()('2x a x x a x x f ϕϕ-+-=.ax x a x x a x a x a f x f a f a x a x --+-=--=→→)(')()()22(lim )(')('lim )(''2ϕϕ)('x ϕ在点a 的邻域内连续 ∴)(')('lim a x ax ϕϕ=→∴0)(lim )(')(')(lim2=-=--→→a x a ax x a x a x a x ϕϕ. )(20)(2lim )(''a x a f ax ϕϕ=+=→.一元微积分学题库(11) 隐函数求导法一. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy. 1. y xe y -=1.解： )'('yye xy e y +-=, 即 yyxee y +-=1' 其中y 是由方程y xe y -=1所确定的隐函数. 2. )(y x tg y +=.解： )(sec )'1('2y x y y +⋅+=, 即 221'yy y +-=.其中y 是由方程)(y x tg y +=所确定的隐函数. 3. 0922=+-xy y .解： 0'22'2=--xy y y y , 即 xy y y -='. 其中y 是由方程0922=+-xy y 所确定的隐函数. 二. 用对数函数求导法求下列函数的导数'y : 1. 22x ctg xtg y =.解：先两边取对数(假定422πππk x k +<< . ,2,1,0±±=k ) 得 x tg xctg y 2ln 2ln ⋅=. 则)2ln 2csc 21222sec 2('122x tg xx ctg x ctg x y y -⋅⋅=. )2ln 2csc 21222sec 2(2'222x tg xx ctgx ctg x x tg y xctg -⋅⋅=. 当2)1(42πππ+<<+k x k 时,用同样的方法可得与上面相同的结果. 2. 55225+-=x x y .解：先两边取对数(假定5>x ) 得)]2ln(51)5[ln(51ln 2+--=x x y .对上式两边对x 求导，得)2125151(51'12+⋅⋅--=x x x y y .即 ])2(5251[2551'2552+--+-=x x x x x y . 当5<x 时,用同样的方法可得与上面相同的结果.三. 求下列函数的二阶导数22dxyd .1. ⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos .解：t a b t a t b dtdx dt dy dx dy cot sin cos -=-==, t a b t a t a b dtdx t a b dt d dx y d 32222sin sin 1csc 1)cot (-=-⋅=⋅-=.2. 已知⎩⎨⎧-==)()(')('t f t tf y t f x 这里)(''t f 存在且不为零.解： )(''t f 存在且不为零 ∴t t f t f t tf t f dx dy =-+=)('')(')('')(', )(''122t f dx y d =. 四. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=tt t y tt x 4522,证明y=y(x)在t=0时dx dy 存在,并求其值. 证明：原方程可化为 02=-x y . 当0=t 时0=x ,.0)0()(lim lim )0()(lim 0200=-==--+→→→hf h f h h h f h f h h h 一元微积分学题库(12) 微分一. 选择题:1. 已知x y 2tan =,则dy 等于(C).(A) 2tgxdx ; (B)tgxdx x212+ ; (C) xdx tgx 2sec 2 ; (D) x tgx 2sec 2. 2．一元函数连续是可导的（A ）；一元函数可导是可微的（C ）. （A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分条件又非必要条件. 2. 函数x x x x x f ---=32)2()(不可微点的个数是（B ）. （A ） 3; (B) 2; (C) 1; (D) 0. 二．填空题：1．已知函数2)(x x f =在点x 处的自变量的增量2.0=∆x ，对应的函数增量y ∆的线性主部是8.0-=dy ，那末自变量的始值为2-. 2． )](ln ln[ln 32x y =，则dx xx dy ln ln ln 2-=.3. xdx c x d 3cos )sin 31(=+; dx e c e d xx22)2(--=+-;dx xc xd 1)2(=+; dx x c x d 11))1(ln(-=+-. 三．利用微分求近似值：ο59cos .解： 180359ππο-=. 这里x ∆较小应用(p150)(2)式,得1803sin 3cos )1803cos(59cos πππππο⋅+≈+= 5151.01802321=⋅+=π. 四．已知测量球的直径D 时有1%的相对误差，问用公式36D V π=计算球的体积时，相对误差有多少？解：我们把测量D 时所产生的误差当作自变量D 的增量D ∆，那么，利用公式36D V π=来计算V 时所产生的误差就是函数V 的对应增量V ∆.当V∆很小时，可以利用微分dV 近似地代替增量V ∆，即D D D V dV V ∆⋅=∆⋅=≈∆22'π.其相对误差%3)(3=∆=∆=DVV V s v . 五．求由方程t t s st =-+)ln()sin(所确定的隐函数s 在t=0处的微分ds .解：对方程两边关于t 求导，得11')cos()'(=--++t s s st s t s . 当 t=0时, 得 1'2++-=s s s .又对原方程, 当 t=0时, 得 0ln =s 即 s=1.1111=++-=∴dt ds一元微积分学题库（13）中值定理一．选择题：1．下列函数中，满足罗尔定理条件的是（B ）.(A)()[];1,1,132-∈-=x x x f (B)()()[];8,0,42∈-=x x x f(C)()];3,1[,3-∈=x x x f(D)()[].1,10,00,1sin 2-∈⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x xx x f 2.对于函数()332x x f -=，在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是(A).(A)21; (B)31±; (C)31; (D)1. 二. 应用导数证明恒等式：()112arccos arcsin ≤≤-=+x x x π.（注意：对1±=x处的讨论）证：令()x x x f arccos arcsin +=当()1,1-∈x 时，()()()01111'arccos 'arcsin '22=---=+=xxx x x f()C x f =∴（C 为常数）.特别地，取0=x ,则求得()20π==f C当1-=x 时，()221πππ=+-=-f当1=x 时，()2021ππ=+=f∴ 当[]1,1-∈x 时，2arccos arcsin π=+x x三. 设0>>b a ，证明：bba b a a b a -<<-ln .证：设()x x f ln =，在],[a b 上利用拉格朗日中值定理，有：()()a b b a b a <<==--ξξξ1'ln ln lnba 111<<ξ ∴bba b a a b a -<<-ln . 四. 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.证：反证法.设()b x x x f +-=33，且在区间[]1,1-上有两个以上实根，其中两个分别记为21,x x ，不妨设1121≤<≤-x x ，则()()021==x f x f ，由罗尔定理，在()1,1-内至少有一点ξ，使()0'=ξf . 而()33'2-=x x f 在()1,1-内恒小于0，矛盾.命题成立.五. 构造辅助函数，证明不等式e e ππ>.证：设()x x f ln =，则在区间[]π,e 上，()ππln =f ，().1=e f 根据拉格朗日中值定理，在()π,e 内至少存在一点ξ使()()()()πξξξππ<<==--e f e e f f ,1'即()ξππe -+=1ln 又πξ<<e()()e e e e ππξππ=-+<-+=∴11lnππ<∴ln e 即ππe e <六. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上存在二阶导数，且(),0''≠x g()()()()0====b g a g b f a f ，证明（1）在(a,b)内()0≠x g ；（2）在(a,b)内至少存在一点ξ，使()()()()ξξξξ''''g f g f =. 证：（1）反证法.设（a,b ）内存在一点1x 使0)(1=x g ，则在[]1,x a 上有g(a)=g(x 1)=0,由罗尔定理知在(a,x 1)内至少存在一点ξ1使'g (ξ1)=0. 同理在(x 1,b)内也至少存在一点ξ2使'g (ξ2)=0. ∵'g (ξ1)='g (ξ2)=0∴由罗尔定理，在(ξ1,ξ2)内至少存在一点3ξ使0)(''3=ξg ,这与0)(''≠x g 矛盾，故在()b a ,内()0≠x g . （3）令)(')()(')()(x f x g x g x f x F -=由题设条件可知，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,由罗尔定理可知，存在()b a ,∈ξ使得()0'=ξF 即()()()()0''''=-ξξξξg f g f 由于()()0'',0≠≠ξξg g ，故()()()()ξξξξ''''g f g f =. 一元微积分学题库（14）罗必塔法则一. 求下列极限：1. xe e x x x cos 12lim 0--+-→解：原式=2cos lim sin lim00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x 2. 0lim→x xxx 3sin arcsin -解：原式=0lim →x cos sin 311122=--x x x 0lim →x ()()xx x x xsin cos 9sin 321212232+---- =0lim →x xx sin 0lim→x ()xx 2232cos 931+----=61-3．0lim →x xctgx解：原式=0lim→x x xsin 0lim →x x cos =1 4．tgxx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→1lim 0 解：令tgxx y ⎪⎭⎫⎝⎛=1，则ctgx x x tgx y ln ln ln -=-= 0lim +→x =y ln 0sin lim csc 1lim ln lim 20200===-+→+→+→xx x x ctgx x x x x ∴lim +→x y=e 0=1 5．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x xx ln 11lim 1 解：原式=()()21111lim 1ln 11ln lim ln 11ln lim 2111=+=-+-+=---→→→xx xx x x x x x x x x x x x 一元微积分学题库（15）函数的单调性一．填空题：1．函数y=(x-1)(x+1)3在区间)5.0,(-∞内单调减少，在区间),5.0(+∞内单调增加.2．函数2x ax x y -= （a>0）在区间)43,0(a 内单调增加，在区间),43(a a 内单调减少.3．函数7186223---=x x x y 在区间),3()1,(+∞⋃--∞内单调增加，在区间（-1， 3）内单调减少.4. 函数xx x y 6941023+-=在区间（0.5，1）内单调增加，在区间()),1()5.0,0(0,+∞∞- 内单调减少.二. 证明下列不等式： 1. 当4>x 时，22x x >.证：令22)(x x f x -=，则0)4(=f .x x f x 22ln 2)('-=，082ln 16)4('>-=f2)2(ln 2)(''2-=x x f ，显然，当4>x 时，0)(''>x f )('x f ∴在区间),4(+∞内单调增加. 又0)4('>f)('x f ∴在区间),4(+∞内恒大于零. 又0)4(=f)(x f ∴在区间),4(+∞内大于零.即当4>x 时，02)(2>-=x x f x 即22x x >. 2. 当20π<<x 时，x tgx x 2sin >+.证：令x tgx x x f 2sin )(-+= 2sec cos )('2-+=x x x f)1sec 2(sin sec 2sin )(''32-=+-=x x x tgx x x f 显然，当20π<<x 时，0)(''>x f)('x f ∴在)2,0(π内单调增加.又)0('f =0)('x f ∴在)2,0(π内大于零.)(x f ∴在)2,0(π内单调增加.而)0(f =0 )(x f ∴在)2,0(π内恒大于零. 即当20π<<x 时，02sin )(>-+=x tgx x x f即.2sin x tgx x >+ 3. 当20π<<x 时，x x x <<sin 2π证：令x x x f sin )(=，则2sin cos )('xxx x x f -=. 令x x x x g sin cos )(-=，则)20(0sin )('π<<<-=x x x x g .)(x g ∴在此区间内单调减少.)('x f ∴在此区间内也单调减少.而()02sin lim sin cos lim0'020=-=-=→→x xx xx x x f x x )('x f ∴在)2,0(π内小于0.)(x f ∴在)2,0(π内单调减少.∴xxx f sin )(=在区间的两端取得极大极小值.即ππ2)2(1sin lim)0(0===→f xxf xx x x <<∴sin 2π三. 证明方程sinx=x 只有一个根.证：令x x x f -=sin )(，则01cos )('≤-=x x f . )(x f ∴在),(+∞-∞内单调减少.∴f(x)=sinx-1=0至多有一个根.而f(0)=0, 0)(=∴x f 有且只有一个根. 即方程sinx=x 只有一个根.一元微积分学题库（16）函数的极值一. 填空题：1. 函数3443x x y -=在1=x 处取得极小值.2. 已知函数322)1()5(+-=x x y 当=x -1或5时，y=0为极小值；当x=0.5时， y=318881为极大值. 3．已知bx ax x x f ++=23)(在x=1处有极值-2，则a=0,b=-3,y=f(x)的极大值为2；极小值为-2.二. 求下列函数的极值： 1. ()()23321--=x x y解：)12)(32()1(5'2++-=x x x y)188)(1(10''2-+-=x x x y令0'=y 得三驻点：5.0,5.1,1321-=-==x x x . 当1>x 时，0'>y ，当15.0<<-x 时，0'>y . 11=∴x 处为非极值点.当5.12-=x 时，,0''<y 取得极大值，其值为0. 当5.03-=x 时，0''>y ，取得极小值，其值为-13.5. 2. x e y x cos =解：)sin (cos 'x x e y x -=，令0'=y ，得驻点4ππ+=k x （k 为整数）.x e y x sin 2''-=∴当42ππ+=k x 时，,0''<y x 在该处取得极大值，其值为4222ππ+=k e y 当452ππ+=k x 时，,0''>y x 在该处取得极小值，其值为45222ππ+-=k e y 三. 试问a 为何值时，函数x x a x f 2sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求出此极值.解：x x a x f 2cos 32cos )('+=，令0)('=x f ，则02cos 32cos =+x x a即x x a cos /2cos 32-=3π=x 时)(x f 取得极值.323cos /32cos 32=-=∴ππax x x x a x f 2sin 34sin 322sin 34sin )(''--=--=0332sin 343sin 32)3(''<-=--=πππf)(x f ∴在3π=x 处取得极大值，其值为23. 四. 设q px x x f +-=3)(，q p ,为实数，且0>p(1) 求函数的极值.(2) 求方程03=+-q px x 有三个实根的条件. 解：(1) p x x f -=23)('，令0)('=x f 得3p x ±=，而x x f 6)(''=31px =∴处取得极小值，其值为q p+-23)3(231px -=处取得极大值，其值为q p+23)3(2 (2)由上述的讨论我们可以看出，)(x f 仅有 ),3(),3,3(),3,(+∞---∞p p p p 三个单调区间，由介值定理及区间单调性知：方程要有三个实根，必须满足在这三个单调区间上各有一个实根，也就是说，极小值应小于或等于0同时极大值应大于或等于0（等于0时含重根）.即0320322323≥+⎪⎭⎫⎝⎛≤+⎪⎭⎫⎝⎛-q p q p即当23233232⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-p q p 时，方程有三个实根.五. 一个无盖的圆柱形大桶，已规定体积为V,要使其表面积为最小，问圆柱的底半径及高应是多少？解：设圆柱的底半径为R,高为h ，则h R V 2π=,R V R Rh R S /2222+=+=πππ表0/222=-=R V R dRdS π表则3πV R = 32/RV R V h ==π 六. 设)(x f 在[]1,0上二阶可微，0)1()0(==f f ，且2)(max 10=≤≤x f x .证明存在 )1,0(∈ξ，使得()16''-≤ξf .证：将)1(),0(f f 在x 取得极大值处展开一阶泰勒公式（设此时0x x =）201000)0(!2)('')0(!1)(')()0(x f x x f x f f -+-+=ξ，010x <<ξ202000)1(!2)('')1(!1)(')()1(x f x x f x f f -+-+=ξ，120<<ξx 0)1()0(,0)(',2)(00====f f x f x f ，两式相加得：8)1)(('')(''20221-=-+x f x f ξξ 令()(){}21'',''m in )(''ξξξf f f =，则16212128)(''8)122)((''20020-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤-≤+-x f x x f ξξ一元微积分学题库 (17) 最大值最小值凹凸性拐点一、求下列函数的最大值和最小值： 1.)41( 3223≤≤--=x x x y-11234-2-11函数在所给区间内可导，因此可令 066)(2=-='='x x x f y 解得 1 ,0==x x而 104)4( ,1)1( ,0)0( ,5)1(=-==-=-f f f f 所以函数在区间]4,1[-上的最大值、最小值分别为104和-5. 2. )41( 718x -6223≤≤+-=x x x y-1123456-50-25255075100函数在所给区间内可导，因此可令18126)(2=--='='xxxfy解得)(1,3舍去-==xx而33)4(,47)3(,15)1(-=-=-=fff所以函数在区间]4,1[上的最大值、最小值分别为-47和-15.二、某车间靠墙壁盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设宽为)200(<<xx米，则长为x220-米，因此，面积为xxS)220(-=显然，当5=x时，面积取最大值502m.三、求数项),2,1(=nnn中的最大项.解：246810121.11.21.31.4令 0)(x )(1>=xx x f 则 )ln 1()(21x xx f x-='-解得唯一驻点，e x = ，并且)(x f 在区间e] ,0[上单调递增，在区间] ,[∞+e 上单调递减，而332<所以数项),2,1( =n n n 中的最大项为33. 四、求下列函数的凹凸区间与拐点： 1. 53x 523++-=x x y 解：-2246-20-101020函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 3106)(2+-='='x x x f y 1012)(-=''=''x x f y因此，当)65 ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) ,65(∞+∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，点)216995,65(是曲线的拐点.2. )1ln(2+=x y 解：-4-2240.511.522.53函数在定义域) ,(∞+-∞内阶导数存在，并且 12)(2+='='x xx f y 22)1()1)(1(2)(x x x x f y ++-=''='' 因此，当)1- ,(-∞∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，当) 1 ,1(-∈x 时，0>''y ，曲线为凹的，当) ,1(∞+∈x 时，0<''y ，曲线为凸的，点)ln2 ,1(±是曲线的拐点.五、证明112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上. 证明：-4-224-1.5-1-0.5函数在定义域) ,(∞+-∞内二阶导数存在，并且。

高等数学：一元函数积分学习题含答案

1第三章一元函数积分学一、选择题1．由定积分的几何意义，可知=-⎰ax x a 022d （）.A．22aπB．2aπC．221a πD．241a π2．若)()(x f x F ='，则（）成立．A．⎰+='C x f x x F )(d )(B．⎰+=C x F x x f )(d )(C．⎰+=Cx f x x F )(d )(D．⎰+='Cx F x x f )(d )(3．已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，则（）.A．⎰=)(d )(x F x x f B．)()(x F x f ='C．Cx F x x f +=⎰)(d )(D．Cx f x F +=')()(4．下列四式中正确的是（）.A．)(d )(x f x x f ba ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰B．0d )(='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ba x x f C．)()(d )(a f b f x x f ba-=⎰D．)(d )(x f x x f ='⎰5．若x x 2sin +是)(x f 的一个原函数，则[]=-⎰x x f d 1)(（）.A．C x x x +-+2cos 21212B．C x x x +--2cos 21212C．Cx +2sin D．Cx +2sin 216．若函数)(x f 的导数是xa ，则)(x f 的一个原函数是（）.A．Cxaa x+2ln B．xa a x+2ln C．Caa x+2ln D．2ln 2+a a x7．函数2)(x xe x f =的一个原函数=)(x F （）.2A．2x eB．xeC．221x e D．x ln 8．已知)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，则⎰=+xat a t f d )2(（）.A．)()(a F x F -B．)3()2(a F a t F -+C．)3()2(a F a x F -+D．)()(a F t F -9．设x ln 是)(x f 的一个原函数，那么下列函数中也是)(x f 的原函数的是（）.A．axln B．ax aln 1C．a x +ln D．2)(ln 21x 10．设)(x f 为连续函数，则x x f xad )(⎰是（）.A．)(x f '的一个原函数B．)(x f 的全体原函数C．)(x f 的一个原函数D．)(x f '的全体原函数11．下列等式中正确的是（）.A．xx f x x f d )(d )(d =⎰B．)(d )(x f x x f ='⎰C．C x f x x f x +=⎰)(d )(d dD．)()(d x f x f =⎰12．设xe xf =)(，则⎰='x xx f d )(ln （）.A．Cx +B．Cx +-C．C x+1D．C x+-113．设)(x f 的一个原函数是xxln ，则⎰='x x f x d )(（）.A．C xx+ln B．C x x++2ln 1C．C x+1D．C xx+-ln 2114．下列函数中，在区间[]1,1-上不可积的是（）.A．⎩⎨⎧=-=<<-=1,1,011,1)(x x x x f B．xx f =)(C．121)(-=x x f D．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f315．设)(x f 在),(+∞-∞是连续的，则=++⎰⎰⎰212332d d )(d )(x t t f x x f （）.A．2-B．1-C．0D．116．=⎰204d cos πx x （）.A．π83B．π163C．83D．16317．='⎰bax x f d )3(（）.A．)]3()3([31a f b f -B．)3()3(a f b f -C．[])3()3(3a f b f -D．)3()3(a f b f '-'18．设⎰=121d x x I ，⎰=132d x x I ，则（）.A．21I I =B．21I I >C．21I I <D．无法确定19．⎰=+20d )2sin(ππx x （）.A．2-B．1-C．1D．220．=⎰207d cos πx x （）.A．3516B．π358C．π3516D．356421．⎰-=12d ||3x x x （）.A．－7B．37-C．21D．922．设常数0>a ，则=-⎰-aax x a d 22（）.A．2a πB．24a πC．22a πD．aarcsin 23．⎰=+x xx d 12（）.A．C x +arctan B．Cxx +++21ln C．Cx ++21D．C x ++)1ln(21224．⎰='xat t f d )3(（），其中f '连续．4A．[])()(3a f x f -B．)3()3(a f x f -C．[])3()3(3a f x f -D．[])3()3(31a f x f -25．若⎰⎰-=x x x x x x xf d sin sin d )(，则=)(x f （）.A．x sin B．x cos C．xx sin D．xx cos 26．=''⎰x x f x d )(（）.A．C x f x +')(B．Cx f x f x +-')()(C．Cx f x +')(212D．C x f x +'+)()1(27．)(x f 为[]b a ,上的连续函数，则⎰⎰-babat t f x x f d )(d )(的值是（）.A．小于0B．大于0C．等于0D．不确定28．⎰-=+112d 1x x x（）.A．0B．1C．πD．2π29．=⎰xt x0d 2sin d d （）.A．2sin B．2cos C．0D．2sin x 30．设t t x x xd 1)(0⎰+=Φ，则=Φ')(x （）.A．xx +1B．⎰+++xxx dt t 011C．t x +1D．⎰+xdtt 0131．已知⎰+=22d 2)(xt t x f ，则=')1(f （）.A．3-B．63-C．36-D．332．设()=x ϕ⎰xt t f 20d )(，则()='x ϕ（）.A．)(2x f B．)4(x f C．)2(x f D．)2(2x f 33．设⎰=Φ2d )(x t te x ，则=Φ')1(（）.A．0B．eC．e 2D．e434．设⎰=Φ1d sin )(xt t x ，则=Φ')(x （）.A．xsin B．xsin -C．xcos D．xcos -535．设函数)(x f 在),0(+∞上连续，且⎰+=)1(02d )(x x x t t f ，则=)2(f （）.A．5B．3C．1D．5136．设⎰+=Φ031d )(xtt x ，则=Φ')(x （）.A．3213x x +B．－3213x x +C．311x +D．－311x +37．=⎰→2d sin limxt t x x （）.A．∞B．0C．21D．138．=⎰→xt t xx 020d cos lim（）.A．∞B．1-C．0D．139．=-+⎰→xtt x x cos 1d )1ln(lim（）.A．0B．1-C．1D．∞40．设⎰+=Φ2sin 2d 11)(x t t x ,则=Φ')(x （）.A．x 2sin 11+B．xx 2sin 1cos +C．xx 2sin 1cos +-D．x2sin 11+-41．设3022d )(x t t f x=⎰,则：=⎰10d )(x x f （）.A．1B．2C．3D．442．极限=⎰→42d sin limx t t x x （）.A．21-B．1-C．1D．2143．广义积分⎰+∞1d xx （）.6A．发散B．收敛C．收敛于2D．敛散性不能确定44．下列反常积分收敛的是（）.A．⎰+∞d 2xx B．⎰+∞d xe x C．⎰+∞d xx D．⎰+∞+02d 11x x 45．下列反常积分中发散的是（）.A．xe x d 0⎰+∞-B．⎰+∞12d 1x xC．⎰+∞ex xx d ln 1D．⎰+∞+02d 11x x46．下列反常积分中收敛的是（）.A．⎰+∞132d 1xx B．⎰+∞d xe xC．⎰+∞ex xx d ln 1D．⎰+∞14d 1x x 47．广义积分x x x kd )(ln 12⎰+∞（k 为常数）收敛，则k 满足（）.A．1<k B．1≤k C．1>k D．1≥k 48．广义积分⎰-112d 1x x （）.A．收敛B．敛散性不能确定C．收敛于2-D．发散49．广义积分⎰+∞∞-+x x xd 122（）.A．发散B．收敛C．收敛于πD．收敛于2π50．广义积分⎰+∞12d 1x x （）.A．收敛于1B．发散C．敛散性不能确定D．收敛于251．广义积分⎰+∞22)ln (d x x x（）.A．发散B．收敛于1C．收敛于2ln 1D．的敛散性不能判定52．下列广义积分中发散的是（）.A．⎰+∞-0d xe x B．⎰+∞+02d 11x xC．⎰+∞1d 1x xD．⎰1d 1x x53．广义积分⎰+∞-=1d 2x xe x （）.7A．e21B．e21-C．e D．∞+54．下列广义积分收敛的是（）.A．⎰+∞1d xx B．⎰-22)1(d x x C．⎰+∞+1d 11x xD．⎰-axa x 022d )0(>a 55．广义积分⎰+∞d px x当（）.A．1>p 时收敛，1≤p 时发散B．1≥p 时收敛，1<p 时发散C．1<p 时收敛，1≥p 时发散D．1≤p 时收敛，1>p 时发散56．如果广义积分⎰+∞-02d x x P 收敛，则（）.A．1>P B．1<P C．3>P D．3<P 57．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 绕x 轴旋转得到的旋转体的体积1V 和绕y 轴旋转得到的旋转体的体积2V 之间的关系为（）.A．21V V >B．21V V <C．21V V =D．213V V =58．有连续曲线)(x f y =，直线a x =，b x =，)(b a <及x 轴所围成的平面图形的面积（）.A．xx f bad )(⎰B．xx f bad )(⎰C．xx f bad )(⎰D．[]),)()((b a a b f ∈-ξξ59．曲线x y =2，x y =，3=y 所围图形的面积是（）.A．⎰-312d )(yy y B．⎰-31d )(x x x C．⎰-12d )(yy y D．yy y d )(32⎰-60．由曲线x y ln =，a x =，b x =，)0(b a <<及x 轴所围成的曲边梯形的面积为（）.A．⎰baxx d ln B．⎰bax x d ln C．xa b ln )(-D．⎰baxx d |ln |二、填空题861．说明定积分x x d 1112⎰--的几何意义，并求其值__________．62．设)(x f 是函数x sin 的一个原函数，则=⎰x x f d )(__________．63．设)(x f 的一个原函数为xe x，则='⎰x x f x d )(__________．64．⎰+=-C ex x x f x2d )(，则=)(x f __________．65．若x cos 为)(x f 的一个原函数，则⎰='x x f x d )(___________.66．=+-⎰x x x xx d sin cos sin cos __________．67．⎰=x e xx d 32__________．68．⎰=--2d 2x x x__________．69．设)(x f '在[]b a ,上连续，则='⎰x x f bad )2(__________．70．设)(x f 是连续函数，则[]⎰-=--aax x f x f x d )()(2__________．71．=+⎰--x e x x xd )2(22__________．72．设xe xf =)(，则⎰='''1d )()(x x f x f __________．73．⎰-=--+112d ))()()((2x x f x f e x x __________（其中)(x f 为连续函数）74．=-⎰-2223d 1ππx x x ___________．75．⎰-=+212123d 1x x x __________．76．⎰-=+-1123d 11)sin 1(x x x __________．77．⎰-=+1122d )1(x x x__________．978．=+⎰-x xx d 2112__________．79．⎰-=113d x x _________．80．⎰=ex x 1d ln ______．81．=⎰θθπd tan 402______．82．=⎰-x x d 221______．83．⎰=2121d x x ex______．84．=⎰x x xe d ln cos 11______．85．{}=⎰-x x d ,1max 33______．86．设⎰=+123d )3(x ax x ，则a =_______．87．设)(x f 在[]b a ,上连续，0x 是()b a ,内任一定点，则=⎰t t f xx a d )(d d 0______．88．=⎪⎭⎫⎝⎛⎰102d d d x xe x x ______．89．=⎰-xx t t f xd )(d d ______．90．设⎰=xt t x f 0d sin )(，则()='x f ________．91．设⎰+=Φ031d )(xtt x ，则=Φ')(x ___________．92．求极限=+⎰⎰→02d d )2sin (limxxx tt tt t t ___________．93．无穷限反常积分⎰+∞1d p xx收敛，则p 的取值范围为_________．94．无穷限反常积分⎰+∞-05d x e x =________．1095．无穷限反常积分⎰+∞-=0d x xe x ________．96．⎰∞-=02d x e x ______．97．=-+⎰-1123d 12x xx ______．三、计算题98．θθθd sin cos ⎰．99．⎰-x xx d 22．100．⎰-x xx x d 1arcsin 2．101．⎰-x x d )2(25．102．⎰x a x d 3．103．x xx d cos 2cos 2⎰+．104．x x d sin 3⎰．105．x x x x d )31)(21)(1(⎰---．106．y y n m d ⎰．107．x x x d 1⎰-．108．x x x x d )1()1(3+-+⎰．109．⎰+-x x x e x x x d 323．110．⎰+x x x d 122．111．⎰-x x x d 1ln 2．112．x x x x d 32532⎰⋅-⋅．113．x e e x xd 1⎰+．114．⎰-+te e t t d 1．115．⎰+x x d 9412．116．⎰+--x x x x d 83322．117．⎰+1d 2x x x ．118．x x x d 2532⎰+．119．⎰+1d 32x x x ．120．x x d 3cot 2⎰．121．⎰x x d 3sin 3．122．x x d 32cos ⎰．123．⎰x x x xd sin cos 2cos 22．124．x x xd 2cos 1cos 12⎰++．125．⎰+x x d sin 11．126．⎰x e e x x d )(cos ．127．x x e x d 2⎰-．128．⎰+x x x d sin 1cos 2．129．x xx d 1)(arctan 22⎰+．130．x x x d cos sin 53⎰．131．x x d sec 3⎰．132．x x d tan 4⎰．133．x x e xd sin ⎰．134．x x d arctan ⎰．135．⎰x x d arccos ．136．x x x x d cos sin ⎰．137．⎰+x x x d )1ln(2．138．⎰+x x d )1ln(2．139．⎰x x d tan 4．140．⎰t t td sin 2cos 4．141．⎰+x x xx d sin 1cos sin 4．142．⎰x x x d cos 2．143．x x d cos 3⎰．144．⎰x x x x d sin cos 3．145．⎰+x x x cos sin d ．146．x x x d cos cos ln 2⎰．147．⎰+x x x x d sin cos 2cos ．148．⎰x x x d cos ．149．⎰+x x xx d 1arctan 2．150．x x x x d cos sin 12cos ⎰+．151．x x d tan 4⎰．152．x x xx d sin 1cos sin 22⎰+．153．x x xd arcsin 2⎰．154．⎰-2251d x x．155．⎰-2169d x x．156．⎰+294d x x．157．⎰-44d x xx ．158．⎰-222d x a xx ．159．x xa x d 22⎰-．160．⎰-9d 22x x x ．161．⎰-1d 4x x ．162．⎰-24d x x x ．163．⎰--6d 2x x x ．164．x x x d 11)(3⎰++.165．x x x d 1⎰-．166．⎰+x x x d 122．167．x x x d 922⎰-．168．x x x d )1(43⎰+．169．⎰++x x d 111．170．⎰-x x x d )1(1002．171．⎰-+x ee e x x xd ．172．⎰xe x x d 112．173．⎰-x e x d 52．174．x e e e e x x x x d ⎰--+-．175．x x x d ln 2⎰+．176．⎰+x x x d 33．177．⎰+-x x d )32(112．21178．⎰++544d 2x x x．179．⎰-+223d x x x．180．⎰+2323)1(d x x x ．181．⎰--169d 2x x x．182．⎰+-x x x d 9132．183．⎰+t t21d ．22184．⎰-x x x d 125．185．⎰+)1(d 2x x x ．186．⎰--t e e t t d 112．187．x x x x d ⎰．188．x x x d 1⎰+．189．⎰+x x x d )1ln(3．23190．⎰+22)1(d x x．191．⎰-ax x a 0d (．192．⎰+33121d x x．193．⎰2021d x x ex．194．x x x d 23502⎰+-．195．⎰10d t te t．24196．⎰303d x e x ．197．⎰+ex x x 1d ln 1．198．⎰+10d 1x e e x x．199．⎰+102d 1x x x ．200．⎰-103d 2x xe x ．201．⎰2713d xx ．202．x x ed ln 1⎰．25203．⎰+1023d 1x x x ．204．⎰-51d 1u u u ．205．x x a x a d 0222⎰-．206．⎰+31ln 1d e x x x．207．⎰-212d 1x xx ．208．⎰2121d x xe x ．26209．⎰-+1122)1(d x x x ．210．⎰-++02222d x x x ．211．⎰--20)2)((d aa x a x x ．212．⎰+213d x x x ．213．x x x d cos cos 223⎰--ππ．214．⎰403d tan πθθ．27215．⎰-2102d 1arcsin x x x．216．⎰π0d sin x x x ．217．x x e x d cos 20⎰π．218．x x x d sin 03⎰π．219．x x x d 2cos 212⎰⎪⎭⎫⎝⎛．220．x x d sin 20⎰π．28221．⎰-404d 2cos 1πx x ．222．⎰+ωπϕω002d )(sin t t ．223．⎰π0d cos sin x x x x ．224．x x d 2sin 02⎰π．225．⎰-60d )12cos 2(πθθ．226．x x d 2cos 02⎰π．227．⎰402d tan πθθ．29228．⎰6822cos d ππx x．229．x x x d sin 202⎰π．230．x x e x d sin 20⎰π．231．⎰+∞15d x x．232．⎰+∞-0d x e x．233．⎰+∞-0d x xe x．234．⎰+∞e x x xd ln ．30235．⎰+∞e x x x 2)(ln d ．236．⎰+∞+12)1(d x x x ．237．⎰+∞12d arctan x x x ．238．⎰+∞-04d x e x x ．239．⎰205d sin cos πx x x ．240．⎰+212d 1x x x ．241．⎰+-10ln 2d 2x e xx ．242．⎰+∞++0222d x x x．243．x xe xd 10⎰-．244．x x xe d ln 111⎰+．245．⎰--+1122d )1(x x x ．246．⎰+10.d 11x e x .247．计算⎰20d )(x x f ，其中⎩⎨⎧≤<≤≤=21,510,2)(x x x x f .248．⎰10d arctan x x x ．249．⎰-31d 2x x .250．⎰242d csc ππx x x ．251．⎰-++222d 2||x x x x 252．⎰+202d sin 1cos πx xx .253．⎰+∞+32d 91x x 254．设)(x f 为连续函数，且满足x x f x x x f d )(3)(102⎰-=，求)(x f ．255．证明：若)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，则x x f x x f f x x f d )()1(212)1()0(d )(1010⎰⎰''--+=256．200d arctan lim x t t x x ⎰→．257．求由2x y =，x y =及x y 2=所围成的平面图形的面积及该图形绕x 轴旋转所生成的旋转体的体积．258．求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围成图形的面积．259．求曲线2x y =与直线x y 2=所围成的平面图形的面积A 以及该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积x V 和y V ．260．求由抛物线542+-=x x y ，横轴及直线3=x ，5=x 所围成图形的面积．261．求由曲线2x xe y -=，横轴及直线0=x ，1=x 所围成图形的面积．262．求由曲线2=xy 与直线3=+y x 所围图形的面积．263．求由抛物线223x x y --=与横轴所围成图形的面积．264．求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和点)0,3(处的切线所围成的面积．265．求由曲线x e y =，x e y -=及直线1=x 所围成图形的面积．266．求由抛物线)1(42+=x y 及)1(42x y -=所围成图形的面积．267．求由曲线xy 1=与直线2,==x x y 所围成图形的面积．268．求曲线2x y =，直线12-=x y 及x 轴所围成的图形的面积．269．求曲线2x y =，2y x =绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积．270．求曲线x y =与1=x ，4=x ，0=y 所围成图形绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积．271．求由曲线xy 1=，直线x y 4=及2=x 所围成的平面图形的面积．272．设平面图形由xe y =，e y =，0=x 所围成，求此平面图形的面积．273．求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转所得旋转体体积．274．求抛物线)2(x x y -=与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．275．求由曲线1=xy 与直线2=y ，3=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积．276．求曲线3x y =与直线2=x ，0=y 所围的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积．277．求由曲线xe y =与直线e y =，y 轴所围成平面图形的面积．278．求由抛物线ax y 42=)0(>a 及直线0x x =)0(0>x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．279．计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．280．求曲线xy 1=与直线1=x ，2=x 及0=y 所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积．281．求由曲线xy 1=，直线x y 4=及2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转而得的旋转体积．282．由曲线xe y =，y 轴与直线ex y =所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转体的体积．283．一曲边梯形由12-=x y ，x 轴和直线1-=x ，21=x 所围成，求此曲边梯形的面积．284．求由x y =，0=y ，4=x 围成的平面图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积．285．计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积.286．求由曲线24x x y -=与直线x y 2=所围成的平面图形的面积及此图形绕x 轴旋转的体积．287．（数一）在一个带q +电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处)(b a <，求电场力所作的功．288．（数一）在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处(如图),求移动过程中气体压力所作的功.289．（数一）一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？290．（数一）一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力．291．（数一）一圆柱形的储水桶高为5米，底半径为2米，桶内水深为3米，试问要把桶内的水全部吸出需做多少功？（其中水的密度为3/米千克ρ）第三章一元函数积分学1.D2.B3.C4.B5.C6.B7.C8.C9.A 10.C 11.A 12.D 13.D 14.C 15.D 16.A 17.A 18.B 19.C 20.A 21.A 22.C 23.C 24.D 25.B 26.B 27.C 28.A 29.A 30.B 31.A 32.D 33.C 34.B 35.D 36.D 37.C 38.D 39.C 40.C 41.C 42.D 43.A 44.D 45.C 46.D 47.C 48.D 49.A 50.A 51.C 52.C 53.A 54.D 55.A 56.C57.B58.C59.A60.D61.2π62.21sin C x C x ++-63.()C xx e x +-264.()x xex--265.C x x x +--cos sin 66.Cx x ++sin cos ln 67.()C e x++23ln 3268.C x x ++-12ln 3169.()()[]a f b f 2221-70.071.262--e72.()1212-e 73.074.075.076.2π77.078.079.80.181.41π-82.583.ee -84.1sin 85.886.487.088.089.()()x f x f -+90.xsin 91.311x +-92.3-93.1>p 94.5195.196.2197.π298.C+θsin 299.()C x+--2122100.Cx x x ++--arcsin 12101.()Cx +--27272102.C aa x+ln 33103.C x +3sin 2arcsin 22104.C x x ++-3cos 31cos 105.Cx x x x +-+-432233113106.C nym y nm n+++107.()Cx x +---1arctan 12108.C x x x x +++-25235223109.Cx e x x++---ln 3223110.Cx x +-arctan 111.C xx+-ln 112.C x x+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-3ln 2ln 3252113.()C e x++1ln 114.Ce t+arctan 115.C x +32arctan 62116.()Cx x ++-83ln 2117.()Cx ++1ln 212118.()Cx ++5632158119.C x ++1323120.C x x +--3cot 31121.C x x +-6sin 1212122.C x +32sin 23123.()C x x ++-tan cot 124.C x x ++2tan 21125.C x x +-sec tan 126.Ce x+sin 127.C e x +--331128.()Cx +sin arctan129.()C x +3arctan 31130.C x x +-68cos 61cos 81131.()C x x x x +++tan sec ln tan sec 21132.C x x x ++-tan tan 313133.()C x x e x+-cos sin 21134.()Cx x x ++-21ln 21arctan 135.Cx x x +--21arccos 136.Cx x x ++-2sin 812cos 41137.()()C xx x x x +-+-++3691ln 131233138.()C x x x x ++-+arctan 221ln 2139.C x x x ++-tan tan 313140.C t t ++-cot cot 313141.()C x +2sin arctan 21142.C x x x x +++2cos 812sin 41412143.Cx x +-3sin 31sin 144.Cx x x x +---21cot 21cot 22145.Cx x+--+-21tan 21tan ln 2222146.C x x x x +-+tan cos ln tan 147.C x x ++cos sin 148.Cx +sin2149.()C x x x x +++-+221ln arctan 1150.()C x ++2sin 2ln 151.C x x x ++-tan tan 313152.C x x +-sin arctan sin 153.Cxx x x +--+-211ln arcsin 1154.C x +5arcsin 51155.C x +34arcsin 41156.C x +32arctan 62157.C x +2arcsin 212158.C x a x a x a +--2222arcsin 2159.Cxaa a x +--arccos 22160.C xx +-9912161.C x x x +-+-arctan 2111ln 41162.C x x x ++-+11ln 211163.Cx x ++-23ln 51164.Cx x x ++-32322165.()Cx x +---1arctan 12166.Cx x x x ++-++-+12112112ln167.Cxx x x +---+99ln 22168.C x x x x x +++++61717658133611243256136113169.()Cx x +++-+11ln 212170.()()()Cx x x +-+---979899119711149111991171.()Ce x ++1ln 212172.Ce x+-1173.C e x +-5221174.()Cee xx ++-ln 175.()C x ++2ln 221176.()C x x x x ++-+-3ln 27923323177.()C x ++32arcsin 21178.C x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+21arctan 41179.C x +-21arcsin 180.C x x x +-+-arctan 2111ln 41181.C x x x +--+-16913ln 312182.()C x x +-+3arctan 319ln 232183.C t ++21ln 21184.()()Cx x x +---+--523221511321185.Cx x x +-+11ln 2186.Ct e t++187.C x x x x +158188.()()C x x ++-+2325132152189.()()()Cx x x x x x x +-+--++--+312arctan 231ln 4121ln 431ln 22232190.Cx x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++1arctan 212191.62a 192.6π193.ee -194.()63b a -195.1196.()13-e 197.23198.()2ln 1ln -+e 199.2ln 21200.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--31e 123201.12202.1203.()26ln 2521-204.()2arctan 22-205.416a π206.2207.33π-208.e e -209.0210.1211.23ln 1a 212.58ln 21213.41π-214.()2ln 121-215.722π216.π217.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1212πe 218.()62-ππ219.2d 2cos 02ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰x x 220.4221.81645-π222.ω2T223.4π-224.225.623π-226.2π227.41π-228.()1321-229.41162+π230.()1212+xe 231.41232.1233.1234.∞235.1236.2ln 1-237.2ln 214+π238.!4239.61240.34ln 241.()2e 141--242.4π243.e21-244.()12232-245.2246.()2ln 1ln 1++-e 247.6248.()241-π249.1250.2ln 214+π251.3ln 252.4π253.12π254.2332x x +-255.略256.21257.π1559,67258.2ln 223-259.ππ38,1564,34===y x V V A 260.332261.⎪⎭⎫ ⎝⎛-e 1121262.2ln 223-263.332264.49265.2e1e -+266.316267.2ln 23-268.121269.103π270.π8.24271.2ln 2215-272.1273.234ab π274.π1516275.π325276.π7128277.1278.279.b a 234π280.202ax π281.281π282.2e 62ππ-283.2427284.5128π285.18286.34,π532287.akq 288.a bk ln289.3462≈（KJ ）290.332R g ρ291.g πρ42（J ）。