一元函数积分学练习题

1 3
3
2.A
1 arcsin 4 x + c 4
x
2
10. 0
2
1 − ex −x lim 2 = lim = lim 2 0 0 → → x →0 x x x sin x 2 x sin x + x cos x 2sin x + x cos x 13.解： −1 1 = lim =− x → 0 3cos x − x sin x 3
1 x x −1
dx . ex x
23.设 f ( x) 的一个原函数为
，计算 ∫ xf ' (2 x)dx .
24.设 f ( x) 在 [ 0, +∞ ) 上可导， f (0) = 0 ，且其反函数为 g ( x) ，若
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∫
f (x)
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21.解：令 t = x − 1 ，则 x = 2 时 t = 1 ， x = 0 时， t = −1 ，所以
∫ f (x − 1)dx = ∫
2 0
1 1 1 dx + ∫ dx = 1 + ln(1 + e −1 ) = ln(e + 1) x −1 1 + e 01 + x 0
0
g (t )dt = x 2 e x ，求 f ( x) .
25.从原点作抛物线 f ( x) = x 2 − 2 x + 4 的两条切线，由这两条切线与 抛物线所围成的图形记为 S，求： （1）S 的面积； （2）图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的立体体积. 26.设有抛物线 y = 4 x − x 2 ，求： （1）抛物线上哪一点处的切线平行于 X 轴？写出该切线方程； （2）求由抛物线与其水平切线及 Y 轴所围平面图形的面积； （3）求该平面图形绕 X 轴旋转一周所成的旋转体的体积. 27.过 P(1,0) 作抛物线 y = （1）切线方程； （2）由 y = x − 2 ，切线及 x 轴围成的平面图形面积； （3）该平面图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转一周的体积. 28.证明：∫0 xf (sin x)dx =
B.
5.设 x 2 + y 2 = 8R 2 所围的面积为 S ，则 ∫0 A. S 6.不定积分 ∫ A.
1 1 − x2
2
2 2R
8 R 2 − x 2 dx 的值为(
)
B.
1
C. )
S 2
D. 2S
1− x2
B.
+c
C. arcsin x
D. arcsin x + c
7. ∫0 x − 1dx = ( A.0 B.2
∫
π 2
π − 2
π 0 sin θ − sin θ sin θ 2 d θ d θ dθ = + π 2 2 ∫ ∫ − 0 1 + cos θ 1 + cos 2 θ 2 1 + cos θ 0 π 1 1 d cos θ − ∫ 2 d cos θ 2 0 1 + cos 2 θ 2 1 + cos θ 0 −
224 π 15
1 3
1 3
3 1 2 1 1 Vx = π ⋅12 ⋅ 2 − π ∫ ( x − 2)2 dy = π − π ( x 2 − 2 x) 3 = π, 2 2 3 3 2 6 （3 ） 1 1 6 1 Vy = π ∫ ( y 2 + 2)2 − ( y 2 + 1)2 dy = ( 5 y5 − 2 y 2 + 3 y ) 0 = 5 π 0
19.解： = ∫−π
= arctan cos θ
π 2
− arctan cos θ
π 2 0
=
π 2
0 −∞
0 0 20.解： 由于 ∫−∞ k 2 dx = 1 ， 则有 ∫−∞ k 2 dx = k arctan x
1+ x
2
1+ x
π 1 = k (0 − (− )) = 2 2
1 所以 k = π
2 0 x 2 −2 x+ 4 x2 −2 x+4
dy + ∫ dx ∫
0
2
2x 0
dy =
16 3
2
（2） V = π ∫−2 ( x 2 − 2 x + 4) 2 dx − π ∫− 2 (−6 x) 2 dx − π ∫0 (2 x) 2 dx = 26.解： （1）切线方程： y = 4 ； （2） S = ∫0 [4 − (4 x − x 2 )]dx = 8
28.证明：令 t = π − x ，
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∫
π
0
xf (sin x)dx = − ∫ (π − t ) f (sin(π − t )dt = ∫ (π − t ) f (sin t )dt
π 0 π π
π
0
π
= π ∫ f (sin x)dx − ∫ xf (sin x)dx ，故 ∫ xf (sin x)dx =
π 2 π − 2
sin θ 1 + cos 2 θ
dθ
.
20.已知 ∫−∞
0
k 1 dx = ，求 k 的值. 2 2 1+ x
21.设
1 , x≥0 2 1 + x ，求 ∫0 f ( x − 1)dx . f ( x) = 1 , x<0 1 + e x
+∞
22.计算广义积分 ∫2
第三章
A. ∫ f ′(ax)dx = 1 f (ax) + C
a
一元函数积分学
B. ∫ f ′(ax)dx = f (ax) + C D. ∫ f ′(ax)dx = f ( x) + C ） D.
2 ≤ I ≤1 2
1.设 f ( x) 有连续的导函数，且 a ≠ 0,1 ，则下列命题正确的是（ ）
0
x − ∫ et dt
14.解：
lim
x →0
∫
x 0 x
(tan t − sin t )dt
2
(e − 1) ln(1 + 3 x ) 1 − cos x 1 = lim = x → 0 12 x 2 24 x 2 tan x
2
= lim
x →0
∫
x 0
(tan t − sin t )dt 3x
C. ( ∫ f ′(ax)dx)′ = af (ax)
1+ x 2 2
4 1 2. I = ∫0 x dx ，则 I 的范围是（
A. Leabharlann Baidu ≤ I ≤
B. I ≥ 1
x
C. I ≤ 0
+∞ 3.若广义积分 ∫1 1p dx 收敛，则 p 应满足（
）
A. 0 < p < 1
B. p > 1
C. p < −1
4
dx =
1 1 arcsin x 2 d arcsin x 2 = (arcsin x 2 ) 2 + c ∫ 2 4 2 2 2 2 4
18.解： ∫ x ln xdx = ∫ ln xd ( 1 x 2 ) = 1 x 2 ⋅ ln x − ∫ 1 xdx = 1 x 2 ⋅ ln x − 1 x 2 + c
f (x)
24.解：对方程 ∫0
g (t )dt = x 2 e x 两边求导，得到
g ( f ( x)) f ′( x) = 2 xe x + x 2 e x ，所以 f ′( x) = 2e x + xe x
由于 f ( x) = ∫ f ′( x)dx = ∫ (2e x + xe x )dx = e x + xe x + c ， 因为 f (0) = 0 ， 得到 c = −1 所以 f ( x) = e x + xe x − 1 . 25.解： （1） S = ∫− 2dx ∫−6 x
D. p < 0 )
4.若已知 F ' ( x) = f ( x) ，且 f ( x) 连续，则下列表达式正确的是( A. ∫ F ( x)dx = f ( x) + c C. ∫ f ( x)dx = F ( x) + c
S 4 dx = ( 1 1− x2 d F ( x )dx = f ( x) + c dx ∫ d D. ∫ F ( x)dx = f ( x) dx
2
512 π 15
3
2
（3） V x = V1 − V2 = π × 4 2 × 2 − π ∫0 (4 x − x 2 )dx = 27.解:（1） 2 y − x + 1 = 0 ；
2 3 2 1 （2） S = ∫0 ( y + 2) − (2 y + 1) dy = ( y − y + y ) 0 = ； 1
x 0
.
(e x − 1) ln(1 + 3 x 2 ) x 2 tan x
∫ (tan t − sin t )dt .
2
∫
x
0
t (t + sin t )dt
.
e2x dx . 1+ ex x arcsin x 2 1 − x4 dx .
17.求积分 ∫
18.求不定积分 ∫ x ln xdx . 19.计算 ∫
22.解： ∫2
+∞
1 x x −1
dxt = x − 1 ∫
+∞
1
+∞ 2t 1 dt = 2 ∫ 2 dt = 2 arctan t 1 t (t + 1) t +1 2
+∞ 1
=
π 2
23.解：因为 f ( x) 的一个原函数为
ex x
e ，所以 f ( x) =

( x − 1)e x = x2 x
0 0
0
π π f (sin x) dx ，证毕. 2 ∫0
∫
π
0
x
sin x π π sin x π π2 π dx = dx = − arctan(cos x ) = 0 2 ∫0 1 + cos 2 x 2 4 1 + cos 2 x
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x→0
2 cos 2 x + x 3 = (1 + cos x) cos x + ( x + sin x)2 cos x(− sin x) 2
2
16.解： ∫ 17.解： ∫
e 2x e2x + e x − e x x x dx = ∫ 1 + e x dx = e − ln(1 + e ) + C 1+ ex x arcsin x 2 1− x
x
'
，
∫ xf
=
'
( 2 x) dx =
1 1 1 1 xf ' ( 2 x) d (2 x) = ∫ xdf ( 2 x) = xf ( 2 x) − ∫ f ( 2 x) dx ∫ 2 2 2 2
1 1 x(2 x − 1)e 2 x e 2 x x − 1 2x xf (2 x) − ∫ f (2 x)d (2 x) = − +C = e +C 2 2 4 8x 4x 8x
π π π π sin x f (sin x ) dx ， 并利用此 式求 x dx . ∫ ∫ 0 0 2 1 + cos 2 x
x − 2 的切线，求：
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第三章 1.A 8.
64 5
练习题解答 3.B 9. 4.C 5.B 6. D 7.D 11. 0 12. − (1 − x 2 ) 2 + c
) C.－1
2
D.1 .
8.设 f ( x) 为连续函数，则 ∫−2 [ f ( x) + f (− x) + x]x3dx = 9.求不定积分 ∫
arcsin 3 x 1− x2 dx =
.
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10. ∫−1 x 2 (3 x + sin x)dx = 11. ∫−1
4
= lim
x →0
tan x − sin x 12 x 3
lim
15.解：
x →0
∫
x
0
t (t + sin t )dt
= lim
2 tan x + x sec 2 x sin 2 x + x = lim x→0 x → 0 ( x + sin x) ( x + sin x) cos 2 x
= lim
1
1
. .
dx = f ( x)
x tan 2 x dx = 1 + x2
12.设 ∫ xf ( x)dx = arcsin x + c ，则 ∫ 13.求极限 lim x→0 14.求极限 lim x →0 15.求极限 lim x →0 16.计算 ∫
x − ∫ e t dt
2
.
x
0
x 2 sin x