2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题

图②
设直线 H1M1 的函 数解析式为 y＝mx＋n，∵直线 H1M1 过点 H1(－2，9)，M1(4，－5)，
∴
9 2m 5 4m
n n
，解得
m
n
7 3
13 3
，∴y＝－
7 3
x＋ 13 3
.
∴当 x＝0 时，y＝ 13 ，即点 E 坐标为(0， 13 )；当 y＝0 时，x＝ 13 ，即点 F 坐标为( 13 ，
∴DQ=
=
，∵AB=PC=8，AB∥PC，
∴四边形 ABCP 是平行四边形，∴PA=BC，
∴PA+BQ=CB+BQ=QC=
=
=4
．
6.(1)y＝－x2＋4x＋5； (2)如图①，
图①
∵点 B 是二次函数的图象与 x 轴的交点，
∴由二次函数的解析式为 y＝－x2＋4x＋5 得，点 B 的坐标 B(5，0)，
连接 CE，CF，则 △CEF 周长的最小值为
．
3.在平面直角坐标系中，已知点 A（-2，0），点 B（0，4），点 E（0，1），将△AEO
沿 x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接 A′B，BE′，则当 A′B+BE′取最小值时，
点 E′的坐标为
.
4.直线 l 外有一点 D，点 D 到直线 l 的距离为 5，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，tan∠CAB= ，
由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，
∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－ 5 )2＋ 25 ，∴当 n＝ 5 时，线段 ND 长度
24
2
的最大值是 25 ； 4
（3）∵点 M(4，m)在抛物线 y＝－x2＋4x＋5 上，∴m＝5，∴M(4，5)．
∵抛物线 y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为 H(2，9)，
6.如图，直线 y＝5x＋5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A，C 两点的二次函数 y＝ax2＋4x
＋c 的图象交 x 轴于另一点 B.
(1)二次函数的解析式为
；
(2)连接 BC，点 N 是线段 BC 上的动点，作 ND⊥x 轴交二次函数的图象于点 D，求线段 ND
长度的最大值；
(3)若点 H 为二次函数 y＝ax2＋4x＋c 图象的顶点，点 M(4，m)是该二次函数图象上一点，在
【专题过关】
°.2. 4 5 2 2 . 3.（ ，1）. 4．18 .
5． 4
．
作 PE⊥l1 于 E 交 l2 于 F，在 PF 上截取 PC=8，连接 QC 交 l2 于 B，作 BA⊥l1 于 A，此时 PA+AB+BQ 最短．作 QD⊥PF 于 D． 在 Rt△PQD 中，∵∠D=90°，PQ=4 ，PD=18，
方法：分别作 P，Q 关于 OA，OB 的对称点 P′，Q′,连接 P′Q′分别交 OA，OB 与点 C， D，则此时四边形 PCDQ 的周长最小 本质为转化思想： （1）化同侧为异侧（对称变换）， （2）平移定距离（平移变换）， （3）化折线为直线（两点之间线段最短） “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等 一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和 竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
10(备用).在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－3,0)、B(0，3)、C(1， 0)三点． (1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标； (2)若点 P、Q 分别是抛物线的对称轴 l 上两动点，且纵坐标分别为 m，m＋2，当四边形 CBQP 周长最小时，求出此时点 P、Q 的坐标以及四边形 CBQP 周长的最小值．
专题十一：最短路径——造桥选址问题
【导例引入】
导例：如图 1，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别是边 BC， CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面积 是．
【方法指引】
（1）如图，在直线 l 上找 M、N 两点（M 在左），使得 A M+MN+NB 最小，且 MN= d 。
解得
∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x；
（3）如图 1：作 D（4，3）点关于对称轴 x=3 的对称点 E（2，3），连接 AE 交对称轴于点 P，
直线 AE 的解析式为 y=kx+b，图象经过点 A，点 E，得
解得
，直线 AE 的解析式为 y=﹣ x+ . 当 x=3 时，y=﹣ ×3+ ，即型 例 1 如图 1，已知 A(0, 2)、B(6, 4)，E(a， 0)，F(a＋1, 0)，求 a 为何 值时，四边形 ABFE 周长 最小请说明理由．
【分析】四边 ABFE 的四条边中，AB，EF 的长度固定，只要 AE+BF 最小，则四边形周长将 取得最小值，将 B 点向左平移一个单位长（EF 的长度），得到点 M，再作 A 关于 x 轴的对称 点 A′，连接 A′M，可得点 E 的位置，从而问题得解． 类型二：两定点一定角形成最短路径型 例 2．如图，在∠ POQ 内部有两点 M，N，∠MOP＝∠ NOQ. (1)画图并简要说明画法：在射线 OP 上取一点 A，使点 A 到点 M 和点 N 的距离和最小；在 射线 OQ 上取一点 B，使点 B 到点 M 和点 N 的距离和最小； (2)直接写出 AM＋AN 与 BM＋BN 的大小关系．
备用图
答案：
例 1 .在四边形 ABEF 中，AB，EF 为定值，求 AE＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，
使得两条线段有公共端点．
如图 6-2，将线段 BF 向左平移两个单位，得到线段 ME．
如图 6-3，作点 A 关于 x 轴的对称点 A′，MA′与 x 轴的交点 E，满足 AE＋ME 最小．
3
3
7
7
0) .故所求点 F，E 的坐标分别为( 13 ，0)，(0， 13 )．
7
3
7．（1）由题知，直线 y= x 与 BC 交于点 D（x，3）．
把 y=3 代入 y= x 中得，x=4，∴D（4 ，3）； （2）抛物线 y=ax2+bx 经过 D（4，3）、A（6，0）两点， 把 x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入 y=ax2+bx 中，得
由△A′OE∽△BHF，得 OE HF ．解方程 a 6 (a 2) ，得 a 4 ．
OA' HB
2
4
3
例 2．(1)图略，点 A，B 即为所求．画法：①作点 M 关于射线 OP 的对称点 M′；②连接 M′N 交 OP 于点 A；③作点 N 关于射线 OQ 的对称点 N′；④连接 N′M 交 OQ 于点 B. (2)AM＋AN＝BM＋BN.
设直线 BC 解析式为 y＝kx＋b，∵直线 BC 过点 B(5，0)，C(0，5)，
∴
5k b b 5
0
，解得
k b
1 5
，∴直线
BC
解析式为
y＝－x＋5，
设 ND 的长为 d，N 点的横坐标为 n，则 N 点的坐标为(n，－n＋5)，
D 点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则 d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)| .
四边形 ABDP 周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+A E=3+2+
=3+2+5=10.
8. 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点， 点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2， EF＝3. (1)求抛物线的解析式； (2)连接 CB 交 EF 于点 M，连接 AM 交 OC 于点 R，连接 AC，求△ACR 的周长；
AM+MN+NB 最小。
方法：将点 A 向下平移 d 个单位到 A′，连接 A′B 交直线 l2 于点 N，将点 N 向上平移 d 个 单位到 M，点 M，N 即为所求，AM+MN+NB 的最小值为 A′B+ d 。
（3）如图，点 P，Q 在∠AOB 内，分别在 OA，OB 上找点 C，点 D，使四边形 PCDQ 的周长 最小.
x 轴，y 轴上分别找点 F，E，使四边形 HEFM 的周长最小，求出点 F,E 的坐标．
7．矩形 OABC 在直角坐标系 中的位置如图所示，A、C 两点的坐标分别为 A（6，0）、C（O， 3），直线 y= x 与与 BC 边相交于点 D． （1）求点 D 的坐标； （2）若抛物线 y=ax2+bx 经过 D、A 两点，试确定此抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点 P，使四边形 ABDP 的周长最小，并求出最小值；
如图②，作点 H(2，9)关于 y 轴的对称点 H1，则点 H1 的坐标为 H1(－2，9)；作点 M(4， 5)关于 x 轴的对称点 M1，则点 M1 的坐标为 M1(4，－5)，连接 H1M1 分别交 x 轴于点 F， y 轴于点 E，∴H1M1＋HM 的长度是四边形 HEFM 的最小周长，则点 F，E 即为所求的点．
8. 如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点， 点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF＝2， EF＝3. (1)求抛物线的解析式； (2)连接 CB 交 EF 于点 M，连接 AM 交 OC 于点 R，连接 AC，求△ACR 的周长； (3)设 G(4，－5)在该抛物线上，P 是 y 轴上一动点，过点 P 作 PH⊥EF 于点 H，连接 AP，GH， 问 AP＋PH＋HG 是否有最小值如果有，求出点 P 的坐标；如果没有，请说明理由．