D1不定积分习题课
第四章不定积分习题课-带解答
. 1 .第四章 不定积分 习题课1．原函数 若，则称为的一个原函数．)()(x f x F =')(x F )(x f 若是的一个原函数，则的所有原函数都可表示为)(x F )(x f )(x f ．C x F +)(2．不定积分 的带有任意常数项的原函数叫做的不定积)(x f )(x f 分，记作．⎰dx x f )(若是的一个原函数，则，)(x F )(x f C x F dx x f +=⎰)()(3．基本性质1），或；)(])([x f dx x f ='⎰dx x f dx x f d )(])([=⎰2），或；C x F x dF +=⎰)()(C x F dx x F +='⎰)()(3）；⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([4），（，常数）．⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(0≠k 4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。
不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．5. 例题例1 已知的一个原函数是，求．)(x f x 2ln )(x f '解 ， ．x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=)ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛='. 2 .例2 设，求．C x dx x f +=⎰2sin 2)()(x f 解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以．2cos ]2sin2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰例3 若的一个原函数是，求．)(x f x 2⎰'dx x f )(解 因为是的原函数，故，所以x 2)(x f 2ln 2)2()(x x x f ='=．C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2)()(例4 求不定积分．⎰-dx e x x 3解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即．⎰⎰--=dx e dx e xxx)3(31C e e x+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13例5 求不定积分．⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得．C x x dx x x +='⎪⎭⎫⎝⎛⎰22sin sin 例6 求不定积分．⎰⋅dx xxx 533解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．．C x dx x dx x dx xxx +===⋅⎰⎰⎰-+15261511533115332615. 3 .例7 求不定积分．⎰++++dx xx x x x 32313解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即⎰⎰+++++=++++dx xx xx x x dx x x x x x 3233232113．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=dx x x 12112C x x x +++=arctan 2||ln 例8 求不定积分．⎰-dx x2cos 11解 用三角恒等式将被积函数变形，然后积分．x x 2sin 212cos -=．⎰⎰=-dx xdx x 2sin 212cos 11⎰=xdx 2csc 21C x +-=cot 21例9 求不定积分．⎰+dx x x )sec (tan 22解 用三角恒等式将被积函数统一化为的函数，1sec tan 22-=x x x 2sec 再积分．⎰⎰+-=+dxx x dx x x )sec 1(sec )sec (tan2222．⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=tan 2例10 求不定积分．⎰++dx x x x )1(21222解 ．⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan. 4 .例11 求不定积分．⎰+dx x x )1(124解 类似于例10，拆项后再积分⎰⎰++--+=+dxx x x x x x dx x x )1(1)1(124442224．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=dx x x x 2241111C x x x +++-=arctan 1313例12 一连续曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于，)3,(2e x2求该曲线的方程．解 设曲线方程为，则，积分得)(x f y =xx f 2)(='． （曲线连续，过点，故C x dx xx f +==⎰ln 22)()3,(2e ）0>x 将代入，得，解出．所以，曲线方程为3)(2=e f C e +=2ln 231-=C ．1ln 2-=x y 例13 判断下列计算结果是否正确1）； 2）．C x dx xx +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ()C e dx ex x++=+⎰1ln 11解 1），所以计算结果正确．2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2）， 计算结果不正确，即[]xx x xe e e C e +≠+='++111)1ln(．()C e dx ex x++≠+⎰1ln 11. 5 .以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式1）时，．0≠a ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f 2）．⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln 5），时，0>a 1≠a =⎰dx a a f x x )(6）时，0≠μ1()f x x dx μμ-=⎰7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin 10）=+⎰dx xx f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()(例14 求．⎰dx xx xcos sin tan ln 解 ⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=xd xxtan tan tan ln ．⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=2tan ln 21. 6 .注由于被积函数中含有，表明，故x tan ln 0tan >x ．x d x d xtan ln tan tan 1=例15 求下列不定积分1）； 2）．⎰+dx xx xln 1ln ⎰+dx x x 100)1(解 1） (请注意加1、减1的技巧)⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x1ln 111ln ln 1ln⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=)ln 1(ln 11ln 1x d x x ．C x x ++-+=2123)ln 1(2)ln 1(322）dxx x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰)1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x．C x x ++-+=101102)1(1011)1(1021例16 设，不求出，试计算不定积分C x dx x f +=⎰2)()(x f ．⎰-dx xxf )1(2解 （将看作变量）2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰21x -u ．C x +--=22)1(21例17 设，求．x e x f -=)(⎰'dx xx f )(ln 解 先凑微分，然后利用写出计算结果．即C u f u d u f +='⎰)()(. 7 .．⎰⎰'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x+=1例18 计算不定积分．⎰+dx x x )1(124 【提示】 分母中有时，考虑用“倒代换”．k x tx 1=解 设，则，t x 1=dt tdx 21-=4224211111(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫=- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 24111⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=dt t t 221113arctan 3t t t C =-+-+．3111arctan 3C x x x=-+-+例19 求不定积分．⎰+dx x x )4(16解 ⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x()⎰+=dt t t tx41616⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt t t 411241 ． 1ln 244t C t =++661ln 244x C x =++分部积分．⎰⎰⎰⎰'-=-'vdx u uv vduuv udvdxv u vu 、交换凑微分目的，使公式右边的积分要比左边的积分容易计算，u vdx '⎰⎰'dx v u 关键在于正确地选取和凑出．u. 8 .例 20 求不定积分．⎰dx xxarcsin 解一 这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令，x t =则，，2t x =tdt dx 2= ⎰⎰=tdt t tdx xx2arcsin arcsin ⎰=v ut d t arcsin 2()⎰-=td t t t arcsin arcsin 2⎰--=dtttt t 212arcsin 222arcsin (1)t t t =+- Ct t t +-+=212arcsin 2．C x x x +-+=12arcsin 2解二 先凑微分，再代换，最后分部积分，即⎰⎰=xd x dx xxarcsin 2arcsin ⎰=dt t tx arcsin 2 ⎰--=dt tt t t 212arcsin 2．C t t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2例 21 已知的一个原函数是，求．)(x f 2x e-⎰'dx x f x )(【提 示】 不必求出，直接运用分部积分公式．)(x f '解 由已知条件，，且，故)(x f ()'=-2x e ⎰dx x f )(C e x +=-2⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dxx f x xf )()(()Ceex x x +-'=--22. 9 .．C e e x x x +--=--2222例 22 设，求．x x x f ln )1()(ln +=')(x f 解 先求出的表达式．设，则，)(x f 't x =ln t e x =)1()(+='t e t t f ⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdttde t,22t dt e te tt +-=⎰C t e te tt ++-=22所以．C x e xe x f x x++-=2)(2例23 求不定积分．5432x x dx x x+--⎰解 将分子凑成，23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-把分式化为多项式与真分式的和；542233221x x x x x x x x x x+-+-=+++--再将真分式化为最简分式的和，232x x x x+--，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰．322ln ln 132x x x x x C =+++-++. 10 .例24 求不定积分．⎰+-dx x x x )1(188解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x （换元，令）⎰+-=du u u u )1(1818x u =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=du u u 12181 C u u ++-=)1ln(41ln 81()C x x ++-=881ln 41ln 81．()C x x ++-=81ln 41||ln 例25 求不定积分．⎰+dx xsin 11解 ⎰⎰--=+dx xx dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1．⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan 例26 求不定积分．⎰+++++dx x x x)11()1(11365解 为同时去掉三个根式，设，则，，t x =+6116-=t x dt t dx 56= dt t t t t dx x x x52533656)1(1)11()1(11++=+++++⎰⎰32161t t t dt t +-+=+⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=dt t t t t 221116()C t t t +++-=arctan 61ln 3322．()3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6。
不定积分习题课
定理 1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)]( x)dx [ f (u)du]u( x)
第一类换元公式（凑微分法）
常见类型:
1. f ( xn1 )xndx;
3. f (ln x) dx; x
5. f (sin x)cos xdx;
1
(3)2x 1
ln 3
dt t2 1
2
22
2
1 2 ln
3
(
t
1
1
t
1
)dt 1
1
ln t 1 C
2(ln 3 n
1 3
ln
2)
ln
3 3
x x
2x 2x
C.
例2. 求
da x a x lna dx
解:
原式
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间I 内，函数 f ( x) 的带有任意常数项 的原函数称为 f ( x) 在区间I 内的不定积分，记
为 f ( x)dx ．
f ( x)dx F( x) C
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(14) shxdx chx C
(15) ch xdx shx C
(16) tan xdx lncos x C
(20)
a2
高等数学不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解(总58页)不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数 52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（） ★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
第五章不定积分习题课
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章 不定积分
第15页
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x
1
2u u2
x 2arctan u
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du
R(sin
第五章 不定积分
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第五章 不定积分 习题课
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第五章 不定积分
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一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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第五章 不定积分
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1、原函数
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第五章 不定积分
不定积分习题课市公开课一等奖市赛课金奖课件
解
x 1 x(1 xex
)
dx
令
=
dt t(1
t
)
=
dt t
t
dt 1
= ln t ln t 1 C
= ln xex ln xex 1 C
例6
思索题：P97 6、（2）
解
原式 =
x9dx = 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
= 1 ( 1 1 )d (x10 ) 20 x10 2 x10
dt ,
t2 4 3
t2 t2 22
9
dx
=3
dt ,
x2 9x2 4
t2 t2 22
上式右端积分旳被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 (六)类中，查到公式 41，当 a = 2(x 相当于 t)时，
得 教材第185页
t2
dt t2 Βιβλιοθήκη 2=t2 4 C = 4t
9x2 4 C. 12 x
代入原积分中，得
dx
=3
dt = 9x2 4 C.
x2 9x2 4
t2 t2 22
4x
3.用递推公式
例4
查表求
dx sin4
x
.
解 被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类
中查到公式 97，递推公式为 教材第187页
dx
sinn x
=
1 n
1
cos x sinn1 x
n n
2 1
f
( x)dx=
f
(x)
d[ f ( x)dx] = f ( x)dx
F ( x)dx = F ( x) C
dF ( x) = F ( x) C
《不定积分习题》课件
详细描述
不定积分具有一系列重要的性质，包括线性性质、可加性、可乘性等。线性性质是指∫[af(x) + bf'(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫f'(x)dx；可加性是指∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx；可乘性是指∫f(x) * g(x)dx = ∫f(x)dx * ∫g(x)dx。这些性质在解决不定积分问题时非常有用。
PART THREE
不定积分的基本公式与法则
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
积分公式表
包括基本积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等，这些公式是解决不定积分问题的基础。
常用积分公式
如贝塞尔函数、勒让德函数等，这些特殊函数在解决某些不定积分问题时非常有用。
特殊函数积分公式
不定积分的计算方法
总结词：不定积分的计算方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。 详细描述：不定积分的计算方法有多种，其中最常用的是直接积分法、换元积分法和分部积分法。直接积分法是将不定积分转化为求导的逆运算，即利用微分公式和基本初等函数的导数公式来计算不定积分。换元积分法是通过引入新的变量来简化不定积分，即通过换元将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。分部积分法是将不定积分转化为乘积的形式，即通过分部相乘来计算不定积分。这些方法在解决实际问题中非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用不定积分的概念和性质。
通过递推关系式，可以方便地求出一些复杂函数的积分。
递推积分公式
包括乘的积分问题化简为简单的积分问题。
线性积分法则
幂函数的积分可以通过分部积分法进行求解，幂函数的不定积分可以通过幂函数的原函数进行求解。
不定积分的习题及答案
不定积分的习题及答案不定积分的习题及答案数学作为一门精确的科学，无论在理论还是实践中都扮演着重要的角色。
而在数学中，不定积分是一个重要的概念，它与求导密切相关，被广泛应用于微积分、物理学等领域。
本文将围绕不定积分展开，介绍一些相关的习题及答案。
1. 求解以下不定积分：a. ∫(3x^2 + 2x - 1) dx解答：根据不定积分的性质，我们可以将该积分拆分成三个部分：∫(3x^2) dx + ∫(2x) dx - ∫(1) dx对于每个部分，我们可以利用不定积分的基本公式进行求解：∫(3x^2) dx = x^3 + C1∫(2x) dx = x^2 + C2∫(1) dx = x + C3因此，原积分的解为：x^3 + C1 + x^2 + C2 - x + C3，其中C1、C2、C3为常数。
b. ∫(e^x + 1/x) dx解答：对于第一部分∫(e^x) dx，我们可以利用指数函数的不定积分公式进行求解，即e^x + C1。
对于第二部分∫(1/x) dx，我们可以利用对数函数的不定积分公式进行求解，即ln|x| + C2。
因此，原积分的解为：e^x + ln|x| + C1 + C2，其中C1、C2为常数。
2. 求解以下不定积分：a. ∫(2sinx + 3cosx) dx解答：对于第一部分∫(2sinx) dx，我们可以利用正弦函数的不定积分公式进行求解，即-2cosx + C1。
对于第二部分∫(3cosx) dx，我们可以利用余弦函数的不定积分公式进行求解，即3sinx + C2。
因此，原积分的解为：-2cosx + 3sinx + C1 + C2，其中C1、C2为常数。
b. ∫(x^3 + 2x^2 + 3x + 4) dx解答：根据不定积分的性质，我们可以将该积分拆分成四个部分：∫(x^3) dx + ∫(2x^2) dx + ∫(3x) dx + ∫(4) dx对于每个部分，我们可以利用不定积分的基本公式进行求解：∫(x^3) dx = (1/4)x^4 + C1∫(2x^2) dx = (2/3)x^3 + C2∫(3x) dx = (3/2)x^2 + C3∫(4) dx = 4x + C4因此，原积分的解为：(1/4)x^4 + (2/3)x^3 + (3/2)x^2 + 4x + C1 + C2 + C3 + C4，其中C1、C2、C3、C4为常数。
第四章不定积分习题课-带解答精品文档6页
第 1 页第四章 不定积分 习题课1．原函数 若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数． 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数都可表示为C x F +)(．2．不定积分 )(x f 的带有任意常数项的原函数叫做)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(， 3．基本性质1）)(])([x f dx x f ='⎰，或dx x f dx x f d )(])([=⎰； 2）C x F x dF +=⎰)()(，或C x F dx x F +='⎰)()(； 3）⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([； 4）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(，（0≠k ，常数）． 4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。
不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一． 5. 例题例1 已知)(x f 的一个原函数是x 2ln ，求)(x f '．解 x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=， )ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫⎝⎛='．例2 设C x dx x f +=⎰2sin 2)(，求)(x f ．解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以 例3 若)(x f 的一个原函数是x 2，求⎰'dx x f )(．解 因为x 2是)(x f 的原函数，故2ln 2)2()(x x x f ='=，所以 例4 求不定积分⎰-dx e x x 3．解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即 例5 求不定积分⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin ． 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得 例6 求不定积分⎰⋅dx xxx 533．解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分． 例7 求不定积分⎰++++dx xx x x x 32313．解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即 例8 求不定积分⎰-dx x2cos 11．解 用三角恒等式x x 2sin 212cos -=将被积函数变形，然后积分． 例9 求不定积分⎰+dx x x )sec (tan 22．解 用三角恒等式1sec tan 22-=x x 将被积函数统一化为x 2sec 的函数，再积分．例10 求不定积分⎰++dx x x x )1(21222． 解⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan ．第 3 页例11 求不定积分⎰+dx x x )1(124．解 类似于例10，拆项后再积分例12 一连续曲线过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于x2，求该曲线的方程．解 设曲线方程为)(x f y =，则xx f 2)(='，积分得 C x dx xx f +==⎰ln 22)(．（曲线连续，过点)3,(2e ，故0>x ） 将3)(2=e f 代入，得C e +=2ln 23，解出1-=C ．所以，曲线方程为1ln 2-=x y ．例13 判断下列计算结果是否正确1）C x dx x x +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ； 2）()C e dx exx ++=+⎰1ln 11． 解 1）2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，所以计算结果正确． 2）[]xx x xee e C e +≠+='++111)1ln(， 计算结果不正确，即 以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式 1）0≠a 时，⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f ． 2）⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ． 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln5）0>a ，1≠a 时，=⎰dx a a f x x )( 6）0≠μ时，1()f x x dx μμ-=⎰ 7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin10）=+⎰dx x x f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()( 例14 求⎰dx xx xcos sin tan ln ．解⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=x d xxtan tan tan ln注 由于被积函数中含有x tan ln ，表明0tan >x ，故x d x d xtan ln tan tan 1=． 例15 求下列不定积分 1）⎰+dx xx x ln 1ln ； 2）⎰+dx x x 100)1(．解 1）⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x 1ln 111ln ln 1ln (请注意加1、减1的技巧) 2）dx x x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰例16 设C x dx x f +=⎰2)(，不求出)(x f ，试计算不定积分⎰-dx x xf )1(2．第 5 页解 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰ （将21x -看作变量u ） 例17 设x e x f -=)(，求⎰'dx xx f )(ln ． 解 先凑微分，然后利用C u f u d u f +='⎰)()(写出计算结果．即 例18 计算不定积分⎰+dx x x )1(124． 【提示】 分母中有k x 时，考虑用“倒代换”tx 1=．解 设t x 1=，则dt tdx 21-=， 例19 求不定积分⎰+dx x x )4(16．解⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x分部积分目的，使公式右边的积分u vdx '⎰要比左边的积分⎰'dx v u 容易计算，关键在于正确地选取u 和凑出． 例 20 求不定积分⎰dx xxarcsin ．解一 这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，解二 先凑微分，再代换，最后分部积分，即 例 21 已知)(x f 的一个原函数是2x e -，求⎰'dx x f x )(． 【提 示】 不必求出)(x f '，直接运用分部积分公式． 解 由已知条件，)(x f ()'=-2x e，且⎰dx x f )(C ex +=-2，故例 22 设x x x f ln )1()(ln +='，求)(x f ．解 先求出)(x f '的表达式．设t x =ln ，则t e x =，所以 C x e xe x f xx++-=2)(2．例23 求不定积分5432x x dx x x+--⎰． 解 将分子凑成把分式化为多项式与真分式的和再将真分式232x x x x+--化为最简分式的和，于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰ 例24 求不定积分⎰+-dx x x x )1(188． 解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x ⎰+-=du u u u )1(181（换元，令8x u =） 例25 求不定积分⎰+dx xsin 11． 解⎰⎰--=+dx x x dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1例26 求不定积分⎰+++++dx x x x)11()1(11365．解 为同时去掉三个根式，设t x =+61，则16-=t x ，dt t dx 56=，。
高等数学第四章不定积分习题课
xdx
de x
或 exdx d(ex 1) ，然后进行计算。 另外，由于
f
(x)
1 1 ex
中含有
1
e x，不能直接计算，可以考虑
换元 t ex 或 t 1 ex，然后再进行计算。
解法1：因为
1
ex
1 e x e x (1 e x )
所以
1
ex
二、基本计算方法
1．直接积分法 首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定
积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。
2．第一类换元法（凑微分法）： 设 F(u) f (u) ，则
f ((x))(x)dx f ((x))d(x) F((x)) C
3．第二类换元法（变量置换法）：
2
2
注意 运算中综合使用不同方法往往更有效.]。
【例12】 求不定积分
I
arcsin
x dx
x
分析：由于被积函数中含有根式 x ，所以首先要令
t x 把根式去掉，然后选择合适的方法计算。
另外，观察被积表达式的特点，由于
arcsin xdx arcsin x( dx ) 2arcsin xd( x )
2 dx 1 u2 du
2u sin x 1 u2
1 u2 cos x 1 u2
从而
2u 1 u2 2
R(sin x,cos x)dx
R( 1
u2
,
1
u2
)
1
u2
du
☆ 在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可
以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。
不定积分 习题
[解二]
xe x dx = xd (e x 1) xd ( 1 ) x 1 dx
(e x 1) 2
(e x 1) 2
ex 1 ex 1 ex 1
= x
e x dx x
de x
e x 1 e x (e x 1)
e x 1 e x (e x 1)
= x ( 1 1 )de x x ln e x ln(e x 1) C
不定积分习题课
通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求：
1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计 算。
4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。
C =
(1 x 2 )3
1 x2 C
3
3x3
x
[分析二]本题也可以用三角代换，令 x tant ，则根式下可化为 sec2 x 。从而
被积函数可化为 sin x 、 cos x 的函数。
[解二] 令 x tant ，
1
dx = cos3 t dt 1 sin 2 td sin t d sin t d sin t 1 (sin t)3 1 C
ex 1 ex ex 1
ex 1
= xe x ln(e x 1) C ex 1
[方法小结] 被积函数中含有 e x 的不定积分，可令 e x t , 从而将积分化为其它易积的积分。
另一方面，当用分部积分法，其中 u, dv 难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成
f ( (x))d (x) 的形式，从而 dv df ( (x)) 。
不定积分习题包含答案24页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
不定积分习题包含答案
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
第五章不定积分习题课
x2
1
a
2dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
1
x
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
dx arcsin C
a2 x2
a
(24)
1 dx
x2 a2
ln( x x 2 a 2 ) C
嘉兴学院
2020年6月5日星期五
x1
3
1
t3
C
3 3
x 1 C.
2
2 x1
嘉兴学院
2020年6月5日星期五
第五章 不定积分
第26页
例9
求
x 1
sin cos
x x
dx.
xx
x 2 sin cos
解 原式
2 2dx 2 cos2 x
2
x 2 cos2
xdx
tan
xdx 2
2
x
tan
x 2
tan
xdx 2
tan
xdx 2
例5 求
dx
x
x
x.
1 e2 e3 e6
x
解 令 e6 t,
x 6 ln t, dx 6 dt,
t
原式
1
t3
1
t2
t
6 dt t
6
t
(1
t
)(1
t
2
dt )
设
6
A B Ct D
t(1 t)(1 t 2 ) t t 1 1 t 2
大一不定积分习题及答案
大一不定积分习题及答案大一不定积分习题及答案大一的不定积分是数学系学生必修的一门课程，它是微积分的重要组成部分。
不定积分是求解函数的原函数的过程，也被称为反导数。
在学习不定积分的过程中，习题是非常重要的，通过解答习题，可以加深对知识点的理解和掌握。
下面将介绍一些常见的大一不定积分习题及其答案。
1. 求解∫(2x + 3)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(2x + 3)dx = ∫2xdx + ∫3dx。
对于∫2xdx，根据幂函数的不定积分公式，可以得到∫2xdx = x^2 + C1，其中 C1为常数。
对于∫3dx，根据常数函数的不定积分公式，可以得到∫3dx = 3x +C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 x^2 + 3x + C，其中 C = C1 + C2。
2. 求解∫(sinx + cosx)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(sinx + cosx)dx = ∫sinxdx + ∫cosxdx。
对于∫sinxdx，根据三角函数的不定积分公式，可以得到∫sinxdx = -cosx + C1，其中 C1 为常数。
对于∫cosxdx，同样根据三角函数的不定积分公式，可以得到∫cosxdx = sinx + C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 -cosx + sinx + C，其中 C = C1 + C2。
3. 求解∫(e^x + 2x)dx解答：根据不定积分的性质，可知∫(e^x + 2x)dx = ∫e^xdx + ∫2xdx。
对于∫e^xdx，根据指数函数的不定积分公式，可以得到∫e^xdx = e^x + C1，其中 C1 为常数。
对于∫2xdx，根据幂函数的不定积分公式，可以得到∫2xdx =x^2 + C2，其中 C2 为常数。
因此，原式的解为 e^x + x^2 + C，其中 C = C1 +C2。
4. 求解∫(1/x)dx解答：对于∫(1/x)dx，根据分式函数的不定积分公式，可以得到∫(1/x)dx = ln|x| + C，其中 ln|x| 表示以 e 为底的自然对数。
第四章不定积分习题课-带解答
. 1 .第四章 不定积分 习题课1．原函数 若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的一个原函数． 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的所有原函数都可表示为C x F +)(．2．不定积分 )(x f 的带有任意常数项的原函数叫做)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(．若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(， 3．基本性质1）)(])([x f dx x f ='⎰，或dx x f dx x f d )(])([=⎰； 2）C x F x dF +=⎰)()(，或C x F dx x F +='⎰)()(； 3）⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([； 4）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(，（0≠k ，常数）．4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。
不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一． 5. 例题例1 已知)(x f 的一个原函数是x 2ln ，求)(x f '．解 x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=， )ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛='．. 2 .例2 设C xdx x f +=⎰2sin 2)(，求)(x f ． 解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以2cos ]2sin2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰．例3 若)(x f 的一个原函数是x 2，求⎰'dx x f )(．解 因为x 2是)(x f 的原函数，故2ln 2)2()(x x x f ='=，所以C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2)()(．例4 求不定积分⎰-dx e x x 3．解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即⎰⎰--=dx e dx e xxx)3(31C e e x+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13．例5 求不定积分⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin ． 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得C x x dx x x +='⎪⎭⎫⎝⎛⎰22sin sin ．例6 求不定积分⎰⋅dx xxx 533．解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．C x dx x dx xdx xxx +===⋅⎰⎰⎰-+15261511533115332615．. 3 .例7 求不定积分⎰++++dx xx x x x 32313． 解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即⎰⎰+++++=++++dx xx xx x x dx x x x x x 3233232113⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=dx x x 12112C x x x +++=arctan 2||ln ．例8 求不定积分⎰-dx x2cos 11．解 用三角恒等式x x 2sin 212cos -=将被积函数变形，然后积分．⎰⎰=-dxxdx x 2sin 212cos 11 ⎰=xdx 2csc 21C x +-=cot 21．例9 求不定积分⎰+dx x x )sec (tan 22．解 用三角恒等式1sec t an 22-=x x 将被积函数统一化为x 2sec 的函数，再积分．⎰⎰+-=+dx x x dx x x )sec 1(sec )sec (tan2222⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=t a n2．例10 求不定积分⎰++dx x x x )1(21222． 解⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan ．. 4 .例11 求不定积分⎰+dx x x )1(124．解 类似于例10，拆项后再积分⎰⎰++--+=+dx x x x x x x dx x x )1(1)1(124442224⎰⎪⎭⎫⎝⎛++-=dx x xx2241111C x xx +++-=arctan 1313．例12 一连续曲线过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于x2，求该曲线的方程．解 设曲线方程为)(x f y =，则xx f 2)(='，积分得 C x dx xx f +==⎰ln 22)(． （曲线连续，过点)3,(2e ，故0>x ） 将3)(2=e f 代入，得C e +=2ln 23，解出1-=C ．所以，曲线方程为1ln 2-=x y ．例13 判断下列计算结果是否正确1）C x dx xx +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ； 2）()C e dx e x x ++=+⎰1ln 11． 解 1）2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，所以计算结果正确． 2）[]xx x xe e e C e +≠+='++111)1ln(， 计算结果不正确，即()C e dx ex x++≠+⎰1ln 11．. 5 .以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式 1）0≠a 时，⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f ． 2）⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ． 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln5）0>a ，1≠a 时，=⎰dx a a f x x )( 6）0≠μ时，1()f x x dx μμ-=⎰ 7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin10）=+⎰dx xx f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()( 例14 求⎰dx xx xcos sin tan ln ．解⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=x d xxtan tan tan ln⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=2tan ln 21．. 6 .注 由于被积函数中含有x t a n ln ，表明0t a n >x ，故x d x d xt a nln tan tan 1=． 例15 求下列不定积分 1）⎰+dx xx x ln 1ln ； 2）⎰+dx x x 100)1(．解 1）⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x 1ln 111ln ln 1ln (请注意加1、减1的技巧) ⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=)ln 1(ln 11ln 1x d x x C x x ++-+=2123)ln 1(2)ln 1(32．2）dx x x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰)1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x C x x ++-+=101102)1(1011)1(1021． 例16 设C x dx x f +=⎰2)(，不求出)(x f ，试计算不定积分⎰-dx x xf )1(2． 解 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰ （将21x -看作变量u ） C x +--=22)1(21．例17 设x e x f -=)(，求⎰'dx xx f )(ln ． 解 先凑微分，然后利用C u f u d u f +='⎰)()(写出计算结果．即⎰⎰'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x+=1．. 7 .例18 计算不定积分⎰+dx x x )1(124．【提示】 分母中有k x 时，考虑用“倒代换”tx 1=．解 设t x 1=，则dt tdx 21-=， 4224211111(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫=- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 24111 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=dt t t 221113arctan 3t t t C =-+-+ 3111a r c t a n 3C x x x=-+-+． 例19 求不定积分⎰+dx x x )4(16．解⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x()⎰+=dt t t tx41616⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt t t 411241 1ln 244tC t =++ 661ln 244x C x =++． 分部积分⎰⎰⎰⎰'-=-'vdx u uv vduuv udvdxv u vu 、交换凑微分．目的，使公式右边的积分u vdx '⎰要比左边的积分⎰'dx v u 容易计算，关键在于正确地选取u 和凑出． 例 20 求不定积分⎰dx xxarcsin ．解一 这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令x t =，. 8 .则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=tdt t tdx xx2arcsin arcsin ⎰=v ut d t arcsin 2()⎰-=t d t t t arcsin arcsin 2⎰--=dttt t t 212arcsin 222arcsin (1)t t t =+-Ct t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2．解二 先凑微分，再代换，最后分部积分，即⎰⎰=xd x dx xxarcsin 2arcsin ⎰=dt t tx arcsin 2⎰--=dt tt t t 212arcsin 2C t t t +-+=212a r c s i n 2C x xx +-+=12a r c s i n 2．例 21 已知)(x f 的一个原函数是2x e-，求⎰'dx x f x )(．【提 示】 不必求出)(x f '，直接运用分部积分公式． 解 由已知条件，)(x f ()'=-2x e，且⎰dx x f )(C ex +=-2，故⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dx x f x xf )()(()C ee x x x+-'=--22C e e x x x +--=--2222．. 9 .例 22 设x x x f ln )1()(ln +='，求)(x f ．解 先求出)(x f '的表达式．设t x =ln ，则t e x =，)1()(+='t e t t f ．⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdt tde t22t dt e te tt+-=⎰C t e te tt ++-=22,所以 C x e xe x f xx++-=2)(2．例23 求不定积分5432x x dx x x+--⎰． 解 将分子凑成23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-，把分式化为多项式与真分式的和542233221x x x x x x x x x x+-+-=+++--； 再将真分式232x x x x+--化为最简分式的和，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++， 于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰ 322ln ln 132x x x x x C =+++-++．. 10 .例24 求不定积分⎰+-dx x x x )1(188．解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x ⎰+-=du u u u )1(181 （换元，令8x u =） ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=du u u 12181 C u u ++-=)1ln(41ln 81()C x x ++-=881ln 41ln 81 ()C x x ++-=81ln 41||ln ． 例25 求不定积分⎰+dx xsin 11． 解⎰⎰--=+dx x x dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan ． 例26 求不定积分⎰+++++dx x x x)11()1(11365．解 为同时去掉三个根式，设t x =+61，则16-=t x ，dt t dx 56=，dt t t t t dx x x x52533656)1(1)11()1(11++=+++++⎰⎰32161t t t dt t+-+=+⎰ ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=dt t t t t 221116 ()Ct t t +++-=arctan 61ln 3322()3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6．。
不定积分习题
1 2
x2
C,
x 1
故
max{1,
x
}dx
x 1 C, 2
1 x 1.
1 2
x2
1
C,
x 1
例8
求
f ( x) f 2 ( x) f ( x)
[
f ( x)
f 3 ( x) ]dx.
解
原式
f ( x) f 2 ( x) f 2 ( x) f ( x)
1 dx 1 x4
俗称“积不出来”
二、典型例题
例1
求
2x3x 9x 4x dx.
解
原式
(3)x
2 ( 3)2 x
dx 1
1 ln 3
2
2
d(3)x 2
令(3)x t 2
1
(3)2x 1 2
ln 3 2
dt t2 1
1 2 ln 3
(t
1 1
t
1 )dt 1
dx x
sin2 x sin 3
cos2 x cos x
xdx
sin
1 x cos
dx x
cos sin 3
x x
dx
sin cos
x x
cos sin
x x
dx
1 sin3
d x
(sin
x)
ln
tan
x
1 2 sin
2
x
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2x e x arctane x x 1 ln(1 e )C 2
例6. 求
解: 取
x x2 e
2x
3
3x 1
1 e 2x 2
2
6x
1 e 2x 4
6
1 e 2x 8
0
1 e 2x 16
2x
1 ( x 3 x 2) 1 (3 x 2 1) 原式 e 2 4 2x 3 2 1 e ( 4 x 6 x 2 x 7) C 8
1 ( 2u )(u 2 1)
A 2u
B u 1
C u 1
作业
dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
例9. 求不定积分 解: 原式
x dx 1 x2
例3. 求
x x x 2sin cos 解: 2 2 dx 原式 2 x 2cos 2 x 1 2 x x sec d x tan d x 2 2 2 x 分部积分 x d tan tan x d x 2 2 x x x x tan tan dx tan d x 2 2 2 x x tan C 2
例4. 求不定积分
解:
原式 ln f ( x ) d ln f ( x )
1 2 [ln f ( x )] C 2
分析：
例5. 求 解: 原式 arctan e x d e x
x e dx e x arctan e x e x 2x 1 e (1 e2 x ) e 2 x x x e arctan e dx 2x 1 e 2x e x x dx e arctan e 1 2x 1 e
1 6 1 6 x 8 16 C
ek x 说明: 此法特别适用于 Pn ( x) sin ax dx 如下类型的积分: cos ax
例7. 设
为
的原函数, 且 求
解: 由题设 F ( x ) f ( x ), 则 故 积分得 即
又
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法
第五章
二、几种特殊类型的积分
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
第一类换元法 第二类换元法
(代换: x (t ))
3. 分部积分法 u dv uv v du
x x
x 2 ( 3) 2x 2 1 ( 3)
d a a ln a dx
dx
x
x
x 2 arctan( 3 )
ln 2 ln 3
C
例2. 求
解: 原式
sin 1 x 2 d 1 x 2
cos 1 x 2 C
分析:
d 1 x2
2 x dx
2 1 x2
使用原则: 1) 由 v 易求出 v ;
2)
u v dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v .
例1. 求
2 3 解: 原式 dx 2x 2x 3 2 2) x d ( 1 3 2 ln 3 1 ( 2 ) 2 x 3
, 因此
故
2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一 定都能积出. 例如 ,
例8. 求
dx 1 e e e
x e6
x 2 x 3 x 6
.
解: 令 t
, 则 x 6 ln t , dx 6 d t t