集合中元素的个数
集合中元素的个数(学习课资)
若在一个集合与全体正整数集合之间
存在一一对应，则称这个集合是可数的。
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（4）几个令人吃惊的例子 Z 1,2,3,4,5,...与2,3,4,5,...的基数相同吗？
全体正整数和全体整数一样多吗？
全体正整数和全体有理数一样多吗？
C必须是非普通集，但这时C包含了一个非普通集
（即C本身）为其元素，这与C只包含普通集的定义
相矛盾。因此，无论那一种情形，仅仅是C的存在，
就已经使我们陷入矛盾。
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罗素的理发师悖论
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其他一些悖论
（1）芝诺悖论 1）二分法悖论 2）阿基里斯和乌龟
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部分＝整体？！
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（5）问题的提出
是不是所有的无限集都有相同的基数呢？
康托在1973年11月29日给戴德金的信中提出： Z和R之间是否存在着一个一 一对应的关系？
11月29日－12月7日，康托给无限的理论奠定了 的基数比较问题。
最多63人，最少38人.
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问题的提出：
无限集中元素的个数？！
Z 1,2,3,4,5,...中元素有多少个？ 集合A 2,3,4,5,...中元素的个数？
R中元素有多少个？ 是不是所有的无限集都有相同的个数呢？
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1.无限 （1）初识无限 （2）在有限集中，如何比较元素个数的多少？
阅读材料 集合中元素的个数
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例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8
高中数学新教材必修第一册第一章第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念(南开题库含详解)
高中数学新教材必修第一册第一章1.1 集合的概念（南开题库）一、选择题（共40小题；共200分）1. 集合的元素个数有A. 个B. 个C. 个D. 无数个2. 设集合，，那么" "是" "的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 若，则的值为A. B. C. D. 或4. 设集合，，定义，则中元素的个数为A. B. C. D.5. 用列举法可以将集合表示为A.B.C.D.6. 下列说法正确的有①与表示同一个集合；②由，，组成的集合可表示为或；③方程的所有解的集合可表示为；④集合是有限集．A. 只有①和④B. 只有②和③C. 只有②D. 以上四种说法都不对7. 下面关于集合的表示正确的个数是①；②；③．A. B. C. D.8. 若集合，，则中元素的个数是A. B. C. D.9. 设集合，，则“且”成立的充要条件是A. B. C. D.10. 设集合，若（为自然对数底数），则A. B.C. D.11. 已知集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.12. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.13. 设集合，，，则中的元素个数为A. B. C. D.14. 已知集合，则中元素的个数为A. B. C. D.15. 下列集合中，是空集的是A.B.C.D.16. 设集合，，若，则A. B. C. D.17. 设集合，集合，则集合中元素的个数是A. B. C. D.18. 若正方体的棱长为，则集合中个元素的个数为A. B. C. D.19. 若集合，则集合中的元素个数是A. B. C. D.20. 若集合，则实数的取值集合是A. B.C. D.21. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.22. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是A. B. C. D.23. 若集合满足对任意的，有，则称集合为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是A. 自然数集B. 整数集C. 有理数集D. 实数集24. 已知集合，，则中所含元素的个数为A. B. C. D.25. 若集合，则实数的值的集合是A. B.C. D.26. 已知集合，集合中至少有个元素，则A. B. C. D.27. 已知，则集合的子集的个数是A. B. C. D.28. 已知集合，集合，则集合中元素的个数为A. B. C. D.29. 设是实数集的非空子集，如果，，，则称是一个“和谐集”．下面命题中假命题是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则30. 已知集合，，，则A. 或B. 或C. 或D. 或31. 函数的定义域为，图象如图1所示，函数的定义域为，图象如图2所示，若集合，，则中元素的个数为A. B. C. D.32. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.33. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为A. B. C. D.34. 设集合，则A. 对任意实数，B. 对任意实数，C. 当且仅当时，D. 当且仅当时，35. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，，，给出如下四个结论：①；②；③若整数，属于同一“类”，则；④若，则整数，属于同一“类”．其中，正确结论的个数是A. B. C. D.36. 用表示非空集合中元素的个数，定义若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则A. B. C. D.37. 已知集合，，，且，，．设，则A. B. C. D. 以上都不对38. 设是实数集的非空子集，如果，有，，则称是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是A. 存在有限集，是一个“和谐集”B. 对任意无理数，集合都是“和谐集”C. 若，且，均是“和谐集”，则D. 对任意两个“和谐集”，，若，，则39. 设是整数集的非空子集，如果对任意的，，有，则称关于数的乘法是封闭的．若，是的两个不相交的非空子集，，且对任意的，，，有，对任意的，，有，则下列结论恒成立的是A. ，中至少有一个关于数的乘法是封闭的B. ，中至多有一个关于数的乘法是封闭的C. ，中有且只有一个关于数的乘法是封闭的D. ，关于数的乘法都是封闭的40. 若集合且，且，用表示集合中元素个数，则A. B. C. D.二、填空题（共40小题；共200分）41. 集合，当时，若，则称为的一个“孤立元素”，则中孤立元素的个数为．42. 设集合，则．43. 集合中的最小整数为．44. 元素与集合的概念（1）把统称为元素，通常用表示．（2）把叫做集合（简称为集），通常用表示．45. 定义集合运算，设集合，，则集合．46. 集合的元素个数有个．47. 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则．48. 已知关于的不等式的解集为，，则实数的取值范围是．49. 已知，，则．50. 下列各组对象不能形成集合的是．（填序号）①大于的所有整数；②高中数学的所有难题；③被除余的所有整数；④函数图象上所有的点．51. 已知，若集合中恰有个元素，则的取值范围为．52. 已知集合，若，则实数的值为 .53. 已知集合，若中元素至多有个，则的取值范围是．54. 集合与集合的元素个数相同，则的取值集合为．55. 已知集合，若，则的值为．56. 设，，，则集合中元素的个数为个．57. 将，，，，这个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有和，第二张卡片上写有，第三张卡片上写有，则应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．58. 已知集合，则集合中元素的个数是．59. 已知集合，且，那么实数的取值范围是．60. 从集合中随机取一个点，若的概率为，则的最大值是．61. 已知是集合的非空子集，且当时，有，记满足条件的集合的个数为，则，．62. 若集合中只有一个元素，则．63. 已知集合，若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是．64. 设集合，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个．65. 已知集合，若存在，使得集合中所有整数的元素的和为，则的取值范围是．66. 若集合，且下列四个关系中有且只有一个是正确的：①；②；③；④．则符合条件的有序数组的个数是．67. 已知集合，存在，使得集合中所有为整数的元素和为，则的取值范围是．68. 已知集合，若对于任意，都存在，使得成立，则称集合是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；②；③；④．其中是“垂直对点集”的序号是．69. 已知集合，集合，定义集合，之间的运算“”：，则集合中最大的元素是，集合所有子集的个数为．70. 已知集合，若表示集合中元素的个数，则．71. 以下关于命题的说法正确的有（填写所有正确命题的序号）．①“若，则函数（，且）在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若，则”的否命题是“若，则”；③命题“若，都是偶数，则也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若，则”与命题“若，则”等价．72. 若集合，则实数的取值范围是．73. 设，，均为非零实数，则的所有值为元素组成的集合是．74. 对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，．定义在上的函数，若，则中所有元素之和为．75. 设全集，，，，则集合，．76. 设表示不超过的最大整数，集合中的元素个数为个．77. 若自然数使得加法运算均不产生进位现象，则称为"给力数"，例如：是"给力数"，因为不产生进位现象；不是"给力数"，因产生进位现象．设小于的所有"给力数"的各个数位上的数字组成集合，则集合中的数字和为．78. 已知数集（）具有性质对任意，其中，均有，若，则．79. 在边长为的正方形中，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，．若为的最小值，其中，，则．80. 已知集合，对于元素和，有，（填“”或“”） .三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知集合．（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围．82. 若数集具有以下性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质．分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．83. 已知集合中至多有一个元素，求实数的取值范围．84. 已知，若，求实数的值．85. 已知集合，试用列举法表示集合．86. （1）已知，非空集合．若是的必要条件，求的取值范围．（2）本例条件不变，问是否存在实数，使是的充要条件．（3）本例条件不变，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．87. 已知集合各元素之和等于，求实数的值．88. 集合中的元素为正整数，且满足“若，则”．（1）试写出只有一个元素的集合；（2）试写出全部的有两个元素的集合；（3）满足上述条件的集合总共有多少个?89. 数集满足条件：若，则．（1）若，试求中必须含有的其它所有元素；（2）自己设计一个数属于，然后求出中必须含有的其它所有元素；（3）从上面的解答过程中你能悟出什么道理，并大胆证明你发现的"道理"．90. 设数集满足条件：①；②且；③若，则．（1）若，则中至少有几个元素?（2）证明：中不可能只有一个元素．91. 已知集合，其中，由的元素构成两个相应的集合：，，其中是有序数对．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．92. （1）设集合，，，求集合中的元素个数；（2）设，集合，求的值．93. 已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．94. 已知数集满足条件：，若，则．（1）若，则集合中还有哪些元素?（2）请你任意设集合中的一个元素（实数），再探讨该集合中其他元素；（3）从上面两题的解答过程中，你领悟到什么结论?并加以证明．95. 已知集合，，用列举法表示集合．96. 用适当的方法表示下列集合：（1）的正约数组成的集合；（2）大于且小于的实数组成的集合；（3）图中阴影部分的点（不包括边界）组成的集合．97. 已知集合．在下列条件下分别求实数的取值范围：（1）；（2）恰有两个子集；（3）．98. 已知数集且有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（2）证明：，且；（3）当时，证明：，，，，成等差数列．99. 已知集合．对于，，定义；；与之间的距离为．（1）当时，设，，求；（2）证明：若，，，且，使，则；（3）记．若，，且，求的最大值．100. 已知集合，其中，，称为的第个坐标分量，若，且满足如下两条性质：中元素个数不少于个；，，，存在，使得，，的第个坐标分量是；则称为的一个好子集．（1）为的一个好子集，且，，写出，；（2）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过；（3）若为的一个好子集，且中恰有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．答案第一部分1. B2. B3. C 【解析】提示：由两个集合相等可知，或，当时，无意义，所以．4. D5. C【解析】集合中的元素是点，故A，B不对．又，分别可以取或，故选C．6. C 【解析】①错；表示元素不是集合；②对；考查集合中元素的无序性；③错；考查集合中元素的互异性；④错；为无限集．7. B 【解析】因为集合的元素具有无序性，•故①不正确；中的元素为，表示直线上的点组成的集合，中的元素是，表示函数的值域，故②不正确；和均表示大于的数组成的集合，故③正确．所以正确的说法只有③．8. B 【解析】由已知，得．由，得的取值只可能是和，从而，所以中含有个元素．9. D10. C11. C 【解析】集合的元素来源于集合，且是集合中两元素的差值，因为集合中不同任意两元素的差分别是，，，，当两元素相同时，差为，所以集合．12. B13. B 【解析】因为集合中的元素，，，所以当，时，．当，时，．由集合元素的互异性，可知．即，共有个元素．14. A15. D【解析】因为方程的判别式，所以方程无实根，故D选项为空集，A选项中只有一个元素，B选项中有无数个元素，即抛物线上的点，C选项中只有一个元素．16. C 【解析】已知，所以，则，所以，所以，，所以．17. C 【解析】当时，；当时，．所以集合B中的元素个数是．18. A 【解析】因为正方体的棱长为，，，，所以所以集合中元素的个数为．19. A20. D【解析】时，满足条件；时，由题意知且，得，所以．21. D22. B 【解析】当时，；当时，；当时，．由集合中元素的互异性知中有，，，，，，，共个元素．23. A 【解析】取自然数集中两个值，，而．24. D25. D【解析】当时符合题意；当时，相应一元二次方程中的，得．综上得．26. C27. B28. B29. D 【解析】A显然正确；B，对任意无理数，取，，，则，，所以是“和谐集”，正确；C，任意“和谐集”中一定含有，所以，正确；D，取，，但既不属于也不属于，所以，D为假命题．30. B31. C32. C 【解析】当时，，而，此时，，则中元素的个数为．当时，，而，此时，．由于，时，中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素个数为，则中元素的个数为．33. C 【解析】或或，共个点；，共个点．由，知；同理由，知．当或时，可取；当时，可取．故中共有元素个．34. D35. C【解析】由于，对于①，除以等于余，所以，所以①对；对于②，，被除余，所以②错；对于③，因为，是同一类，可设，，则能被整除，所以，所以③正确；对于④，若，则可设，，即，，不妨令，，，，，，，则，，，所以，属于同一类，所以④正确．故正确的有①③④．36. B 【解析】由，则或，，当时，符合题意；当，，符合题意．综上，．37. B 【解析】要判断与集合之间的关系，只要看能否写成，，，，，的形式即可．，，分别是，，中的元素，分别可以写成，，，，，的形式，对它们进行运算即可．设，，，，，，则由于，所以．38. D 【解析】方法一：显然集合｛｝是和谐集，选项A为真命题；对任意无理数，，，，，所以集合都是“和谐集”，选项B为真命题；若，且，均是“和谐集”，显然，，则，选项C为真命题．故选D．方法二：显然，均是“和谐集”，且，，而，选项D是假命题，故选D．39. A 【解析】由于，则整数一定在，两个集合中的一个中．不妨设，则，由于，，，则，即，从而对乘法封闭；另一方面，当非负整数，负整数时，关于乘法封闭，关于乘法不封闭，故D不对；当奇数，偶数时，，显然关于乘法都是封闭的，故B和C不对．40. A【解析】对于集合，当时，、、可取、、、，故个数为；当时，、、可取、、，故个数为；当时，、、可取、，故个数为；当时，、、可取，故个数为；所以集合中元素的个数为．对于集合，当时，可取、、、；当时，可取、、；当时，可取、；当时，可取；故、组共可取个，同理，、组也可取个，所以集合中元素的个数为．因此，．第二部分41.【解析】当时，；当时，；当时，；当时，；综上可知，中只有一个孤立元素．42. 143.44. （1）研究对象小写拉丁字母 .（2）一些元素组成的总体大写拉丁字母45.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．所以．46.【解析】容易解得，于是集合中的元素个数为个．47.48. 由于，即不满足集合，则或，得．49.50. ②【解析】①③④中的对象是确定的，能够形成集合；②中的对象不确定，故不能形成集合的是②．51.【解析】因为中恰有个元素，所以，故的取值范围为．52. 或53. 或54.【解析】由于集合中只有等式这一个元素，所以集合中也只有一个元素．当时，；当时，，．55.【解析】因为，所以或．当，即时，，此时集合中有重复元素，所以不符合题意，舍去；当时，解得或（舍去），此时符合题意．所以．56.57. 二，【解析】显然不在第一张卡片上，也不在第三张卡片上，所以只能在第二张卡片上；因为第一张卡片上已经写有和，所以不在第一张卡片上，又第二张卡片上写有，所以也不在第二张卡片上，故在第三张卡片上；，不在第三张卡片上，不在第二张卡片上，所以在第一张卡片上，在第二张卡片上；在第三张卡片上．58.【解析】当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，．根据集合中元素的互异性知，中元素有，，，，，共个．59.【解析】因为，所以不满足集合中的不等式，所以，故．60.【解析】从集合中随机取一个点，共有种情况，即，；，；，，的概率为，即的情况有种，即，，，，，，则的最大值是．61. ，【解析】将，，，分为组，和，和，，和，为一组，每组中的两个数中必须同时属于或同时不属于一个满足条件的集合，每组属于或不属于，有两种情况，的可能性有，排除一个空集，的个数为，故，．62. 或【解析】若，则，符合题意；若，则由题意得，解得．综上，的值为或．63. 或【解析】由题意知或解得或．64.【解析】符合题意的集合是：，，，，，，共个．65.【解析】不等式可化为，当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素的和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有整数的元素的和为，则．66.【解析】由于题意是只有一个是正确的，所以①不成立，否则②成立，即可得．若，则或；若，则；若，则或或．所以共有个．67.【解析】不等式可化为．当时，集合，此时集合中所有为整数的元素和不可能为，不符合题意；当时，集合，此时集合中所有整数的元素和为，不符合题意；当时，集合，要使集合中所有为整数的元素和为，则．68. ③④【解析】由题意可得集合是“垂直对点集”等价于对于过曲线上任意一点与原点的直线，都存在过曲线上另一点与原点的直线与之垂直．①，假设集合是“垂直对点集”，则存在两点，，满足，化为，无解，因此假设不成立，即集合不是“垂直对点集”；②，取，则不存在，满足，因此集合不是“垂直对点集”；③，结合图象可知，集合是“垂直对点集”；④，结合图象可知，集合是“垂直对点集”．综上可得，只有③④是“垂直对点集”．69. ，70.【解析】因为，，，，，因为，，，，成首项为、公差为的等差数列，所以易知该等差数列的项数为．所以．71. ②④【解析】对于①，若，则，所以函数在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若是偶数，则，都是偶数”，是假命题，如是偶数，但和均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出命题“若，则”与命题“若，则”互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④．72.【解析】因为，所以，所以或解得．73.【解析】，，均为正数时，；，，均为负数时，；，，两正一负或两负一正时，．74.75.【解析】，由知，所以，即．所以，，故，所以，．76.【解析】设．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以在时，，由上知可以取，若，则只取个值，故集合中共有个不同元素．77.【解析】"给力数"的个位取值有，，三种情况，"给力数"的其他数位取值有，，，四种情况，所以，故集合中的数字和为．78.【解析】当有，即，又因为，所以，故，由已知，又，，所以，即．又，且，故或，若，则，与已知矛盾，所以，即．同理可得出，故，故，．79.【解析】正方形如图所示，由题可知，，，；，，；因此，，，；再结合，当，时，如上图，，可算得为的最大值，则相应的，时，最大，且此时与夹角为，所以．80. ，【解析】因为，所以与均为整数，且．令，即，所以解得即二元方程有解，所以 .对于，即，令无整数解；再令亦无整数解．因此，．第三部分81. （1）因为中有两个元素，所以关于的方程有两个不等的实数根，所以，且，即所求的范围是且．（2）当时，方程为，所以集合；当时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则也只有一个元素，此时；若关于的方程没有实数根，则没有元素，此时，综合知此时所求的范围是或．82. 由于与均不属于集数，所以该数集不具有性质．由于，，，，，，，，，均属于数集，所以该数集具有性质．83. 或．84. ．85. ．86. （1）由，得，所以，由是的必要条件，知．则所以，所以当时，是的必要条件，即所求的取值范围是．（2）若是的充要条件，则，所以方程组无解，即不存在实数，使是的充要条件．（3）由例题知，因为是的必要不充分条件，所以且．所以．所以或所以，即的取值范围是．87. 或．忽略集合的互异性，由直接得到，所以．漏解，此时．88. （1），即，则．（2），．（3）共有个，分别为，，，，，，．89. （1），则，即．则，即；则，即；所以中必须含有的其它所有元素为．（2）答案不唯一，如：若，则中必须含有的其它所有元素为．（3）分析以上结果可以得出，中只要含有元素，就至少含有个元素，分别是，且三个数的乘积为．证明如下：若，则有，且，所以又有，且，进而有．又因为（因为，则，而方程无解），同理，所以中至少含有个元素，它们分别是，且三个数的乘积是．90. （1）若，则，所以．所以．所以中至少有，，三个元素．（2）假设中只有一个元素，设这个元素为，由已知，则，即，此方程无解．这与中有一个元素矛盾，所以中不可能只有一个元素．91. 集合不具有性质．集合具有性质，其相应的集合，．92. （1）因为集合中的元素，，，所以当时，，此时；当时，，此时．根据集合中元素的互异性可知，．即，共有个元素．（2）因为，，所以，得，所以，，所以．93. （1）当时，，则．（2）由知解得，即实数的取值范围为．（3）当，即时，满足；当，即时，要满足，需有或，解得或，所以．综上，实数的取值范围是．94. （1）由已知，得，即，，即，，即，所以，．所以集合中还有，．（2）不妨设，则，即，，即，，即，所以，．（3）由（ 1）（ 2）猜测中仅有三个元素，即，，．下面证明这三个数在集合中且互不相等．先证存在．因为，所以存在且不等于，所以．由，可知．而，即时，有意义．再证互不相等．若，则，又，故无实数解，即，同理，．综上所述，集合中必有这三个互不相等的元素，而，因此中有且仅有这三个元素．95. 因为，，，，，，，所以．96. （1）的正约数有，，，，是个有限集，因此采用列举法表示为．（2）采用描述法表示为．（3）采用描述法表示为且．97. （1）若，则关于的方程没有实数解，则解得；（2）若恰有两个子集，则为单元素集，则关于的方程恰有一个实数解．①当时，，满足题意；②当时，解得．综上，的取值集合为．（3）若，则关于的方程在区间内有解．因为所以．98. （1）因为与均不属于集合，所以数集不具有性质．因为，，，，，，，，，均属于集合，所以数集是具有性质．（2）因为对任意的，与两数中至少有一个属于，所以与中至少有一个是数列中的项，因为数列是递增有限数列，且，所以，故．从而．所以，因为，所以，故．所以．又因为，所以，所以，，，，，即．所以．（3）由知，当时，有，，即，因为，所以，所以，所以．由，得，且，所以，即，所以，，，，是首项为，公差为的等差数列．99. （1）当时，由，得所以．（2）设，，．由，使，即得所以，使得，其中．由此与同为非负数或同为负数．从而（3）首先证明如下引理：设，则有．证明如下：因为，，所以即成立．结合上述引理，得上式等号成立的条件为，或，所以．对于，，有，且综上，的最大值为．100. （1）；（2）对于，考虑元素，显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都在好子集中，又因为取定，则一定存在且唯一，而且，且由的定义知道，，，，这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素个数为，所以中元素个数不超过．（3），定义元素，的乘积为：，显然 .我们证明：“对任意的，，都有.”假设存在，使得，则由知，此时，对于任意的，不可能同时为，矛盾，所以．因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道，显然这个元素的坐标分量不能都为，不妨设，根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为．下面再证明的唯一性：若还有，即中所有元素的坐标分量都为，所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾.所以结论成立．。
集合元素个数的表示方法
集合元素个数的表示方法
在数学和计算科学中，集合是一种常见的数据结构，它包含一组具有某种特性的元素。
表示集合元素个数的方法有很多种，下面将介绍其中四种。
1. 计数法
计数法是一种基本的表示集合元素个数的方法，它通过使用数字或数量来表示集合中元素的数量。
例如，对于一个包含五个元素的集合，我们可以使用“5”来表示它有五个元素。
2. 自然语言描述法
自然语言描述法是一种较为直观的表示集合元素个数的方法，它通过使用形容词、名词等来简洁明了地描述集合元素的个数。
例如，对于一个包含很少元素的集合，我们可以使用“稀疏”或“贫瘠”来表示它只有很少的元素；对于一个包含很多元素的集合，我们可以使用“密集”或“丰富”来表示它有很多的元素。
3. 符号法
符号法是一种比较简洁的表示集合元素个数的方法，它通过使用符号或表情符号等来表示集合中元素的数量。
例如，对于一个空集（即不包含任何元素的集合），我们可以使用“∅”或“0”来表示它没有任何元素；对于一个包含所有元素的集合（即全集），我们可以使用符号“U”或“1”来表示它包含一个元素。
4. 代码法
代码法是一种比较专业的表示集合元素个数的方法，它通过使用编程语言、表格形式等来表示集合中元素的数量。
例如，在Python语言中，我们可以使用len()函数来获取一个集合中元素的数量；在数学符号编辑器中，我们可以使用“{n}”来表示一个包含n个元素的集合。
综上所述，表示集合元素个数的方法有很多种，其中计数法、自然语言描述法、符号法和代码法是最常见的四种。
根据具体情况和需要，我们可以灵活地选择其中一种或多种方法来表示集合元素的个数。
1.设集合,则中元素的个数为
1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a-=(0)a >的离心率为5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12-6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2x y =D. 1()2x y =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1 40名职工进行调查.则应从40-508．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为 图1A. 14B.5C. 3D. 7 9．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b=--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．不等式23100x x --<的解集为 ．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 3A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρ 被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF △ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长为 ．16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17．（本小题满分14分）如图5，已知BCD∆中，90,1BCD BC CD∠===，AB，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF平面BCD lCD l；=，求证//（3）求四棱锥B-CDFE的体积V．图518. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<．一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B. 二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14.解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC == 三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=-----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(, )6612ππα+∈，--------------------------------------------4分 ∴πcos(2)6α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分1132=⋅=---12分[解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分 即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分⇒2cos 2sin 2αα-=-----------------------①---------------------------------6分将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分解得：cos 2α==--------------------②---------------------10分∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴cos 2α=.-----------------------------------------------------------12分]17.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD AB CD ∴⊥，----------------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分 又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC-----------------------------------------4分 （2） CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅1111428=⨯⨯⨯=------------------14分[解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分 由（1）知EF ⊥平面ABC ，∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分1111113232=+⨯⨯⨯=.----------------14分]18.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=- 得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=-131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列，63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分]（3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分。
比较无限集合中元素个数的方法(一)
比较无限集合中元素个数的方法(一)比较无限集合中元素个数的方法引言比较无限集合中元素个数是数学中一个常见的问题。
在实际应用中，我们经常需要判断两个集合的大小关系。
本文将介绍一些常用的方法来比较无限集合中元素的个数，并给出每种方法的适用场景和注意事项。
方法一：1-1映射法1-1映射法是最直观的方法之一。
我们可以找到两个集合之间的一个双射（即一一映射）关系，通过比较元素的个数来判断集合的大小关系。
•适用场景：当两个集合的元素可以一一对应时，可以使用1-1映射法。
•注意事项：需要承认无限集合中的元素个数可能大于有限集合的元素个数，即使它们之间存在双射关系。
方法二：有限集合转化法有限集合转化法通过将无限集合转化为有限集合，并比较转化后的有限集合的大小来判断原始无限集合的大小。
•适用场景：当两个集合中至少有一个集合是有限集合时，可以使用有限集合转化法。
•注意事项：需要确保转化过程中不会引入新的重复元素。
方法三：势的比较法势的比较法通过比较集合的势（也称为基数、大小或个数）来判断集合的大小关系。
在集合论中，我们使用无穷基数（Infinity cardinality）来表示无限集合的势。
•适用场景：当两个集合都是无限集合时，可以使用势的比较法。
•注意事项：势的比较法只能给出集合大小的相对关系，无法具体给出两个集合中元素的个数。
方法四：引理的运用法引理的运用法通过引入一些具体的数学引理来比较无限集合中元素的个数。
例如，卡西诺定理（Cantor-Bernstein定理）可以用来比较两个集合的势。
•适用场景：当无限集合的元素具有一些特殊性质时，可以尝试使用引理的运用法。
•注意事项：需要确保所使用的引理合理有效，并正确应用于对比的无限集合。
方法五：抽象推理法抽象推理法是一种基于逻辑推理的方法。
通过进行分析和推理，可以从给定的条件和定义中得出结论，从而比较无限集合的大小关系。
•适用场景：当其他方法无法适用或不够准确时，可以尝试使用抽象推理法。
1.1.4集合中元素的个数
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集合中元素的个数
来表示有限集A中的元素个数 用card来表示有限集 中的元素个数 来表示有限集 中的元素个数. 如:A={a,b,c} 则card(A)=3
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问题： 问题：
利用Venn图: card(A∪B∪C)=card(A)+ card(B)+ card(C) - card(A∩B)- card(A∩C)- card(C∩B)+ card(A∩B∩C)
B A A∩B A∩B∩C A∩C C
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B∩C
作业布置
学校小卖部进了两次货,第一次进的货是 学校 方便面,汽水共 钢笔,橡皮 笔记本,方便面 汽水共6 圆珠笔 钢笔 橡皮 笔记本 方便面 汽水共 第二次进的货是圆珠笔,铅笔 火腿肠,方 种,第二次进的货是圆珠笔 铅笔 火腿肠 方 第二次进的货是圆珠笔 铅笔,火腿肠 便面共4种 两次一共进了几种货物 两次一共进了几种货物? 便面共 种,两次一共进了几种货物
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1.教材 教材P12 9,10 B组 4 教材 组 2 补．某班有学生 人,其中音乐爱好 某班有学生55人 其中音乐爱好 体育爱好者43人 还有 还有4人既 者34人,体育爱好者 人,还有 人既 人 体育爱好者 不爱好体育也不爱好音乐,班级中既爱 不爱好体育也不爱好音乐 班级中既爱 好体育又爱好音乐的有多少人? 好体育又爱好音乐的有多少人
公式： 公式：
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) ∪ ∩
数学中元素的定义
数学中元素的定义在数学中，元素可以指以下几种不同的定义：1. 集合论中的元素：在集合论中，元素是指集合中的个体或对象。
一个集合可以包含任意数量的元素。
例如，集合{1, 2, 3}中的元素是整数1、2和3。
2. 代数中的元素：在代数中，元素是指代数结构中的成分。
例如，在一个环（或群、域等）中，元素是指组成该环的对象。
例如，在整数环中，元素可以是任意整数。
3. 数列中的元素：在数列中，元素是指按照一定规律排列的数字。
例如，斐波那契数列中的元素是按照递推关系生成的数列。
4. 几何中的元素：在几何学中，元素是指构成几何图形的基本要素。
例如，在平面几何中，元素可以是点、直线、圆等。
总之，在数学中，元素是指构成某个数学结构或对象的基本要素，其具体定义取决于上下文和相关的数学领域。
5. 集合论中的元素符号：在集合论中，元素可以使用符号来表示。
常用的符号是大写字母，例如，集合A中的元素可以表示为a∈A。
符号“∈”表示元素属于某个集合。
符号“∉”表示元素不属于某个集合。
6. 数学中的元素操作：在数学中，元素可以进行各种运算和操作。
例如，在代数中，可以对元素进行加法、乘法等运算。
在集合论中，可以对元素进行交集、并集等操作。
7. 元素的属性和特征：在数学中，元素可以具有各种属性和特征。
例如，在数列中，元素可以是偶数或奇数。
在几何中，点的元素可以具有坐标、距离等属性。
需要注意的是，元素的定义可能会根据具体的数学学科和背景有所不同。
不同数学领域对元素的定义可能会有细微的差异。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)(3)
1.1 集合的概念1．下列说法正确的有（ ）①NBA 联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；②*0N ∈；③集合{}2| 1 y y x =-与集合(){}2,| 1 x y y x =-是同一个集合；④空集是任何集合的真子集.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：A解析：根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题的真假．详解：对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误；对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0∉N *，错误；对于③，集合{}2|1{|1}y y x y y =-=≥-是数集，集合（x ，y ）|y=x 2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误；对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误；故选A ．点睛：本题考查集合的确定性，元素与集合的关系，列举法和描述法表示集合以及空集的有关性质，属于基础题．2．设集合{|4},M x x a =≥= ）A ．a M ∈B ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M ∉答案：B 解析：首先确定是元素与集合的关系，然后根据4的大小关系即可完成判断. 详解： 因为4>a M ∉，故选：B.点睛：本题考查元素与集合的关系，难度较易.元素与集合的关系只有两种：属于和不属于，集合与集合之间不存在属于关系.3．下列能构成集合的是（ ）A ．中央电视台著名的节目主持人B ．我市跑得快的汽车C ．上海市所有的中学生D ．香港的高楼答案：C解析：根据集合的定义可直接确定结果.详解：构成集合的元素具有确定性 ,,A B D ∴中没有明确标准，不符合集合定义，C 正确故选：C点睛：本题考查集合的定义，属于基础题.4．集合{}|(31)(4)0x Z x x ∈--=可化简为（ ）A ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．{}4 C ．1,43⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,43⎧⎫--⎨⎬⎩⎭答案：B解析：通过解方程，根据Z 的含义进行求解即可.详解：解方程(31)(4)0x x --=,得121,43x x ==，因为x ∈Z ，所以{}|(31)(4)0x Z x x ∈--={}4=，故选：B5．下列各组对象中能构成集合的是（ ）A B ．数学成绩比较好的同学C ．小于20的所有自然数D ．未来世界的高科技产品答案：C解析：根据集合中元素的确定性，即可得解.详解：选项A 、B 、D 中集合的元素均不满足确定性，只有C 中的元素是确定的，满足集合的定义，故选：C.点睛：本题考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的确定性，是概念题，属于基础题.6．设集合A=x|x 2–4≤0}，B=x|2x+a≤0}，且A∩B=x|–2≤x≤1}，则a=（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4答案：B解析：由题意首先求得集合A,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.详解：求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-.故选：B.点睛：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是①{}3,1M =-，(){}3,1P =-；②(){}3,1M =，(){}1,3P =； ③{}21M y y x ==-，{}21P t t x ==-； ④{}21M y y x ==-，(){}2,1P x y y x ==-. A ．①B ．②C ．③D ．④答案：C 解析：对四组集合逐一分析，可选出答案.详解：对于①，集合M 表示数集，集合P 表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合；对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M 研究对象是函数值，集合P 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合. 故选：C.点睛：本题考查相同集合的判断，属于基础题.8．已知集合{21,}A xx x Z =-<≤∈∣，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D 解析：根据x ∈Z 求得集合A ，从而判定出集合中元素个数.详解：{21,}{1,0,1}A x x x Z =-<≤∈=-∣，所以集合A 中元素的个数为3.故选：D.点睛：本题主要考查集合的表示法，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.9．已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．9答案：B 解析：根据几何A 中的元素，可求得集合B 中的有序数对，即可求得B 中元素个数. 详解：因为x A ∈，y A ，x y∈N ， 所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.点睛：本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.10．下列对象能构成集合的是（ ）A ．2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目B ．我国从1991~2016年发射的所有人造卫星C ．2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员D ．5，4，4，7答案：B解析：对选项A ，“好看的节目”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项B ,满足集合元素的确定性，所以这些对象可以构成集合；对选项C ,“高个子”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项D ，含有相同的元素“4”，不满足集合元素的互异性，所以不能构成集合.详解：对选项A ，2016年央视春节联欢晚会上的所有好看的节目，“好看的节目”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项B ,我国从1991~2016年发射的所有人造卫星，满足集合元素的确定性，所以这些对象可以构成集合；对选项C ,2015年夏季世界大学生运动会中的高个子女运动员，“高个子”是不确定的，所以这些对象不能构成集合；对选项D ，5，4，4，7，含有相同的元素“4”，不满足集合元素的互异性，所以不能构成集合.故选：B点睛：本题主要考查集合的元素，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知集合2|10A x x ，则下列式子表示正确的有（ ）①1A ∈②{1}A -∈③A ∅∈④{1,1}A -⊆A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B解析：先求出集合A 中的元素，然后逐项分析即可.详解：因为{}2|10{1,1}A x x =-==-，则1A ∈，所以①正确；{1}A -⊆，所以②不正确；A ∅⊆，所以③不正确；{1,1}A -⊆，所以④正确，因此，正确的式子有2个.故选：B.12．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不可以表示为( ) A ．(x ，y)|31x y x y +=⎧⎨-=-⎩ } B ．(x ，y)|12x y =⎧⎨=⎩} C ．1,2}D ．(1,2)}答案：C 解析：根据集合元素的特征进行判断求解可得结论．详解：由于方程组的解集中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，所以A,B,D 符合题意，C 不符合题意．故选C ．点睛：本题考查集合元素的特征，解题时要注意方程组的解的特点，属于基础题．13．已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A∩B=A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅答案：C解析：本题借助于数轴，根据交集的定义可得．详解：由题知，(1,2)A B =-，故选C ．点睛：本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．14．有下列说法：（1）与表示同一个集合； （2）由组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1； （3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2；（4）集合{}|45x x <<是有限集．其中正确的说法是A ．只有（1）和（4）B ．只有（2）和（3）C ．只有（2）D ．以上四种说法都不对答案：C详解：试题分析：（1）不正确：0是数字不是集合，但{}00∈；（2）正确：集合元素满足无序性，即{}{}1,2,33,2,1=；（3）不正确:集合元素具有互异性,方程的解集应为{}1,2；（4）不正确:满足不等式45x <<的x 有无数个,所以集合{}|45x x <<是无限集．故C 正确．考点：1元素与集合的关系；2集合元素的特性．15．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥ 答案：C详解： 试题分析：因为{}21log A x N x k =∈<<中到少有3个元素，即集合A 中一定有2,3,4三个元素，所以4216k >=，故选C.考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.16．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．{}0B ．{8x x >∣，且}5x <C ．{}210x x ∈-=N ∣D ．{}4x x >答案：B解析：根据空集的定义判断．详解：A 中有元素0，B 中集合没有任何元素，为空集，C 中有元素1，D 中集合，大于4的实数都是其中的元素．故选：B ．17．下列说法中正确的有（ ）个：①很小的数的全体组成一个集合：②全体等边三角形组成一个集合；③{}R 表示实数集；④不大于3的所有自然数组成一个集合.A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：利用集合的元素的特征判断.详解：①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：②全体等边三角形组成一个集合，故正确；③{}R 表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B18．已知集合M=1,2,3,4}，N=1,3,6}，P=M∩N，则P 的子集共有（ ）个.A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B解析：先求P M N =⋂,根据子集个数公式计算结果.详解：集合M=1,2,3,4}，N=1,3,6}，{}1,3P M N ∴==，共2个元素， 所以P 的子集共有224=个.故选：B19．已知集合{}0,1,2A =，那么（ ）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．1AD ．{}0,1,2A ⋃答案：B解析：根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.详解：由{}0,1,2A =，则0A ∈，{}1A ⊆故选：B20．已知集合(){}21220A x R a x x =∈+-+=,且A 中只有一个元素,则实数a 的值为 A ．12-B ．0或12C ．1-D ．1-或12-答案：D 解析：由条件可得方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，对二次项系数是否为0，结合根的判别式，即可求解.详解：A 中只有一个元素，所以方程()21220a x x +-+=只有一个实数解， 当10,1a a +==-时，方程为220,1x x -+==，满足题意；当10,1a a +≠≠-时，148(1)840,2a a a ∆=-+=--==-，所以1a =-或12a =-.故选:D.点睛：本题考查集合的表示，以及对集合元素的理解，属于基础题.。
集合中元素的个数问题
集合中元素的个数问题
集合元素个数的问题主要取决于集合的性质和表示方式。
以下是几种常见的求解集合元素个数的方法：
1.直接数：对于有限集合，可以直接数出其中的元素个数。
2.使用数学定义或性质：无限集合的元素个数：对于无限集
合，由于无法直接数出其中的元素个数，可以使用数学定义或性质推导出集合的元素个数。
3.利用集合的性质：有些集合具有特定的性质，可以通过这
些性质来求解元素个数。
4.利用集合的表示法：集合可以通过不同的表示法进行描述，
例如列表、集合符号表示法、集合的定义性描述等。
针对不同的表示法，可以采用不同的方法来求解元素个数。
例如，利用集合符号表示法{x x 0} 表示的是大于0的实数集合，可以通过定义集合的性质推导出元素个数。
综上所述，求解集合元素个数的方法主要包括直接数出、利用集合的性质、以及根据集合的表示法来求解。
基数序数的区别
基数序数的区别基数和序数是数学中常见的两个概念，它们分别用于表示集合中的元素数量和元素的次序。
尽管它们都是用来描述数目的，但它们在使用方法和概念上有着明显的区别。
基数用来表示集合中元素的数量。
比如，对于一个集合A，如果它有5个元素，那么我们可以说A的基数是5。
基数是一个非负整数，它表示了集合中元素的个数。
基数是一个绝对的概念，它只表示了元素的数量，而没有涉及它们的顺序或排列方式。
与之相对应的是序数，序数用来表示元素的次序或顺序。
比如，对于一个集合B，如果它的元素按照某种规则排列，那么我们可以用序数来表示每个元素的次序。
序数是一个相对的概念，它表示了元素之间的顺序关系，而不是元素的绝对数量。
序数可以是整数，也可以是小数，甚至可以是无穷。
基数和序数在数学中有着广泛的应用。
在集合论中，基数被用来描述集合的大小，它可以帮助我们比较两个集合的大小或者判断一个集合是否为空。
而序数则被用来描述有序集合，比如数列或者排列组合。
序数可以帮助我们确定元素的位置和次序，从而进行一些有序集合的操作和推理。
基数和序数还有一些其他的特点和性质。
比如，基数可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，而序数则可以进行序列的拼接、截取和排序等操作。
基数和序数之间也存在一定的关系，比如一个集合的基数可以确定该集合的最大序数，而一个序数可以确定一个有限集合的基数。
基数和序数是数学中常见的两个概念，它们分别用来表示集合中元素的数量和次序。
基数是一个绝对的概念，它表示了元素的数量；而序数是一个相对的概念，它表示了元素的次序。
基数和序数在数学中有着广泛的应用，它们可以帮助我们比较集合的大小、确定元素的位置和次序，以及进行一些有序集合的操作和推理。
通过理解和运用基数和序数的概念，我们可以更好地理解和应用数学知识。
(四) 集合元素个数的计算
內容{2,4,5,9,11}4,6,}∈}x Z∈≥,y R y集合的元素個數表示法：集合A的元素個數記為的一個元素，則寫為：若集合B的元素皆為集合(2) {正，反} 註：集合的元素不見得是數字解：{2,3,5}A =(二) 有限集合、無限集合，可數集點，不可數集合(1)可數集合的意義：(a) 我們可以看出元素2為第1個元素，元素4為第2個元素，元素6為第3個元素，…，以此類推。
(b) 由此規律可以推得，任一元素，比如說246為第123個元素; 同時第312個元素為624。
(c)這樣的規律就是找到到了「偶數集合」與「自然數集合」間的「一對一關係」，其對應關係如下：2，4，6，8，10，12，…\1，2，3，4， 5， 6，…(2)較正式的証明：我們可到一個「一對一函數」，:f A N →，符合()2x f x =，即對每個A x ∈,可找到N x ∈2，所以「偶數集合」為一個可數函數。
(即每個A x ∈，為集合中的第2x 個)(1) 將集合新排列成{0,1,-1,2,-2,3,-3……}此時，每個元素為第幾個的對應關如下：整數集 0 1 -1 2 -2 3 -3 …次序(自然數集) 1 2 3 4 5 6 7 …依照這個規律，不難看出，正數x 為第2x 個，負數 -x 為第2x+1個(2)寫的正式一點，就是：我們可找到一個「1-1函數」:f Z N →，符合2if 0()21if 0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩一次函數為「1-1函數」，所以整數集合Z 為可數集合提示：將Q +寫為{1,,,,,,,,,,,,}21321432154，這個數列是有規律的，且包含了所有的正有理數。
(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9}A B ⋃=(3) {1,2,3}A B -=(4) {7,8,9}B A -=(5) ()()A B B A -⋂-=∅所以兩集合互斥。
(6) ()(){4,5,6}A B A B A B ⋂⋂⋃=⋂=≠∅所以兩集合不互斥。
元素和子集的关系
元素和子集的关系在数学中，元素和子集是两个重要的概念。
元素是指集合中的个体，而子集是指一个集合中的元素的集合。
元素和子集之间存在着密切的关系，下面将从不同角度来探讨这种关系。
一、元素和子集的定义元素是指一个集合中的个体，可以是数字、字母、符号或其他对象。
例如，集合A={1,2,3}中的1、2、3就是元素。
子集是指一个集合中的元素的集合。
例如，集合A={1,2,3}中的子集有{1}、{2}、{3}、{1,2}等。
二、元素和子集的包含关系1. 元素属于集合：一个元素属于一个集合，表示这个元素是这个集合的一个成员。
例如，元素1属于集合A={1,2,3}。
2. 子集包含元素：一个子集包含于一个集合，表示这个子集中的所有元素都属于这个集合。
例如，子集{1}包含于集合A={1,2,3}。
三、元素和子集的数量关系1. 元素的个数：一个集合中的元素的个数称为集合的基数。
例如，集合A={1,2,3}的基数是3。
2. 子集的数量：一个集合的所有子集的数量等于2的n次方，其中n是这个集合的元素个数。
例如，集合A={1,2,3}的子集数量是2的3次方，即8个。
四、元素和子集的运算关系1. 交集：两个集合的交集是指这两个集合中共有的元素组成的集合。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}的交集是{2,3}。
2. 并集：两个集合的并集是指这两个集合中所有元素组成的集合。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}的并集是{1,2,3,4}。
3. 差集：两个集合的差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。
例如，集合A={1,2,3}和集合B={2,3,4}的差集是{1}。
4. 补集：在一个全集中，减去一个集合中的所有元素，剩余的元素组成的集合称为这个集合的补集。
例如，在全集U={1,2,3,4,5}中，集合A={1,2,3}的补集是{4,5}。
五、元素和子集的应用元素和子集的概念在数学中有着广泛的应用。
集合元素个数的表示方法
集合元素个数的表示方法一、使用自然数表示最常见的表示集合元素个数的方法是使用自然数。
当一个集合中的元素个数为n时，我们可以将其表示为|A|=n，其中A表示集合的名称，|A|表示集合A的元素个数。
例如，如果集合A中有3个元素，我们可以表示为|A|=3。
二、使用符号表示除了使用自然数表示集合的元素个数外，我们还可以使用一些特殊符号来表示。
常用的符号有#和card。
符号#表示集合的基数。
当一个集合中的元素个数为n时，我们可以将其表示为#A=n，其中A表示集合的名称，#A表示集合A的元素个数。
例如，如果集合A中有3个元素，我们可以表示为#A=3。
符号card表示集合的势。
当一个集合中的元素个数为n时，我们可以将其表示为card(A)=n，其中A表示集合的名称，card(A)表示集合A的元素个数。
例如，如果集合A中有3个元素，我们可以表示为card(A)=3。
三、使用集合运算表示除了直接表示集合的元素个数外，我们还可以使用集合运算来间接表示。
常用的集合运算有并集、交集和差集。
对于两个集合A和B，我们可以使用并集运算来表示它们的元素个数之和。
即，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么它们的并集中有m+n个元素。
例如，如果集合A中有2个元素，集合B中有3个元素，那么它们的并集中有2+3=5个元素。
类似地，我们可以使用交集运算来表示两个集合的公共元素个数。
即，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么它们的交集中有min(m, n)个元素。
例如，如果集合A中有2个元素，集合B中有3个元素，那么它们的交集中有min(2, 3)=2个元素。
我们还可以使用差集运算来表示一个集合相对于另一个集合的元素个数。
即，如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么A相对于B的差集中有m-n个元素。
例如，如果集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，那么A 相对于B的差集中有3-2=1个元素。
四、使用数学符号表示除了使用自然数和符号表示集合的元素个数外，我们还可以使用一些数学符号来表示。
元素的种类数
元素的种类数介绍元素的种类数是指在给定的集合中，不同元素的个数。
在数学和计算机科学中，元素的种类数是一个重要的概念，它可以用来描述集合的大小、计算概率和解决各种问题。
在本文中，我们将深入探讨元素的种类数的概念、计算方法以及其在不同领域的应用。
元素的种类数的定义元素的种类数是指在一个给定的集合中，不同元素的个数。
例如，对于集合{1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3}，它的元素的种类数为5，即{1, 2, 3, 4, 5}。
在集合论中，元素的种类数也被称为集合的基数或者集合的大小。
元素的种类数的计算方法计算元素的种类数有多种方法，下面介绍几种常用的方法：方法一：遍历集合最直观的方法是遍历集合中的每一个元素，并记录不同元素的个数。
具体步骤如下：1. 初始化一个空集合或者列表，用于存储不同的元素。
2. 遍历集合中的每一个元素。
3. 如果元素不在存储集合中，则将其加入到存储集合中。
4. 最后，存储集合中元素的个数就是集合的种类数。
方法二：使用哈希表哈希表是一种高效的数据结构，可以用来存储键值对。
在计算元素的种类数时，可以使用哈希表来记录每个元素的出现次数。
具体步骤如下： 1. 初始化一个空的哈希表。
2. 遍历集合中的每一个元素。
3. 如果元素不在哈希表中，则将其加入到哈希表中，并将其出现次数设置为1。
4. 如果元素已经在哈希表中，则将其出现次数加1。
5. 最后，哈希表中不同元素的个数就是集合的种类数。
方法三：使用集合数据结构有些编程语言提供了集合数据结构，可以直接使用这些数据结构来计算元素的种类数。
具体步骤如下： 1. 初始化一个空的集合。
2. 遍历集合中的每一个元素。
3. 将每个元素加入到集合中。
4. 最后，集合的大小就是集合的种类数。
元素的种类数的应用元素的种类数在数学和计算机科学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：概率计算在概率论中，元素的种类数可以用来计算事件的概率。