第二课时弧度制及其应用例题展示(笔记整理)

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三精考点之高中数学一轮复习最基础考点系列：考点4-2

专题2 弧度制及其应用弧度制及其应用★★★○○○○1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2．弧度制下的有关公式弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．[典例] (1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A．1 B．4 C．1或4 D．2或4(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. [解析] (1)设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为l r. 将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍．答案：33．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析：由题可知，弧长l ＝3π，圆心角α＝135°＝3π4，所以半径r ＝l α＝3π3π4＝4.面积S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.答案：4 6π1．若扇形的周长是面积的4倍，则该扇形的面积的最小值为（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【来源】【全国市级联考】河南省南阳市2017年秋期高中三年级期中数学(文）【答案】D【解析】设扇形半径为r ，弧长为l ，则142,222rl r l rl r l ⨯=+=+≥12,12rl rl ≥≥，该扇形的面积的最小值为1,故选D.2．若扇形的圆心角120α=，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】【全国百强校】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文）试卷3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. 所以当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大． 4．已知扇形的面积为23π平方厘米，弧长为23π厘米，则扇形的半径r 为_______厘米．【来源】【全国区级联考】江苏省沛县、如皋市2017-2018学年高一上学期教学质量调研二（期中）数学试题【答案】2 【解析】由题意得122233r ππ⨯=，解得2r =。

1.1.2_弧度制(知识梳理+练习+答案)[1]

1.1.2 弧度制知识梳理： 1. 弧度制弧度角：叫做1弧度角，记作，或，或(单位可以省略不写).一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. 2. 弧度与角度的转化：弧度定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示.如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数为||lrα=.3. 弧度与角度的转化：根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=, 1___rad =度练习题: 一、选择题。

1、在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（） A ．所对弧长相等 B ．所对的弦长相等 C ．所对弧长等于各自半径 D ．所对弧长等于各自半径2、时钟经过一小时，时针转过了( )A.6πrad B.－6πrad C. 12πrad D.－12πrad3、角α的终边落在区间（－3π,－52π）内,则角α所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、半径为πcm ，中心角为120o 的弧长为（）A ．cm 3πB ．cm 32πC ．cm 32πD ．cm 322π5、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则（）A ．集合M 是集合N 的真子集B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包含关系 6、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍二、填空题。

7、将下列弧度转化为角度：（1）12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）613π= °；8、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 9、把014852(02,)k k Z πααπ-+≤〈∈写成的形式是10、已知2rad 的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对的弧长是三、解答题。

人教A版高中数学必修四任意角和弧度制任意角和弧度制知识梳理文字素材

《任意角和弧度制》知识梳理一、要点知识精析１．任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两个方向，因此旋转所得到的角也有正负之分．如果角的终边没有作任何旋转，则称该角为零角．注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，定点在坐标原点．２．正确理解直角坐标系中的几种角象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限的角）；如：α是第一象限角，则2k πα<22k ππ<+（)k Z ∈．轴线角：终边落在坐标轴上的角．如α的终边在x 轴的正半轴，则2k απ=；α的终边在x 轴，则k απ=；α的终边在坐标轴上，则2k πα=；（以上)k Z ∈．区间角：是指介于两个角之间的角的集合，如030150x <≤；区域角：是介于某两条终边之间的角集，如0030360k α+∙<0090360k <+∙k Z ∈，显然区域角是无数个区间角的集合，而且象限角可以用区域角来表示．终边相同的角：具有同一终边的角的集合，与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣0360,k k Z βα=+∙∈｝或｛β∣2,k k Z βαπ=+∈｝．在写与角α终边相同的角的集合时要注意单位统一，避免出现“0302()k k Z π+∈或0360,6k k Z π∙+∈” 之类的错误；３．等于半径长的圆弧所对的圆心角叫１弧度的角．这一定义与圆的半径大小无关．由弧度制的定义，衍生出两个公式：弧长公式（l r α=）和扇形面积公式（212S r α=），应用这两个公式时，角的单位都必须用弧度制，这两个公式都比用角度制下的弧长公式和扇形面积公式简单．无论是角度制或是弧度制，都能在角的集合与实数集Ｒ之间建立一种一、一对应关系．４．弧度制和角度制可以相互转化：00/1801()5718rad π=≈，010.01745180rad rad π=≈．用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写，但用角度表225图2 图3示时，“度”（或“0”）不能省略．在同一个式子中，两种单位不能混用．二、解题方法指津１．判断角终边所在象限的方法角所在的象限的确定，是三角函数求值问题的关键环节，为此，要利用题中的若干条件准确地对角所在的象限进行判断．（１）利用终边相同的角的表示法判断判断一个角的终边所在位置，可先将此角化为α+∙0360k 003600(<≤α，Z k ∈）或),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置．（２）确定角的范围判断已知单角α的象限，求2α、3α、2α等角的范围问题，通常先把α角的范围用不等式表示出来，再利用不等式的性质得出所讨论的角的范围，对k 的取值进行讨论，确定出所在象限．（３）．由α所在象限，确定nα所在象限的方法求nα所在象限，可先将各个象限n 等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码１，２，３，４，直到将所有区域标完为止．如果α在第几象限，则nα就在图中标号为几的区域内．如图２所示，将各象限２等分，若α在第一象限，则2α就在图中标号为１的区域内，即一、三象限的前半区域．如图３，若α在第三象限，则3α就在图中标号为３的区域内，即一、三、四象限．依次类推．。

新人教A版必修四第一章1.1.2弧度制知识梳理及重难点题型(含解析版)

1.1.2弧度制重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1 弧度制的概念】 1.角度制规定周角的3601为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2.弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3.弧度制与角度制的区别与联系【知识点2 角度与弧度之间的互化】 1.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°=2πrad 2πrad=360° 180°=πrad πrad=180° 1°=180πrad ≈0.01745rad 1rad=≈︒)180(π'18572.一些特殊角的度数与弧度数的对应表【知识点3 扇形的弧长与面积公式】设扇形的半径为r ，弧长为l ，)20(παα<<或n °为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：【知识点4 弧度制下的结论】 1.终边对称的角的表示（1）若α与β的终边关于x 轴对称，则)(2Z k k ∈=+πβα. （2）若α与β的终边关于y 轴对称，则)()12(Z k k ∈+=+πβα. （3）若α与β的终边关于原点对称，则)()12(-Z k k ∈+=πβα. （4）若α与β的终边在一条直线上，则)(-Z k k ∈=πβα. 2.终边相同的角的表示)(2Z k k ∈+=παβ，前后单位要一致.3.象限角的表示（1）第一象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ，222ππαπα.（2）第二象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，ππαππα222. （1）第三象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，2322ππαππα. （1）第四象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，ππαππα22232. 4.轴线角的表示（1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈=，παα.（2）终边在x 轴的非正半轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈+=，ππαα.（3）终边在x 轴上的角的集合为：}{Z k k ∈=，παα.（4）终边在y 轴的非负半轴上的角的集合为：}22{Z k k ∈+=，ππαα.（5）终边在y 轴的非正半轴上的角的集合为：}2-2{Z k k ∈=，ππαα.（6）终边在y 轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈+=，ππαα.（7）终边在坐标轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈=，παα. 举一反三【考点1 任意角与弧度制相关概念】【例1】（2019春•静安区期末）下列选项中，错误的是( ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180度一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关【变式1-1】（2019春•历城区校级月考）下列命题中，真命题的是( ) A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小【变式1-2】（2018春•莲湖区校级期中）下列说法正确的是( ) A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角，则22()2k k k z ππαπ-<<∈【变式1-3】（2019春•宾阳县校级月考）下列表示中不正确的是( ) A ．终边在x 轴上角的集合是{|k ααπ=，}k Z ∈B ．终边在y 轴上角的集合是{|,}2k k Z πααπ=+∈C ．终边在坐标轴上角的集合是{|,}2kk Z παα=∈D ．终边在直线y x =上角的集合是{|2,}4k k Z πααπ=+∈【考点2 角度与弧度的互化】【例2】（2019春•微山县校级月考）将下列弧度转化为角度：角度化为弧度：（1）12π= ；（2）136π= ；（3）512π-= ．（4）36︒= rad ；（5）105-︒= rad ．【变式2-1】（2019春•陕西校级期中）角度制与弧度制的互化：210︒= ；52π-．【变式2-2】（2019春•浦东新区校级月考）3π弧度= 度；75︒= 弧度；1弧度= 度（精确到小数点后一位）【变式2-3】弧度与角度的换算： 360︒= rad ； rad π1︒= 0.01745rad rad ≈1rad = 57.3057.18︒≈︒='．【考点3 钟表中的弧度制计算】【例3】（2018春•船营区校级月考）时钟走过了40分钟，时针所转过的弧度数是．【变式3-1】（2019春•鄱阳县校级期中）若分针走过2小时30分，则分针转过的角是．【变式3-2】（2019秋•启东市校级月考）将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为．【变式3-3】（2019•上海校级模拟）在1时15分时，时针与分针所成的最小正角是弧度．【考点4 利用弧度制表示终边相同的角】【例4】（2019春•邯郸期末）在区间[4π-，2]π-上，与角76π终边相同的角为．【变式4-1】（2019春•杨浦区校级期中）已知1690α=︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ= 【变式4-2】（2019•广东模拟）把495-︒表示成2()k k Z πθ+∈的形式，且使||θ最小，则θ= ．【变式4-3】若角θ的终边与95π的终边相同，则[0，2]π内与3θ终边相同的角的集合为．【考点5 利用弧度制表示终边对称的角】【例5】（2019秋•铜官山区校级月考）已知角[0α∈，2)π，且3α与α终边关于y 轴对称，则角α的取值集合为．【变式5-1】（2018秋•浦东新区校级期中）角α，β的终边关于0x y +=对称，且3πα=-，β= ．【变式5-2】（2018春•涵江区校级月考）若角α的终边与角6π的终边关于直线y x =对称，且(4,2)αππ∈--，则α= ．【变式5-3】已知α、(0,2)βπ∈，且α与β关于x 轴对称，则αβ+= ．【考点6 弧长公式的应用】【例6】（2019春•长宁区期末）在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为【变式6-1】（2019春•杨浦区校级期中）已知半径为r 的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆心角的弧度数为．【变式6-2】（2018春•静安区期末）已知200︒的圆心角所对的弧长等于50cm ，则该圆的半径为 cm ．【变式6-3】（2018秋•东安区校级月考）已知圆中一段弧的长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为．【考点7 扇形面积公式的应用】【例7】（2018春•济宁期末）已知扇形的圆心角为3π，弧长为23π，则该扇形的面积为．【变式7-1】（2018秋•黄山期末）弧长为l ，圆心角为2弧度的扇形，其面积为S= ．【变式7-2】（2018秋•南康区校级月考）已知扇形的周长为20cm ，当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为．【变式7-3】（2019春•金水区校级期中）已知扇形AOB 周长为3，当扇形面积最大时，扇形的圆心角α为．1.1.2弧度制重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1 弧度制的概念】 1.角度制规定周角的3601为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2.弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3.弧度制与角度制的区别与联系【知识点2 角度与弧度之间的互化】 1.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°=2πrad 2πrad=360° 180°=πrad πrad=180° 1°=180πrad ≈0.01745rad 1rad=≈︒)180(π'18572.一些特殊角的度数与弧度数的对应表【知识点3 扇形的弧长与面积公式】设扇形的半径为r ，弧长为l ，)20(παα<<或n °为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下：【知识点4 弧度制下的结论】 1.终边对称的角的表示（1）若α与β的终边关于x 轴对称，则)(2Z k k ∈=+πβα. （2）若α与β的终边关于y 轴对称，则)()12(Z k k ∈+=+πβα. （3）若α与β的终边关于原点对称，则)()12(-Z k k ∈+=πβα. （4）若α与β的终边在一条直线上，则)(-Z k k ∈=πβα. 2.终边相同的角的表示)(2Z k k ∈+=παβ，前后单位要一致.3.象限角的表示（1）第一象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ，222ππαπα.（2）第二象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，ππαππα222. （1）第三象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，2322ππαππα. （1）第四象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ，ππαππα22232. 4.轴线角的表示（1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈=，παα.（2）终边在x 轴的非正半轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈+=，ππαα.（3）终边在x 轴上的角的集合为：}{Z k k ∈=，παα.（4）终边在y 轴的非负半轴上的角的集合为：}22{Z k k ∈+=，ππαα.（5）终边在y 轴的非正半轴上的角的集合为：}2-2{Z k k ∈=，ππαα.（6）终边在y 轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈+=，ππαα.（7）终边在坐标轴上的角的集合为：}2{Z k k ∈=，παα. 举一反三【考点1 任意角与弧度制相关概念】【例1】（2019春•静安区期末）下列选项中，错误的是( ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180度一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关【分析】直接利用弧度制与角度制的定义，判断即可．【答案】解：“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，判断正确；一度的角是周角的1 360，一弧度的角是周角的12，满足两种角的度量定义，正确；根据弧度的定义，180度一定等于π弧度，满足两种角的度量关系，正确；不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关，不正确；故选：D．【点睛】本题考查角度制与弧度制的关系，基本知识的考查．【变式1-1】（2019春•历城区校级月考）下列命题中，真命题的是() A．1弧度是一度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是一度的弧与一度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小【分析】根据弧度的定义与应用，对选项中的命题进行分析、判断即可．【答案】解：根据弧度的定义知：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．故选：D．【点睛】本题考查了弧度的定义与应用问题，是基础题目．【变式1-2】（2018春•莲湖区校级期中）下列说法正确的是()A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．第一象限的角是锐角C．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角，则22()2k k k z ππαπ-<<∈【分析】对4个结论分别进行判断，即可得出结论．【答案】解：对于A ，三角形的内角可以是90°，不正确；对于B ，﹣330°是第一象限的角，不是锐角，不正确；对于C ，390°是第一象限的角，120°是第二象限的角，不正确；对于D ，角α是第四象限角，则22()2k k k z ππαπ-<<∈，正确．故选：D ．【点睛】本题考查象限角的定义，考查学生对概念的理解，比较基础．【变式1-3】（2019春•宾阳县校级月考）下列表示中不正确的是( ) A ．终边在x 轴上角的集合是{|k ααπ=，}k Z ∈B ．终边在y 轴上角的集合是{|,}2k k Z πααπ=+∈C ．终边在坐标轴上角的集合是{|,}2kk Z παα=∈D ．终边在直线y x =上角的集合是{|2,}4k k Z πααπ=+∈【分析】根据终边相同的角的定义逐一判断得答案．【答案】解：对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝+k π，k ∈Z }，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|α＝k π，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合为{α|α＝+k π，k ∈Z }，故合在一起即为{α|α＝k π，k ∈Z }∪{α|α＝+k π，k ∈Z }＝{α|α＝，k ∈Z }，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝﹣x 上的角的集合是{α|α＝+k π，k ∈Z }，故D 不正确．∴表述不正确的是：D ．故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假的判断，角的定义以及终边相同的角的判断，是基础题．【考点2 角度与弧度的互化】【例2】（2019春•微山县校级月考）将下列弧度转化为角度：角度化为弧度：（1）12π= ；（2）136π= ；（3）512π-= ．（4）36︒= rad ；（5）105-︒= rad ．【分析】直接由π＝180°进行角度制与弧度制的互化得答案．【答案】解：∵π＝180°，∴；；；36°＝36×；．故答案为：15°，390°，﹣75°，．【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化，是基础的计算题．【变式2-1】（2019春•陕西校级期中）角度制与弧度制的互化：210︒= ；52π- ．【分析】直接由180°＝π换算得答案．【答案】解：∵180°＝π，∴1，，则210°＝210×＝；．故答案为：；﹣450°．【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化，是基础题．【变式2-2】（2019春•浦东新区校级月考）3π弧度= 度；75︒= 弧度；1弧度= 度（精确到小数点后一位）【分析】直接利用角度与弧度互化求解即可．【答案】解：∵π＝180°，∴弧度＝60°， 75°＝弧度，1弧度＝＝57.3°故答案为：60；；57.3．【点睛】本题考查角度与弧度的互化，基本知识的考查．【变式2-3】弧度与角度的换算：360︒= rad ； rad π1︒= 0.01745rad rad ≈1rad = 57.3057.18︒≈︒='．【分析】根据角度和弧度的转化公式计算即可．【答案】解：360°＝2πrad ； 180°＝πrad1°＝rad ≈0.01745rad1rad ＝°≈57.30°＝57.18′．故答案为：2π，180°，，．【点睛】本题考查角度与弧度的转化，属基础题．【考点3 钟表中的弧度制计算】【例3】（2018春•船营区校级月考）时钟走过了40分钟，时针所转过的弧度数是．【分析】利用钟表表盘的特征解答．时针每分钟走0.5°，即时针每分钟走过的弧度数是，即可计算得解．【答案】解：时针每分钟走0.5°，分针经过40分钟，那么它转过的角度是0.5°×40＝20°．所以，经过40分钟，时针转过的角的弧度数．故答案为：．【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．【变式3-1】（2019春•鄱阳县校级期中）若分针走过2小时30分，则分针转过的角是．【分析】根据分针走过2小时30分，是2.5周角，结合分针是顺时针旋转，转过的角是负角，求出即可．【答案】解：分针走过2小时30分，是2.5周角，角度数是2.5×360°＝900°；又分针是顺时针旋转，转过的角是﹣900°．故答案为：﹣900°．【点睛】本题考查了角度制的推广与应用问题，是基础题．【变式3-2】（2019秋•启东市校级月考）将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为．【分析】拨快30min，是按照顺时针方向，得到的角是负角，把钟表拨快30min ，时针走过30度的，由此求出结果．【答案】解：分针拨快30min ，是按照顺时针方向，得到的角是一负角，把钟表拨快30min ，时针走过30度的，∴时针走过的弧度数是﹣×＝﹣，故答案为：﹣．【点睛】本题考查了弧度制的计算问题，解题的关键是理解角的符号和角度的大小，是基础题．【变式3-3】（2019•上海校级模拟）在1时15分时，时针与分针所成的最小正角是弧度．【分析】根据分针和时针每分钟旋转的度数进行计算即可．【答案】解：每一小时时针旋转的弧度是＝，从12点开始，在1时15分时，时针对应的弧度为+×＝，分针是在15分，也就是90°，弧度，则两者相差﹣＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查弧度制的应用，根据分针和时针旋转的角度进行计算是解决本题的关键．【考点4 利用弧度制表示终边相同的角】【例4】（2019春•邯郸期末）在区间[4π-，2]π-上，与角76π终边相同的角为．【分析】利用终边相同角的概念即可求解．【答案】解：因为：，所以：与角终边相同的角为．故答案为：．【点睛】本题考查任意角的基本概念，属于基础题．【变式4-1】（2019春•杨浦区校级期中）已知1690α=︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ=【分析】根据终边相同角的关系，进行转化求解即可．【答案】解：α＝1690°＝360°×4+250°＝360°×5﹣110°，即α与﹣110°的终边相同，即θ＝﹣π，故答案为：﹣π．【点睛】本题主要考查终边相同角的应用，结合终边相同角的定义以及角度和弧度的转化关系进行转化是解决本题的关键．【变式4-2】（2019•广东模拟）把495-︒表示成2()k k Z πθ+∈的形式，且使||θ最小，则θ= ．【分析】利用﹣495°＝﹣135°﹣360°，它的终边与﹣135°的终边相同，故使|θ|最小的θ 为．【答案】解：﹣495°＝﹣135°﹣360°，它的终边与﹣135°的终边相同，在第三象限内，﹣135°角的弧度为，故答案为．【点睛】本题考查终边相同的角的表示形式，角度与弧度的转化．【变式4-3】若角θ的终边与95π的终边相同，则[0，2]π内与3θ终边相同的角的集合为．【分析】由已知写出与角θ的终边相同的角的集合，分别取k ＝0，1，2得答案．【答案】解：角θ的终边与的终边相同，则：θ＝2k π+，＝+，k ∈Z ，当k ＝0；＝；当k ＝1；＝；当k ＝2；＝∴则在[0，2π）内的终边与的终边相同的角为：{，，}．【点睛】本题考查了终边相同角的集合的求法，是基础的会考题型．【考点5 利用弧度制表示终边对称的角】【例5】（2019秋•铜官山区校级月考）已知角[0α∈，2)π，且3α与α终边关于y 轴对称，则角α的取值集合为．【分析】由3α与α角的终边关于y 轴对称，得到＝+k π，（k ∈Z ），从而得出α的集合．【答案】解：∵3α与α角的终边关于y 轴对称，∴＝+k π，（k ∈Z ），即 4α＝π+2k π，（k ∈z ），解得，k ∈z ．故答案为：{α|，（k ∈z ）}．【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，α，3α角的终边关于y 轴对称，推出＝+k π，k ∈Z ）是解题的关键．【变式5-1】（2018秋•浦东新区校级期中）角α，β的终边关于0x y +=对称，且3πα=-，β= ．【分析】通过角α，β的终边关于x +y ＝0对称，且，求出β的最大负角，然后写出β即可．【答案】解：因为角α，β的终边关于x +y ＝0对称，且，所以β的最大负角为，所以β＝．故答案为：．【点睛】本题考查象限角终边相同的角的表示方法，考查计算能力．【变式5-2】（2018春•涵江区校级月考）若角α的终边与角6π的终边关于直线y x =对称，且(4,2)αππ∈--，则α= ．【分析】由题意可得α＝+2k π，k ∈Z ，给k 取值可得．【答案】解：∵角α的终边与的终边关于直线y ＝x 对称，∴角α的终边在的终边上，∴α＝+2k π，k ∈Z ．又∵α∈（﹣4π，﹣2π），∴α＝﹣，﹣，故答案为：﹣，﹣【点睛】本题考查终边相同的角，属基础题．【变式5-3】已知α、(0,2)βπ∈，且α与β关于x 轴对称，则αβ+= ．【分析】根据角的对称性，讨论α的取值范围，即可得到结论．【答案】解：∵α、β∈（0，2π），且α与β关于x 轴对称，∴若α＝，则β＝，则α+β＝2π，若α＝π，则β＝π，则α+β＝2π，若α＝，则β＝，则α+β＝2π，若0＜α＜，则β＝﹣α+2π，即α+β＝2π，若＜α＜π，则β＝﹣α+2π，即α+β＝2π，若π＜α＜，则β＝﹣α+2π，即α+β＝2π，若＜α＜2π，则β＝﹣α+2π，即α+β＝2π，综上α+β＝2π，故答案为：2π．【点睛】本题主要考查象限角的计算，根据角的对称性进行求解是解决本题的关键．比较基础．【考点6 弧长公式的应用】【例6】（2019春•长宁区期末）在扇形中，如果圆心角所对弧长等于半径，那么这个圆心角的弧度数为【分析】直接利用弧长公式求解．【答案】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则r＝l，再设圆心角的弧度数为θ，由弧长公式可得：l＝γθ，则．故答案为：1．【点睛】本题考查弧长公式的应用，是基础的计算题．【变式6-1】（2019春•杨浦区校级期中）已知半径为r的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆心角的弧度数为．【分析】设出扇形的圆心角，利用弧长公式得到弧长，代入题中条件，求出圆心角的弧度数．【答案】解：设扇形的圆心角是θrad，因为扇形的弧长是rθ，所以扇形的周长是2r+rθ．依题意得2r+rθ＝πr，解得θ＝π﹣2．故答案为：π﹣2．【点睛】本题考查了扇形的圆心角，弧长公式以及扇形的面积公式的应用问题，是基础题目．【变式6-2】（2018春•静安区期末）已知200 的圆心角所对的弧长等于50cm，则该圆的半径为cm．【分析】先将角度化为弧度，再根据弧长公式即可即可．【答案】解：圆心角200°＝200×＝π，∵弧长为50＝πr，∴r＝（cm），即该圆的半径长cm．故答案为：．【点睛】本题考查了角度和弧度的互化以及弧长公式的应用问题，是基础题．【变式6-3】（2018秋•东安区校级月考）已知圆中一段弧的长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为．【分析】如图所示，设△ABC的内切圆的半径r＝1．在△BOD中，＝BD＝，即可得出．【答案】解：如图所示，设△ABC的内切圆与边BC相切于点D，其圆心为O点，半径r＝1．连接OB ，则OB 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝30°．在△BOD 中，＝BD ＝＝，解得BC ＝2．∵圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，∴这段弧所对的圆心角的弧度数为2．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质、正三角形的性质、含30°角的直角三角形的边角关系，属于基础题．【考点7 扇形面积公式的应用】【例7】（2018春•济宁期末）已知扇形的圆心角为3π，弧长为23π，则该扇形的面积为．【分析】利用扇形的圆心角和弧长可求出扇形的半径，再求扇形的面积．【答案】解：∵扇形的圆心角α为，弧长l 为，∴扇形的半径r ＝＝2，∴扇形的面积S ＝lr ＝2×＝．故答案为：．【点睛】本题考查扇形的面积、弧长公式，考查学生的计算能力，比较基础．【变式7-1】（2018秋•黄山期末）弧长为l，圆心角为2弧度的扇形，其面积为S．【答案】解：扇形的半径R＝＝，则扇形的面积S＝lR＝＝，则＝＝＝2，故答案为：2【点睛】本题主要考查扇形的面积公式的计算，结合扇形的弧长公式求出半径是解决本题的关键．【变式7-2】（2018秋•南康区校级月考）已知扇形的周长为20cm，当它的面积最大时，它的圆心角的弧度数为．【分析】根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论．【答案】解：∵扇形的周长为20，∴l+2r＝20，即l＝20﹣2r，∴扇形的面积S＝lr＝（20﹣2r）•r＝﹣r2+10r＝﹣（r﹣5）2+25，∴当半径r＝5时，扇形的面积最大为25，此时，α＝＝2（rad），故答案为：2．【点睛】本题考查扇形的面积公式和弧长公式的应用，属于基础题．（2019春•金水区校级期中）已知扇形AOB周长为3，当扇形面积最大时，扇形的圆心角为．【变式7-3】【分析】设扇形AOB的半径为r，由2r+αr＝3，可得α＝．S扇形＝＝×•r2＝，利用基本不等式的性质即可得出．【答案】解：设扇形AOB的半径为r，∵2r+αr＝3，∴α＝．∴S扇形＝＝×•r2＝≤＝．当且仅当r＝时取等号，α＝＝2．当扇形面积最大时，扇形的圆心角α＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。

【精品】高中数学必修4_任意角和弧度制_讲义知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。

2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。

【要点梳理】要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|2k k Z βββπα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以()1|222k k k Z απαππ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭α是第二象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα222|α是第三象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα2322|α是第四象限角，所以()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ππαππα22232|要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：终边相同的角的集合例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。

高中数学第一章三角函数 1.3 弧度制例题与探究(含解析)北师大版必修4

1.3 弧度制典题精讲例1已知扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？思路分析：设扇形的半径是r ，弧长是l ，扇形面积可表示为S=21lr ，l 与r 之间还要满足周长为20，即l+2r=20，所以l=20-2r ，这样S 就能表示成关于r 的二次函数，再利用二次函数的性质求最值.解：设扇形的半径是r ，弧长是l ，此时扇形的面积为S. 由已知条件,知l+2ｒ=20，即l=20-2ｒ. 由0＜l ＜2πr ，得0＜20-2r ＜2πr ，∴110+π＜r ＜10. ∴S=21lr=21（20-2r ）r=-r 2+10r=-（r-5）2+25（110+π＜r ＜10），当r=5时，S 取最大值25，此时l=10，α=re=2,即当扇形的圆心角为2时，扇形有最大面积25.绿色通道：当扇形周长为定值时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注明r 的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l ＜2πr.变式训练已知扇形面积为25 cm 2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长最小? 思路分析：设扇形的半径是r ，弧长是l ，则25=21lr ，扇形周长y=l+2r ，消去l 得y 关于r 的二次函数，再利用函数的单调性求最值.解：设扇形的半径是r ，弧长是l ，此时扇形的周长为y ，则y=l+2r. 由题意，得21lr=25，则l=r50， ∴y=r50+2r(r ＞0). 利用函数单调性的定义可以证明：当0＜r≤5时，函数y=r50+2r 是减函数；当r ＞5时，函数y=r50+2r 是增函数. ∴当r=5时，y 取最小值20，此时l=10，α=r1=2, 即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值20.例2如图1-3-2所示，一绳索绕在半径为40厘米的滑轮上，绳索的下端B 处悬挂着物体W.如果轮子按逆时针方向每分旋转6圈，那么需要几秒才能把物体W 的位置向上提升100厘米？图1-3-2思路分析：轮子按逆时针方向旋转，A 点转过的弧的长等于B 点上升到B′时的距离.这是本题中潜藏的等量关系.解：当BB′=100厘米时，AA′=100厘米，AA′所对的圆心角∠AOA′=2540100=. ∴轮子每分钟匀速旋转6圈.∴每秒匀速转过56026ππ=⨯,t 秒转过t 5π. ∴t 5π=25，解得t=π225≈4（秒）, 即约需4秒钟才能把物体W 的位置向上提升100厘米.绿色通道：在实际生活中，滑轮是一种重要的省力工具，单个滑轮转动时，滑轮上的点转过的弧长与跟它连接的绳索上的点移动的距离是相等的，在分析中,要注意图形的作用，数形结合是解决此类问题的有效办法.变式训练如图1-3-3，已知圆上一点A （1，0）按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ（0＜θ≤π）角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又转到最初位置，则θ角的弧度数是________________.图1-3-3思路解析：因为0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π. 又因为2θ在第三象限，所以π＜2θ＜23π, 即2π＜θ＜43π.由14θ=2k π（k∈Z ）,得θ=7πk （k∈Z ），所以2π＜7πk ＜43π，即27＜k ＜421.所以k=4或5，θ=74π或θ=75π.答案：74π或75π问题探究问题1已知集合M={x|x=2πk +4π,k∈Z }，N={x|x=4πk +2π,k∈Z }，试探索M 和N 的关系. 导思：利用归纳、猜想、证明的方法探索,即先用列举法表示集合M 和N ，由此归纳它们之间的关系，猜想出结论后，再证明所得结论. 探究：用列举法表示集合M 和N.M={±4π，±43π,±45π,±47π,…},N={0,±4π，±2π,±43π,±π,±45π,±23π,±47π,…},归纳：集合M 中元素都在集合N 中，但是集合N 中±2π不在集合M 中.猜想：M N.证法一：把集合M 和N 中的元素看成“单纯”的实数来讨论.设x∈M，则存在k∈Z，满足x=2πk +4π=4)2(πk +4π.∵2k∈Z ，∴x∈N.∴M ⊆N. 设2π=2πk +4π，∴k=21.则k ∉Z ，∴2π∈N,2π∉M ，∴M N. 综上所得M N.证法二:把集合M 和N 中的元素看成弧度制表示的角来讨论.如图1-3-4所示.图1-3-4集合M 中元素x=2πk +4π,k∈Z 可以看成将角4π的终边旋转2πk 所得的角；集合N 中元素x=4πk +2π,k∈Z 可以看成将角2π的终边旋转4πk 所得的角.由图1-3-4可见，集合M 中的元素都在集合N 中，但是集合N 中的元素±2π不在集合M 中，所以有MN.。

角与弧度制、三角函数的概念知识点讲解+例题讲解(含解析)

角度制与弧度制、三角函数的概念一、知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.结论：1.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合4.轴线角的集合二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32解析由题意得m <0且8m (8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.答案{－675°，－315°}4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.答案D5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案36.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝yx＝－xx＝－1.答案－1考点一角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .答案 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z考点二弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【训练2】(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米解析法一如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3.故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝－2425.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、课后练习1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z ) 解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确. 答案 C3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m ＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( ) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)解析由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 答案 C5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角. 答案 B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255解析由三角函数定义，cos α＝25＝255，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255. 答案 A8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________.解析由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 310.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π311.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________. 解析因为α是第二象限角，所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案－43 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]。

任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳

Word 文档●高考明方向1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.★备考知考情1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题．2.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用．3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}.《名师一号》P47 对点自测1、2注意：1、《名师一号》P48 问题探究问题1、2相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．角的表示形式是唯一的吗？角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}．(补充)2、正角> 零角> 负角3、下列概念应注意区分小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角．4、(1)终边落在坐标轴上的角1）终边落在x轴非负半轴上的角{x|x＝2kπ，k∈Z}2）终边落在x轴非正半轴上的角{x|x＝2kπ+π，k∈Z}终边落在x轴上的角{x|x＝kπ，k∈Z}3）终边落在y轴非负半轴上的角{x|x＝2kπ+π2，k∈Z}Word文档Word 文档4）终边落在y 轴非正半轴上的角{x|x ＝2k π+3π2，k ∈Z }终边落在y 轴上的角{x|x ＝k π+π2，k ∈Z }(2) 象限角（自己课后完成）知识点二弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度； ②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.关键：基本公式180︒→=rad π《名师一号》P47 对点自测 3注意： 1、《名师一号》P48 问题探究问题3在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的，Word 文档不可混用．2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为α弧度，半径为r ）弧长公式||l r α= 扇形面积公式12S lr =(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l 为底，r 为高）知识点三任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝，cos α＝，tan α＝ (x ≠0)． (补充)12(补充)关键：立足定义正弦……一二正，横为零余弦……一四正，纵为零正切……一三正，横为零，纵不存在3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）知识点三任意角的三角函数(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．《名师一号》P47 对点自测 6注意：《名师一号》P48 问题探究问题4如何利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？Word文档(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的围，然后再加上周期．(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较大小，应注意三角函数线的有向性．也可以利用相应图象求解二、例题分析：（一)角的表示及象限角的判定例1.《名师一号》P48 高频考点例1(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思维启迪】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}，当角的终边在第三象限时，角的集合为Word文档{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}，故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋π3，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋43π，k∈Z}＝{α|α＝kπ＋π3，k∈Z}．(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋32π(k∈Z)，∴kπ＋π2<α2<kπ＋34π(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2<α2<2nπ＋34π，α2是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2<α2<2nπ＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．注意:《名师一号》P48 高频考点例1 规律方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是Word文档Word 文档先将角化为2k π＋α(0≤α<2π)(k ∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．（二) 弧度制的定义和公式例1.《名师一号》P48 高频考点例2(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：(1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋r θ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋r θ＝40.S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，S max＝100，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．《名师一号》P47 对点自测4注意：《名师一号》P48 高频考点例2 规律方法1.弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．（三)三角函数的定义及应用例1.《名师一号》P48 高频考点例3(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.Word文档Word 文档解：(1)r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r＝y16＋y2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.《名师一号》P47 对点自测 5(3)(2015·日照模拟)已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．解：(3)因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角．※(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．Word 文档解： (2)如图，连接AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点，由题意知BP 的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP ＝2.故∠DAP ＝2－π2. ∴DP ＝AP ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2. ∴PC ＝1－cos2，DA ＝AP cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2. ∴OC ＝2－sin2，故OP→＝(2－sin2,1－cos2)．注意：《名师一号》P48 高频考点例2 规律方法Word 文档1.利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．2．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．3．与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．练习：若一个角α的终边在直线3=-y x 上，求310sin cos +αα的值。

(完整版)任意角和弧度制知识点和练习

知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ．知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。

高中人教A版数学必修4：第2课时弧度制 Word版含解析

第2课时弧度制1.2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝12|α|·r 2(α是弧度数且0<α<2π)．3一、选择题 1．－315°化为弧度是( )A ．－43πB ．－5π3C ．－7π4D ．－76π答案：C解析：－315°×π180＝－7π42．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π3cm ，它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案：A解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.3．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3 答案：C解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C. 4．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案：D解析：由弧度的定义，知D 正确．5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B .6．下列终边相同的一组角是( )A ．k π＋π2与k ·90°，(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z )C ．k π＋π6与2k π±π6，(k ∈Z )D.k π3与k π＋π3，(k ∈Z ) 答案：B解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍．二、填空题7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为42＝2 rad.8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2，∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.9．时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了________弧度．答案：－23π3解析：时钟共走了3小时50分钟，分针旋转了－⎝⎛⎭⎫3×2π＋56·2π＝－23π3三、解答题10．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车以30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解：∵圆弧半径R ＝2 km ＝2 000 m ，火车速度v ＝30 km/h ＝253m/s ，∴经过10 s 后火车转过的弧长l＝253×10＝2503(m)，∴火车经过10 s 后转过的弧度数|α|＝l R ＝25032 000＝124.11．已知角α＝2010°.(1)将α改写成θ＋2k π(k ∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角； (3)在区间[0,5π)上找出与α终边相同的角．解：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤r <0，∴k ＝－3，－2，－1.∴与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.(3)令0≤r ＝76π＋2k π＜5π，∴k ＝0,1，∴与α终边相同的角为76π，196π.能力提升12．如下图所示，在某机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，射线OA 围绕点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于( )A ．－4πB ．－6πC ．－8πD ．－10π 答案：B解析：小正六边形沿着大正六边形滚动一条边并且到下一条边上时，射线OA 旋转了π3＋2π3＝π，则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置时，共旋转了π×6＝6π.又射线OA 按顺时针方向旋转，则θ＝－6π，故选B.13．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m π＋π6，m ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝n π2－π3，n ∈Z ， P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，试确定M 、N 、P 之间满足的关系．解：解法一：集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ； N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m π2－π3或x ＝2m ＋12π－π3，m ∈Z＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π－π3或x ＝m π＋π6，m ∈Z ； P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2m 2π＋π6或x ＝2m －12π＋π6，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6或x ＝m π－π3，m ∈Z . 所以M N ＝P .解法二：M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝m π＋π6，m ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝6m ＋16π，m ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3·(2m )＋16π，m ∈Z ；N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n π2－π3，n ∈Z ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ；P ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π2＋π6，k ∈Z ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3k ＋16π，k ∈Z＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝3n －26π，n ∈Z ＝N .所以M ⊆N ＝P .。

弧度制知识点及习题

弧度制知识点及习题1.1.2 弧度制课时目标：1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能够正确地进行弧度和角度的变换。

2.掌握并能够应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。

1.角的单位制1) 角度制：规定周角的度数为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

2) 弧度制：把长度等于圆周上半径相等的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作rad。

3) 角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：l = rα；这里α的正负由角α的旋转方向决定。

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.2.角度制与弧度制的换算角度化弧度：360° = 2π rad，180° = π rad，1° ≈ 0. rad。

弧度化角度：2π rad = 360°，π rad = 180°，1 rad ≈ 57°18′。

3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位α为角度制α为弧度制扇形的弧长l = αR l = Rα扇形的面积 S = (α/2)R² S = (1/2)R²α = (1/2)Rl选择题：1.集合A = {α|α = kπ +2.k∈Z} 与集合B = {α|α = 2kπ ±2.k∈Z} 的关系是()A。

A = BB。

A ⊆ BC。

B ⊆ AD。

以上都不对2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A。

2B。

sin2C。

2sin1D。

sin2/23.扇形周长为6cm，面积为2cm²，则其中心角的弧度数是()A。

1或4B。

1或2C。

2或4D。

1或54.已知集合A = {α|2kπ ≤ α ≤ (2k+1)π，k∈Z}，B = {α|-4 ≤ α ≤ 4}，则A∩B等于()A。

高一数学必修第一册第5章第一节课时2 弧度制(解析版)

第5章第一节课时2 弧度制一、单选题1．下列说法中，错误的是（）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1︒的角是周角的1,1rad 360的角是周角的12πC ．1rad 的角比1︒的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】D【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可. 【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，1︒的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，故A 、B 正确； 1rad 的角是180()57.301π︒︒︒≈>，故C 正确；无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D 错误. 故选：D2．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A ．π3B ．π6C ．-π3D ．-π6【答案】B【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为6π．【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转π6弧度.故选B.【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题． 3．下列转化结果正确的是（） A ．60°化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30°C ．1°化成弧度是180radD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭︒ 【答案】D【分析】根据弧度制与角度制的互化：1801rad π=即可求解.【详解】对于A ，60°化成弧度是rad 3π，故A 不正确；对于B ，rad 12π化成角度是11801512⨯︒=︒，故B 不正确；对于C ，1°化成弧度是rad 180π，故C 不正确；对于D ，1rad 化成角度是180π⎛⎫ ⎪⎝⎭︒，故D 正确．故选：D ．4．下列各角中，终边相同的角是( )A ．23π和240︒B ．5π-和314︒ C ．79π-和299πD ．3和3︒【答案】C【分析】通过角度与弧度的互化，逐一分析四个选项得答案．【详解】解：对于A 选项，42403π︒=，不合题意；对于B 选项，365π-=-︒，314(36)350︒--︒=︒，不合题意；对于C 选项，297()499πππ--=，符合题意；对于D 选项，3357.3171.9≈⨯︒=︒，171.93168.9︒-︒=︒，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查角度制与弧度制的互化，考查终边相同角的概念，属于基础题． 5．若扇形的弧长是3cm π，面积是26cm π，则该扇形圆心角的弧度数θ=（） A ．3πB ．4π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】利用扇形的弧长公式与面积公式可求得θ的值.【详解】由题意得，设扇形的半径为r cm ，则扇形的面积为1362S r ππ=⨯=，解得4r cm =，所以343r ππθ==. 故选：D.6．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（） A ．2 B ．1C ．21sin 1D ．21cos 1【答案】C【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】因为扇形的圆心角为2，圆心角所对的弦长为2，故扇形所在圆的半径1sin1r =，扇形的面积为221sin 1122sin 11⎛⎫=⎪⎝⎭⨯⨯，故选：C ．7．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为 A ．2πB ．3π CD【答案】C【详解】试题分析：设圆内接正方形的边长为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为l rα== C. 【解析】弧长公式.8．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（） A ．1250- B ．1750- C ．2100- D ．3500-【答案】B【分析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=，因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-. 故选：B.二、填空题9．若三角形三内角之比为3:4:5，则三内角的弧度数分别是______．【答案】5,,4312πππ【分析】由三角形的内角和为π，根据三角形三内角之比为3:4:5，利用弧度制的表示，即可求解.【详解】由题意，可知三角形的内角和为π，又由三角形三内角之比为3:4:5，所以三内角的弧度数分别是34,34543453ππππ⨯=⨯=++++，5534512ππ⨯=++，故答案为5,,4312πππ.【点睛】本题主要考查了弧度制的表示，以及三角形的内角和定理的应用，其中解答中熟记弧度制的表示是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 10．已知扇形AOB 的面积为43π，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．【答案】2【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】21203π︒=，扇形AOB 的面积为43π，所以2241123223r r ππα==⨯，解得2r =．故答案为：211．在Rt PBO 中，90PBO ∠=，以O 为圆心､OB 为半径作圆弧交OP 于A 点.若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=___________.【答案】2【解析】用,OB α求出扇形面积和直角三角形面积可得．【详解】如图，tan PB OB α=，211tan 22POB S OB PB OB α=⨯⨯=△，S 扇形AOB212OB α=，由题意2211212tan 2OB OB αα⋅=，所以tan 2αα=．故答案为：2．三、解答题12．已知()1,4k k k θπ=π+-⋅∈Z ，试判断角θ的终边所在的象限．【答案】第一象限或第二象限【分析】分k 为奇数和k 为偶数，两种情况讨论，根据终边相同角的表示，即可求解，得到答案.【详解】由题意，当k 为奇数时，设21k n =+，则()213(21)12,44n n n n πθπ+π=+π+-⋅=+∈Z ，此时θ与34π的终边相同，所以θ的终边位于第二象限；当k 为偶数时，设2k n =，则()2212,44nn n n πθππ=π+-⋅=+∈Z ，此时θ与4π的终边相同，所以θ的终边位于第一象限，综上可得，角θ的终边所在的象限为第一象限或第二象限.【点睛】本题主要考查了终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 13．已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+(k Z ∈，02βπ≤<)的形式，并指出角α是第几象限的角；（2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角. 【答案】（1）5104παπ=+，是第三象限角；（2）19113,,444πππ---．【分析】（1）先把度数改写弧度，再改写成2k βπ+形式，并确定所在象限；（2）解不等式520k πβπ-≤+<可得结论．【详解】（1）2025α=︒=45520251018044ππππ⨯==+，54π是第三象限角，∴α是第三象限角．（2）由55204k πππ-≤+<得25588k -<<-，因为k Z ∈，∴3,2,1k =---，对应角依次为19113,,444πππ---．【点睛】本题考查终边相同的角，解题关键是把解写出2,k k Z πβ+∈或360k β⋅︒+，k Z ∈形式，考查角度与弧度的互化．属于基础题． 14．如图，已知圆O 的半径r 为10，弦AB 的长为10．(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求圆心角α所对应的弧长l 及阴影部分的面积S ．【答案】(1)3πα=(2)103l π=；3503S π⎛= ⎝⎭【分析】（1）根据AOB 为等边三角形，可得3πα=，即可求解.（2）利用扇形的弧长公式以及扇形的面积公式即可求解. 【详解】(1)由于圆O 的半径r 为10，弦AB 的长为10，所以AOB 为等边三角形，3AOB π∠=，所以3πα=．(2)因为3πα=，所以103l r πα=⋅=， 111050102233AOB S lr ππ==⨯⨯=扇．又110532532AOB S =⨯⨯△所以5032535033AO B B AO S S S ππ⎛-=-= ⎝=⎭扇△． 15．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．（1）当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；（2）当小轮的转速是120r /min 时，大轮上每1s 转过的弧长是60cm π ，求大轮的半径．【答案】（1）32π；（2）20cm . 【分析】（1）设大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，求得43R r =，再利用弧长公式，即可求解.（2）由（1）和小轮的转速为120r /min ，求得小轮转动1s 的的弧长为3R π，利用弧长公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿设大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，则260245R r ππ=，即43R r =，即43R r =，当小轮转动一周时，设大轮转动的弧度数为α，则2R r απ=，即423r r απ⨯=，解得32πα=，即大轮转动的弧度数为32π.（2）由（1）知，大轮的半径为R ，小轮的半径为r ，且43R r =，因为小轮的转速为120r /min ，当小轮转动1s时，小轮转过的弧度数为1202460ππ⨯=，其转过的弧长为34434r R R πππ=⨯=，又由大轮上每1s转过的弧长是60π ，所以360R ππ=，解得20R cm =. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用，其中解答中正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 16．在一块顶角为23π、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB 中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．（1）求两种方案中扇形的周长之差的绝对值；（2）比较两种方案中的扇形面积的大小．【答案】（1）23π-；（2）3π，3π. 【分析】（1）根据题意，求得方案一和方案二对应的圆心角和半径，利用弧长公式，即可求解；（2）由（1）中的扇形的圆心角和半径，利用扇形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，顶角为23π、腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB 中裁剪扇形，方案一：可得1,26OAD R π∠==，所以扇形的周长为1112224633C R R πππ=+⨯=⨯+=+；方案二：可得22,13MON R π∠==，所以扇形的周长为222222212633C R R πππ=+⨯=⨯+=+，所以两种方案中扇形的周长之差的绝对值122(4)(2)2333C C πππ-=+-+=-.（2）由（1），根据扇形的面积公式，可得方案一：扇形面积为221111122263S R ππα==⨯⨯=；方案二：扇形面积为2222211212233S R ππα==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．已知扇形的圆心角为α，半径为r ．（1）若扇形的周长是定值C （0C >），求扇形的最大面积及此时α的值；（2）若扇形的面积是定值S （0S >），求扇形的最小周长及此时α的值．【答案】（1）2α=，面积最大值为216C ；（2）2α=，周长的最大值为【分析】（1）由扇形的周长是定值C ，求得2l C r =-，再由扇形的面积公式，结合二次函数的性质和弧长公式，即可求解. （2）由扇形的面积是定值S ，求得2Sl r=，再由扇形的弧长公式和本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意知，扇形的圆心角为α，半径为r ，设扇形的弧长弧长为l ，若扇形的周长是定值C （0C >），则2r l C +=，即2l C r =-，又由扇形的面积为222111(2)()222416C C S lr C r r r Cr r ==-=-+=--+，当4C r =时，扇形的面积取得最大值，此时最大值为216C ，此时22C l C r =-=，又由扇形的弧长公式，可得24C Cα=⨯，解得2α=. （2）由扇形的圆心角为α，半径为r ，设扇形的弧长弧长为l ，若扇形的面积是定值S （0S >），则12S lr =，即2Sl r =，又由扇形的弧长公式，可得扇形的周长为222S C r l r r =+=+≥=当且仅当22Sr r=时，即r =时，等号成立，此时l==α2α=. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，以及基本不等式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。

高一数学必修四,弧度制知识点及题型

第二课时：弧度制1.角度制：规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制．2.弧度制：①我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略．②思考：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？3．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：π2360=︒； π=︒180；rad 01745.01801≈=︒π；rad n n 180π=︒． ②将弧度化为角度： 3.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=π 例1．把150°化成弧度；把rad 53π化成度例2．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式： 319)1(π；︒-315)2(．4．常规写法：① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用．6．弧长公式：rl α= 180R n l π=7. 扇形的面积公式：①设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为3602R n S π⋅=，R l R R n S ⋅=⋅⋅=2118021π②弧度制下的扇形面积公式．22121:R lR S α==扇形面积公式题型一、角度与弧度的互化：例1．把下列各角从弧度化为度.（1）53π （2）12π （3）65π- （4）712 （5）115例2．把下列各角度化为弧度。

（1）0750- （2）01440- （3）0'6730 （4）0252 （5）'15110 题型二、弧长公式与扇形的面积公式：例3．已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。

例4.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________.。

(完整版)弧度制和角度制的换算

2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题.
教学过程:
复习角的弧度制与角度制的转化公式
1．学生先练习,老师再总结。
（1）10rad角是第几象限的角? （2）求sin1。5的值。
解：（1）有两种方法.第一种方法，是第三象限的角
第二种方法
∴10rad的角是第三象限的角.
（2)
也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD,再求sin1.5即可得.
弧长公式 L=|α｜r 扇形面积公式 S= Lr= ｜α|r2
其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长，r为圆半径。
2.无论是角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系，但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.
同步练习
1.半径为5 cm的圆中，弧长为 cm的圆弧所对的圆心角等于（ )
（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
［教学重点］
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；其中，讲清1弧度的角的意义,是建立弧度概念的关键。
［教学难点］
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系,是本小节的乃至本章的难点;
练习三弧度制（一）
要点
1.角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度"为单位.
2.度与弧度的相互换算:
10≈0。01745弧度, 1弧度≈57018/.
3.在同一个式子中,两种制度不能混用.如：与600终边相同的角的集合不能表示为｛x｜x=2kπ+600,k∈Z｝，正确的表示方法是x｜x=2kπ+ ,k∈Z ｝或｛ x|x=k·3600+600，k∈Z ｝

5.1-任意角和弧度制 2025年高考数学知识点题型及考项复习

( A
)
A.第一象限角
B.角
【解析】由是第二象限角可得，90∘ + ⋅ 360∘ < < 180∘ + ⋅ 360∘ ∈ .
所以180∘ − 90∘ + ⋅ 360∘ > 180∘ − > 180∘ − 180∘ + ⋅ 360∘ ∈ ，
①④
例1-2 下列所示图形中， = + 的是______;
=−
②③
的是______.
【解析】在①中，与的始边相同，的终边为的始
边，与的终边相同，所以 = + .
在②中，与的始边相同，的终边为− 的始边，−
与的终边相同，所以 = + − = − .
)
C.2 2
D. 2
【解析】设此圆的半径为，则正方形的边长为 2，所以这段弧所对的圆心角的弧
度数为 =
2

= 2，则这段弧所对的圆周角的弧度数为
2
.
2
知识点4 角度与弧度的换算
5π
例4-7 （1）化为角度是( B
12
A.60∘
5π
【解析】
12
B.75∘
=
5π
12
×
180 ∘
π
5
B.
8
C.115∘
（1）180∘ + 2 ⋅ 360∘ < 2 < 360∘ + 2 ⋅ 360∘ ∈ ,∴ 2 可能是第三象限角、第
四象限角或终边在轴非正半轴上的角.
（2）方法1
⋅ 120∘
+ 30∘
<

3

《三角函数》专题3 弧度制(Word版含答案)

《三角函数》专题3-1 弧度制（5套，6页，含答案）知识点：典型例题：1. 下列各命题中，假命题是（ ③ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21C ．根据弧度的定义，180°一定是等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，他们均是圆的短半径长有关2. －300°化为弧度是（ ④ ） A 34π-B 35π-C 47π-D 67π- 3.58π化成角度是（⑤） A278° B280° C288° D318°4. α＝－2rad ，则α的终边在第 ⑥象限。

5. 把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是(⑦ ) A.π4 B.－π4 C.34π D.－34π随堂练习：1. （1）角度制：规定周角的________作为1°的角，_____⑧等于1分。

（2）弧度制：在直径为1的圆上，长度等于_____长的圆弧所对的______叫做1弧度的角，记做______，以____为单位来度量角的制度叫做⑨_______2. 弧度与弧长、半径的关系：半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆周角为α弧度，则α＝⑩_______。

3. 换算：360°＝_____rad ，180°＝_____rad ，2π＝_______，π＝______.1°＝_____，1弧度＝11_____4. 下列说法正确的是（ 12）(A)一弧度就是一度的圆心角所对的弧 (B)一弧度是长度为半径的弧(C)一弧度是一度的弧与一度的角之和(D)一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 5. 角度制下弧度制互化：（1）=-135________； =225________；=240________；（2）=12π_________；=-32π_________；=-4π_____13____．6. 若α＝3，则角α的终边在第（ 14）象限. A 一 B 二 C 三 D 四7. 下列终边相同的角是（ 15 ）A ．Z k k k ∈±+,424ππππ与 B ．Z k k k ∈+,22πππ与 C ．Z k k k ∈+-,3232ππππ与 D ．()Z k k ∈+,312ππ与8. 如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．161. 在半径不相等的圆中，1弧度的圆心角所对的( 17)(A)弦长相等 (B)弧长相等 (C)弦长等于所在圆的半径 (D) 弧长等于所在圆的半径2. 将下列角度化为弧度：(1)36°＝________rad ； (2)－105°＝18________rad ；3. 将下列弧度转化为角度：(1)π12＝______； (2)－7π8＝19______；4. 若α＝－5，则α是（ 20 ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角5. 4弧度角的终边在第21 象限.6. 已知α∈(0，4π)，且角α与角25π-的终边相同，求角α。

弧度制经典教案及练习答案详解

5.1.2 弧度制1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角．( × ) (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关．( × ) (3)1弧度的角是周角的1360.( × )题型1 角度与弧度的互化 2．1 920°转化为弧度数为( D ) A ．163B ．323C ．16π3D ．32π3解析：1 920°＝1 920×π180 rad ＝32π3rad.3．把－157°30′化成弧度为－7π8 ，－5π12化成度为__－75°__.解析：－157°30′＝－157.5°＝－3152×π180 rad ＝－7π8 rad ；－5π12＝－5π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－75°. 4．在[0,4π]中，与－288°角终边相同的角有2π5，12π5.(用弧度表示) 解析：因为终边与－288°角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )．当k ＝0时，θ＝72°＝2π5；当k ＝1时，θ＝432°＝12π5.所以在[0,4π]中与－288°角终边相同的角有2π5，12π5. 题型2 利用弧度制表示角(范围) 5．下列表示中不正确的是( D )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝－x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝－π4＋2k π，k ∈Z解析：因为终边在x 轴上的角的集合为{}α|α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈Z ，所以终边在坐标轴上的角的集合为{}α|α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z ，故A ，B ，C 正确；对于D ，终边在直线y ＝－x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝－π4＋k π，k ∈Z ，故D 错误．故选D.6．终边经过点(a ，a )(a ≠0)的角α的集合是( D )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋2k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z解析：因为角α的终边经过点(a ，a )(a ≠0)，所以角α的终边落在直线y ＝x 上，所以角α的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π4＋k π，k ∈Z .7．若α＝5 rad ，则角α的终边所在的象限为( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵3π2<5<2π，∴α＝5 rad 为第四象限角，其终边位于第四象限．题型3 扇形的弧长和面积公式及其应用8．若某扇形的弧长为π2，圆心角为π4，则该扇形的半径是( D )A ．14B ．12C ．1D ．2解析：设扇形的半径为r .因为扇形的弧长为π2，圆心角为π4，所以由扇形的弧长公式可得π2＝π4×r ，解得r ＝2. 9．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( C ) A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2解析：设圆内接正三角形的边长为a ，则圆的半径r ＝33a ，所以a ＝3r ，所以圆弧长度l ＝3r ＝αr ，所以α＝ 3.易错点面积公式代入错误10．已知一扇形的圆心角α＝60°，其所在圆的半径R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．解：设弧长为l ，弓形面积为S 弓．因为α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝αR ＝10π3(cm)．S弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×10×10×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm 2)．[误区警示] 应将角度化为弧度，才能利用弧长公式l ＝αR 和面积公式S ＝12αR 2＝12lR 求弧长和面积．(限时30分钟)一、选择题1．(多选题)下列各式不正确的是( AC ) A ．－210°＝－4π3B ．405°＝9π4C ．335°＝23π12D ．705°＝47π12解析：－210°＝－210×π180＝－7π6，故A 错误；405°＝405×π180＝9π4，故B 正确；335°＝335×π180＝67π36，故C 错误；705°＝705×π180＝47π12，故D 正确．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( C )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z .故选C.3．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝π6，则劣弧AB ︵的长为( A )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3解析：如图，连接AO ，OB .因为∠ACB ＝π6，所以∠AOB ＝π3，△AOB 为等边三角形，故圆O 的半径r ＝AB ＝4，劣弧AB ︵的长为π3·r ＝4π3.4．角－2912π的终边所在的象限是( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：－2912π＝－4π＋1912π，因为1912π的终边在第四象限，所以－2912π的终边在第四象限．5．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：－3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．6．(多选题)已知扇形的周长为12 cm ，面积为8 cm 2，则扇形圆心角的弧度数可以为( AB )A ．1B ．4C ．6D ．8解析：设扇形的弧长为l cm ，半径为r cm.因为扇形的周长为12 cm ，面积为8 cm 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝12，12lr ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2，l ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，l ＝4，所以α＝1或4. 二、填空题7．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π6，－π3，π6，2π3 .解析：由－π＜k π2－π3＜π，得－43＜k ＜83.因为k ∈Z ，所以k ＝－1,0,1,2，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π6，－π3，π6，2π3.8．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长为 2π3 ，面积为 π3.解析：因为α＝2π3，r ＝1，所以弧长l ＝α·r ＝2π3，面积S ＝12lr ＝12×2π3×1＝π3.三、解答题 9．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋25π18.(2)因为θ与α终边相同，所以θ＝2k π＋25π18(k ∈Z )．又θ∈(－4π，4π)，所以－4π<2k π＋25π18<4π，解得－9736<k <4736(k ∈Z )，所以k ＝－2，－1,0,1.所以θ的值是－47π18，－11π18，25π18，61π18.10．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6.求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120×π180＝2π3，所以l ＝α·r ＝2π3×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π.如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，因为∠AOB＝120°，所以∠OBD＝30°＝π6，所以在Rt△OBD中，OD＝12OB＝3，BD＝6cosπ6，所以S△OAB＝12AB·OD＝12×2×6cosπ6×3＝9 3.所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9 3.。

弧度制与任意角的三角函数知识点与例题.doc

弧度制与任意角的三角函数知识梳理与典例剖析淤知识梳理1.任意角的概念设角的顶点在坐标原点，始边与工轴重合，终边在坐标平面内.终边绕顶点旋转即可产生.2.象限角的概念若角a的终边在第&个象限，则称a是第k象限角.象限角及其集合表示3.终边相同的角所有与角a的终边相同的角连同角a在内构成的集合为4.弧度制的概念与半径等长的圆孤所对的圆心角称为1 rad（弧度）的角.1 QA°角度与弧度的互化：1囱（弧度）=（——）«57.3°=57°18/； 1° = rad（弧度）. 715.扇形的弧度、面积在弧度制下：孤长公式：l=\a\R（a 一•扇形中心角的弧度数，/?—扇形所在圆的半径）1 1 .扇形面积公式：5,.4；=-lR = -\a\R2.n 2 2在角度制下：弧长公式：1 = 域扇形中心角的角度数，R•—扇形所在圆的半径）180扇形面积公式：=崩形3606.任意角的三角函数的定义在伯。

的终边上任取点P",y）,设它与原点。

的距离IOP l=r （r > 0）,贝0 sina -, cosa =, tancr =.7 .三角函数在各象限的符号sincz ：上正下负横轴零cos。

：左负右正纵轴零tana：交叉正负横轴零8.典例剖析一、角的概念问题1.终边相同的角的表示例1若角a是第三象限的角，答案：二.解析：因为a是第三象限的角，则角-。

的终边在第象限. A=1 故-k -360° -270° <-a<-k-360° -180°,^ G Z,则S360°,tan(2成 + a)=分别表示：正弦线，余弦线，正切线.9.终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2A〃 + a) =, cos(2k/r + a)=10 .三角函数线如图有向线段MF, OM,-270°<-a<k-360° -180°,A：G Z,故-a的终边在第二象限.练习：与610°角终边相同的角可表示为. 【答案：A・360°+250°(A E Z)】2.象限角的表示例2已知角a是第二象限角，问(1)角巳是第儿象限的角？(2)角2a终边的位置.2思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角.解析(1)因为a 是第二象限的角，故k - 360° + 90°<a<k-360° +180°(Z: G Z),故4180°Of CC (I+45° v —vA・18(T+90°(AcZ).当R为偶数时，一在第一象限；当k为奇数时，一在第三象限，2 2 2 CC故兰为第一或第三象限角.2(2)由S360°+90° vavk・360° + 180°(SZ),得2如360°+ 180° v2a v2如360° + 360°(Jt G Z),故角2Q终边在下半平面.点评：已知a所在象限，求-(neN*)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论. n结论：a 第一象限第二象限第三象限第四象限a第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限练习：二、弧度制与弧长公式1.角度制与弧度制的互化例3 (1)设6Z = 750° ,用孤度制表示。

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第二课时弧度制及其应用例题展示（笔记整理）
知识点一：弧度制定义
弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.
例1.下列诸命题中,真命题是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
解析:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题.
答案:D
变式训练
下列四个命题中,不正确的一个是( )
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案:D
知识点二：弧度制换算
角度化为弧度:360°=2π rad,1°=
180
πrad≈0.017 45 rad, 将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π
180)°≈57.30°=57°18′. 弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=(πa 180)°,n°=n 180
π(rad). 终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k∈Z },{β｜β2π=kπ,k∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为:
{β｜2kπ<β<2kπ+
2π,k∈Z },{β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k∈Z },{β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k∈Z }, {β｜2kπ+2
3π<β<2kπ+2π,k∈Z }.
例2 .将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:∈-415π;∈3
32π;∈-20;∈-32. 解:∈415π-=-4π+4π,是第一象限角.∈432π=10π+3
2π,是第二象限角. ∈-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.∈-23≈-3.464,是第二象限角.
点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化
为k×6.28+α,k∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与
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π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限. 变式训练
(1)把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式;
(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β. 解:(1)∈-1 480°=-
974π=-10π+916π,0≤916π <2π,∈-1 480°=2(-5)π+9
16π. (2)∈β与α终边相同,∈β=2kπ+916π,k∈Z .又∈β∈［-4π,0),∈β1=92π-,β2=920π-. 知识点三：弧长及扇形面积公式
与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=2
1lR. 例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ. 解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z ,即6θ=2kπ.∈θ=
3k π.又∈0<θ<2π,∈0<3k π<2π.∈k∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、3
4π、35π. 点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角.
例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.
由已知,2r+l=a,即l=a -2r.∈S=21l·r=21(a -2r)·r=-r 2+2a r=-(r -4
a )2+162a . ∈r>0,l=a -2r>0,∈0<r<2a .∈当r=4a 时,S max =162a .此时,l=a -2·4a =2
a ,∈α=r 1=2. 故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值16
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a . 点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.
变式训练
已知一个扇形的周长为9
8π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=9
4π, ∈扇形的弧长为
94πr,由已知,9
4πr+2r=98π+4,∈r=2. ∈S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.。