第二课时 弧度制及其应用例题展示(笔记整理)

第二课时 弧度制及其应用例题展示（笔记整理）

知识点一：弧度制定义

弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad.

例1.下列诸命题中,真命题是( )

A.一弧度是一度的圆心角所对的弧

B.一弧度是长度为半径的弧

C.一弧度是一度的弧与一度的角之和

D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位

解析:我们把长度等于半径长的弧和所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各项,可知D 为真命题.

答案:D

变式训练

下列四个命题中,不正确的一个是( )

A.半圆所对的圆心角是π rad

B.周角的大小是2π

C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径

D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度

答案:D

知识点二：弧度制换算

角度化为弧度:360°=2π rad,1°=

180

πrad≈0.017 45 rad, 将弧度化为角度:2π rad=360°,1 rad=(π

180)°≈57.30°=57°18′. 弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为α rad=(πa 180)°,n°=n 180

π(rad). 终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是:{β｜β=kπ,k∈Z },{β｜β2π=kπ,k∈Z }.第一、二、三、四象限角的集合分别为:

{β｜2kπ<β<2kπ+

2π,k∈Z },{β｜2kπ+2π<β<2kπ+π,k∈Z },{β｜2kπ+π<β<2kπ+23π,k∈Z }, {β｜2kπ+2

3π<β<2kπ+2π,k∈Z }.

例2 .将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限:∈-415π;∈3

32π;∈-20;∈-32. 解:∈415π-=-4π+4π,是第一象限角.∈432π=10π+3

2π,是第二象限角. ∈-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.∈-23≈-3.464,是第二象限角.

点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化

为k×6.28+α,k∈Z ,｜α｜∈［0,6.28)的形式,通过α与

2

π,π,23π比较大小,估计出角所在的象限. 变式训练

(1)把-1 480°写成2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式;

(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β. 解:(1)∈-1 480°=-

974π=-10π+916π,0≤916π <2π,∈-1 480°=2(-5)π+9

16π. (2)∈β与α终边相同,∈β=2kπ+916π,k∈Z .又∈β∈［-4π,0),∈β1=92π-,β2=920π-. 知识点三：弧长及扇形面积公式

与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ(k∈Z )的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=21αR 2,S=2

1lR. 例3 已知0<θ<2π,且θ与7θ相同,求θ. 解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z ,即6θ=2kπ.∈θ=

3k π.又∈0<θ<2π,∈0<3k π<2π.∈k∈Z ,当k=1、2、3、4、5时,θ=3π、32π、π、3

4π、35π. 点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,然后在约束条件下确定k 的值,进而求适合条件的角.

例4 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. 解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.

由已知,2r+l=a,即l=a -2r.∈S=21l·r=21(a -2r)·r=-r 2+2a r=-(r -4

a )2+162a . ∈r>0,l=a -2r>0,∈0

a ,∈α=r 1=2. 故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取最大值16

2

a . 点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.

变式训练

已知一个扇形的周长为9

8π+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积. 解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×180π=9

4π, ∈扇形的弧长为

94πr,由已知,9

4πr+2r=98π+4,∈r=2. ∈S=21·94πr 2=98π.故扇形的面积为98π.