高考数学高频易错题举例解析精选
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高考数学高频易错题举例解析
高中数学中有许多题目,求解的思路不难,但解题时,对某些特殊情形的讨论,却很容易被忽略.也就是在转化过程中,没有注意转化的等价性,会经常出现错误.本文通过几个例子,剖析致错原因,希望能对同学们的学习有所帮助.加强思维的严密性训练. ● 忽视等价性变形,导致错误.
⎩⎨⎧ x>0 y>0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y>0 xy>0 ,但 ⎩⎨⎧ x>1 y>2 与 ⎩⎨⎧ x + y>3 xy>2
不等价. 【例1】已知f(x) = a x + x
b
,若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围.
错误解法 由条件得⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≤+≤-622303b
a b a ②① ②×2-① 156≤≤a ③
①×2-②得 3
2
338-≤≤-
b ④ ③+④得
.3
43)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数b
x
ax x f +
=)(,其值是同时受b a 和制约的.当a 取最大(小)值时,b 不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的.
正确解法 由题意有⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得:
)],2()1(2[32
)],1()2(2[31f f b f f a -=-=
).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+
=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3
37
)3(316≤≤f
在本题中能够检查出解题思路错误,并给出正确解法,就体现了思维具有反思性.只有牢固地掌握基础知识,才能反思性地看问题.
●忽视隐含条件,导致结果错误. 【例2】
(1) 设βα、是方程0622
=++-k kx x 的两个实根,则2
2
)1()1(-+-βα的最小值是
不存在)D (18)C (8)B (4
49)A (-
思路分析 本例只有一个答案正确,设了3个陷阱,很容易上当. 利用一元二次方程根与系数的关系易得:,6,2+==+k k αββα
.
4
49
)43(42)(22)(1
212)1()1(222222--=++--+=+-++-=-+-∴
k βααββαββααβα 有的学生一看到4
49
-
,常受选择答案(A )的诱惑,盲从附和.这正是思维缺乏反思性的体现.如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别,就能从中选出正确答案.
Θ 原方程有两个实根βα、,∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒ .3k 2k ≥-≤或
当3≥k 时,2
2
)1()1(-+-βα的最小值是8; 当2-≤k 时,2
2
)1()1(-+-βα的最小值是18. 这时就可以作出正确选择,只有(B )正确. (2) 已知(x+2)2+ y2
4 =1, 求x 2+y 2的取值范围.
错解 由已知得 y 2=-4x 2-16x -12,因此 x 2+y 2=-3x 2-16x -12=-3(x+
38)2+3
28 , ∴当x=-83 时,x 2+y 2有最大值283 ,即x 2+y 2的取值范围是(-∞, 28
3 ].
分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制,丢掉了最小值. 事实上,由于(x+2)2+ y24 =1 ⇒ (x+2)2=1- y2
4 ≤1 ⇒ -3≤x ≤-1,
从而当x=-1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 28
3 ].
注意有界性:偶次方x 2≥0,三角函数-1≤sinx ≤1,指数函数a x >0,圆锥曲线有界性等.
●忽视不等式中等号成立的条件,导致结果错误.
【例3】已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1
b
)2的最小值.
错解 (a+
a 1)2+(b+
b 1)2=a 2+b 2+21a +21b +4≥2ab+ab 2+4≥4ab ab 1
•+4=8, ∴(a+
a 1)2+(b+b
1
)2的最小值是8. 分析 上面的解答中,两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ,第一次等号成立的条件是a=b=
2
1
,第二次等号成立的条件是ab=
ab
1
,显然,这两个条件是不能同时成立的.因此,8不是最小值. 事实上,原式= a 2+b 2+
21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +2
1b
)+4=[(a+b)2-2ab]+[(a 1+b 1)2-ab 2]+4 = (1-2ab)(1+
2
21
b
a )+4, 由a
b ≤(
2b a +)2=41 得:1-2ab ≥1-21=21, 且221b a ≥16,1+221
b
a ≥17,
∴原式≥
21×17+4=225 (当且仅当a=b=2
1
时,等号成立), ∴(a +
a 1)2 + (
b + b
1)2的最小值是252 .