几何图形中函数解析式的求法(学法指导)

几何图形中函数解析式的求法

函数是初中数学的重要容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。

但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。

一、 用图形的面积公式确立等量关系

例1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，有一点P 在

BC 上运动，设PB=x ，梯形APCD 的面积为y （1）求y 与x 的函数关系式；

（2）如果S △ABP =S 体型APCD 请确定P 的位置。

分析：本题所给的变量y 是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式

B

C

A

D

P

图1

A D C

B

E

F

G

N

图2

S=2

1（上底+下底）×高 ，分别找出上底、下底、高问题可获解决。因为上底CP=x -2，下底AD=2，高CD=2，于是由梯形面积公式建立两个变量之间的等量关系，2)22(2

1

⋅+-=x y ，整理得：22

2

+-=x y 。（2）略 例2、如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，AD=a ，BC=2a ，CD=2，四边形EFCG 是矩形，点E 、G 分别在腰AB 、CD 上，

点F 在BC 上。设EF=x ，矩形EFCG 的面积为y 。（2002年中考题） （1）求y 与x 的函数关系式；

（2）当矩形EFCG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时，求x 的值； （3）当∠ABC=30°时，矩形EFCG 是否能成正方形，若能求其边长，若不能试说明理由。

分析：本题所给的变量y 值是矩形的面积，因此根据矩形面积公式S=长×宽，若能算出长FC 与宽EF ，或者用变量x 、y 表示FC 和EF ，则问题可获解决。其中宽EF=x ，问题归结为求出长FC ，从而两个变量x 、y 之间的关系通过矩形面积公式建立了。

解：（1）过点A 作AN ⊥BC 于N ，因为在矩形EFCG 中，EF ⊥BC ， ∴EF ∥AN ∴

AN

EF

BN BF = 即

22x a a BF =-， 得BF=2

ax

A

B C

D

O E

F

图3

∴EG=FC=2

42ax

a BF a -=- ∴x ax

a y ⋅-=

2

4 ∴所求的函数关系式是ax ax y 22

1

2+-=（0<≤x 2） (2)、（3）略

二、 由直角三角形，利用勾股定理确立等量关系

例3、如图3，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，D 为BC 边上一动点，AD 的垂直平分线EF 交B 、AD 、C 于E 、O 、F ，AB=2。

（1）BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式； （2）是否存在x 使四边形AEDF 为菱形？若存在，则说明理由。

分析：本题所给图形中直角三角形较多，将两个变量x ，y 之间的关系集中到同一直角三角形中问题可获得解决。因为BD=x ，AE=y ，AB=2，所以BE=2-y ，又根据线段中垂线的性质知DE=AE=y 。于是，在Rt ΔBDE 中，由勾股定理建立两个变量之间的等式。 解：（1）∵EF 是线段AD 的中垂线， ∴AE=DE=y

BD=x ，BE=y -2，在Rt ΔBDE 中， BD 2+BE 2=DE 2，

即222)2(y y x =-+ 整理得14

1

2+=x y

在Rt ΔABC 中，∠B=90°，∠BAC=30°，AB=2 ， ∴BC=

332 ，∴0

3

2。 于是1412+=x y (0

3

2)为所求的函数解析式。(2)略

三、 用平行线截线段成比例，利用比例式确立等量关系

例4、如图4，在ΔABC 中，AB=8，AC=6，⊙O 是ΔABC 的外接圆，且BC 是直径，⊙O 与⊙O ’切于点A ，与边AB 、AC 分别交于点D 、E 。设BD=x ，

DE=y 。

（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出自变量x 的取值

围；

（2）求当⊙O ’与BC 相切时y 的值。

分析：AB=8，BD=x ，AD=x -8，如果能求得BC 的长，知道DE ∥BC ，则问题便迎刃而解。显然，这两个问题可分别通过直径所对的圆周角的性质、弦切角定理获得解决。

解：（1）如图4，过点A 作⊙O 和⊙O ’的公切线AT ，则有

O ‘ O

B

C

D

E

A

图4

· · T

A B

C

D

P

Q

图5

∠BAT=∠DEA=∠BCA 。 ∴DE ∥BC ，∴

BC

DE

AB AD =

。 ∵BC 是直径，∴∠BAC=90°， ∴BC= 10682222=+=+AC AB 。 ∴

10

88y

x =-， ∴y 与x 的函数关系式是:104

5

+-=x y （0

四、用相似三角形，对应边成比例的比例式确立等量关系

例5、已知：矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，在

BC 边上取一点P （P 与B 、C 两点不重合），在DC 边上取一点Q ，使∠APQ=90°。

（1）设BP 的长为x ，CQ 的长为y ，求出y 与x 之间的函数关系式；

（2）试讨论当P 在什么位置时，CQ 的值最大。

分析：本题中∠APQ=90°，若连结AQ ，问题可以转化为上述提到的“用直角三角形，利用勾股定理确立等量关系”，但计算过程中会比较复杂且运算量较大，容易算错。但仔细观察可以发现，由于BP=x ，CQ=y ，其中两个变量都分别在不同的三角形中，要把它们建立起等量关系，则可考虑证△ABP ∽△PCQ ，由相似三角形对应边成比例可得：

CQ

BP

PC AB =。从而问题可获解