人教版八年级数学下教案 二次根式第二课时
人教版八年级数学下册16.1二次根式(第二课时)教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算规则，以及二次根式的化简方法。
2.能够运用二次根式的性质和运算法则，解决实际问题，如计算几何图形的面积和体积等。
3.能够将复杂的二次根式化简为最简形式，并正确进行相关运算。
（五）总结归纳
在课堂尾声，带领学生进行以下总结归纳：
1.知识点回顾：梳理本节课学习的二次根式乘除法则、化简方法和实际应用。
2.解题策略：总结解决二次根式问题的方法和技巧，提醒学生注意事项。
3.情感态度：强调学习数学的重要性，激发学生学习兴趣，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，检验学生对二次根式的掌握程度，特布置以下作业：
3.交流与合作：培养学生团队合作精神，提高沟通能力，共同提高。
（四）课堂练习
为了检验学生对本节课知识的掌握程度，设计以下课堂练习：
1.基础题目：针对二次根式的乘除法则和化简方法，设计一些基础题目，让学生独立完成。
2.提高题目：设计一些涉及实际问题的二次根式题目，考查学生将理论知识应用于实际的能力。
3.互动解答：鼓励学生互相批改、讨论，共同解决问题，提高解题能力。
-结合生活实际，设计涉及面积、体积计算的题目，让学生在实际问题中应用二次根式。
-引导学生通过小组合作，共同探讨解决复杂二次根式运算的策略。
3.采用分层教学，针对不同学生的学习需求，提供个性化的教学支持。
-对于基础薄弱的学生，重点强化基本性质和运算规则的训练。
-对于学有余力的学生，设计更具挑战性的题目，拓展他们的思维和知识深度。
1.注重启发式教学，引导学生主动探究二次根式的性质和运算法则。
新人教版八年级数学下册二次根式教案(14篇)
新人教版八年级数学下册二次根式教案（14篇）篇1：新人教版八年级数学下册二次根式教案1.二次根式：式子( ≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：(1)( )2= ( ≥0); (2)5.二次根式的运算：(1)因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.= ? (a≥0，b≥0); (b≥0，a>0).(4)有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1) ，其中是二次根式的是_________(填序号).例2、求下列二次根式中字母的取值范围(1) ;(2)例3、在根式1) ，最简二次根式是( )A.1) 2)B.3) 4)C.1) 3)D.1) 4)例4、已知：例5、 (龙岩)已知数a，b，若 =b-a，则 ( )A. a>bB. a2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )A. ;B. - ;C. - ;D.例2. 把(a-b)-1a-b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：，其中a= ，b= .例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：4、比较数值(1)、根式变形法当时，①如果，则;②如果，则。
人教版八年级下册数学《二次根式的乘除》说课教学复习课件巩固
，
3 6= 32 6= 54 ，
又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
∴
52＞ 54
两个负数比较大小，
绝对值大的反而小
,即 2 13＞-3 6.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，
当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
在本章中，
如果没有特
别说明，所
有的字母都
表示正数．
被开方数
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
注意：a,b都必须是非负数.
探究新知
考 点 1 简单的二次根式的乘法运算
计算:
（1） 3 5 ;
解: (1)
(2)
（2）
PA R T
01
学习目标
01
二次根式乘法法则知识点回顾
二次根式乘法法则
• = ≥ 0，b ≥ 0
注意公式成立条件
二次根式乘法法则变形
= • ≥ 0，b ≥ 0
01
探究与思考
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
4
9
4
22
9
32
=
=
4
16
16
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式
都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的
近似值，再进行比较．
巩固练习
人教版初中数学八年级下册16.3.2《二次根式的混合运算》教案
最后，关注学生的个体差异，对于学习有困难的学生，给予更多的关心和指导。在课后，我会主动询问他们是否理解课堂内容，针对他们的疑问进行解答，帮助他们克服学习难点。
4.培养学生的抽象思维能力：通过二次根式的混合运算，让学生从具体实例中抽象出数学规律，提升学生的数学抽象思维水平。
三、教学难点与重点
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘除法则：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（a≥0，b≥0）和\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（a≥0，b＞0）；
c.了解二次根式的乘方运算：\((\sqrt{a})^n = \sqrt{a^n}\)（n为正整数）；
举例：通过\((\sqrt{2})^2\)和\((\sqrt{3})^3\)等例题，强调乘方运算的规则。
2.教学难点
a.理解并运用二次根式乘除法则进行简化时的步骤和方法；
难点解析：学生在进行\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)等计算时，可能会忽略先简化根号内的乘积，直接相乘，导致计算复杂。教师需强调先简化根号内的乘积，再进行乘法运算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式混合运算的基本概念、运算法则和实际应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
数学人教版八年级下册《二次根式(2)》教学案
1 / 2优质资料---欢迎下载16章《二次根式》二次根式(2)备课：马勇 审核：赵帅，刘明清，李勇，陈士健学习目标：a≥02=a （a≥0），并利用它们进行计算和化简．通a≥0）是一个非负数，用具体）2=a （a≥0）；最后运用结论严谨解题． 学习过程： 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0时，有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；）2=_______；2=______；2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4）2=4．同理可得：2=2，2=9，2=3，2=13，）2=72，）2=0，所以例1 计算1．22．（23．24．）2分析）2=a （a≥0）的结论解题．解：）2 =32，（2 =32·2=32·5=45，2=56，）274=．三、巩固练习计算下列各式的值：22 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0）2．23．24．）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥0，∴（2=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥0）2=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结本节课应掌握：1．（a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=）2（a≥0）．六、布置作业1．教材P5复习巩固2．（1）、（2）7．2/ 2。
人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件
第二十一页，共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页，共三十九页。
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a＜0时， a=2
-a ？
a(a＜0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系？
第十五页，共三十九页。
探究新知 归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
第三十页，共三十九页。
巩固练习
如图，是一个(yī ɡè)圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页，共三十九页。
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页，共三十九页。
八年级下册《二次根式》第2课时教案设计
八年级下册《二次根式》第2课时教案设计八年级下册《二次根式》第2课时教案设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的性质。
2．内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目标和目标解析1．教学目标（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．目标解析（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.本节课的教学难点为：二次根式性质的灵活运用.四、教学过程设计1．探究性质1问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，， .师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.；；； .师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）. 【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.例2 计算（1）；（2） .师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用. 2．探究性质2问题4 你能解释下列式子的含义吗？，，， .师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．平方的算术平方根.问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.= ， = ， = ， = .师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.例3 计算（1）；（2） .师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用. 3．归纳代数式的概念问题7 回顾我们学过的式子，如，，，，，，，（≥0），这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念.【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力.4．综合运用（1）算一算：；；； .【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.（3）谈一谈你对与的认识.【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.5．总结反思（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.五、目标检测设计1．；； .【设计意图】考查对二次根式性质的理解．2．下列运算正确的是（）A. B. C. D.【设计意图】考查学生运用二次根式的性质进行化简的能力．3．若，则的取值范围是．【设计意图】考查学生对一个数非负数的算术平方根的理解．4．计算: ．【设计意图】考查二次根式性质的灵活运用．。
人教版数学八年级下册16.1.3二次根式(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算非整数的平方根的情况？”（如计算矩形桌面面积时，边长为非整数）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版数学八年级下册16.1.3二次根式（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级下册16.1.3节，本节课主要围绕二次根式展开，包括以下内容：
1.二次根式的定义与性质；
2.二次根式的乘法与除法；
3.二次根式的加法与减法；
4.二次根式的化简与运算；
5.二次根式在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.理解二次根式的概念，培养学生的数学抽象素养，使学生能够把握数学对象的本质属性；
此外，我在教学中可能过于关注运算的技巧，而忽视了学生对二次根式概念深层次的理解。在未来的课程中，我应该花更多的时间去引导学生思考二次根式的本质，以及它们与平方根、立方根等其他数学概念的联系。
最后，我注意到有些学生在课堂上保持沉默，可能是因为他们害怕犯错。我需要创造一个更加包容和鼓励犯错的学习环境，让学生们明白错误是学习过程的一部分，而不是避免的事情。我会鼓励学生们提出问题，并赞扬那些勇于尝试和犯错的学生的勇气。
人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》说课稿
人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.2第2课时《二次根式的除法》这一节，主要让学生掌握二次根式相除的方法。
在此之前，学生已经学习了二次根式的性质和二次根式的乘法。
本节课的内容是在此基础上进行的，目的是让学生能够运用二次根式的除法解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次根式的性质和乘法有一定的了解。
但是，他们在处理二次根式的除法问题时，可能会感到困惑，对于如何将除法问题转化为乘法问题，以及如何在计算过程中保持二次根式的简洁性，还需要进一步引导和培养。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次根式相除的基本方法。
2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3.提高学生解决实际问题的数学应用能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式相除的方法和步骤。
2.教学难点：如何将除法问题转化为乘法问题，以及在计算过程中的简洁性处理。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次根式除法的方法。
2.利用多媒体手段，展示二次根式除法的运算过程，帮助学生直观理解。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中互相学习，共同进步。
六. 说教学过程1.导入新课：回顾二次根式的性质和乘法，引出二次根式的除法。
2.探究新知：学生自主尝试解决二次根式的除法问题，教师引导学生将除法问题转化为乘法问题，并讲解运算过程。
3.例题讲解：教师选取典型例题，讲解二次根式除法的步骤和方法。
4.巩固练习：学生独立完成练习题，教师及时给予反馈和指导。
5.拓展应用：学生分组讨论，将二次根式除法应用于实际问题，分享解题过程和心得。
6.总结归纳：教师引导学生总结二次根式除法的方法和步骤，以及注意事项。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，突出二次根式除法的方法和步骤。
主要包括以下内容：1.二次根式除法的定义。
2.二次根式除法的步骤。
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》(第2课时)说课稿
人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1《二次根式的性质》（第2课时）是在学生已经掌握了二次根式的概念、性质和运算法则的基础上进行的一节内容。
本节课的主要内容是进一步探讨二次根式的性质，包括二次根式的乘除运算、合并同类二次根式等。
通过本节课的学习，使学生能够灵活运用二次根式的性质进行各种运算，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经对二次根式有了初步的认识和了解，能够进行一些基本的二次根式运算。
但是，对于一些复杂的二次根式运算，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，采取有效的教学方法，引导学生逐步掌握二次根式的性质，提高他们的运算能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次根式的性质，能够熟练地进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索二次根式的性质，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们克服困难的勇气和自信心，培养他们的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握二次根式的性质，能够进行二次根式的乘除运算和合并同类二次根式。
2.教学难点：二次根式的乘除运算和合并同类二次根式的方法。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用自主探索、合作交流的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习二次根式的性质。
同时，利用多媒体教学手段，展示二次根式的运算过程，帮助学生更好地理解和掌握二次根式的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次根式的概念和性质，为学生进入本节课的学习做好铺垫。
2.自主探索：引导学生观察、分析、归纳二次根式的性质，使学生能够自主掌握二次根式的性质。
3.合作交流：学生进行小组讨论，分享他们在自主探索过程中得到的二次根式的性质，培养学生团队协作精神。
人教版数学八年级下册16.1第2课时《 二次根式的性质》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第2课时《二次根式的性质》是初中数学的重要内容，主要让学生了解和掌握二次根式的性质。
教材通过引入实际问题，引导学生探究二次根式的性质，从而培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
本节课的内容为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数和无理数的基本概念，具备了一定的代数基础。
同时，学生已经学习了二次根式的概念和简单的运算。
但学生在理解和运用二次根式的性质方面还存在一定的困难，因此，教师在教学过程中要注重引导学生理解和运用二次根式的性质。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质，并能熟练运用。
2.培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质及其运用。
2.引导学生理解和运用二次根式的性质。
五. 教学方法1.情境导入：通过实际问题引入二次根式的性质，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：引导学生独立思考，探究二次根式的性质。
3.合作交流：分组讨论，让学生在讨论中理解和掌握二次根式的性质。
4.巩固练习：设计有针对性的练习，让学生在实践中运用二次根式的性质。
5.总结提升：引导学生总结二次根式的性质，并展望后续学习。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入新课。
2.准备PPT，展示二次根式的性质及相关例题。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过呈现一个实际问题，引导学生思考二次根式的性质。
例如：一个正方形的对角线长度为8，求正方形的边长。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的性质，引导学生理解和掌握。
例如：二次根式√a的性质有：（1）√a2=a（a≥0）；（2）√a⋅√b=√ab（a≥0,b≥0）；（3）√a√b =√ab（a≥0,b>0）。
人教八下数学16.3 第2课时 二次根式的混合运算教案
第2课时 二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点) 一、情境导入 如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？ 二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132；(3)2－(3＋2)÷3. 解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算： (1)(2＋3－6)(2－3＋6)； (2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝⎛⎭⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8. 方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型对于任意的正数m 、n 定义运算※为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－46B ．2C ．25D ．20 解析：∵3＞2，∴3※2＝3－ 2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B. 方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键． 【类型二】 二次根式运算的拓展应用 请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1； 第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键． 三、板书设计 1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的． 2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。
八年级-人教版-数学-下册-第2课时-二次根式的除法与最简二次根式
去掉分母中的根号
例3 计算：（2）3 2 ；
27
解：（2）3 2 3 2 3 2
27 32 3 32 3
2 2 3 6 ．
3 3 3 3
例3 计算： （3） 8 ．
2a
解：（3） 8 8
2a 2a
2a 4 a 2 a ．
2a 2a a
观察上面例 1、例 2、例 3 中各小题的最后结果，比如 2 2 ， 3 ，
1
解析： 2 ， 101 的被开方数含有分母，不是最简二次根式； 12 2 3 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； a2 b2 是最简二次根式．
例5 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b．已知 S＝ 2 3， b＝ 10 ，求 a．
解：因为 S＝ab，所以
a S 2 3 2 3 10 30 ．
（1）
4
2
＝_____3______，
4
2 ＝_____3______；
9
9
4＝ 4
9
9
4
4
（2）
16 25
＝_____5______，
16 ＝_____5______；
25
16 ＝ 16
25
25
6
6
（3）
36 49
＝_____7______，
36 49
＝_____7______．
36 ＝ 36
49
2 18 2 18 2
二次根式除法法则的逆运用
把
a b
a 反过来，就得到
b
a b
a (a≥0，b＞0)，利用它可以
b
进行二次根式的化简．
文字语言：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的 算术平方根．
人教版数学八年级下册二次根式的乘除(第2课时)教学课件
文字(wénzì)叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项 式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
第八页，共三十一页。
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的除法法则(fǎzé)计算根号外因数是
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根 式满足什么条件就可以说它是最简了？
第十八页，共三十一页。
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含______二__次__根__式；
(gēnshì)
(2)被开方数中不含____开__得__尽__方__的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后 再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
探究新知
知识点 4
二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b. 已知 S 2 3,b 10，求a的值.
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 .
b 10 10 10 5
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巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
第四页，共三十一页。
探究新知
知识点 1 二次根式的除法
计算(jì suàn)下列
(1各) 式:4
9
2
___2÷___3=____3;
(2)
16 25
4
___4÷___5=____5;
(3)
36
6
___6÷___7=____7;
八年级下册《二次根式》第2课时教案设计
八年级下册《二次根式》第2时教案设计一、内容和内容解析．内容二次根式的性质。
2．内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目标和目标解析．教学目标（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．目标解析（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力本节的教学难点为：二次根式性质的灵活运用四、教学过程设计．探究性质1问题1 你能解释下列式子的含义吗？，，，师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据；；；师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力例2计算（1）；（2）师生活动：学生独立完成，集体订正【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用2．探究性质2问题4 你能解释下列式子的含义吗？，，，师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根问题根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据=，=，=，=师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力例3计算（1）；（2）师生活动：学生独立完成，集体订正【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用3．归纳代数式的概念问题7回顾我们学过的式子，如，，，，，，，（≥0），这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力4．综合运用（1）算一算：；；；【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维（3）谈一谈你对与的认识【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解．总结反思（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题161第2，4题五、目标检测设计．；；【设计意图】考查对二次根式性质的理解．2．下列运算正确的是（）ABD【设计意图】考查学生运用二次根式的性质进行化简的能力．3．若，则的取值范围是．【设计意图】考查学生对一个数非负数的算术平方根的理解．4．计算:．【设计意图】考查二次根式性质的灵活运用．。
人教版八年级下册数学第2课时 二次根式的除法教案
第2课时二次根式的除法教学设计课题二次根式的除法授课人素养目标1.理解最简二次根式的概念，并运用二次根式的性质把二次根式化成最简二次根式，感知数学转化思想的应用．2．理解并掌握二次根式的除法法则：ab＝ab(a≥0，b＞0)．会用类比的数学思想方法来探究除法法则．3．理解并掌握商的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b＞0)．体会二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的互逆关系．4．利用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行计算和化简，培养学生良好的运算习惯，提高运算能力和推理能力.教学重点会利用商的算术平方根的性质化简，会进行二次根式的除法运算．教学难点二次根式的除法与商的算术平方根的性质的关系及应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图利用实际问题引入新课.【情境导入】电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而收看到电视节目的区域就越广，电视塔高h(单位：km)与电视节目信号的传播半径r(单位：km)之间存在近似关系r＝2Rh，其中R是地球半径，R≈6400km.如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径之比是2Rh12Rh2.你能将这个式子化简吗？化简这个式子需要学习二次根式的除法，下面我们一起来看看．【教学建议】让学生拓展知识，共同讨论，教师说明学完本课时就可以解决这个问题，调动积极性.活动二：问题引入，自主探究设计意图引导学生观察总结出二次根式的除法法则.探究点1二次根式的除法法则1．计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.答：规律：1.被开方数都是正数；2.左边的两个二次根式的商等于右边的一个二次根式，且左边的两个二次根式的被开方数的商等于右边的一个二次根式的被开方数．2．你能用字母表示你发现的规律吗？答：二次根式的除法法则：ab＝ab(a≥0，b＞0)．即二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．【教学建议】(1)学生口答问题1的填空，指定学生代表回答规律，教师补充完整．(2)学生讨论问题2，教师板书总结，提醒学生这里b＞0，因为b＝0时分母为0，没有意义．教学步骤师生活动设计意图引导学生逆向思考，发现商的算术平方根的性质.3．计算：(1)243；(2)32÷118；(3)145÷110；(4)x2÷x8y3.解：(1)243＝243＝8＝4×2＝22；(2)32÷118＝32÷118＝32×18＝3×9＝33；(3)145÷110＝95÷110＝95÷110＝95×10＝32×2＝32；(4)x2÷x8y3＝x2÷x8y3＝x2·8y3x＝4y3＝2y y.【对应训练】计算：(1)18÷2；(2)726；(3)41222；(4)b5÷b20a2.解：(1)18÷2＝18÷2＝9＝3；(2)726＝726＝12＝4×3＝23；(3)41222＝2122＝26；(4)b5÷b20a2＝b5÷b20a2＝b5·20a2b＝4a2＝2a.探究点2商的算术平方根的性质1．把ab＝ab反过来，可以得到什么？答：商的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b＞0)．(利用它可以进行二次根式的化简)2．化简：(1)3100；(2)179；(3)7527；(4)4z49x2y2(x＞0，y＞0)．解：(1)3100＝3100＝310；(2)179＝169＝169＝43；(3)7527＝52×332×3＝5232＝53；(4)4z49x2y2＝4z49x2y2＝2z7xy.3．(1)观察32和118，怎么去掉被开方数中的分母？答：综合利用分数的基本性质、商的算术平方根的性质．例如：(3)指定学生代表回答问题3，提醒学生计算二次根式的除法应注意：①结果中应不含能开得尽方的因数因式；②如果有系数，就将系数与系数相除，二次根式与二次根式相除，两者的积作为商；③如果有带分数，就先将带分数化为假分数，再进行计算．【教学建议】指定学生代表回答，提醒学生：(1)化简和计算的结果中应不含能开得尽方的因数或因式，分母中也应不含根号；(2)可先将分子与分母中公共的因数或因式约去，再转化为二次根式的商的形式进行化简；(3)根号下是带分数的应先化为假分数再化简．教学步骤师生活动设计意图引导学生发现总结最简二次根式的特点.32＝3×22×2＝622＝62，118＝1×218×2＝236＝26.(这里令分子、分母同乘一个数，使得分母变成完全平方数)(2)观察35，3227，82a，怎么去掉分母中的根号？答：方法1：35＝35＝3×55×5＝1552＝1552＝155；(这里先用二次根式的除法法则，再用(1)中方法)方法2：35＝3×55×5＝15（5）2＝155.(这里分子、分母同乘一个二次根式，使得分母变成有理数．)3227＝3232×3＝3232×3＝23＝2×33×3＝63.82a＝8·2a2a·2a＝4a2a＝2aa.【对应训练】1．化简：(1)364；(2)11549；(3)196100；(4)25a49b2(b＞0)．解：(1)364＝364＝38；(2)11549＝6449＝6449＝87；(3)196100＝72×452×4＝7252＝75；(4)25a49b2＝25a49b2＝5a23b.2．计算：(1)78；(2)2a÷6a.解：(1)原式＝722×2＝722＝7×222×2＝144；(2)原式＝2a6a＝13＝1×33×3＝332＝332＝33.探究点3最简二次根式观察前面出现过的22，310，2aa等，这些式子有什么特点？答：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．概念引入：我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．【对应训练】【教学建议】可先让学生讨论，再指定学生代表回答，教师进行总结．提醒学生根号下是小数时先化为分数.教学步骤师生活动1．下列各式是最简二次根式的是(A)A.13B.12C.a2D.53 2．教材P10练习第2题．活动三：重点突破，提升探究设计意图巩固学生对二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质的理解.例1计算：(1)27×83÷12；(2)45÷33×35.解：(1)27×83÷12＝27×83÷12＝27×83×2＝9×16＝32×42＝3×4＝12；(2)45÷33×35＝13453×35＝13453×35＝139＝13×3＝1.例2解答教材P9例7.【对应训练】1．计算：12÷(－12)×324.解：12÷(－12)×324＝－12÷12×324＝－124×324＝－3124×24＝－3.2．教材P10练习第3题．3．解答活动一中提出的问题．解：2Rh12Rh2＝2R·h12R·h2＝h1h2＝h1·h2h2·h2＝h1h2h2.【教学建议】(1)指定学生代表回答，提醒学生在进行二次根式的乘除混合运算时要遵循从左到右的顺序，可先观察式子特点再决定计算之前是否化简．(2)教师强调二次根式的运算结果应是最简二次根式或整式.活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：二次根式的除法法则是什么？其逆向公式怎么表示？什么是最简二次根式？在二次根式的运算中，你认为应该注意哪些问题？【知识结构】【作业布置】1．教材P10习题16.2第2，3，4，8，9，10，11，13题．2．相应课时训练．板书设计16.2二次根式的乘除第2课时二次根式的除法1．二次根式的除法法则：ab＝ab(a≥0，b＞0)．2．商的算术平方根的性质：ab＝ab(a≥0，b＞0)．3．最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4．二次根式的运算要求：一般要把最后结果化为最简二次根式或整式，并且分母中不含二次根式.教学步骤师生活动教学反思前两个探究点注意引导学生用与乘法相类似的方法去学习，对最简二次根式的概念要逐步渗透．强调计算结果要化为最简形式，以规范做题．在教学中感受到学生对分母有理化的运用不够灵活，应在今后的复习中强化巩固.1．最简二次根式(1)概念：符合下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．如：52＋122不是最简二次根式，因为52＋122＝25＋144＝169＝13；m 2＋n 2是最简二次根式．(2)化简二次根式一般分三步：①化去分母：如果被开方数是分数或分式，运用商的算术平方根的性质将其化成a b的形式；②能开则开：把被开方数分解因式，利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来；③化去分母中的根号：如果分母中含有根号，则运用分式的基本性质化去分母中的根号．例1将1212化为最简二次根式．解：1212＝252＝252＝52＝5×22×2＝522.注意：化简时别犯这种错误：1212＝12×12＝23×22＝ 6.2．商的算术平方根的性质：ab ＝a b(a≥0，b ＞0)．例2若y ＋22x －1＝y ＋22x －1，且x ＋y ＝5，则x 的取值范围是(D )A ．x ＞12B .12≤x ＜5C .12≤x ＜7D .12＜x ≤7解析：∵y ＋22x －1＝y ＋22x －1，∴y ＋2≥0，2x －1＞0，∴y ≥－2，x ＞12.∵x ＋y ＝5，∴y ＝5－x ，则5－x ≥－2，解得x ≤7.故x 的取值范围是12＜x ≤7.故选D .3．二次根式的除法法则：a b＝ab(a≥0，b ＞0)．例3计算：m 3n÷mn·1mn(m ＞0，n ＞0)．解：原式＝m 3n mn ·1mn ＝m mn ＝m·mn mn·mn＝mnn .注意：计算时注意运算顺序，别犯这种错误：原式＝m 3n÷(mn·1mn)＝m mn÷1＝m mn.例4计算：2a ab 5·(－32a 3b)÷(－13ba)．解：原式＝2a ab 5·(－32a 3b)·(－3a b )＝2a ×32×3×ab 5·a 3b·a b ＝9a a 5b 5＝9a·a 2b 2·ab ＝9ab2ab.例1把二次根式(x－1)11－x中根号外的因式移到根号内，结果是－1－x.解析：由题意得1－x＞0，则x－1＜0，∴(x－1)11－x＝－11－x·（1－x）2＝－1－x.故答案为－1－x.例2已知9－xx－6＝9－xx－6，且x为偶数，求(1＋x)x2－5x＋4x2－1的值．分析：ab＝ab在a≥0，b＞0时成立，再结合x为偶数得到x的值，然后化简式子，最后代入求值．，0，∴6＜x≤9.又x为偶数，∴x＝8.原式＝(1＋x x)x－4x＋1＝(1＋x)x－4x＋1＝（1＋x）（x－4）.∴当x＝8时，6.。
人教初中数学八下 16.1 二次根式(第2课时)教案 【经典教学设计合编】
16.1 二次根式（第2课时）教学内容本节课主要学习二次根式的性质a（a≥0）是一个非负数与（a）2=a及其运用。
教学目标一、知识技能理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简。
二、数学思考乘方与开方互为逆运算在推导结论（a）2=a（a≥0）中的应用。
三、解决问题利用二次根式的非负性和（a）2=a（a≥0）解题。
四、情感态度通过利用乘方与开方互为逆运算推导结论（a）2=a（a≥0）,使学生感受到数学知识的内在联系。
重难点、关键重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用。
难点：理解二次根式a（a≥0）是一个非负数与（a）2=a。
关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）。
教学准备教师准备：制作课件，精选习题。
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容。
教学过程一、复习引入【提出问题】1、什么叫二次根式？2、当a≥0时，a表示什么？当a<0时，a有意义吗？【活动方略】教师给出题目。
学生根据所学知识回答问题。
【设计意图】复习二次根式的概念及算术平方根的基本形式.为二次根式的性质引入作好铺垫。
二、探索新知【问题】a (a ≥0）有没有可能小于零？为什么？教师提出问题。
学生总结出二次根式的性质1： a （a ≥0）是一个非负数． 【设计意图】使学生归纳出二次根式的性质1：a （a ≥0）是一个非负数。
【探究】根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（13）2=______；（0）2=_______。
教师给出题目。
学生口答结果后总结有何规律。
老师点评：是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4。
4同理可得：（2）2=2，132=13，0）2=0，所以（a ）2=a （a ≥0）【设计意图】归纳出二次根式的性质2：a 2=a （a ≥0）三、范例点击 例1 已知3+x +5-y =0，求xy 的值是多少？ 解：∵3+x +5-y =0，∴3+x ≥0且5-y ≥0， ∴3+x =0且5-y =0；即x +3=0且y -5=0解得x =-3,y =5 ∴xy =-15【设计意图】使学生掌握二次根式的性质1，理解非负式的应用。
人教版八年级数学下册《二次根式(第2课时)》示范教学设计
二次根式（第2课时）教学目标1．理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简．2．通过类比讲解，让学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动中充满的探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识．教学重点二次根式的性质及其运用．教学难点二次根式的性质的灵活应用．教学过程知识回顾下列式子中一定是二次根式的是（）．A B C D【师生活动】教师提出问题，学生回答．a≥0学生思考，教师引出本节课课题．【答案】C【设计意图】通过复习已学过的二次根式知识，教师提出问题，学生交流探讨，激起学生的好奇心，为学习本节课的新知作铺垫．新知探究一、探究学习【思考】（1）当a＞0；（2）当a＝0；（3）当a≥0．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表发言，教师纠错并讲解．教师分析：当a＞0时，a0；当a＝000.这就是说，当a ≥00．【答案】（1）＞ （2）＝ （3）≥0(a ≥0)．注意：（1|a |，a 2；（2|b |＋c 2＝0，则a ＝0，b ＝0，c ＝0，即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0．【设计意图】教师先提出三个问题，学生分小组合作交流，激发学生的学习兴趣．教师通过引导学生结合算术平方根的意义思考问题，由此引出二次根式的双重非负性，从而加深学生对新知的理解．二、典例精讲【例1】已知()230y -+=，求－xy 的平方根．【师生活动】教师提出问题，学生作答，教师巡查，并纠错．【答案】解：由题意可得3x ＋4＝0且y －3＝0， 解得x ＝43-，y ＝3． 所以4343xy ⎛⎫-=--⨯= ⎪⎝⎭． 所以－xy 的平方根是±2．【设计意图】通过例1的练习与讲解，巩固学生对二次根式的双重非负性的理解及应用．三、探究学习【探究】根据算术平方根的意义填空：2＝________；2＝_________；2＝________；2＝_________． 【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，并派代表发言，教师进行讲解． 教师提问：算术平方根的定义是什么？学生回答：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．0的算术平方根是0．是4是一个平方等于4的非负数．因此2＝4．同理其他均可求出．【答案】4213【新知】二次根式的性质：一般地，2＝a(a≥0)．注意：（1）正用公式：如2＝2，2＝a2＋2；（2）逆用公式：若a≥0，则a＝2，如5＝2．【设计意图】用算术平方根的定义对问题进行分析，从而引出二次根式的性质，让学生体会从特殊到一般的研究数学问题的思想方法，培养学生用代数语言进行推理的能力，加深学生对二次根式的性质的理解．四、典例精讲【例2】计算：（1）2；（2）2．【师生活动】教师提出问题，学生独立作答．【答案】解：（1）2＝1.5；（2）2＝22×2＝4×5＝20．【设计意图】通过例2的练习与讲解，加深学生对所学知识的理解及综合应用．五、探究学习【探究】填空：＝_________________；________________．【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答，教师总结．【答案】20.123a(a≥0)．【探究】填空：＝________＝_________．【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流．教师提示：可以先分别计算()23-和223⎛⎫- ⎪⎝⎭．学生根据提示作答，教师总结：由此可以看出：＝－a(a＜0)．【答案】323|a|＝a aa a⎧⎨-⎩，≥，，＜．先转化为|a|，再根据a的符号去掉绝对值符号，＝|π－4|＝4－π．六、典例精讲【例3】化简：（1（2【师生活动】教师提出问题，学生独立作答．【答案】解：（14；（25．【设计意图】通过例3的练习与讲解，加深学生对所学知识的理解及应用．课堂小结板书设计二次根式的性质课后任务完成教材第4页练习第1～2题．。
人教版数学八年级下册16 第2课时《二次根式的化简求值》 教案
第二讲二次根式的化简求值
［教学内容］
八年级第二讲“二次根式的化简求值”（第2课时）.
［教学目标］
知识技能
1.熟练掌握二次根式的运算技巧，能够对复杂的二次根式进行化简求值；
2.理解分母有理化的思想方法；
3.会对二次根式的大小进行比较.
数学思考
体会分母有理化的基本思想方法，能够举一反三，在实例中体会整体思想的妙用.
问题解决
经历二次根式分母有理化以及二次根式比较大小方法的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力，加强练习，提高学生的计算能力.
情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.
[教学重点、难点]
重点：二次根式分母有理化、二次根式的化简求值以及比较大小.
难点：二次根式分母有理化.
[教学准备]
动画多媒体语言课件
第二课时 ，则
222012)(2012)2012x x y y
， 分母有理化得 ①， ②.（下一步），所以x 2=y ，所以x=y ，（下一步）
x -3y -2011
+3x -3x -2011
222012
20122012
x x y y 2220122012x
x y y 2220122012y y x x 22201220120x y 0y
，
，
，
，
=， ，
个数是.
11⎛⎫÷- ⎪，其中31323312
431)9333
1012。
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16.1二次根式
第2课时
教学目标
【知识与技能】
≥0）与（a ≥0），并
理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a （a
利用它们进行化简和计算.
【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.
【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.
教学重难点
【教学重点】
2
=a （a ≥0）（a ≥0）及其应用.
【教学难点】用探究的方法探索
2
=a （a ≥0（a ≥0）的结论.
课前准备
无 教学过程
一、情境导入,初步认识
试一试：请根据算术平方根填空，
猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出
2
（a ≥0）的结论是什么？说说你的
理由.
【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.
二、思考探究，获取新知
在学生相互交流的基础上可归纳出：
2
=a （a ≥0）.
进一步地，引导学生探究新的问题.
探究
（1）填空：
（2）通过（1a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.
【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.
（a≥0）.
最后，教师给出代数式的概念.代数式：
用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）
三、典例精析，掌握新知
例1 计算：
（1）2；（2）（ 2
【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.
四、运用新知，深化理解
【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，
第4题稍有难度，教师适时点拨.
（2）进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.
3.(1)原式=5-5+1=1
(2)原式=7+49×2/7=7+14=21
(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.
五、师生互动，课堂小结
1.本节知识可这样归纳：
2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.
课后作业
1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
教学反思
1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.
3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。