倍长中线构造全等三角形
专题14 倍长中线法与截长补短法构造全等三角形(原卷版)
专题14倍长中线法与截长补短法构造全等三形模型一：倍长中线法构造全等三角形模型二：截长补短法构造全等三角形【典例分析】【模型一：倍长中线法构造全等三角形】△ABC 中,AD 是BC 边中线方式1到E ，使DE=AD ，连接BE方式2：间接倍长（1）作CF ⊥AD 于F，作BE⊥AD 的延长线于E（2）延长MD 到N，使DN=MD，连接CN【典例1】（2021春•吉安县期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小N延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS ”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【变式1-1】（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【变式1-2】如图，AE是△ABD的中线AB＝CD＝BD．求证：AB+AD＞2AE；【变式1-3】（2021秋•齐河县期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E 是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【模型二：截长补短法构造全等三角形】∙截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
倍长中线法构造全等三角形例题
倍长中线法构造全等三角形例题《倍长中线法构造全等三角形》一、引言在数学中，全等三角形是非常重要的概念，它们具有相同的三边和三角角度，但形状和位置可能有所不同。
而倍长中线法是构造全等三角形的一种重要方法。
本文将深入探讨倍长中线法的原理和应用，通过具体的例题来演示构造全等三角形的过程。
二、倍长中线法的原理1. 什么是倍长中线法？倍长中线法是指通过将三角形中的两条边分别延长相等的长度，然后连接延长后的两条边的中点，得到一个边长为原来中线的两倍的新三角形的方法。
2. 倍长中线法的原理当我们通过倍长中线法构造全等三角形时，我们实际上是借助了中线的性质。
在三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段就是该对边的中线，中线的定义是连接三角形的一个顶点和边对面中点的线段。
对于一个三角形ABC来说，若D为AB的中点，那么有AD = BD，这就是中线的性质之一。
而倍长中线法利用了中线的这一性质，通过延长两条边相等的长度，再连接延长后的两条边的中点，可以构造出一条新的中线，新中线的长度是原中线的两倍。
这样就得到了一个边长为原三角形中线长度两倍的全等三角形。
三、倍长中线法构造全等三角形的例题现在，让我们通过具体的例题来演示倍长中线法对全等三角形的构造过程。
例题1：已知△ABC中，AB = 6cm, AC = 4cm，以AC为底边做三角形ACD，且AD = 6cm，BD = 4cm，连接BC并延长到E，使得CE = AB。
连接DE并延长到F，使得DF = AB。
证明△ADF≌△ABC。
解题步骤：1. 延长BC和DE我们根据题目要求，延长BC和DE，使得CE = AB，DF = AB。
2. 连接CD接下来，连接CD，得到三角形ACD。
3. 寻找AD和DB的中点我们在AD和DB上分别寻找其中点，分别记为G和H。
4. 连接GH连接GH，得到新的中线GH。
5. 观察三角形ADF和三角形ABC我们可以观察到，三角形ADF和三角形ABC中，AD = AB，DG = BH。
全等三角形倍长中线知识点
全等三角形倍长中线知识点全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它涉及到三角形的一条特殊线段。
在本文中，我们将介绍什么是全等三角形倍长中线以及它的性质和应用。
全等三角形指的是具有相同边长和角度的两个三角形。
当两个三角形全等时，它们的对应边和对应角都相等。
倍长中线是指通过三角形的两个顶点和中点构造的线段。
具体来说，对于三角形ABC，倍长中线是通过顶点A和边BC的中点D构造的线段AD。
我们来看倍长中线的性质。
根据全等三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 在全等三角形中，倍长中线的长度相等。
也就是说，如果三角形ABC和三角形A'B'C'全等，那么线段AD的长度等于线段A'D'的长度。
2. 倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
具体来说，三角形ABC可以分成三角形ABD和三角形ACD，而且它们的面积相等。
接下来，我们来探讨倍长中线的应用。
倍长中线在解决几何问题时有着广泛的应用，特别是在证明全等三角形的过程中往往会用到倍长中线的性质。
以下是一些常见的应用场景：1. 证明两个三角形全等。
当我们需要证明两个三角形全等时，可以利用倍长中线的性质来进行推导。
通过比较倍长中线的长度和其他边长或角度的关系，可以判断出两个三角形是否全等。
2. 求解三角形的面积。
由于倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形，我们可以利用这个性质来求解三角形的面积。
通过计算倍长中线的长度和底边的长度，再利用面积公式，可以得到三角形的面积。
3. 寻找三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征点，它是三条三角形的中线的交点。
在全等三角形中，倍长中线和其他两条中线交于同一点，即重心。
因此，通过倍长中线可以确定三角形的重心。
总结起来，全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它在解决几何问题时有着广泛的应用。
通过研究倍长中线的性质，我们可以判断两个三角形是否全等，求解三角形的面积，以及确定三角形的重心。
三角形全等专题倍长中线法
全等三角形根本剖断前提：1.三边对应相等(SSS).2.双方夹角对应相等(SAS).3.两角夹边对应相等(ASA).4.两角对边对应相等(AAS).5.直角三角形全等前提：①斜边及一向角边对应相等（HL）;②一向角边及一锐角对应相等（ASA）或斜边及一锐角对应相等（AAS）;③两直角边对应相等 (SAS).★留意：直角三角形全等,除边边边（SSS）,边角边（SAS）,角边角（ASA）,角角边（AAS）对应相等外,还有直角边及斜边（HL）.一向角边及一锐角（ASA).斜边及一锐角（AAS）.两直角边（SS）等对应相等.除以上根本剖断外,全等三角形别的剖断前提：1.三条中线对应相等,两个三角形全等.2.三条高线对应相等,两个三角形全等.3.三条角等分线对应相等,两个三角形全等.4.两个角及第三个角的角等分线对应相等,两个三角形全等.5.两条边及第三条边上的中线对应相等,两个三角形全等.6.钝角三角形中,一钝角和其一邻边对应相等,钝角所对的较大边也相等,两个三角形全等.或双方及个中一边的对角(钝角)对应相等,两个三角形全等.（SSA）7.等腰三角形中,底边和顶角分离对应相等,两个等腰三角形全等.8.等腰直角三角形中,周长相等,两个等腰直角三角形全等.（因为等腰直角三角形三边之比为1：1：√2,故周长相等时,等腰直角三角形的对应角相等,对应边相等,故全等）.9.等边三角形中,有一边对应相等,两个三角形全等.★特殊提醒：在三角形全等的剖断中,必定有边相等,必定没有AAA 和SSA（除非此角为钝角）,这两种情形都不克不及独一肯定三角形的外形.三角形全等的性质：1.全等三角形的对应角相等.4. 全等三角形的对应边上的中线相等.角等分线相等.3.全等三角形面积周长相等.6.全等三角形的对应边上的高对应相等.等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写“等边对等角”）.2.等腰三角形的顶角等分线,底边上的中线,底边上的高重合（简写“等腰三角形的三线合一性质”）.3.等腰三角形的两底角等分线相等（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）.4.等腰三角形底边上的垂直等分线到两条腰的距离相等.5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.6.等腰三角形底边上随意率性一点到两腰距离之和等于一腰上的高（等面积法证实）.7.等腰三角形是轴对称图形（不是等边三角形的情形下）,只有一条对称轴,顶角等分线地点的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴.8.等腰三角形的腰大于高.等腰三角形的腰的平方等于高的平方加底的一半的平方.初中三角形全等专题倍长中线法倍长中线法的界说：延伸中线,使所延伸部分与中线相等,然后往往须要衔接响应的极点,则对应角对应边都对应相等.经常应用于结构全等三角形.中线倍长法多用于结构全等三角形和证实边之间的关系以便利求个中一边的规模值.1.如图,在△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值规模是( )A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19 答案：C解题思绪：延伸AD至E,使DE=AD,衔接CE,可先证实△ABD≌△E CD,则AB=CE,在△ACE中,依据三角形的三边关系,得AE-AC＜CE＜AE+AC,即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.2.如图,已知CB.CD分离是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论：①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB等分∠DCE,则以上结论准确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④答案：A解题思绪：①准确,延伸CD至点F,使得DF=CD,衔接AF,可先证实△ADF≌△BDC,再证实△ACF≌△BEC,由这两个三角形全等可以得知②.④准确.由△ACF≌△BEC,得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE,则需∠E＝∠BCE,则需BC=BE,显然不成立,故③选项错误3.如图,点E是BC的中点,∠BAE=∠CDE,延伸DE到点F使得EF=DE,衔接BF,则下列说法准确的是（）①BF∥CD②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④答案：A解题思绪：可以先证实△BEF≌△CED,可以得到②准确,进而得到∠F=∠D,BF∥CD,①准确,又∵∠BAE=∠CDE=∠F,∴AB=BF,③准确.④不准确.4.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G.F分离为AD,BC边上的点,若AG=1,BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为（）A.1B.2C.3D.4 答案：C解题思绪：延伸FE交DA的延伸线于点M,则可证△AEM≌△BEF,再证实△GEM≌△GEF,可以得到GF=GM=GA+BF=3,答案选C5.如图,在△ABC中,点D.E为边BC的三等分点,则下列说法准确的有（）①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：D解题思绪：点D.E为边BC的三等分点,∴BD=DE=CE延伸AD至点M,AE 至点N,使得DM=AD,EN=AE,衔接,则可证实△ABD≌△MED,进而可得AB+AE＞2AD,再证实△ADE≌△NCE,进而可得AD+AC＞2AE,将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均准确.6.下列命题：①有两个角和第三个角的等分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．个中准确的是（）解答：解：①准确．可以用AAS或者ASA 剖断两个三角形全等;②准确．可以用“倍长中线法”,用SAS定理,断定两个三角形全等;如图,分离延伸AD.A′D′到E.E′,使得AD=DE,A′D′=D′E′,∴△ADC≌△EDB,∴BE=AC,同理：B′E′=A′C′,∴BE=B′E′,AE=A′E′,∴△ABE≌△A′B′E′,∴∠BAE=∠B′A′E′,∠E=∠E′,∴∠CAD=∠C′A′D′,∴∠BAC =∠B′A′C′,∴△BAC≌△B′A′C′．③不准确.因为这个高可能在三角形的内部,也有可能在三角形的外部,也就是说,这两个三角形可能一个是锐角三角形,一个是钝角三角形,所以就不全等了.点评：本题考核了全等三角形的剖断办法;要依据选项供给的已知前提逐个剖析,剖析时看是否相符全等三角形的剖断办法,留意SSA 是不克不及判得三角形全等的.。
北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升专题六 倍长中线构造全等三角形(含答案)
北师大版数学七升八暑假作业专题复习提升-专题六倍长中线构造全等三角形中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造.类型倍长中线构造全等三角形1. 在△ABC中，AB=7，AC=3，则BC边的中线AD的取值范围是.2. 在△ABC中，AB=10，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45∘，AD，BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F.下列结论：①∠FCD=45∘；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则△FDC的周长等于AB的长.正确结论的序号是.4.如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC).（1）求证：AB−AC<2AD<AB+AC；（2）若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围.5. 如图，已知AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E.若BE=6，求点C到AD的距离.6.某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题：【探究】如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，点D是BC的中点，试探究BC 边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程.（1）求证：△ADC≌△EDB.证明：∵延长AD到点E，使DE=AD,连接BE.在△ADC和△EDB中,AD=ED（已作）,∠ADC=∠EDB（）, CD=BD（中点定义）,∴△ADC≌△EDB（）.（2）探究得出AD的取值范围是.【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF.求证：∠BFD=∠CAD.7. 【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE,请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是.A. SSSB. SASC. AAS（2）求得AD的取值范围是.A. 6<AD<8B. 6≤AD≤8C. 1<AD<7D. 1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF.试说明AC=BF.（1）【方法学习】数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法（如图2）.①延长AD到点M，使得DM=AD；②连接BM，通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB−BM<AM<AB+BM，从而得到AD的取值范围是.【方法总结】上述方法我们称为“倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系.（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以说明.（3）【深入思考】如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE =∠CAF=90∘，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以说明.答案专题六倍长中线构造全等三角形类型倍长中线构造全等三角形1．2<AD<52．2<AD<83．①③④4．（1）证明：如图,延长AD至点E，使AD=DE，连接BE.在△ACD 和△EBD 中，{DC =BD ,∠ADC =∠BDE ,AD =DE ,∴△ACD≌△EBD (SAS)，∴AC =BE （全等三角形的对应边相等）.在△ABE 中，由三角形的三边关系可得AB−BE <AE <AB +BE ，即AB−AC <2AD <AB +AC .（2） 解：∵AB =8cm ，AC =5cm ，∴8−5<2AD <8+5，∴32<AD <132.5．解：如图，过点C 作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F .∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD ,∴∠BED =∠CFD .∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD .在△BED 和△CFD 中，{∠BED =∠CFD ,∠BDE =∠CDF ,BD =CD ,∴△BED≌△CFD (AAS),∴BE =CF .∵BE =6,∴CF =6,∴ 点C 到AD 的距离为6.（1） 对顶角相等； SAS（2） 1<AD <7（3） 证明：如图，延长AD 到点H ，使DH =AD ,连接BH .由（1）得△ADC≌△HDB,∴BH=AC,∠BHD=∠CAD.∵AC=BF,∴BH=BF,∴∠BFD=∠BHD,∴∠BFD=∠CAD.（1）B（2）C（3）解：如图，延长AD到点M，使AD=DM，连接BM.∵AD是△ABC的中线，∴CD=BD.∵在△ADC和△MDB中,{DC=DB,∠ADC=∠MDB,DA=DM,∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC,∠CAD=∠M.∵AE=EF,∴∠CAD=∠AFE.∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠M,∴BF=BM=AC,即AC=BF.（1）1<AD<7（2）解：AC//BM,且AC=BM.理由:由（1）知,△MDB≌△ADC,∴∠M=∠CAD,AC=BM,∴AC//BM.（3）EF=2AD.理由：如图，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.由（1）知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC.∵AC=AF,∴BM=AF.由（2）知:AC//BM，∴∠BAC+∠ABM=180∘.∵∠BAE=∠FAC=90∘，∴∠BAC+∠EAF=180∘,∴∠ABM=∠EAF.在△ABM和△EAF中，{AB=EA,∠ABM=∠EAF,BM=AF,∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF.∵AD=DM,∴AM=2AD.∵AM=EF,∴EF=2AD.。
初中数学模型1-倍长中线模型构造全等三角形
• ∴△EFD≌ △HFD（AAS） • ∴EF=FH • 在△BDE和△CDH中，
• DE=DH • ∠1=∠2
• BD=DC • ∴△BDE≌△CDH（SAS） • ∴BE=CH • 在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞
FH • ∵CH=BE,FH=EH • ∴BE&#Ｄ
• 解析： • 延长AM到D，使MD=AM,连CD • ∵AM是BC边上的中线， • ∴BM=CM • 又AM=DM,∠AMB=∠CMD • ∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD • 在△ACD中，则AD＜ AC+CD • 即2AM＜AC+AB • 即结论成立。
例3
• 如图，在△AB C中，AD交BC于点D，点E是BC 的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于 点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.
倍长中线模型构造全等三角形
专题说明
• 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中 线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应 角对应边都对应相等。常用于 构造全 等三角形。 中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间 的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原 题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时 候）。
知识总结
• 题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线 段），或中点，通常考虑倍长中线或 类中线，构 造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全 等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题 的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
A
A
B
C
D
B
C
D
E
在△ABC中 AD是BC边中线; 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE;
• BD=DE, • ∠ADB=∠CDE
八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题
倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过D 作DG//AC例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠BABFDEC例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE自检自测：1、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论.E D ABF EAB C3、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+4、已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.第 14 题图DF CBEADABCMTE。
倍长中线模型,构造全等证明线段或角之间的关系
倍长中线模型，全等三角形搭桥，难题分析讲解三角形是初中数学里最基本的几何图形，而其边上，又是很常见的条件。
当涉及三角形问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法，实现角和线段的转化，以此来作辅助线解题。
好处是通过此法构造全等三角形继而得到平行，也可以证明三角形全等，可将分散的条件集中在一个三角形内解题，常常出奇制胜，化腐朽为神奇。
且看模型，和模型产生的基本结论.倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（其中有对顶角相等）例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。
分析：延长AD 至E ，使ED=AD ，连接BE ，见模型1，可证△ABD 与△ECD 全等，把AB 边转移到EC 上了，再看△AEC ，用第三边大于两边之差小于两边之和可解。
【归纳总结】1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF延长ED 至G ，使GD=ED ，利用SAS 可证△BED与△CGD 全等，把BE 转移到GC 上，∠G=∠1，由已知BE=AC ，得到GC=AC ，由等腰三角形性质可知∠G=∠3，通过∠G 传递，得到∠2=∠3，得证AF=EF例3：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DE=AC ，求证：AE 平分∠BAC证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．在△DEF 和△CEG 中，∵ ，∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ．∵DF=AC ，∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ．∴∠BAE=∠CAE ．即AE 平分∠BAC⎪⎩⎪⎨⎧==FG FE CEG ＝∠DEF ∠EC ED例4：如图；在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE证明：延长CE至F，使EF＝CE，则CF＝2CE易证△ACE≌△BFE，∴AC＝BF＝AB＝BD，∠ABF＝∠BAC∴∠DBC＝∠ACB+∠BAC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CD＝CF＝2CE【融会贯通】1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题
八年级数学全等三角形--倍长中线法经典例题中线是三角形中的重要线段之一。
为了解决几何问题，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
倍长中线法的过程是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题。
倍长中线最重要的一点是延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
常用的辅助线添加方法有两种：一是将中线延长到某一点，使其等于另一条边，然后连接这两个点构造全等三角形；二是通过作垂线和延长线来间接倍长中线。
例1：在△ABC中，已知AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围。
例2：在△ABC中，已知AB=AC，D在AB上，E在AC 的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证BD=CE。
例3：在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证AF=EF。
例4：在△ABC中，已知AB≠AC，D、E在BC上，且DE=EC。
过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC。
求证AE平分∠BAC。
例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证∠C=∠BAE。
自检自测：1、在△ABC中，已知BD=DC=AC，E是DC的中点，求证AD平分∠BAE。
2、在四边形ABCD中，已知AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论。
3、在△ABC中，已知AD为中线，DE平分∠BDA交AB于E，DF平分∠ADC交AC于F。
求证BE+CF>EF。
4、在直角△ABC中，已知CM⊥XXX于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，XXX于E。
求证CT=BE。
中考数学总复习《倍长中线构造全等三角形》专题(含答案)
倍长中线构造全等三角形一 、选择题1.如图，已知D 为ABC △边BC 的中点，DE DF ⊥，则BE CF +（ ）A ．大于EFB ．小于EFC ．等于EFD ．与EF 的大小关系无法确定二 、填空题2.已知，如图ABC △中，5AB =，3AC =，则中线AD 的取值范围是_________.三 、解答题3.如图，AB AC =，90A AE CF BD DC =︒==∠，，.求证：FD ED ⊥4.如图，AB CD =，E 为BC 的中点，BAC BCA ∠=∠，求证：2AD AE =5.如图，中，BD DC AC ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠.D EF CB AD CB AFEC B AF E D CB A D EC B A6.如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、CD ，求证2CD EC =．7.如图，ABC △中，E F 、分别在AB AC 、上，DE DF ⊥，D 是中点，试比较BE CF+与EF 的大小.8.如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．9.如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．E D CBF ED CB AG FEDC B AM ED C B A10.如图，中，90C AC BC ∠=︒=，，AD DB =，AE CF =。
求证：DE DF =.11.如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB12.如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC于F ，AF EF =，求证：AC BE =．GE D CB A F E D CB AF EDC B A F ED CB AF ED C B A倍长中线构造全等三角形答案解析一 、选择题1.A;延长FD 到G ，使得DG FD =，连接EG BG ， 易证CDF BDG ≌△△，∴CF BG =又∵ED FG DG DF ⊥=，，∴EG EF =，即EGF △是等腰三角形 在BEG △中，BE BG EG +>，∴BE CF EF +>，故选A ．二 、填空题2.28AD <<【解析】延长AD 至E 使AD DE =，连接BE .利用三角形三边关系三 、解答题3.连接AD ，45EAD FCD ︒∠=∠=，易证AED CFD ≌△△，所以ED FD =，再证BDE ADF ≌△△，BDE ADF ∠=∠，得证 4.倍长AE 至G 连BG 易证BEG CEA ≌△△得出相对应的角与边相等再证ABG DCA ≌△△,AD AG =即2AD AE =G ABCF E D E D CB A5.倍长AE 至G 连DG 所以DEG CEA ≌△△，显然BD DG BDA GDA =∠，≌所以ABD AGD ≌△，即AD 平分BAE ∠6.解法一：如图所示，延长CE 到F ，使EF CE =．容易证明EBF EAC ∆∆≌，从而BF AC =，而AC AB BD ==，故BF BD =． 注意到CBD BAC ACB BAC ABC ∠=∠+∠=∠+∠，CBF ABC FBA ABC CAB ∠=∠+∠=∠+∠，故CBF CBD ∠=∠，而BC 公用，故CBF CBD ∆∆≌，因此2CD CF CE ==．解法二：如图所示，取CD 的中点G ，连接BG ．因为G 是CD 的中点，B 是AD 的中点，故BG 是DAC ∆的中位线，从而1122BG AC AB BE ===， 由BG AC ∥可得GBC ACB ABC EBC ∠=∠=∠=∠，故BCE BCG ∆∆≌， 从而EC GC =，2CD CE =．7.延长FD 至G 使DG DF =，所以有GED FED ≌△△和BDG CDF ≌△△，所以CF BG GE EF ==，。
倍长中线构造三角形全等
【教学目标】1.理解并记忆全等三角形的判定及性质。
2. 能利用倍长中线法证明三角形全等。
【教学重点】1.记忆全等三角形的判定及性质。
2. 利用倍长中线法证明三角形全等。
【教学难点】1.记忆全等三角形的判定及性质。
2. 利用倍长中线法证明三角形全等。
【教学内容】一、基础知识梳理（一）、基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上例题讲解：倍长中线法知识网络详解：中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC中方式1：延长AD到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长作CF⊥AD于F，延长MD到N，作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，连接BE 连接CN经典例题讲解：例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE过手练习：1．已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF2．已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠课堂检测：1．已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAEB第 1 题图ABFDEC2、如图，△ ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE.课后作业：1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
全等三角形中“倍长中线”模型
第13讲 全等三角形中“倍长中线”模型（（核心考点讲与练）【基础知识】三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC 中 AD 是BC 边中线延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE作CF ⊥AD 于F ， 作BE ⊥AD 的延长线于E连接BE延长MD 到N ， 使DN=MD ，连接CD【考点剖析】1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDADE DA =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （SAS ）∴A C =BE ，∠E =∠2∵AD 平分∠BACCD B A21ECD B A∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交A D 的延长线于点E∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDABD CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （AAS ）∴BE =AC∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC2、如图1，已知ABC D 中，AD 是BC 边上的中线．21ECD B A求证：2AB AC AD +>．证明：如图2，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是BC 边上的中线∴BD CD=在BDE D 和CDA D 中BD CD BDE CDADE DA =ìïÐ=Ðíï=î∴BDE CDA D D ≌∴BE CA=在ABE D 中，AB BE AE+>∴2AB AC AD +>．3.如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．（1）按要求作图：延长AD 到点E ，使DE =AD ；连接BE ．（2）求证：△ACD ≌△EBD ．（3）求证：AB +AC >2AD ．（4）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．解：（1）如图，D CBA（2）证明：如图，∵AD 为BC 边上的中线∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDE ≌△CDA （SAS ）（3）证明：如图，∵△BDE ≌△CDA∴BE =AC∵DE =AD∴AE =2 AD在△ABE 中，AB +BE >AE∴AB +AC >2AD（4）在△ABE 中，AB -BE <AE <AB +BE由（3）得 AE =2AD ，BE =AC∵AC =3，AB =5∴5-3<AE <5+3∴2<2AD <8∴1<AD <44.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．21EB CD A证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC 和△EDB 中CD BD ADC EDBAD ED =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△EDB （SAS ）∴AC =EB ，∠2=∠E∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC5.如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．证明：如图，延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BFD CB A21ED CB AE D CB A∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中BD AD ADC BDFDF DC =ìïÐ=Ðíï=î∴△BDF ≌△ADC （SAS ）∴BF =AC ，∠1=∠F∵CB 是△AEC 的中线∴BE =AB∵AC =AB∴BE =BF∵∠1=∠F∴BF ∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°又∵AC =AB∴∠1+∠2=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠4=∠5+∠6即∠CBE =∠CBF在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBFBE BF =ìïÐ=Ðíï=î∴△CBE ≌△CBF （SAS ）∴CE =CF ，∠2=∠3∴CE =2CDCB 平分∠DCE6.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDBAD MD =ìïÐ=Ðíï=î∴△ADC ≌△MDB （SAS ）∴∠1=∠M ，AC =MB∵BE =AC∴BE =MB∴∠M =∠3∴∠1=∠3∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF =∠EAF7.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．FED CB A321MAB CD EF求证：AD 为△ABC 的角平分线．证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEMCE BE =ìïÐ=Ðíï=î∴△CFE ≌△BME （SAS ）∴CF =BM ，∠F =∠M∵BG =CF∴BG =BM∴∠1=∠M∴∠1=∠F∵AD ∥EF∴∠3=∠F ，∠1=∠2∴∠2=∠3即AD 为△ABC 的角平分线GFE D CB A321MAB CD E FG【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•沈丘县期中）已知△ABC中AD为中线，且AB＝5、AC＝7，则AD的取值范围为（ ）A．2＜AD＜12B．5＜AD＜7C．1＜AD＜6D．2＜AD＜10【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案．【解答】解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接EC，在△ADB和△EDC中∴△ADB≌△EDC（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝5，AC＝7，∴CE＝5，设AD＝x，则AE＝2x，∴7﹣5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6，故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定和性质的应用，注意：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．2．（2021秋•新城区校级期中）已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则中线AD的取值范围是（ ）A．2＜AD＜10B．4＜AD＜20C．1＜AD＜4D．以上都不对【分析】延长AD至点E，使AD＝DE，得出△ACD≌△EBD，进而在△ABE中利用三角形三边关系求解．【解答】解：如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的边BC上的中线，∴BD＝CD，又∠ADC＝∠BDE，AD＝DE∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜AE＜AB+AC，12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∴2＜AD＜10．故选：A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．（2020秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜16【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理：8﹣5＜AE＜8+5，∴1.5＜AD＜6.5，故选：B．【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，倍长中线等知识点的理解和掌握，能推出8﹣5＜2AD＜8+5是解此题的关键．4．（2020秋•江岸区校级月考）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是（ ）A．1＜AD＜5B．4＜AD＜6C．2＜AD＜10D．3＜AD＜6【分析】延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．【解答】解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．5．（2021秋•肥西县期末）一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（ ）A．x＞5B．x＜7C．4＜x＜14D．2＜x＜7【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，利用SAS证明ADC≌△EDB，得BE＝AC＝9，由AD＝x，得AE＝2x，在△ABE中利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：如图，AB＝5，AC＝9，AD为BC边的中线，延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，CE，∵AD＝x，∴AE＝2x，在△BDE与△CDA中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝9，在△ABE中，AB+BE＞AE，BE﹣AB＜AE，即5+9＞2x，9﹣5＜2x，∴2＜x＜7，故选：D．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．6．（2020秋•平舆县期中）如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）A．2＜AD＜8B．1＜AD＜4C．2＜AD＜5D．4≤AD≤8【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，先证△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【解答】解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝5，在△ACE中，由三角形的三边关系得：CE﹣AC＜AE＜CE+AC，∴5﹣3＜AE＜5+3，即2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4，故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质等知识；遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．二．填空题（共5小题）7．（2021秋•九台区期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 1＜AD＜5 ．【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得出AC＝BE，再根据三角形的三边关系得到结论．【解答】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∵AB＝6，AC＝4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故答案为：1＜AD＜5．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，理解倍长中线法，证明△BDE≌△CDA是解题的关键．8．（2021秋•东莞市期中）在△ABC中，已知AB＝3，AC＝5，AD是BC边上的中线，则AD取值范围是 1＜AD＜4 ．【分析】如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解．【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD，∴CE＝AB，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，而AB＝3，AC＝5，∴5﹣3＜AE＜5+3，∴2＜2AD＜8，即1＜AD＜4．【点评】此题既考查了全等三角形的性质与判定，也考查了三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．9．（2020秋•荣昌区校级期中）在△ABC中，AB＝6，AC＝2，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是 2＜AD＜4 ．【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系即可求解．【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即4＜2AD＜8，2＜AD＜4．故答案为：2＜AD＜4．【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一．10．（2021秋•木兰县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM ＝CM，F是BC的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝ 36° ．【分析】先证明△AMC≌△BMD，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．【解答】解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，在△BMD和△AMC中，，∴△BMD≌△AMC（SAS），延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，，∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF，∴∠E＝36°．故答案为：36°．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉“倍长中线”模型添加辅助线，构造全等三角形．11．（2021秋•淅川县期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝6，AC＝4，则中线AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．【分析】如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，可证得△BDE≌△CDA（SAS），再运用三角形三边关系即可求得答案．【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．解题关键是通过倍延中线构造全等三角形．三．解答题（共5小题）12．（2021秋•南充期末）如图，AD是△ABC的中线，F为AD上一点，E为AD延长线上一点，且DF＝DE．求证：BE∥CF．【分析】证明△BDE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠BED＝∠CFD，由平行线的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠BED＝∠CFD，∴BE∥CF．【点评】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，证明△BDE≌△CDF是解题的关键．13．（2020秋•津南区期末）（1）如图1，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，AD平分∠BAC．求证：AD＝AC；（2）如图2，在△ABC中，点E在BC边上，中线BD与AE相交于点P，AP＝BC．求证：PE＝BE．【分析】（1）求∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∠BAD BAC＝20°，再求∠ADC＝∠B+∠BAD ＝60°+20°＝80°，得∠C＝∠ADC，即可证明；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，先证明△ADF≌△CDB，得AF＝BC，得AP＝AF，证出∠APF＝∠F，再得∠BPE＝∠PBE，即可证明．【解答】证明：（1）在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD BAC＝20°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°，∵∠C＝80°，∴∠C＝∠ADC，∴AD＝AC；（2）过点A作AF∥BC交BD的延长线于点F，∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C，∵AD＝CD，∴△ADF≌△CDB（AAS），∴AF＝BC，∵AP＝BC，∴AP＝AF，∴∠APF＝∠F，∵∠APF＝∠BPE，∠F＝∠DBC，∴∠BPE＝∠PBE，∴PE＝BE．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，解题关键是利用倍长中线构造全等三角形．14．（2020秋•田家庵区期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是 1＜AD＜5 ；（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF．【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE＝AB＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE ＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】（1）解：如图1中，∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为1＜AD＜5．（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵FD⊥EH．DE＝DH，∴EF＝FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH＝BE，FH＝EF，∴BE+CF＞EF．【点评】本题属于综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于常考题型．15．（2020秋•饶平县校级期中）（1）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6则AD的取值范围是 C A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7（2）在（1）问的启发下，解决下列问题：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF，求证：AC＝BF．【分析】（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，易证明△ADC≌△BDM，得到BM＝AC；在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，即可得出AD的范围；（2）利用（1）中△ADC≌△BDM，得出∠M＝∠CAD，BM＝AC，进而得出∠BMF＝∠BFM即可得出答案．【解答】解：（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，∵AD＝DM，BD＝CD，∠ADC＝∠MDB，∴△ADC≌△BDM，∴BM＝AC，在△ABM中，根据三角形三边关系定理，得2＜AM＜14，即2＜2AD＜14，所以AD的范围是1＜AD＜7．故选：C．（2）∵△ADC≌△MDB，∴∠M＝∠CAD，BM＝AC，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠MFB＝∠AFE，∴∠BMF＝∠BFM，∴BM＝BF，∴AC＝BF．【点评】此题考查了三角形全等的判定方法；注意此题中的辅助线的作法．能够根据全等三角形的性质，把要求的线段和已知的线段转换到一该三角形，根据三角形的三边关系进行求解．16．（2020秋•岫岩县期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CED，得出BF＝CD，∠F＝∠CDE，再判断出AB＝BF，即可得出结论；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，先判断出BE＝CE，进而判断出△BEF≌△CEG，得出BF＝CG，再判断出△BAF≌△CDG，即可得出结论；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，先判断出BE＝CE，进而判断出△BAE≌△CME（AAS），得出CM＝AB，∠BAE＝∠M，即可得出结论．【解答】证明：（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CME（AAS），∴CM＝AB，∠BAE＝∠M，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠M＝∠EDC，∴CM＝CD，∴AB＝CD．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．。
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解2---倍长中线模型构造全等三角形
中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解专题02 倍长中线模型构造全等三角形【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【知识总结】题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC中 AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E 连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD1、如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。
解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,∵D为AC中点∴AD=DC,在△ABD和△CED中，BD=DE,∠ADB=∠CDEAD=CD∴△ABD≌△CED（SAS）∴EC=AB=10在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC10-6＜BE＜10+6∴4＜2BD＜16∴2＜BD＜82、已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜1(AB+AC)2解析：延长AM到D，使MD=AM,连CD∵AM是BC边上的中线，∴BM=CM又AM=DM,∠AMB=∠CMD∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD在△ACD中，则AD＜AC+CD即2AM＜AC+AB∴AM＜1(AB+AC)23、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD 交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.解析：延长FE,截取EH=EG,连接CH可证得：△BEG≌△CEH（SAS）∴∠BGE=∠H,BG=CH∵CF=BG,∴CH=CF,∴∠F=∠H=∠FGA∵EF∥AD∴∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA∴∠CAD=∠BAD∴AD平分∠BAC.4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC 于点E、F，求证：BE+CF＞EF.解析：延长ED 到H ,使DE =DH ,连接CH ,FH ,∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =DC∵DE 、DF 分别为∠ADB 和∠ADC 的平分线∴∠1=∠4=12∠ADB ,∠3=∠5=12∠ADC又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2 ∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°∴△EFD ≌△HFD （AAS ）∴EF =FH在△BDE 和△CDH 中，DE =DH∠1=∠2BD =DC∴△BDE≌△CDH（SAS）∴BE=CH在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH∵CH=BE,FH=EH∴BE+CF＞EF.5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？解析：连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G在△DFC和△BDG中，∠DFC=∠G∠FCD=∠DBGBD=CD∴△DFC≌△BDG(AAS)∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB又∵ED⊥FD,∴EF=EG∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°∴△EBG为直角三角形∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形.。
倍长中线法构造全等三角形
倍长中线法构造全等三角形
倍长中线法是一种构造全等三角形的方法。
下面通过具体步骤来描述该方法：
1. 给定一个三角形ABC，我们要构造一个与之全等的三角形。
2. 首先，通过点A和BC的中点D，画一条直线DE，使DE的长度等于BC的两倍。
3. 然后，以E为中心，以DE的长度为半径，画一个圆。
将圆与线段AB交于点F和点G。
4. 接着，以点F为中心，以AF的长度为半径，画一个圆。
将圆与线段AB交于点H。
5. 再以点G为中心，以AG的长度为半径，画一个圆。
将圆与线段AB交于点I。
6. 最后，连接点H、A、I，得到一条新的线段HAI。
这条线段就是与原三角形ABC全等的三角形。
通过倍长中线法，我们可以利用已知三角形的中线构造全等的三角形。
这种方法简单易行，可以帮助我们解决一些几何问题。
倍长中线定理
倍长中线
倍长中线的意思是：延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角一般用“SAS”证明对应边之间的关系。
（在一定范围中）
“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
专题二 倍长中线或类中线构造全等三角形(知识精讲) 2020年中考数冲刺几何题型 专项突破
2020年中考数冲刺几何题型专项突破专题二倍长中线或类中线构造全等三角形【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【知识总结】遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD 到N ， 使DN=MD ，连接CD【精典例题】1、如图，已知在△ABC 中，D 为AC 中点，连接BD .若AB =10cm ,BC =6cm ,求中线BD 的取值范围。
(AB+AC) 2、已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜12G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.4、在Rt△ABC中，△A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED△FD,以线段BE,EF,FC 为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？△FCD=△DBGBD=CD△△DFC△△BDG(AAS)△FC=BG,DG=DF,△DBG=△ACB又△ED△FD,△EF=EG△△ABC+△ACB=90°，△△ABG=△ABC+△DBG=△ABC+△ACB=90°△△EBG为直角三角形△BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形.。
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倍长中线构造全等三角
形
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
巧添辅助线——倍长中线
【夯实基础】
例：ABC
∆中，AD是BAC
∠的平分线，且BD=CD，求证AB=AC
方法1：作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，证明二次全等方法2：辅助线同上，利用面积
方法3：倍长中线AD
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC中
AD到E，
AD是BC边中线，
连接BE
方式2
⊥AD于F，
AD的延长线于
连接
【经典例题】
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG
方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC
证明ΔBDG≌ΔECH
2
3
例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交
AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形
例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.
求证：AE 平分BAC ∠
提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG
方法2：倍长FE 至H ，连结CH
例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）
进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ）
【融会贯通】
1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论
提示：延长AE 、DF 交于G
证明AB=GC 、AF=GF 所以AB=AF+FC
B 第 1 题图 A B F D E
C
4
2、如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+
提示：
方法1：在DA 上截取DG=BD ，连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG
利用三角形两边之和大于第三边
方法2：倍长ED 至H ，连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE
利用三角形两边之和大于第三边
3、已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE
提示：过T 作TN ⊥AB 于N
证明ΔBTN ≌ΔECD
第 14 题图
D F
C
B E
A
D A B C
M T E。