3勾股定理的应用2

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18.9_勾股定理的应用(2)

资源信息表18.9（2）勾股定理的应用上海市尚文中学许敏教学目标能用勾股定理解决基本的有关证明和计算问题；通过实际问题的解决增强数学的学习兴趣. 教学重点及难点勾股定理的灵活应用教学用具准备多媒体、黑板、粉笔、学生准备课堂练习本教学流程设计教学过程设计一、引入新课生活中勾股定理的应用随处可见：（学生可自由发言）篮球架，老房的房梁，电视机的英寸计数……二、新课讲授例2 ：机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间.①一位旅客携带一件长65cm 的画卷，这件画卷能平放入行李架吗？解：∵四边形ABCD 是长方形（已知） ∴∠B=90 °（长方形的四个角都是直角） ∴在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2(勾股定理）443236562222=+=+=BC AB AC )(6.66cm ≈ ∵65<66.6,∴长65cm 的画卷能平放入行李架. ②若这件画卷长67cm ，能放入行李架吗？AG =22CG AC +=222CG BC AB ++=222233656++≈70.4﹥67∴长67cm 的画卷能放入行李架.（但平放不行）【说明】这个例题课本上没有讲清，所以略微作一点修改：平放.这个题选取的素材很好，正好可以挖掘用两次勾股定理，故加入第二问.36 5623AEBD FH 36 5623AEBD FH例3：《九章算术》专设勾股章来研究勾股问题，共24个问题．按性质可分为三组，其中第一组的14个问题可以直接利用勾股定理来解决．很多是具有历史地位的世界著名算题．《九章算术》勾股章第6题 :引葭(ji ā)赴岸：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”学生：现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺.若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上.请求出水深与芦苇的长各有多少尺？（解题过程见教材）三、体会练习校园里有一块三角形空地，现准备在这块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出它的三边长分别是13、14、15米，若这种草皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至少需要支出多少？15 1314ABCDx14-x AB解：设CD=x 米，则BD=（14-x ）米 152-（14-x ）2=132-x 2 解得：x=5 ∴AD=12总价格=21×14×12×120=10080（元）答：购买这种草皮至少需要支出10080元.【说明】增加一个练习题，联系生活又能很好体现勾股定理.若设AD=x 米，则会产生无理方程，学生不会解，所以选择设CD=x 米.四、应用推广已知长度为（n 是大于１的整数）的线段，你能作出长度为的线段吗？五、课堂小结勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务.B 6B 3AB 1Cn 1 n。

数学人教版八年级下册勾股定理的应用(2)——作图

学习目标：1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。

2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。

3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。

学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段。

教学活动流程活动1：复习孕新，引入课题1.回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。

活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作辅助演示活动3：课件动画演示作图演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.活动4：动手实践，会“数形互变”以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.活动5：当堂检测教材第27页习题活动6：拓展应用，服务生活1.用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。

活动7：小结梳理数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模活动8：布置作业教学过程活动1：复习孕新，引入课题1.问题（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。

a=1 b=1 (c=)a=1 b= (c=)a=2 b=3 (c=)设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。

（3）如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。

设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。

2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。

活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。

活动3：课件动画演示作图1.对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。

2.“数学海螺”的作法活动4：动手实践，会“数形互变”1.在数轴上画出表示的点，的点呢？2.求点A在数轴上表示的点（1-）设计意图：以练习为画的思路导向，以活动3为类比模仿会作图也会求点，实现数形互变，以“数”化“形”，以“形”变“数”，渗透数形结合思想。

苏科版数学八年级上册《3.3 勾股定理的简单应用》教学设计2

苏科版数学八年级上册《3.3 勾股定理的简单应用》教学设计2一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三单元《勾股定理的简单应用》是学生在学习了勾股定理之后的一个应用部分。

这部分内容主要让学生通过实际问题，运用勾股定理解决生活中的问题，培养学生的数学应用能力。

教材通过丰富的例题和练习题，让学生在解决实际问题的过程中，加深对勾股定理的理解和记忆。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了勾股定理，对勾股定理的基本概念和运用有一定的了解。

但是，对于一些生活中的实际问题，如何运用勾股定理来解决，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股定理的基本概念，能够运用勾股定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：让学生能够运用勾股定理解决实际问题。

2.难点：如何引导学生将实际问题与勾股定理相结合，提高学生的数学应用能力。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生在解决问题的过程中，运用勾股定理，提高学生的数学应用能力。

同时，采用小组合作的学习方式，让学生在讨论和交流中，共同解决问题，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于课堂上引导学生解决。

2.准备PPT，用于展示问题和引导学生思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生的思考，引出本节课的主题。

例题：一块直角三角形的木板，两条直角边的长度分别是3分米和4分米，那么这块木板的最大面积是多少？2.呈现（10分钟）呈现PPT，展示问题，引导学生思考如何解决这个问题。

3.操练（10分钟）学生独立思考，尝试解决PPT上的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

勾股定理的应用2

在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件? A
（2）求AB的长
2 3
3
13
D 2 C
B 1
折叠三角形
例1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
A
6 6
D
第8题图
E
x
4
B
C x Ｄ 8-x
D E A G B C
例3：矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它对折，折痕为EF，展开后再沿 BG折叠，使A落在EF上的A1，求第二
次折痕BG的长。提示：先证明正三角形AA B
1
C A1 E
B
F
D
G
A
构造直角三角形
例1、在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的长.
变式2、已知：如图，△ABC中,AC=4,∠A=45°， ∠B=60°，求AB. C
y
B
C
A B
A
O
x
添辅助线
勾股定理的使用
E
变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26， BC=25，AC=17，求△ABC的面积.
A
B
D
C
方程思想：两个直角三角形中，如果有一条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
例2、已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°， AB=4，CD=2.求四边形ABCD的面积.
A
A E
D
A
F
D C
B
C
18.1勾股定理
——综合应用
复习：
（1）勾股定理的内容：
（2）勾股定理的应用： ①已知两边求第三边； ②已知一边和一锐角（30°、60°、45°的特殊角），求其余边长； ③已知一边和另外两边的角形中未知的边

八年级上预科四讲-勾股定理的应用二

15、如图所示，已知在 ABC 中，AB=AC， BAC= 90 ，D 是 BC 上任一点，求证：
BD 2 CD 2 2 AD 2 。
16、如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 8cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与
点 C？若能，(1) 求 BP+CP 的值（2）请你求出这时 AP 的长。
17．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a：b=3：4，c=20，
则 a=
，b=
．
18．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是△ABC 的角
平分线，若 BC=10，AD=12，则 AC=
．
19．如图，已知四边形 ABCD 中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，
4
底面的直径。一蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试
求出爬行的最短路程。
C
3)、如图，有一个圆柱体，底面周长为 20 ㎝，高 AB 为 10 ㎝，在
圆柱的下底面 A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到
它的顶端 C 点处，那么它所行走的路程是多少？
4)、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， AD 是杯底直径，C 是 A 杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点 A 处爬到杯子的内壁到达高 CD 的中点 E 处，最短该走多远呢？(杯子的厚度不计） 5)、为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，
（A）11
（B）10
（C）9
（D）8
5. 若三角形三边长为 a、b、c，且满足等式 (a b)2 c 2 2ab ，则此三角形是（）.

三角形中的勾股定理及其应用

三角形中的勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。

根据勾股定理，直角三角形中最长的边，即斜边的平方等于两个直角边平方的和。

这一定理被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，有助于解决直角三角形相关的问题和计算。

勾股定理的一种简单表述是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。

用数学符号表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b是两个直角边的长度。

勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍其中一些常见的应用。

1. 测量直角三角形的边长：当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算斜边的长度。

这对于工程测量和建筑设计等领域非常重要。

2. 判断三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形就是一个直角三角形。

通过这一定理，我们可以判断任意三条边的长度是否构成直角三角形。

3. 计算角度：勾股定理可以用来计算直角三角形中的角度。

根据a²+ b² = c²，我们可以通过三角函数的逆运算，如正弦、余弦和正切等，求得角度的数值。

4. 解决问题：勾股定理在解决实际问题中有着重要的应用。

例如，在导航和航海中，我们可以利用勾股定理计算两个位置之间的直线距离。

在炮弹轨迹的分析和设计中，勾股定理可以帮助预测炮弹的轨迹和距离。

通过深入理解和应用勾股定理，可以进一步拓展我们对三角形性质的认识，并解决更为复杂的问题。

例如，我们可以探索勾股定理在多边形中的应用，以及勾股定理的扩展形式，如海伦公式等。

除了勾股定理本身，我们还可以讨论一些与之相关的概念和定理，进一步加深对三角形的理解。

例如，我们可以介绍正弦定理和余弦定理，它们可以用来计算非直角三角形中的边长和角度。

总结起来，勾股定理作为数学中一项重要而实用的定理，不仅有助于理解和解决直角三角形相关的问题，还在物理学、工程学和导航等实际应用中发挥着重要作用。

冀教版初中八年级数学上册17-3勾股定理第二课时勾股定理的应用课件

A. 21 m
2
B.15 m
2
C.6 m
D.9 m
2
解析设绳索AC的长为x m,在Rt△ADC中,AD=AB-BD=AB -(DE-BE)=x-(4-1)=(x-3)m,DC=6 m,AC=x m,∵AD2+DC2=AC2,
∴x2=(x-3)2+62,解得x=15 ,∴绳索AC的长是15 m.故选B.
A.①②
B.①②③
C.①②③④
D.①
解析长方体如图,AD=20 cm,CD=50 cm,AE=40 cm.连接AC, CE.在直角△ACD中,由勾股定理知AC2=AD2+CD2=202+502.在直角△ACE中,CE2=AE2+AC2,所以CE2=402+202+502=4 500.因为 382=1 444<4 500,402=1 600<4 500,602=3 600<4 500,682=4 624> 4 500,所以这位旅客可以购买的尺寸是①②③.故选B.
2.(2024广西河池环江期末)如图,货车车高AC=4 m,卸货时后面挡板AB的A点折落在地面A1处,已知点A、B、C在一条直线上,AC⊥A1C,测量得A1C=2 m,则BC= 1.5 m .
解析由题意得AB=A1B,∠BCA1=90°, 设BC=x m,则AB=A1B=(4-x)m, 在Rt△A1BC中,A1C2+BC2=A1B2, 即22+x2=(4-x)2,解得x=1.5.故BC=1.5 m.
A.①号
B.②号
C.③号
D.均不能通过
解析因为 2=2 1,22 .2<5 , <2.55, <52.3,所以5 可以从这扇门通过的木板是①号木板.故选A.

17.1.3勾股定理应用2(数轴上表示无理数)

A
B
D
B
∴点C即为表示 13 的点
A
0
1
2

3 C 4
你能画出斜边为
的直角三角形吗？ 5
5
2
1
1、在数轴上表示 —
5
的点吗？
数学海螺图：
利用勾股定理作出长为
1,
2,
3,
4,
5 的线段.
17
1
1
2
3 4 5
6
2、在数轴上画出表示
的点 17 的点 20
3、在数轴上画出表示
小结：
•说说你的本节课的收获？
35154545232312312345探索规律在数轴上表示的数右边的数总比左边的351535115
17.1勾股定理（3）
---在数轴上画出无理数
勾股定理（gou-gu theorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：
a
c
∵Rt△ABC中，∠C=90°
b
∴ a b c
2 2
如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为 DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你 B 能求出CE的长吗？
D
10-x
A
E
6
x C
2.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8， BC=10，求折痕AE的长。Aຫໍສະໝຸດ D EBF
C
3.RtΔABC中,AB比BC多2,AC=6, 如图折叠,使C落到AB上的E处, 求CD的长度, C
C
B D A
3、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） G A

勾股定理的应用(二)

所以卡车能通过隧道.
书本P62复习题第4题
分析:DB=OD-OB,求BD,可以先求OD,必先求
OC,最先求出OA.
在Rt△AOB中，
AB2 BO2 2.52 0.72 2.4 OA _______________________ . C 2.5
A
在Rt△COD中， OC=OA-AC=2.4-0.4=2
分析只需利用勾股定理看哪一
个矩形的对角线满足要求．
A
图1
B
解 (1) 图1中AB长度为2 2 ．
练习：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米） A
3
B
4
12
E
5
G
C
6
F
8
D
4．如图所示，公路MN和公路PQ在P处交汇， ∠QPM=30°，在A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上以每秒8米的速度从 N往M方向行驶时，学校是否受到噪声影响？若受到影响，影响的时间有多长？并说明理由． [提示：直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。]
A
D
？
CD OD OC
2 2
2
CD OD 2 OC 2
2.5 1.5
2 2
1.5m C 2(m) 分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能否通过，只要看卡车位于隧道中线一因为2＞1.8，高侧时，其右侧高度是否小于（ CD ）. 度上有0.2米的余量，如何求CD呢？
O
.
连接OD，得到RtΔOCD
点C重合在一起,EF为折痕,若AB=8,BC=4.

3.3 勾股定理的简单应用

初中数学八年级(上册)
3.3
勾股定理的简单应用
A
例1
1.如图,太阳能热水器的支架AB长为90cm, 与AB垂直的BC长 120cm.太阳能真空管 AC有多长?
C
B
3.3 勾股定理的简单应用
A
例2 如图，在△ABC中， AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD＝24，求AC.
解:∵AD是BC边上的中线， 1 1 ∴BD＝CD＝ 2 BC＝ 2 ×20＝10． ∵AD2＋BD2＝576＋100＝676， AB 2＝262＝676， ∴AD2＋BD2＝AB2， ∴ ∠ADB＝90°，AD垂直平分BC． ∴AC＝AB＝26.
A
O
B
B
D
C
3.3 勾股定理的简单应用
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积；勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状．
3.3 勾股定理的简单应用
1．如图，在△ABC中， AB＝AC＝17，BC＝16，求 △ABC的面积．
A
B
D
C
3.3 勾股定理的简单应用
如图,折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边，使点D落在BC 边上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
A
10
D 8-x
8
10 8-x 6 F
E x C
B
4
●2005年8月,中俄两国在青岛举行联合军事演习. 甲、乙两艘军舰同时从某港口O出发,分别向北偏西60°、南偏西30°方向航行围攻敌舰，已知甲、乙两艘军舰速度分别为60海里/时、80海里/时，问两舰出发后多长时间相距200海里？

勾股定理的应用(2)

2.7勾股定理的应用(二) ( 教案) 班级姓名学号教学目标：1能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.2会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题,逐步培养“数形结合”和“转化”数学能力。

发展学生的分析问题能力和表达能力。

3在提升分析问题能力和完整表达解题过程能力的同时，感受“数形结合”和“转化”的数学思想，体会数学的应用价值和渗透数学思想给解题带来的便利。

积极参加数学学习活动，增强自主、合作意识，培养热爱科学的高尚品质。

重难点：勾股定理及直角三角形的判定条件的应用教学过程（一）创设情景，引入新课；这些图形都有什么共同特征？几组勾股数.3,4,5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；…… （二）实践探索，揭示新知1；.图1中的x 等于多少?图2中的z y x ,,分别是多少? （三）尝试应用，反馈矫正在数轴上画出表示5的点在数轴上表示76,,76--,的点怎样画出? 图2中的图形的周长和面积分别是多少? （四）实践探索，揭示新知2；图1x 11z y 11x图2例1、如图4，等边三角形ABC 的边长是6，求△ABC 的面积。

（五）尝试应用，反馈矫正2如图5，在△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，求△ABC 的面积。

如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC 的周长和面积。

（六）实践探索，揭示新知3；如图7，在△ABC 中，AB=25，BC=7，AC=24，问△ABC 是什么三角形？（七）尝试应用，反馈矫正1如图9，在△ABC 中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。

勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？材料5：如图10，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S1+S3=S2，试判断△ABC 的形状？（目的：对总结的结论的应用）（八）归纳小结，巩固提高（九）布置作业D CBA图6图9D CBA。

人教版八年级下册数学全国通用版中考数学练：第17章全国通用版中考数学3：勾股定理的简单应用(二)

EF 的长．
【解答】∵CD 是 AB 边上的高，∴∠BDC=∠ADC=90°， Rt△ADC 中，AC=20，CD=12，由勾股定理得：AD= AC 2 CD2 202 122 16 同理得：BD= BC 2 CD2 152 122 9 ∵AE=AC=20， ∴DE=20-16=4， ∵BF=BC=15，BD=9，∴DF=15-9=6，∴EF=DE+DF=4+6=10．
2m，高为 6m．如果要求彩带从柱子底端的 A 处绕柱子 4 圈后到达柱子顶端的 B 处，那么
至少应购买彩带
米．
【【【【将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，∵圆柱高 6m，底面周长 2m，
x2=（2×4）2+62=64+36=100，所以，彩带长至少是 10m．【答案】10．【【 2. 如图，将一根 25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为 8㎝、6㎝和 10 3 ㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？
【【【【
连接 BD，因为 AB＝AD＝12，∠A＝60°，所以△ABD 是等边三角形，
又因为∠D＝150°，所以△BCD 是直角三角形，
于是 BC＋CD＝42－12－12＝18，设 BC＝ x ，从而 CD＝18－ x ，利用勾股定理列方程得 (18 x)2 122 x2 ，解得 x ＝13，即 BC 的长为 13.
【解析】这是立体几何问题.盒子内两点间最长距离是长方体的斜对角线.
L= 82 62 （10 3）2 =20cm. 细木棒露在盒外面的最短长度是 25-20=5cm. 【答案】 5cm
【例 3】如图，铁路上 A 、 B 两点相距 25km ， C 、 D 为两村庄，若 DA 10km ， CB 15km ，

勾股定理与三角形

勾股定理与三角形勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了直角三角形三条边的关系。

本文将介绍勾股定理的原理和应用，以及它与三角形的关联。

1. 勾股定理的原理勾股定理由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，它的原理可以用以下公式表示：在一个直角三角形中，设两直角边分别为a和b，斜边为c，则有：a² + b² = c²。

2. 勾股定理的应用勾股定理具有广泛的应用价值，在几何学和物理学中常被使用。

以下是其中的几个应用场景：2.1 计算直角三角形的边长已知直角三角形的两条边长，可以通过勾股定理来计算斜边的长度。

同样地，已知斜边和一条直角边的长度，也可以通过勾股定理求解剩余的边长。

2.2 判断三条边是否构成直角三角形根据勾股定理，如果三条边的边长满足 a² + b² = c²，那么这三条边可以构成一个直角三角形。

通过勾股定理，我们可以快速验证一个三角形是否为直角三角形。

2.3 判断三角形的形状对于一个非直角三角形，我们可以通过勾股定理判断其形状。

如果a² + b² < c²，那么该三角形为钝角三角形；如果 a² + b² > c²，那么该三角形为锐角三角形。

3. 勾股定理与三角形的关联勾股定理与三角形有着密切的联系，三角形的性质可以通过勾股定理来研究。

利用勾股定理，我们可以推导出正弦定理和余弦定理。

其中，正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中A、B、C为三角形的角度。

余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中C为三角形的夹角，a、b为两边的边长。

通过正弦定理和余弦定理，我们可以更全面地研究三角形的性质和关系，进一步拓宽勾股定理的应用范围。

结语勾股定理是数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形边长的关系。

北师大版《勾股定理的应用》ppt优质课件3

例主3。在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.
2、如满图足，的四条边件形；ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
若2、是如，图哪，一四条边边形所A对BC的D中角，是A直B⊥角A？D请，说已明知理AD由=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理的应用（二）
本将聚焦
• 1、勾股定理的逆定理 • 2、勾股数 • 3、勾股定理的应用
考点评析
勾股定理逆定理与勾股数是判断直角三角形的两个常用方法，常与勾股定理结合应用于各种问题，题型以选择题、填空题和解答题为主。
知识回顾
概念1 勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足
，
那么这个三角形就是直角三角形。
2、满足的条件；为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.
（3）最短距离问题：在几何图形上移动的最短（1）直角三角形的三边与面积应用：分别以直角三角形三边为边长向外作正多边形或半圆，以斜边为边的面积等于一直角边为边长的
面积和。
∴
。
勾（股二定）理的轨应用迹，可由“立体图形的展开图”，做起点与
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
小试身手
1. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯
罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图①.已知如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
27、，以24下，各25组数为B. 三角形的三边长，其中“不能”构成直角三角形的是（）

勾股定理的应用(3种题型)

第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。

勾股定理的八大应用

勾股定理的八大应用
1. 测量直角三角形边长和角度：勾股定理可以用来确定直角三角形的斜边长，也可以用来计算两侧的直角边的长度。

它还可以用来计算三角形角度。

2. 计算斜率和距离：勾股定理可以用来计算误差，比如在工程学中，测量仪器的精度可以通过勾股定理来检验。

3. 计算面积和体积：勾股定理可以用来计算任意形状的物体的表面积和体积。

4. 面对三角形和圆形的圆角问题，勾股定理可以帮助我们解决。

5. 在游泳、篮球和足球比赛中，勾股定理可以帮助我们预测运动员的最终目标。

6. 在数学中，勾股定理是三角函数的基础，可以用来证明一些三角函数的恒等式。

7. 勾股定理可以用来推导其他数学和物理方程的解，如波动方程。

8. 勾股定理也可以用于解决实际问题，例如构建建筑物或在电路中设计电路。

第三章《勾股定理》实际应用综合训练(二)2021-2022学年八年级数学苏科版上册

第三章《勾股定理》实际应用综合训练（二）1．某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．3．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB ＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，已知CB＝千米，CH＝2千米，HB＝1千米．（1）CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？4．某中学A，B两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地ABCD，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．（1）求出四边形空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．5．今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？6．我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：“平地秋千为起，踏板一尺高地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．二公高士好争，算出索长有几？（注：二步＝10尺）．”大意是：“当秋千静止时，它的踏板离地的距离为1尺，将秋千的踏板往前推2步（这里的每1步合5尺），它的踏板与人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终是呈直线状态的，现在问：这个秋千的绳索有多长？”请解答上述问题．7．如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN 的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？8．如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC＝24cm，CB＝18cm，两轮中心的距离AB＝30cm，求点C到AB的距离．（结果保留整数）9．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？10．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？11．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60°方向走了80m到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了60m到达目的地C．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的北偏东多少度方向．12．数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，如图，根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？13．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？14．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支14cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为多少？15．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，2017年第21号台风“兰恩”的中心从A点以速度为20千米/小时，沿AB方向移动，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．已知点C 为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，请问海港C受台风影响吗？若受到影响，台风影响该海港的时间有多长？若不会受到影响，请说明理由．16．一架梯子AB长25米，如图所示，斜靠在一面上，此时梯子底端B离墙7米；如果梯子的顶端A下滑了4米至点A'，那么梯子的底端水平滑动的距离BB'是多少米？17．如图，已知某山的高度AC为800米，从山上A处与上下B处各建一个索道口，且BC＝1500米，欢欢从山下索道口坐缆车到山顶，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能达到山顶？18．如图，市政部门计划在一块三角形空地ABC内部种植草坪，并紧靠AB边外侧修建宽3m，长17m的硬化甬路（阴影图形为长方形）．已知AC＝8cm，BC＝15cm，经过市政部门市场调研，种植草坪的费用为每平米600元，硬化甬路的费用为每平米800元，求此项工程的预计总费用．19．如图，MN是一条东西朝向的笔直的公路，C是位于该公路上的一个检测点，一辆长为9m的小货车BD行驶在该公路上．小王位于检测点C正西北方向的点A处观察小货车，某时刻他发现车头D与车尾B分别距离他10m与17m．（1）过点A向MN引垂线，垂足为E，请利用勾股定理找出线段AE、DE与AE、BE 之间所满足的数量关系；（2）在上一问的提示下，继续完成下列问题：①求线段DE的长度；②该小货车的车头D距离检测点C还有多少米？20．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了避免走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米，早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？。