2016级高等数学第二学期期末试卷(B类)

2016 级高等数学第二学期期末试卷(B 类)
一、单项选择题(每小题 3 分，共 15 分)
1. 平面 x 3y 2z 6 与三坐标面围成的四面体的体积为：
(
)
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D)12
2. 圆域 D : x2 y2 1上的二重积分 1 x2 y2 dxdy
D
(A) 2 ; 3
u
du
相应于
1
t
3
的一段弧的长
度。
13. (1) 求抛物面 z x2 y2 1在点 (1,1,3) 处的切平面 ； (2) 判断(1)中切平面 与直线 L : x 1 y z 1 的关系。 012
五、(本大题共 20 分，其中每题 10 分) 14. 求函数 z x3 3xy 3 y2 的极值。
2
wenku.baidu.com8.
f (x, y) x2 y3 x 在点 (1,1) 处沿 l (4,3) 方向的方向导数 f l
_____。
(1,1)
9.
2 0
dy
2 y
ecos
x
cos
y
dx
_____________。
10. 微分方程 eydx (xey 1)dy 0 的通解为： ______________________。
(B) 1 ; 3
(C) 4 ; 3
(D) 。
3. 设 f (x, y) ln(x3 2x2 y4 ) ，则 fx (1, 0)
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D)1
(
)
(
)
4. f (x, y) (x 1)2 y2 在约束条件 2x y 1下的最小值为：
(
)
(A) 2 ;
(B) 1;
(C) 2 ; 5
(D) 1 。 5
5. 下列命题中，正确命题的个数为
(
)
①
若 an
0 ，且 an
n1
收敛，则 lim an1 n an
l 1；
② 若非负函数 f (x) 在[1,1]上有二阶连续导数，且 f (0) f (0) 0 ，
f
(0)
0
，则级数
f
(1)
收敛；
n1 n
③
若级数
an
n1
1
三、(本题 8 分) 11. 设 z z(x, y) 由方程 F(x 6y 3z, x ez ) 0 所确定，其中 F 是可微函数，
求 dz .
四、(本大题共 18 分，其中第 12 题 8 分，第 13 题 10 分)
12.
求参数方程曲线
x
t 1
cosu du, u
y
t 1
sin u
2
15.
计算二重积分 (x 3y)2dxdy
D
，其中区域 D :
x2 a2
y2 b2
1
(常数 a,b 0 )。
六、(本大题共 16 分，其中每题 8 分)
16. 已知二元函数 u(x, y) 具有连续的偏导数，且满足：
ux (x, y) e2x ( y 1),
u(0, y) 1 ( y 1) 3sin y, 2
发散，
{Sn
}
为级数的部分和数列，则
lim
n
Sn
.
(A) 0 ；
(B)1；
(C) 2 ；
(D) 3 。
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
6.
设z
e3x y2
x arctan
1 x2
，则 zxy
____________________。
7.
2
(
x
sin4
x
12 cos2
x)dy
_____________。
... 。
2
（用偏积分思想）求 u(x, y) .
17.
判断级数
[
n 1
arctan 2n
n
( n 1)n2
n 2n
] 的敛散性
七、证明题(本题 8 分)
18. 针对参数 a ( a 1, a R) 的不同取值，讨论如下级数的敛散性：
1
1 2a
1 3
1 4a
1 5
1 6a
...
1 2n 1
1 (2n)a