2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一第一学期期末考试数学试题及答案
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析
北京市首师大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤22．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若log＜1，则a的取值范围是（）aA．0＜a＜ B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞14．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+35．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．x 7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______．10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．11．已知三个向量=（k ，12），=（4，5），=（10，k ），且A 、B 、C 三点共线，则k=______．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sin α=，cos β=，则α﹣β的值为______．13．已知tan θ=3，则=______． 14．使不等式sin 2x+acosx+a 2≥1+cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是______．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k 为何值时：（1）k +与﹣3垂直；（2）k +与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？16．已知函数f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2x+．（1）求函数f （x ）的周期；（2）求函数f （x ）在[﹣，]的取值范围．17．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）． （1）若x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2且f （x ）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f （x ）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．18．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （﹣x ）≠﹣f （x ），则称该函数是“X ﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x ；②y=x+1； ③y=x 2+2x ﹣3是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f （x ）=sinx+cosx+a 是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）已知f （x ）=是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．北京市首师大附中2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，∴两个集合有公共元素，∴a要在﹣1的右边，∴a＞﹣1，故选C．2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限．【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+＜α＜kπ+π，k∈Z∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0，∴α在第二象限．故选：B．3．若loga＜1，则a的取值范围是（）A．0＜a＜ B．a＞C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1【考点】指、对数不等式的解法．【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可．【解答】解：loga ＜1=logaa，当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立；当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜．综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜．故选D．4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（）A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，∴x→x﹣3，又∵f（x）=2﹣x+x∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3．故选A．5．在平行四边形ABCD中，若，则必有（）A．B．或C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先由向量的加法运算法则知知对角线相等，再由矩形定义求解．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形．故选C6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=logx5的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．x的图象的【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5交点个数．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，可得函数y=f（x）的图象，数形结合可得函数y=f（x）与y=logx的5图象的交点个数为 4，故选B．8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1），所以=（λ﹣μ，μ），当λ=μ=1时， =（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ=1，μ=0时， =（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，当λ=，μ=时， =（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选C二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）9．cos70°cos335°+sin110°sin25°= ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）=cos45°=，故答案为：10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1），∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞===，故答案为：11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k= ﹣2或11 ．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出 k的值．【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线，故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得 k=11或 k=﹣2．故答案为：﹣2或11．12．已知α∈（，π），β∈（﹣，0），且sinα=，cosβ=，则α﹣β的值为．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（，），即可求得α﹣β的值．【解答】解：由α∈（，π），β∈（﹣，0），sinα=，cosβ=，∴α﹣β∈（，），cosα＜0，sinβ＜0，cosα=﹣=﹣=﹣，sinβ=﹣=﹣=﹣，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ，=×﹣（﹣）（﹣），=﹣，∴α﹣β=．故答案为：．13．已知tanθ=3，则= ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【解答】解：tanθ=3，则====．故答案为：．14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是a≤﹣2 ．【考点】其他不等式的解法．【分析】利用公式1=cos2x+sin2x，进行代换，可得cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．【解答】解：1﹣cos2x+acosx+a2≥1+cosx⇒cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，令t=cosx，∵x∈R，∴t∈[﹣1，1]，t2+（1﹣a）t﹣a2≤0，由题意知a＜0∴．故答案为a≤﹣2．三、解答题（共4小题，满分44分）15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．【分析】（1）由题意可得 k+和﹣3的坐标，由 k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k的值．（2）由 k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．【解答】解：（1）由题意可得 k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由 k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由 k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．（1）求函数f（x）的周期；（2）求函数f（x）在[﹣，]的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期；（2）由x∈[﹣，]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin （2x ﹣），… 由T=得，最小正周期T=π；…（2）∵x ∈[﹣，]，∴﹣≤2x ﹣≤π，…∴﹣1≤sin （2x ﹣）≤1，…函数f （x ）在[﹣，]的取值范围：[﹣1，1]．17．已知函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．（1）若x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2且f （x ）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值；（2）若φ=且函数f （x ）在[0，]上单调递增，求ω的取值范围；（3）若φ=0且函数f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）根据正弦型函数f （x ）的图象与性质，结合题意求出周期T ，即可得出ω的值，再根据f （x ）的最值求出φ的值；（2）根据φ=时函数f （x ）在[0，]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；（3）根据φ=0时f （x ）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围．【解答】解：（1）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）， 当x ∈[2，6]时，f （x ）max =f （2）=2，f （x ）min =f （6）=﹣2，∴T=2（6﹣2）=8=，∴ω=， ∴f （x ）=2sin （x+φ）；把（2，2）代入f （x ）得2=2sin （+φ），∴cos φ=1；∵|φ|＜，∴φ=0；（2）当φ=时，函数f （x ）=2sin （ωx+）在[0，]上单调递增，∴≤ωx+≤ω+，∴ω+≤， 解得ω≤1；又ω＞0，∴ω的取值范围是（0，1]；（3）当φ=0时，f （x ）=2sin ωx ，∵f （x ）为奇函数，要使f （x ）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，只需f （x ）=0在（0，π]上恰有9个根，∴T ≤π＜5T ，即•≤π＜5•，解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．18．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （﹣x ）≠﹣f （x ），则称该函数是“X ﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x ；②y=x+1； ③y=x 2+2x ﹣3是否为“X ﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f （x ）=sinx+cosx+a 是“X ﹣函数”，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）已知f （x ）=是“X ﹣函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B ．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）根据“X ﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X ﹣函数”；（Ⅱ）由题意，对任意x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ），利用不等式求出a 的取值范围；（Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x ≠0，x 与﹣x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；（2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B ，（0，+∞）⊆A ；（3）用反证法说明0∈A ，即得A 、B ．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X ﹣函数”，③不是“X ﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，f （﹣x ）≠﹣f （x ），即f （﹣x ）+f （x ）≠0；因为f （x ）=sinx+cosx+a ，所以f （﹣x ）=﹣sinx+cosx+a ，故f （x ）+f （﹣x ）=2cosx+2a ；由题意，对任意的x ∈R ，2cosx+2a ≠0，即a ≠﹣cosx ；﹣﹣﹣又cosx ∈[﹣1，1]，所以实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（Ⅲ）（1）对任意的x ≠0，（i ）若x ∈A 且﹣x ∈A ，则﹣x ≠x ，f （﹣x ）=f （x ），这与y=f （x ）在R 上单调递增矛盾，（舍去），（ii ）若x ∈B 且﹣x ∈B ，则f （﹣x ）=﹣x=﹣f （x ），这与y=f （x ）是“X ﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f （x ）的定义域为R ，故对任意的x ≠0，x 与﹣x 恰有一个属于A ，另一个属于B ；（2）假设存在x 0＜0，使得x 0∈A ，则由x 0＜，故f （x 0）＜f （）；（i ）若∈A ，则f （）=+1＜+1=f （x 0），矛盾，（ii ）若∈B ，则f （）=＜0＜+1=f （x 0），矛盾；综上，对任意的x ＜0，x ∉A ，故x ∈B ，即（﹣∞，0）⊆B ，则（0，+∞）⊆A ；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣。
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B(含答案解析)
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B选择题（本大题共10小题，共50.0分）设集^ = {x|x>l}, B = {X \X 2-2X -3<0}.则AHB =（）A. {x\x < —1}B. {x\x < 1}C. {x| — 1 < % < 1}D. {x|l < % < 3}已知命题p ： 3% > sinx > 1,则卡为（）A. Vx > 7, sinx< 1 B ・ Vx <sinx < 1 C ・ 3% > 7, sinx < 1 D ・ V £ sinx < 1函数几幻=疋一5的零点所在的区间是（）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D.(勺5)下列函数中，既是偶函数，又在(-QO.0)上单调递减的函数是()命题 7 G [-1,2], %2-a> 0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A. a > 4 B ・ a < -1 C ・ a S 0 D ・ a S 1 已知函数门咒)为偶函数，且函数f(x)与8(幻的图象关于直线y =兀对称，若g(2) = 3,贝0/(-3)= ()A. —2B. 2C. —3D. 3已知函数/'(x)=x — 占，g(x) =x 2 - 2ax + 4,若任意七 G [0,1],存在x 2 £ [X2], (x x ) > 0(牝)，则实数“的取值范围为()•9 A. a > 3 B ・ a >- C ・ a > 2D ・ a >44 已知函数Z(x)=xk —2|,直线y = a 与函数f(x)的图象有三个交点A 、B 、C,它们的横坐标分 别为X], x 2f x 3 ,则%! + %2 + x 3的取值范围是()A. (3,4 + 血)B. (4,3+ V2)C. (3,4+ V2]D. R填空题(本大题共6小题，共30.0分) 计算：(扌)丄 + 8：+ (2019)0 = ______函数y = (% + 2)° — <2 + X 的泄义域是 _ .函数f(x) = -X 2 + 6% - 10在区间[0,4]的最大值是 ________1. 2. 3. 4. 5.6.7.& 9. 10. —\11. 12.13. A. y = -%2 B ・ y = 2"|x| c. y = 已知a VO, bV —「那么下列不等式成立的是()A. a>£>2 B ・-A* > - > a C ・-> a > -^ 若% < 0,则函数y = x + ?有()A.最小值4B.最大值4C.最小值-4 D ・ y = lg|%|D ・ l>^>aD.最大值-414.若关于A-的方程cos?% - sinx + a = 0在[0,兀]内有解，则实数"的取值范国是______ •15.已知函(x) =e x-x, g(X)=x2-bx+4,若对任意G (-1,1),存在巾G [1,2],使/(%!)>0(X2)，则实数b的取值范围为________ •16.已知函数/'(%) = {蔦；；'I 1若直线卩=皿与函数/'(x)的图象只有一个交点，则实数加的取值范围是 _____ .三、解答题(本大题共4小题，共40.0分)17.设集合力={咒哙<2-”<4}, B = {x\x2 - 3mx + 2m2 - m - 1 < 0}・(1)当%GZ时，求人的非空真子集的个数;(2)若3 = 0,求m的取值范I科：(3)若求〃】的取值范用・18.已知函^(/(%) = 2%2 - 4% - 5.⑴当xW[_2,2]时,求函数f(x)的最值;(2)当x G [t,t+ 1]时，求函数fU)的最小值g(t);(3)在第(2)问的基础上，求的最小值.19.某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图)，一条海岸线AO{£城市O的正东方向, 另一条海岸线0B在城市0北偏东0(tan8 =扌)方向，位于城市0北偏东f 一a(cosa =春)方向15如2的P 处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市。
北京市首都师范大学附属中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
【解析】
【分析】
计算得到 ，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】 ,则 .
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.
13.已知tan（3π+α）＝2,则 _____。
【答案】2
【解析】
【分析】
计算 ,化简得到原式 ，计算得到答案。
【详解】 。
原式 .
中，根据余弦定理求得 ，
∴ ．
(Ⅱ)由已知可得 ,
∴ ．
中，由正弦定理可得 ,
∴ 分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛 ．
【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用,意在考查学生的建模能力,实际应用能力和计算能力.
20。f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α)x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2),则称f（x）为定义在D上的C函数。
根据 和 之间能否推出的关系，得到答案。
【详解】由 可得 ，
由 ，得到 或 , ，不能得到 ,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
2。已知向量 , 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 , 的夹角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
3。设 为第三象限角， ，则 （ ）
A. B. C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由同角关系求得 ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．
【详解】∵设 为第三象限角， ,∴ ，
∴ ．
故选:D．
北京师大附中2019-2020学年高一数学上学期期末考试新人教A版
北京师大附中2019—2020学年度第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）说明：1．本试卷分第I 卷（模块卷，100分）和第II 卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将答案填写在答题纸上，考试结束后，监考人员只将答题纸收回．一、 选择题（4＇×10＝40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答题纸上．1．角α的终边上有一点)2,1(-，则αsin = （ ）A.55-B.552-C.55D.552 2．已知1sin ,tan 03αα= <，则cos α的值是 ( ）(A ) 13-(B )13(C ) 3-(D )33．已知向量a ＝（3,4），b ＝（sin α，cos α），且a //b ，则tan α＝ （ ）（A ）43 (B)－43 (C)34 (D) －344．如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间]3,7[--上是（ ）A. 增函数且最小值是5-B.增函数且最大值是5-C. 减函数且最大值是5-D.减函数且最小值是5- 5．已知函数)5sin(3π+=x y 的图像为C ，为了得到函数)5sin(3π-=x y 的图像，只需把C 上所有的点（ ）A ．向左平行移动5π个单位； B ．向右平行移动5π个单位 C ．向左平行移动52π个单位 D ．向右平行移动52π个单位6．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 （ ）A.1B.1或4；C.4D.2或4 7．函数sin()(0)62y x x ππ=+≤≤的值域是 ( )A.[1,1]-B. 1[,1]2C. 1[2D. 8．如图，□ABCD 中，＝，＝，则下列结论中正确的是 （ ）（A ）AB ＋BD ＝a －b （B ）BC ＋AC ＝b （C ）BD ＝a ＋b（D ）AD －BA ＝a ＋b9．下列说法：①若0,a b a c a b c ⋅=⋅≠=且则 ②若0,0,0a b a b ⋅===则或 ③△ABC 中，若AB BC 0⋅>，则△ABC 是锐角三角形 ④△ABC 中，若AB BC 0⋅=，则△ABC 是直角三角形其中正确的个数是 （ ） (A )0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 3 10．函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（ ） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π2 二、填空题（4＇×5＝20分）：请将答案填在答题纸上．11．设向量a 与b的夹角为θ，且)3,3(=a ，)2,1(b ，则=θcos ______．12．函数⎩⎨⎧->-≤+=)1(,)1(,2)(2x x x x x f ，则((2))f f -= ；()3,f x =则x= ___. 13．已知向量a =(2,0)， b =(1,)x ，且a 、b 的夹角为3π，则x =_______． 14．（1）计算：16cos()3π-=___________________； （2）已知1sin 2α=，]2,0[πα∈，则=α___________ 15．已知52cos()3sin()22tan 2,4sin(2)9cos()x x x x x ππππ--+= =-++则_________．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷（答题纸）班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______二、填空题11．______________________________ 12．______________；________________ 13．______________________________ 14．_______________；_______________ 15．______________________________三、解答题16. 已知向量b a ,满足：||1,||2||7a b a b = =＝，－．（1）求|2|;a b －（2）若(2)a b ka b +⊥)（－，求实数k 的值．17. 已知函数m x x f ++=)42sin(2)(π的图象经过点,24π⎛⎫⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数的m 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及此时x 的值的集合； （III ）求函数()f x 的单调区间.18. 已知函数()sin(3)(0,(,),0f x A x A x ϕϕπ=+>∈-∞+∞<<在12x π=时取得最大值4．(1) 求()f x 的最小正周期； (2) 求()f x 的解析式； (3) 若f (23α +12π)=125,求cos2α．北京师大附中2019——2020学年度第一学期期末考试高 一 数 学 试 卷第II 卷（综合卷）班级_______ 姓名_______ 学号_______一、填空题（5＇×2＝10分）1．函数]65,3[,3sin 2cos )(2ππ∈++=x x x x f 的最小值是_________．2．已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（共40分）3．在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 已知集合，，则A ∩B 为( )A. B.C.D.2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A. a <b <√ab <a+b 2B. a <√ab <a+b 2<bC. a <√ab <b <a+b 2D. √ab <a <a+b 2<b3. 下列函数中，为奇函数的是( )A. y =2x +12x B. y =x ，x ∈{0,1}C. y =x ⋅sinxD. y ={1,x <00,x =0−1,x >04. 已知条件p:(x −m)(x −m −3)>0；条件若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−7)∪(1,+∞)B. (−∞,−7]∪[1,+∞)C. (−7,1)D. [−7,1]5. 把函数y =1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得函数的图象是( )A.B.C.D.6. 关于x 的方程x 2+mx +1=0有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围是 ( )A. m <−2B. m <0C. m <1D. m >07. 把集合{x|x 2−4x −5=0}用列举法表示为( )A. {x =−1,x =5}B. {x|x =−1或x =5}C. {x 2−4x −5=0}D. {−1,5} 8. 设集合M ={x|x ≤2√3}，a =√11+b ，其中b ∈(0,1)，则下列关系中正确的是( )A. a ⫋MB. a ∉MC. {a}∈MD. {a}⫋M9. 下列不等式：①a 2+1>2a ；√ab ≤2；③x 2+1x +1≥1，其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43)D. [−12,43]二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 若集合M ={x|x 2+x −6=0}，N ={x|ax +1=0}，且N ⊆M ，则由a 的可取值组成的集合为________．12. 已知函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0,函数g(x)=f(x)−kx +1有四个零点，则实数k 的取值范围是______．13. f(x)={cos π4x,x <0f(x −2),x ≥0，则f(2017)=______．14. 不等式ax 2+bx +c >0的解集是{x|−3<x <2}，则ab+c = ． 15. 给出下列四个结论：①函数f(x)=√2−x 2为奇函数；②函数y =2 √x 的值域是(1,+∞)； ③函数y =1x 在定义域内是减函数；④若函数f(2x )的定义域为[1,2]，则函数y =f (x2)的定义域为[4,8]． 其中正确结论的序号是________.(填上所有正确结论的序号)16. 有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有__________人17. 已知函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．18. 若P =√a +7−√a +6，Q =√a +10−√a +3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是________． 19. 已知集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},B ={2,3}，则A⋂(∁U B)= ________ ． 20. 若正实数a ，b 满足2a +b =1，则1a +12b 的最小值为_________．三、解答题（本大题共12小题，共60.0分）21.已知全集U=R，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}．(1)若k=1，求A∩∁U B；(2)若A∩B=⌀，求实数k的取值范围．22.已知函数y=f(x)(x>0)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，当x<1时，f(x)>0，且f(12)=1；(1)证明：y=f(x)是定义域上的减函数；(2)解不等式f(x−3)>f(1x)−2．23.(1)已知x>0，y>0，1x +2y+1=2，求2x+y的最小值．(2)已知a>0，b>0，a+b=1，比较8−1a 与1b+1ab的大小，并说明理由．24.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α0，β>0}，求不等式cx2+bx+a<0的解集．25.(1)求函数y=x2+8x−1(x>1)的最小值．(2)求函数y=x2+2021x+4042x+2的值域．26.(1)已知，求4a+1+a的最小值;(2)已知，且2a+b=1，求1a +1b的最小值．27.(1)若x，y>0，且2x+8y−xy=0，求x+y的最小值;(2)若−4<x<1，求x2−2x+22x−2的最大值．28. (1)已知x >1，y =x +1x−1，求函数的最小值；(2)已知a >0，b >0，函数f(x)=alog 2x +b 的图象经过点(4,12)，求1a +2b 的最小值．29. 求下列不等式的解集：(1)−x 2+4x +5<0； (2)2x−13x+1>0．30. (1)设x,y 是正实数，且1x +9y =1，求x +y 的最小值．(2)已知x <54，求函数y =4x −2+14x−5的最大值．31.已知关于x的不等式ax2−3x+2>0(a∈R)．(1)若ax2−3x+2>0在区间[1 , 3]上恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式ax2−3x+2>5−ax的解集．32.已知关于的一元二次方程x2−(m+1)x+(2m−1)=0．(1)若x=4是方程的一个实数根，求方程的另一个实数根；(2)若该方程有两个不相等的实数根x1,x2，且1x12+1x22=3，求实数m的值；(3)若m=0，求x3−1x3的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据交集的定义即可求解．【解答】解：因为集合，，所以，故选A．2.答案：B解析：【分析】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．因为0<a<b，作差得到a−√ab=√a(√a−√b)<0，得到a<√ab；b−a+b2=b−a2>0，得到b>a+b 2；由基本不等式得到a+b2>√ab，从而得到大小关系．【解答】解：因为0<a<b，所以a−√ab=√a(√a−√b)<0，故a<√ab；因为b−a+b2=b−a2>0，所以b>a+b2；由基本不等式知a+b2>√ab，综上所述，a<√ab<a+b2<b，故选B．3.答案：D解析：解：A.设f(x)=2x+12x=2x+2−x，则f(−x)=f(x)为偶函数．B.定义域关于原点不对称，∴函数为非奇非偶函数函数．C.y=xsinx为偶函数．D .满足f(0)=0，且f(−x)=−f(x)，∴函数为奇函数． 故选：D ．根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义和常见函数的奇偶性的性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：B解析： 【分析】分别解出p ，q 的不等式，根据p 是q 的必要不充分条件，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】解：条件p ：(x −m)(x −m −3)>0；解得：m +3<x ，或x <m ． 条件q ：x 2+3x −4<0.解得−4<x <1，∵p 是q 的必要不充分条件，∴1≤m ，或m +3≤−4，解得m ≥1或m ≤−7． 则实数m 的取值范围是(−∞,−7]∪[1,+∞)． 故选：B ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．把函数y =1x 的图象先经过左右平移得到y =1x−1的图象，再经过上下平移得到y =1x−1+1的图象． 【解答】解：将函数y =1x 的图象向右平移1个单位，得到y =1x−1的图象， 再把y =1x−1的图象向上平移一个单位，即得到y =1x−1+1的图象， 图象关于点(1,1)对称，当x =0时，y =0， 故选项A 的图象符合， 故选A ．6.答案：A解析：【分析】本题考查一元二次方程解的问题，属于基础题．方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则解得m的取值范围即可．【解答】解：方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则解得m<−2．故选A．7.答案：D解析：解：根据题意，解x2−4x−5=0可得x=−1或5，用列举法表示可得{−1,5}；故选：D．根据题意，解x2−4x−5=0可得x=−1或5，即可得{x|x2−4x−5=0}={−1,5}，即可得答案．本题考查集合的表示法，注意正确求解一元二次方程．8.答案：D解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，属基础题．由，所以a∉M．【解答】解：判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．，∴a∈M，故{a}⫋M．故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式逐项分析判断即可．【解答】解：①a =1时，a 2+1>2a 不成立，①错误； ②a >0，b >0时，√ab≥√ab √ab =2，当且仅当a =b 时取等号，故②错误；③x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1−1≥2−1=1，当且仅当x =0时，等号成立，③正确；因此正确的个数是1． 故选B ．10.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].11.答案：{0,−12,13}解析： 【分析】本题考查集合关系中参数取值问题，集合M ={x|x 2+x −6=0}，分别解出集合M 最简单的形式，然后再根据N ⊆M ，求出k 的值，属基础题． 【解答】解：∵集合M ={x|x 2+x −6=0}，∴集合M ={2,−3}， ∵N ⊆M ，N ={x|ax +1=0}，∴有N =Φ或N ={2}或N ={−3}三种情况， 当N =Φ时，可得a =0，此时N =Φ；当N ={2}时，∵N ={x|ax +1=0}，∴a =−12； 当N ={−3}时，a =13，∴a 的可能取值组成的集合为{0,−12,13}， 故答案为{0,−12,13}.12.答案：(−1,−12)解析： 【分析】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于难题．根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：∵函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0,函数g(x)=f(x)−kx +1有四个零点，∴令g(x)=0，则f (x )−kx +1=0，即f (x )=kx −1， 对于f (x )=xlnx −2x (x >0)，f ′(x )=lnx −1， 当0<x <e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 易知直线y =kx −1恒过点A(0,−1)，如图，设直线AC 与y =xlnx −2x 相切于点C(x 0,x 0lnx 0−2x 0)， 又y ′=lnx −1，所以直线AC 的方程为y −(x 0lnx 0−2x 0)=(lnx 0−1)(x −x 0)， 直线AC 经过A(0,−1)，所以x 0=1，此时k AC =ln1−1=−1，设直线AB 与y =x 2+32x (x ≤0)相切于点B(x,x 2+32x)，y ′=2x +32, 故2x +32=x 2+32x+1x−0,解得，所以k AB =2×(−1)+32=−12， 所以若要f (x )=kx −1有四个零点，结合函数图象，可得实数k 的取值范围是(−1,−12)， 故答案为(−1,−12)．13.答案：√22解析： 【分析】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，函数的周期性的应用，难度不大，属于基础题． 由已知中f(x)={cos π4x,x <0f(x −2),x ≥0，得到函数的周期，将x =2017代入可得答案．解：∵f(x)={cosπ4x,x<0f(x−2),x≥0，x≥0时，函数是周期函数，周期为2，∴f(2017)=f(2015)=f(2013)=⋯=f(1)=f(−1)=cos(−π4)=√22，故答案为：√22．14.答案：−15解析：【分析】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，可得−3，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，∴−3，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，∴{−3+2=−ba −3×2=ca，即ba =1,ca=−6．则b+ca =ba+ca=1−6=−5，∴ab+c =−15．故答案为−15．15.答案：①④解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、函数的定义域值域、函数的单调性，根据条件逐项判断真假即可，属中档题．【解答】解：①由2−x2>0，得−√2<x<√2，则函数f(x)的定义域为(−√2,√2)，所以函数f(x)=√2−x2=√2−x2，则f(−x)=√2−x 2=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故①正确； ②y =2√x ≥20=1，即函数的值域是[1,+∞)，故②错误； ③函数y =1x 在定义域内不是单调函数，故③错误；④若函数f(2x)的定义域为[1,2]，则1≤x ≤2，则2≤2x ≤4，即函数f(x)的定义域为[2,4]， 由2≤x2≤4，得4≤x ≤8，即函数y =f (x2)的定义域为[4,8]，故④正确． 故答案为①④．16.答案：2解析：设两种都没买的有x 人，由题意知，只买电视的有6人，只买电脑的有5人，两种均买了的有2人，∵6+5+2+x =15，∴x =2．17.答案：[−23,0)解析： 【分析】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于中档题．根据题意，由函数单调性的定义分析可得{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则有{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1， 解可得：−23≤a <0， 即a 的取值范围为[−23,0)； 故答案为：[−23,0)．18.答案：P <Q解析： 【分析】本题考查了平方作差比较两个数的大小，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：因为a≥0，所以P2−Q2=(√a+7−√a+6)2−(√a+10−√a+3)2=−2√a+7×√a+6+2√a+10×√a+3=2(√a2+13a+30−√a2+13a+42)，因为a2+13a+30−(a2+13a+42)=−12<0，所以P<Q．故答案为P<Q．19.答案：｛1｝解析：【分析】本题主要考查了集合的分类，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握集合的分类，元素与集合的关系的计算，根据已知及集合的分类，元素与集合的关系的计算，求出C U B的值，求出的A∩(C U B)的值．【解答】解：∵集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3}，∴C U B=｛1，4，5｝，∴A⋂(∁U B)=｛1｝．故答案为｛1｝．20.答案：92解析：【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．把1a +12b看作(1a+12b)⋅1，然后把1换为2a+b，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：1a +12b=(1+1)(2a+b)=2+12+ba+ab=52+ba+ab．∵a，b是正实数，∴52+ba+ab≥52+2√ba⋅ab=92．即1a +12b的最小值为92．当且仅当{ba=ab2a+b=1，即a=b=13时“=”成立．故答案为92．21.答案：解：(1)∵k=1时，全集U=R，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−1)≥0}={x|x≥2或x≤1}．∴C U B={x|1<x<2}，∴A∩∁U B={x|1<x<2}．(2)当k≥2时，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}．A∩B=⌀，当k<2时，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}={x|x≤k，或x≥2}，∵A∩B=⌀，∴k<−1．∴实数k的取值范围是(−∞,−1)∪[2，+∞)．解析：(1)k=1时，求出B={x≥2或x≤1}，C U B={x|1<x<2}，由此能求出A∩∁U B={x|1< x<2}．(2)当k≥2时，A∩B=⌀，当k<2时，B={x|x≤k，或x≥2}，由A∩B=⌀，得k<−1.由此能求出实数k的取值范围．本题考查补集、交集的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．22.答案：解：(1)证明：设0<x1<x2，则0<x1x2<1，由题意当x<1时，f(x)>0，可得f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2⋅x 2)−f(x 2)=f(x 1x 2)+f(x 2)−f(x 2)=f(x1x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以y =f(x)是(0,+∞)上的减函数；(2)由f(12)=1，则f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=1+1=2， 由f(x −3)>f(1x )−2得f(x −3)+2>f(1x )， 即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即有f(x−34)>f(1x)，由y =f(x)是(0,+∞)上的减函数， 得0<x−34<1x，解得3<x <4． 则原不等式的解集为(3,4)．解析：(1)应用单调性的定义证明，注意取值，作差，变形和运用已知条件，定符号，下结论； (2)由f(12)=1，可得f(14)=2，原不等式即为即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即有f(x−34)>f(1x )，由y =f(x)是(0,+∞)上的减函数，可得0<x−34<1x ，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的单调性的证明和应用，考查赋值法和分式不等式的解法，属于中档题和易错题．23.答案：解：(1)由x ，y >0，可得2x +y +1=(2x +y +1)(12x +1y+1)=2+y+12x+2xy+1≥4(x =y =1等号成立)，可得2x +y ≥3，即2x +y 的最小值为3； (2)8−1a ≤1b +1ab ．理由：由a >0，b >0，a +b =1≥2√ab ， 即有ab ≤14， 则1a +1b +1ab =a+b+1ab =2ab ≥8则8−1a ≤1b +1ab ．解析：(1)由题意可得12x +1y+1=1(a,y >0)，运用乘1法和基本不等式可得2x +y +1的最小值，进而得到2x +y 的最小值；(2)结论：8−1a ≤1b +1ab .运用基本不等式可得ab 的范围，再由作差法，得到1a +1b +1ab ≥8，即可得到结论．本题考查基本不等式的运用：求最值和比较大小，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．24.答案：解：∵ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β}，∴a <0，且α，β是方程ax 2+bx +c =0的两根，∴αβ=c a ，α+β=−ba ，∴c =a ·αβ，b =−a(α+β)，代入cx 2+bx +a <0，得a ·αβx 2−a(α+β)x +a <0， 即αβx 2−(α+β)x +1>0，∵αβ>0，∴x 2−(1α+1β)x +1αβ>0， ∵方程x 2−(1α+1β)x +1αβ=0的两根为1α，1β， 且1α>1β，∴不等式cx 2+bx +a <0的解集为 {x|x >1α或x <1β}．解析：本题考查一元二次不等式的解法，由于不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β,α>0,β>0}，通过韦达定理，将b c ,ac 用α，β表示，得出 1α，1β为方程x 2−(1α+1β)x +1αβ=0的两根，可解不等式．25.答案：解：(1)y =x 2+8x−1=x 2−1+9x−1=(x +1)+9x−1=(x −1)+9x−1+2．∵x >1，∴x −1>0．∴(x −1)+9x−1+2≥2√(x −1)·9x−1+2=8． 当且仅当x −1=9x−1，即x =4时等号成立，所以函数y =x 2+8x−1(x >1)的最小值为8．(2)y =x 2+2021x+4042x+2=(x+2)2+2017(x+2)+4x+2=x +2+4x+2+2017．当x >−2时，y ≥2√(x +2)·4x+2+2017=2021，当x <−2时，y =−[−(x +2)+4−(x+2)]+2017≤2013， 故y =x 2+2021x+4042x+2的值域为：y ≤2013或y ≥2021．解析：本题考查基本不等式在最值中的应用，注意基本不等式成立的条件，属于中档题．26.答案：解(1)∵a > −1，∴a +1>0.由基本不等式，得4a+1+a =4a+1+a +1−1≥ 2√4a+1·(a +1)−1=2√4−1=3．当且仅当4a+1=a +1，即a =1时，等号成立． ∴4a+1+a 的最小值为3．(2)∵a、，且2a+b=1，∴1a +1b=2a+ba+2a+bb=3+(ba+2ab)≥3+2√2．当且仅当ba =2ab，即a=1−√22，b=√2−1时等号成立．∴1a +1b的最小值为3+2√2．解析：本题主要考查了基本不等式的应用，注意等号成立的条件，属于基础题．(1)由题意得4a+1+a=4a+1+a+1−1，再利用基本不等式的性质求出最小值即可；(2)灵活利用2a+b=1，1a +1b=2a+ba+2a+bb，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．27.答案：解：(1)∵2x+8y−xy=0，∴2y +8x=1．∴x+y=(x+y)(2y +8x)=10+8yx+2xy≥10+2√8yx×2xy=18，当且仅当x=2y=12时取等号，∴x+y的最小值是18．(2)∵−4<x<1，∴x2−2x+22x−2=−12[(1−x)+11−x]≤−12×2√(1−x)×11−x=−1，当且仅当x=0时取等号，∴x2−2x+22x−2的最大值是−1．解析：本题考查基本不等式求最值，熟练掌握基本不等式的性质及其应用是解题的关键．(1)由题意得，2y +8x=1，则x+y=(x+y)(2y+8x)=10+8yx+2xy，利用基本不等式即可求解；(2)由题意，x2−2x+22x−2=−12[(1−x)+11−x]，利用基本不等式即可求解．28.答案：解：(1)因为x>1，所以x−1>0，从而y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x=2时取的最小值3；(2)∵a>0，b>0，函数的图象经过点(4,12)，∴2a+b=12，则1a+2b=2(1a+2b)(2a +b)=8+2(b a+4a b)≥8+4√b a⋅4a b=16，当且仅当b =2a =14时取最小值为16．解析：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． (1)由已知可得，y =x +1x−1=x −+1x−1+1，利用基本不等式即可求解；(2)由已知可得，2a +b =12，从而可得1a +2b =2(1a +2b )(2a +b)，利用基本不等式即可求解．29.答案：解：(1)−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，即(x −5)(x +1)>0， 解得x <−1或x >5，故不等式的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)， (2)由2x−13x+1>0可得(2x −1)(3x +1)>0， 即(x −12)(x +13)>0， 解得x <−13或x >12，故不等式的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)解析：分别用因式分解法即可求出不等式的解集．本题考查了利用因式分解法解一元二次不等式，属于基础题．30.答案：解：(1)x +y =(x +y)(1x +9y )=10+9x y+y x ≥10+2√9x y ×yx =16，当9xy =yx 时即x =4,y =12等号成立， 所以x +y 的最小值为16． (2)因为x <54，所以5−4x >0，y =4x −2+14x−5=4x −5+14x−5+3=−[(5−4x)+15−4x ]+3≤−2√(5−4x)×15−4x +3=1， 当5−4x =15−4x 时即x =1时等号成立， 所以函数y =4x −2+14x−5的最大值为1．解析：本题考查利用基本不等式求函数的最值，关键要注意条件“一正二定三等”． (1)x +y =(x +y)(1x +9y )=10+9x y+yx 再利用基本不等式即可．(2)注意函数解析式的分母为4x −5，所以前面要配成4x −5，得到y =4x −5+14x−5+3，但4x −5<0，所以填上负号得y =−[(5−4x)+15−4x ]+3再用基本不等式求解即可．31.答案：解：(1)由化简得，令，则原问题等价于在上恒成立，则，设，当时，取得最大值，故的取值范围是．(2)不等式为，即，当时，原不等式解集为； 当时，方程的根为，.①当时，，原不等式解集为；②时，，原不等式解集为；③当时，，原不等式解集为；④当时，，原不等式解集为．解析：本题考查一元二次不等式的解与分类讨论思想，属于中档题．(1)分离变量，转化为求函数y =−2t 2+3t 的最大值，求出最大值，即可得到答案; (2)对a 分类讨论，解不等式即可．32.答案：解：(1)设另一个根为x 0，由{4+x 0=m +14x 0=2m −1，得x 0=52 (2)由Δ>0得m <1或m >5， 因为{x 1+x 2=m +1x 1x 2=2m −1, 所以1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 12x 22=(m+1)2−2(2m−1)(2m−1)2=3，解得m =0或m =1011，(3)当m =0时，x 2−x −1=0，且x ≠0， 所以x −1x =1，则x 3−1x 3=(x −1x )(x 2+1+1x 2) =(x −1x )[(x −1x )2+3]=4．解析：本题考查一元二次方程，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)利用韦达定理求解即可；(2)根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；(3)利用立方差公式求解即可得结果．第21页，共21页。
首都师大附中2019-2020学年上学期高一数学期末考试卷附答案详析
首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．24254．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[12-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +rr与-ra 2b r共线？（3）若（k a +r 2b r ）∈（-r r a kb ），求实数k 的值.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.解析首都师大附中2019-2020学年上学期期末考高一数学试卷一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为θ，则cos 2a b a bθ⋅===⋅r r r r ，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒．故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∵4cos 5θ===-， ∵3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=．故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫=⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>， 所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+u u u v u u u v u u u v,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD u u u r u u u r u u u r =+，∵2AD AC AE =-+u u u r u u u r u u u r，∵1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算 7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2fx x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：∈f （x ）221x x =+，∈f （x ）＝x 3，∈f （x ）＝cos 2πx ，∈f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．∈∈∈ B ．∈∈C ．∈∈D ．∈∈【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. ∵f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足； ∵f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；∵f （x ）＝cos2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ∵f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-u u u r u u u r 设(,)AP a b =u u u r ，由λμAP =AB +AE u u u r u u u r u u u r得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ）A ．2xy = B ．23y x-= C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x-=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意.故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12．在∈ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论：∈函数()h t 为偶函数； ∈函数()h t的值域为[1-；∈函数()h t 的周期为2； ∈函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】∵∵.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cossin22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-； 当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin 2f t t π=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有∵∵正确. 【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数. 四、解答题17．已知不共线向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20. （1）求a r •b r；（2）是否存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线？（3）若（k a +r2b r）∈（-rra kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，计算得到答案.（3）计算（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a r，b r满足|a r|＝3，|b r|＝2，（2-ra 3b r）•（2a b +rr）＝20， 所以42-ra 4a r •b -r32=rb 4×9﹣4a r •b -r 3×4＝20，解得a r •b=r1；（2）假设存在实数λ，使λa b +r r与-r a 2b r 共线，则()2a b m a b λ+=-r r r r ，故,12m m λ==-，12λ=-.即存在λ12=-，使得λa b +r r 与-r a 2b r 共线；（3）若（k a +r 2b r ）∵（-r r a kb ），则（k a +r 2b r ）•（-r r a kb ）＝0，即k 2+r a （2﹣k 2）a r •b -r 2k 2=r b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）= （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案. （3）计算2x 6π+∵[6π，76π]，再计算最值得到答案. 【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∵R ），且f （3π）=∵f （3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+）， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∵Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∵Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∵Z ， （3）∵x ∵[0，2π]，可得：2x 6π+∵[6π，76π]，∵当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣1. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(∈)求sin BDC ∠的值；(∈)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（∵）7； （∵）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(∵) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(∵)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(∵)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∵sin 7BDC ∠=． (∵)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∵116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯=⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD⨯∠⨯∠===∠∠，∵156022.540t=⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数. 【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∵（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∵f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0，即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∵()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∵[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ）， 记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ），记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾；∵f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.所以f（x）不是R上的C函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期中数学试题(B)(解析版)
2019-2020学年第一学期期中考试高一数学（B卷）一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
（共10小题，每小题5分，共50分.）1.已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x-1）（x-3）＜0}，则A∩B=（）A. {x|x＞1}B. {x|2＜x＜3}C. {x|1＜x＜3}D. {x|x＞2或x＜3}【答案】B【解析】【分析】求出集合B，进而可求A∩B.【详解】解：由已知得B={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2.已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为（）A. ∀c＞0，方程x2-x+c=0无解B. ∀c≤0，方程x2-x+c=0有解C. ∃c＞0，方程x2-x+c=0无解D. ∃c≤0，方程x2-x+c=0有解【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.【详解】命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为∀c＞0，方程x2-x+c=0无解,故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3.已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ） A. （-∞，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）【答案】C 【解析】 【分析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题. 4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A. y =x 2B. y =3xC. y =x +1D. y【答案】B 【解析】 【分析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断.【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减； 对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y ，其为非奇非偶函数，故排除， 故选：B .【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5.若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A. ac ＞bc B. a c ＞b cC. a 2＞b 2D.21ac +＞21b c + 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题.6.函数f (x 的最大值为 （ ）A. 2 5B. 1 2C.2D. 1【答案】B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()112f x x ==≤+=，即1x =时取等号．故选B ． 7.5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A. 3 B. 0C. -3D.13【答案】C 【解析】 【分析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题. 9.已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围．【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+-=()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ．【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10.给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②.【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B .【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.计算210.00013427--2327()8【答案】134【解析】 【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂运算性质，是基础的计算题. 12.函数y 21x -11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【解析】【分析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围.【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1 【解析】 【分析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值.【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14.如果关于x 方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【解析】 【分析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题. 15.能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______． 【答案】 (1). ()f x x = (2). ()1g x x =- 【解析】 【分析】由不等式恒成立可设()f x x =，()1g x x =-，结合单调性求出其在[]0,2上的最大值，即可得到符合题意．【详解】“若()()f x g x >对任意的[02]x ∈，都成立， 则()f x 在[]0,2上的最小值大于()g x 在[]0,2上的最大值”， 可设()f x x =，()1g x x =-，显然()()f x g x >恒成立，且()f x 在[]0,2的最小值为0，()g x 在[]0,2的最大值为1， 显然不成立，故答案为()f x x =，()1g x x =-．【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，熟练掌握初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．16.已知函数22,(),x x x af x x x a ⎧-+≤=⎨>⎩.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】 (1). R (2). []0,1 【解析】 【分析】（1）根据分段函数单调性求值域，（2）先根据分段函数解析式关系确定讨论点，再结合图象确定满足条件的参数范围.【详解】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩当1x >时，()1f x x =>当1x ≤时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤ 所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R +∞-∞=（2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+≥，即01x ≤≤时，所以当01a ≤≤时，函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =无公共点， 因此实数a 的取值范围是[]0,1 故答案：(1). R (2). []0,1【点睛】本题考查分段函数值域以及根据函数图象交点个数求参数，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题（共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|22A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0]1，【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式得解；（2）由题得22a -≥-且23a +≤，解不等式得解.【详解】（1）||2x a -<22x a ∴-<-<{|22}A x a x a ∴=-<<+ ∵2112x x -<+ ∴302x x -<+ ∴(2)(3)0x x +-<∴23x -<<{|23}B x x ∴=-<<（2）∵A B ⊆22a ∴-≥-且23a +≤，01a ∴≤≤即a 取值范围为[0]1，【点睛】本题主要考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.【答案】⑴b ＝2；⑵见解析.【解析】【分析】（1）把点的坐标代入f （x ）计算；（2）对f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值．【详解】解：（1）把（4，3）代入f（x）得16﹣8b+3＝3，∴b＝2．（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝b．①若b≤﹣1，则f（x）在[﹣1，2]上是增函数，∴f min（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝1，解得b＝﹣32．∴f max（x）＝f（2）＝7﹣4b＝13．②若b≥2，则f（x）在[﹣1，2]上是减函数，∴f min（x）＝f（2）＝7﹣4b＝1，解得b＝32（舍）．③若﹣1＜b＜2，则f（x）在[﹣1，b]上是减函数，在（b，2]上增函数．∴f min（x）＝f（b）＝﹣b2+3＝1，解得b＝2或b＝﹣2（舍）．∴f max（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝4+22．综上，当b≤﹣1时，f（x）的最大值为13，当﹣1＜b＜2时，f（x）最大值为4+22．【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．19.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在函数y=-120（1+k2）x2+kx（k＞0）表示的图像上，其中k是与发射方向有关的参数，炮的射程是指炮弹落地点到原点的距离．．．．．．．．．．．．．．．．．.（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.【答案】（1）10千米（2）当横坐标不超过6千米时，炮弹可以击中目标；详见解析【解析】【分析】（1）求炮的最大射程即求y=-120（1+k2）x2+kx（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.【详解】（1）在y =-120（1+k 2）x 2+kx （k ＞0）中， 令y =0，得-120（1+k 2）x 2+kx =0， x 1=0（舍），x 2=2201k k +=201k k+≤202=10（当且仅当k =1时取“=”） ， ∴炮的最大射程是10千米；（2）设飞行物的横坐标为m ，由函数式得：-120（1+k 2）m 2+km =3.2（k ＞0） ⇒m 2k 2-20mk +（m 2+64）=0，∴△=400m 2-4m 2×（m 2+64）≥0，∴m ≤6，此时k =2202m m+＞0， ∴当m 不超过6千米时，炮弹可以击中目标.【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”. （1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论） （2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围； （3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x A x x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B . 【答案】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0） 【解析】 【分析】 （1）直接利用信息判断结果； （2）利用信息的应用求出参数的取值范围； （3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果. 【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；（2）∵f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，∴f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，∴a＞0，∴a的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x≠0，若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴0∈A，经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
2019北京师大附中高一(上)期末数学
2019北京师大附中高一（上）期末数学本试卷有三道大题。
考试时长120分钟，满分150分。
一、本大题共10小题，共40分。
1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.已知向量，，若⊥，则t=（）A. 0B. -1C. 1D. 23.下列函数的最小正周期为π且图象关于直线对称的是（）A. B.C. D.4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B.C. D.6.函数（其中）的图象的一部分如图所示，则（）A. B. C. D.7.已知a，b为非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.计算：的结果是（）A. -4B. -2C. 2D. 49.已知，当时，为增函数。
设，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.10.函数是定义域为R的偶函数，当时，,若关于x的方程有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于__________。
12.已知，且角终边上一点为，且，则________。
13.已知为锐角，，，则________。
14.平面向量a与b的夹角为60°，a，|b|=1，则|a+2b|=____________。
15.已知，则的最小值为____________。
16.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,点P是斜边AB上的一个三等分点，则_____。
三、解答题：共6个小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.已知，且。
（1）求的值；（2）求的值。
18.已知函数。
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1. “sin x =12”是“x =π6”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2. 已知√2|a ⃗ |=|b ⃗ |≠0，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角大小为( )A. π2B. π3C. π4D. π63. 已知sinθ=45，sin θcos θ<0，则sin 2θ= ( )A. −2425B. −1225C. −45D. 24254. 下列既是偶函数，又在区间[−3,−1]上单调递增的是( )A. f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0B. f(x)=ln |x|C. f(x)=−x 4D. f(x)=−1x5. 已知偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数．若a =f(log 215)，b =f(log 123)，c =f(2−0.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. c <a <b6. 函数y =tanx (π4≤x ≤3π4且x ≠π2)的值域是( )A. [−1,1]B. (−∞,−1]∪[1,+∞)C. (−∞,1]D. [−1,+∞)7. 在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 1 B. 2C. 32D. 48. 设函数f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则( )A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减 C. f(x)在(0,π2)单调递增D. f(x)在(π4,3π4)单调递增9. 函数y =sinx 1−x的部分图像大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +u AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,u ∈R)，则λ+u 的值为( ) A. 14B. 13C. 1D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 函数f(x)=11−x +lg(x +1)的定义域是________12. 在△ABC 中，已知sinA =23，cosB =12，则 cos C 的值为______ ． 13. 已知tanα=2，则cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)= ______ ．14. 已知y =log a (2−ax)的图象在区间[0,1]上是单调递减的，则2a 的取值范围是_________． 15. 下列不等式：①lg(x 2+14)>lg x(x >0)； ②sin x +1sin x ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)；③x 2+1≥2|x|(x ∈R)； ④1x 2+1<1(x ∈R)．其中一定成立的是________(填序号)．16. 若函数f(x)=(2−a)x 2+(a −1)x +3是偶函数，则函数f(2x +1)的值域为______________三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值；(2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．18. 已知(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间(2)若关于x 的方程f(x)−k =0在区间上有解，求k 的取值范围19. 在某海域A 处正东方向相距80海里的B 处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30∘，相距40海里的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tanθ的值．20.设f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，当x∈(−1,1)时，f(x)=x2.求x∈(1,3)时，f(x)的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的公式是解决本题的关键． 解：当x =π6时，sinx =sin π6=12， 当x =5π6时，满足sinx =12，则x =π6不成立， 即“sin x =12”是“x =π6”的必要不充分条件． 故选B ．2.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算与两向量夹角的计算，是基础题． 通过向量的数量积运算与平面向量夹角的范围，即可求出夹角θ的大小． 解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )，即a ⃗ ·(a ⃗ −b ⃗ )=0， ，∴cosθ=|a ⃗ ||b⃗ |=√22， 由于θ∈[0,π]， ∴θ=π4．故选C ．3.答案：A解析：本题考查了二倍角公式及应用，先求余弦值，再代入公式，属于基础题． 解：∵sinθ=45，sinθcosθ<0， ∴cosθ=−√1−sin 2θ=−35， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故选A ．4.答案：C解析：本题考查函数奇偶性以及单调性的判定，属于基础题． 利用函数的性质即可求解．解：f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减；f(x)=ln |x|为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减； f(x)=−x 4为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； f(x)=−1x 为奇函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； 故选C ．5.答案：A解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数， ∴函数f(x)在[0,+∞)上是减函数， a =f(log 215)=f(−log 25)=f(log 25)，b =f(log 123)=f(−log 23)=f(log 23)，∵0<2−0.8<1<log 23<2<log 25， ∴f(2−0.8)>f(log 23)>f(log 25)， 即c >b >a ， 故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．6.答案：B解析：本题考查正切函数的单调性及运用：求值域，考查运算能力，属于基础题． 由正切函数的单调性可知，函数y =tanx 在上都是增函数，即可得到值域．解：函数y =tanx 在上都是增函数， 当时，y =1，当时，y =−1，则有y ≥1或y ≤−1． 则值域为(−∞,−1]∪[1,+∞)． 故选B ．7.答案：A解析：本题考查向量的加减运算，考查了平面向量的基本定理及其应用，考查运算能力，属于中档题． 解：在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， (λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得λ+μ=1． 故选A ．8.答案：A解析：本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象和性质，属于中档题． 根据周期算出ω，然后根据f(−x)=f(x)求出ϕ． 解：由于f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)， 由于该函数的最小正周期为π=2πω，得出ω=2，又根据f(−x)=f(x)，以及|ϕ|<π2，得出ϕ=π4． 因此，f(x)=√2sin(2x +π2)，若x ∈(0,π2)，则2x +π2∈(π2,3π2)，从而f(x)在(0,π2)单调递减， 若x ∈(π4,3π4)，则2x +π2∈(π,2π)， 此时函数f(x)不是单调的， 故B,C,D 都错， 故选A ．9.答案：B解析：本题考查函数图象及函数定义域，分析函数的定义域及特殊点的函数值即可求解.属基础题．解： 因为函数y =sinx 1−x的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，所以排除A ，D ， 又当x =0时，y =0， 所以排除C ． 故选B ．10.答案：A解析：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于三点B,M,C 共线，所以4λ+4μ=1，从而λ+μ的值为14，故选A ．11.答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：本题主要考查函数的定义域，以及对数函数的性质，根据题意列出关于x 的式子，解出即可得到结果．解：要使函数有意义，需满足：{1−x ≠0x +1>0，解得x >−1且x ≠1，∴函数的定义域为：(−1,1)∪(1,+∞)． 故答案为(−1,1)∪(1,+∞)．12.答案：2√3−√56解析：解：∵△ABC 中，sinA =23，cosB =12， ∴B =60°，假设A 为钝角，sinA =23>sin120°=√32，则A >120°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，∴A 为锐角 ∴cosA =√53，sinB =√32， 当cosA =√53时，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−√53×12+23×√32=2√3−√56，故答案为：2√3−√56利用同角三角函数的基本关系求出cos A ，sin B ，再由cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB 求出结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．13.答案：−1解析：解：由cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=cos 2α−sin 2α−cosαsinαsin 2α+cos 2α=1−tan 2α−tanαtan 2α+1，∵tanα=2，∴cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=1−4−24+1=−1．故答案为：−1．利用诱导公式和二倍角公式化简，构造tanα，可得答案．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式和二倍角公式化简应用，属于基本知识的考查．14.答案：(2,4)解析：【分析】本题考查对数函数，指数函数及复合函数的单调性，属于基础题．根据题意令u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数，可知y =log a u 是增函数，即可得到a >1，结合2−a >0以及指数函数的性质，即可求解2a 的取值范围． 【解答】解：因为y =log a (2−ax)在[0,1]上单调递减， u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数， 所以y =log a u 是增函数， 所以a >1，又2−a >0， 所以1<a <2， 2<2a <4． 故答案为(2,4)15.答案：③解析：本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．解：对于①，lg(x 2+14)>lgx(x >0)等价于x 2+14>x ，即(x −12)2>0，故得x ≠12，而题设x >0，当x =12时不成立；对于②，sinx +1sinx ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)当且仅当sin 2x =1时取等号，此时x =kπ2，与题设x ≠kπ2,k ∈Z 矛盾，所以不成立；对于③，x 2+1≥2|x|(x ∈R)等价于|x|+1|x|≥2，当且仅当x =±1时取等号，故成立； 对于④，1x 2+1<1(x ∈R)等价于x 2+1<1，即x 2<0，无解，故不成立． 故答案为③．16.答案：解析：本题考查函数单调性、奇偶性及函数值域，属于基础题.根据函数f(x)是偶函数，求出a 的值，在利用换元法即可求出函数值域．解：∵f(x)=(a −2)x 2+(a −1)x +3是偶函数，∴f(−x)=f(x)，则(a −2)x 2−(a −1)x +3=(a −2)x 2+(a −1)x +3，即a −1=0，解得a =1，所以f (x )=x 2+3，所以f (2x +1)=(2x +1)2+3=22x +2×2x +4，令2x =t(t >0)，则f(t)=t 2+2t +4，对称轴为t =−1，所以f(t)在(0,+∞)为增函数，最小值4， 故值域为故答案为．17.答案：解：(1)因为向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)． 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)，所以3(m +1)−m =0．所以m =−32．(2)由(1)可知，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,m +3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −4,m +2)．因为△ABC 为直角三角形，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −1)+m +3=0，解得m =0； 当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −4)+m +2=0，解得m =52； 当AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有(m −1)(m −4)+(m +3)(m +2)=0，解得m ∈⌀．所以实数m 的值为0或52．解析：(1)通过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平行的充要条件，列出关系式即可求实数m 的值；(2)利用三角形的直角的可能性，通过向量的数量积为0，求实数m 的值．本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直与平行关系的应用，考查计算能力．18.答案：解：(1)由题意，．故f(x)的最小正周期为， 由，解得．故f(x)的单调递增区间为； (2)由(1)可知，， ，，， 此时． 又因为方程f(x)−k =0有解，故k ∈[0,3]．故实数k 的取值范围为[0,3]．解析：本题考查三角函数的恒等变形以及正弦，余弦函数的图象与性质，属于中档题.熟练掌握三角函数的两角和与差公式，二倍角公式是解题的关键．(1)通过三角函数的恒等变形，得出，可求出f(x)的最小正周期和单调递增区间； ，，，则可求得k 的取值范围． 19.答案：解：(1)在图中的△ABC 中，AB =80，AC =40，∠BAC =120°，由余弦定理可知：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ·AC ·cos120°，即BC 2=802+402−2⋅80⋅40⋅(−12)=11200，故BC =40√7，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40√760=2√73小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin∠ACB =BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB =AB BC sin∠BAC =√217， 显然∠ACB 为锐角，故cos∠ACB=2√77，tan∠ACB=√32，而θ=∠ACB+30°.故tanθ=tan(∠ACB+30∘)=tan∠ACB+tan30∘1−tan30∘tan∠ACB =5√33．解析：本题主要考查解三角函数的应用问题．(1)直接利用余弦定理求出BC的值即可;(2)根据正弦定理以及同角三角函数关系求出∠BAC的正弦以及余弦，而θ=∠ACB+30°，再根据两角和与差的三角函数关系求值即可．20.答案：本题主要考查利用函数的周期推导函数的解析式．解：当x∈(1,3)时，x−2∈(−1,1)，又因为函数f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，所以当x∈(1,3)时，f(x)=f(x−2)=(x−2)2．解析：本题考查了函数的基本性质(周期)的运用．属于基础题．。
首都师范大学附属中学2019-2020学年第一学期高一年级月考试卷数学及答案
2019-2020学年首师附第一学期高一年级月考试卷（数学）一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）1．已知集合A={x|-2＜x ＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B =A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{-2，0，1，2}D ．{-1，0，1，2}2．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是A ．a 1＜b 1B ．ab ＜b 2C ．-ab ＜-a 2D ．-a 1＜-b1 3．若-1≤x ＜y ≤1，则x-y 的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，0）C ．（0，2]D ．（-2，2）4．已知a+b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是A ．a ＞b ＞-b ＞-aB ．a ＞-b ＞-a ＞bC ．a ＞-b ＞b ＞-aD ．a ＞b ＞-a ＞-b5．“x ＞3”是“x 2-5x+6＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合P={x|x 2≤1}，M={a}，若P ∪M=P ，则a 的取值范围是A ．（-∞，-1]B ．[1，+∞）C ．[-1，1]D ．（-∞，-1]∪[1，+∞）7．给出下列命题： ①∃x ∈Z ，使x 3＜1； ②∃x ∈Q ，使x 2=2；③∀x ∈N ，使x 3＞x 2； ④∀x ∈R ，使x 2+x+1＞0其中正确的命题是A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④8．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个9．如图所示，I 是全集，A ，B ，C 是I 的子集，则阴影部分表示的集合是A ．（A ∩B ）∩C B ．（A ∩C I B ）∩CC ．（A ∩B ）∩（C I C ）D ．（C I B ）∪A ∩C10．已知ab ≠0，则“a-b=1”是“a 3-b 3-ab-a 2-b 2=0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1+a 2=b 1+b 2=1，则下列代数式中值最大的是A ．a 1b 1+a 2b 2B ．a 1a 2+b 1b 2C ．a 1b 2+a 2b 1D ．21 12．用三个不等式a ＞b ，ab ＞0，a 1＜b1中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．313．已知集合A={x|x=2m-1，m ∈Z }，B={x|x=2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列说法不正确的是A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1+x 2∈BD ．x 1+x 2+x 3∈A14．设集合A={x|-1≤x ＜2}，B={x|x ＜a}，若A ∩B ≠Φ，则a 的取值范围是A ．（-∞，2）B ．（2，+∞）C ．（-1，+∞）D ．（-1，2]15．由实数x ，-x ，|x|，2x ，-33x 所组成的集合最多含A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素16．若集合A={x||x|≤1,x ∈R }，B={y|y=x 2,x ∈R }，则A ∩B=A ．{x|-1≤x ≤1}B ．{x|x ≥0}C ．{x|0≤x ≤1}D ．Φ17．不等式(x+1)(|x|-1)＞0成立的充分不必要条件可以是A ．x ∈（1，+∞）B ．x ∈（2，+∞）C ．x ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）D ．x ∈（-∞，-1）18．设p ：函数y=3x 2+4x+m 的图像与x 轴无交点，q ：m ≥2-x 2对任意的x ∈R 恒成立，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件19．关于x 的方程x 2+(m-3)x+7-m=0的两根都大于3，则m 的取值范围是A ．（-∞，1-25）∪（1+25，+∞）B ．（-27，1-25] C ．（-∞，-27）∪（1-25，+∞） D ．（-∞，1-25] 20．设计和S={A 0，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5}，在S 上定义运算“⊕”为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3,4,5，则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x （x ∈S ）的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）21．命题“∃x ∈R ，x 2+x+1＞0”的否定是_______________________________。
北京市首都师范大学附属中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案.【详解】由6πθ=可得1sin 2θ=，由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =，()1,2b =，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos 91a b a bθ⋅===+⋅ 又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A. 725-B.725C. 2425-D.2425【答案】D 【解析】 【分析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负． 4.下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A. 2xy =B. 23y x-=C. 1y x x=- D.()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A 选项，2x y =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A. c a b <<B. c b a <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B.6.函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，3 sin,0,22cos tansin,.2x x xy x xx xπππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.如图，正方形ABCD中,E为DC的中点,若AD AC AEλμ=+,则λμ-的值为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 3-【答案】D【解析】【详解】因为E是DC的中点，所以1()2AE AC AD=+，∴2AD AC AE=-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．考点：平面向量的几何运算8.已知函数()()sinf x xωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A. 有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. 有一条对称轴6x π=C. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B 【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.9.对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ①②③ B. ②③C. ③④D. ①④【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力. 10.延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A. 满足2λμ+=的点P 必为C B 的中点B. 满足1λμ+=的点P 有且只有一个C. λμ+的最小值不存在D. λμ+的最大值为3 【答案】D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 二、填空题共6小题每小题5分共30分 11.函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞ 【解析】 【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12.在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0 【解析】 【分析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 13.已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2 【解析】 【分析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==. 原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2.【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.【答案】(]1,2 【解析】 【分析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误. 15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2 【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5 当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用 16.已知函数π()sin2f x x =，任取t R ∈，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论： ①函数()h t 为偶函数；②函数()h t值域为[12-； ③函数()h t 的周期为2； ④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈. 其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）【答案】③④. 【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()cos12h t t π=+当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()1sin 2h t t π=-；当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()sin cos 22h t t t ππ=-； 当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时； 当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin 2f t t π=，此时13[2,2],22k k k Z ++∈ 作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为，故只有③④正确.考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数. 三、解答题共4小题共40分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20.（1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线？（3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），求实数k 的值.【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】【分析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=-，计算得到答案. （3）计算（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20，所以42-a 4a •b -32=b 4×9﹣4a •b -3×4＝20，解得a •b =1；（2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=-，故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +与-a 2b 共线； （3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），则（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，即k 2+a （2﹣k 2）a •b -2k 2=b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）（a ∈R ），且f （3π）=（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】【分析】 （1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案.【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）（a ∈R ），且f （3π）=∴f （3π）12=（122a -）=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 1213322cos x +-=⨯-sin 2x 3-=cos （2x 6π+）3-， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ， （3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]， ∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）3-取得最小值为﹣13-. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19.如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ）37； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】【分析】(Ⅰ) 在BDC 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯= ⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠， ∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20.f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数.（1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2），∴f 1（x ）＝x 2是C 函数； ()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2），∴()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m T--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），这与f （m ）＜f （n ）矛盾；（ii ）若f （m ）＞f （n ），记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n m T--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数，又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。
2019-2020年北京首师大附中高一上数学期中试卷及答案
首都师范大学附中2019-2020学年第一学期高一年级上学期数学期中综合练习（满分：120分）一、选择题（每题3分，共30分）1．设集合A ={a,a 2,0}，B ={2,4}，若A ∩B ={2}，则实数a 的值为（ ）A ． 2B ． ±2C ． √2D ． ±√22．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1+a 2=b 1+b 2=1，则下列代数式中值最大的是A ．a 1b 1+a 2b 2B ．a 1a 2+b 1b 2C ．a 1b 2+a 2b 1D ．213．下列函数中，是偶函数的是（ ）A ． f(x)=1x B ． f(x)=lgx C ． f(x)=e x −e −x D ． f(x)=|x| 4．已知p:|x-m|＜1，q ：x 2-8x+12＜0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为：A ．（3，5）B ．[3，5]C ．（-∞，3）∪（5，+∞）D ．（-∞，3]∪（5，+∞） 5．已知f(x +1)=√x ，则函数f(x)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．关于x 的方程x 2+(m-3)x+7-m=0的两根都大于3，则m 的取值范围是A ．（-∞，1-25）∪（1+25，+∞）B ．（-27，1-25]C ．（-∞，-27）∪（1-25，+∞） D ．（-∞，1-25]7．用列举法可以将集合A={a|a 使方程ax 2+2x+1=0有唯一实数解}表示为 （ ）A ．A={1}B ．A={0}C ．A={0，1}D ．A={0}或{1}8．已知集合M={m|m=a+b 2，a ，b ∈Q }，则下列四个元素中属于M 的元素的个数是①1+2π；②2611+；③221+；④32-+32+（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．下列不等式正确的是 （ ）A ．x 2+23x ≥23 B ．a 2+b 2≥4ab C ．ab ≥2ba + D ．a+a4≥4 10．“x ＞3”是“x 2-5x+6＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（每题3分，共30分）1．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________。
2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷
2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷一、填空题1. 已知直线方程为y −3=−√3x −4，则该直线的倾斜角是________.2. 经过点A (2,−1)且与直线3x +4y −6=0平行的直线方程为________.3. 设z =(2−i )2（i 为虚数单位），则复数z 的模为________．4. 设向量a →=(1,2)，b →=(2,3)，若向量λa →+b →与向量c →=(−4,−7)共线，则λ=________.5. 已知向量a →，b →夹角为45∘，且|a →|=1，|2a →−b →|=√10，则|b →|=________．6. 直线l 的方程为5ax −5y −a +3=0，则直线l 必过定点________.7. 以A (1,3)和B (−5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是________．8. 与直线3x +4y +2=0的距离等于l 的直线方程为________.9. 在△ABC 中，下列命题中所有正确命题的代号是________. ①AB →−AC →=BC →； ②AB →+BC →+CA →=0→；③若(AB →+AC →)⋅(AB →−AC →)=0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →⋅AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．10. 已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m +2i =2−ni ，则m+nim−ni 的共轭复数为________．11. 经过点M (2,2)且在两轴上截距相等的直线是________．12. 若关于x ，y 的方程x 2+y 2−2x −4y +m =0表示圆，则实数m 的取值范围是________．13. 已知圆的方程为(x −1)2+(y −1)2=9，过圆内一点P (2,3)作弦，则最短弦长为________.14. 若圆(x −4)2+(y +3)2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线4x −3y −6=0的距离为2，则半径r 的取值范围是________．15. 如图，ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC →⋅PD →的取值范围是________．16. 如图，α∈(0,π2)∪(π2,π)，当∠xOy =α时，定义平面坐标系xOy 为 α− 仿射坐标系．在α−仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：e 1→，e 2→分别为与x 轴、y 轴正向相同的单位向量，若OP →=xe →1+ye →2，则记为OP →=(x,y)．若在仿射坐标系中，已知a →=(m,n )，b →=(s,t )，下列结论中正确的是________．①若a →=b →，则m =s ，n =t ； ②若a →//b →，则mt −ns =0； ③若a →⊥b →，则ms +nt =0 ；④若m =t =1，n =s =2，且a →与b →的夹角π3，则α=2π3．17. 设两个非零向量e 1→和e 2→不共线． （1）如果 AB →=e 1→+e 2→，BC→=2e 1→+8e 2→，CD→=3e 1→−3e 2→，求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若|e 1→|=2，|e 2→|=3，e 1→与e 2→的夹角为60∘，是否存在实数m ，使得me 1→+e 2→与e 1→−e 2→垂直？18. 如图，已知△OCB 中，B 、C 关于点A 对称，D 是将OB 分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →=a →，OB →=b →．（1）用a →，b →表示向量OC →，DC →．（2）若OE →=λOA →，求实数λ的值．19. 已知在平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是2+3i 和1+4i ． （1）分别求AD →，BD →对应的复数；（2）若以AC 为一边，构造一个等边△ACP ，求AP →对应的复数．20. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆与直线x −√3y −4=0相切． （1）求圆O 的方程；（2）若已知点P (1,2) ，过点P 作圆O 的切线，求切线的方程；（3）设点M (x,y )为圆O 上任一动点，写出y−2x−1的取值范围（直接写答案）．21. 已知一曲线是与定点P (52，−2),Q (7,−2)距离之比为12的点的轨迹， （1）求此曲线C 方程；（2）若点T (m,−2)在曲线C 的内部，求m 的取值范围；（3）是否存在斜率是l 的直线l ，使l 被曲线C 截得的弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析2019-2020学年北京北京高一上数学期末试卷一、填空题1.【答案】【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】【考点】平行向量的性质平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】【考点】直线系方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】【考点】直线系方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】【考点】直线的一般式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】【考点】命题的真假判断与应用平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】i【考点】复数的运算【解析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】m，n∈R，且m+2i＝2−ni，可得m=2，n=−2，m+ni m−ni =2−2i2+2i=1−i1+i=(1−i)(1−i)2=−i．它的共轭复数为i，故答案为i．11.【答案】【考点】直线的截距式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】m<5（或(−∞, 5)）【考点】二元二次方程表示圆的条件【解析】根据圆的一般式方程x2+y2+dx+ey+f=0(d2+e2−4f>0)，列出不等式4+16−4m>0，求m的取值范围．【解答】解：关于x，y的方程x2+y2−2x−4y+m=0表示圆时，应有4+16−4m>0，解得m<5，故答案为：(−∞, 5)．13.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】[0, 16]【考点】平面向量数量积的运算【解析】以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系，可得C(2, 4)，D(−2, 4)，P(2cosα, 2sinα)，得到PC→、PD→坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得PC→⋅PD→=16−16sinα，再结合α∈[0, π]，不难得到PC→⋅PD→的取值范围．【解答】解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图坐标系则圆弧APB方程为x2+y2=4，(y≥0)，C(2, 4)，D(−2, 4)因此设P(2cosα, 2sinα)，α∈[0, π]∴PC→=(2−2cosα, 4−2sinα)，PD→=(−2−2cosα, 4−2sinα)，由此可得PC→⋅PD→=(2−2cosα)(−2−2cosα)+(4−2sinα)(4−2sinα)=4cos2α−4+16−16sinα+4sin2α=16−16sinα化简得PC→⋅PD→=16−16sinα∵α∈[0, π]，sinα∈[0, 1]∴当α=0或π时，PC→⋅PD→取最大值为16；当α=π2时，PC→⋅PD→取最小值为0．由此可得PC→⋅PD→的取值范围是[0, 16]故答案为：[0, 16]16.【答案】【考点】向量加减混合运算及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】【考点】向量的共线定理平行向量的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 18. 【答案】解：（1）由题意知A 是BC 的中点，且OD →=23OB →， 由平行四边形法则得OB →+OC →=2OA →， 则OC →=2OA →−OB →=2a →−b →，则DC →=OC →−OD →=2a →−b →−23b →=2a →−53b →． （2）由图知EC → // DC →，∵ EC →=OC →−OE →=2a →−b →−λa →=(2−λ)a →−b →，DC →=2a →−53b →， ∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．【考点】向量加减混合运算及其几何意义 【解析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用a →，b →表示向量OC →，DC →． （2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值． 【解答】解：（1）由题意知A 是BC 的中点，且OD →=23OB →，由平行四边形法则得OB →+OC →=2OA →， 则OC →=2OA →−OB →=2a →−b →，则DC →=OC →−OD →=2a →−b →−23b →=2a →−53b →． （2）由图知EC → // DC →，∵ EC →=OC →−OE →=2a →−b →−λa →=(2−λ)a →−b →，DC →=2a →−53b →， ∴2−λ2=−1−53，解得λ=45．19.【答案】【考点】平行向量的性质 复数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 20.【答案】 【考点】直线与圆的位置关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 21.【答案】 【考点】圆锥曲线的轨迹问题与直线有关的动点轨迹方程【解析】此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答。
2020北京首师大附中高一(上)期末数学含答案
2020北京首师大附中高一（上）期末数学一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．（5分）设θ＝R，则“θ＝，是“sinθ＝”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量，的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．135°3．（5分）设θ为第三象限角，，则sin2θ＝（）A．B．C．D．4．（5分）下列函数既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y＝2|x|B．y＝x C．y＝﹣x D．y＝ln（x2+l）5．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a＝f（log47），b ＝，c＝f（0.2﹣0.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c6．（5分）如图所示，函数y＝cos x|tan x|（0≤x＜且x≠）的图象是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ﹣μ的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣38．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期是π，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数图象过点P（0，1），则函数f（x）＝sin（ωx+φ）（）A．有一个对称中心（，0）B．有一条对称轴x＝C．在区间[﹣，]上单调递减D．在区间[﹣，]上单调递增9．（5分）对于函数f（x），若存在区间M＝[a，b]（a＜b）使得{y|y＝f（x），x∈M}＝M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：①f（x）＝，②f（x）＝x3，③f（x）＝cos x，④f（x）＝tan x其中存在“稳定区间”的函数有（）A．①②B．②③C．③④D．①④10．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有且只有一个C．λ+μ的最大值为3D．λ+μ的最小值不存在二、填空题共6小题每小题5分共30分11．（5分）函数的定义域为．12．（5分）在△ABC中，cos A＝，cos B＝，则cos C＝．13．（5分）已知tan（3π+α）＝2，则＝．14．（5分）若函数y＝log a（2﹣ax）在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围为．15．（5分）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过h后池水中药品的浓度达到最大．16．（5分）已知函数f（x）＝sin，任取t∈R，记函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M t，最小值为m t，记h（t）＝M t﹣m t．则关于函数h（t）有如下结论：①函数h（t）为偶函数；②函数h（t）的值域为[1﹣，1]；③函数h（t）的周期为2；④函数h（t）的单调增区间为[2k，2k]，k∈Z．其中正确的结论有．（填上所有正确的结论序号）三、解答题共4小题共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．（10分）已知不共线向量，满足||＝3，||＝2，（2﹣3）•（2+）＝20．（1）求•；（2）是否存在实数λ，使λ+与﹣2共线？（3）若（k+2）⊥（﹣k），求实数k的值．18．（10分）已知函数f（x）＝cos x（a cos x﹣sin x）﹣（a∈R），且f（）＝﹣．（1）求a的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在区间[0，]上的最小值及对应的x的值．19．（10分）如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得B，D间的距离为21海里．（Ⅰ）求sin∠BDC的值；（Ⅱ）试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？20．（10分）f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f （αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数．（1）试判断函数f1（x）＝x2，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；（2）若f（x）是定义域为R的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数．2020北京首师大附中高一（上）期末数学参考答案一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【解答】解：设θ＝R，若“θ＝时，则“sinθ＝sin＝”故“θ＝，能推出“sinθ＝”，若“sinθ＝”则“θ＝+2kπ，k∈Z；或θ＝5+2kπ，k∈Z；故：“sinθ＝”不能推出“θ＝，由充要条件可判断：θ＝R，“θ＝，是“sinθ＝”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．【分析】先求出2个向量的坐标，再利用两个向量的数量积的定义和公式求得cosθ的值，可得向量，的夹角为θ的值．【解答】解：由题意可得＝（3，1），＝（1，2），设向量，的夹角为θ，则θ∈[0°，180°]，则cosθ＝＝＝，∴θ＝45°，故选：A．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．3．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ的值，进而根据二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．【解答】解：∵θ为第三象限角，，∴cosθ＝﹣＝﹣，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝2×（﹣）×（﹣）＝．故选：D．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2|x|＝，为偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不符合题意；对于B，y＝＝，为幂函数，是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递增，符合题意；对于C，y＝﹣x，为奇函数，不符合题意；对于D，y＝ln（x2+1），既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．5．【分析】由题意首先比较自变量的大小，然后结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴b＝f（﹣log23）＝f（log23），∵2＞log23＝log49＞log47＞1，0.2﹣0.6＞2，∴0.2﹣0.6＞log49＞log47，∵在（﹣∞，0]上是增函数，∴在[0，+∞）上为减函数，则c＜b＜a，故选：B．【点评】本题考查函数的单调性，函数的奇偶性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．6．【分析】根据x的取值情况分类讨论，去掉|tan x|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．【解答】解：∵y＝cos x|tan x|＝，∴函数y＝cos x|tan x|（0≤x≤且x≠）的图象是C．故选：C．【点评】本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题．7．【分析】利用平面向量的三角形法则，将用表示，再由平面向量基本定理得到λ，μ的值．【解答】解：由题意，因为E为DC的中点，所以，所以，即，所以λ＝﹣1，μ＝2，所以λ﹣μ＝﹣3；故选：D．【点评】本题考查了三角形中线的向量性质以及平面向量基本定理的运用；属于基础题．8．【分析】根据最小正周期是π，可得ω，通过变换规律后，图象过点P（0，1），求解φ，可得函数f（x）的解析式，即可判断各选项．【解答】解：由题意，函数f（x）的最小正周期是π，即，∴ω＝2．∴f（x）＝sin（2x+φ），f（x）的图象向左平移个单位，可得：sin（2x++φ），此时图象过P（0，1），可得：+φ＝+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ＝．∴f（x）＝sin（2x+），令是单调递增，可得：，k∈Z，∴C选项不对，令是单调递增，可得：≤x≤+kπ，k∈Z，∴D选项不对，由2x+＝kπ，得x＝可得对称中心为（，0），考查A不对．由2x+＝kπ，得x＝，可得对称轴方程为x＝，当k＝0时，可得x＝，∴B选项对．故选：B．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用已知条件求出f（x）解析式是解决本题的关键．属于中档题．9．【分析】根据已知条件可得，要让函数f（x）存在稳定区间，则函数y＝x与f（x）的图象至少有两个交点，所以判断给出的四个函数和函数y＝x的交点情况即可．【解答】解：通过已知条件知：若f（x）存在稳定区间，则函数y＝x与f（x）图象至少有两个交点；①f（x）＝，通过图象可以看出，y＝x与f（x）＝的图象有3个交点，∴该函数存在稳定区间；所以①正确；②f（x）＝x3，x∈[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，即存在M＝[﹣1，1]，使得{y＝f（x），x∈M}＝M；即该函数存在稳定区间；所以②正确；③f（x）＝cos x，画出函数的图象，y＝x的图象，通过图象可以看出y＝x与f（x）＝cos x的图象有1个交点，∴该函数不存在稳定区间；④f（x）＝tan x的图象以及y＝x的图象如图：即该函数不存在稳定区间．∴存在“稳定区间”的函数有：①②．故选：A．【点评】考查函数的定义域，值域，通过图象解决问题以及对稳定区间概念的理解．是中档题．10．【分析】建立坐标系可得＝（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案．【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B（1，0），E（﹣1，1），故＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝（λ﹣μ，μ），当λ＝μ＝1时，＝（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ＝2，但P不是BC的中点，故A错误；当λ＝1，μ＝0时，＝（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ＝1，当λ＝，μ＝时，＝（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ＝1，故满足λ+μ＝1的点不唯一，故B错误；当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ＝0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ＝1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ＝1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ＝0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，属中档题．二、填空题共6小题每小题5分共30分11．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＜3且x≠2，故函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．12．【分析】由已知求出sin A，sin B的值，由cos C＝﹣cos（A+B），然后展开两角和的余弦求解．【解答】解：在△ABC中，由cos A＝，cos B＝，可知A，B均为锐角，则sin A＝＝，sin B＝＝，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝﹣×+×＝0．故答案为：0．【点评】本题考查两角和与差的余弦，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13．【分析】利用诱导公式把tan（3π+α）＝2化简，得tanα＝2，再利用诱导公式化简所求表达式，令分式的分子分母同除cosα，得到只含有tanα的式子，把tanα＝2代入即可．【解答】解：由tan（3π+α）＝2，可得 tanα＝2，则＝＝＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查诱导公式和同角三角函数关系式在三角函数化简求值中的应用，应用诱导公式时，注意符号的正负．14．【分析】因为a＞0且a≠1，所以函数y＝2﹣ax在（0，1）上单调递减，由复合函数的单调性可得：，即可求解出a的取值范围．【解答】解：∵a＞0且a≠1，∴函数y＝2﹣ax在（0，1）上单调递减，∴由复合函数的单调性可得：，解得：1＜a≤2，故答案为：（1，2]．【点评】本题主要考查了指数函数的性质，以及复合函数的单调性，是中档题．15．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：C＝＝＝5，当且仅当t＝2时取等号．因此经过2h后池水中药品的浓度达到最大．故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．16．【分析】可先求出函数f（x）的最小正周期为4，由周期性得到h（t+4）＝M t﹣m t＝h（t），说明h（t）是周期为4的函数，然后探索﹣2≤t≤2的函数f（x）的最值，以及h（t）的解析式，最后画出它的部分图象，通过图象观察分析得到性质，从而判断正确的结论．【解答】解：∵f（x）＝sin的最小正周期为＝4，∴M t+4＝M t，m t+4＝m t，∴h（t+4）＝M t+4﹣m t+4＝M t﹣m t＝h（t），即h（t）是周期为4的函数，∴对该函数的性质研究，只须探索t∈[﹣2，2]的性质即可．画出函数f（x）＝sin的部分图象，如右图，当﹣2≤t＜﹣1.5，时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为﹣1，最大值为f（t）＝sin，∴h（t）＝1+sin；当﹣1.5≤t＜﹣1时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为﹣1，最大值为f（t+1）＝sin＝cos ，∴h（t）＝1+cos；当﹣1≤t＜0时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为f（t）＝sin，最大值为f（t+1）＝sin＝cos，∴h（t）＝cos﹣sin；当0时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为sin，最大值为1，∴h（t）＝1﹣sin；当时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值f（t+1）＝sin＝cos，最大值为1，∴h （t）＝1﹣cos；当1≤t＜2时，f（x）在区间[t，t+1]上的最小值为f（t+1）＝sin＝cos，最大值为f（t）＝sin，∴h（t）＝sin﹣cos．画出h（t）的部分图象，如右图，综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为[1﹣，]，函数的最小正周期为2，函数的单调增区间为[2k+，2k+]，k∈Z，故①②错，③④正确．故答案为：③④．【点评】本题主要考查函数的周期性以及应用，根据周期性探索一个周期的情况，分别讨论每一个区间的情况：求出最值，写出函数式，最后通过图象得到有关性质，同时考查函数的最值和单调性、奇偶性，是一道难题．三、解答题共4小题共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．【分析】（1）由平面向量的数量积运算求出•的值；（2）假设存在实数λ，使λ+与﹣2共线，由此列出方程求得λ的值；（3）由平面向量的数量积列方程求出k的值．【解答】解：（1）向量，满足||＝3，||＝2，（2﹣3）•（2+）＝20，所以4﹣4•﹣3＝4×9﹣4•﹣3×4＝20，解得•＝1；（2）假设存在实数λ，使λ+与﹣2共线，则以、为基底，得出坐标表示，λ+＝（λ，1），﹣2＝（1，﹣2），由共线定理得﹣2λ﹣1×1＝0，λ＝﹣，即存在λ＝﹣，使得λ+与﹣2共线；（3）若（k+2）⊥（﹣k），则（k+2）•（﹣k）＝0，即k+（2﹣k2）•﹣2k＝0，所以9k+（2﹣k2）×1﹣2k•4＝0，整理得k2﹣k﹣2＝0，解得k＝﹣1或k＝2．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．18．【分析】（1）由已知利用特殊角的三角函数值即可求解a的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝cos（2x+）﹣，利用余弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（3）由已知可求范围2x+∈[，]，利用余弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）＝cos x（a cos x﹣sin x）﹣（a∈R），且f（）＝﹣．∴f（）＝（a﹣）﹣＝﹣．解得a＝．（2）由（1）可得f（x）＝cos x（cos x﹣sin x）﹣＝cos2x﹣sin x cos x﹣＝×﹣sin2x﹣＝cos（2x+）﹣，令2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z，（3）∵x∈[0，]，可得：2x+∈[，]，∴当2x+＝π，即x＝时，f（x）＝cos（2x+）﹣取得最小值为﹣1﹣．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．19．【分析】（Ⅰ）由已知可得CD＝20，△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin∠BDC的值．（Ⅱ）由已知可得∠BAD＝60°，由此可得sin∠ABD＝sin（∠BDC﹣60°）的值，再由正弦定理求得AD的值，由此求得海警船到达A的时间．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得CD＝40×＝20，△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC＝＝﹣，∴sin∠BDC＝．（Ⅱ）由已知可得∠BAD＝20°+40°＝60°，∴sin∠ABD＝sin（∠BDC﹣60°）＝×﹣（﹣）×＝．△ABD中，由正弦定理可得AD＝＝15，∴t＝＝22.5分钟．即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式公式的应用，属于中档题．20．【分析】（1）对任意实数x1，x2及α∈（0，1），证得f1（αx1+（1﹣α）x2）≤αf1（x1）+（1﹣α）f1（x2），结合C函数的定义，可得结论；取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α＝，由此时f2（αx1+（1﹣α）x2）＞αf2（x1）+（1﹣α）f2（x2），可得不是C函数；（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．可得f（x）在R 上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾，进而得到f（x）不是R上的C函数．【解答】解：（1）对任意实数x1，x2及α∈（0，1），有f1（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf1（x1）﹣（1﹣α）f1（x2）＝（αx1+（1﹣α）x2）2﹣αx12﹣（1﹣α）x22＝﹣α（1﹣α）x12﹣α（1﹣α）x22+2α（1﹣α）x1x2＝﹣α（1﹣α）（x1﹣x2）2≤0，即f1（αx1+（1﹣α）x2）≤αf1（x1）+（1﹣α）f1（x2），∴f1（x）＝x2是C函数；不是C函数，说明如下（举反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α＝，则f2（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf2（x1）﹣（1﹣α）f2（x2）＝f2（﹣2）﹣f2（﹣3）﹣f2（﹣1）＝﹣++＞0，即f2（αx1+（1﹣α）x2）＞αf2（x1）+（1﹣α）f2（x2），∴不是C函数；（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）．（i）若f（m）＜f（n），记x1＝m，x2＝m+T，α＝1﹣，则0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x2，那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f （m），这与f（m）＜f（n）矛盾；（ii）若f（m）＞f（n），记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1﹣，同理也可得到矛盾；∴f（x）在[0，T）上是常数函数，又因为f（x）是周期为T的函数，所以f（x）在R上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾．所以f（x）不是R上的C函数．【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数的性质，难点在于对C函数的理解，属于难题．。
北京市首都师范大学附属中学2019-2020年第一学期高一年级上学期数学集合与不等式测试试卷
首师附2019-2020学年第一学期高一年级上学期数学集合与不等式测试试卷一、选择题（8小题，共40分）1．设集合M={x ∈R|x 2≤2}，a ≤1，则下列关系正确的是：A ．a ⫋ MB ．a ∉ MC ．{a}∈MD ．{a} ⫋ M 2．全称命题“∀x ∈R ，x 2-x+41≥0”的否定是： A ．∀x ∈R ，x 2-x+41＜0 B ．∃x ∈R ，x 2-x+41＜0 C ．∃x ∈R ，x 2-x+41≥0 D ．∀x ∈R ，x 2-x+41＜0 3．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则(C U S)∩(C U T)等于A ．{2，4，7，8}B ．ΦC ．{1，3，5，6}D ．{2，4，6，8} 4．下列表示图形中的阴影部分的是：A ．（A ∪C ）∩（B ∪C ） B ．（A ∪B ）∩（A ∪C ） C ．（A ∪B ）∩（B ∪C ）D ．（A ∪B ）∩ C5．若a ，b ∈R ，则下列命题正确的是：A ．若a ＞b ，则a 2＞b 2B ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2D ．若a ≠b ，则a 2≠b 26．已知p:|x-m|＜1，q ：x 2-8x+12＜0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为：A ．（3，5）B ．[3，5]C ．（-∞，3）∪（5，+∞）D ．（-∞，3]∪（5，+∞）7．定义符号函数sgn x= ，则当x ∈R 时，不等式x+2＞（2x-1）sgnx 的解集是A ．{x|-4333+＜x ＜4333+-} B ．{x|-4333+＜x }C ．{x|x ＜4333+-} D ．{x|-4333+＜x ＜3}8．有三支股票A 、B 、C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票。
在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍。
北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期数学期中综合测试
2019-2020学年第一学期高一年级上学期数学期中综合练习一､选择题1.设集合{}2,,0A a a =，{}2,4B =，若{}2A B ⋂=，则实数a 的值为（ ，A. 2B. 2±C.D.2.若121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=且，则下列代数式中值最大的是 A. 1122a b a b +B. 1212a a b b +C. 1221a b a b +D.123.下列函数中，是偶函数的是（ ， A. ()1f x x=B. ()lg f x x =C. ()xx f x e e -=-D. ()f x x =4.已知p :1x m -<,q :28120x x -+<,且q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为（ ） A. ()3,5B. []3,5C. ()(),35,-∞+∞UD. (](),35,-∞+∞U5.已知()1f x +=，则函数()f x 的大致图像是（ ，A. B.C. D.6.关于x方程()2370x m x m +-+-=的两根都大于3,则m 的取值范围是（ ）A. ((),11,-∞-++∞UB. 7,12⎛-- ⎝C. ()7,12⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U D. (,1-∞-7.用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为（ ）A. {}1A =B. {}0A =C. {}0,1A =D. {}0A =或{}18.已知集合{},M m m a a b Q ==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1+;A. 4B. 3C. 2D. 19.下列不等式正确的是（ ）A. 223x x +≥ B. 224a b ab +≥C.2a b+≥D. 44a a+≥ 10.“3x >”是“2560x x -+>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件二､填空题11.已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.12.关于x 的方程()()()221k x xx x x -=--的解集中只含有一个元素,k =______. 13.已知()f x ，21,1{1,1x x x x -≤-+>，则[(1)]f f -，_________；若()1f x =-，则x =________， 14.若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集是11{}23x x -<<，则a b +=_________.15.关于函数()f x =的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.16.有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人.17.已知函数3,? 0(){1,? 0x a x f x x x +>=+≤在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________，18.设5x >,P =Q =则P 与Q 的大小关系是P ______Q .19.非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ，________， 20.已知a ,b 是正实数,且2a b +=,则41a b+的最小值为______. 三､解答题21.已知集合2{|0}A x x x =-<，2{|20}B x x x m =--<. ，1）求A R ð，，2）若A B =∅I ，求实数m 的取值范围．22.已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.23.已知a ,b 为正实数,. 24.已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}x x αβ<<,且0αβ<<,求不等式20cx bx a ++<的解集.25.(1)已知0x >,求函数254x x y x++=的最小值; (2)已知103x <<,求函数()13y x x =-的最大值. 26.已知0,0,21a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 27.(1)已知54x <,求14245y x x =-+-的最大值; (2)已知102x <<,求()1122y x x =-的最大值.28.(1)已知0x >,0y >,且满足811x y+=.求2x y +最小值.(2)若把(1)中“811x y+=”改为“21x y +=”,其他条件不变,求81x y +的最小值.29.求下列不等式的解集. (1)213422x x -<---; (2)()()22312x x +≥-. (3)52321x x ->+ 30.若x ,y 为正实数,且280x y xy +-=,求x y +的最小值. 31.已知2210ax ax ++≥恒成立. (1)求a取值范围;(2)解关于x 的不等式220x x a a --+<.32.已知1x ,2x 是一元二次方程()2620a x ax a -++=的两个实数根.(1)是否存在实数a ,使11224x x x x -+=+成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由; (2)求使()()1211x x ++为负整数实数a 的整数值.的的的的。
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2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一第一学期期末考试数学试题及答案一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】 由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=，所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】由题意，可得()3,1a =，()1,2b =， 设向量a ，b 的夹角为θ，则32cos 29114a b a bθ⋅===+⋅+⋅，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425- D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴2234cos 1sin 1()55θθ=--=---=-，∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】B【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【解析】【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+，∴2AD AC AE =-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性. 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f（x ）＝tanx其中存在“稳定区间”的函数有（ ）A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足；④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy =B ．23y x -=C ．1y xx =-D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项. 【详解】对于A 选项，2x y =为偶函数，且当0x <时，122x x y -==为减函数，符合题意.对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x =-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞ 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.12．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案. 【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递. 故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t有如下结论： ①函数()h t 为偶函数； ②函数()h t 的值域为2[1,1]2-；③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】③④.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可.根据π()sin 2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos 12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos sin 22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-；当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos 2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin2f t tπ=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为22[1,122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有③④正确.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.四、解答题17．已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20. （1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线？ （3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案. （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a bλ+=-，计算得到答案.（3）计算（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，展开计算得到答案. 【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20，所以42-a 4a •b -32=b 4×9﹣4a •b -3×4＝20，解得a •b =1； （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a bλ+=-，故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +与-a 2b 共线；（3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），则（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，即k 2+a （2﹣k 2）a •b -2k 2=b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2. 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f（3π）=（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1-【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案.【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）=∴f（3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosxcosx ﹣sinx ）=2x﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+），令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ，（3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]，∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣13-.2【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得,B D间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？【答案】（Ⅰ43；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.【解析】(Ⅰ) 在BDC中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD∠，ABD△中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴sin BDC ∠=．(Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯= ⎪⎝⎭．ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠，∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数.（1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x =＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x =<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x =＜不是C 函数，得到答案. （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数，说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∴()()210f x x x =＜不是C 函数；（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2，那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ）， 记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数， 又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数. 【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。