2021届高考数学总复习：集合

合集下载

2021年高考数学经典例题专题一：集合与简易逻辑【含解析】

专题一集合与简易逻辑一、单选题1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.3．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（） A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4} 【答案】C 【解析】根据集合并集概念求解. 【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==故选：C4．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件. 故选：C.5．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤< D ．{|14}<<x x【答案】B 【解析】根据集合交集定义求解. 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B6．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.9．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故AB 中元素的个数为4.故选：C.10．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】b =0 时，f(x)=cosx +bsinx =cosx , f(x)为偶函数； f(x)为偶函数时，f(−x)=f(x)对任意的x 恒成立， f(−x)=cos(−x)+bsin(−x)=cosx −bsinxcosx +bsinx =cosx −bsinx ，得bsinx =0对任意的x 恒成立，从而b =0.从而“b =0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件，故选C.11．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.12．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B.13．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（） A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2} D ．{–2，2}【答案】D 【解析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2AB =-.故选：D.14．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B ⋃=（）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选：A.15．设m R ∈，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据条件先求m 的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件. 【详解】圆()()22:123C x y m -+-=-，圆心()1,2，半径3r m =-若直线l 与圆C 有公共点，则圆心()1,2到直线的距离332m d m -=≤-13m ≤<，{}12m m ≤≤ {}13m m ≤<，所以“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的充分不必要条件.故选：A16．设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A. 17．已知集合{}0,1,2,4A =，{}2,nB x x n A ==∈，则AB =（）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,4C ．{}0,2,4D ．{}1,2,4【答案】D 【解析】由题知{}1,2,4,16B =,再根据集合交集运算求解即可. 【详解】因为{}0,1,2,4A =，{}1,2,4,16B =，所以{}1,2,4AB =，故选:D.18． “21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】首先根基两直线平行求出a 的值，再根据小范围推大范围选出答案.【详解】因为直线1x ay +=与1ax y +=平行，所以0a ≠ 且两直线的斜率相等即1a a-=解得1a =±；而当1a =时直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意；当1a =-时，1x y -=与1x y -+=平行，满足题意；故1a =-，根据小范围推大范围可得：21a =是1a =-的必要不充分条件. 故选：B19．已知命题:p “,a b 是两条不同的直线，α是一个平面，若,b a b α⊥⊥，则//a α”，命题:q “函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，为R 上的增函数”，下列说法正确的是A ．“p q ⌝∧”为真命题B ．“p q ∧⌝”为真命题C ．“p q ∧” 为真命题D ．“p q ⌝∧⌝” 为真命题【答案】D 【解析】依题意得p 是假命题；因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，得q 是假命题，则可判断正确结果．【详解】若,b a b α⊥⊥，则//a α或a α⊂，所以命题p 是假命题；函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当1x =时()011f e ==，当32x =时3323022f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上不是增函数，故q 是假命题；所以p ⌝与q ⌝是真命题，故“p q ⌝∧⌝” 为真命题故选：D ．20．记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（） A ．①③ B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A 【解析】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ，则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．21．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B22．已知M 、N 为R 的子集，若RM N =∅，{}1,2,3N =，则满足题意的M 的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据交集、补集的运算的意义，利用韦恩图可得出M ，N 关系，根据子集求解. 【详解】因为M 、N 为R 的子集，且RM N =∅，画出韦恩图如图，可知，M N ⊆，因为{}1,2,3N =，故N 的子集有32=8个. 故选：D23． “0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解【详解】当0a =时，直线为0x y -=，过圆心(0,0)，故直线与圆224x y +=相交，当直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交时，圆心到直线的距离222(1)(1)d a a =<++-，化简得220a +>，显然恒成立，不能推出0a =，所以“0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的充分不必要条件，故选：A24．设集合()222021,2020A x y x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，(){},2x B x y y ==，则集合A B 中元素的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】分别作出2220212020x y +=，2x y =图象，判断交点个数即可.【详解】依题意：集合A B 中元素的个数即2220212020x y +=，2x y =图象交点个数如图所以一共有两个交点，所以集合A B 中元素的个数为2故选：C25．已知集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，且A B =∅，则实数m 应满足（）A ．1m <B ．1mC ．3m ≥D ．3m >【答案】A【解析】根据集合交集定义即可求解．【详解】解：∵集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，A B =∅∴1m <，故选：A ．26．命题000:,20p x R x lnx ∃∈+<的否定为（）A ．000,20x R x lnx ∃∉+≥B ．000,20x R x lnx ∃∈+>C ．,20x R x lnx ∀∈+>D ．,20x R x lnx ∀∈+≥【答案】D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出即可.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为,20x R x lnx ∀∈+≥.故选:D.27．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R （） A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥ 【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.28．已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当b α⊂时，若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也为假命题；故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件故选：D29.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x ∈S ；下列命题正确的是（）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128ST =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈，同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =，故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍. 若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==，又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =，故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈，则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题30．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．31．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.32．设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题： ①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②【解析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④错误；故答案为：①②【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。

高考数学总复习第一章第一节集合的概念与运算课件理

答案(dáàn)：B A，D C，A C，B C，A D，B D
第十七页，共35页。
考点(kǎo 集合(jíhé)的基本关系及空集的妙用 diǎn)三
【例3】设集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m －1}，若B⊆A，求实数(shìshù)m的取值范围．
思路点拨：考查集合间的包含、相等关系，关键搞清A，B两集合谁是谁的子集．若B⊆A，说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是∅的情况；同样若A⊆B，说明A是B的子集，此时注意B是不是∅；若A＝B，说明两集合元素完全相同．
A．A＝B B．B＝C C．C＝E D．B＝E
思路点拨：要注意分辨各集合的代表元素是什么，如果性质相同，但代表元素不同，则它们所表示的集合也是不一样的．因此对于集合问题(wèntí)，要首先确定它属于哪类集合(数集、点集或某类图形)．
第十五页，共35页。
解析：集合 A 是用列举法表示，它只含有一个元素，即函数 y＝x2＋2，集合 B，C，E 中的元素都是数，即这三个集合都是数集，集合 B 表示的是函数 y＝x2 ＋2 的值域2，＋∞，集合 C 表示的是函数 y＝x2＋2 的定义域 R，集合 E 是不等式 x － 2≥0 的解集 2，＋∞，集合 D 的元素则是平面上的点，此集合是函数 y＝x2＋2 的图象上所有点所组成的集合．故只有 B＝E.故选 D.
第七页，共35页。
2．并集． (1)定义：由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为(chēnɡ w集éi)合__(_j_íh_é_)_A_与__集__合__(_j_íh的é)并B集，记作___A__∪__B_____(读作 “A并B”)．即 A∪B＝{ x|x∈A，或x∈B}. (2)性质：

集合的概念与运算——2021年高考文科数学一轮复习热点题型(附解析)

2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题1.1 集合的概念与运算目录一、题型全归纳 (1)题型一集合的含义与表示 (1)题型二集合的基本关系 (2)题型三集合的基本运算 (3)题型四利用集合的运算求参数 (4)题型五集合中的新定义问题 (5)二、高效训练突破 (6)一、题型全归纳题型一集合的含义与表示【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为() A．3B．6C．8D．10【例2】)已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．题型二集合的基本关系【题型要点】(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn图等来直观解决这类问题．【例1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【例2】已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为______．题型三集合的基本运算【题型要点】集合基本运算的求解策略【例1】(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}【例2】(2020黄冈调研)已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁R N)＝()A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1}题型四利用集合的运算求参数【题型要点】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【例1】已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【例2】集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【例3】（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，） C ．22∞（-，）D ．22]∞（-，题型五集合中的新定义问题【题型要点】(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．【例1】定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9【例2】设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________．【例3】如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．二、高效训练突破1.(2020·武汉调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5} 2.(2020·巴蜀中学月考)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x ∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2C．3 D．44.设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}5．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}6.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．167.已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)＝∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)9.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则∁U A＝()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]10．(2020·辽宁辽阳期末)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．611.如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|2x －x2≥0}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B＝()A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}12．(2020·济南外国语学校月考)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁U N)＝∅，则a 的取值范围是()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]二、填空题1.(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B ＝______，∁U A＝______．2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．3．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．4．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．5.已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为________．6.已知k为合数，且1＜k＜100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．(1)若k的“衍生质数”为2，则k＝________；(2)设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是________．三、解答题1.(2019·衡水中学测试)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．(1)求实数a，b，c的值；(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.2.已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)当B⊆∁R A时，求实数m的取值范围．3.(2019·江苏盐城一中模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．2021年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破专题1.1 集合的概念与运算目录一、题型全归纳 (1)题型一集合的含义与表示 (1)题型二集合的基本关系 (2)题型三集合的基本运算 (3)题型四利用集合的运算求参数 (4)题型五集合中的新定义问题 (5)二、高效训练突破 (6)一、题型全归纳题型一集合的含义与表示【题型要点】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A且y∈A且x－y∈A}，则B中所含元素的个数为() A．3B．6C．8D．10【答案】D【解析】(1)由x∈A，y∈A，x－y∈A，得x－y＝1或x－y＝2或x－y＝3或x－y＝4，所以集合B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B中有10个元素．【例2】)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【答案】－32【解析】因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32. 题型二集合的基本关系【题型要点】(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题．【例1】已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．【例2】已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______．【答案】(－∞，1]【解析】当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A .当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三集合的基本运算【题型要点】集合基本运算的求解策略【例1】(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{x |x ≤－3或x ≥1}B ．{x |x <－1或x ≥3}C ．{x |x ≤3}D ．{x |x ≤－3}【答案】D【解析】因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3<x <1}，所以A ∪B ＝{x |x >－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}．故选D.【例2】(2020黄冈调研)已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x ≥1}C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1} 【答案】A11 / 19 【解析】由1－x >0得N ＝{x |x <1}，∁R N ＝{x |x ≥1}，而由1－x 2>0得M ＝{x |－1<x <1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |x >－1}．题型四利用集合的运算求参数【题型要点】根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．【例1】已知集合A ＝{x |x 2≥4}，B ＝{m }．若A ∪B ＝A ，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 【答案】D.【解析】：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，即m ∈A ，得m 2≥4，解得m ≥2或m ≤－2.【例2】集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 【答案】D【解析】根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4.【例3】（河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试题）已知集合{}3log (2)2A x x =-≤，{}20B x x m =->，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是（）A ．]4∞（-， B ．4∞（-，） C ．22∞（-，） D ．22]∞（-，。

2021年高考数学总复习核心突破第1章集合与充要条件1.3充要条件课件

此,p 是 q 的充分不必要条件.
【小结】 (1)在分析条件与结论的关系时,要注意双向推理,否则有可
能得出一个不完整的答案;
(2)对于方程 ax=b:当 a≠0 时,方程有唯一解;当 a=b=0 时,方程的解为任
意实数;当 a=0,b≠0 时,方程无解.
【例3】 “x1,x2是方程x2-x-2=0的解〞是“x1x2=-2〞的
(3)p:x<5,
q:x<2;
(4)p:四边形的四边相等,
q:四边形是正方形;
(5)p:A是B的子集,
q:A⊆B.
(1)p是q的充分不必要条件;
(2)p是q的必要不充分条件;
(3)p是q的必要不充分条件;
(4)p是q的必要不充分条件;
(5)p是q的充要条件.
二、探究提高
【例1】 a,b∈R,那么ab=0的充要条件是(
1.3 充要条件
【考纲要求】
【学习重点】
判断.
理解充要条件.
学会充分条件、必要条件及充要条件的
一、自主学习
(一)知识归纳
1.p推出q的意义
当命题“如果p,那么q〞为真命题时,那么说p可推出q,记作
p⇒q;反之,假设q可推出p,记作p⇐q.
2.命题及真值
能够判断真假的语句叫命题.命题可分为真命题和假命题，真

(6) ÷ = .
(1)不是命题;
(2)不是命题(条件命题);
(3)是命题(真命题); (4)是命题(假命题);
(5)是命题(假命题); (6)是命题(假命题).
2.指出以下各组命题中,p是q的什么条件.
(1)p:自然数a能被4整除,
q:a是偶数;
(2)p:两个三角形面积相等,

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§1.1 集合(讲解部分)

实践探究
例 (2016北京文,16)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天
售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出
的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店:
①第一天售出但第二天未售出的商品有
种;
②这三天售出的商品最少有
种.
解题导引 “网购”是现代购物的重要方式之一,本题以售出商品的种类为背景,取材于人A必修113页的“阅读与思考——集合中元素的个数”, 考查了集合运算和Venn图等基本知识,同时也涉及化归与转化、数形结合的数学思想. ①可以通过集合交、补运算确定元素个数;②中“三天共售出的商品种类最少”应该是第三天与前二天售出的商品种类完全相同时,总的种类最少. 解析 ①设第一天售出的商品为集合A,则A中有19个元素,第二天售出的商品为集合B,则B中有13个元素.由于前两天都售出的商品有3种,则A∩B 中有3个元素.如图所示, 所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19-3=16(种). ②由①知,前两天售出的商品为19+13-3=29(种),当第三天售出的18种都是前两天售出的商品时,这三天售出的商品种类最少,售出的商品最少为29种.
由图可知∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={2,7},故选B. (2)A={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1},U=R,∴∁UA={x|x<-2或x>1},又B={x|x< 0},∴借助数轴可知(∁UA)∩B={x|x<-2}.故选C. 答案 (1)B (2)C
方法总结集合的基本运算包括集合的交、并、补运算,解决此类运算问题一般应注意以下几点:一是看集合的表示方法,用列举法表示的集合,易用Venn图求解,用描述法表示的数集,常借助数轴分析得出结果,二是对集合进行化简,有些集合是可以化简的,通过化简集合,可使问题变得简单明了,易于解决.

2021年高考数学总复习核心突破第1章集合与充要条件1.1集合的概念课件

本格式为{x|P},其中x表示元素的一般形式,P表示元素满足的
条件;
(3)韦恩图法:用一条封闭曲线直观地表示集合及其关系
的图形的方法;(韦恩图也叫文氏图)
(4)区间法:用区间表示集合的方法.如不等式的解集及函
数的定义域、值域等常用区间表示,但应注意的是包括区间
端点时用中括号,不包括区间端点时用小括号.(详见第二章)
③传递性:假设A⊂B,B⊂C,那么A⊂C.
(3)集合相等:假设A⊆B且B⊆A,那么称集合A与集合B
相等,记作A=B(事实上,当A与B所含元素完全一样时,A与B
相等).
注意:∈与⊆的区别,∅与{0}、{∅}的区别.
(4)子集个数:假设集合A中有n个元素,那么它有2n个
子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
A.{1,2}⊆{1,2,3}
C.Z⊂R
E.{x|x>0}⊆{x|x>1}
【答案】E
)
B.{1,2}⊂{1,2,3}
D.{1}={x|x=1}
F.{x|x<0}⊂{x|x<1}
二、探究提高
【例1】集合{(x,y)|y=x2+1}与集合{y|y=x2+1}是同一个
集合吗?请用图形把它们表示出来.
分析:用描述法表示集合,要先看元素的一般形式,了解
2.集合的元素
构成集合的对象叫做集合的元素,一般用小写拉丁字母
a,b,c,d,…表示.
说明:(1)集合中的元素满足确定性、互异性和无序性.其中确
定性指对任意一个元素a和集合A,元素a要么属于集合A,记作
a∈A;要么不属于集合A,记作a∉A.互异性指集合中的元素互不一
样.无序性是指集合中的各元素没有先后排列顺序,如集合{1,2}和

2021人教A版高考数学总复习《集合》

() A.a∈P
B.{a}∈P
然数，而集合 P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，
所以 a∉P，只有 D 正确.
答案 D
3.(老教材必修1P44A组T5改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且 y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.
规律方法 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
A.{1，－1}
B.{1，－1，0}
C.1，－1，－34
D.－1，－34
(2)设集合 A＝{x|(x－a)2<1}，且 2∈A，3∉A，则实数 a 的取值范围为________.
解析 (1)由定义，当x＝0时，z＝1，当 x＝－2 时，z＝1－2＋－12＝－1 或 z＝2－2－1＝－34.
因此 P⊙Q＝1，－1，－34. (2)由题意得（（32－－aa））22≥<11，，解得1a<≤a2<或3，a≥4. 所以1<a≤2. 答案 (1)C (2)(1，2]
考点二集合间的基本关系
【例2】 (1)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则
实数a的所有可能取值的集合为( )
A.{－1}
B.{1}
C.{－1，1}
D.{－1，0，1}
(2)(2020·长沙长郡中学模拟)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－3x－4)}，B＝{x|x2－3mx＋ 2m2<0(m>0)}，若B⊆A，则实数m的取值范围为( )

第1章第1讲集合的概念与运算-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共45张PPT

第一章集合与常用逻辑用语
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
返回导航
[解析] (1)B＝{x|x∈A}＝{1,2,3}＝A，故选 C．
(2)∵集合 A＝{x|x＝sin n3π，n∈Z}＝{0， 23，－ 23}，且 B⊆A，∴集合 B 的个数为 23＝8，故选 C．
(3)解法一：(列举法)，由题意知
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
返回导航
(2)(多选题)(2020·湖南长郡中学模拟改编)已知集合 M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N
＝{y|y＝(12)x，x∈R}，则下列不正确的是(ABD )
A．M＝N
B．N⊆M
C．M＝∁RN
D．(∁RN)∩M＝∅
(3)已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|mx＋10>0}，若 A⊆B，则 m 的取值范
返回导航
(3)若 a＋2＝1，则 a＝－1，A＝{1,0,1}，不合题意；若(a＋1)2＝1，则 a＝0 或－
2，当 a＝0 时，A＝{2,1,3}，当 a＝－2 时，A＝{0,1,1}，不合题意；若 a2＋3a＋3＝1，
则 a＝－1 或－2，显然都不合题意；因此 a＝0，所以 2 0200＝1.
∵1∉A，∴a＋2≠1，∴a≠－1；(a＋1)2≠1，解得 a≠0，－2；a2＋3a＋3≠1 解
A．(－1,1)
B．(1,2)
C．(－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
[解析] 由题意得A∪B＝{x|x>－1}，即A∪B＝(－1，＋∞)，故选C．
第一章集合与常用逻辑用语
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
返回导航
6． (2019·全国卷Ⅱ，5分)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B

2021年新高考数学一轮专题复习第01讲-集合(解析版)

8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，则 A B ______
【答案】{x |1 x 2}
【解析】因为集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，所以 A B {x |1 x 2}. 故答案为：{x |1 x 2}
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
三、经典例题
考点一集合的基本概念
【例 1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 A x x2 2ax 2a 0 ，若 A 中只有一个元素，则实数 a
④如果 a1 M ， a2 M ，那么 a1 a2 M
其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③
【解析】对①：对 b 2n 1, n N ，
总是有 b 2n 1 n 12 n2 ， n 1, n z ，故 B M ，则①正确；
对② c 2n, n N ，若 c 2n M ，则存在 x, y Z ，使得
A．30
B．31
C．62
【答案】A
【解析】因为集合 A x | x 6 且 x N* 1, 2,3, 4,5 ，
D．63
所以 A 的非空真子集的个数为 25 2 30 .
故选：A
【例 2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的
解不等式 lg x 1 1，得 0 x 1 10 ，解得 1 x 9 .
A x x 1或x 3 ， B x 1 x 9 ，则 ðR A x 1 x 3 ，

2021年高考真题汇编——理科数学(解析版)1：集合与简易逻辑

2021高|考真题分类汇编：集合与简易逻辑1.【2021高|考真题浙江理1】设集合A ={x|1＜x ＜4} ,集合B ={x|2x -2x -3≤0}, 那么A ∩ (C R B ) =A .(1,4)B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪ (3,4 ) 【答案】B【解析】B ={x|2x -2x -3≤0} =}31|{≤≤-x x ,A ∩ (C R B ) ={x|1＜x ＜4} }3,1|{>-<x x x 或 =}43|{<<x x .应选B.2.【2021高|考真题新课标理1】集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,那么B 中所含元素的个数为 ( )()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【答案】D【解析】要使A y x ∈-,当5=x 时 ,y 可是1 ,2 ,3 ,4.当4=x 时 ,y 可是 1 ,2 ,3.当3=x 时 ,y 可是1 ,2.当2=x 时 ,y 可是1 ,综上共有10个 ,选D.3.【2021高|考真题陕西理1】集合{|lg 0}M x x => ,2{|4}N x x =≤ ,那么M N =( ) A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2] 【答案】C.【解析】}22|{}4|{},1|{}0lg |{2≤≤-=≤=>=>=x x x x N x x x x M ,]2,1(=∴N M ,应选C.4.【2021高|考真题山东理2】全集{}0,1,2,3,4U = ,集合{}{}1,2,3,2,4A B == ,那么U C A B 为(A ){}1,2,4 (B ){}2,3,4 (C ){}0,2,4 (D ){}0,2,3,4 【答案】C【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C.5.【2021高|考真题辽宁理1】全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝ ,集合A =｛0,1,3,5,8｝ ,集合B =｛2,4,5,6,8｝ ,那么)()(B C A C U U 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析】1.因为全集U =｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝ ,集合A =｛0,1,3,5,8｝ ,集合B =｛2,4,5,6,8｝ ,所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ,所以)()(B C A C U U 为{7,9} .应选B2. 集合)()(B C A C U U 为即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素 ,所剩的元素形成的集合 ,由此可快速得到答案 ,选B【点评】此题主要考查集合的交集、补集运算 ,属于容易题 .采用解析二能够更快地得到答案 . 6.【2021高|考真题辽宁理4】命题p ：∀x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0 ,那么⌝p 是 (A) ∃x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (B) ∀x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 (C) ∃x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 (D) ∀x 1 ,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 【答案】C【解析】命题p 为全称命题 ,所以其否认⌝p 应是特称命题 ,又(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0否认为(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 ,应选C【点评】此题主要考查含有量词的命题的否认 ,属于容易题 .7.【2021高|考真题江西理1】假设集合A =｛ -1 ,1｝ ,B =｛0 ,2｝ ,那么集合｛z ︱z =x +y,x ∈A,y ∈B ｝中的元素的个数为 A ．5 B.4 C 【答案】C【命题立意】此题考查集合的概念和表示 .【解析】因为B y A x ∈∈, ,所以当1-=x 时 ,2,0=y ,此时1,1-=+=y x z .当1=x 时 ,2,0=y ,此时3,1=+=y x z ,所以集合}2,1,1{}2,1,1{-=-=z z 共三个元素 ,选C. 8.【2021高|考真题江西理5】以下命题中 ,假命题为 A ．存在四边相等的四边形不．是正方形 B ．1212,,z z C z z ∈+为实数的充分必要条件是12,z z 为共轭复数C ．假设,x y ∈R ,且2,x y +>那么,x y 至|少有一个大于1D ．对于任意01,nn n nn N C C C ∈+++都是偶数【答案】B【命题立意】此题考查命题的真假判断 .【解析】对于B,假设21,z z 为共轭复数 ,不妨设bi a z bi a z -=+=21, ,那么a z z 221=+ ,为实数 .设di c z bi a z +=+=21, ,那么i d b c a z z )()(21+++=+ ,假设21z z +为实数 ,那么有0=+d b ,当c a ,没有关系 ,所以B 为假命题 ,选B.9.【2021高|考真题湖南理1】设集合M ={ -1,0,1} ,N ={x|x 2≤x} ,那么M ∩N = A.{0} B.{0,1} C.{ -1,1} D.{ -1,0,0} 【答案】B 【解析】{}0,1N = M ={ -1,0,1} ∴M ∩N ={0,1}.【点评】此题考查了{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N. 10.【2021高|考真题湖南理2】命题 "假设α =4π,那么tan α =1”的逆否命题是 α≠4π ,那么tan α≠1 B. 假设α =4π,那么tan α≠1 C. 假设tan α≠1 ,那么α≠4π D. 假设tan α≠1 ,那么α =4π【答案】C【解析】因为 "假设p ,那么q 〞的逆否命题为 "假设p ⌝ ,那么q ⌝〞 ,所以 "假设α =4π ,那么tan α =1”的逆否命题是 "假设tan α≠1 ,那么α≠4π〞. 【点评】此题考查了 "假设p ,那么q 〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题 ,考查分析问题的能力.11.【2021高|考真题湖北理2】命题 "0x ∃∈R Q ,30x ∈Q 〞的否认是A ．0x ∃∉R Q ,30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ,30x ∉QC ．x ∀∉R Q ,3x ∈QD ．x ∀∈R Q ,3x ∉Q【答案】D【解析】根据对命题的否认知 ,是把谓词取否认 ,然后把结论否认 .因此选D 12.【2021高|考真题广东理2】设集合U ={1,2,3,4,5,6} , M ={1,2,4 } ,那么CuM = A ．U B ． {1,3,5} C ．{3,5,6} D ． {2,4,6}【答案】C【解析】}6,5,3{=M C U ,应选C.13.【2021高|考真题福建理3】以下命题中 ,真命题是 A. 0,00≤∈∃x eR xB. 22,x R x x >∈∀C.a +b =0的充要条件是ab= -1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件【答案】D.【解析】此类题目多项选择用筛选法 ,因为0>xe 对任意R x ∈恒成立 ,所以A 选项错误；因为当3=x 时93,8223==且8<9,所以选项B 错误；因为当0==b a 时,0=+b a 而ab无意义 ,所以选项C 错误；应选D.14.【2021高|考真题北京理1】集合A ={x ∈R|3x +2＞0} B ={x ∈R| (x +1 )(x -3)＞0} 那么A ∩B = A ( -∞ , -1 )B ( -1 , -23 ) C ( -23,3 )D (3, +∞)【答案】D【解析】因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ,利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．应选D ．15.【2021高|考真题安徽理6】设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内 ,直线b 在平面β内 ,且b m ⊥ ,那么 "αβ⊥〞是 "a b ⊥〞的 ( )()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 即不充分不必要条件【答案】A【命题立意】此题借助线面位置关系考查条件的判断【解析】①,b m b b a αβα⊥⊥⇒⊥⇒⊥ ,②如果//a m ,那么a b ⊥与b m ⊥条件相同．16.【2021高|考真题全国卷理2】集合A ＝{1.3.} ,B ＝{1 ,m} ,A B ＝A, 那么m =A 0B 0或3C 1D 1或3 【答案】B【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.假设3=m ,那么}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .假设m m = ,解得0=m 或1=m .假设0=m ,那么}0,3,1{},0,3,1{==B A ,满足A B A = .假设1=m ,}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立 ,综上0=m 或3=m ,选B..17【2021高|考真题四川理13】设全集{,,,}U a b c d = ,集合{,}A a b = ,{,,}B b c d = ,那么B C A C U U ___________ .【答案】{},,a c d【命题立意】此题考查集合的根本运算法那么 ,难度较小. 【解析】},{d c A C U = ,}{a B C U = ,},,{d c a B C A C U U =∴18.【2021高|考真题上海理2】假设集合}012|{>+=x x A ,}2|1||{<-=x x B ,那么=B A .【答案】)3,21(-【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ,}31{}21{<<-=<-=x x x x B ,所以}321{<<-=x x B A ,即)3,21(- .19.【2021高|考真题天津理11】集合},32|{<+∈=x R x A 集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且),,1(n B A -= 那么m =__________ ,n =__________. 【答案】1,1-【解析】由32<+x ,得323<+<-x ,即15<<-x ,所以集合}15{<<-=x x A ,因为)1(n B A ，-= ,所以1-是方程0)2)((=--x m x 的根 ,所以代入得0)1(3=+m ,所以1-=m ,此时不等式0)2)(1(<-+x x 的解为21<<-x ,所以)11(，-=B A ,即1=n .20.【2021高|考江苏1】 (5分 )集合{124}A =，， ,{246}B =，， ,那么A B = ▲ ．【答案】{}1,2,4,6 . 【考点】集合的概念和运算 . 【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB = .21.【2021高|考江苏26】 (10分 )设集合{12}n P n =，，，… ,*N n ∈．记()f n 为同时满足以下条件的集合A 的个数：①n A P ⊆；②假设x A ∈ ,那么2x A ∉；③假设A C x n p ∈ ,那么A C x np ∉2 .(1 )求(4)f ；(2 )求()f n 的解析式 (用n 表示 )．【答案】解： (1 )当=4n 时 ,符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，， , ∴ (4)f =4 .( 2 )任取偶数n x P ∈ ,将x 除以2 ,假设商仍为偶数．再除以2 ,··· 经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m .于是=2k x m ,其中m 为奇数*k N ∈ .由条件知．假设m A ∈那么x A k ∈⇔为偶数；假设m A ∉ ,那么x A k ∈⇔为奇数 .于是x 是否属于A ,由m 是否属于A 确定 .设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数 . 当n 为偶数〔或奇数 )时 ,n P 中奇数的个数是2n (12n + ) . ∴()()2122()=2nn n f n n +⎧⎪⎨⎪⎩为偶数为奇数. 【考点】集合的概念和运算 ,计数原理 .【解析】 (1 )找出=4n 时 ,符合条件的集合个数即可 . (2 )由题设 ,根据计数原理进行求解 .22.【2021高|考真题陕西理18】 (本小题总分值12分 )(1 )如图 ,证明命题 "a 是平面π内的一条直线 ,b 是π外的一条直线 (b 不垂直于π ) ,c 是直线b 在π上的投影 ,假设a b ⊥ ,那么a c ⊥〞为真 . (2 )写出上述命题的逆命题 ,并判断其真假 (不需要证明 )【答案】分析： (1 )证法一：做出辅助线 ,在直线上构造对应的方向向量 ,要证两条直线垂直 ,只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0 ,根据向量的运算法那么得到结果．证法二：做出辅助线 ,根据线面垂直的性质 ,得到线线垂直 ,根据线面垂直的判定定理 ,得到线面垂直 ,再根据性质得到结论．(2 )把所给的命题的题设和结论交换位置,得到原命题的逆命题,判断出你命题的正确性．。

2021年《南方新课堂·高考总复习》数学(文科)训练：第一章集合与逻辑用语

第一章集合与规律用语第1讲集合的含义与基本关系1．(2021年福建)若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1} B ．{1} C ．{1，－1} D ．∅2．(2021年四川)设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3}3．(2021年安徽)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2,5,6} B ．{1} C ．{2} D ．{1,2,3,4}4．(2021年重庆)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A B D ．B A5．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2－2x }，则A ∩B 的元素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．对任意两个正整数m ，n ，定义某种运算⊕：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ，m 与n 奇偶性相同，mn ，m 与n 奇偶性不同，则集合P ＝{(a ，b )|a⊕b ＝8，a ，b ∈N *}中元素的个数为( )A ．5个B ．7个C ．9个D ．11个 7．若集合A 具有以下性质： (1)0∈A,1∈A ；(2)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( ) ①集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； ②有理数集Q 是“好集”；③设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个8．(2021年广东广州二模)某校高三(1)班50个同学选择选修模块课程，他们在A ，B ，C 3个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的状况如下表：模块选择人数/人模块选择人数/人 A 28 A 与B 11B 26 A 与C 12 C 26 B 与C 13则3个模块都选择的同学人数是( ) A ．7人 B ．6人 C ．5人 D ．4人9．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并写出A 中的元素；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．第2讲命题、量词与简洁的规律联结词1．(2021年湖北)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 B ．∃x 0(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 D ．∀x (0，＋∞)，ln x ＝x －12．(2022年重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧qC ．p ∧qD ．p ∧q3．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∃a 0∈R ，f (x )是偶函数B ．∃a 0∈R ，f (x )是奇函数C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数4．(2021年湖北，由人教版选修1-1P 28-1改编)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧q5．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，1] 6．(2021年广东珠海二模)下列四种说法中，错误的个数是( )①命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ②命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的必要不充分条件； ③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真；④若实数x ，y ∈[0,1]，则满足x 2＋y 2>1的概率为π4.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．(2021年山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 8．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋m .(1)若∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，求m 的取值范围．10．设命题p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；命题q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数m 的取值范围．第3讲充分条件与必要条件1．(2021年天津)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．(2021年四川)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设z 1，z 2∈C ，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”是“z 1＋z 2是虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．(2021年湖南)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2021年福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2021年陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知命题p ：|x ＋2|>1，命题q ：x <a ，且q 是p 的必要不充分条件，则a 的取值范围可以是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤－3 C ．a <－3 D ．a >38．(2022年江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β9．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，若使得f (x )没有零点的a 的取值范围为集合A ，使得f (x )在区间(m ，m ＋3)上不是单调函数的a 的取值范围为集合B .(1)求A ，B ；(2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点．(1)求证：命题“假如直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题； (2)写出(1)中命题的逆命题，推断它是真命题还是假命题，并说明理由．习题集部分第一章集合与规律用语第1讲集合的含义与基本关系1．C 解析：由已知，得A ＝{i ，－1，－i,1}．故A ∩B ＝{1，－1}．故选C.2．A 解析：由题意，得A ＝{x |－1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}． 3．B 解析：∵∁U B ＝{1,5,6}．∴A ∩(∁U B )＝{1}．∴故选B.4．D 解析：由于2∈A,2∈B,3∈A,3∈B,1∈A,1B .故选项A ，B ，C 均错，选项D 正确．故选D. 5．B 解析：在同始终角坐标系下画出函数y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 的图象，如图D64，由图可知y ＝log 2x 与y ＝x 2－2x 图象有2个交点，则A ∩B 的元素有2个．图D646．C 解析：当a ，b 奇偶性相同时，a ⊕b ＝a ＋b ＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；当a ，b 奇偶性不同时，a ⊕b ＝ab ＝1×8.由于(a ，b )有序，故共有元素4×2＋1＝9个．7．C 解析：(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，由于－1∈B,1∈B .所以－1－1＝－2∈B ，这与－2B 冲突．(2)有理数集Q 是“好集”，由于0∈Q ，1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x ∈Q .所以有理数集Q 是“好集”．(3)由于集合A 是“好集”．所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A .所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .8．B 解析：方法一，设三个模块都选择的同学人数为x ，由韦恩图D65，得5＋x ＋2＋x ＋1＋x ＋11－x ＋12－x ＋13－x ＋x ＝50.得x ＝6.图D65方法二，由题意，得28＋26＋26－11－12－13＋x ＝50.得x ＝6. 9．解：集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)若A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，当a ＝0时，x ＝23，不合题意；则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝(－3)2－8a <0.∴a >98，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，方程只有一解23，此时A 中只有一个元素23；当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98.此时方程有两个相等的实数根．当a ＝98时，解得x 1＝x 2＝43，A 中只有一个元素43.∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种状况，依据(1)(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0，或a ≥98.10．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，即⎩⎨⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2.故所求实数m 的值为2.(2)∵∁R B ＝{x |x <m －2，或x >m ＋2}，若A ⊆∁R B ，则m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5，或m <－3.因此，实数m 的取值范围是m >5或m <－3.第2讲命题、量词与简洁的规律联结词1．C 解析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.故选C. 2．A 解析：命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，为真命题；命题q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，为假命题，则p ∧q 为真命题．3．A 解析：当a ＝0时，f (x )是偶函数． 4．A 解析：由题意，得p 是“甲没降落在指定范围”，q 是“乙没降落在指定范围”．命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”，或“甲、乙均没降落在指定范围”三种．则所求命题可表示为(p )∨(q )．5．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥(e x )max ＝e 1＝e ；∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.6．C 解析：①②正确；③④错误．故选C.7．1 解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 大于或等于函数y ＝tan x ，在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值，由于函数y ＝tan x ，在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数．所以函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为tan π4＝1.所以m ≥1，则实数m 的最小值为1.8.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析：x 1∈[－1,3]时，f (x 1)∈[0,9]，x 2∈[0,2]时，g (x 2)∈⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122－m ，⎝⎛⎭⎫120－m ，即g (x 2)∈⎣⎡⎦⎤14－m ，1－m ，要使∀x 1∈[－1,3]，∃x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，只需f (x )min ≥g (x )min ，即0≥14－m .故m ≥14.9．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.(2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，即m ≥－3.10．解：设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4m 2－4＞0，x 1＋x 2＝－2m ＞0，得m ＜－1. 所以命题p 为真时，m ＜－1.由方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)＜0，得－2＜m ＜3. 所以命题q 为真时，－2＜m ＜3.由p ∨q 为真，p ∧q 为假，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1，m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，－2＜m ＜3，此时－1≤m ＜3.所以所求实数m 的取值范围是m ≤－2，或－1≤m ＜3.第3讲充分条件与必要条件1．A 解析：由|x －2|＜1⇔－1＜x －2＜1⇔1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分不必要条件．故选A.2．A 解析：a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之当log 2a ＞log 2b ＞0成立时，a ＞b ＞1也正确．故选A.3．B 解析：若z 1，z 2皆是实数，则z 1＋z 2肯定不是虚数，因此当z 1＋z 2是虚数时，则“z 1，z 2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当z 1，z 2中至少有一个数是虚数，z 1＋z 2不肯定是虚数，如z 1＝z 2＝i ，即充分性不成立．故选B.4．C 解析：由题意，得A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，反之，A ⊆B ⇒A ∩B ＝A ，故为充要条件．故选C. 5．B 解析：若l ⊥m ，由于m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m .所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件．故选B.6．A 解析：cos2α＝0⇒cos 2α－sin 2α＝0⇒(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝0.所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α.故选A.7．B 解析：命题p ：x <－3，或x >－1，则p ：－3≤x ≤－1，q ：x ≥a .由题意有p ⇒q ，qp ，则a ≤－3.8．D 解析：当a <0时，由“b 2－4ac ≤0”推不出“ax 2＋bx ＋c ≥0”，A 错误；当b ＝0时，由“a >c ”推不出“ab 2>cb 2”，B 错误；命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，有x 20<0”，C 错误；由于与同一条直线垂直的两个平面平行．所以D 正确．9．解：(1)若f (x )没有零点，则Δ＝4a 2－4<0. ∴－1<a <1，即A ＝{a |－1<a <1}．若f (x )＝(x －a )2＋1－a 2在区间(m ，m ＋3)上不单调，则m <a <m ＋3，即B ＝{a |m <a <m ＋3}． (2)若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，m ＋3≥1.∴－2≤m ≤－1.10．(1)证明：设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)，B (3，－6)．∴OA →·OB →＝3. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －3)，得ky 2－2y －6k ＝0.则y 1y 2＝－6. 又∵x 1＝12y 21，x 2＝12y 22， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝14(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3.综上所述，命题“假如直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题．(2)解：逆命题：假如OA →·OB →＝3，那么直线l 过点T (3,0)．该命题是假命题，理由如下：例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，1，此时OA →·OB →＝3，直线AB 的方程为y ＝23(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上．。

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

关闭Word文档返回原板块。

阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

2021年高考数学集合专题卷(附答案)

2021年高考数学集合专题卷(附答案)一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=1﹣cos x，x∈M}，则集合M∩N的真子集的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知集合，则＝（）A. B. C. D.4.已知集合2，，，则A. B. C. D. 2，5.已知集合，，则（）A. B. C. D.6.已知集合，，则（）A. B. C. D.7.已知集合，集合，则有( )A. B. C. D.8.已知全集U=R,集合A=，集合B=，则为（）。

A. B. R C. D.9.已知M={（x，y）|=3}，N={（x，y）|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=（）A. ﹣6或﹣2B. -6C. 2或﹣6D. -210.设t＞0，函数f（x）= 的值域为M，若2∉M，则t的取值范围是（）A. （，1）B. （，1]C. [ ，1）D. [ ，1]11.已知函数，若集合只含有个元素，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12.在平面直角坐标系中，设为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从中的任意点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为，．所有点构成的集合为M，M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为；所有点构成的集合为N，N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为．给出以下命题：① 的最大值为：② 的取值范围是；③ 恒等于0．其中所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题13.已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足条件B⊆C⊆A的集合C的个数为________．14.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）=________．15.已知集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，2，5}，T={2，3，6}，则S∩（∁U T）=________，集合S共有________个子集．16.已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B=________17.已知M={x||x﹣1|≤2，x∈R}，P={x| ≥0，x∈R}，则M∩P等于________．18.设函数，若对于任意的，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为________．19.已知集合，集合，若，则的最小值为________.20.在平面直角坐标系中，点集A＝{（x，y）|x2+y2≤1}，B＝{（x，y）|x≤4，y≥0，3x﹣4y≥0}，则点集Q＝{（x，y）|x＝x1+x2，y＝y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积为________．三、解答题21.对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．若集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E2={1，2}，P2=．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．22.设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，集合B={x||x+a|＜1}．（1）若a=3，求A∪B；（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．23.已知集合，，，全集为实数集求：（1）；（2）.（3）若，求实数的取值范围．24.给定无穷数列，若无穷数列{b n}满足：对任意，都有，则称“接近”。

高中数学高考考点专项复习及答案1 集合

考点规范练1集合1.(2021广东中山高三期末)设集合A={x∈Z|x2≤4},B={1,2,a},且A∪B=A,则实数a的取值集合为()A.{-2,-1,0}B.{-2,-1}C.{-1,0}D.{-2,-1,1}答案A解析由题得A={x∈Z|x2≤4}={-2,-1,0,1,2},因为B={1,2,a},且A∪B=A,所以实数a的取值集合为{-2,-1,0}.2.已知集合M={x|x2-2x<0},N={-2,-1,0,1,2},则M∩N=()A.⌀B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案B解析由集合M中不等式得x(x-2)<0,解得0<x<2,即M=(0,2),又N={-2,-1,0,1,2},故M∩N={1},故选B.3.若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B的真子集个数为()A.5B.6C.7D.8答案C解析由已知,得x=2,y=3;x=3,y=2;x=3,y=3满足题意,所以B={(2,3),(3,2),(3,3)},集合B中有3个元素,故真子集有23-1=7(个).4.(2021全国Ⅰ,理2)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=()A.⌀B.SC.TD.Z答案C解析当n=2k,k∈Z时,S1={s|s=4k+1,k∈Z}=T;当n=2k+1,k∈Z时,S2={s|s=4k+3,k∈Z},又S=S1∪S2,所以T⫋S,故S∩T=T.5.已知集合A={y|y=2x},B={x|x2-3x+2≤0},则()A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.A⊆BD.B⊆A答案D解析因为A={y|y=2x}={y|y>0},B={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},所以A∩B={x|1≤x≤2}≠⌀,故选项A 不正确;A∪B={y|y>0}≠R,故选项B不正确;根据子集的定义有B⊆A,故选项C不正确,D正确.6.若全集U=R,集合A={x|y=lg(6-x)},B={x|2x>1},则图中阴影部分表示的集合是()A.(2,3)B.(-1,0]C.[0,6)D.(-∞,0]答案D解析由于A={x|y=lg(6-x)}={x|x<6},B={x|2x>1}={x|x>0},则阴影部分表示的集合是(∁U B)∩A=(-∞,0]∩(-∞,6)=(-∞,0].7.(多选)(2021广东湛江二模)已知集合A={x∈R|x2-3x-18<0},B={x∈R|x2+ax+a2-27<0},则下列说法中正确的是()A.若A=B,则a=-3B.若A⊆B,则a=-3C.若B=⌀,则a≤-6或a≥6D.若B⫋A,则-6<a≤-3或a≥6答案ABC解析A={x∈R|-3<x<6},若A=B,则a=-3,且a2-27=-18,故A正确;当a=-3时,A=B,故D不正确;若A⊆B,则(-3)2+a·(-3)+a2-27≤0且62+6a+a2-27≤0,解得a=-3,故B正确;当B=⌀时,a2-4(a2-27)≤0,解得a≤-6或a≥6,故C正确.8.设集合A={x|3x-1<m},若1∈A,且2∉A,则实数m的取值范围是()A.2<m<5B.2≤m<5C.2<m≤5D.2≤m≤5答案C解析因为集合A={x|3x-1<m},而1∈A,且2∉A,所以3×1-1<m,且3×2-1≥m,解得2<m≤5.9.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案C解析设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.由Venn图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.10.已知集合P={y|y2-y-2>0},Q={x|x2+ax+b≤0}.若P∪Q=R,且P∩Q=(2,3],则a+b=()A.-5B.5C.-1D.1答案A解析因为P={y|y2-y-2>0}={y|y>2,或y<-1},由P∪Q=R及P∩Q=(2,3],得Q=[-1,3],所以-a=-1+3,b=-1×3,即a=-2,b=-3,a+b=-5.11.已知全集U={a1,a2,a3,a4},集合A是全集U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件:①若a1∈A,则a2∈A;②若a3∉A,则a2∉A;③若a3∈A,则a4∉A.则集合A=(用列举法表示).答案{a2,a3}解析假设a1∈A,则a2∈A,由若a3∉A,则a2∉A可知,a3∈A,故假设不成立;假设a4∈A,则a3∉A,a2∉A,a1∉A,故假设不成立.故集合A={a2,a3}.。

高考数学总复习 11集合的概念及其运算课后作业试题

卜人入州八九几市潮王学校【走向高考】2021年高考数学总复习1-1集合的概念及其运算课后作业北师大一、选择题1．(文)(2021·文，1)假设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，那么M∩N等于()A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}[答案]A[解析]此题考察集合的交集运算．M∩N＝{0,1}．(理)(2021·理，1)集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，假设P∪M＝P，那么a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[答案]C[解析]此题主要考察了集合的运算及子集．依题意：P＝[－1,1]，∵P∪M＝P，∴M⊆P，又M＝{a}，∴a∈[－1,1]，应选C.2．(文)(2021·文，1)U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，那么∁U(A∪B)＝()A．{6,8} B．{5,7}C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}[答案]A[解析]此题考察了集合的并集和补集运算，可以先求A∪B，再求∁U(A∪B)，也可以利用∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B))求解．∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U(A∪B)＝{6,8}．(理)(2021·理，2)U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝，x>2}，那么∁U P＝()A．[，＋∞)B．(0，)C．(0，＋∞)D．(－∞，0]∪[，＋∞)[答案]A[解析]此题考察函数值域求解及补集运算．∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝(0，＋∞)，P＝{y|y＝，x>2}＝(0，)，∴∁U P＝[，＋∞)．3．(文)全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，那么(∁U A)∩B等于()A．[－1,4) B．(2,3)C．(2,3] D．(－1,4)[答案]C[解析]解法1：A＝{x|x>3或者x<－1}，B＝{x|2<x<4}，∁U A＝{x|－1≤x≤3}，∴(∁U A)∩B＝(2,3]，应选C.解法2：验证排除法，取x＝0，x∉Bx＝3,3∉A,3∈B.∴3∈(∁U A)∩B.排除B.(理)函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，那么M∩N等于()A．{x|x>－1} B．{x|－1<x<1}C．{x|x<1} D．∅[答案]B[解析]M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，∴M∩N＝{x|－1<x<1}．4．M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，那么M∩N＝()A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}C．[0,1] D．[0，][答案]D[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－，]，∴M∩N＝[0，]，应选D.[点评]此题特别易错的地方是将数集误认为点集．5．(文)(2021·理，2)集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，那么A∩B的元素个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]此题考察集合的概念、集合交集的根本运算．可采用数形结合方法直接求解．集合A中点的集合是单位圆，B中点的集合是直线y＝x，A∩B中元素个数，即判断直线y＝x与单位圆有几个公一共点，显然有2个公一共点，故A∩B中有2个元素．选C.(理)(2021·文，4)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，那么“x∈A∪B〞是“x ∈C〞的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]此题考察了集合的运算与逻辑语言的充分必要条件的运用．∵A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}∴A∪B＝{x∈R|x<0或者x>2}C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或者x>2}，∴A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充要条件．6．(文)假设A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，那么一定有()A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅[答案]A[解析]考察集合的根本概念及运算．∵B∩C⊆B⊆A∪B，A∪B＝B∩C⊆B，∴A∪B＝B，B∩C＝B，∴A⊆B，B⊆C，∴A⊆C，选A.(理)(2021·理，7)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|<，i为虚数单位，x∈R}，那么M∩N 为()A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1][答案]C[解析]本小题考察三角函数的倍角公式、值域及复数的模．y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，∴0≤y≤1.|x－|＝|x＋i|＝<.∴x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝[0,1)．二、填空题7．A＝{(x，y)|x2＝y2}，B＝{(x，y)|x＝y2}，那么A∩B＝______.[答案]{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析]A∩B＝＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．8．集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x2－5x＋4≥0}，假设A∩B＝∅，那么实数a的取值范围是________．[答案](2,3)[解析]B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或者x≤1.又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴2<a<3.三、解答题9．集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，假设A∪B＝B，务实数a的取值范围．[分析]由A∪B＝B，可以得出A⊆B，而A⊆B中含有特例，A＝∅，应注意．[解析]由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，(1)假设A＝∅，那么Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.(2)假设A≠∅，那么0∈A或者－4∈A当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或者a＝7；但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或者a＝1.一、选择题1．(文)(2021·理，2)假设集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，那么A∩B＝()A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}[答案]B[解析]此题主要考察不等式的解法与集合的运算．A＝{x|－1≤2x＋1≤3}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|≤0}＝{x|0<x≤2}，A∩B＝{x|0<x≤1}，应选B.(理)P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，那么P∩Q ＝()A．{1，－2} B．{(－13，－23)}C．{(1，－2)} D．{(－23，－13)}[答案]B[解析]α＝(m－1,2m＋1)，β＝(2n＋1,3n－2)，令α＝β得，∴∴P∩Q＝{(－13，－23)}．2．(文)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或者x∈B，且x∉(A∩B)}，那么(A*B)*A等于()A．A B．BC．(∁U A)∩B D．A∩(∁U B)[分析]此题考察集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的局部，再画出(A*B)*A表示的局部．[答案]B[解析]画一个一般情况的韦恩图，如下列图，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.(理)(2021·高三期中)设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，那么a的取值范围是()A．－3<a<－1 B．－3≤a≤－1C．a≤－3或者a≥－1 D．a<－3或者a>－1[答案]A[解析]S＝{x|x>5或者x<－1}，∵S∪T＝R，∴，∴－3<a<－1，应选A.二、填空题3．(2021·文，9)集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，那么集合A∩Z中所有元素的和等于________．[答案]3[解析]此题考察了简单绝对值不等式的解法与集合的运算．用列举法将A∩Z中的元素列举出来相加即可．A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1<x<3}∴A∩Z＝{0,1,2}．∴A∩Z的元素的和为3.4．(文)设全集U＝A∪B＝{x∈N＋|lg x<1}，假设A∩∁U B＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，那么集合B＝________.[答案]{2,4,6,8}[解析]A∪B＝{x∈N＋|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩∁U B＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．(理)(2021·模拟)设S为满足以下条件的实数构成的非空集合：(1)1∈S；(2)假设a∈S，那么∈S①0∈S；②假设2∈S，那么∈S；③集合S＝{－1，，1,2}是符合条件的一个集合；④集合S中至少有4个元素，那么正确结论的序号是________．[答案]②③④[解析]因为∈S，且不可能为零，故①不正确；假设2∈S，那么－1∈S，那么∈S，故②正确；易知集合S＝{－1，，1,2}是符合条件的含有元素最少的集合，所以集合S中至少有4个元素，故③④正确．三、解答题5．(2021·模拟)设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，A∩B＝{9}，务实数a的值．[解析]∵A∩B＝{9}，∴9∈A.(1)假设2a－1＝9，那么a＝5，此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，A∩B＝{9，－4}，与矛盾，舍去．(2)假设a2＝9，那么aa＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，B中有两个元素均为－2，与集合元素的互异性相矛盾，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a＝－3.6．(文)(2021·联考)设集合A＝{x|x2<4}，B＝.(1)求集合A∩B；(2)假设不等式2x2＋ax＋b<0的解集是B，求a，b的值．[解析]A＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，B＝＝＝{x|－3<x<1}，(1)A∩B＝{x|－2<x<1}．(2)∵2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3<x<1}，∴－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根，∴∴a＝4，b＝－6.(理)集合A＝{x|x2－x－6<0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2<0}，假设C⊇(A∩B)．试确定实数a的取值范围．[解析]由得A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<－4或者x>2}，A∩B＝{x|2<x<3}．∵C＝{x|x2－4ax＋3a2<0}＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}，∴当a>0时，C＝{x|a<x<3a}；当a<0时，C＝{x|3a<x<a}；当a＝0时，C＝∅，此时C⊇(A∩B)是不可能的．①当a>0时，如下列图．C⊇(A∩B)⇔⇔1≤a≤2.②当a<0时，C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，因此C⊇(A∩B)是不可能的．综上所述，1≤a≤2.7．集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}，同时满足：①A∩B≠∅；②－2∈A(p，q≠0)．求p，q的值．[分析]两个集合有公一共元素，可联立方程求解，注意到系数关系，问题可有多种解法．[解析]解法1：∵A∩B≠∅∴方程组有解．两式相减得：(q－1)x2＝q－1.①当q＝1时，方程有解．∵－2∈A，∴根据韦达定理知方程另一根为－.∴－p＝－2＋＝－，p＝.这时A＝B＝，符合题意．∴②当q≠1时，x2＝1，x＝±1又∵－2∈A，∴A＝{1，－2}或者{－1，－2}，根据韦达定理：或者∴或者.综上：p，q的值是或者或者解法2：设x0∈A，那么有x＋px0＋q＝0，两端同除以x，得1＋p＋q＝0，那么知∈B.∴集合A，B中元素互为倒数．由A∩B≠∅，一定有x0∈A，使得∈B且x0＝，x0＝±1.又∵－2∈A，∴A＝{1，－2}或者{－1，－2}，由此得B＝或者.根据韦达定理：或者，∴或者另－2∈A，A∩B≠∅，可能出现－2∈B，那么－∈A.此时－2，－为A的两个元素，易知此时A＝B＝，故或者或者.。

2021新高考数学一轮复习第01章 1.1 集合

§1.1集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合的基本关系(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B；(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A B；(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B} A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B} A∪B概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆(M∩N)．(√)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个．答案 4解析因为(A∪B)⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝________.答案(－∞，0)∪[1，＋∞)解析因为∁U A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．题组三易错自纠5．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有()A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案ACD解析易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.答案0或3解析因为B⊆A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．答案0或1或－1解析易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.集合的含义与表示1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C解析当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析因为32－x∈Z ，且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 3．给出下列四个命题： ①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}；②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．答案 4解析由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．(3)已知集合A＝{x|x2－2 021x＋2 020<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________________________________________________________________________．答案[2 020，＋∞)解析由x2－2 021x＋2 020<0，解得1<x<2 020，故A＝{x|1<x<2 020}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 020.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练1(1)已知集合A＝{x|y＝1－x2}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．A B B．B AC．A⊆B D．B＝A答案 B解析由题意知A＝{x|y＝1－x2}，所以A＝{x|－1≤x≤1}．所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}，所以B A ，故选B.(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 解析 A ＝{x |－1≤x ≤6}． ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m <－2.符合题意．当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m <－2或0≤m ≤52.集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．[－1,2) D ．(－1,2)答案 C解析因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝[－1,2)．(2)(2020·沈阳检测)已知全集U＝{1,3,5,7}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为()A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{1,3,5}答案 B解析由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U(A∪B)＝{7}．故选B.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.(2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥2答案 D解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．可知a≥2.本例(2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，由B⊆A结合数轴观察(如图)．可得a≤1.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练2(1)(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A等于()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}答案 C解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案 D解析在数轴上画出集合A，B(如图)，观察可知a >－1.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．例1 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．例2 (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0,1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集答案 AD解析当a ＝b 时，a －b ＝0，ab ＝1∈P ，故可知A 正确．当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确．当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确．根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．例3 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．21 答案 D解析由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.1．下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B2．已知集合M＝{x|x2－x－6＝0}，则下列表述正确的是()A．{－2}∈M B．2∈MC．－3∈M D．3∈M答案 D解析∵集合M＝{x|x2－x－6＝0}．∴集合M＝{－2,3}，∴－2∈M,3∈M，故选D.3．(2018·全国Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为() A．9 B．8 C．5 D．4答案 A解析将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.4．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有()A．7个B．8个C．15个D．16个答案 A解析 ∵集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}＝{x ∈N *|－1<x <4}＝{1,2,3}， ∴集合A 中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．5．已知集合M ＝{x |x >4或x <1}，N ＝[－1，＋∞)，则M ∩N 等于( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－1,1)∪(4，＋∞) C ．∅ D ．[－1,1)∪(4，＋∞)答案 D解析因为M ＝{x |x >4或x <1}，N ＝[－1，＋∞)，所以M ∩N ＝[－1,1)∪(4，＋∞)． 6．(2020·山东模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B 等于( ) A ．{(1,1)} B ．{(－2,4)} C ．{(1,1)，(－2,4)} D ．∅答案 C解析首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4.从而集合A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．7．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( ) A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3} 答案 BD解析 ∵A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |－1<x ≤2}，A 不正确； A ∪B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |－2≤x ≤2}＝{x |－2≤x ≤3}，B 正确； ∵∁R B ＝{x |x <－2或x >2}，∴A ∪∁R B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |x <－2或x >2}＝{x |x <－2或x >－1}，C 不正确； A ∩∁R B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |x <－2或x >2}＝{x |2<x ≤3}，D 正确．8．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( )A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R答案 ABD解析因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．9．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝________. 答案 {1,3}解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．10．(2019·湖北黄石一中模拟)设集合M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0,5]}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝________. 答案 {x |1<x ≤2}解析 ∵M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0,5]}＝{y |－2≤y ≤2}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}＝{x |x >1}， ∴M ∩N ＝{y |－2≤y ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案－2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1. 经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |x 2＋x ＝0，x ∈R }，则集合A 中的元素为________．若集合B 满足B ⊆A ，则集合B 的个数是________．答案－1,0 4解析解方程x 2＋x ＝0得x ＝－1或x ＝0，所以集合A ＝{x |x 2＋x ＝0，x ∈R }＝{－1,0}，故集合A中的元素为－1,0.因为集合B满足B⊆A，所以集合B的个数为22＝4.13．(2020·青岛模拟)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B ＝(－1，n)，则m＝______，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.14．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．答案(－∞，2]解析当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1<a≤2；当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题意；当a<1时，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，又∵a－1<a，∴A∪B＝R，故a<1满足题意，综上知a∈(－∞，2]．15．(多选)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题中是真命题的有()A．集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集B．若S为封闭集，则一定有0∈SC．封闭集一定是无限集D．若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集答案AB解析两个复数的和、差、积仍是复数，且运算后的实部、虚部仍为整数，所以集合S＝{a＋b i|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集，A正确．当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，B正确．对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，C错误．取S＝{0}，T＝{0,1}，满足S⊆T⊆C，但由于0－1＝－1不属于T，故T不是封闭集，D错误．16．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________.答案 1 解析 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意；当a ＝1时，M ＝{－1,1}，满足题意．。

2021届浙江新高考数学一轮复习课件：第一章 1 第1讲集合及其运算

【解析】 (1)因为 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．故选 C. (2)由题意可得∁UA＝{－1，3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选 A.
(3)因为 A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}， B＝{x|1<x<3}，所以 A∪B＝{x|－1<x<3}．又因为 A∩B＝{x|1<x<2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤1 或 x≥2}．【答案】 (1)C (2)A (3)(－1，3) (－∞，1]∪[2，＋∞)
与集合中的元素有关问题的求解步骤
1．(2020·温州八校联考)已知集合 M＝{1，m＋2，m2＋4}，且 5∈M，则 m 的值为( )
A．1 或－1
B．1 或 3
C．－1 或 3
D．1，－1 或 3
解析：选 B.因为 5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以 m＋2＝5 或 m2＋4＝5，即 m＝3 或 m＝±1. 当 m＝3 时，M＝{1，5，13}；当 m＝1 时，M＝{1，3，5}；当 m＝－1 时，不满足互异性．所以 m 的值为 3 或 1.
2．已知集合 M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若 M∩N＝N，则实数 a 的值是________．
解析：易得 M＝{2}．因为 M∩N＝N，所以 N⊆M，所以 N＝∅或 N＝M，所以 a＝0 或 a ＝12. 答案：0 或12
3．已知集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则 A∩B＝________，A∪B＝ ________，(∁RA)∪B＝________．解析：由已知得 A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以 A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝ {x|1＜x＜4}， (∁RA)∪B＝{x|x≤1 或 x＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

②∵A＝{3，5}，又B A，
故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝1a. ∴1a＝3或1a＝5，即a＝13或a＝15. 故C＝{0，13，15}．【答案】 ①B A ②{0，13，15}
题型三集合的基本运算
(1)(2017·天津)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝
①集合A用列举法表示出来，当a＝
1 5
求出集合B
即可确定集合A与B的关系．
②由B A，得B为A的真子集，可建立a的关系式解出a，即
可确定集合C. 【解析】 ①由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5，∴A＝{3，5}．若a＝15，由ax－1＝0，得15x－1＝0，即x＝5. ∴B＝{5}．∴B A.
【解析】由题意知，集合 A＝{0，1，2}，B＝{y|－1≤y≤1}，则图中阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x<0 或 0<x<1}．
【答案】 {x|－1≤x<0 或 0<x<1}
(3)(2018·辽宁五校联考)已知集合 M，N，P 为全集 U 的子集，
且满足 M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是( )
(2)例(2)的难点是对集合 A，B 的识别：A 是函数 y＝lgx 的定义域，B 是函数 y＝ x＋1 的值域．
(3)由例(3)深刻理解集合中元素的互异性的应用．
思考题 1 (1)给出以下三个命题： ①{(x，y)|x＝1 或 y＝2}＝{1，2}； ②{x|x＝3k＋1，k∈Z}＝{x|x＝3k－2，k∈Z}； ③由英文单词“apple”中的所有字母组成的集合有 15 个真子集．其中正确的命题是________．
【解析】 ①中左边集合表示横坐标为 1，或纵坐标为 2 的所有点组成的集合，即 x＝1 或 y＝2 两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素 1 和 2，左、右两集合的元素，属性不同．
②中 3k＋1，3k－2，(k∈Z)都表示被 3 除余 1 的数，易错点在于认为 3k＋1 与 3k－2 中的 k 为同一个值，对集合的属性理解错误．
【答案】 B
(2)(2018·江西南昌模拟)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|y＝
lgx}，集合 B＝{y|y＝ x＋1}，那么 A∩(∁UB)＝( )
A．∅
B．(0，1]
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
【审题】本题主要考查集合的交集与补集运算，以集合表示为载体，通过函数的定义域、值域的求解，考查考生的基本运算能力．
第一章集合与简易逻辑
第1课时集合
请注意集合的概念及运算一直是高考热点，同时近两年新课标高考试题加强了对以集合为工具与其他知识的结合的考查，一般为基础题，解题时要充分利用韦恩图、数轴的直观性迅速得解，预计今后这种考查方式不会变．
集合的基本概念 (1)集合的概念：一组对象的全体构成一个集合； (2)集合中元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(2)抽象集合的运算：本例(3)是考查抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算的问题．解决此类问题的途径有二：
一是利用特例法将抽象集合具体化；二是利用韦恩图化抽象为直观．
【解析】 ∵A
B，∴2mm＋－11≤>4m，＋1，(等号不同时成立) 2m－1≥5.
此不等式组无解，故不存在 m 使 A B.
【答案】不存在
(2)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}． ①若a＝15，试判定集合A与B的关系； ②若B A，求实数a组成的集合C.
【思路】
集合的运算 (1)子集：若对于任意的 x∈A 都有 x∈B，则 A⊆B；真子集：若 A⊆B，且 A≠B，则 A B；
∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； (2)交集：A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B}； (3)并集：A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}； (4)补集：若 U 为全集，A⊆U，则∁UA＝{x|x∈U 且 x∉A}．
答案 (0，1)
4．(2018·贵州七校联考)已知集合 A＝{0，1，2，3，4}，B
＝{x|x＝ n，n∈A}，则 A∩B 的真子集个数为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
答案 C 解析由题意得 B＝{0，1， 2， 3，2}，所以 A∩B＝{0，1， 2}，所以 A∩B 的真子集个数为 23－1＝7，故选 C.
授人以渔
题型一集合的基本概念
(1)设集合 P＝{x|x＝k3＋16，k∈Z}，Q＝{x|x＝k6＋13，k ∈Z}，则( )
A．P＝Q
B．P Q
C．P Q
D．P∩Q＝∅
【解析】方法一：列举法 P＝{…，－16，16，36，56，76，96，…}． Q＝{…，－16，0，16，26，36，…}．显然，P Q，选 B. 方法二：描述法 k3＋16＝16(2k＋1)，k6＋13＝16(k＋2)，∵k∈Z，∴{x|x＝2k＋1， k∈Z} {x|x＝k＋2，k∈Z}．∴P Q，故选 B.
【解析】 ①A＝{0，－4}，当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)<0，解得a<－ 1；当B为单元素集合时，a＝－1，此时B＝{0}符合题意；当B ＝A时，由根与系数的关系，得－a2－2（1＝a＋0，1）＝－4，解得a＝1. 综上可知：a≤－1或a＝1. ②若A⊆B，必有A＝B，由①知a＝1. 【答案】 ①a≤－1或a＝1 ②a＝1
集合的常用运算性质 (1)A∩∅＝∅；A∩A＝A； (2)A∪∅＝A；A∪A＝A； (3)A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A； (4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B； A⊆B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅． (5)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)； ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；
当B≠∅时，观察图，
由数轴可知m－＋2≤1≤m2＋m1－，1，解得2≤m≤3. 2m－1≤5，
综上所述，实数m的取值范围是m<2或2≤m≤3，即m≤3. 【答案】 m≤3
(2)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}， ①若B⊆A，则实数a的取值范围为________； ②若A⊆B，则实数a的取值范围为________．
0，1，2 时，x－y 的值分别为 0，－1，－2；当 x＝1，y 分别取 0，
1，2 时，x－y 的值分别为 1，0，－1；当 x＝2，y 分别取 0，1，2
时，x－y 的值分别为 2，1，0.故 B＝{－2，－1，0，1，2}．
【答案】 C
(3)设 2 019∈{x， x2，x2}，则满足条件的所有 x 组成的集合的真子集的个数为________．
A．∁UN⊆∁UP
B．∁NP⊆∁NM
C．(∁UP)∩M＝∅
D．(∁UM)∩N＝∅
【解析】根据已知条件画出韦恩图结合各选项知，只有 D 不正确，故选 D.
【答案】 D
★状元笔记★ 集合运算的基本类型
(1)具体集合的运算：高考对集合的考查，多是考查具体集合 (给出或可以求出集合的具体元素)的交、并、补运算，如本例(1)， (2)，其解法依然是化简集合、列举法或借助于数轴、韦恩图等．预测明年对于集合的考查仍以此类题为主．
{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
【解析】 A∪B＝{1，2，4，6}，(A∪B)∩C＝{1，2，4}，B 正确．
【答案】 B
(2)(2018·上海四区联考)全集 U＝R，集合 A ＝{x∈Z|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的集合为________．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 解析 (1)由于－1∉N，故(1)错． (2)中{x|y＝x2}＝R，{y|y＝x2}＝{y|y≥0}＝[0，＋∞)，以上两集合为数集，{(x，y)|y＝x2}表示抛物线 y＝x2 上所有点的集合，故(2)错． (3)该方程含有两个未知数，解集为{(2 018，－2 019)}，故(3) 错． (4)当 m＝－1 时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(4)错．(5)正确．
★状元笔记★ (1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系，如本例(2)． (2)数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断，如本例(1)．
思考题 2 (1)本例(1)中，将集合 A 改为 A＝{x|4≤x≤5}，问是否存在实数 m 使 A B?
【解析】 ∵x，y 均不能为 0，∴lg(xy)＝0，故 xy＝1. 又∵x≠1，∴y≠1，从而 y＝1x，且|x|＝1，故 x＝y＝－1. 【答案】－1 －1
★状元笔记★ 由本例讲透集合的基础知识
(1)由例(1)讲清：列举法与描述法及它们之间的相互转换；并通过此题使学生深刻理解元素与集合，集合与集合之间的关系，并共同总结此类题的解法．
5．(2018·衡水中学调研卷)已知集合 A，B 均为全集 U＝{1，
2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则 A∩(∁UB) ＝( )
A．{3}
B．{4}
C．{3，4} 答案 A
D．∅
解析由题意知 A∪B＝{1，2，3}，又 B＝{1，2}，所以 A 中
必有元素 3，没有元素 4.又∁UB＝{3，4}，故 A∩(∁UB)＝{3}．
(6)如图所示，用集合 A、B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ 、 Ⅳ 四个部分所表示的集合分别是 A∩B ； A∩(∁UB)；B∩(∁UA)；∁U(A∪B)或(∁UB)∩(∁UA)．