高中数学全参数方程知识点大全知识讲解

合集下载

(完整word版)高中数学参数方程知识点大全

高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时，｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数）则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21) 解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=tt 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211x t tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得 222y x +=2x-5. 平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231 7.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x by a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=- 8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1,-3π),r=2 9.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21± C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A. 3πB.32πC.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 .(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛物线；19.135°,|32t| (三)20.(5154,558)；21.;332 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。

高三数学——参数方程

一、参数方程的概念一、参数方程的定义： 1 定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x反过来，对于t 的每个允许值，由函数式：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x叫做这条曲线的参数方程，变量t 是参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2说明：(1)参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义. (2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 (3)在实际问题中要确定参数的取值范围 3. 参数方程的意义：参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标. 4. 参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点M 坐标为),(y x（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点M 坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 5. 关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单. 与运动有关的问题选取时间t 做参数. 与旋转的有关问题选取角θ做参数.或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等. 二、例题选讲例1 一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行.为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（教材21页探究）解：由物理学知识得2100()15002x t t y gt =⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数 ①救援物资落地时，应有0y =，即2150002gt -= 解得10.10t ≈s.将10.10t =代入①，得到1010x ≈m.因此，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m 时投放物资，可以使其准确落在指定地点.例2已知曲线C 的参数方程是2321x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）. （1）判断点)1,0(1M ，)4,5(2M 与曲线C 的位置关系；（2）已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值.解：（1）把点1M 的坐标(0,1)代入方程组，解得0t =，因此1M 在曲线C 上. 把点2M 的坐标(5,4)代入方程组，得到253421t t =⎧⎨=+⎩这个方程组无解，因此点2M 不在曲线C 上.（2）因为点),6(3a M 在曲线C 上，所以26321t a t =⎧⎨=+⎩解得2,9t a ==. 因此，9a =. 例3设炮弹发射角为α，发射速度为0v ，（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）（2）若s m V o /100=，6πα=，当炮弹发出2秒时，求炮弹高度和射程解：(1)由物理学知识得020cos ()1sin 2x V tt y V t at αα=⋅⎧⎪⎨=⋅-⎪⎩为参数(2) 若s m V o /100=，6πα=，当炮弹发出2秒时，0220cos =100cos 2173.2611sin 100sin 29.8280.4262x V t y V t at παπα⎧=⋅⋅==⎪⎪⎨⎪=⋅-=⋅-⋅⋅=⎪⎩所以炮弹高度为80.4m ，射程为173.2m.课后练习：1．点(3,)P b在曲线1(21x t y t ⎧⎪=⎨=--⎪⎩为参数）上，则b 的值为【】 A ． —5 B ．3 C ．—5或3 D ．—2或32 曲线25()12x tt y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是【】A 21)(,0)52、 B 11)(,0)52、 C 4)(8,0)-、 D 5(0,)(8,0)9、3 下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是【】A1(,)2B 31(,)42- C() D)4．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的速度分别是2m/s ，5m/s,直角坐标系的长度单位是1m ，点M的起点位置在0(1,2)M -处，则点M 的轨迹的参数方程为【】 A 22(0)15x tt y t=+⎧≥⎨=-+⎩ B15(0)22x tt y t =-+⎧≥⎨=+⎩ C 25(0)12x tt y t =+⎧≥⎨=-+⎩D12(0)25x tt y t =-+⎧≥⎨=+⎩5．已知曲线的参数方程为3214x ty t=-⎧⎨=--⎩，它表示的曲线是【】A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线6. 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x （θ为参数），当3πθ=时，曲线上对应点的坐标是 .7. 已知弹道曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==20021sin cos t g t v y t v x αα（t 为参数），则炮弹从发射到落回地面所需的时间为 .8. 已知曲线C 的参数方程是22(31x t t y t =⎧⎨=-⎩为参数）（1）判断点12(2,2),(2,3)M M -与曲线C 的位置关系（2）已知点3(4,)M a -在曲线C 上，求a 的值．参考答案：1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6. )3,23( 7．gv αsin 20 8．解：（1）把点1M 的坐标(2,2)代入方程组，解得1t =，因此1M 在曲线C 上.把点2M 的坐标(2,3)-代入方程组，得到222331t t -=⎧⎨=-⎩这个方程组无解，因此点2M 不在曲线C 上.（2）因为点3(4,)M a -在曲线C 上，所以24231ta t -=⎧⎨=-⎩解得2,11t a =-=.因此，11a =.二、圆的参数方程一、圆的参数方程1. 圆心为原点半径为r 的圆的参数方程如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置0M （t =0时的位置）出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，0OM 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数.如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是(,)M x y ，那么t θω=.设||OM r =，那么由三角函数定义，有cos ,sin x y t t r rωω==，即 cos ()sin x r tt y r tωω=⎧⎨=⎩为参数这就是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程.其中参数t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）.考虑到t θω=，也可以取θ为参数，于是有cos ()sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数这也是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是0OM 绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，0OM 转过的角度.2. 圆心为),(b a 原点半径为r 的圆的参数方程如图，设圆1O 上任意一点P (x ,y )，它是圆O 上一点),(111y x P 按平移向量),(b a v =平移后得到的，则根据平移公式，有⎩⎨⎧+=+=b y y a x x 11，由于θθsin ,cos 11r y r x ==，故⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x ()θ为参数这就是圆心为),(1b a O ，半径为r 的圆的参数方程.二例题选讲例1如图所示，圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，Q （6，0）是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点.当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程.解：设点M 的坐标是(y x ,),xOP θ∠=,则点P 的坐标是(2cos θ,2sin θ). 由中点坐标公式可得 2cos 62sin 3cos ,sin 22x y θθθθ+==+== 因此，点M 的轨迹的参数方程是3cos ,()sin .x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数例2把圆0622=-+x y x 化为参数方程.解：方程0622=-+x y x 可化为22(3)9x y -+=，所以圆心为（3，0），半径为3. 因此，圆0622=-+x y x 的参数方程是 33cos ,()3sin .x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数例3已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ,求y x S -=3的最大值和最小值．解：由已知圆的参数方程为12cos ,()22sin .x y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数33(12cos )(22sin )156cos 2sin 5)(tan )3S x yθθθθθϕϕ=-=+--+=+-=++=所以故max min 55S S =+=-课后练习：1．半径为3，圆心在点(1,2)-的圆的参数方程为【】A ．13cos (02)23sin x t t y t π=-+⎧≤<⎨=+⎩ B ．23cos (02)13sin x tt y tπ=+⎧≤<⎨=-+⎩C ．23cos (02)13sin x t t y t π=-⎧≤<⎨=--⎩D ．13cos (02)23sin x t t y t π=--⎧≤<⎨=-⎩2．(,)P x y 是曲线2c o s s i nx y αα=+⎧⎨=⎩ （α为参数）上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为【】A ．36B ．6C ．26D ．253．直线l ：32y x =+与圆：⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x 的位置关系是【】A ．相交且过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离4．点(,)P x y 是曲线c o s2(s i nx y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）上任意一点，则yx的最大值为【】A ． 1B ． 2C ．D ．5圆2224cos 4sin 30(0)x y Rx Ry R R αα+--+=>的圆心的轨迹是【】 A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 6．圆222x y x +=的参数方程为．7．点(,)P x y 是曲线2cos 12sin 1x y θθ=+⎧⎨=-⎩（θ的最大值为．8.已知点P 是圆2216x y +=上一个动点，定点(12,0)A ，点M 在线段PA 上，且2PM MA =，当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹．参考答案：1．A 2．A 3．B 4．D 5．A6. 1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数） 7．2+8．解：设点M 的坐标是(y x ,),xOP θ∠=,则点P 的坐标是(4cos θ,4sin θ).∵2PM MA =， ∴由题设23AM AP =.∴(12,x y -)=2(4cos 12,4sin )3θθ-∴884cos ,sin 33x y θθ=+=因此，点M 的轨迹的参数方程是84cos ,3()8sin .3x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 . 三、参数方程和普通方程的互化一、参数方程和普通方程的互化1. 参数方程化为普通方程参数方程化为普通方程的过程就是消参过程.常见方法有三种：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数；（2）三角法：利用三角恒等式消去参数；（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去. 2. 普通方程化为参数方程一般地，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系()y g t =，那么⎩⎨⎧==)()(t g y t f x就是曲线的参数方程.二、例题选讲例1把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty t x 211（t 为参数）；（2）⎩⎨⎧+=+=θθθ2sin 1cos sin y x （θ为参数）.解：（1）由11x =≥1x =-代入1y =-，得到 23y x =-+.又因为11x =≥，所以与参数方程等价的普通方程是 23(1)y x x =-+≥. 这是以（1，1）为端点的一条射线（包括端点）.（2）把 sin cos x θθ=+平方后减去1sin 2y θ=+，得到2x y =又因为sin cos )4x πθθθ=+=+，所以[x ∈. 因此，与参数方程等价的普通方程是2x y =，[x ∈ 这是抛物线的一部分.例2 求椭圆14922=+y x 的参数方程：（1）设ϕcos 3=x ，ϕ为参数；（2）设t y 2=，t 为参数.解：（1）把ϕcos 3=x 代入椭圆方程，得到229cos 194y ϕ+=，于是2224(1cos )4sin y ϕϕ=-=，即2sin y ϕ=±.由参数ϕ的任意性，可取2sin y ϕ=，因此，椭圆14922=+y x 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 2cos 3y x （ϕ为参数）. （2）把t y 2=代入椭圆方程，得224194x t +=，于是229(1)x t =-,即x =±因此，椭圆14922=+y x 的参数方程是 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=t y t x 2132（t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧=--=ty t x 2132（t 为参数）. 例3将参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(2)1(2t t b y tt a x （t 为参数）化为普通方程，并指出它表示什么曲线.解：∵4)1()1(22=--+tt tt ，∴4)2()2(22=-bya x ，即12222=-by a x ，它表示双曲线.课后练习：1．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为【】 A 2y x =- B 2y x =+C 2(23)y x x =-≤≤D 2(01)y x y =+≤≤2．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是【】A 一条直线B 两条直线C 一条射线D 两条射线3．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y-=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =【】A ． 2B ．23C ． 52D ． 34．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为【】 A ．221,(2)416x y x -=≥ B ．221,(2)416x y x +=≥ C ．221,(2)416x y x +=≤- D ．221,(2)416x y x -=≤- 5. 参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=1212t t y t x （t 为参数）的普通方程是_______________.6. 设θtan b y =，θ为参数，则双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的参数方程是 .7 参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=222211t t y t t x （t 为参数）的普通方程是_______，表示的曲线是 ________.8．参数方程⎩⎨⎧-=-=tt y t x 2221（t 为参数）化为普通方程为 .参考答案：1．C 2．D 3．C 4．A 5 )0(0223≠=-+x y x ；6．g v αsin 20； 7．⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan cos b y a x ；9．)2(422≥=-x y x ,双曲线的右支；。

高三数学参数方程知识点

高三数学参数方程知识点数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它的应用广泛，对于高三学生来说，数学的学习变得更加重要和密集。

本文将着重介绍高三数学中的参数方程知识点，帮助学生全面理解并有效记忆这一概念。

一、参数方程的定义与特点参数方程是指用一个参数表示所有的自变量和因变量之间的函数关系。

通常用t作为参数，表示自变量的取值范围。

在参数方程中，将自变量和因变量用参数表示，使得函数的自变量和因变量之间的关系更为灵活。

二、参数方程的表示方法参数方程的表示方法有多种形式，常见的有向量表示法和分量表示法。

1. 向量表示法在向量表示法中，自变量和因变量都用向量表示。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可表示为：P(t) = (x(t), y(t))其中，x(t)和y(t)分别表示点P的x坐标和y坐标，t为参数。

2. 分量表示法在分量表示法中，将自变量和因变量都分别表示为关于参数t的函数。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数，t为参数。

三、参数方程应用领域参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在曲线的研究中起到重要作用。

下面分别介绍参数方程在平面曲线和空间曲线中的应用。

1. 平面曲线参数方程在平面曲线中的应用非常广泛，常见的曲线方程如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。

通过参数方程，可以对曲线的形状和性质进行更深入的研究。

例如，对于圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = a*sin(t)其中，a为半径，t为参数。

通过改变参数t的取值范围，可以绘制出一条圆的完整轨迹。

2. 空间曲线参数方程在空间曲线的研究中也起到重要作用，例如，直线、曲线、螺旋线等都可以通过参数方程来表示。

通过参数方程，可以描述物体在空间中的运动轨迹，从而研究物体的运动方式和变化规律。

四、参数方程的解法当给定一个参数方程时，我们需要求解参数方程对应的曲线方程或图形。

高中数学参数方程知识点大全

高考复习之参数方程一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构1.直线的参数方程(1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00(t 为参数)(2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 不参数)②在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t｜.直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=at y y a t x x sin cos 00（t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则(1)P 1、P 2两点的坐标分别是(x 0+t 1cosα,y 0+t 1sinα)(x 0+t 2cosα,y 0+t 2sinα)；(2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t，则t=221t t +中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t｜=｜221t t +｜(4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆椭圆12222=+b y a x (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆12222=+by a y (a＞b＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数)3.极坐标极坐标系在平面内取一个定点O，从O 引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x y tg y x θρ三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解：将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数）则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（）A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解：ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析例3椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).应选B.例4参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sinθ=2y(x＞0)即y=21x 2(x＞0).∴应选B.例5在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是()A.(2,-7)B.（31，32） C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2将x=21代入，得y=21∴应选C.例6下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是()A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty tx 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgt x 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t ty tgt x 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C.∴应选D.例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()A.x 2+(y+2)2=4B.x 2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y 2=4D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sinθ=22y x y +代入ρ=4sinθ，得x 2+y 2=4y，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是()A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cosθ+sinθ)⇒22ρ=ρcosθ+ρsinθ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y，表示圆.应选D.例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()A.ρsinθ=2 B.ρcosθ=2C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA 为直径，｜OA｜=4,l 和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有cosθ=ρ2=OPOB ，得ρcosθ=2，∴应选B.例104ρsin 22θ=5表示的曲线是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x +ρcosθ=x，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线.∴应选D.例11极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是()A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3x 2，y=±x 3,它表示两相交直线.∴应选B.四、能力训练(一)选择题1.极坐标方程ρcosθ=34表示()A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲线：①θ=6π和sinθ=21；②θ=6π和tgθ=33，③ρ2-9=0和ρ=3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为()A.1 B.2 C.3 D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，则M，N 两点位置关系是()A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2π D.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是()A．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211 C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab≠0)化为普通方程是()A.)(12222a xb y a x ≠=+ B.)(12222a x b y a x -≠=+C.)(12222a x by a x ≠=- D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为()A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1,3π),r=1D.(1,-3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是()A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方程为()A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±x D.y+1=)2(2-±x 11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4((t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为()A.3π B.32π C.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M，N 间的距离为()A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是()A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcosθ+25+3sinθ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是()A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是()A．θθρsin cos 23-=B．θθρcos cos 23-=C．θθρsin 2cos 3-=D．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为.18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是.19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为.(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数)上一点P，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p＞0，t 为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C 的端点为A，B，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G，H 两点.(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF 2│·│F 2H│成立的直线BD 是否存在?并说明理由.(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.24.A，B 为椭圆2222by a x +=1，(a＞b＞0)上的两点，且OA⊥OB，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l∶812yx +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R，又点Q 在OP 上且满足│OQ│·│OP│=│OR│2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D3.C4.C5.B6.A7.A8.C9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x≤21);18.抛物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。

高中数学参数方程知识点大全

高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义与表示参数方程是描述平面曲线的一种方法，它将曲线上的点用两个或多个参数表示。

参数方程的一般形式为：$$\begin{cases}x = x(t) \\y = y(t)\end{cases}$$其中，$t$ 是参数，$x(t)$ 和 $y(t)$ 分别是曲线上的点的横坐标和纵坐标。

二、参数方程与普通方程的转换1. 消去参数将参数方程中的参数消去，可以得到曲线的普通方程。

消去参数的方法主要有代数法和三角法。

2. 参数方程转换为普通方程将参数方程中的参数 $t$ 用普通方程中的变量 $x$ 或 $y$ 表示，可以得到曲线的普通方程。

三、参数方程的应用1. 描述运动轨迹参数方程可以用来描述物体的运动轨迹，例如抛体运动、圆周运动等。

2. 解决几何问题参数方程可以用来解决一些几何问题，例如求曲线的长度、面积、切线等。

3. 解决物理问题参数方程可以用来解决一些物理问题，例如求物体的速度、加速度、位移等。

四、常见参数方程1. 抛物线$$\begin{cases}x = at^2 \\y = bt^2 + ct + d\end{cases}$$2. 圆$$\begin{cases}x = a \cos t \\y = a \sin t\end{cases}$$3. 椭圆$$\begin{cases}x = a \cos t \\y = b \sin t\end{cases}$$4. 双曲线$$\begin{cases}x = a \sec t \\y = b \tan t\end{cases}$$5. 抛物线$$\begin{cases}x = a t^2 \\y = b t^2 + c t + d\end{cases}$$五、参数方程的优缺点优点可以方便地描述曲线的形状和运动规律。

可以解决一些普通方程难以解决的问题。

缺点需要找到合适的参数。

计算量可能较大。

参数方程是高中数学中一个重要的知识点，它可以帮助我们更好地理解曲线的形状和运动规律。

高三参数方程知识点

高三参数方程知识点高三学生在学习数学的过程中，会接触到各种不同的知识点和概念。

其中，参数方程是高三数学学习中的一个重要内容。

本文将详细介绍高三参数方程的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握该知识。

一、参数方程的概念参数方程是指以一个或多个参数表示的函数关系，其中参数的取值范围可以是任意的。

一般来说，参数方程可以将曲线或曲面上的点表示为参数的函数。

二、参数方程的表示方法1. 一元一次方程组参数方程最简单的形式是一元一次方程组。

例如，对于平面上的曲线，可以用两个一元一次方程来表示。

常见的一元一次方程组形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。

2. 二元一次方程组在三维空间中，参数方程可以用二元一次方程组表示。

形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，u和v是参数。

三、参数方程的应用参数方程在几何图形的描述和计算中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 曲线的参数方程参数方程可以描述各种曲线，如直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等。

通过参数方程，我们可以很方便地计算曲线上的点的坐标，进而绘制曲线。

2. 曲线的长度和曲率参数方程在计算曲线的长度和曲率时非常有用。

通过确定参数的取值范围，并计算相邻点的距离，我们可以求得曲线的长度。

此外，通过求导数和二阶导数，我们还可以计算曲线的曲率和曲率半径等重要指标。

3. 曲面的参数方程参数方程可以用于描述各种曲面，如球面、圆柱、圆锥和双曲面等。

通过参数方程，我们可以计算曲面上的点的坐标，进而绘制出复杂的三维图形。

四、参数方程的特点和优势参数方程具有一些独特的特点和优势，使其在数学领域得到广泛应用：1. 灵活性：参数方程中的参数可以取任意实数值，因此可以描述各种不同的几何图形。

2. 简洁性：用参数方程表示几何图形时，通常可以用更简洁的形式表示，较少出现复杂的运算和方程。

高考数学参数方程知识点整理归纳

高考数学参数方程知识点整理归纳高中数学知识点之参数方程定义一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t)、y=g(t)并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么上述方程则为这条曲线的参数方程，联系x，y的变数t叫做变参数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

(注意：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义和几何意义的变数，也可以是没有实际意义的变数。

高中数学知识点之参数方程圆的参数方程x=a+rcosθy=b+rsinθ(a,b)为圆心坐标r为圆半径θ为参数椭圆的参数方程x=acosθy=bsinθa为长半轴长b为短半轴长θ为参数双曲线的参数方程x=asecθ(正割)y=btanθa为实半轴长b为虚半轴长θ为参数抛物线的参数方程x=2pt2y=2ptp表示焦点到准线的距离t为参数直线的参数方程 x=x+tcosa y=y+tsina,x,y和a表示直线经过(x,y)，且倾斜角为a,t为参数高考数学必考知识点1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,3、正方体a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-底面积h-高V=Sh6、棱锥S-底面积h-高V=Sh/37、棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、拟柱体S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中截面积h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—侧面积,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、直圆锥r-底半径h-高V=πr^2h/312、圆台r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3 15、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)学好高中数学的方法有哪些1、有良好的学习兴趣(1)课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。

高中数学参数方程知识点大全

高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义和基本概念参数方程是指用一个或多个参数表示一个点在平面或空间上的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)或x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)等形式。

1. 参数的取值范围参数的取值范围是指t,u,v等参数的取值范围，有些问题中可能要求特定的参数取值范围，例如0≤t≤1。

2. 参数方程的解析式参数方程的解析式是指将参数方程中的参数用其他变量（如x,y,z）表示出来的式子，通常要具体分析题目所求的内容，才能得到具体的解析式。

二、参数方程表示的图形及其性质参数方程表示的图形是指用参数方程所描述的点的集合，常见的有平面曲线、空间曲线和曲面。

1. 平面曲线的参数方程平面曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。

2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。

3. 曲面的参数方程曲面的参数方程一般形式为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，u,v∈D，其中D为平面区域。

三、参数方程在计算机绘制图形中的应用在计算机绘制图形中，参数方程可以方便地表示出各种曲线和曲面，并通过计算机程序实现绘制，除此之外还可以进行各种变换和操作。

1. 坐标变换坐标变换是指通过参数方程的变换操作实现图形的变形、旋转、平移等操作。

2. 光照模拟通过参数方程计算表面法向量、光照强度和光照颜色，实现真实的光照模拟。

3. 碰撞检测通过参数方程计算图形的表面或体积信息，实现碰撞检测的功能，以及物体的相交等计算。

四、参数方程的求导1. 参数方程的一阶导数参数方程的一阶导数是指对参数t求导数得到的结果，常用来表示曲线的斜率和切线方向。

2. 参数方程的二阶导数参数方程的二阶导数是指对参数t进行二次求导得到的结果，常用来表示曲线的曲率和弧度的变化率。

五、参数方程的应用示例1. 斜抛运动斜抛运动的轨迹可以用参数方程表示，通过求解初始速度、角度等参数可以得到斜抛运动的轨迹方程，从而计算两点之间的距离和时间等参数。

参数方程总结知识点

参数方程总结知识点一、参数方程的概念参数方程是指用参数表示平面曲线、空间曲面上各点的坐标的方程，一个平面曲线或者空间曲面可以由一对参数方程来表示。

通常情况下，参数方程是形如x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)的方程，其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数。

参数t可以是实数也可以是整数。

二、参数方程的性质1. 参数方程的表示形式：参数方程有两种常用的表示形式，一种是向量形式，另一种是分量形式。

向量形式的参数方程可以表示为：r(t)=<x(t), y(t), z(t)>其中r(t)是位置向量，t是参数，x(t)、y(t)、z(t)分别是位置向量在x轴、y轴、z轴上的分量。

分量形式的参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)、g(t)、h(t)分别是曲线上某一点的坐标在x轴、y轴、z轴上的分量。

2. 参数方程的图形：参数方程描述的曲线或者曲面通常是比较复杂的几何图形，参数方程的图形特点不容易直接观察出来。

但是我们可以利用参数方程来绘制曲线或者曲面的图形，可以通过不同的参数值来确定曲线或者曲面上的一系列点，然后将这些点用线段或者曲线段连接起来，就可以得到参数曲线的图形。

3. 参数方程的应用：参数方程在物理、工程等领域有着广泛的应用，比如用来描述物体在空间中的运动轨迹、描述流体在空间中的运动状态等。

参数方程还可以用来求解一些复杂的几何问题，比如求参数曲线的长、面积等。

三、参数方程的运算参数方程的运算包括参数曲线的求导、求积分等。

参数方程的求导和求积分与普通的函数求导和求积分类似，只是要注意求导和求积分的对象是参数t，而不是变量x、y、z。

四、参数方程的方程组一条平面曲线或者空间曲面通常可以由多个参数方程组成，这些参数方程之间存在一定的关系，我们可以利用参数方程的方程组来求解曲线或者曲面上的一些特殊点。

五、参数曲线的方程与直角坐标系之间的转换参数曲线的方程与直角坐标系之间可以相互转换，通过参数曲线的方程，我们可以求解其在直角坐标系中的方程，通过直角坐标系中的方程，我们也可以求解其在参数方程中的方程。

高中数学参数方程知识点详解(讲义+过关检测+详细答案)

5．【答案】D
【解析】 x2 t, y2 1 t 1 x2, x2 y2 1,而t 0, 0 1 t 1,得0 y 2 .
4
4
6.【答案】D
【解析】圆
x=2 cos，
的圆心为原点，半径为
y =2 sin
2，
则圆心到直线 3x-4y-9=0 的距离为 9 ，小于半径 2，故直线与圆相交. 5
D．(1, 3)
2.已知某曲线的参数方程为 xy==ccooss2， +1，则该曲线是（
）
A．直线
B．圆
C．双曲线
3.若一直线的参数方程为
x
x0
1 2
t
（t 为参数），则此直线的倾斜Байду номын сангаас为（
y
y0
3t 2
A．30º
B. 60º
C．120º
4．若点
P(4，a)在曲线
x＝
t 2
(t 为参数)上，点 F(2，0)，则|PF|等于(
)
y＝2 t
A．4
B．5
C．6
D．抛物线） D．150º
D．7
5．与参数方程为
x
t
(t为参数) 等价的普通方程为（）
y 2 1 t
A． x2 y2 1 4
B． x2 y2 1(0 x 1) 4
C. x2 y2 1(0 y 2) 4
D． x2 y2 1(0 x 1, 0 y 2) 4
y2 b2
1（ a
0 , b 0 ）的参数方程为：
x a sec
y
b
tan
（
为参数，
[0, 2 ) 且
, 2
3 2

高中参数方程知识点总结

高中参数方程知识点总结参数方程是描述曲线的一种方式，在高中数学中扮演着重要的角色。

掌握参数方程的知识对于解决各种曲线问题，如求切线、求导数、求曲线的长度等有着重要的意义。

本文将总结高中数学中与参数方程相关的知识点。

一、参数方程的基本概念参数方程是以参数的形式来表示一组变量之间的函数关系。

在二维空间中，我们可以使用参数方程来表示平面上的曲线，通常是用一个参数（通常记作t）来描述该曲线上的点的变化。

例如，对于一个平面上的点P，其坐标可以表示为两个参数函数x(t)和y(t)，即P(x(t), y(t))。

二、参数方程的画法在平面上画出参数方程所代表的曲线需要以下步骤：1.取一组参数值，通常在给定的范围内均匀取值，例如取t从0到2π之间的值；2.使用这组参数值，通过计算得到曲线上的一组点的坐标；3.将这组点依次连接起来，即可得到曲线的大致形状。

举例说明，考虑参数方程x(t) = 3cos(t) y(t) = 2sin(t)要画出该曲线，可以取不同的t值，然后计算x和y的值，并将这些点连接起来，如下表所示：t x(t) y(t)0 3 0π/6√3 1π/3 1.5 √3/2π/20 12π/3-1.5 √3/25π/6-√3 1π-3 0将上述点连接起来，即可得到一个椭圆形的曲线。

三、参数方程与笛卡尔坐标系的转换在解决和参数方程相关的问题时，有时需要将参数方程转换为笛卡尔坐标系中的方程。

常用的转换方法有以下两种：1.直接替换法：将参数方程中的x和y分别替换为它们关于参数的表达式，例如将x(t)和y(t)分别替换为x和y，所得到的方程即为笛卡尔坐标系中的方程；2.消参法：将一个参数表达式代入另一个参数表达式中，消去参数，得到一个只含有一个变量的方程。

四、参数方程的性质参数方程代表了平面上的曲线，具有以下性质：1.对称性：某些参数方程具有对称性，例如x(t) = t, y(t) = -t表示的曲线以y轴为对称轴；2.点的处置：曲线上的不同点对应不同的参数值，但是一个参数值对应的点可能不止一个。

高中数学中的参数方程知识点总结

高中数学中的参数方程知识点总结参数方程是代表一个曲线或者一个点在平面坐标系中运动的方式。

与一般的笛卡尔坐标系不同，参数方程使用参数来表示曲线上的各点，使得曲线的运动更加灵活。

在高中数学中，学习参数方程是为了更好地理解和应用曲线方程。

本文将对高中数学中的参数方程知识点进行总结。

一、参数方程的基本定义和概念1. 参数的含义：在参数方程中，通常用一个或多个参数来表示曲线上的点。

参数的取值范围可以是实数集合，也可以是有限区间。

2. 参数方程的形式：参数方程一般以参数t作为自变量，用x和y的函数来表示曲线上的点的坐标。

例如，对于曲线C上的点P(x, y)，参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)。

3. 参数方程的解释：参数t表示曲线上的位置，通过改变参数t的取值，可以获得曲线上的不同点的坐标。

因此，参数方程可以看作是曲线上的一个点在不同位置的运动轨迹。

4. 参数方程和笛卡尔方程的转换：有时候，将曲线的笛卡尔方程转换为参数方程可以简化问题的求解，同时也可以更好地描述曲线的运动规律。

二、常见曲线的参数方程1. 直线的参数方程：对于一条直线L，可以通过选择合适的参数t，将直线上的点的坐标x和y表示为参数方程。

例如，直线的参数方程可以表示为x=a+bt，y=c+dt，其中a、b、c、d为常数。

2. 圆的参数方程：圆的参数方程可以通过选择圆上一点的极坐标表示。

例如，圆的参数方程可以表示为x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中r为半径，t为参数。

3. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过选择椭圆上一点的极坐标表示。

例如，椭圆的参数方程可以表示为x=acos(t)，y=bsin(t)，其中a、b分别为长半轴和短半轴的长度。

4. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可以通过选择抛物线上一点的极坐标表示。

例如，抛物线的参数方程可以表示为x=t，y=at^2，其中a为常数。

5. 双曲线的参数方程：双曲线的参数方程可以通过选择双曲线上一点的极坐标表示。

高中数学选修4-4-参数方程

参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tanα（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆+＝1（a＞b＞0）（θ为参数）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tanα（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆+＝1（a＞b＞0）（θ为参数）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。

高中数学全参数方程知识点大全

高中数学全参数方程知识点大全一、全参数方程的概念全参数方程是指带有n个参数的方程，分别为a1, a2, a3, …… an。

它可以表达成：ai xi + a2 x2 + a3 x3 + …… + an xn = 0其中xi(i=1,2,3…n)为未知数。

二、常见的全参数方程全参数方程可以分为几何全参数方程、数论全参数方程和分析函数全参数方程。

1.几何全参数方程几何全参数方程也被称为n次全参数方程，它以n次根式的形式表示，它具有如下形式：a1x1 + a2x2 + a3x3 + …… + anxn = 0其中a1,a2,a3……an为实数，x1,x2,x3……xn为未知数。

2.数论全参数方程数论全参数方程的定义与几何全参数方程相似，只是其中的系数a1,a2,a3……an不再只有实数，而是可以是任意位数的整数。

数论全参数方程的形式如下：a1x1 + a2x2 + a3x3 + …… + anxn = 0其中a1,a2,a3……an为任意位数的整数，x1,x2,x3……xn为未知数。

3.分析函数全参数方程分析函数全参数方程也是一种带有多个参数的方程，它的形式如下：a1f1(x,y,z…) + a2f2(x,y,z…) + a3f3(x,y,z…) +…… +anfn(x,y,z…) = 0其中a1,a2,a3……an是任意实数，f1,f2,f3……fn是函数，x,y,z…..是未知数。

三、全参数方程的解法1.待定系数法这种方法是将要求解的全参数方程中的系数和未知数中的其中一个参数留下来，然后将其化为低阶未知参数方程，再求解出其它参数的值。

高三关于参数方程的知识点

高三关于参数方程的知识点参数方程是解决平面几何问题中一种常见的数学工具，它通过引入参数变量来描述曲线的运动轨迹或者点的位置。

在高三数学学习中，参数方程是一个重要的知识点，下面将详细介绍参数方程相关的内容。

一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数变量表示出曲线上每个点的坐标，常见的参数变量有t、θ等。

一条曲线的参数方程一般为：x = f(t)，y =g(t)，其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数。

通过给定不同的参数值，就可以确定曲线上的各个点的坐标。

二、平面曲线的参数方程表示1. 直线的参数方程直线的参数方程常常选择一个点作为起点，然后给出直线的方向向量，并以参数t确定直线上其他点的位置。

设直线过点P(x₁,y₁)，方向向量为v(a, b)，则直线的参数方程可以表示为：x = x₁+ at， y = y₁ + bt，其中t为参数。

2. 圆的参数方程对于圆，其参数方程可以通过将x和y表示为两个函数的关系得到。

设圆的圆心为(h, k)，半径为r，则圆的参数方程可以表示为：x = h + rcos(t)， y = k + rsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程与圆类似，只是在计算x和y的时候引入了椭圆的长轴和短轴。

设椭圆的中心为(h, k)，半长轴长为a，半短轴长为b，则椭圆的参数方程可以表示为：x = h + acos(t)，y = k + bsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。

4. 抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以通过将x表示为关于y的函数得到。

常见的抛物线方程为y = ax² + bx + c，通过解这个方程得到x与y之间的关系，可以得到抛物线的参数方程。

三、参数方程在几何问题中的应用参数方程在解决几何问题中具有广泛的应用，例如曲线的切线和曲率、曲线的长度、曲线的弧长等。

1. 曲线的切线和曲率通过参数方程，可以求出曲线上任一点处的切线方程和曲率。

高中数学《参数方程》精华知识点汇总

高中数学《参数方程》精华知识点汇总1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.（注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.）(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角∠XOM叫做点M的极角,记为.有序数对()叫做点M的极坐标,记作M().(注：一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()表示;同时,极坐标()表示的点也是唯一确定的.)2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标()(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(x,y) 极坐标()互化公式）在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限判断.例：把极坐标（6，转换为直角坐标。

例：将直角坐标（﹣，3）转换为极坐标。

点M 普通坐标(x,y) 极坐标()互化公式 =4.参数方程转化为普通坐标①相等代换：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.例：②模型代换：例:。

高考参数方程知识点总结

高考参数方程知识点总结高中数学中，参数方程是重要的知识点之一。

它可以帮助我们更好地理解和描述各种曲线，以及解决与曲线相关的问题。

在高考中，参数方程也是经常会涉及到的考点之一。

本文将对高考中常考的参数方程知识点进行总结。

一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量和因变量关系的方程。

通常用t来表示参数，在平面直角坐标系中，参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y分别是平面上某点的横坐标和纵坐标，f(t)和g(t)是关于t的函数。

二、参数方程的图像通过参数方程可以绘制出曲线的图像。

对于一条曲线上的任意一点，它的坐标可以由参数方程来表示。

通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制出完整的曲线图像。

例如，在参数方程x=2cost，y=sint中，我们可以将t的取值范围设定为0到2π。

当t=0时，点的坐标为(2cos0, sin0)=(2, 0)，当t=π/2时，点的坐标为(2cos(π/2), sin(π/2))=(0, 1)，以此类推。

连接这些点，我们就可以得到一条完整的曲线。

三、常见的参数方程曲线1. 抛物线抛物线是一种常见的参数方程曲线。

通常用参数方程x=t，y=t^2来表示。

通过改变t的取值范围，我们可以绘制出抛物线的多个点，从而得到抛物线的图像。

2. 圆圆也可以用参数方程来表示。

常用的参数方程为x=rcost，y=rsint。

其中r表示圆的半径，t的取值范围可以是0到2π。

通过改变r的值，我们可以绘制出不同大小的圆。

3. 椭圆椭圆是另一种常见的参数方程曲线。

通常用参数方程x=acos(t)，y=bsin(t)来表示。

其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，t的取值范围可以是0到2π。

通过改变a和b的值，我们可以绘制出不同形状的椭圆。

四、参数方程的应用参数方程不仅能够描述各种曲线，还可以解决与曲线相关的问题。

1. 曲线的切线和法线通过参数方程，我们可以求出曲线上任意一点的切线和法线方程。

高考参数方程归纳总结

高考参数方程归纳总结一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数表示自变量和因变量之间的关系。

在数学中，参数方程常用于描述曲线、曲面或其他几何体的运动和变化规律。

在高考中，参数方程也是一道经典的考题类型，要求考生对参数方程的性质和特点进行分析和应用。

二、常见的参数方程类型1. 二维平面曲线的参数方程二维平面曲线的参数方程常用于描述平面上的曲线轨迹。

常见的参数方程类型有：- 抛物线的参数方程：x = t, y = at²- 圆的参数方程：x = rcos(t), y = rsin(t)- 椭圆的参数方程：x = acos(t), y = bsin(t)- 双曲线的参数方程：x = asec(t), y = btan(t)2. 三维空间曲线的参数方程三维空间曲线的参数方程常用于描述空间中的曲线轨迹。

常见的参数方程类型有：- 直线的参数方程：x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct- 空间曲线的参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)3. 二维平面曲面的参数方程二维平面曲面的参数方程常用于描述平面上的曲面形状。

常见的参数方程类型有：- 圆柱面的参数方程：x = acos(t), y = asin(t), z = bt- 双曲抛物面的参数方程：x = at, y = bt², z = ct4. 三维空间曲面的参数方程三维空间曲面的参数方程常用于描述空间中的曲面形状。

常见的参数方程类型有：- 球面的参数方程：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ- 椭球面的参数方程：x = a sinφcosθ, y = b sinφsinθ, z = c cosφ- 椭圆抛物面的参数方程：x = at², y = bt, z = ct三、参数方程的性质和应用1. 曲线的方向性在参数方程中，通过参数的增加方向可以确定曲线的运动方向。