线性代数教案-线性方程组与矩阵
线性代数教案11
逆矩阵的性质
1. 如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵；
2. 如果A可逆，且AB＝I，则BA＝I；
如果A可逆，且BA＝I，则AB＝I；
3. 如果A，B都可逆，则AB也可逆，且 ( AB)1 B 1 A1
4. 如果A可逆，则A1可逆，且 ( A1 )1 A
5. 如果A可逆，则A的每一行每一列都不能全为零。
,
B
B11 B21
分块矩阵数乘：
B12 B22
,
A
B
A11 A21
B11 B21
A12 A22
B12 B22
A
A11 A21
A12 A22
分块矩阵的乘法：矩阵A的列数等于B的行数，A的列的分
法与B的行的分法相同
AB
A11B11 A21B11
A12 B21 A22 B21
A11B12 A21B12
返回
矩阵的数乘
数 与矩阵A的乘积记作
返回
矩阵的转置
把矩阵A的各行变成同序数的列得到的新矩阵称为A 的转置（Transpose），记为 AT
例如
注意：将A的各列变成行同样能得到A的转置。 A为m×n的矩阵，则 AT 为n×m的矩阵。
对称矩阵的定义：AT A
返回
逆矩阵的唯一性
如果A可逆，则A有唯一的逆矩阵。 证明：设B和C都是A的逆矩阵，那么
矩阵A是m×n矩阵，可以记为 Amn
几种特殊的矩阵
1. 行矩阵； 2. 列矩阵； 3. 零矩阵； 4. n阶方阵； 5. 三角矩阵； 6. 对角矩阵（Diagonal Matrix）； 7. 单位矩阵（Identity Matrix）.
矩阵相等
如果两个矩阵A，B有相同的行数和相同的列数，并 且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等， 记为A＝B
线性代数试讲教案
线性代数试讲教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握线性代数的基本概念、理论和方法，能够运用线性代数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过试讲，培养学生的逻辑思维能力、表达能力和合作能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对线性代数的兴趣，提高学生对数学学科的认识和尊重。
二、教学内容1. 第一章：矩阵及其运算1.1 矩阵的概念与性质1.2 矩阵的运算规则1.3 矩阵的逆2. 第二章：线性方程组2.1 线性方程组的定义2.2 高斯消元法解线性方程组2.3 克莱姆法则3. 第三章：向量空间与线性变换3.1 向量空间的概念与性质3.2 线性变换的概念与性质3.3 线性变换的矩阵表示4. 第四章：特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的定义4.2 特征值与特征向量的求解方法4.3 矩阵的对角化5. 第五章：二次型5.1 二次型的概念与性质5.2 二次型的标准形5.3 二次型的判定定理三、教学方法1. 采用试讲的形式，让学生自主学习、合作探讨，教师进行指导与点评。
2. 通过举例、解决问题，引导学生理解和掌握线性代数的基本概念和方法。
3. 利用数学软件或板书，展示线性代数运算过程，提高学生的直观理解能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在试讲过程中的表达、思考和合作能力。
2. 作业与练习：检查学生对线性代数概念、方法和应用的掌握程度。
3. 阶段性测试：评估学生在一段时间内对线性代数的总体掌握情况。
五、教学资源1. 教材：线性代数教材，如《线性代数及其应用》等。
2. 课件：制作与教学内容相关的课件，辅助学生理解和记忆。
3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等，用于展示线性代数运算过程。
4. 板书：用于在课堂上展示线性代数运算步骤和关键公式。
六、第六章：线性空间与线性映射6.1 线性空间的概念与性质6.2 线性映射的概念与性质6.3 线性映射的例子与性质七、第七章：内积与正交性7.1 内积的概念与性质7.2 正交性的概念与性质7.3 施密特正交化与格拉姆-施密特正交化八、第八章：特征值与特征向量的应用8.1 特征值与特征向量的应用概述8.2 矩阵的对角化与应用8.3 二次型与应用九、第九章：线性代数在工程与科学中的应用9.1 线性代数在工程中的应用9.2 线性代数在科学研究中的应用9.3 线性代数在其他领域的应用10.2 线性代数在实际问题中的应用案例分析10.3 线性代数的进一步学习与研究建议六、教学方法1. 采用试讲的形式，让学生自主学习、合作探讨，教师进行指导与点评。
线性方程组和矩阵
电路的转移矩阵分别为
1 0
R1 1
和
1 1 R2
10 .
• i1
v1
•
R1
串联电路
i2 • i2
v2
•
梯形网络
R2
并联电路
i3 •
v3
•
4、线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 L LLLLLLL
11
不存在数 x 和 y 使 x y 1 和 x y 2 同时成立 , 故方程组
②无解 ; 方程组 ③ : 设 s 为任一数 , 那么 x1 x2 s 是 ③ 的解 , 从而方程组③ 有无限多个解.
这样看来 , 对于线性方程组需要讨论以下问题 : (1) 它是否有解? (2) 在有解时它的解是否惟一 ? (3) 如果有多个解, 如何求出它的所有解?
到站
为了便于计算,把表中的
广州 青岛 成都 拉萨
改成１,空白地方填上 0（变 定性为定量）就得到一个数
广州 0
发站 青岛
1
1 0
1 1
0 0
表:
这个数表反映 了四城市间交
成都 1
1
0
0
3、 电路是电子元件的神经系统 . 参数的计算是电路
设计的重要环节. 其依据来自两个方面，一是客观需要， 二是物理定律.
本次课(§1~ §2 )的要点
一、内容
1、矩阵是一张数表.
2、矩阵与线性变换的一一对应 .
3、矩阵的线性运算
① ②
加法 数乘
: :
对应元素相加. 每个元素倍乘 .
4、矩阵的乘法 (重点)
线性代数教材讲解ppt课件
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
矩阵A的
m, n元
简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
0
0
单位阵.
0 0 1
线性变换
x1 y1
cosx siny, sinx cosy.
对应 cos sin sin cos
这是一个以原点为中心
旋转 角的旋转变换.
Y P1 x1, y1
Px, y
O
X
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
且对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
(8)线性变换与矩阵之间关系:
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之
间的关系式
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2 是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 11 矩阵.
矩阵与行列式有本质的区别, 行列式是一个算式, 其行数和列数相同，一个数字行列式经过计算 可求得其值, 而矩阵仅仅是一个数表, 它的行数和 列数可以不同.
线性代数教案
线性代数教案一、引言线性代数是数学的重要分支，广泛应用于各个领域，如工程、物理、计算机科学等。
本教案旨在通过系统的学习和实践，帮助学生建立起对线性代数概念和技巧的正确理解和运用能力。
二、教学目标1. 掌握线性代数的基本概念，如矩阵、向量、线性方程组等；2. 熟悉线性代数的运算法则和性质；3. 学会运用线性代数解决实际问题；4. 提高学生的抽象思维和逻辑推理能力。
三、教学内容1. 向量空间1.1 向量的定义和表示1.2 向量的线性组合和线性相关性1.3 向量空间的性质和运算规律2. 矩阵2.1 矩阵的定义和表示2.2 矩阵的运算法则和性质2.3 矩阵的秩和逆矩阵3. 线性方程组3.1 线性方程组的基本概念和解的存在性3.2 线性方程组的解的唯一性和解的结构3.3 线性方程组的应用4. 特征值与特征向量4.1 特征值和特征向量的定义和性质4.2 对角化和相似矩阵4.3 特征值与特征向量的应用四、教学方法1. 讲授法：通过讲解线性代数的基本概念和原理，引导学生建立起知识体系。
2. 案例分析法：通过实际问题，让学生应用线性代数的方法进行求解，加深对理论知识的理解和应用能力。
3. 实际操作法：通过编写程序或使用数学软件，让学生进行实际计算和模拟，提高操作技能和实践能力。
4. 小组讨论法：组织学生进行小组讨论，促进合作学习和思维碰撞，培养团队合作精神和批判性思维。
五、教学评估1. 课堂测试：每个知识点结束后进行简单测试，检验学生对基本概念和运算法则的掌握程度。
2. 作业布置：每次课后布置作业，包括理论题和计算题，检验学生对理论知识和实际应用的理解和掌握情况。
3. 实验报告：要求学生完成线性代数实验，撰写实验报告，包括实验目的、方法、结果和讨论等，检验学生的实践操作能力和实验分析能力。
4. 期末考试：针对全面的课程内容进行期末考核，考察学生对线性代数的整体掌握情况。
六、教学资源1. 教材：推荐《线性代数》（第三版）李尚志著，清华大学出版社，作为教学参考书。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
数学教案应用矩阵解决线性方程组
数学教案应用矩阵解决线性方程组教案：应用矩阵解决线性方程组引言：本教案旨在教授学生如何使用矩阵的方法解决线性方程组。
线性方程组是数学中常见的问题，矩阵作为一种有效的工具，可以简化求解过程，提高计算的效率。
通过学习本教案，学生将能够了解线性方程组的基本概念、矩阵的运算方法，并能够熟练地应用矩阵解决线性方程组的问题。
一、线性方程组的基本概念1.1 线性方程组的定义及示例- 讲解什么是线性方程组及其基本形式- 通过示例引出解线性方程组的必要条件二、矩阵的基本概念和运算2.1 矩阵的定义及示例- 介绍矩阵的基本概念- 通过示例引出矩阵的行、列、元素等概念2.2 矩阵的加法和减法- 讲解矩阵的加法和减法的定义和运算法则- 通过示例演示矩阵的加法和减法运算2.3 矩阵的数乘和乘法- 介绍矩阵的数乘和乘法的定义和运算法则- 通过示例演示矩阵的数乘和乘法运算三、矩阵表示线性方程组3.1 矩阵的行向量和列向量- 讲解矩阵的行向量和列向量的定义和性质- 通过示例说明矩阵的行向量和列向量在线性方程组中的应用3.2 线性方程组的矩阵表示- 介绍线性方程组和矩阵之间的对应关系- 通过示例将线性方程组转化为矩阵的形式四、使用矩阵解决线性方程组4.1 矩阵方程的化简- 讲解如何使用矩阵的运算简化线性方程组- 通过示例演示如何将线性方程组转化为矩阵方程4.2 矩阵方程的求解- 介绍如何使用矩阵的逆矩阵求解矩阵方程- 通过示例演示如何求解矩阵方程得到线性方程组的解五、应用矩阵解决实际问题5.1 将实际问题转化为线性方程组- 介绍如何利用实际问题中的条件构造线性方程组- 通过示例将实际问题转化为线性方程组的形式5.2 使用矩阵求解实际问题- 讲解如何应用矩阵解决实际问题- 通过示例演示如何使用矩阵的方法求解实际问题六、综合练习与拓展6.1 练习题- 准备一些练习题供学生进行巩固和实践- 涵盖不同难度的题目，包括基本题和应用题6.2 拓展与应用- 引导学生思考矩阵在其他领域中的应用- 鼓励学生做进一步的拓展研究，提出自己的思考和见解结语：通过本教案的学习，学生将掌握使用矩阵解决线性方程组的方法，并能够应用到实际问题中。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、引言1. 课程目标：使学生理解线性代数的基本概念，掌握线性方程组的求解方法，了解矩阵和行列式的基本性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组的求解方法、矩阵和行列式的基本性质。
3. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
二、线性方程组1. 教学目标：使学生理解线性方程组的含义，掌握线性方程组的求解方法，能够运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：（1）线性方程组的概念及其解的含义；（2）线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵法等）；（3）线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过具体案例分析，引导学生理解线性方程组的概念，运用高斯消元法和矩阵法求解线性方程组，并讨论线性方程组在实际问题中的应用。
三、矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，了解矩阵在数学和实际中的应用。
2. 教学内容：（1）矩阵的概念及其表示方法；（2）矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；（3）矩阵的其他相关概念（逆矩阵、转置矩阵等）；（4）矩阵在数学和实际中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，探讨矩阵在其他相关概念中的应用，并了解矩阵在数学和实际中的重要作用。
四、行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，了解行列式在线性方程组求解中的应用。
2. 教学内容：（1）行列式的概念及其表示方法；（2）行列式的计算方法（按行（列）展开、性质的应用等）；（3）行列式在线性方程组求解中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，并了解行列式在线性方程组求解中的应用。
五、线性空间与线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间的概念，掌握线性变换的定义和性质，了解线性变换在数学和实际中的应用。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数深入了解线性方程组和矩阵运算的线性代数教学
线性代数深入了解线性方程组和矩阵运算的线性代数教学线性代数是数学的一个重要分支，其研究对象包括线性方程组和矩阵运算等。
对于线性代数的深入了解，我们需要从线性方程组的理论和解法开始，然后探索矩阵运算的方法和应用。
一、线性方程组的理论和解法线性方程组是线性代数中的基本概念之一，它由一组线性方程组成。
解决线性方程组的方法有很多，其中最常用的是高斯消元法和矩阵法。
高斯消元法是解决线性方程组的一种经典方法。
它通过对方程组进行一系列的变换，将其化为行最简形，从而得到方程组的解。
高斯消元法的关键是利用矩阵的初等变换，通过行变换将矩阵化为行最简形。
矩阵法是利用矩阵的性质和运算来解决线性方程组的方法。
将线性方程组的系数矩阵和常数向量组成一个增广矩阵，然后通过矩阵的变换将其化为行最简形，最后根据行最简形可以得到方程组的解。
二、矩阵运算的方法和应用矩阵运算是线性代数的核心内容之一，它涉及到矩阵的加法、减法、乘法和转置等。
矩阵加法和减法是指将两个矩阵按照相应位置上的元素进行相加或相减。
矩阵加法和减法的运算规则与常数的加法和减法类似，只需对应位置上的元素进行加减即可。
矩阵乘法是指将两个矩阵按照特定的规则进行相乘。
矩阵乘法的运算规则是，如果一个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数，则可以进行矩阵乘法运算。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵转置是指将矩阵的行和列进行互换。
转置后的矩阵的行数等于原矩阵的列数，列数等于原矩阵的行数。
矩阵转置可以通过改变矩阵中元素的位置来实现。
矩阵运算在实际应用中有很多重要的应用，例如图像处理、信号处理和网络分析等。
在图像处理中，矩阵运算可以用于图像的平滑滤波和边缘检测等；在信号处理中，矩阵运算可以用于信号的降噪和信号的分解等；在网络分析中，矩阵运算可以用于网络拓扑的分析和网络节点的评估等。
总结：线性代数深入了解线性方程组和矩阵运算的线性代数教学，通过对线性方程组的理论和解法以及矩阵运算的方法和应用的学习，可以更加全面地了解线性代数的基础知识和应用领域。
线性代数教案
线性代数教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解线性代数的基本概念和相关术语；2. 理解线性方程组和矩阵的概念、性质和运算规则；3. 掌握矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、数乘和矩阵乘法；4. 能够求解线性方程组，并应用到实际问题中。
二、教学重点与难点1. 教学重点：线性方程组和矩阵的概念及其运算规则；2. 教学难点：矩阵乘法的理解和应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）引入线性代数的概念，向学生介绍线性方程组和矩阵的相关背景知识，并激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解（20分钟）2.1 线性方程组的定义和解法- 介绍线性方程组的概念以及线性方程组的解的定义；- 分析线性方程组解的情况：无解、唯一解和无穷解；- 通过实例讲解线性方程组解的求解方法。
2.2 矩阵的定义和性质- 介绍矩阵的基本概念和符号表示方法；- 讲解矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法的规则；- 引导学生理解矩阵乘法的几何意义。
3. 实例分析与练习（25分钟）3.1 线性方程组的求解实例- 给出一些线性方程组的实际问题，引导学生运用所学知识解决；- 指导学生使用矩阵运算进行线性方程组的求解。
3.2 矩阵运算实例- 给出一些矩阵的实际运用问题，让学生通过实例进行练习；- 帮助学生熟练掌握矩阵的加法、数乘和矩阵乘法。
4. 拓展延伸（15分钟）通过引导学生思考，结合线性代数在实际问题中的应用，进一步拓展学生的知识面。
5. 归纳总结（10分钟）对本节课所学内容进行总结，强化学生对线性代数的理解和掌握。
四、教学评价1. 在教学过程中，观察学生的学习状态，及时给予指导和帮助；2. 布置相关习题，检验学生对所学知识的掌握情况；3. 根据学生的表现进行评价，及时给予反馈和指导。
五、教学资源准备1. 教材和课件；2. 相关实例分析的教学素材；3. 学生练习题、作业等。
总结：通过本节课的教学，学生能够理解线性代数的基本概念和相关术语，掌握线性方程组和矩阵的运算规则，并能够应用所学知识解决实际问题。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。
第一章线性方程组与矩阵.doc
线性代数文本教案第一章线性方程组与矩阵（6学时）1.本章引言解线性方程组是线性代数课程最主要的内容之一, 而矩阵则是线性代数的一个非常重要的基本概念和常用工具. 在科学研究、工程技术和经济管理各领域中, 许多问题都与求解线性方程组和矩阵及其运算有关.本章, 我们将首先从较为直观的解析几何角度来了解二元和三元线性方程组的解的几何意义. 然后, 在消元法解线性方程组的基础上, 引入矩阵、矩阵的初等变换以及矩阵秩的概念, 从而把用消元法解线性方程组, 转化为只需对方程组的增广矩阵施以初等行变换来解决. 接着再进一步讨论如何根据行阶梯形矩阵或行最简形矩阵的结构以及矩阵的秩的不同情况, 判别线性方程组有没有解, 有唯一解还是有无穷多解的基本方法. 最后, 通过举例介绍矩阵和线性方程组在相关方面的一些实际应用.2.教学内容：二元和三元线性方程组的解的几何意义；矩阵和增广矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩等概念；高斯消元法解线性方程组；应用矩阵的秩判断线性方程组的解的结构；矩阵和线性方程组的一些实际应用.3.教学目的与要求：1.了解二元和三元线性方程组的解的概念和解的几何意义.2.理解矩阵、增广矩阵、阶梯形矩阵以及矩阵的秩等概念；掌握矩阵的初等变换，会用矩阵的初等变换求矩阵的秩.3. 熟练掌握用初等变换求解线性方程组的高斯消元法；4. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件. 能熟练应用矩阵的秩判断线性方程组的解的结构及求线性方程组通解的方法.5.了解矩阵和线性方程组的一些实际应用.4.重点、难点：1.重点：矩阵的概念，矩阵的初等变换，矩阵的秩；线性方程组有解的充要条件.2.难点：应用矩阵的秩判断线性方程组的解的结构及求线性方程组通解.5.基本方法及技能：矩阵的初等变换法；用矩阵的初等变换求矩阵的秩，求线性方程组通解.6.教学建议及教法提示1.关于二元和三元线性方程组的解的概念和解的几何意义，教材处理的通俗易懂，形象直观，建议以学生自学为主，教师作适当点拨提示.2.建议按教材编排顺序通过线性方程组的消元法引进矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩等概念.教学中注意线性方程组与增广矩阵，线性方程组的初等变换与矩阵的初等变换，阶梯形方程组与阶梯形矩阵的对照和对应关系.3.矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求矩阵的逆及矩阵理论的探讨中都可起重要的作用，因此要求学生熟练掌握矩阵的初等变换。
线性代数-线性方程组与矩阵PPT课件
k 1
k 1
k 1
s
aik bk1
c1
j
s
aikbk 2
c2
j
s
aikbkp
c
pj
p
s
aikbktctj .
k1
k1
k1
t1 k 1
ps
同理可以验证矩阵 Ams (BspC pn ) 中 (i, j) 元素也是 aikbktctj ，所以矩阵乘法的结合律成立. t1 k 1
aij bij
.
mn
2. 矩阵的数乘
第1章 线性方程组与矩阵 12
定义4 用一个数 k 乘矩阵 A (aij )mn 的所有元素得到的矩阵 kaij mn 称为矩阵的数乘，记为 kA 或者 Ak ，
即
kA Ak kaij mn .
矩阵的数乘运算满足如下的运算规律： 设 k,l 是任意两个数， A, B 是任意两个 m n 矩阵，
21 21 0 2
21 21 01
2 0 21 0 1
4 4
3 0
2
2
.
三、矩阵的乘法
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3
的乘积
AB
及
BA
.
解
AB
1 2
1 2
2
6
1 3
8 16
4 8
；
BA
2 6
1 1
3
2
1 2
0 0
0 0
.
第1章 线性方程组与矩阵 16
3
A Omn Omn A A .
1. 矩阵的加法
第1章 线性方程组与矩阵 11
高中数学教案线性代数与矩阵
高中数学教案线性代数与矩阵高中数学教案：线性代数与矩阵引言：线性代数是高中数学中一个重要的分支，它研究的是向量空间和线性变换等概念。
其中，矩阵是线性代数中的重要工具之一。
本教案将重点介绍线性代数与矩阵的基本知识，并提供一些例题和习题，以帮助学生更好地理解和掌握相关内容。
一、线性方程组与矩阵表示1.1 线性方程组的概念在介绍矩阵之前，我们先来了解线性方程组的概念。
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程都是变量的一次多项式，并且对应的系数是常数。
1.2 线性方程组的矩阵表示线性方程组可以通过矩阵表示。
通过列向量和矩阵的乘法，可以将线性方程组转化为矩阵方程形式，从而更方便地进行求解。
二、矩阵运算2.1 矩阵的定义与基本运算矩阵是由数按矩形排列而成的矩形阵列。
我们可以通过矩阵的加法、减法和数乘等运算，来进行矩阵的加减和数量的调整。
2.2 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要操作。
它不仅可以用来表示线性变换，还可以用来求解线性方程组和进行复杂的计算。
三、矩阵的特殊性质3.1 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
它有很多应用，如矩阵的运算、矩阵的线性方程组求解等。
3.2 矩阵的逆矩阵的逆是一个重要的概念，它代表了矩阵的可逆性。
对于可逆矩阵，我们可以通过矩阵的逆来求解矩阵方程和线性方程组等问题。
3.3 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）向量组的极大无关组中所含向量的个数。
它有很多应用，如求解线性方程组的解的个数、判断线性变换的性质等。
四、矩阵的应用4.1 线性方程组的求解通过线性方程组的矩阵表示和矩阵的运算，我们可以更方便地求解线性方程组的解，并通过矩阵的秩来判断解的个数和可行性。
4.2 特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵的重要性质，它们在线性代数中有广泛的应用。
通过计算特征值和特征向量，我们可以求解矩阵的幂、对角化等问题。
五、例题与习题根据前面所学的内容，我们提供一些例题和习题，供学生进行练习和巩固。
线性代数大学生公开课教案
课程名称：线性代数授课对象：本科生课时：1课时教学目标：1. 了解线性代数的基本概念和基本运算。
2. 掌握矩阵、向量、线性方程组等基本内容。
3. 培养学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。
教学重点：1. 矩阵、向量、线性方程组的基本概念和运算。
2. 矩阵的秩、逆矩阵、特征值和特征向量等概念。
教学难点：1. 矩阵运算的技巧和性质。
2. 线性方程组的解法。
教学过程：一、导入1. 引入线性代数的实际应用背景，如工程、物理、经济等领域。
2. 强调线性代数在各个学科中的重要性。
二、教学内容1. 矩阵的基本概念和运算- 矩阵的定义、表示方法- 矩阵的加法、数乘、乘法- 矩阵的转置、共轭转置- 矩阵的行列式、逆矩阵- 矩阵的秩、性质2. 向量的基本概念和运算- 向量的定义、表示方法- 向量的加法、数乘- 向量的长度、单位向量- 向量的线性相关性、线性无关性3. 线性方程组- 线性方程组的定义、表示方法- 线性方程组的解法（高斯消元法、克莱姆法则）- 线性方程组的解的性质三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 计算矩阵的逆矩阵。
- 判断矩阵的秩。
- 求解线性方程组。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、总结与反馈1. 教师总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
2. 学生反馈学习过程中的收获和困惑，教师进行解答和指导。
教学评价：1. 课堂练习的正确率。
2. 学生对线性代数基本概念和运算的掌握程度。
3. 学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。
教学反思：1. 教师应根据学生的实际情况调整教学内容和进度。
2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 加强与学生的互动，提高课堂氛围。
2024年度(完整版)线性代数教案(正式打印版)
2023REPORTING (完整版)线性代数教案(正式打印版)•课程介绍与教学目标•行列式与矩阵•向量与向量空间•线性方程组与高斯消元法•特征值与特征向量•二次型与正定矩阵•线性变换与矩阵对角化•课程总结与复习指导目录CATALOGUE20232023REPORTINGPART01课程介绍与教学目标线性代数课程简介线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量空间、线性变换及其性质。
它是现代数学、物理、工程等领域的基础课程，对于培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力具有重要作用。
本课程将系统介绍线性代数的基本概念、理论和方法，包括向量空间、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、线性变换等内容。
掌握线性代数的基本概念、理论和方法，理解其本质和思想。
能够运用所学知识解决实际问题，具备分析和解决问题的能力。
培养学生的抽象思维、逻辑推理和创新能力，提高学生的数学素养。
教学目标与要求教材及参考书目教材《线性代数》（第五版），同济大学数学系编，高等教育出版社。
参考书目《线性代数及其应用》，David C.Lay著，机械工业出版社；《线性代数讲义》，Gilbert Strang著，清华大学出版社。
2023REPORTINGPART02行列式与矩阵•行列式的定义：由n阶方阵的元素所构成的代数和，其值等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。
行列式的性质行列式与它的转置行列式相等。
互换行列式的两行（列），行列式变号。
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第j 列的元素都是两数之和：a1j=b1+c1，a2j=b2+c2，....，anj=bn+cn ，则此行列式等于两个行列式之和。
行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式。
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。
矩阵概念及运算矩阵的定义由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵。
第一章 线性方程组与矩阵 课程教案全套
第一章线性方程组与矩阵课程教案文档资料可直接使用，可编辑，欢迎下载第一章 线性方程组与矩阵 课程教案授课题目：第二节 矩阵概念与矩阵的初等变换 教学目的：1．掌握高斯消元法求解线性方程组．2．理解矩阵的概念、运算及其性质，掌握矩阵的初等行变换．教学重点：本章以课堂教学为主，使学生掌握矩阵的初等行变换，提高学生的逻辑思维能力和计算能力．教学难点： 初等行变换的运用． 课时安排：2学时．授课方式：多媒体与板书结合． 教学基本内容：§1.2 矩阵概念与矩阵的初等变换1. 概念对线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mmn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212********* (1) 其系数可用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211表示． 定义1 m n ⨯个数排列成m 行（横向）、n 列（纵向）的矩形数表： 111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵，简记为()ij m n A a ⨯=，其中ij a 为A 中第i 行第j 列的元素．如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-5162120710903 是3行4列的矩阵．这里，3×4是个记号，表明矩阵有3行4列的事实而不能取乘积“12”．2. 一些特殊的矩阵1) 行矩阵——只有一行的矩阵． 例(125)A =．2) 列矩阵——只有一列的矩阵． 例312B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 3) 零矩阵——所有元素都等于0的矩阵．例000000C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．4) 同型矩阵——行数相同、列数也相同．例235176D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与C 同型． 5) 当m n =时称 ()ij n n A a ⨯=为n 阶方阵；1122,,,nn a a a 所在的对角线称为方阵的主对角线．6) 主对角线下（上）方的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵．例⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500230704为上三角阵；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5613035004为下三角阵． 7) 主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵，记为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d D000021，简记为),,,(21n d d d diag D =．8) 数量阵——对角阵中(1)i d d i n =≤≤． 例300030003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 9) 单位阵——数量阵中1d =，记以I 或E ．例100010001E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 注 （1） 只有1列或1行的矩阵分别称为列矩阵或行矩阵，也被称为列向量或行向量．这样，它们就有了矩阵和向量的双重“身份”．作为向量，常用小写黑体字母a 、b 、……等标记之，向量的元也称为分量，一个向量所含分量的个数称为维（是个数），如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-213是个3维列向量，其实就是由3个数组成的一个有序数组．n 维向量是n 个数的一个有序数组，亦即是个1n ⨯的列矩阵或1n ⨯的行矩阵． 列向量与行向量虽然只是写法上的不同，但我们还是与多数参考书一样约定：除非特别说明，说到向量一般均指列向量．行向量则被记作a T 或a ′ 等．（2）n n ⨯矩阵也称为n 阶方阵或n 阶矩阵，而1阶矩阵被约定当作“数”（即“元”本身）对待，当然“数”是不能当作1阶矩阵来对待的．对n 阶矩阵，后面要讨论其行列式、是否为可逆阵、转置伴随阵、及特征值与对角化等种种问题等．（3）单位阵、对角阵、三角阵是特别简单的一些方阵，在今后讨论的基本运算中，它们各表现出一些简单特性，这就使它们在形成或训练解决问题的矩阵方法中都将有重要作用．对线性方程组(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n a a a a A 1111称为(1)的系数矩阵，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m mnm nb a a b a a A11111称为(1)的增广矩阵． 3. 矩阵的行(列)初等变换定义2 矩阵的行(列)初等变换：(1) 对换矩阵的两行（列），用()ij ij r c 表示对换,i j 两行（列）的行（列）初等变换，即i j r r ↔（i j c c ↔）；(2) 用非零数乘矩阵的某一行（列），用()(())i i r k c k 表示以0k ≠乘矩阵的第i 行（列）的行（列）初等变换，即()i i i i r kr c kc →→；(3) 将矩阵的某行(列)乘以数k 再加入另一行（列）中去，用()(())ij ij r k c k 表示k 乘矩阵的第i 行（列）后加到第j 行（列）的行（列）初等变换，即()j i j i r kr c kc ++．4. 矩阵的等价定义 将矩阵A 的行经有限次初等变换化为B ，称A 与B 等价，记作~A B ．5. 行阶梯形矩阵与最简形矩阵定义3 若矩阵A 的零行（元素全为零的行）位于A 的下方，且各非零行（元素不全为零的行）的非零首元（第一个不为零的元素）的列标随行标的递增而严格增大，则称A 为行阶梯形矩阵．定义4 若行阶梯形矩阵A 的各非零首元均为1，且各非零首元所在列的其余元素均为零，则称A 为最简形．6. 用初等变换线性方程组的解1) 将(1)的增广矩阵A 用行初等变换化为最简形； 2) 由最简形对应的方程组得到解．例1 求解下列齐次线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ． 解 (1) 对系数矩阵实施行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3410013100101~，即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ，故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x ．例2 求解下列非齐次线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+;8311,10213,22421321321x x x x x x x x (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++;694,13283,542,432z y x z y x z y x z y x解 (1) 对系数的增广矩阵施初等行变换，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--60003411100833180311102132124~故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施初等行变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201~，即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=z z z y z x 212，亦即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x ．参考书目：1. 贺铁山等，线性代数（第二版），中山大学出版社，2004年8月．2．吴赣昌，大学数学立体化教材：线性代数（经济类），中国人民大学出版社，2006年3月．3．同济大学应用数学系，工程数学（第四版），高等教育出版社，2003年7月．作业和思考题：Page27：1—4．课后小结：1)能用矩阵的初等行变换并通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．2)熟练地能掌握用高斯消元法求解线性方程组的思想、方法和步骤．。
线性代数电子教案
线性代数电子教案电子教案：线性代数一、教学目标：1.理解线性代数的基本概念、基本理论和基本方法。
2.掌握线性代数的基本运算和常用计算方法。
3.能够应用线性代数解决实际问题。
二、教学重点：1.线性方程组的解法。
2.矩阵及其运算。
3.向量及其运算。
三、教学难点：1.线性方程组的解法。
2.矩阵的逆与转置。
3.向量的线性相关性。
四、教学过程：1.引入（10分钟）通过实例引入线性代数的概念和应用。
如何利用线性代数解决实际问题？2.线性方程组（30分钟）2.1概念介绍：什么是线性方程组？何为解集？有唯一解、无解和无穷多解三种情况。
2.2解法：高斯消元法和矩阵法。
2.3实例演练：通过实例演示线性方程组的解法。
3.矩阵与矩阵运算（40分钟）3.1概念介绍：什么是矩阵？矩阵的行、列、元素、转置和逆。
3.2矩阵的加法和数乘。
3.3矩阵的乘法及其性质。
3.4实例演练：通过实例演示矩阵的运算。
4.向量与向量运算（40分钟）4.1概念介绍：什么是向量？向量的线性组合、线性相关和线性无关。
4.2向量的加法和数乘。
4.3内积与外积。
4.4实例演练：通过实例演示向量的运算。
5.应用与拓展（20分钟）5.1线性代数在计算机科学中的应用：图像处理、机器学习等。
5.2线性代数进一步拓展：矩阵的特征值与特征向量、二次型等。
6.总结与小结（10分钟）对本节课的内容进行总结和小结，检查学生的学习效果。
五、教学资源与评估：1.教学资源：投影仪、电子教案、线性代数教材。
2.教学评估：通过课堂练习和作业检查。
六、教学建议：1.利用多媒体技术，结合具体实例进行教学，增强学生的学习兴趣。
2.注重理论与实践的结合，引导学生进行实际问题的求解。
七、教学后记：本节课主要介绍了线性方程组、矩阵和向量的基本概念、基本运算和基本方法。
通过实例演练，学生对线性代数有了初步的了解和应用能力。
在教学过程中，学生积极参与讨论和互动，课堂气氛活跃。
但有部分学生对深入的理论和拓展知识还存在一定的困惑，需要增加相应的练习和辅导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章线性方程组与矩阵
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 矩阵的概念及运算 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 矩阵的定义、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、矩 阵的转置 同济版《线性代数》
课的类型 教学手段 教学难点
作业布置
新知识课 黑板多媒体结合 矩阵的乘法、矩阵的转置
kaij
.
mn
4. 矩阵的数乘运算满足的运算规律：
(1) k A B kA kB ；
(2) (k l) A kA lA ；
(3) (kl) A k(lA) l(kA) ；
(4) 1A A ；
(5) 1 A A ；
(6) 0 A Omn .
三、矩阵乘法：
1. 矩阵乘法的定义：设矩阵 A (aij ) 是一个 m p 矩阵，矩阵 B (bij ) 是一个 p n 矩阵，定义矩阵 A 与 B
的乘积是一个 m n 矩阵 C (cij ) ，其中矩阵 C (cij ) 的第 i 行第 j 列元素 cij 是由矩阵 A 的第 i 行元素
ai1, ai2, , aip 与矩阵 B 的第 j 列相应元素 b1j , b2 j , , bpj 乘积之和，即
p
cij = aikbkj ai1b1 j ai2b2 j aipbpj . k 1
a12 a22
a1n a2n
x1 x2
a11x1 a12 x2 a1n xn a21x1 a22 x2 a2n xn
.
am1
am2
amn xn
am1 x1
am2
x2
amn xn
再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示： Ax .
(3) 分块矩阵的乘法：设 A 为 m s 矩阵， B 为 s n 矩阵，要求矩阵 A 的列分块方式与矩阵 B 的行分块方式
保持一致，而对矩阵 A 的行分块方式及矩阵 B 的列分块方式没有任何要求和限制. 不妨设
A11 A12 A1k
B11 B12 B1u
A
A21
A22
A2k
2. 矩阵乘法满足的运算规律（假设运算都是可行的）：
(1) 结合律： ABC =A BC ；
(2) 矩阵乘法对矩阵加法的分配律： A B C =AB AC ， A B C =AC BC ；
(3) (kA)B A(kB) k AB ；
(4) Em Amn Amn En Amn ； (5) Oms Asn Omn ； AmsOsn Omn . 3. 方阵的方幂满足的运算规律（这里 k, l 均为非负整数）：
1 3
，求
A
B
和
2
A
B
.
1 1 0
例2
求矩阵
A
3 2
1 2
1 0
与
B
1 2
1 1
11 的乘积 AB .
例3
求矩阵
A
1 2
1 2
与
B
2 6
1 3 的乘积 AB 及 BA .
例 4 设有线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2 ,
am1x1 am2 x2 amn xn bm ,
矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
称为该线性方程组的系数矩阵.
令x
x1 x2
，
b1 b2
，有：
am1
am2
amn
xn
bm
4
Ax
a11 a21
，
B
B21
B22
B2u
，
At1
At 2
Atk
Bk1
Bk 2
Bku
其中 Ai1, Ai2 ,, Aik 的列数分别等于 B1 j , B2 j ,, Bkj 的行数，则
C11 C12 C1u
AB
C21
C22
C2u
，
Ct1
Ct 2
Ctu
其中
k
Cij = Ait Btj Ai1B1 j Ai2 B2 j Aik Bkj . t 1
二、矩阵的线性运算：
1. 矩阵的加（减）法：设 A (aij )mn 和 B (bij )mn 是两个同型矩阵，则矩阵 A 与 B 的和为
a11 b11 a12 b12 a1n b1n
A
B
a21
b21
a22 b22
a2n
b2n
，
am1
bm1
am2 bm2
amn
bmn
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1
am2
amn
称为一个 m n 矩阵，简记为
aij
，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
aij
.
mn
数 aij 位于矩阵
aij
的
第 i 行第 j 列，称为矩阵的 i, j 元素，其中 i 称为元素 aij 的行标， j 称为元素 aij 的列标.
矩阵 A 与 B 的差为 A B
aij bij
.
mn
2
2. 矩阵加法满足的运算规律：设 A, B, C 是任意三个 m n 矩阵，则 (1) 交换律： A B B A ；
(2) 结合律： A B C A B C ；
(3) A Omn Omn A=A .
3. 矩阵的数乘：设矩阵 A (aij )mn 的则 kA Ak
(4)
分块矩阵的转置：设
A
A11 A21
A12 A22
A1k A2k
，则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
AtT1 AtT2
At1
At 2
Atk
A1Tk A2Tk AtTk
(5) 分块对角阵 设 A 是 n 阶方阵，若 A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，且这些非零子块都是
2. 矩阵的表示：一般地，常用英文大写字母 A, B, 或字母 , , , 表示矩阵，例如 A aij ， B bij ，
Amn ， Bmn 等等.
3. 特殊矩阵：(1) 11 的矩阵 A a ，也记为 A a .
(2) 行矩阵，也称为 n 维行向量： a1, a2 ,, an .
B1t B2t
，
As1
As2
Ast
Bs1
Bs 2
Bst
其中 Aij 和 Bij 的行数相同、列数相同，则有
A
B
A11 A21
B11 B21
A12 B12 A22 B22
A1t A2t
B1t B2t
.
As1
Bs1
As2 Bs2
Ast
Bst
A11 A12 A1t
一个小矩阵称为 A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.
2. 分块矩阵的运算：
(1) 分块矩阵加（减）运算：设 A 、 B 都是 m n 矩阵，对两个矩阵的行和列采用相同的分块方式，不妨设
A
A11 A21
A12 A22
A1t A2t
，
B
B11 B21
B12 B22
(2)
分块矩阵的数乘运算：
矩阵的分块方式没有特别规定，对任意的分块
A
A21
A22
A2t
，都有
As1
As2
Ast
6
kA
kA11 kA21
kA12 kA22
kA1t kA2t
.
kAs1
kAs 2
kAst
所以在矩阵的数乘运算中，对矩阵的分块可以根据矩阵本身的特点而定.
1
(3)
列矩阵，也称为
n
维列向量：
a1 a2
.
an
(4)
n
阶方阵
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
.
an1
an 2
ann
(5)
下三角矩阵
a11 a21
0
a22
0 0
与上三角矩阵
a11 0
a12 a22
a1n a2n
课的类型 教学手段 教学难点
新知识课
黑板多媒体结合
分块矩阵的乘法和转置运算
参考教材 同济版《线性代数》
作业布置 课后习题
大纲要求 了解分块矩阵及其运算规律，熟悉矩阵的按行分块和按列分块。
教 学 基本内容
一、基本内容：
1. 分块矩阵：对于行数和列数较高的矩阵 A ，运算时常用一些横线和竖线将矩阵 A 分划成若干个小矩阵，每
1
0
3
2
1
0
3
1 0 1 0
1 2 0 0
例2
设
A
1 1
1 0
0 0
1 0
，
B
2 1
1 0
0 0
0
1
，求
AB
.
0
1
0
0
0
1 1
0
例3 设 ei 0, , 0, 1, 0, , 0T 为第 i 个分量为1而其余元素全为 0 的列向量，则 n 阶单位
矩阵可以分块为 En e1, e2 , , en . 将矩阵 A 按列分块为 A= A1, A2 , , An ，其中 Ak 为矩阵
Ak Al Akl ； Ak l Akl .
3
四、矩阵的转置：