天津市高三数学寒假作业(9)

第I卷（选择题）评卷人得分

一、选择题（题型注释）

1.cos 300°= ( ）

A．-

3

2

B．-

1

2

C．

1

2

D．

3

2

2.下列关于零向量的说法不正确的是( )

A．零向量是没有方向的向量

B．零向量的方向是任意的

C．零向量与任一向量共线

D．零向量只能与零向量相等

3.计算1-2sin222.5°的结果等于 ( ）

A．

1

2

B．

2

2

C．

3

3

D．

3

2

4.若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于（）

A.1 B． 3 C．2 D．4

5.若变量x,y满足约束条件

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

≥

≤

+

1

2

y

x

y

x

，则y

x

z+

=2的最大值、最小值分别为（）

A.4，2

B. 4，3

C.3，2

D.2，0

6.空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）

A.2π+

B. 4π+

C.2π+

D. 4π+

7.若点O 和点F 分别为椭圆22

143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则⋅的最大值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 6

D. 8

8.若直线()200,0ax by a b -+=>>被圆2

2

2410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则

11

a b

+的最小值为

( )

3

2

B.3

C.3

D.

13

第II 卷（非选择题）

评卷人 得分

二、填空题（题型注释）

9.在平面直角坐标系中，若点(1,1)A ，(2,4)B ，(1,3)C -，则||AB AC -=________．

10.已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是_____.

11.已知,i j 是互相垂直的单位向量,设43,34a i j b i j =+=-，则a b ⋅=________。

12.已知||

|lg |,0()2

,0

x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则函数2

2()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.

13.数列{}n a 满足n

n

n a a a a 21,111+==+，则8a = ▲ .

14.已知椭圆13

42

2=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 . 评卷人 得分

三、解答题（题型注释）

15.（本小题满分12分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．

16.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD//FE ，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF ，AF=FE=AB=1

2

AD =2，点G 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：EG//平面ABF ； （Ⅱ）求三棱锥B-AEG 的体积；

（Ⅲ）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

17.（12分）已知ABC ∆的角A 、B 、C ，所对的边分别是a 、b 、c ，且3

π

=

C ，设向量

m (a,b),n (sin B,sin A),p=b-2,a-2)==（.

（1）若m //n ，求B ；

（2）若ABC m p,S 3∆⊥= c.

C

B A

G

D E

F

18.（本小题满分12分）已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为1

2

,且椭圆经

过点，

(I)求椭圆C 的标准方程;

(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A,B 满足PA ·5

4

PB =,若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.

19.（本小题满分12分）已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=为偶函数. (Ⅰ) 求k 的值;

(Ⅱ) 若方程)2(log )(4a a x f x -⋅=有且只有一个根, 求实数a 的取值范围.

20.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x 2

＋4ax ＋2a ＋6. (1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a 的值；

(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a ＋3|的值域．