初三讲义。二次函数当中的角度问题(叶建)
二次函数角度问题
二次函数角度问题1、如图1，已知抛物线(a ≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点.（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标；（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO=∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标（点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应）．2、如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线242y x x =-- 经过A ，B 两点.（1）求A 点坐标及线段AB 的长；（2）若点P 由点A 出发以每秒1个单位的速度沿AB 边向点B 移动，1秒后点Q 也由点A 出发以每秒7个单位的速度沿AO ，OC ，CB 边向点B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒.①当PQ⊥AC 时，求t 的值；②当PQ ∥AC 时，对于抛物线对称轴上一点H ，∠HOQ ＞∠POQ ，求点H 的纵坐标的取值范围.bx ax y +=2y x O A B D 图1 y O A B D N 图23、如图，点P 是直线：上的一点，过点P 作直线m ，使直线m 与抛物线有两个交点，设这两个交点为A 、B.（1）如果直线m 的解析式为，直接写出A 、B 的坐标；（2）如果已知P 点的坐标为（2， 2），点A 、B 满足PA=AB ，试求直线m 的解析式；（3）设直线与轴的交点为C ，如果已知∠AOB ＝90°且∠BPC=∠OCP ，求点P 的坐标．4、如图，抛物线1C ：23y ax bx =++与x 轴交于A 、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且AB=BC.（1）求抛物线的函数关系式；（2）P 为第一象限内抛物线上一点，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，PQ ⊥BC 交x 轴于点Q ，PH 、PQ 分别交BC 于M 、N 两点，试问：是否存在这样的点P ，使得△PHQ 的周长恰好被BC 平分？若能，请求点P 的坐标；若不能，请说明理由；（3）将抛物线1C 向上平移t （0t ＞）个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 的顶点为T ，与x 轴两个交点分别为R 、S ，若∠RTS ＞∠ABC ，求t 的取值范围.22-=x y 2x y =2+=x y y1D C O xy PB A 5、如图1，已知抛物线1C ：22y ax =-的顶点为点P ，交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），且213sin 13ABP ∠=.（1）求抛物线的函数解析式；（2）过点A 的直线交第一象限的抛物线于点C ，交y 轴于点D ，若△ABC 的面积被y 轴分为1∶5两个部分，求直线AC 的解析式；（3）如图2，将抛物线1C 绕顶点P 旋转180°得到抛物线2C ，Q 为y 轴负半轴上的一点，过点Q 任作直线交旋转后的抛物线2C 于M 、N 两个不同点，是否存在这样的点Q ，使得∠MPN 恒为直角？若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.6、已知抛物线y=x 2﹣2x+c 与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为（﹣1，0）．（1）求D 点的坐标；（2）如图1，连接AC ，BD 并延长交于点E ，求∠E 的度数；（3）如图2，已知点P （﹣4，0），点Q 在x 轴下方的抛物线上，直线PQ 交线段AC 于点M ，当∠PMA=∠E 时，求点Q 的坐标．7、已知抛物线332++=bx ax y 与x 轴交于点A(1，0)、B(3，0)两点，与y 轴交于点C ．P 为抛物线的对称轴上的动点，且在x 轴的上方，直线AP 与抛物线交于另一点D ：(1) 求抛物线的解析式：(2) 如图1，连接AC 、DC ．若∠ACD ＝60°，求点D 的横坐标：(3) 如图2，过点D 作直线3-=y 的垂线，垂足为点E ．若PD PE 2=，求点P 的坐标？8、已知抛物线422-+-=a ax ax y 与x 轴分别交于A,B ，与y 轴交于C 点，顶点为P ． ⑴直接写出此抛物线的对称轴．⑵连接BP ，Q 点是抛物线上一动点（不与P 点重合），过Q 点的直线y=-3x+b 与直线BP 相交所成的锐角为45度，求此抛物线的解析式；⑶平移（2）中的抛物线，使抛物线的顶点在直线CP 上滑动，且与PC 交于另一点Q ．若点M 在直线AC 上方，且为（2）中的抛物线上点，当以M ，P ，Q 三点为顶点的三角形是含30°角的直角三角形时，求出所有符合条件的M 的坐标．。
中考二次函数与角度有关的问题知识解读
二次函数与角度有关的问题知识解读【专题说明】二次函数背景下与角有关的存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。
为此，下面将与角度有关的常见压轴题题型及解法做统一整理【知识点梳理】类型一：将等角问题转化成等腰三角形或平行线问题。
如例1：抛物线y=-x+3x+4,与坐标轴交于点A、B、C，CP⊥y轴交抛物线与点P，点M为A、C间抛物线上一点（包括端点），求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。
分析：显然符合条件的点M有两个，OP上方一个，OP下方一个、当M在OP 上方时，由∠MPO=∠POA可知PM//OA,则M与C点重合。
当M在OP下方时，∠MPO=∠POA，这两角组成的三角形是等腰三角形。
设PM与x轴交于点D，坐标为D(n,0)，由两点间距离公式可表示出OD、PD长，根据OD=PD列方程即可求出D点坐标，再求出PD直线表达式与抛物线表达式联立，进而求出M点坐标。
类型二：将等角问题转化成等角所在三角形相似或等角对应的三角函数（通常是正切值）相等问题。
这类问题有两种情况：一种是所求角的一边与坐标轴平行（重合）；例2如图，抛物线y=x221+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6.（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；解析：通过已知条件易得抛物线表达式为6221y 2+−=x x 及各定点坐标，第二问中的F 有两种情况：x 轴上方一个，x 轴下方一个。
在Rt ⊿BDE 中，可知tan ∠EDB=21，则tan ∠FAB=21，过F 作x 轴垂线，构造∠FAB 所在直角三角形，接着通过设F 点坐标，表示FH 和AH 长，根据tan ∠FAB=21=AH FH 列方程，或利用相似三角形对应边成比例列式，从而求出点F 坐标，由于表示FH 时加了绝对值，已经考虑到了上下两种情况，这样两个F 就都求出来了。
二次函数中角度问题
二次函数中角度问题二次函数是高中数学中非常重要的一章内容，其中涉及到许多重要的概念和知识点，其中一个比较重要的问题就是二次函数中角度问题。
本文将从以下几个方面进行详细的阐述。
一、什么是角度问题在二次函数中，我们经常会遇到关于角度的问题。
例如，我们可以将二次函数表示为 $y = a\sin^2(x) + b\cos^2(x)$ 的形式，其中$a$ 和 $b$ 是常数。
这个式子中的 $x$ 就代表了一个角度。
此外，在解决一些实际问题时，我们也经常需要用到角度概念。
例如，在物理学中，我们需要计算物体在斜面上滑动时的倾斜角度；在工程学中，我们需要计算建筑物或桥梁的倾斜角度等等。
因此，在二次函数中涉及到角度问题时，我们需要对角度有一个清晰准确的认识。
二、如何理解角度在数学中，我们通常使用弧度来表示角度。
弧度是一个长度单位，它表示弧长与半径之比。
例如，在一个半径为 $r$ 的圆上走过弧长为$l$ 的弧所对应的弧度就是 $\theta = l/r$。
在初学者中，我们通常使用度数来表示角度。
一个圆的周长是 $2\pi r$，因此一个完整的圆的角度是 $360$ 度。
因此，我们可以将一个任意角度 $\theta$ 转换为弧度制：$$\theta_{\text{弧度}} = \frac{\theta_{\text{度}}}{180^\circ}\pi$$例如，$45^\circ$ 对应的弧度是 $\pi/4$。
三、如何解决二次函数中的角度问题在二次函数中，我们经常需要用到三角函数和反三角函数。
例如，在上面提到的二次函数 $y = a\sin^2(x) + b\cos^2(x)$ 中，我们需要用到正弦和余弦函数。
在解决这些问题时，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 三角函数的定义域和值域正弦和余弦函数都是周期为 $2\pi$ 的周期函数。
它们的定义域是实数集合 $\mathbb{R}$，值域是区间 $[-1, 1]$。
(完整word版)九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数与角度问题解题技巧
二次函数与角度问题解题技巧一、引言二次函数是中学数学中重要的概念之一，在解题中经常会涉及到与角度相关的问题。
本文将从几个角度探讨二次函数与角度问题的解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
二、二次函数的基本特征在深入讨论二次函数与角度问题之前，我们首先需要理解二次函数的基本特征。
二次函数的标准形式为：f(x)=ax2+bx+c，其中a、b和c分别是常数，a≠0。
2.1 零点二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。
要求二次函数的零点，可以通过解方程f(x)=0来得到。
常用的求根公式是一元二次方程的解法之一，即$ x = $。
2.2 顶点二次函数的顶点是函数图像的最高或最低点。
顶点的横坐标是通过x=−b计算得2a到的，纵坐标是将横坐标代入函数中得到的。
2.3 对称轴二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴的方程可以通过x=−b得到。
2a2.4 开口方向二次函数的开口方向可以根据系数a的正负来确定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，开口向下。
三、角度问题的解题技巧在解决与角度相关的二次函数问题时，我们需要掌握一些解题技巧。
本节将从几个角度探讨这些技巧。
3.1 求解函数图像与坐标轴交点当需要求解二次函数的图像与x轴或y轴交点时，我们可以将函数设置为0，得到方程f(x)=0或f(y)=0。
通过解这些方程，我们可以得到函数图像与坐标轴交点的坐标。
3.2 求解函数图像的对称性二次函数的图像关于其顶点对称。
通过计算顶点的坐标，我们可以确定函数图像的对称轴、开口方向以及顶点的位置。
3.3 求解函数的最大值或最小值当需要求解二次函数的最大值或最小值时，我们可以利用顶点的纵坐标。
根据开口方向，最大值或最小值就是函数图像的顶点。
3.4 求解角度问题在一些角度问题中，我们需要根据给定的条件，建立二次函数的方程，并通过解方程求解。
一般情况下，可以利用三角函数的性质将角度转化为弧度，然后建立二次函数方程，最后通过求解方程得到结果。
二次函数综合(七)——角度问题
二次函数综合（七）——角度问题的坐标。
第（1）问要求抛物线的解析式，题中已知D点坐标，而抛物线又与直线交y轴于点C，故易得C点坐标，把C、D两点代入二次函数解析式即可求出，具体过程如下：第二问要使P、C、F、O四点构成的四边形是平行四边形，平行四边形存在性问题处理策略，通常是用对边平行且相等或对角线互相平分来处理。
我们看题中说PE垂直x轴交PD于点F，自然PF平行y轴，即PF平行OC，即只需再利用PF=OC即可，这里我们用绝对值的方法来解，不去分类讨论.具体过程如下：最后，我们来看第三问，题中说道∠PCF=45°，因为没说P 解法一：我们再看，若过点P作CD的垂线（P不是直角顶点），其实解法本质没太多区别，具体过程如下：解法二：我们现在依托于过D点作PC的垂线（P是直角顶点），也没有问题，这里就不过多分析，直接给出解题过程：解法三：同样，我们过D点作CD的垂线（P不是直角顶点），也可以构造一线三直角，这里也不过分析，具体过程如下：解法四：我们现在继续思考，图中给出了∠PCD=45°，点C在y轴上，我们自然可以依托于y轴构造一线三等角，具体过程如下：解法五：解法六：其实，就以解题而言，我们这里还可以将三角形COM绕点C 解法七：而连结PD，则有定边定角，自然可以构造辅助圆，这时几乎可以解法八：最后，我不得不说，数学解题大师于新华老师的“12345”模型，直接就知道答案，关于此模型的详细介绍我会在后面给出链接，请亲自己点开阅读，本题过程如下：解法九：要过程如下：至此，P点已求完，答案即为回顾解题过程，尤其是第三问，在特殊角的情况下自然可以特事特办，构造一线三直角，构造一线三等角，构造母子型相似，构造隐圆，捆绑旋转等即可，掌握一些特设技能，如“12345”模型完全可以在山穷水尽的时候杀开一条血路.当然，这些都需要我们平时多积累和思考。
解法一、二、八最好。
2020中考压轴 二次函数 角的存在性问题 课件共18张
）
3、（1）分类讨论，本题已明确动点位置，故不需分类；
（2）画图找点，如图所示
（3）设点求解，设M（m，23 ??2
?
4m?
3
2），过O作
OE ⊥AB交BM延长线于E，交AB于G，作EF⊥y轴于F,分别解
直角三角形AOB,OBG,OEF可求E（
24 13
，-
36 13
），所以直线BE为
y=- 5 x-2 ，与抛物线解析式联立方程组可得M横坐标为11 .
BC下方的二次函数图象上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
(3)如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好
等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
略解：
1、??= 1 ??2 ? 3 ??? 2，2、最大值4
交点法的方法和步骤： 1、分类讨论，一般分两类，一是点在x轴上方；一是点在x轴下方； 2、画图找点，根据题意画草图找点帮助分析； 3、设点求解，构造等腰三角形或直角三角形求过动点的直线解析式，
利用直线和抛物线交点求法即可求解。
以本题为例：
1、??= 2 ??2 ? 4 ??? 2
3
3
2、（4，
10 3
与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），
点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
??=
1 ?2
???
2 2+
8
（2）点F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F 的坐标；
二次函数存在性--角度问题
专题二：二次函数存在性之角度问题角度已知时例题1 . 已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）.（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象；（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.练习1 . 已知抛物线y=ax2+bx+c顶点(2,−1)，经过点(0,3)，且与直线y=x−1交于A,B两点.（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q,M,N,满足S△QAB=S△MAB=S△NAB=S，求S的值；（3）在A,B之间的抛物线弧上是否存在点P满足0∠APB？若存在，求=90点P的横坐标，若不存在，请说明理由.角度相等时例题1 . 如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；练习1 . 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．角度成倍比关系时x+2与x轴交于点A，与y轴交例题1 . 如图，在平面直角坐标系中，直线y= 12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．于点C，抛物线y= 12（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的的最大值；面积为S2，求S1S2②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．练习1 . 如图，抛物线y＝k x2﹣2kx﹣3经过点P（4，5），过点P的直线AM：y ＝m x+t1（m＜0）与抛物线交于点M，与x轴交于点A，过点P的另一直线BN：y＝n x+t2（n＞0）与抛物线交于点N，与x轴交于点B，已知PA＝PB．（1）写出抛物线的解析式为；问题探究：若点M的横坐标为﹣3，则点N的横坐标为，若点M的横坐标为﹣4，则点N的横坐标为；（2）结论猜想：若点M的横坐标为a，点N的横坐标为b，请根据（1）猜想a，b之间的数量关系为，并给予证明．（3）综合应用：已知直线y＝﹣x+n与抛物线y＝﹣x2+4交于A，B两点，在抛物线上是否存在点P，连接PA，PB分别交y轴，x轴于点D，C，使∠DPB＝2∠PCO，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．角度出现和差时例题1 ．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝a2x+bx+c（a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（4，0）与y轴交于点C，tan∠ABC＝．（1）求抛物线的解析式；（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E，连接AC、CE，当ME取值最大值时，求△ACE的面积．（3）在y轴负半轴上取点D（0，﹣1），连接BD，在抛物线上是否存在点N，使∠BAN＝∠ACO﹣∠OBD？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．练习1 . 已知在平面直角坐标系x O y中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A （0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）经过点D．．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣13①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB+∠BCD=90°？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；。
初三讲义。二次函数当中的角度问题(叶建)
1 二次函数当中的角度问题题型一:找个点，满足45°或90°(见 45°和90°造K 形）【例1】如图，已知二次函数解析式为2x y =,抛物线上是否存在点P 使得∠POx 为45°?【例2】如果在上题中，有点A )0,41(,是否存在点P 使得∠PAx 为45°【例3】如图，二次函数为2x y =，点A 坐标为)2,4(,抛物线上是否存在点P ，使得∠AOP =45°？2 【例4】抛物线经过点A )0,3(-B )8,1(-C （6,0)，直线232+=x y 与y 轴交于点D ，抛物线上是否存在点P 使得∠PAD =45°？【例5】已知二次函数为322--=x x y ,与x 轴交于A 、B 两点。
在抛物线上是否存在点P 使得∠PAC 为锐角？若存在,请求出x 的取值范围。
【实战演练】1.如图,抛物线432++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,点D （3，4）在抛物线上，连接BD,点P 为抛物线上一点，且∠DBP =45°，求点P 的坐标．32.抛物线a bx ax y 42-+=经过点A （1，0）和C （0,4)，与x 轴交于另一点B.（1）求抛物线解析式（2）已知点D （m ，1—m)在抛物线第二象限上，求点D 关于直线BC 对称点坐标。
（3）在（2)的条件下，连接BD ，在抛物线上是否存在点P 使得∠DBP=45°，求点P 坐标。
题型二 找个点满足角度相等【例1】抛物线322++-=x x y 与并轴分别交于A 、B 两点,与y 轴的正半轴交于C 点，抛物线的顶点为D ，连接BC 、BD ，抛物线上是否存在一点P ，使得∠PCB=∠CBD ，若存在,求P 点的坐标,不存在,说明理由.【例2】抛物线解析式为322--=x x y ,交x 轴于A 、B 两点，图形上是否存在点P 使得∠PCO ＞∠ACO 若存在，请求出x 的取值范围。
中考数学二次函数角度的存在性问题（教师版）
1 第2讲：角度的存在性问题【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A 、(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ；（1）求抛物线的表达式；（2）求证：CAO BCO Ð=Ð；（3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO Ð+Ð=Ð，求直线CP 的表达式．【参考答案】（1）215222y x x =-+；（2）证明略；（3）423y x =-+或2y =．思路点拨1．设求抛物线的交点式比较简便．2．第（2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等．3．第（3）题先把3个角的关系，转化为∠PCB ＝∠2，再按点P 与CB 的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (4, 0)两点，所以两点，所以y ＝a (x －1)(x －4)．代入点C (0, 2)，得，得12a =．所以抛物线的表达式为1(1)(4)2y x x =--＝215222x x -+．（2）如图2，tan ∠CAO ＝OC OA ＝2．如图3，tan ∠BCO ＝OBOC＝42＝2，所以∠CAO ＝∠BCO ．图2 图3 （3）如图2，图3，由于∠CAO ＝∠BCO ，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2．因为∠PCB ＋∠ACB ＝∠BCO ，所以∠PCB ＝∠BCO －∠ACB ＝∠1＝∠2．∠PCB 存在两种情况：知识精讲①如图4，当点P 在CB 的右侧时，由∠PCB ＝＝∠2，得CP //x 轴． 此时直线CP 的解析式为y ＝2．②如图5，当点P 在CB 的左侧时，设CP 与x 轴交于点D ． 由∠PCB ＝∠2，得DC ＝DB ．设D (x , 0)，根据，根据DC 2＝DB 2，列方程x 2＋22＝(4－x )2．解得32x =．所以D 3(,0)2．由C (0, 2)、D 3(,0)2，得直线CP 的解析式为423y x =-+．图4 图5 图6 考点伸展如果第（3）题的条件不变，求点P 的坐标．第一种情形，如图4，当CP //x 轴时，点P 与点C 关于抛物线的对称轴52x =对称，所以P (5, 2)．第二种情形，如图6，设P 215(,2)22x x x -+． 作PE ⊥y 轴于E ，那么OD CO EP CE =．所以2322152(2)22x x x =--+． 解得x ＝0，或73x =．所以P 710(,)39-．【例2】已知在直角坐标系中，抛物线283y ax ax =-+(0)a <与y 轴交于点A ，顶点为D ，其对称轴交x 轴于点B ，点P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧；在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧；（1）当AB BD =时（如图），求抛物线的表达式；，求抛物线的表达式； （2）在第（1）小题的条件下，当DP ∥AB 时，求点P 的坐标；的坐标； （3）点G 在对称轴BD 上，且12AGB ABD Ð=Ð，求△ABG 的面积．的面积．【参考答案】（1）2138y x x =-++；（2）1(10,)2；（3）10或22． 思路点拨1．抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B ）和点A 的坐标，根据AB ＝BD 求出点D 的坐标，再代入解析式求待定系数a ．2．看着12∠ABD ，结合BA ＝BD ，不由得让人联想起“三线合一”．3．以∠ABD 为外角，构造等腰三角形BAG ，BG ＝BA ，这样就满足∠ABD ＝2∠AGB ． 4．根据对称性，∠AGB 的顶点G 存在两种情况．满分解答（1）由y ＝ax 2－8ax ＋3，可得A (0, 3)，抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线x ＝4． 所以B (4, 0)，AB ＝5．当BD ＝AB ＝5时，D (4, 5)．将点D (4, 5)代入代入y ＝ax 2－8ax ＋3，得18a =-．所以2138y x x =-++． （2）如图2，作PE ⊥BD 于E ． 设点P 的坐标为21(,3)8x x x -++．当DP //AB 时，34ED OA EP OB ==．所以34ED EP =．图2 解方程2135(3)(4)84x x x --++=-，整理，得x 2－14x ＋40＝0．所以x ＝10，或x ＝4（与点D 重合，舍去）．所以P 1(10,)2．（3）如图3，在DB 的延长线上截取BG ＝BA ＝5，那么∠AGB ＝∠BAG ． 又因为∠ABD ＝∠AGB ＋∠BAG ，所以此时∠AGB ＝12∠ABD ． 此时S △ABG ＝10．如图4，作AH ⊥BD 于H ，点G 关于直线AH 的对称点为G ′，那么G ′H ＝GH ＝8． 所以BG ′＝BH ＋G ′H ＝11．此时S △ABG ′＝22．图3 图4 图5 考点伸展第（3）题也可以从∠ABD 的平分线开始思考： 如图5，作∠ABD 的平分线与y 轴交于点C ．因为∠1＝∠2，∠1＝∠C ，所以∠2＝∠C ．所以AC ＝AB ＝5．过点A 作BC 的平行线交抛物线的对称轴于点G ，那么四边形CAGB 是平行四边形．所以∠1＝∠G ，BG ＝AC ＝5．所以∠AGB ＝12∠ABD ．此时S △ABG＝10．求点G ′的过程同上．【例3】在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴角于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD 、将线段AD 绕着点D 顺时针旋转°90得到线段DE过点E 作直线x l ^轴，垂足为H ，交抛物线于点F ． （1）求这条抛物线的解析式；）求这条抛物线的解析式； （2）联结DF ，求cot EDF Ð的值；的值；（3）点G 在直线l 上，且45EDG °Ð=，求点G 的坐标．的坐标．xyHFEDABO参考答案：（1）2312355y x x =-++； （2）25cot 5EDF Ð=； （3）3(4,6)(4,)2E 或． 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于点B (5, 0)，设，设3(5)()5y x x m =---，代入点A (0, 3)， 得－3m ＝3．所以m ＝－1．所以23312(5)(1)3555y x x x x =--+=-++．（2）如图2，由△AOD ≌△DHE ，得DH ＝AO ＝3，EH ＝DO ＝1．所以E (4, 1)． 由3(4)(5)(1)35fx x =--+=，得F (4, 3)． 由D (1, 0)、F (4, 3)、E (4, 1)，可得∠，可得∠DFE ＝45°，DF ＝32，EF ＝2． 如图3，作EM ⊥DF 于M ，那么EM ＝FM ＝2．在Rt △DEM 中，EM ＝2，DM ＝DF －FM ＝22，所以DE ＝10．所以cos ∠EDF ＝DM DE ＝2210＝255．图2 图3 （3）符合条件的点G 有两个：①如图4，当点G 在DE 上方时，由∠EDG ＝∠EFD ＝45°，∠DEG 是公共角，可得△EDG ∽△EFG ． 所以ED 2＝EF ·EG ．所以10＝2EG ．所以EG ＝5．此时G (4, 6)．②如图5，当G ′在DE 下方时，△GDG ′是直角三角形．此时DH 2＝HG ·HG ′．所以9＝6HG ′．所以HG ′＝32．此时G ′(4,32)．图4 图5 xyHHF EDABOxyxyGF G'H EDABOGHF EDA BO【例4】已知顶点为(2,1)A -的抛物线经过点(0,3)B ，与x 轴交于C 、D 两点（点C 在点D 的左侧）； （1）求这条抛物线的表达式；）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BD 、DA ，求△ABD 的面积；的面积；（3）点P 在x 轴正半轴上，如果45APB °Ð=，求点P 的坐标．的坐标．xyO参考答案：（1）243y x x =-+； （2）3； （3）(36,0)+ ．满分解答（1）设抛物线的顶点式为y ＝a (x －2)2－1，代入点B (0, 3)，得，得a ＝1． 所以这条抛物线的解析式为y ＝(x －2)2－1＝x 2－4x ＋3． （2）由y ＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)，得C (1, 0)，D (3, 0)．如图2，由A (2,－1)、B (0, 3)、D (3, 0)，可得∠，可得∠BDO ＝45°，∠ADO ＝45°，BD ＝32，AD ＝2． 所以S △ABD ＝12AD BD ×＝12322´´＝3． （3）如图3，以AB 为斜边构造等腰直角三角形GAB ，以G 为圆心、GB 为半径画圆，与x 轴交于点P （圆与x 轴右侧的一个交点），根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可知∠APB ＝45°．如图4，由△BMG ≌△GNA ，得BM ＝GN ，MG ＝NA ．设G (m , n )，那么m ＝n ＋1，3－n ＝m －2．解得m ＝3，n ＝2．所以G (3, 2)． 设P (x, 0)．根据．根据GB 2＝GP 2，列方程32＋12＝(x －3)2＋22．解得(36,0)+，或(36,0)-（这是圆与x 轴左侧的交点的横坐标，此时∠APB ＝135°）．所以点P 的坐标为(36,0)+．图2 图3 图4 【裴文通老师和顾晓琴老师提供的解法】因为∠BDO ＝45°＝∠1＋∠3，∠APB ＝45°＝∠2＋∠3，∠ADO ＝45°＝∠2＋∠4， 所以∠1＝∠2，∠3＝∠4． 所以△PBD ∽△APD ．所以DP DADB DP=．于是DP 2＝DA ·DB ＝232´＝6． 所以DP ＝6，OP ＝36+．所以P (36,0)+．图5 x y D CABO P x yD CABO P【例5】已知在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x mx n =-++的图像经过点(3,0)A ，(,1)B m m +，且与y 轴相交于点C ；（1）求这个二次函数的解析式并写出其图像顶点D 的坐标；的坐标； （2）求CAD Ð的正弦值；的正弦值；（3）设点P 在线段DC 的延长线上，且PAO CAD Ð=Ð，求点P 的坐标．的坐标．xyO参考答案：（1）223y x x =-++，顶点(1,4)； （2）1010； （3）33(,)22-，(6,3)--．满分解答（1）将A (3, 0)、B (m , m ＋1)两点分别代入y ＝－x 2＋mx ＋n ，得930,1.m nn m -++=ìí=+î 解得m ＝2，n ＝3．所以y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4．所以C (0, 3)，顶点，顶点D (1, 4)． （2）如图2，作DE ⊥y 轴于E ．由A (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)，可得∠，可得∠ACO＝∠DCE ＝45°，AC ＝32，DC ＝2． 所以∠ACD ＝90°．所以AD 2＝AC 2＋DC 2＝18＋2＝20．所以AD ＝25． 所以tan ∠CAD ＝DCAC ＝232＝13，sin ∠CAD ＝DC AD ＝225＝1010．（3）直线CD 的解析式为y ＝x ＋3，于是可设P (x , x ＋3)． 作PH ⊥x 轴于H ，当∠P AO ＝∠CAD 时，由tan ∠P AO ＝tan ∠CAD ，得13PH AH =．①当P 在x 轴上方时，3133x x +=-．解得32x =-．此时P 33(,)22-（如图2所示）． ②当P 在x 轴下方时，(3)133x x -+=-．解得x ＝－6．此时P (－6,－3)（如图3所示）．图2 图3 【例6】如图，在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于点A (-1,0)和点B ，与y 轴相交于点C (0,3)，抛物线的顶点为点D ，联结AC 、BC 、DB 、DC ． （1）求这条抛物线的表达式及顶点D 的坐标；的坐标； （2）求证：△ACO ∽△DBC ；（3）如果点E 在x 轴上，且在点B 的右侧，∠BCE=∠ACO ，求点E 的坐标．y xBDCA Oy x EHBDCA O参考答案：（1）223=-++y x x ，(1,4)D ； （2）略； （3）(6,0)E ．满分解答（1）由抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A (－1, 0)，设，设y ＝－(x ＋1)(x －m )． 代入点C (0, 3)，得，得m ＝3．所以y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－(x 2－2x －3)＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4． 所以点B 的坐标为(3, 0)，顶点，顶点D 的坐标为(1, 4)． （2）如图2，由B (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)，可知B 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是3，C 、D 两点间的水平距离、竖直距离都是1．因此BC 、DC 与y 轴的夹角都是45°．所以∠BCD ＝90°，tan ∠DBC ＝DC BC ＝232＝13．由A (－1, 0)、C (0, 3)，得，得OA ＝1，OC ＝3，所以tan ∠ACO ＝OA OC ＝13． 所以∠ACO ＝∠DBC ．所以△ACO ∽△DBC ．（3）设CE 与BD 交于点G ．由∠BCE ＝∠ACO ＝∠DBC ，得GB ＝GC ． 于是可得CG 是Rt △DBC 斜边上的中线，点G 是BD 的中点．所以G (2, 2)． 作GH ⊥y 轴与H ，那么CH CO GH EO =，即132EO=．解得EO ＝6．所以E (6, 0)．图2 图3 图4 【1】如图，抛物线25y ax bx =+-（0a ¹）经过点(4,5)A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且5OC OB =，抛物线的顶点为D ． （1）求这条抛物线的表达式；）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且BEO ABC Ð=Ð，求点E的坐标．【参考答案】解：（1）∵抛物线25y ax bx =+-与y 轴交于点C ， ∴(0,5)C -， ∴5OC =．∵5OC OB =， ∴1OB =．又点B 在x 轴的负半轴上， ∴(1,0)B -．∵抛物线经过点(4,5)A -和点(1,0)B -， ∴1645550a b a b +-=-ìí--=î，解得14a b =ìí=-î． ∴这条抛物线的表达式为245y x x =--．（2）由245y x x =--，得顶点D 的坐标是(2,9)-．联结AC ．∵点A 的坐标是(4,5)-，点C 的坐标是(0,5)-， 又145102ABC S D =´´=，14482ACD S D =´´=，∴18ABC ACD ABCD S S S D D =+=四边形．（3）过点C 作CH AB ^，垂足为点H ．∵1102ABC S AB CH D =´´=，52AB =， ∴22CH =． 在RtBCH D 中，90BHC Ð=°，26BC=，2232BH BC CH =-=；∴2tan 3CH CBH BH Ð==． 在Rt BOE D 中，90BOE Ð=°，tan BOBEO EOÐ=， ∵BEO ABC Ð=Ð， ∴23BO EO =，得32EO =， ∴点E 的坐标为3(0,)2． 达标检测【2】 如图，抛物线25y x bx =++与x 轴交于点A 与(5,0)B 点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点P ． （1）求抛物线的表达式并写出顶点P 的坐标；的坐标；（2）在x 轴上方的抛物线上有一点D ，若ABD ABP ?，试求点D 的坐标；的坐标； （3）设在直线BC 下方的抛物线上有一点Q ，若15BCQ S D =，试写出点Q 坐标．坐标．xyPA CB O 参考答案：（1）265y x x =-+，(3,4)P -； （2）(1,12)D -； （3）(2,3)(3,4)Q --或．满分解答 （1）将点B (5, 0)代入代入y ＝x 2＋bx ＋5，得．解得b ＝－6． 所以y ＝x 2－6x ＋5＝－(x －3)2－4，顶点P 的坐标为(3,－4)． （2）如图2，作DN ⊥x 轴于N ．设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．由tan ∠ABD ＝tan ∠ABP ，得DN PM BN BM =． 设点D 的坐标为(x , x 2－6x ＋5)，那么2654252x x x -+==-． 解得x ＝－1．所以点D 的坐标为(－1, 12)．图2 图3 （3）由B (5, 0)、C (0, 5)，可知，可知BC ＝52，直线B C 与x 轴负半轴的夹角为45°．设BC 边上的高为h ，那么S △BCQ ＝1522h ´＝15．解得32h =． 如图3，设y 轴上点C 下方的点G 到直线BC 的距离GH ＝32，那么CG ＝6，G (0,－1)． 过点G 作BC 的平行线与抛物线的交点就是要求的点Q ，这条直线为y ＝－x －1．解方程组21,65,y x y x x =--ìí=-+î 得2,3,x y =ìí=-î或3,4.x y =ìí=-î 所以Q (2,－3)或(3,－4)． x yl FEG P ACB O Qx yDP A CB O H【练习1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx =+-经过点(2,1)A -，它的对称轴与x 轴相交于点B ；（1）求点B 的坐标；的坐标；（2）如果直线1y x =+与此抛物线的对称轴交于点C 、与抛物线在对称轴右侧交于点D ，且BDC ACBÐ=Ð，求此抛物线的表达式．，求此抛物线的表达式．课后作业【 参考答案】（1）(1,0)B ；（2）2510133y x x =--． 满分解答（1）将点A (2,－1)代入y ＝ax 2＋bx －1，得1－＝4a ＋2b －1．所以b ＝－2a ． 抛物线的对称轴x ＝2b a -＝22a a--＝1．所以点B 的坐标为(1, 0)． （2）如图2，由y ＝x ＋1，得C (1, 2)．所以．所以BC ＝2．由A (2,－1)、B (1, 0)，得，得2BA =，∠2＝45°．因为直线y ＝x ＋1与坐标轴的夹角为45°，由此可知∠1＝45°．所以∠1＝∠2． 根据等角的邻补角相等，可知∠DCB ＝∠CBA ．当∠BDC ＝∠ACB 时，△DCB ∽△CBA ．所以DC CB CB BA =，即222DC =． 所以22DC =．因此D 、C 两点间的水平距离、竖直距离都是2．所以D (3, 4)．将点D (3, 4)代入代入y ＝ax 2－2ax －1，得4＝9a －6a －1．解得53a =． 所以抛物线的表达式是2510133y x x =--．。
二次函数与角的有关问题专项辅导资料
二次函数与角的有关问题专项辅导资料要理解二次函数与角的有关问题，首先需要了解二次函数的基本性质和角度的概念。
在此基础上，我们将讨论二次函数与角度的关系，以及如何利用角度解决二次函数的问题。
一、二次函数的基本性质二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是常数，并且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
如果a>0，则抛物线开口向上，如果a<0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其对称轴为直线x=-b/2a。
二、角的概念角度是平面上两条射线所夹的空间部分。
角度通常用度（°）来表示，一个完整的角度为360°。
我们可以通过不同的单位来表示角度，如弧度和百分度。
其中，360°等于2π弧度。
三、二次函数与角的关系1.抛物线的开口方向与角度的对应关系二次函数的开口方向与角度的对应关系如下：-当抛物线开口向上时，与x轴正半轴的夹角是锐角。
-当抛物线开口向下时，与x轴正半轴的夹角是钝角。
2.抛物线的顶点与角度的对应关系二次函数的顶点与角度的对应关系如下：-抛物线的顶点左侧的区域对应于一个小于180°的角度区间。
-抛物线的顶点右侧的区域对应于一个大于180°的角度区间。
3.求解二次函数与角度的交点可以利用角度的概念来求解二次函数与角度的交点。
假设二次函数的表达式为f(x)，要求解f(x)=k（k为常数）的交点，可以通过以下步骤：- 将f(x) = k转化为ax^2+bx+c = k的形式。
- 将该方程转化为标准形式ax^2+bx+(c-k)=0，并解出方程。
-得到方程的根之后，可以将根代入f(x)中求得交点的坐标。
四、利用角度解决二次函数的问题1.求解二次函数的极值问题二次函数的极值问题可以通过角度的方法来解决。
假设二次函数的表达式为f(x)，要求解f(x)的最小（或最大）值，可以通过以下步骤：- 将二次函数转化为标准形式ax^2+bx+c。
2023年九年级数学中考复习——二次函数与角度问题
2023九年级数学中考复习——二次函数与角度问题1．（2023•柳州一模）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线解析式；（2）求开口向下的二次函数的最大值时采用的步骤是：第一，求出二次函数的顶点坐标(2b a -，24)4ac b a -；第二，确定自变量x 的取值范围；第三，判定2bx a=-是否在其范围内，若在，则最大值是顶点纵坐标，若不在，要根据其增减性求最大值，即当()2b m x n m n a <-<剟时，x n =时，y 最大；当()2b m x n m n a-<<剟时，x m =时，y 最大．若0t <，1t x t +剟时，二次函数2y x bx c =-++的最大值是t ，求t 的值． （3）如图，若点P 是第一象限抛物线上一点，且45DAP ∠=︒，求点P 的坐标．2．（2023•南岗区校级模拟）抛物线234y ax ax =-+交y 轴于点C ，交x 轴负半轴于点A ，交x 轴正半轴于点B ，已知5AB =．（1）如图1，求抛物线解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，设P 点横坐标为t ，PBC ∆面积为S ，试用t 表示S ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OP ，将射线PO 绕点P 逆时针旋转45︒得到的射线与CB 的延长线交于点G ，与x 轴交于点F ，连接AP 与y 轴交于点E ，连接BE ，过点C 作y 轴的垂线与过点B 作BE 的垂线交于点D ，连接DE ，与OP 交于点H ，且290G PHD ∠+∠=︒，求点G 点的坐标．3．（2023•常州模拟）如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与BC 相交于点E ，与x 轴交于点H ，连接PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使QPB ∆与EPB ∆的面积相等，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）抛物线上存在一点G ，使45GBA PBE ∠+∠=︒，请直接写出点G 的坐标．4．（2023•三元区模拟）如图，二次函数2221(y x ax a a =-+++是常数，且0)a >的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ，连接AC ，BD ． （1）若1a =①求直线BC 的表达式； ②求证：ACO CBD ∠=∠；（2）若二次函数2221(y x ax a a =-+++是常数，且0)a >在第四象限的图象上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，求出a 的取值范围．5．（2023•南海区模拟）如图，抛物线2410233y x x =-++与x 轴相交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交该抛物线于点E ． （1）求直线AB 的表达式；（2）当BED ∆为直角三角形时，求点C 的坐标； （3）当2BED OAB ∠=∠时，求BED ∆的面积．6．（2023•新泰市一模）抛物线2y ax bx c =++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点(2,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C ，点P 是第一象限内抛物线上的一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP ，CP ，AC ，若12APC AOC S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）连接AP ，BC ，是否存在点P ，使得2PAB ABC ∠=∠，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023•锡山区模拟）抛物线23y ax bx =++过点(1,0)A -，点(3,0)B ，顶点为C ． （1）直接写出抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）如图1，点P 在抛物线上，连接CP 并延长交x 轴于点D ，连接AC ，若DAC ∆是以AC 为底的等腰三角形，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点E 是线段AC 上（与点A ，C 不重合）的动点，连接PE ，作P E F C A B ∠=∠，边EF 交x 轴于点F ，设点F 的横坐标为m ，求m 的最大值．8．（2023•天宁区校级模拟）如图1，抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0)A -、(5,0)B 两点，过点(2,4)C ．动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 方向运动，设运动的时间为t 秒．（1）求抛物线2y ax bx c =++的表达式；（2）过D 作DE AB ⊥交AC 于点E ，连接BE ．当3t =时，求BCE ∆的面积；（3）如图2，点(4,2)F 在抛物线上．当5t =时，连接AF ，CF ，CD ，在抛物线上是否存在点P ，使得ACP DCF ∠=∠？若存在，直接写出此时直线CP 与x 轴的交点Q 的坐标，若不存在，请简要说明理由．9．（2023•沈河区模拟）如图，抛物线2310(0)y ax ax a a =--<交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，5tan 2CAO ∠=． （1）求抛物线的解析式；（2）直线(05)x t t =<<与抛物线交于点P ，连接PA 交y 轴于点D ，连接AC ，当ACP ∆的面积为4时，求P 点的坐标；（3）点P 在第一象限的抛物线上，点F 是线段BC 上一动点，当90FOB ADO ∠+∠=︒，FC 平分OFP ∠时，直接写出ACP ∆的面积为 ．10．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与直线l 交于B ，C 两点，其中点A 的坐标为(2,0)-，点C 的坐标为(1,4)--．（1）求二次函数的表达式和点B 的坐标．（2）若P 为直线l 上一点，Q 为抛物线上一点，当四边形OBPQ 为平行四边形时，求点P 的坐标． （3）如图2，若抛物线与y 轴交于点D ，连接AD ，BD ，在抛物线上是否存在点M ，使M A B A D B ∠=∠？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2023•香洲区校级一模）如图，抛物线239344y x x =--+与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，M 是第二象限内抛物线上的一动点且横坐标为m ．（1）求B 点的坐标及直线AC 的解析式为 ， ．（2）连接BM ，交线段AC 于点D ，求ADM ADBS S ∆∆的最大值； （3）连接CM ，是否存在点M ，使得290ACO ACM ∠+∠=︒，若存在，求m 的值．若不存在，请说明理由．12．（2023•新都区模拟）如图，抛物线2y ax bx c =++经过(6,0)A -，332OA OB OC ==，D 为线段AC 下方抛物线上一动点，过点D 做DG AC ⊥于G ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求ACD ∆面积的最大值；（3）连接BC ，是否存在点D ，使得CDG ∆中有一个角与BCO ∠相等？若存在，请求出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．13．（2023•东莞市校级一模）如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)A -、(4,0)B 两点，与y 轴交点C ，连接AC ，BC ．抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交BC 于点F ，顶点为M ．（1）求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）若D 是直线BC 上方抛物线上一动点，连接OD 交BC 于点E ，当DE OE的值最大时，求点D 的坐标； （3）已知点G 是抛物线上的一点，连接CG ，若GCB ABC ∠=∠，求点G 的坐标．14．（2023•长沙二模）如图1，抛物线23(y ax ax a =+为常数，0)a <与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 是线段OA 上的一个动点，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ，过点C 作P e 的切线交x 轴于点E ．（1）①求点A 的坐标；②求证：CE DE =；（2）如图2，连接AB ，AC ，BE ，BO ，当a =，CAE OBE ∠=∠时， ①求证：2AB AC BE =⋅；②求11OD OE -的值．答案版：1．【解答】解：（1）Q 抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点， ∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =-++．（2）2122(1)b a -=-=⨯-Q ，2244(1)32444(1)ac b a -⨯-⨯-==⨯-， ∴抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)D ，0t <Q ，11t ∴+<，10a =-<Q ，∴抛物线开口向下，11t x t +<Q 剟，∴当1x t =+时，y t =最大，2(1)2(1)3t t t ∴-++++=，解得1t =2t （不符合题意，舍去），t ∴． （3）如图，作DE x ⊥轴于点E ，(1,4)D Q ，(1,0)E ∴，作GD AD ⊥，交AP 的延长线于点G ，作GF x ⊥轴，DF y ⊥轴，GF 与DF 交于点F ， 90ADG EDF ∠=∠=︒Q ，45DAP ∠=︒，90GDF ADE EDG ∴∠=∠=︒-∠，45DGA DAG ∠=∠=︒， DG DA ∴=，90F AED ∠=∠=︒Q ，()GDF ADE AAS ∴∆≅∆，4DF DE ∴==，1(1)2GF AE ==--=， (5,4)F ∴，(5,2)G ，设直线AG 的解析式为y mx n =+， 将(1,0)A -，(5,2)G 代入y mx n =+，得052m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得1313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AG 的解析式为1133y x =+， 解方程组2231133y x x y x ⎧=-++⎪⎨=+⎪⎩，得1183119x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2201x y ==-⎧⎨⎩（不符合题意，舍去）， ∴点P 的坐标是8(3，11)9．2．【解答】解：（1）如图1中，设(,0)A m ，(,0)B n ，由题意得：35m n n m +=⎧⎨-=⎩， 解得14m n =-⎧⎨=⎩， (1,0)A ∴-，(4,0)B ，把(1,0)A -代入234y ax ax =-+， 得：340a a ++=．解得：1a =-，∴抛物线的解析式为234y x x =-++；（2）过P 作//PW y 轴交BC 于W ，交x 轴于点D ，如图，抛物线的解析式为234y x x =-++， 令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∴440b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为4y x =-+， P Q 点横坐标为t ，2(,34)P t t t ∴-++，(,4)W t t -+， 234PD t t ∴=-++，4WD t =-+， 24PW PD WD t t ∴=-=-+，(4,0)B Q ，4OB ∴=． ∴2114(4)22PBC PWC PWB S S S PW OB t t ∆∆∆=+=⋅=⨯⨯-+， 即228S t t =-+；（3）过点P 作PS x ⊥轴于点S ，，过点B 作BT CD ⊥于点T ，在x 轴上取一点R ，使得RS PS =，如图，(4,0)B Q ，(0,4)C ，4OB OC ∴==，BOC ∴∆等腰直角三角形，OC OB ⊥Q ，CT OC ⊥，BT CD ⊥， ∴四边形OCTB 为正方形，4TB OB ∴==，90OBT ∠=︒，90EBO EBT ∴∠+∠=︒．EB BD ⊥Q ，90EBT TBD ∴∠+∠=︒，EBO DBT ∴∠=∠．在EOB ∆和DTB ∆中，90EBO DBTOB TB EOB DTB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()EOB DTB ASA ∴∆≅∆，OE DT ∴=，设直线AP 的解析式为y mx n =+， ∴2034m n mt n t t -+=⎧⎨+=-++⎩，解得：44m tn t =-⎧⎨=-⎩，∴直线AP 的解析式为(4)4y t x t =-+-． 令0x =，则4y t =-，(0,4)E t ∴-．4OE TD t ∴==-，CE t ∴=，CE OS t ∴==．45OCB OPG ∠=∠=︒Q ，∴点O ，C ，P ，G 四点共圆， COP G ∴∠=∠．PHD EHO ∠=∠Q ，CED EHO EOP ∠=∠+∠，CEO PHD G ∴∠=∠+∠．290G PHD ∠+∠=︒Q ，90CEO G ∴∠=︒-∠．90CEO CDE ∠=︒-∠Q ，G CDE ∴∠=∠．CO OB ⊥Q ，PS OB ⊥，//OC PS ∴，OPS COP ∴∠=∠，OPS CDE ∴∠=∠．在OPS ∆和EDC ∆中，90OSP ECD OPS EDC OS CE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OPS EDC AAS ∴∆≅∆，PS CD ∴=．2(,34)P t t t -++Q ，234PS t t ∴=-++，234CD t t ∴=-++．Q 四边形OCTB 为正方形，4CT OB ∴==，448CD CT TD t t ∴=+=+-=-， 2348t t t ∴-++=-，2t ∴=或2t =-（舍)．(2,6)P ∴，∴2,6,OS SP OP === PSR ∆Q 是等腰直角三角形， 6PS SR ∴==，268OR OS SR ∴=+=+=．45OPF R ∠=∠=︒Q ，POF ROP ∠=∠， ~OPF ORP ∴∆∆， ∴OP OR OF OP=，∴， 5OF ∴=，(5,0)F ∴．设直线PF 的解析式为y cx d =+， ∴5026c d c d +=⎧⎨+=⎩， 解得：210c d =-⎧⎨=⎩， ∴直线PF 的解析式为210y x =-+， Q 直线CB 的解析式为4y x =-+， ∴2104y x y x =-+⎧⎨=-+⎩， 解得：62x y =⎧⎨=-⎩． (6,2)G ∴-．3．【解答】解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B ，(0,3)C 三点代入抛物线解析式得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为223y x x =-++①；（2）存在，理由：由2223(1)4y x x x =-++=--+，则顶点(1,4)P ，对称轴为直线1x =，(1,0)H ∴，4PH ∴=，2BH =，(3,0)B Q ，(0,3)C ，∴直线BC 解析式为3y x =-+，∴点(1,2)E ，如图，过点E 作//EQ BC ，交抛物线于Q ，此时QPB ∆与PEB ∆的面积相等，由点P 、B 的坐标得，直线PB 的表达式为：2(3)y x =--，则直线QE 的表达式为：2(1)2y x =--+②，联立①②并整理得：2410x x -+=，解得：2x =±，则点Q的坐标为(2或(2-；对于直线QE ，设QE 交x 轴于点R ，令2(1)20y x =--+=，解得：2x =，即点(2,0)R ，则321BR =-=，取点R '使BR BR ='，过点R '作PB 的平行线l ，如上图，则点(4,0)R '， 则直线l 的表达式为：2(4)y x =--，联立223y x x =-++和2(4)y x =--得：2450x x -+=，则△16200=-<，无解，故在点B 的右侧不存在点Q ，综上，点Q 的坐标为(2或(2+-；（3）(3,0)B Q ，(0,3)C ，OB OC ∴=，45CBO ∴∠=︒，若点G 在直线AB 的上方时，PH AB ⊥Q ，45CBO ∠=︒，45HEB ∴∠=︒，45PBE BPE ∴∠+∠=︒，45GBA PBE ∠+∠=︒Q ，BPE GBA ∴∠=∠，tan tan BH OF BPH GBA PH OB∴∠=∠==， 即243OF =，32OF ∴=， ∴点3(0,)2F ， ∴直线BF 解析式为：1322y x =-+③， 联立①③得：2132322x x x -++=-+， 解得：132074x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或， ∴点G 的坐标为1(2-，7)4； 若点G 在直线AB 的下方时， 由对称性可得：点3(0,)2F '-， ∴直线BF 解析式为：1322y x =-④， 联立①④得：2132322x x x -++=-， 解得：332904x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩或， ∴点G '的坐标为3(2-，9)4-， 综上所述：点G 的坐标为：3(2-，9)4-或1(2-，7)4． 4．【解答】（1）解：当1a =时，抛物线的表达式为：223y x x =-++， ①对于223y x x =-++，当0x =时，3y =，即点(0,3)C ，令2230y x x =-++=，解得：1a =-或3，即点A 、B 的坐标分别为：(1,0)-、(3,0)；设直线BC 的表达式为：3y kx =+，将点B 的坐标代入上式得：033k =+，解得：1k =-，故直线BC 的表达式为：3y x =-+；②证明：过点E 作EH BD ⊥于点H ，当1x =时，32y x =-+=，即点(1,2)E ，由抛物线的表达式知，点(1,4)D ，则2BF AF ==，在Rt BDF ∆中，1tan 2FB FDB DF ∠==， 在Rt DEH ∆中，422ED =-=，设EH t =，则2DH t =，由勾股定理得：2222(2)t t =+，解得：t =，则DH，EH 由B 、D的坐标得，BD =则BH ==，在1tan 3EH CBD BH ∠===， 在Rt ACO ∆中，1tan tan 3AO ACO CBD CO ∠===∠， ACO CBD ∴∠=∠；（2）解：如图，设PC 交x 轴于点Q ．对于2221y x ax a =-+++，当0x =时，21y a =+，即点(0,21)C a +， 令22210y x ax a =-+++=，解得：1x =-或21a +，即点A 、B 的坐标分别为(1,0)-、(21,0)a +，则OB OC =，则45OBC ∠=︒，当点P 在第四象限时，点Q 总是在点B 的左侧，此时CQA CBA ∠>∠，即45CQA ∠>︒， 75ACQ ∠=︒Q ，60CAO ∴∠<︒，在锐角三角形中，由函数的正切值得定义知，角度越大，正切值越大， tan tan60CAO ∴∠<︒，而21tan 1OC a CAO AO +∠==，tan 60︒21a ∴+<a ∴， 又15CAQ ∠>︒Q ，同法可得a >0a >Q ，0a ∴<< 5．【解答】解：（1）在2410233y x x =-++中， 令0y =，得：24102033x x -++=，解得：12x =-或3x =， (3,0)A ∴，令0x =，得2y =，(0,2)B ∴，设直线AB 的解析式为2y kx =+，把(3,0)A 代入得：320k +=， 解得：23k =-， ∴直线AB 的表达式为223y x =-+； （2）设(,0)C t ，①当90BED ∠=︒时，如图：(,2)E t ∴， ∴24102233t t -++=， 0t ∴=（舍去）或52t =， ∴5(,0)2C ； ②当90EBD ∠=︒时，过点E 作EQ y ⊥轴，垂足为点Q ，如图：90BAO ABO ∠+∠=︒Q ，90ABO QBE ∠+∠=︒，QBE BAO ∴∠=∠，ABO BEQ ∴∆∆∽， ∴AO BO BQ EQ =，即32BQ t=， ∴32BQ t =， ∴3(,2)2E t t +， ∴2341022233t t t +=-++， 0t ∴=（舍去）或118t =， ∴11(,0)8C ； 综上所述：C 点的坐标为11(,0)8或5(,0)2； （3）作BA 的垂直平分线交x 轴于点Q ，连接BQ ，过点B 作BG EC ⊥于点G ，如图：BQ AQ ∴=，BQA QAB ∴∠=∠，2BED OAB ∠=∠Q ，BQO BED ∴∠=∠，在Rt BOQ ∆中，222BQ BO OQ =+，224(3)BQ BQ ∴=+-， ∴136BQ =， ∴56QO =，∴12tan 5BO BQO OQ ∠==， ∴12tan 5BG BEG EG ∠==， 设(,0)C m ，则2(,2)3D m m -+，2410(,2)33E m m m -++， BG m ∴=，241033EG m m =-+， ∴212410533m m m =-+， 解得3516m =或0m =（舍去）， 2224102443535455(2)(2)4()4333331616192DE m m m m m ∴=-++--+=-+=-⨯+⨯=， 11455351592522192166144BDE S ED BG ∆∴=⋅=⨯⨯=． 6．【解答】解：（1）Q 抛物线2y ax bx c =++经过点(2,0)A -，(3,0)B ，(0,4)C ，∴4209304a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得23234a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为222433y x x =-++． （2）如图1，连接OP ，设点P 的坐标为(x ，2224)(03)33x x x -++<<， 90AOC ∠=︒Q ，2OA =，4OC =，12442AOC S ∆∴=⨯⨯=， 12APC AOC S S ∆∆∴=， 122AOC POC AOP APC AOC S S S S S ∆∆∆∆∆∴+-===， 21122442(4)22233x x x ∴+⨯-⨯-++=， 整理得2230x x +-=，解得11x =，23x =-（不符合题意，舍去）， ∴点P 的坐标为(1,4)．（3）存在，如图2，作BM 平分ABC ∠交y 轴于点M ，作MN BC ⊥于点N ，则90CNM ∠=︒， BM Q 是ABC ∠的平分线，MO BA ⊥，MN BC ⊥， NM OM ∴=，90BOC ∠=︒Q ，3OB =，4OC =，5BC ∴==， Q 3sin 5NM OB OCB CM BC ==∠=， 5533CM NM OM ∴==， ∴543OM OM +=， 32OM ∴=， 12MBA MBC ABC ∠=∠=∠Q ， ∴当PAB MBA ∠=∠时，22PAB MBA ABC ∠=∠=∠， 设AP 交y 轴于点Q ，则90AOQ ∠=︒， ∴312tan tan 32OQ OM PAB MBA OA OB =∠=∠===， 112122OQ OA ∴==⨯=， (0,1)Q ∴，设直线AP 的解析式为1y kx =+，则210k -+=，解昨12k =， ∴直线AP 的解析式为112y x =+， 解方程组222433112y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得1194178x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2220x y =-⎧⎨=⎩（不符合题意，舍去）， ∴点P 的坐标为9(4，17)8．7．【解答】解：（1）将点(1,0)A -，点(3,0)B 代入23y ax bx =++得： 309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨=⎩． ∴抛物线的表达式为223y x x =-++． 2223(1)4y x x x =-++=--+Q ，∴顶点(1,4)C ．（2）设AC 交y 轴于点F ，连接DF ，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，如图，(1,0)A -Q ，(1,4)C ，1OA ∴=，1OE =，4CE =．OA OE ∴=，ACFO AB ⊥Q ，CE AB ⊥，//FO CE ∴，122OF CE ∴==，F 为AC 的中点．DAC ∆Q 是以AC 为底的等腰三角形，DF AC ∴⊥．FO AD ⊥Q ，AFO FDO ∴∆∆∽． ∴AO OFOF OD =． ∴122OD =．4OD ∴=．(4,0)D ∴．设直线CD 的解析式为y kx m =+，∴440k m k m +=⎧⎨+=⎩， 解得：43163k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线CD 的解析式为41633y x =-+． ∴24163323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩，解得：1114x y =⎧⎨=⎩，2273209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．720(,)39P ∴．（3）过点P 作PH AB ⊥于点H ，如下图，则73OH =，209PH =，4OD =Q ，53HD OD OH ∴=-=，259PD ∴=．2520599PC CD PD ∴=-=-=．由（2）知：AC =设AF x =，AE y =，则CE y =．DA DC =Q ，DAC C ∴∠=∠．180CAB AEF AFE ∠+∠+∠=︒Q ，180AEF PEF CEP ∠+∠+∠=︒，又PEF CAB ∠=∠Q ，CEP AFE ∴∠=∠．CEP AFE ∴∆∆∽． ∴PCECAE AF =．∴209y ．22999(20204x y y y ∴=-+=-+．∴当y =x 即AF 有最大值94．1OA =Q ，OF ∴的最大值为95144-=． Q 点F 在线段AD 上，∴点F 的横坐标m 的最大值为54． 8．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =--， 则2(2)(5)(310)y a x x a x x =+-=--，将点C 的坐标代入上式得：24(2610)a =--， 解得：13a =-， 则抛物线的表达式为：211033y x x =-++；（2）当3t =时，点(1,0)D ，由点A 、C 的坐标得，直线AC 的表达式为：2y x =+， 当1x =时，23y x =+=，即点(1,3)E ，则BCE ∆的面积117()71222ABC ABE C E S S AB y y ∆∆=-=⨯⨯-=⨯⨯=；（3）由点C 、F 的坐标得，直线CF 的表达式为：6y x =-+， 设CF 交x 轴于点G ，则点(6,0)G ，由A 、C 、G 的坐标知，AC CG ==8AG =， ACG ∴∆为等腰直角三角形，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，则点H 是AG 的中点， 取点Q 使HQ HD =，连接CQ ，则QCH DCH ∠=∠， 根据图象的对称性，DCF ACQ ∠=∠，则CQ 即为CP 和x 轴的交点，CH AB ⊥Q ，则点(2,0)H ，而点(3,0)D ，则1HD HQ QO ===，即点(1,0)Q ；作点Q 关于AC 的对称点M ，ACG ∆Q 为等腰直角三角形，45CAH ∴∠=︒，Q 点Q 、M 关于AC 对称，则连接MA ，则45MAC ∠=︒，则90MAH ∠=︒，即AM x ⊥轴，则AMQ ∆为等腰直角三角形，则3AM AQ ==， 故点(2,3)M -，由点C 、M 的坐标得，直线CP 的表达式为：1(2)44y x =-+， 令1(2)404y x =-+=， 解得：14x =-，即另外一个点Q 的坐标为(14,0)-，综上，点Q 的坐标为：(14,0)-或(1,0)．9．【解答】解：（1）当0y =时，23100ax ax a --=， (2)(5)0a x x ∴+⋅-=，0a <Q ，12x ∴=-，25x =，2OA ∴=，90AOC ∠=︒Q ，5tan 2OC CAO OA ∴∠==， 5OC ∴=，(0,10)C a -Q ，105a ∴-=，12a ∴=-，213522y x x ∴=-++；（2）设(P t ，1(2)(5))2t t -+⋅-，设直线AP 的解析式为：y kx b =+， ∴1(2)(5)220t k b t t k b ⎧⋅+=-+⋅-⎪⎨⎪-+=⎩， ∴1(5)25k t b t⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，1(5)(5)2y t x t ∴=--+-，∴当0x =时，5y t =-，5OD t ∴=-，5(5)CD OC OD t t ∴=-=--=， Q 1()42P A CD x x ⋅-=，(2)8t t ∴⋅+=，12t ∴=，24t =-（舍去），当2t =时，1(22)(25)62y =-+⨯-=，(2,6)P ∴；（3）如图，设直线x t =交BC 于G ，连接DG ，(0,5)C Q ，(5,0)B ，∴直线BC 的解析式为：5y x =-+，OB OC =，由①知：213(,5)22P t t t -++，(0,5)D t -， (,5)G t t ∴-+，//DG OB ∴，90BOC ∠=︒Q ，45OBC OCB ∴∠=∠=︒，45DGF OBC ∴∠=∠=︒，//PG OC Q ，45PGF OCB ∴∠=∠=︒，PGF DGF ∴∠=∠，FC Q 平分PFO ∠，OFE PFE ∴∠=∠，180180OFE PFE ∴︒-∠=︒-∠，HFG PFG ∴∠=∠，FG FG =Q ，()GFH GFP ASA ∴∆≅∆，2213135(5)2222GH PG t t t t t t ∴==-++--+=-++， 21322DH DG GH t t ∴=-=-， 90FOB ADO ∠+∠=︒Q ，90DAO ADO ∠+∠=︒， DAO FOB ∴∠=∠，//AD OH ∴，∴四边形AOHD 是平行四边形，DH OA ∴=， ∴213222t t -=， 14t ∴=，21t =-（舍去），∴当4t =时，1(42)(45)32y =-⨯+⨯-=， (4,3)P ∴，14(42)122ACP S ∆∴=⨯⨯+=． 故答案为：12．10．【解答】解：（1）由题意得：04241b c b c =-+⎧⎨-=-+⎩， 解得：16b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：26y x x =--①，令260y x x =--=，解得：2x =-或3，即点(3,0)B ；（2）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：3y x =-， 设点(,3)P m m -，Q 四边形OBPQ 为平行四边形，则3PQ PB ==，则点(3,3)Q m m --，将点Q 的坐标代入抛物线表达式得：23(3)(3)6m m m -=----，解得：4m =故点P的坐标为(41+或(41；（3）存在，理由：由抛物线的表达式知，点(0,6)D-，由点A、B、D的坐标得，AD=BD=过点A作AN BD⊥于点N，则1122ABDS AB OD BD AN∆=⨯⨯=⨯⨯，即56AN⨯=，解得：AN=则sinANADMAD∠===，即45ADM MAB∠=︒=∠，则直线AM的表达式为：2y x=+或2x--②，联立①②得：226622y x x y x xy x y x⎧⎧=--=--⎨⎨=+=--⎩⎩或解得：4264x xy y==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（不合题意的值已舍去），则点M的坐标为：(4,6)或(2,4)-．11．【解答】解：（1）抛物线239344y x x=--+与坐标轴交于A，B，C三点，且点A和C在x轴上，B在y轴上，设(,0)A a，(,0)B b，(0,)C c，∴当0y=时，∴2393044x x--+=，∴2393044x x+-=，239120x x∴+-=，2340x x∴+-=，4x∴=-或1x=，(4,0)A∴-，(1,0)B，当0x =时3c =，(0,3)C ∴，设直线AC 的解析式为：y kx b =+，将点(4,0)A -和点(0,3)C 代入y kx b =+中，403k b b -+=⎧⎨=⎩， ∴343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为：334y x =+， 故答案为：(1,0)；334y x =+． （2）过点M 作//MG x 轴交于AC 于点G ，过点A 作AF MB ⊥交MB 与点F ，G ∴点的纵坐标与M 点的纵坐标相同，M Q 为抛物线239344y x x =--+上的一点， 设239(,3)44M m m m --+， 又G Q 点在直线AC 上，直线AC 的解析式为：334y x =+， ∴2239(3,3)44G m m m m ----+， 24MG m m ∴=--，又//MG AB Q ， ∴245MD MG m m DB AB --==，Q 12S ADM MD AF =⋅V ，12S ADB DB AF =⋅V ， ∴SADM DM SADB DB=， ∴2224414(2)5555SADM DM MG m m m m m SADB DB AB --+====-=-++， ∴SADM SADB 的最大值为45， 故答案为：45． （3）过点C 作//CP x 轴，延长CM 交x 轴于点T ，90MCO ∴∠=︒，MCP MTA ∠=∠，29090ACO ACM ACO PCM MCT ∠+∠=︒∠+∠+∠=︒Q ， MCP MCA ∴∠=∠，MCA MTA ∴∠=∠，ACT ∴∆为等腰三角形，AC AT ∴=．在Rt ACO ∆中，5AC ， 5AC AT ∴==，549OT AT OA ∴=+=+=，(9,0)T ∴-，设直线CT 的解析式为：y kx b =+，将点(9,0)T -和点(0,3)C 代入y kx b =+中，903k b b -+=⎧⎨=⎩，∴133k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线CT 的解析式为：133y x =+， M Q 是直线CT 和抛物线239344y x x =--+的交点，40m -<<， ∴令239133443m m m --+=+，292740m m m ∴++=，29310m m ∴+=，(931)00m m m ∴+==（舍去）或319m =-． 故答案为：319-．12．【解答】解：（1）3362OA OB OC ===Q ，故点(2,0)B 、点(0,4)C -，设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =--， 则2(6)(2)(412)y a x x a x x =+-=+-， 即124a -=-， 解得：13a =，214433y x x ∴=+-；（2）过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．(6,0)A -Q ，(0,4)C -，设直线AC 的表达式为：y kx b =+，则106b k b =-⎧⎨=-+⎩， 解得：234k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则直线AC 的表达式为：243AC y x =--， 设214(,4)33D x x x +-，则2(,4)3F x x --， 则22141(4)(4)23333DF x x x x x =---+-=--， 则2111||6(2)(3)99223ACD ADF CDF C A S S S DF x x x x x ∆∆∆=+=⋅-=⨯⨯--=-++…， ∴当3x =-时，ACD ∆面积的最大值为9；（3）过点A 作AC 垂线交CD 延长线于点Q ，过点Q 作QM x ⊥轴于点M ． ①当BCO DCG ∠=∠，即12∠=∠时， 566490∠+∠=∠+∠=︒Q ，54∴∠=∠，又90QMA AOC ∠=∠=︒， QMA AOC ∴∆∆∽， ∴QA QM MA AC AO OC==， 又1tan 2tan 12QA OB AC OC ∠==∠==， ∴1642QM MA ==， 3QM ∴=，2MA =，(8,3)Q ∴--又(0,4)C -，∴直线QC 的表达式：148y x =--， 联立得：214814433y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 解得：0x =或358x =-，358x ∴=-；②当BCO CDG ∠=∠，即13∠=∠时，由①可知QMA AOC ∆∆∽， ∴QA QM MAAC AO OC ==，又DG AC ⊥Q ，QA AC ⊥，//DG AQ ∴，3AQC ∴∠=∠，1tan tan 3tan 12ACOB AQC QA OC ∴∠==∠=∠==，∴264QAQMMAAC ===，12QM ∴=，8MA =，(14,12)Q ∴--，又(0,4)C -Q ，∴直线QC 的表达式：447y x =-， 联立得：244714433y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得：0x =或167x =-，167x ∴=-，综上，存在，点D 其横坐标为：358-或167-． 13．【解答】解：（1）将(1,0)A -、(4,0)B 代入22y ax bx =++得：0201642a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++， 221313252()22228y x x x =-++=--+Q ， ∴顶点M 的坐标为3(2，25)8； （2）过D 点作//DH y 轴，交BC 于点H ，如图所示：设(D m ，21325())228m --+，直线BC 的解析式为y kx n =+， 由（1）可知：(4,0)B ，(0,2)C ，402k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：122k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，直线BC 的解析式为：122y x =-+， 1(,2)2H m m ∴-+， 22132511())(2)222822DH m m m m ∴=--+--+=-+， .//DH y 轴，~OCE DHE ∴∆∆， ∴221212(2)124m m DE DH m OE OC -+===--+ Q 103<， ∴当2m =时，DE OE 的值最大， (2,3)D ∴．（3）当点G 在BC 上方时，连接CG ，GCB ABC ∠=∠Q ，//CG AB ∴，又(0,2)C Q ，2G y ∴=，∴2132222x x -++=，解得：0x =（舍去）或3x =；当点G 在BC 下方时，CG 交x 轴于H ，//GCB ABC ∠=Q ，CH BH ∴=，设(,0)H u ，在Rt COH ∆中，222OH OC CH +=，2222(4)u u ∴+=-， 解得：32u =，3(2H ∴，0)．设直线CG 解析式为2y kx =+，把点H 代入得：322y k =+， 解得：43k =-，所以直线CG 解析式为423y x =-+．G ∴点的坐标满足：242313222y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得：02x y =⎧⎨=⎩（舍去）或173509x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 17(3G '∴，50)9-， 综上所述，若GCB ABC ∠=∠，点G 的坐标为(3,2)或17(3，50)9-． 14．【解答】（1）①解：令230y ax ax =+=， (3)0ax x ∴+=，解得0x =或3-，(3,0)A ∴-；②证明：如图，连接PC ，连接PB ，延长交x 轴于点M ，P Q e 过O 、A 、B 三点，B 为顶点， PM OA ∴⊥，90PBC BDM ∠+∠=︒， 又PC PB =Q ，PCB PBC ∴∠=∠，CE Q 为切线，90PCB ECD ∴∠+∠=︒，又BDM CDE ∠=∠Q ，ECD CDE ∴∠=∠，CE DE ∴=；（2）①证明：如图，a =Q ，22233)2y ax ax x ∴=+=-=++，令0y =，可得(3)0x +=， 0x ∴=或3-，(3,0)A ∴-，3(2B -，3OA ∴=，3AB OB ===， OAB ∴∆是等边三角形，60BAO ABO AOB ∴∠=∠=∠=︒，60ACB AOB ∴∠=∠=︒，60ACB BAE ∴∠=∠=︒，CAE OBE ∠=∠Q ，60BAO ABO ∠=∠=︒， BAO CAE AEBA ∴∠+∠=∠，60BO OBE +∠=︒， BAC EBA ∴∠=∠，BAC EBA ∴∆∆∽， ∴AB AC BE AB=， 2AB AC BE ∴=⋅；②解：设OE m =，点D 的坐标为(,0)t ， CAE CBO ∠=∠Q ，CAE OBE ∠=∠， CBO EBO ∴∠=∠，由角平分线成比例定理可得：BD ODBE OE =，BD =QBE =，∴tm -=，33tm t -∴=+或t （舍去）， 131133t m t t +∴-==+， ∴111113OD OE t m -=--=．。
二次函数压轴题变换思考角度(讲义及答案)
11
5
2. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一交点为 A(-6，0)，与 y 轴的交点为 C(0，3)，且经过点(-2，3)． （1）求抛物线的表达式． （2）若点 B 是抛物线与 x 轴的另一交点，点 D，M 在线段 AB 上，点 N 在线段 AC 上，∠DCB=∠CDB，CD 是 MN 的垂直 平分线，求点 M 的坐标．
2
2线
l
上，理由略；②
M1(
3 2
，
4)
，M
2
(
1 6
，
20 9
)
5. （1） y x2 2x 3
（2）T ( 3，15) 24
6. （1） y 2x2 2x 2 2
（2） E1( 2，2 2) ， E2 (1，1) （3） P1(1，2 2) ， P2 (0，2 2)
4
精讲精练
1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x2 1 与 y 轴相 4
交于点 A，点 B 与点 O 关于点 A 对称． （1）填空：点 B 的坐标是___________； （2）过点 B 的直线 y=kx+b（其中 k＜0）与 x 轴相交于点 C， 过点 C 作直线 l 平行于 y 轴，P 是直线 l 上一点，且 PB=PC， 求线段 PB 的长（用含 k 的式子表示），并判断点 P 是否在抛 物线上，说明理由； （3）在（2）的条件下，若点 C 关于直线 BP 的对称点 C′恰好 落在该抛物线的对称轴上，求此时点 P 的坐标．
6
3. 如图，抛物线 y x2 2x 3 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交 于点 C，直线 l： y 3 x 3过点 C，交 x 轴于点 E．点 Q 在 4 x 轴的正半轴上运动，过 Q 作 y 轴的平行线，交直线 l 于点 M， 交抛物线于点 N．连接 CN，将△CMN 沿 CN 翻折，M 的对 应点为 M′．探究：是否存在点 Q，使得 M′恰好落在 y 轴上？ 若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数专题：角度问题
3217564321-10-9-1-2-4-3-5-6-7-8-6-5-3-4-2-1O二次函数专题：角度一、有关角相等1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点(0C ，3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由. 对于第（2）问，比较角的大小a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c 、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q 若不存在，说明理由.3、已知：如图，二次函数y =a (x +1)2－4的图象与x C 是二次函数y =a (x +1)2－4的图象的顶点，CD . （1）求a 的值.（2）点M 在二次函数y =a (x +1)2－4图象的对称轴上，且∠AMC =∠BDO ，求点M 的坐标． 4、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=21=对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点. （1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.二、特殊角 （一）、450角1、如图，在平面直角坐标系xoy 中，点P 为抛物线2x y =上一动点，点A 的坐标为（4,2），若点P 使∠AOP ＝450，请求出点P 的坐标。
2025年中考数学二轮复习专题：二次函数之角度问题
2025年中考数学二轮复习专题：二次函数之角度问题一．角度相等1．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．①如图1．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；②如图2．当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．2．已知：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），B （3，0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），①当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；②如图2，当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明；（3）若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标．4．已知抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣2，0）（1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标．（2）若点M是线段AC上一个动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一个动点，设AN＝t（t＞0）①如图1，当点N运动到AB的中点时，作MN∥y轴交AC于点M．求证：∠BMN＝∠BAC．②如图2，当点N在运动过程中，点M总存在两个不同的位置使∠BMN＝∠BAC，求出t的范围．③当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得∠GNB＝∠BAC且GN恰好平分∠AGB？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，已知点H的坐标为（0，﹣1），设点G为y轴左侧抛物线上的一个动点，试猜想：是否存在这样的点G，使△GAH和△GCH的面积相等？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，说明理由．（3）如图2，过x轴上点E（﹣2，0）作ED⊥AB交抛物线于点D①在y轴上找一点F，使△EDF的周长最小，求出此时点F的坐标；②在①的条件下，若线段BD上有一点P满足∠EPF＝∠FDP，求线段PF的长．6．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），P为x轴正半轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P在B点右侧，过C垂直于DP的直线交抛物线于点H，交DP于点G，求证：PG•DG＝3CG•GH；（3）如图2，若点P在线段OB上，DP交直线BC于点E，当△CDE中有一个角与∠ABD相等，求点P的横坐标．7．如图，已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0），对称轴是直线x＝．（1）求该二次函数的表达式；（2）如图1，连接AC，若点P是该抛物线上一点，且∠P AB＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图2，点P是该抛物线上一点，点Q为射线CB上一点，且P、Q两点均在第四象限内，线段AQ与BP交于点M，△ABM与△PQM的面积相等，当∠PBQ＝∠AQB时，请问线段PQ的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象与x轴交于点A，B两点，点A坐标为（3，0），点B的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若将直线AC绕点A顺时针旋转，交抛物线于一点P，交y轴的正半轴于点D，若∠BAP＝∠BAC，连接PC，求此时△APC的面积；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点M，使得线段BM被直线AP平分？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+t与坐标轴交于A、C两点，经过A、C 两点的抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴的另一交点B的坐标为（2，0），连接BC．（1）填空：t＝，a＝，b＝；（2）若点Q在直线AC下方的抛物线上一动点，连接AQ、CQ2，当S△AQC＝12，求点Q 的坐标；（3）若点Q在直线AC下方的抛物线上一动点，当CA恰好平分∠BCQ时，求点Q横坐标．10．已知二次函数y＝﹣+bx+c图象与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（4，0）（点B在点C的左侧）．点P是该图象位于第一象限上的一动点．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点P作PH∥y轴，交AC于点H，①当点P在何处时，HP的值最大，最大值是多少？②若△P AH中恰有一个角与∠ACB相等，求此时点P的横坐标．11．如图，已知二次函数y＝x2+bx﹣4的图象经过点A（3，﹣4），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AB，BC．（1）填空：b＝；（2）点P是直线AB下方抛物线上一个动点，过点P作PT⊥x轴，垂足为T，PT交AB 于点Q，求线段PQ的最大值；（3）点D是y轴正半轴上一点，若∠BDC＝∠ABC，求点D的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过A（3，0），B（﹣1，0）两点，抛物线与y轴交于点D，顶点为C，点F为直线AC上方抛物线上一动点．（1）求C、D两点坐标（用含a的式子表示）；（2）当a＝﹣时，过点F作FG⊥AD于点G，是否存在点F，使得△FGD中的某个角恰好等于∠BAD的两倍？若存在，求点F的横坐标；若不存在，请说明理由．（3）当AD⊥CD时，过点C作CE⊥x轴于点E，求出此时的a值，并求出此时使得∠FDC＝∠ACE的点F坐标．13．如图1，抛物线与x轴交于点A、B（4，0）（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，6），点P是抛物线上一个动点，连接PB，PC，BC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P的横坐标为3，求△BPC的面积；（3）如图2所示，当点P在直线BC上方运动时，连接AC，求四边形ABPC面积的最大值，并写出此时P点坐标．（4）若点M是抛物线上一动点，且满足∠MBC＝∠ACO，请直接写出点M的坐标．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，直线y＝mx+n经过B，C两点，与对称轴交于点E．（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；（2）点M是直线BC上方抛物线上的动点，连接MB，ME，得到△MBE，求出△MBE 面积的最大值及此时点M的坐标；（3）直线y＝kx（k＞0）交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△CDE 相似，求k的值；（4）点N在对称轴上，满足∠BNC＝∠BAC，求出点N的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中OC＝4，2b﹣c＝﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为第一象限的抛物线上一点，连接PB，使∠PBC＝∠CBO，求点P 坐标；（3）如图3，点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，当的值最大时，求出此时点D的坐标并求出的最大值．16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF+CF的最小值．17．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1．（1）a＝；（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥AC于点E，过P作PF⊥x 轴于点F，交直线AC于点G，求PE+PG的最大值；（3）在抛物线上是否存在Q，使得∠QOB+∠BCO＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．二．角度倍数18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x＝，点B的坐标为（4，0）．（1）抛物线的解析式是；（2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当∠ABP＝2∠ABC时，求出点P的坐标；（3）若M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点N，使得点B，C，M，N构成的四边形是菱形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．19．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B 两点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C，与x轴交于另一点B（1，0），顶点为D．（1）求抛物线对应函数表达式及顶点D的坐标；（2）过A点作射线交直线AC下方的抛物线上于点E，使∠DAE＝45°，求点E的坐标；（3）作CG平行于x轴，交抛物线于点G，点H为线段CD上的点，点G关于∠GHC的平分线的对称点为点M，若，求点H坐标；（4）点M是直线AC上方抛物线上的一动点，MH⊥AC于H，是否存在点M使△MHC中某个角等于∠OCB的两倍．若存在直接写出M的横坐标；若不存在，说明理由．21．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝x ﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ 的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．23．如图，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），C（0，2），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是AC上方抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值．（3）过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得∠DCF等于∠BAC 的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．24．如图，抛物线的顶点为P（1，4），且与y轴交于C（0，3），与x轴交于点A、B，过点P作直线PD∥x轴，交y轴于点D．（1）求抛物线的对应函数表达式；（2）在抛物线上取一点M，过点M作直线PD的垂线，垂足为N，使得以P、M、N为顶点的三角形与△PBC相似，求出点M的坐标；（3）在直线PB上是否存在一点Q，使得∠PQC＝2∠PBC？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．三．角度三倍问题（共2小题）25．如图，已知抛物线经过点A（﹣6，0），B（2，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为该抛物线上一动点．①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求EF的最大值；②若∠PCB＝3∠OCB，求点P的横坐标．26．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为该抛物线上一点，且点P的横坐标为m．①当点P在直线AC下方时，过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E，作PF∥y轴．交直线AC于点F，求PE+PF的最大值；②若∠PCB＝3∠OCB，求m的值．四．角度最大问题27．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）如图1，M是抛物线顶点，点P在抛物线上，若直线AP经过△CBM外接圆的圆心，求点P的横坐标；（3）如图2，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接NA分别交BC、y轴于D、E 两点，若△NBD、△CDE的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值；（4）点Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，请直接求出点Q的坐标．。
二次函数专题一：角度问题
二次函数专题一：角度一、有关角相等1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点(0C ，3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ，抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由.思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ）对于第（2）问，比较角的大小a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c 、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d 这一条 解：（1）∵CD∥x 轴且点C （0，3），∴设点D 的坐标为(x ，3) ． ∵直线y= x+5经过D 点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1，y ）， 又∵直线y= x+5经过M 点，∴y =－1+5，y =4．即M （－1，4）．∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++． ∵点C （0，3）在抛物线上，∴a=－1．即抛物线的解析式为223y x x =--+．…………3分 （2）作BP⊥AC 于点P ，MN⊥AB 于点N ．由（1）中抛物线223y x x =--+可得 点A （－3，0），B （1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=32．∴∠PAB＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22． ∴PC=AC－PA=2．在Rt△BPC 中，tan∠BCP=PBPC =2．在Rt△ANM 中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tan∠NAM=MNAN =2．∴∠BCP＝∠NAM． 即∠ACB＝∠MAB．后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、（2012朝阳一模第24题8分）24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点N （2,－5），过点N 作x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P （x ,y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为直角三角形时，求点P 的坐标；（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q 点Q 的坐标；若不存在，说明理由.24. 解：（1）∵32++=bx ax y 过点M 、N （2，－5），MN 由题意，得M （4-，5-）. ∴⎩⎨⎧-=+--=++.53416,5324b a b a解得 ⎩⎨⎧-=-=.2,1b a∴此抛物线的解析式为322+--=x x y . …………………………………2分 （2）设抛物线的对称轴1-=x 交MN 于点G ，若△DMN 为直角三角形，则32121===MN GD GD . ∴D 1（1-，2-），2D （1-，8-）. ………………………………………4分 直线MD 1为1-=x y ，直线2MD 为9--=x y .将P （x ，322+--x x ）分别代入直线MD 1，2MD 的解析式，得1322-=+--x x x ①，9322--=+--x x x ②.解①得 11=x ，42-=x （舍），∴1P （1,0）. …………………………………5分 解②得 33=x ，44-=x （舍），∴2P （3,－12）. ……………………………6分 （3）设存在点Q （x ，322+--x x ），使得∠QMN =∠CNM.① 若点Q 在MN 上方，过点Q 作QH⊥MN ，交MN 于点H ，则4tan =∠=CNM MHQH .即）（445322+=++--x x x . 解得21-=x ，42-=x （舍）.∴1Q （2-，3）. ……………………………7分 ② 若点Q 在MN 下方，同理可得2Q （6，45-）. …………………8分3、（2012西城一模25题8分）25．平面直角坐标系xOy 中，抛物线y x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 点为D ．(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若2=-QB QA ，求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 EA∴ 1EP EA ==． ∴ 点1P 的坐标为1(2,2P+．…………………………………………… 5分 由对称性得点2P 的坐标为2(2,2P -． ……………………………… 6分∴符合题意的点P 的坐标为1(2,2P +、2(2,2P --. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11） 若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ QA QB -=∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin451A N BA ''=⋅︒=，cos451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =． 经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分二、特殊角 （一）、450角1、如图，在平面直角坐标系xoy 中，点P 为抛物线2x y =上一动点，点A 的坐标为（4,2），若点P 使∠AOP ＝450，请求出点P 的坐标。
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1 二次函数当中的角度问题
题型一：找个点，满足45°或90°(见 45°和90°造K 形)
【例1】如图，已知二次函数解析式为2
x y =，抛物线上是否存在点P 使得∠POx 为45°?
【例2】如果在上题中，有点A )0,4
1
(，是否存在点P 使得∠PAx 为45°
【例3】如图，二次函数为2
x y =，点A 坐标为)2,4(，抛物线上是否存在点P ，使得∠AOP =45°？
2 【例4】抛物线经过点A )0,3(-B )8,1(-C （6,0），直线232+=
x y 与y 轴交于点D ，抛物线上是否存在点P 使得∠PAD =45°？
【例5】已知二次函数为322
--=x x y ，与x 轴交于A 、B 两点。
在抛物线上是否存在点P 使得∠PAC 为锐角？若存在，请求出x 的取值范围。
【实战演练】
1.如图，抛物线432
++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D(3，4)在抛物线上，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且∠DBP =45°，求点P 的坐标．
3 2.抛物线a bx ax y 42
-+=经过点A （1,0）和C （0,4），与x 轴交于另一点B 。
（1）求抛物线解析式
（2）已知点D （m,1-m ）在抛物线第二象限上，求点D 关于直线BC 对称点坐标。
（3）在（2）的条件下，连接BD ，在抛物线上是否存在点P 使得∠DBP=45°，求点P 坐标。
题型二 找个点满足角度相等
【例1】抛物线322
++-=x x y 与并轴分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于C 点，抛物线的顶点为D ，连接BC 、BD ，抛物线上是否存在一点P ，使得∠PCB=∠CBD ，若存在，求P 点的坐标，不存在，说明理由。
【例2】抛物线解析式为322
--=x x y ，交x 轴于A 、B 两点，图形上是否存在点P 使得∠PCO ＞∠ACO 若存在，请求出x 的取值范围。
4 题型三 找个点，满足特殊的数量关系（和差倍分，三角函数值等）
【例1】若抛物线24y x x =+-的顶点为B ，与轴正半轴交于A 点，在抛物线对称轴右侧一点P ，使tan 13
PBA ∠=，求P 点的坐标；
【例2】抛物线342
+-=x x y ，交x 轴于M 、N 点（M 点N 点左边），交y 轴于D 点，点E 为第一象限抛物线上的点，若∠EMN =2∠ODM，求E 点坐标．
【例3】．如图，抛物线342
+-=x x y 交x 轴于A(l ，O)、B 两点，交，，轴于C(0，3)；抛物线上是否存在点P ，使∠PCB+ ∠ACB= 45°?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；。