初二下学期数学练习题含复习资料及解析

初二下学期数学练习题一、选择题（每小题3分）1．下列各数是无理数的是（）A．B．﹣C．πD．﹣2．下列关于四边形的说法，正确的是（）A．四个角相等的菱形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．两条对角线相等的四边形是菱形3．使代数式有意义的x的取值范围（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＞3 D．x≥2且x≠34．如图，将△绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，若∠45°，∠B′=110°，则∠′的度数是（）A．55°B．75°C．95°D．110°5．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线2（k＜0）上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y12C．y1＜y2D．不能比较6．如图，在四边形中，对角线，相交于点E，∠90°，4，3，10，则四边形的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．247．不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞18．若2a﹣10，则（b﹣a）2016的值为（）A．﹣1 B．1 C．52015D．﹣520159．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．①B．②C．③D．④10．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③B．②③C．③④D．②④11．如图，在□中，已知＝8㎝，＝6㎝，平分∠交边于点E，则等于（）A. 2B. 4cmC. 6D. 8cm12．一果农贩卖的西红柿，其重量与价钱成一次函数关系．小华向果农买一竹篮的西红柿，含竹篮称得总重量为15公斤，付西红柿的钱26元，若再加买0.5公斤的西红柿，需多付1元，则空竹篮的重量为多少？（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．313．如图，在▱中，对角线与相交于点O，过点O作⊥交于点E，交于点F，连接、．则四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形14．已知＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A．B．C．﹣D．﹣15．某商品原价500元，出售时标价为900元，要保持利润不低于26%，则至少可打（）A．六折B．七折C．八折D．九折16．已知2+的整数部分是a，小数部分是b，则a22=（）A．13﹣2B．9+2C．11+D．7+417．某星期天下午，小强和同学小颖相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小颖到了后两人一起乘公共汽车回学校，图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用时间x（分）之间的函数关系，下列说法中错误的是（）ABCD第11题图EA．小强乘公共汽车用了20分钟B．小强在公共汽车站等小颖用了10分钟C．公共汽车的平均速度是30公里/小时D．小强从家到公共汽车站步行了2公里17．如图，直线﹣与3的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣＞3＞0的取值范围为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣3＜x＜﹣2 D．﹣3＜x＜﹣119．如图，四边形是菱形，8，6，⊥于H，则（）A．B．C．12 D．2420．如图，正方形中，点E、F分别在、上，△是等边三角形，连接交于G，下列结论：①；②∠15°，③垂直平分，④，⑤S△△，其中正确结论有（）个．A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共4小题，满分12分）21．已知直线2（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．22．如图所示，正方形的面积为12，△是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为．23．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分被为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为．24．若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）25．（1）计算（+1）（﹣1）﹣3（2）解不等式组，并在数轴上表示它的解集解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．26．如图，直线l1的解析式为﹣2，l1与x轴交于点B，直线l2经过点D（0，5），与直线l1交于点C（﹣1，m），且与x轴交于点A（1）求点C的坐标及直线l2的解析式；（2）求△的面积．27．如图，在△中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接．（1）证明：；（2）当△满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．28．如图，点P是正方形内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△沿点A旋转至△′，连结′，并延长与相交于点Q．（1）求证：△′是等腰直角三角形；（2）求∠的大小．29．小颖到运动鞋店参加社会实践活动，鞋店经理让小颖帮助解决以下问题：运动鞋店准备购进甲乙两种运动鞋，甲种每双进价80元，售价120元；乙种每双进价60元，售价90元，计划购进两种运动鞋共100双，其中甲种运动鞋不少于65双．（1）若购进这100双运动鞋的费用不得超过7500元，则甲种运动鞋最多购进多少双？（2）在（1）条件下，该运动鞋店在6月19日“父亲节”当天对甲种运动鞋以每双优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种运动鞋价格不变，请写出总利润w与a的函数关系式，若甲种运动鞋每双优惠11元，那么该运动鞋店应如何进货才能获得最大利润？2015-2016学年山东省泰安市新泰市八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分）1．下列各数是无理数的是（）A．B．﹣C．πD．﹣【考点】无理数．【分析】根据无理数的判定条件判断即可．【解答】解： =2，是有理数，﹣ =﹣2是有理数，∴只有π是无理数，故选C．【点评】此题是无理数题，熟记无理数的判断条件是解本题的关键．2．下列关于四边形的说法，正确的是（）A．四个角相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形D．两条对角线相等的四边形是菱形【考点】多边形．【分析】根据菱形的判断方法、正方形的判断方法逐项分析即可．【解答】解：A、四个角相等的菱形是正方形，正确；B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误；C、邻边相等的平行四边形是菱形，错误；D、两条对角线平分且垂直的四边形是菱形，错误；故选A【点评】本题考查了对菱形、正方形性质与判定的综合运用，特殊四边形之间的相互关系是考查重点．3．使代数式有意义的x的取值范围（）A．x＞2 B．x≥2 C．x＞3 D．x≥2且x≠3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】分式有意义：分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意，得，解得，x≥2且x≠3．故选D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．4．如图，将△绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，若∠45°，∠B′=110°，则∠′的度数是（）A．55°B．75°C．95°D．110°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可得∠∠B′，然后利用三角形内角和定理列式求出∠，再根据对应边、A′C的夹角为旋转角求出∠′，然后根据∠′=∠∠′计算即可得解．【解答】解：∵△绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠∠B′=110°，∠′=50°，在△中，∠180°﹣∠A﹣∠180°﹣45°﹣110°=25°，∴∠′=∠∠′=50°+25°=75°．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，熟记旋转变换的对应的角相等，以及旋转角的确定是解题的关键．5．已知点（﹣3，y1），（1，y2）都在直线2（k＜0）上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y12C．y1＜y2D．不能比较【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】直线系数k＜0，可知y随x的增大而减小，﹣3＜1，则y1＞y2．【解答】解：∵直线2中k＜0，∴函数y随x的增大而减小，∵﹣3＜1，∴y1＞y2．故选A．【点评】本题考查的是一次函数的性质．解答此题要熟知一次函数：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．6．如图，在四边形中，对角线，相交于点E，∠90°，4，3，10，则四边形的面积为（）A．6 B．12 C．20 D．24【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据勾股定理，可得的长，根据平行四边形的判定，可得四边形的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．【解答】解：在△中，由勾股定理，得5．∵3，5，∴四边形是平行四边形．四边形的面积为4×（3+3）=24，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．7．不等式组的解集是 x＞2，则m的取值范围是（）A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1【考点】解一元一次不等式组；不等式的性质；解一元一次不等式．【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式组的解集得到2≥1，求出即可．【解答】解：，由①得：x＞2，由②得：x＞1，∵不等式组的解集是 x＞2，∴2≥1，∴m≤1，故选C．【点评】本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集和已知得出2≥1是解此题的关键．8．若2a﹣10，则（b﹣a）2016的值为（）A．﹣1 B．1 C．52015D．﹣52015【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个非负数等于0列方程组求得a和b的值，然后代入求解．【解答】解：根据题意得：，解得：，则（b﹣a）2016=（﹣3+2）2016=1．故选B．【点评】本题考查了非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个非负数等于0，正确解方程组求得a和b的值是关键．9．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的特点进行判断即可．【解答】解：应该将②涂黑．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③矩形；④对角线互相垂直的四边形．A．①③B．②③C．③④D．②④【考点】中点四边形．【分析】有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据此可知顺次连接对角线垂直的四边形是矩形．【解答】解：⊥，E，F，G，H是，，，的中点，∵∥，∥，∴∥，同理；∥，∴四边形是平行四边形．∵⊥，∴⊥，∴四边形是矩形．所以顺次连接对角线垂直的四边形是矩形．而菱形、正方形的对角线互相垂直，则菱形、正方形均符合题意．故选：D．【点评】本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，从而可求解．11．已知a，b，c为△三边，且满足（a2﹣b2）（a22﹣c2）=0，则它的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【考点】等腰直角三角形．【分析】首先根据题意可得（a2﹣b2）（a22﹣c2）=0，进而得到a222，或，根据勾股定理逆定理可得△的形状为等腰三角形或直角三角形．【解答】解：（a2﹣b2）（a22﹣c2）=0，∴a22﹣c2，或a﹣0，解得：a222，或，∴△的形状为等腰三角形或直角三角形．故选D．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a222，那么这个三角形就是直角三角形．12．已知果农贩卖的西红柿，其重量与价钱成一次函数关系．今小华向果农买一竹篮的西红柿，含竹篮称得总重量为15公斤，付西红柿的钱26元，若他再加买0.5公斤的西红柿，需多付1元，则空竹篮的重量为多少公斤？（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【考点】一次函数的应用．【分析】设价钱y与重量x之间的函数关系式为，由（15，26）、（15.5，27）利用待定系数法即可求出该一次函数关系式，令0求出x值，即可得出空蓝的重量．【解答】解：设价钱y与重量x之间的函数关系式为，将（15，26）、（15.5，27）代入中，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为2x﹣4．令0，则2x﹣4=0，解得：2．故选B．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出价钱y与重量x之间的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，根据给定条件利用待定系数法求出函数关系式是关键．13．如图，在▱中，对角线与相交于点O，过点O作⊥交于点E，交于点F，连接、．则四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【分析】首先利用平行四边形的性质得出，∠∠，进而得出△≌△，再利用平行四边形和菱形的判定得出即可．【解答】解：四边形是菱形，理由：∵在▱中，对角线与相交于点O，∴，∠∠，∴在△和△中，∴△≌△（），∴，∴四边形平行四边形，∵⊥，∴平行四边形是菱形．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．14．已知＞0，化简二次根式x的正确结果为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二次根式的性质与化简．【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．【解答】解：根据题意，＞0，得x和y同号，又x中，≥0，得y＜0，故x＜0，y＜0，所以原式﹣．故答案选D．【点评】主要考查了二次根式的化简，注意开平方的结果为非负数．15．某星期天下午，小强和同学小颖相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小颖到了后两人一起乘公共汽车回学校，图中折线表示小强离开家的路程y（公里）和所用时间x（分）之间的函数关系，下列说法中错误的是（）A．小强乘公共汽车用了20分钟B．小强在公共汽车站等小颖用了10分钟C．公共汽车的平均速度是30公里/小时D．小强从家到公共汽车站步行了2公里【考点】函数的图象．【分析】直接利用函数图象进而分析得出符合题意跌答案．【解答】解：A、小强乘公共汽车用了60﹣30=30（分钟），故此选项错误；B、小强在公共汽车站等小颖用了30﹣20=10（分钟），正确；C、公共汽车的平均速度是：15÷0.5=30（公里/小时），正确；D、小强从家到公共汽车站步行了2公里，正确．故选：A．【点评】此题主要考查了函数图象，正确利用图象得出正确信息是解题关键．16．某商品原价500元，出售时标价为900元，要保持利润不低于26%，则至少可打（）A．六折B．七折C．八折D．九折【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．【分析】由题意知保持利润不低于26%，就是利润大于等于26%，列出不等式．【解答】解：设打折为x，由题意知，解得x≥7，故至少打七折，故选B．【点评】要抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．17．如图，直线﹣与3的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣＞3＞0的取值范围为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．﹣3＜x＜﹣2 D．﹣3＜x＜﹣1【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】解不等式3＞0，可得出x＞﹣3，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出不等式﹣＞3的解集，结合二者即可得出结论．【解答】解：∵3＞0∴x＞﹣3；观察函数图象，发现：当x＜﹣2时，直线﹣的图象在3的图象的上方，∴不等式﹣＞3的解为x＜﹣2．综上可知：不等式﹣＞3＞0的解集为﹣3＜x＜﹣2．故选C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解不等式﹣＞3．本题属于基础题，难度不大，解集该题型题目时，根据函数图象的上下位置关键解不等式是关键．18．已知2+的整数部分是a，小数部分是b，则a22=（）A．13﹣2B．9+2C．11+D．7+4【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算出的大小，从而得到a、b的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵1＜3＜4，∴1＜＜2．∴1+2＜2+＜2+2，即3＜2+＜4．∴3，﹣1．∴a22=9+3+1﹣2=13﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，根据题意求得a、b的值是解题的关键．19．如图，四边形是菱形，8，6，⊥于H，则（）A．B．C．12 D．24【考点】菱形的性质．【分析】设对角线相交于点O，根据菱形的对角线互相垂直平分求出、，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可．【解答】解：如图，设对角线相交于点O，∵8，6，∴×8=4，×6=3，由勾股定理的，5，∵⊥，∴S菱形，即5×8×6，解得．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程．20．如图，正方形中，点E、F分别在、上，△是等边三角形，连接交于G，下列结论：①；②∠15°，③垂直平分，④，⑤S△△，其中正确结论有（）个．A．5 B．4 C．3 D．2【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】由正方形和等边三角形的性质得出△≌△，从而得出∠∠，，①正确；②正确；由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，③正确；设，由勾股定理和三角函数就可以表示出与，得出④错误；由三角形的面积得出⑤错误；即可得出结论．【解答】解：∵四边形是正方形，∴，∠∠∠∠90°．∵△等边三角形，∴，∠60°．∴∠∠30°．在△和△中，，∴△≌△（），∴（故①正确）．∠∠，∴∠∠30°，即∠15°（故②正确），∵，∴﹣﹣，即，∵，∴垂直平分．．设，由勾股定理，得，，60°60°=2×60°，∴，∴，∴﹣，∴﹣x≠x，（故④错误），∵S△，S△，＜，∴S△＜S△，故⑤错误；综上所述，正确的有①②③，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．二、填空题（本大题共4小题，满分12分）21．已知直线2（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是7≤a≤9 ．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据题意得到x的取值范围是2≤x≤3，则通过解关于x的方程2（3﹣a）=0求得x的值，由x的取值范围来求a的取值范围．【解答】解：∵直线2（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），∴2≤x≤3，令0，则2（3﹣a）=0，解得，则2≤≤3，解得7≤a≤9．故答案是：7≤a≤9．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数解析式与一元一次方程的关系解得x的值是解题的突破口．22．如图所示，正方形的面积为12，△是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为2．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【分析】由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为F点．此时最小，而是等边△的边，，由正方形的面积为12，可求出的长，从而得出结果．【解答】解：连接，与交于点F．∵点B与D关于对称，∴，∴最小．∵正方形的面积为12，∴2．又∵△是等边三角形，∴2．故所求最小值为2．故答案为：2．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．23．在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分被为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（5，﹣1）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可．【解答】解：如图，A点坐标为（0，2），将△绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）．故答案为：（5，﹣1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．24．若关于x的不等式组有4个整数解，则a的取值范围是﹣≤a＜﹣．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：，由①得，x＞8，由②得，x＜2﹣4a，∵此不等式组有解集，∴解集为8＜x＜2﹣4a，又∵此不等式组有4个整数解，∴此整数解为9、10、11、12，∵x＜2﹣4a，x的最大整数值为12，，∴12＜2﹣4a≤13，∴﹣≤a＜﹣．【点评】本题是一道较为抽象的中考题，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于a的不等式组，临界数的取舍是易错的地方，要借助数轴做出正确的取舍．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）25．（1）计算（+1）（﹣1）﹣3（2）解不等式组，并在数轴上表示它的解集解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．【考点】二次根式的混合运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】（1）利用平方差公式、二次根式的性质化简计算即可；（2）利用解一元一次不等式组的一般步骤解出不等式组，把解集在数轴上表示出来．【解答】解：（1）原式=（）2﹣12×3﹣3×=3﹣1﹣2=2+；（2），解①得，x＜2，解②得，x≥﹣1，则不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算、一元一次不等式组的解法，掌握二次根式的和和运算法则、一元一次不等式组的解法是解题的关键．26．如图，直线l1的解析式为﹣2，l1与x轴交于点B，直线l2经过点D（0，5），与直线l1交于点C（﹣1，m），且与x轴交于点A（1）求点C的坐标及直线l2的解析式；（2）求△的面积．【考点】两条直线相交或平行问题．【分析】（1）首先利用待定系数法求出C点坐标，然后再根据D、C两点坐标求出直线l2的解析式；（2）首先根据两个函数解析式计算出A、B两点坐标，然后再利用三角形的面积公式计算出△的面积即可．【解答】解：（1）∵直线l1的解析式为﹣2经过点C（﹣1，m），∴1+2=3，∴C（﹣1，3），设直线l2的解析式为，∵经过点D（0，5），C（﹣1，3），∴，解得，∴直线l2的解析式为25；（2）当0时，25=0，解得﹣，则A（﹣，0），当0时，﹣2=0解得2，则B（2，0），△的面积：×（2+）×3=．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．27．如图，在△中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接．（1）证明：；（2）当△满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定．【分析】（1）由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再一对对顶角相等，且由E为的中点，得到，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）当△满足：时，四边形是矩形，理由为：由与平行且相等，得到四边形为平行四边形，再由，，利用三线合一得到垂直于，即∠为直角，即可得证．【解答】解：（1）∵∥，∴∠∠，∵E为的中点，∴，在△和△中，，∴△≌△（），∴，∵，∴；（2）当△满足：时，四边形是矩形，理由如下：∵∥，，∴四边形是平行四边形，∵，，∴∠90°，∴四边形是矩形．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．28．如图，点P是正方形内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△沿点A旋转至△′，连结′，并延长与相交于点Q．（1）求证：△′是等腰直角三角形；（2）求∠的大小．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质得，∠90°，再利用旋转的性质得′，∠′=∠90°，于是可判断△′是等腰直角三角形；（2）根据等腰直角三角形的性质得′，∠′=45°，再利用旋转的性质得′，接着根据勾股定理的逆定理可证明△′B为直角三角形，∠P′90°，然后利用平角定义计算∠的度数．【解答】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，∠90°，∵△沿点A旋转至△′，∴′，∠′=∠90°，∴△′是等腰直角三角形；（2）解：∵△′是等腰直角三角形，∴′，∠′=45°，∵△沿点A旋转至△′，∴′，在△′B中，′=，2，P′，∵（）2+（2）2=（）2，∴′22′B2，∴△′B为直角三角形，∠P′90°，∴∠180°﹣∠′﹣∠P′180°﹣45°﹣90°=45°．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．29．小颖到运动鞋店参加社会实践活动，鞋店经理让小颖帮助解决以下问题：运动鞋店准备购进甲乙两种运动鞋，甲种每双进价80元，售价120元；乙种每双进价60元，售价90元，计划购进两种运动鞋共100双，其中甲种运动鞋不少于65双．（1）若购进这100双运动鞋的费用不得超过7500元，则甲种运动鞋最多购进多少双？（2）在（1）条件下，该运动鞋店在6月19日“父亲节”当天对甲种运动鞋以每双优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种运动鞋价格不变，请写出总利润w与a的函数关系式，若甲种运动鞋每双优惠11元，那么该运动鞋店应如何进货才能获得最大利润？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质．【分析】（1）设购进甲种运动鞋x双，根据题意列出关于x的一元一次不等式，解不等式得出结论；（2）找出总利润w关于购进甲种服装x之间的关系式，根据一次函数的性质判断如何进货才能获得最大利润．【解答】解：（1）设购进甲种运动鞋x双，由题意可知：8060（100﹣x）≤7500，解得：x≤75．答：甲种运动鞋最多购进75双．（2）因为甲种运动鞋不少于65双，所以65≤x≤75，总利润（120﹣80﹣a）（90﹣60）（100﹣x）=（10﹣a）3000，∵当10＜a＜20时，10﹣a＜0，w随x的增大而减少，∴当65时，w有最大值，此时运动鞋店应购进甲种运动鞋65双，乙种运动鞋35双．【点评】本题主要考查了一次函数的应用和解一元一次不等式，解题的关键是：根据题意列出关于x的一元一次不等式，找出利润w关于x的关系式．在一次函数中，当k＜0时，y随x的增大而减小，这是判断的依据．。