重庆巴蜀中学2020数学(二)理
2024年重庆市巴蜀中学校中考压轴考试(二模)数学试题
2024年重庆市巴蜀中学校中考压轴考试（二模）数学试题一、单选题1．下列各数中，最小的数是（ ） A ．－lB ．0C ．1D2．鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是（ ） A ．y=3xB ．y=﹣3xC ．3y x=D ．3y x=-4．在下面的调查中，最适合用全面调查的是（ ） A ．了解一批节能灯管的使用寿命 B ．了解某校803班学生的视力情况 C ．了解某省初中生每周上网时长情况D ．了解京杭大运河中鱼的种类5．如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（ ）A ．点NB ．点KC ．点RD ．点Q6的值应在（ ） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间7．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处生态耕种园，需要采购A ，B 两种菜苗开展种植活动．已知购进15捆A 种菜苗和20捆B 种菜苗共需450元；购进10拥A 种菜苗和8拥B 种菜苗共需220元．设购进一捆A 种菜苗x 元，一捆B 种菜苗y 元，可列方程组为（ ）A ．2015450108220x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2015450810220x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．1520450810220x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．1520450108220x y x y +=⎧⎨+=⎩8．如图，AB 是O e 的直径，CE 切O e 于点C ，过点A 作AD CE ⊥于点D ，连接AC BC ，．若2B C A C=，且2AD =，则O e 的半径为（ ）A ．4B ．C ．5D ．9．在正方形ABCD 中，将AB 绕点A 逆时针旋转到AE ，旋转角为α，连接BE ，并延长至点F ，使CF CB =，连接DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．452α︒+B ．45α︒+C ．902α︒-D ．245α-︒10．对于两个多项式22111222,A p x q x r B p x q x r =++=++，若满足下列两种情形之一： （1）120,0p p ≠=； （2）1212,p p q q =>；则称多项式A 为“较大”多项式，多项式B 为“较小”多项式．对于两个多项式21111A p x q x r =++和22222A p x q x r =++，若将1A 和2A 中“较大”多项式和“较小”多项式的差记作3A ，则称这样的操作为一次“优选作差”操作；再对2A 和3A 进行“优选作差”操作得到4,A L L ，以此类推，经过n 次操作后得到的序列123,,,,n A A A A L 称为“优选作差”序列{}n A ．现对221,1A x A x ==+进行n 次“优选作差”操作得到“优选作差”序列{}n A ，则下列说法： ①20241A x =+；②2121161818A A A x x +++=--L ；③当2024n =时，“优选作差”序列{}n A 中满足12k k k A A A ++-=的正整数k 有1350个． 其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．计算：013|3⎛⎫+= ⎪⎝⎭．12．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m 扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为．13．当3x =时，分式245x x x a--+无意义，则a 的值为． 14．一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出两个球，则恰好摸出一个红球、一个白球的概率为．15．如图，在矩形ABCD 中，4,8AB BC ==，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，以BC 为直径画半圆，则图中阴影部分面积为．16．如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE CD ⊥交AC 于点E ，若8,4B C D E ==，则AE 的长是．17．若关于x 的一元一次不等式组71323x x x a x -⎧<-⎪⎨⎪≤-+⎩至少有两个整数解，且关于y 的分式方程21422a y y y+-+=---的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是． 18．对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小k （k 为正整数），则称该数为“k 元数”．对“k 元数”M ，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数M '，规定：()11M M F M '+=．若四位数358N n =是一个“8元数”，则()F N 的值为．若P 是一个“3元数”，且2()3F P +能被P 的各个数位上的数字之和整除，则满足条件的P 的最大值为．三、解答题 19．计算：(1)(2)(2)(34)x y x y y y +---； (2)21123926a a a a -⎛⎫+÷⎪+-+⎝⎭． 20．小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形．(1)用直尺和圆规，作射线CF 平分BCD ∠交AD 于点F ；(2)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，CF 平分BCD ∠交AD 于点F ，且BE CF =．求证：平行四边形ABCD 是矩形． 证明：BE Q ，CF 分别平分ABC ∠，BCD ∠，ABE CBE ∴∠=∠，BCF DCF ∠=∠．Q 四边形ABCD 为平行四边形，AD BC ∴∥，AB CD ∥，AB = ① ，AEB CBE ∴∠=∠，DFC BCF ∠=∠，AEB ABE ∴∠=∠，DFC ∠= ② ，AB AE =∴，DF DC =，AE DF ∴=．在ABE V 和DCF V 中 AB DC AE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE DCF SSS ∴△≌△．BAE CDF ∴∠=∠，AB CD ∥Q ，180BAE CDF ︒∴∠+∠=，∴ ③ ，∴平行四边形ABCD 是矩形．小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立．因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则 ④ ．21．某校组织学生开展安全教育，并对七、八年级进行了一次安全知识测试．现分别从七、八年级各随机抽取20名学生的安全知识测试成绩（满分100分，成绩得分用x 表示，成绩均为整数，单位：分)进行整理、描述和分析．共分成四个等级：.90100,.8090A x B x ≤≤≤<，C ．7080,.6070x D x ≤<≤<，下面给出了部分信息：七年级的20名学生的测试成绩为：68，75，76，78，79，81，82，83，84，84，86，86，86，88，91，92，94，95，96，96．八年级测试成绩在B 等级中的数据分别为：84，86，87，88，89，89，89． 抽取的七、八年级学生的测试成绩统计表(1)填空：=a ______，b =_____，m =______；(2)根据以上数据，你认为在此次测试中，哪个年级的测试成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；(3)若七、八年级共有1800名学生参加此次测试，请估计两个年级参加测试的学生中成绩在A 等级的共有多少人？22．重庆市巴南白居寺大桥夜景特别震撼，被网友称为“重庆版的星际穿越”．近来天气炎热，白居寺大桥下面夜市某小吃店推出的玫瑰冰粉和山城冰汤圆最受欢迎．已知玫瑰冰粉单价是山城冰汤圆单价的34，用48元购买玫瑰冰粉比购买山城冰汤圆多2份．(1)求两种小吃的单价分别为多少元？(2)已知该小吃店山城冰汤圆成本为每份4元，玫瑰冰粉成本为每份2.5元．某天该小吃店售出两种小吃共100份，并且这两种小吃获得总利润不低于380元，则当天至少卖出山城冰汤圆多少份？23．如图1，在ABC V 中，90,4cm ABC AB BC ∠=︒==．点P 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿折线A B C →→运动，同时点Q 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿线段BC 运动．当点P 到达点C 时，P ，Q 停止运动．设点P 运动的时间为(s),x APQ △的面积为()21c m y ．(1)请直接写出1y 与x 的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)在图2平面直角坐标系中，画出1y 的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________； (3)若1y 与x 的函数图象与直线2y x n =-+有两个交点，则n 的取值范围是_____________． 24．五一假期小开和妈妈到武隆天坑寨子体验民俗风情，如图所示，小开和妈妈在入口A 处，观景台B 在入口A 北偏西37︒方向，茶摊C 在观景台B 北偏东60︒方向，1500BC =米；花铺D 在茶摊C 正东方向，500CD =米；巧物摊E 在花铺D 正南方向，且在入口A 正东方向，800AE =米．（参考数据： 1.73,tan370.75,sin370.6,cos370.8≈︒≈︒≈︒≈）(1)求AB 的长度；（结果精确到个位）(2)小开和妈妈准备前往茶摊C ，有两条路线可选择：①A B C →→；②A E D C →→→，请通过计算说明走哪一条路较近．（结果精确到个位）25．如图1，抛物线2y x bx =+与x 轴交于点A ，与直线OB 交于点(4,4)B ，过点A 作直线OB 的平行线，交拋物线于点C ．(1)求抛物线2y x bx =+的表达式；(2)点D 为直线AC 下方抛物线上一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线OB 于点E ，过点E 作EF AC ⊥于点F ，连接DF ．求DEF V 面积的最大值及此时点D 的坐标；(3)如图2，在（2）问条件下，将原拋物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点D 时，新拋物线与x 轴交于点,M N （M 在N 左侧），与y 轴交于点G ．点P 为新拋物线上的一点，连接DP 交直线GN 于点H ，使得2DHN DGN ∠=∠，写出所有符合条件的点P 的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程．。
重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(原卷版)
重庆市巴蜀中学校高2025届高二（下）期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､班级､学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存，满分150分，考试用时120分钟. 一､单选题1.已知集合{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5A B C ===，则()A B C ⋃⋂=（ ） A.{}3 B.{}1,2,3,4 C.{}1,2,3,5 D.{}1,2,3,4,52.已知函数()1y f x =-的定义域为()1,5，则函数()2y f x=的定义域为（ ）A.()2,0-B.()0,2C.()2,2-D.()()2,00,2-⋃3.已知函数()y f x =在区间D 上连续可导，则“()0f x …在区间D 上恒成立”是“()f x 在区间D 上单调递增”的（ ）条件.A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要4.对某个班级学生的平均身高进行估算，这个班级有30位男生，20位女生，从男生中抽取5人，测得他们的平均身高为175cm ，从女生中抽取3人，测得她们的平均身高为165cm ，则这个班级的平均身高估计为（ ）cm .A.168.75B.169C.171D.171.255.甲､乙是同班同学，他们的家之间的距离很近，放学之后经常结伴回家，有时也单独回家；如果第一天他俩结伴回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.5；如果第一天他俩单独回家，那么第二天他俩结伴回家的概率为0.6；已知第二天他俩单班回家的概率为0.46，则第一天他俩结伴回家的概率为（ ） A.0.4 B.0.5 C.0.54 D.0.66.已知12F F ､分别是椭圆22:16x C y y =+=的左､右焦点，点P 是椭圆C 上的任意一点，动点M 满足22(1)F M F P λλ=>，且1PM PF =，则动点M 的轨迹方程为（ ）A.22(6x y +=B.22(6x y +=C.22(24x y +=D.22(24x y +=7.设202620250.2026log 2025,log 2024,log 0.2025a b c ===，则（ ）A.c a b <<B.b a c <<C.b a c <<D.a b c <<8.某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（ ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大. A.6 B.7 C.8 D.9二､多选题9.为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据：由上述数据得出下列结论，其中正确的是（ ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；A.根据小概率值0.025=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025B.根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01C.该药物的预防有效率超过97.5%D.若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.00510.已知三次函数()35(0)f x x bx b =++<有极小值点2x =，则下列说法中正确的有（ ）A.3b =-B.函数()f x 有三个零点C.函数()f x 的对称中心为()1,3D.过()1,1-可以作两条直线与()y f x =的图象相切11.已知实数,x y ，满足2227x y xy ++=，则下列说法正确的是（ ）A.x y +…B.1xy …C.226x y +-…D.2228x y +-…三､填空题12.函数()3f x x =__________. 13.设函数()2,0,0x x f x x x -<⎧=⎨⎩…，则不等式()()22f x f x ++>的解集为__________. 14.小明去参加一项游戏，可选择游戏1､游戏2､游戏3中的任意一项参加，游戏规则如下：一个转盘被等分为5个扇形，每个扇形上分别标有数字12345､､､､，假设每次转动转盘后箭头指向数字12345､､､､的概率相等，游戏()1,2,3n n =要转动转盘n 次，如果这n 次箭头指向的数字不大于42n -，则算游戏胜利.则小明参加游戏2胜利的概率为__________.四､解答题15.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列{}n a ，规定{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)*1Δ(n n n a a a n +=-∈N，已知数列{}Δn a 为常数列，且245,24a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 16.随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策的有力推动下，比亚迪汽车､小鹏汽车､理想汽车､小米汽车等中国的国产新能源汽车迅速崛起.新能源汽车因其较高的驱动效率､较低的用车成本､安静舒适的驾驶体验等优势深受部分车主的支持与欢迎.未来在努力解决充电效率较低､续航里程限制､低温环境影响等主要困难之后，新能源汽车市场有望得到进一步发展.某地区近些年的新能源汽车的年销量不断攀升，如下表所示：（1）若该地区新能源汽车车主的年龄X （单位：岁）近似服从正态分布()45,64N ，其中年龄(61,69]X ∈的有5万人，试估计该地区新能源汽车车主共有多少万人？（结果按四舍五入取整数） （2）已知变量x 与y 之间的相关系数r =，请求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并据此估计2025年时，该地区新能源汽车的年销量. 参考公式与数据：①若随机变量()2,X Nμσ~，则()()0.6827;220.9545P XP X μσμσμσμσ-+=-+=剟剟；()330.9973P x μσμσ-+=剟；②()()()()()121ˆnniiiii nii x x y y x x y y r bx x ==----==-∑∑∑；③()621210,30i i y y y =-==∑.17.已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线22133y x -=在第一象限内的交点M （1）求拋物线C 的标准方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A B ､两点，且直线MA MB ､的倾斜角互补，求直线l 的斜率.18.甲､乙､丙三名篮球运动员轮流进行篮球“一对一”单挑比赛，每场比赛有两人参加，分出胜负，规则如下：每场比赛中的胜方继续参加下一场比赛，负方下场换该场未参加比赛的运动员上场参加下一场比赛，以此类推.甲运动员实力较强，每场与乙､丙比赛的胜率为23，且各场比赛的结果均相互独立.由简单随机抽样中的抽签法决定哪两位运动员参加第一场比赛，记甲参加第n 场比赛的概率为()n P n N +∈. （1）求12,P P ； （2）求()n P n +∈N ；（3）记前n 场比赛（即从第1场比赛到第n 场比赛）中甲参加的比赛的场数为X ，求()E X . 参考资料：若12,,,n X X X 为n 个随机变量，则()1111n ni i E X E X ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.19.请阅读下列2段材料：材料1：若函数()y f x =的导数()f x '仍是可导函数，则()f x '的导数()f x ''⎡⎤⎣⎦成为()f x 的二阶导数，记为()f x ''；若()f x ''仍是可导函数，则()f x ''的导数()f x '⎡'⎤⎣⎦'成为()f x 的三阶导数，记为()f x '''；以此类推，我们可以定义n 阶倒数：设函数()y f x =的1n -阶导数()()()12,n f x n n N -+∈…仍是可导函数，则()()1n fx -的导数()()1n f x -'⎡⎤⎣⎦称为()f x 的n 阶导数，记为()()n f x ，即()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦. 材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是m 阶多项式，分母是n 阶多项式，那么帕德逼近就是mn阶的帕德逼近.一般地，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德逼近函数定义为：()0111mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++且满足()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++===''=''''（其中e 2.71878=为自然对数的底数）.请根据以上材料回答下列问题：（1）求函数()()ln 1g x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()0R x ；（2）求函数()ln f x x =在1x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()1R x ，并比较()f x 与()1R x 的大小； （3）求证：当()0,x ∞+时，23xx >恒成立.。
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三(上)9月月考数学试卷(理科)(含解析)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．06．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．29．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．610．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣5211．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝时取得最小值．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0≤x＜1}，B＝{x|1﹣x2≥0}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝[0，1）．故选：C．【点评】考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据复合命题真假关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键．3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】求得抛物线的焦点F和准线方程，代入M的坐标，解得x0，再由抛物线的定义可得所求值．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，M（x0，2）在抛物线C上，可得8＝4x0，即x0＝2，由抛物线的定义可得|MF|＝2+1＝3．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】A根据线面平行的性质判断．B利用线面垂直的性质判断．C利用线面平行和面面平行的判定定理判断．D利用面面垂直的性质定理判断．【解答】解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A错误．B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B正确．C．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴C错误．D．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴D错误．故选：B．【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．0【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求的余弦值的和，n从1取到1009．【解答】解：通过分析知该算法是求和cos+cos+cos+cos+…+cos，在该和式中，从第一项起，每6项和为0，由于1009＝168×6+1，故cos+cos+cos+cos+…+cos＝168（cos+cos+cos+cos+…+cos）+cos＝．故选：C．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．6．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象【分析】求出f（x）的对称轴，将代入，根据φ的取值范围求得φ，进而得到函数解析式，根据正弦函数的性质作答；【解答】解：由题意得，2×+φ＝+kπ，φ＝﹣+kπ，∵∴φ＝﹣，A选项不正确；∴f（x）＝2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得函数的单调增区间为﹣+kπ≤x≤+kπ，B选项不正确；f（x）＝2sin2（x﹣），D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数图象性质及图象变换，属于基础题．7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．【解答】解：∵tan＝＝3，∴解得tanα＝，∴＝＝＝＝＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】由已知可知，f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，从而可知函数的周期T＝4，然后代入可求．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，∴f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，∴函数的周期T＝4，∵当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝f（2﹣）＝f（）＝1，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数的性质求解函数值，解题的关键是灵活利用性质．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．6【分析】由三视图可知几何体是由直三棱柱和四棱锥组合而成，由三视图求出几何元素的长度，由分割法、换底法，以及柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积，【解答】解：由三视图可知几何体是由直三棱柱ABD﹣AFG和四棱锥C﹣BDGF组合而成，直观图如图所示：直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1、2，高是2，∴几何体的体积V＝V三棱柱ABD﹣EFG+V四棱锥C﹣BDGF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥C﹣DFG+V三棱锥C﹣BDF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥F﹣CDG+V三棱锥F﹣BDC＝＝2+＝，故选：A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣52【分析】根据中点的性质以及对称性，转化为三角形的中位线关系，结合双曲线的定义进行求解即可．【解答】解：设M，N的中点是P，∵点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，∴F1是AM的中点，F2是BM的中点，则PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，则|NA|＝2|PF1|，|NB|＝2|PF2|，则|NA|﹣|NB|＝2（|PF1|﹣|PF2|）＝﹣2×2a＝﹣4a，由双曲线的方程得a2＝169，得a＝13，即|NA|﹣|NB|＝﹣4a＝﹣4×13＝﹣52，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的定义的应用，结合三角形中位线的性质是解决本题的关键．注意数形结合．11．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种【分析】首先分析题意，将原题转化为“走3次向上，2次向右，2次向前且3次向上不连续的”排列组合问题，再由组合数得其数目．【解答】解：根据题意最近路线，那就是不走回头路，不走重复路线；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共七次；因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列共；因为2次向右没有顺序，所以再除以；同理还需在除以接下来就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排3个元素共；则共有；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原题转化为排列、组合问题，特别注意题干中“不连续向上攀登”的限制．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数【分析】根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），对其求导分析可得函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，进而分情况讨论可得f（x）＞0，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），g′（x）＝x2e x[（x+3）f（x）+xf′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）＝x2e x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，g（x）＝x3e x f（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）＝x3e x f（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+3）f（x）+xf'（x）＞0中取x＝0，得f（0）＞0．综上，f（x）＞0．故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造函数，并分析函数的单调性．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝﹣2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值．【解答】解：∵＝为实数，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为240．【分析】求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：若a＝＝e x＝e ln3﹣e0＝2，则＝，它的展开式通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得它的展开式的常数项为•16＝240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝1时取得最小值．【分析】根据条件可得＝，然后利用基本不等式求出的最小值，即可得到的值．【解答】解：∵m，n为正实数，∴＝≥＝5，当且仅当，即时取等号，∴当＝1时，取得最小值．故答案为：1．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是（，+∞）．【分析】由题意可得f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立可转化为，可令x＝cos2θ，则f（sin2θ）+f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）+f（1﹣cos2θ），可得f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，再由f（x）的单调性和参数分离，转化为求最值，即可得到所求范围．【解答】解：f（x+）＝x3+2017x﹣2017﹣x+1，可得f（﹣x）＝﹣x+2017﹣x﹣2017x+1，则f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（+x）+f（﹣x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x+）在R上递增，f（x+）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2﹣（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则m＝sin（θ+），则﹣≤m≤，则g（m）＝m2﹣m﹣2，其对称轴m＝，故当m＝﹣时，g（m）取的最大值，最大值为2+﹣2＝．则t＞，故答案为：（，+∞）【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性和对称性，考查化简整理的运算能力，属于难题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先确定周期，再确定ω，代入最值点求得φ值．（Ⅱ）观察角度之间的关系，根据二倍角公式、辅助角公式化简g（x），求得周期，并用整体法求函数在区间的最值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知：A＝1，T＝，∴ω＝＝2．又∵2×+φ＝+2kπ，∴φ＝+2kπ，又，∴φ＝，即函数解析式为f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）g（x）＝sin（2x+）+2sin（x﹣）sin[（x﹣）+]＝sin（2x+）+2sin （x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x+）+sin（2x﹣）＝sin2x+cos2x﹣sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣）．∴g（x）的最小正周期为π，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝﹣，即x＝0时，g（x）的最小值为．【点评】本题考查根据函数图象求解析式，掌握二倍角公式，辅助角公式，属于基础题．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况列表，利用对立事件概率计算公式有求出所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．【解答】解：（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况如下表：∴所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率为：P1＝1﹣＝．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝．P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点G，连结DG，推导出四边形BCDG是平行四边形，AD⊥BD，AD⊥平面BFED，由此能证明平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）由于BFED是矩形，BD⊥DE，由AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如图，取AB的中点G，连结DG，则CD AB，∴CD DG，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝BC＝AB＝AG＝BG，∴AD⊥BD，又平面ABCD⊥平面BFED，且平面ABCD∩平面BFED＝BD，∴AD⊥平面BFED，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）解：由于BFED是矩形，∴BD⊥DE，由（Ⅰ）知AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），＝（2，0，0），设点P（0，t，2），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，t，2），平面P AB的法向量＝（x，y，z），∴，取y＝2，得平面P AB的一个法向量为＝（2，2，2﹣t），∴sinθ＝＝，当t＝2时，（sinθ）max＝，∴θmax＝．∴θ的最大值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，求得NE的方程为y＝x﹣，由椭圆离心率把椭圆方程化为，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由抛物线方程利用导数求得抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1，由点P（x0，y0）在切线l1上，得，同理，则点B，C的坐标都满足方程，可得直线BC的方程为，再由点A（1，1）在直线BC上，得，可得点P的轨迹方程为y＝，进一步得到直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），可得直线y＝与椭圆C1有两个交点，则满足条件的P有两个．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则k NE＝1，NE的方程为y＝x﹣．∵椭圆C1的（a＞b＞0）的离心率为，即，则a＝2c，b＝，∴椭圆C1的方程：，联立，得．由△＝，得c＝1．∴椭圆C1的方程为；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由x2＝4y，得，y，∴抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1为，即，∵，∴y＝．∵点P（x0，y0）在切线l1上，∴，①同理，②综合①②得，点B，C的坐标都满足方程．∵经过B，C两点的直线是唯一的，∴直线BC的方程为．∵点A（1，1）在直线BC上，∴，∴点P的轨迹方程为y＝．又∵点P在椭圆C1上，又在直线y＝上，∴直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），∴直线y＝与椭圆C1有两个交点，∴满足条件的P有两个．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合，考查计算能力，属难题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．【分析】（Ⅰ）f（x）存在两个极值点x1，x2，关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a ＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，进而解出答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）知⇒，＝＝，只需确定它的最大值就可证明．【解答】解：由题意：f′（x）＝2x﹣（x＞﹣4），∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，令s（x）＝2x2+8x（x＞﹣4），t（x）＝a，则s（x）与t（x）的图象有两个不同的交点，结合图象可得a∈（﹣8，0），（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知⇒，＝，＝，令g（x）＝x++8﹣2（x+2）ln（﹣x）（﹣1＜x＜0），g′（x）＝1﹣﹣2ln（﹣x）﹣2（x+4）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），令F（x）＝g′（x）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），（﹣1＜x＜0），则F′（x）＝+﹣＝＜0，∴F（x）在（﹣1，0）单调递减，从而F（x）＜F（﹣1）＝﹣9＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，从而g（x）＜g（﹣1）＝﹣9，即，又x2∈（﹣1，0），∴f（x1）＞﹣9x2，故f（x1）+9x2＞0．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）首先利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用参数方程点的坐标公式，利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及函数的性质的应用求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＝0，转换为直角坐标方程为．圆心坐标为（0，2），r＝．曲线C2的参数方程为，（θ为参数）转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）根据曲线C2的参数方程为，（θ为参数）设点Q（2cosθ，sinθ），则点Q与圆心的距离d＝＝＝，当时，，所以|PQ|的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得m＝4，然后解方程可得a＝﹣1．（2）结合（1）的结论，原不等式即p2+2q2+r2＝4，利用不等式的性质和均值不等式的结论即可证得题中的结论．【解答】解：（1）∵f（x）＝2|x+1|+|x+3|≥|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，当且仅当，即x＝﹣1时，f（x）min＝4，∴m＝4，a＝﹣1．（2）证明：由（1）知：p2+2q2+r2＝4，∵p2+q2≥2pq，q2+r2≥2qr，∴p2+2q2+r2≥2pq+2qr＝2q（p+r），即2q（p+r）≤4，∴q（p+r）≤2．【点评】本题考查了绝对值不等式的应用以及均值不等式的应用，属于中档题．。
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级(上)第一次月考数学试卷
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）规定一个物体向右移动1m，记作+1m，则这个物体向左移动了2m，可记作（）A．﹣2m B．2m C．3m D．﹣1m2．（4分）下列四个数中，最小的数是（）A．7B．﹣1C．0D．﹣3．（4分）数轴上，点A、B两个点关于点C对称，已知点A、B分别表示﹣1、7，则点C 表示的数是（）A．5B．4C．3D．24．（4分）下列式子的化简结果得5的是（）A．﹣（﹣5）B．﹣（+5）C．﹣[﹣（﹣5）]D．﹣[+（+5）] 5．（4分）下列四组数相等的是（）A．﹣24和（﹣2）4B．﹣23和（﹣2）3C．（﹣1）2020和（﹣1）2021D．和（）26．（4分）如图显示的是新冠肺炎全国（含港澳台）截至2020年9月21日17时00分现存无症状感染者人数数据统计结果，若每天的统计截止时间都是17时00分，则截止2020年9月20日17时00分时统计的现存无症状感染人数是（）A．422B．412C．372D．3627．（4分）用四舍五入法把4.7973精确到百分位得到的近似数是（）A．4.79B．4.70C．4.8D．4.808．（4分）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）A．9月11日5时B．9月11日19时C．9月12日19时D．9月12日21时9．（4分）某辆汽车每次加油都会把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的里程表显示的数据（千米）2020年9月15日27690002020年9月25日6069600在15日到25日这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．9升B．8升C．10升D．升10．（4分）已知有理数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A．﹣a＞b B．a+b＜0C．|a|＜|b|D．a﹣b＞011．（4分）对于有理数x，y，若x＞1且y＜0，则﹣+的值是（）A．﹣3B．3C．﹣1D．112．（4分）有两个有理数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]，例如大于等于﹣4且小于等于﹣1的所有数记作[﹣4，﹣1]．如果m在[5，15]内，n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中最大值与最小值的差为（）A．2B．C．4D．二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）13．（3分）2020年8月20日，三峡枢纽入库流量达75000立方米/秒，开启了11个泄洪深孔泄洪，是三峡水库建库以来遭遇的最大洪峰．将数据75000用科学记数法表示为．14．（3分）在有理数5，﹣3.8，0，2.4，﹣中，非负数有个．15．（3分）若有理数x、y互为倒数，则（xy﹣2）2018＝．16．（3分）﹣5的相反数与﹣0.5的倒数的和是．17．（3分）对于有理数x、y，若满足|x﹣3|+（y+1）2＝0，则式子x+y＝．18．（3分）按照下列图形反映出的规律，那么第8个图形中有个点．19．（3分）已知|x|＝4，|y|＝6，且xy＜0，x+y＞0，则x﹣y＝．20．（3分）五一期间，观音桥商圈各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙两个商场开展的促销活动如表所示：商场优惠方案甲全场按标价的6折销售乙实行“满100元减100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金（比如：顾客购买衣服220元，赠券200元．再购买裤子时可冲抵现金，不再送券）两个商场同时出售某种标价320元的破壁机和某种标价390元的空气炸锅，张阿姨想买这两样厨房用具，为了方便若只选择在一家商场购买，最少只需要付元．21．（3分）已知a，b，c为互不相等的整数，且abc＝4，则a+b+c＝．22．（3分）如图，有一根小棍MN，MN（M在N的左边）在数轴上移动，数轴上A、B两点之间的距离AB＝19，当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为9，当N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数为．三、计算题：（本大题请写出计算过程，共36分）23．（36分）有理数的计算：（1）8+（﹣15）+（﹣9）+（+12）；（2）7﹣（+9）+3﹣（﹣1.25）﹣（+2）；（3）（﹣49）÷（﹣2）×÷（﹣3）；（4）（﹣2+）×（﹣24）；（5）（﹣340）×﹣×340﹣（﹣19）×18；（6）﹣42+（﹣1）2021×[﹣18÷（﹣3）2﹣]．四、解答题：（24、25每题8分，26、27每题10分，共36分）24．（8分）如图是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置，最后请将这些数用“＜”连接起来．点A：2；点B：﹣1.5；点C：300%；点D：﹣（﹣）；点E：﹣|﹣|．25．（8分）已知有理数x、y互为相反数，有理数m、n互为倒数，有理数a满足|a﹣1|＝2，求算式4a2﹣amn+3x+3y的值．26．（10分）滴滴快车司机小何某天下午营运时是从轨道龙头寺公园站出发，沿东西走向的新溉大道进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午所接送八位乘客的行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，﹣11，﹣9，﹣5，+13，+9，﹣6．（1）将最后一位乘客送到目的地时，小何在什么位置？（2）将第几位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站最远？（3）若小何驾驶的新能源汽车消耗天然气量为0.2m3/km，这天下午小何将所有乘客接送完毕，再次回到轨道龙头寺公园站时，出租车共消耗天然气多少立方米？27．（10分）如图1，已知在数轴上有A、B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，另有一动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝1时，数轴上点P表示的数是；点Q表示的数是．（2）当t＝1时，数轴上有一点M到点P的距离与到点Q的距离之和最小，求出这个最小值，并指出此时M点所表示数m的取值范围．（3）若定义一个点O到点M、N其中一个点的距离是到另一个点距离的2倍，则称点O 是[M，N]的“嗨点”．已知点C是线段AB的中点，点P、Q分别从A、B两点同时出发，点P向左运动到C点立即返回，返回到A点时停止，动点Q一直向右运动到A点后停止运动．求当t为何值时，点C为[P，Q]的“嗨点”？2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学七年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）规定一个物体向右移动1m，记作+1m，则这个物体向左移动了2m，可记作（）A．﹣2m B．2m C．3m D．﹣1m【解答】解：规定一个物体向右移动1m，记作+1m，则这个物体向左移动了2m，可记作﹣2m．故选：A．2．（4分）下列四个数中，最小的数是（）A．7B．﹣1C．0D．﹣【解答】解：∵，∴最小的数是﹣1．故选：B．3．（4分）数轴上，点A、B两个点关于点C对称，已知点A、B分别表示﹣1、7，则点C 表示的数是（）A．5B．4C．3D．2【解答】解：∵点A、B分别表示﹣1、7，∴AB＝8，∵点A、B两个点关于点C对称，∴BC＝4，∴7﹣4＝3，∴点C表示的数是3．故选：C．4．（4分）下列式子的化简结果得5的是（）A．﹣（﹣5）B．﹣（+5）C．﹣[﹣（﹣5）]D．﹣[+（+5）]【解答】解：A、﹣（﹣5）＝5，故本选项符合题意；B、﹣（+5）＝﹣5，故本选项不符合题意；C、﹣[﹣（﹣5）]＝﹣5，故本选项不符合题意；D、﹣[+（+5）]＝﹣5，故本选项不符合题意；故选：A．5．（4分）下列四组数相等的是（）A．﹣24和（﹣2）4B．﹣23和（﹣2）3C．（﹣1）2020和（﹣1）2021D．和（）2【解答】解：A、﹣24＝﹣16，（﹣2）2＝16，所以A选项不符合题意；B、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，所以B选项符合题意；C、（﹣1）2020＝1，（﹣1）2021＝﹣1，所以C选项不符合题意；D、＝，（）2＝，所以D选项不符合题意；故选：B．6．（4分）如图显示的是新冠肺炎全国（含港澳台）截至2020年9月21日17时00分现存无症状感染者人数数据统计结果，若每天的统计截止时间都是17时00分，则截止2020年9月20日17时00分时统计的现存无症状感染人数是（）A．422B．412C．372D．362【解答】解：397﹣25＝372，即截止2020年9月20日17时00分时统计的现存无症状感染人数是372人．故选：C．7．（4分）用四舍五入法把4.7973精确到百分位得到的近似数是（）A．4.79B．4.70C．4.8D．4.80【解答】解：4.7973精确到百分位得到的近似数是4.80．故选：D．8．（4分）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）A．9月11日5时B．9月11日19时C．9月12日19时D．9月12日21时【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．故选：B．9．（4分）某辆汽车每次加油都会把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的里程表显示的数据（千米）2020年9月15日27690002020年9月25日6069600在15日到25日这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．9升B．8升C．10升D．升【解答】解：由表可得，在15日到25日这段时间内，该车每100千米平均耗油量为：60÷[（69600﹣69000）÷100]＝60÷（600÷100）＝60÷6＝10（升），故选：C．10．（4分）已知有理数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A．﹣a＞b B．a+b＜0C．|a|＜|b|D．a﹣b＞0【解答】解：由图可知：b＜0＜a，且|a|＞|b|，A、﹣a＜b，故不符合题意；B、a+b＞0，故不符合题意；C、|a|＞|b|，故不符合题意；D、a﹣b＞0，故符合题意；故选：D．11．（4分）对于有理数x，y，若x＞1且y＜0，则﹣+的值是（）A．﹣3B．3C．﹣1D．1【解答】解：∵x＞1，∴x＞0，x﹣1＞0，∴|x|＝x，|x﹣1|＝x﹣1，∵y＜0，∴|y|＝﹣y，∴原式＝．故选：B．12．（4分）有两个有理数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]，例如大于等于﹣4且小于等于﹣1的所有数记作[﹣4，﹣1]．如果m在[5，15]内，n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中最大值与最小值的差为（）A．2B．C．4D．【解答】解：∵m在[5，15]内，n在[﹣30，﹣20]内，∴5≤m≤15，﹣30≤n≤﹣20，∴，即，∴的一切值中最大值与最小值的差为：．故选：B．二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）13．（3分）2020年8月20日，三峡枢纽入库流量达75000立方米/秒，开启了11个泄洪深孔泄洪，是三峡水库建库以来遭遇的最大洪峰．将数据75000用科学记数法表示为7.5×104．【解答】解：将数据75000用科学记数法表示为7.5×104，故答案为：7.5×104．14．（3分）在有理数5，﹣3.8，0，2.4，﹣中，非负数有3个．【解答】解：在有理数5，﹣3.8，0，2.4，﹣中，非负数有5，0，2.4，共3个．故答案为：3．15．（3分）若有理数x、y互为倒数，则（xy﹣2）2018＝1．【解答】解：∵x、y互为倒数，∴xy＝1，∴（xy﹣2）2018＝（1﹣2）2018＝（﹣1）2018＝1，故答案为：1．16．（3分）﹣5的相反数与﹣0.5的倒数的和是3．【解答】解：﹣5的相反数为：5，﹣0.5的倒数为：﹣2，故﹣5的相反数与﹣0.5的倒数的和是：5﹣2＝3．故答案为：3．17．（3分）对于有理数x、y，若满足|x﹣3|+（y+1）2＝0，则式子x+y＝2．【解答】解：∵|x﹣3|+（y+1）2＝0，∴x﹣3＝0且y+1＝0，∴x＝3，y＝﹣1，∴x+y＝3+（﹣1）＝2，故答案为：2．18．（3分）按照下列图形反映出的规律，那么第8个图形中有24个点．【解答】解：第一个图形有：3×1＝3个点，第二个图形有：3×2＝6个点，第三个图形有：3×3＝9个点，⋯第n个图形有：3•n＝3n个点，∴第八个图形有：8×3＝24个点，故答案为：24．19．（3分）已知|x|＝4，|y|＝6，且xy＜0，x+y＞0，则x﹣y＝﹣10．【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝6，∴x＝±4，y＝±6，又∵xy＜0，x+y＞0，∴x＝﹣4，y＝6，∴x﹣y＝﹣4﹣6＝﹣10，故答案为：﹣10．20．（3分）五一期间，观音桥商圈各大商场掀起购物狂潮，现有甲、乙两个商场开展的促销活动如表所示：商场优惠方案甲全场按标价的6折销售乙实行“满100元减100元的购物券”的优惠，购物券可以在再购买时冲抵现金（比如：顾客购买衣服220元，赠券200元．再购买裤子时可冲抵现金，不再送券）两个商场同时出售某种标价320元的破壁机和某种标价390元的空气炸锅，张阿姨想买这两样厨房用具，为了方便若只选择在一家商场购买，最少只需要付410元．【解答】解：由题意可得，当在甲商场购买时需要花费：（320+390）×0.6＝710×0.6＝426（元），当在乙商场购买时需要花费：（320+390）﹣300＝710﹣300＝410（元），∵410＜426，∴最少只需要付410元，故答案为：410．21．（3分）已知a，b，c为互不相等的整数，且abc＝4，则a+b+c＝﹣4或﹣1．【解答】解：∵a，b，c为互不相等的整数，且abc＝4，∴a，b，c三个数为﹣1，1，﹣4或﹣2，2，﹣1，则a+b+c＝﹣4或﹣1．故答案为：﹣4或﹣1．22．（3分）如图，有一根小棍MN，MN（M在N的左边）在数轴上移动，数轴上A、B两点之间的距离AB＝19，当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为9，当N移动到线段AB的中点时，点M所对应的数为﹣0.5或18.5．【解答】解：∵AB＝19，∴从A移动到AB中点是向右移动9.5个单位，从B移动到AB中点是向左移动9.5个单位，当N移动到与A、B其中一个端点重合时，点M所对应的数为9，分两种情况：①N与B重合，当N移动到线段AB的中点时，N向左移动9.5个单位，故M也向左移动9.5个单位，∴此时M表示的数为：9﹣9.5＝﹣0.5，②N与A重合，当N移动到线段AB的中点时，N向右移动9.5个单位，故M也向右移动9.5个单位，∴此时M表示的数为：9+9.5＝18.5，故答案为：﹣0.5或18.5．三、计算题：（本大题请写出计算过程，共36分）23．（36分）有理数的计算：（1）8+（﹣15）+（﹣9）+（+12）；（2）7﹣（+9）+3﹣（﹣1.25）﹣（+2）；（3）（﹣49）÷（﹣2）×÷（﹣3）；（4）（﹣2+）×（﹣24）；（5）（﹣340）×﹣×340﹣（﹣19）×18；（6）﹣42+（﹣1）2021×[﹣18÷（﹣3）2﹣]．【解答】解：（1）8+（﹣15）+（﹣9）+（+12）＝8+（﹣15）+（﹣9）+12＝（8+12）+[（﹣15）+（﹣9）]＝20+（﹣24）＝﹣4；（2）7﹣（+9）+3﹣（﹣1.25）﹣（+2）＝7+（﹣9）+3+1+（﹣2）＝[7+（﹣9）+1]+[3+（﹣2）]＝0+1＝1；（3）（﹣49）÷（﹣2）×÷（﹣3）＝﹣49×＝﹣3；（4）（﹣2+）×（﹣24）＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）＝（﹣4）+56+（﹣22）＝30；（5）（﹣340）×﹣×340﹣（﹣19）×18＝（﹣340）×+×（﹣340）﹣（﹣20+）×18＝（﹣340）×（）﹣（﹣20）×18﹣×18＝（﹣340）×1+360﹣0.5＝﹣340+360﹣0.5＝20﹣0.5＝19.5；（6）﹣42+（﹣1）2021×[﹣18÷（﹣3）2﹣]＝﹣16+（﹣1）×（﹣18÷9﹣）＝﹣16+（﹣1）×（﹣2﹣4）＝﹣16+（﹣1）×（﹣6）＝﹣16+6＝﹣10．四、解答题：（24、25每题8分，26、27每题10分，共36分）24．（8分）如图是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置，最后请将这些数用“＜”连接起来．点A：2；点B：﹣1.5；点C：300%；点D：﹣（﹣）；点E：﹣|﹣|．【解答】解：300%＝3，﹣（﹣）＝，﹣|﹣|＝，如图所示：故﹣1.5＜﹣|﹣|．25．（8分）已知有理数x、y互为相反数，有理数m、n互为倒数，有理数a满足|a﹣1|＝2，求算式4a2﹣amn+3x+3y的值．【解答】解：∵有理数x、y互为相反数，有理数m、n互为倒数，有理数a满足|a﹣1|＝2，∴x+y＝0，mn＝1，a﹣1＝2或a﹣1＝﹣2，∴a＝3或a＝﹣1，当a＝3时，4a2﹣amn+3x+3y＝4a2﹣amn+3（x+y）＝4×32﹣3×1+3×0＝4×9﹣3+0＝36﹣3＝33；当a＝﹣1时，4a2﹣amn+3x+3y＝4a2﹣amn+3（x+y）＝4×（﹣1）2﹣（﹣1）×1+3×0＝4×1+1+0＝4+1＝5；由上可得，算式4a2﹣amn+3x+3y的值是33或5．26．（10分）滴滴快车司机小何某天下午营运时是从轨道龙头寺公园站出发，沿东西走向的新溉大道进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午所接送八位乘客的行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，﹣11，﹣9，﹣5，+13，+9，﹣6．（1）将最后一位乘客送到目的地时，小何在什么位置？（2）将第几位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站最远？（3）若小何驾驶的新能源汽车消耗天然气量为0.2m3/km，这天下午小何将所有乘客接送完毕，再次回到轨道龙头寺公园站时，出租车共消耗天然气多少立方米？【解答】解：（1）﹣3+6﹣11﹣9﹣5+13+9﹣6＝﹣6，答：将最后一位乘客送到目的地时，小何在轨道龙头寺公园站西边6km的地方．（2）将第1位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离是：|﹣3|＝3（km），将第2位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离是：|﹣3+6|＝3（km），将第3位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离是：|﹣3+6﹣11|＝8（km），将第4位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离是：|﹣3+6﹣11﹣9|＝17（km），将第5位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离是：|﹣3+6﹣11﹣9﹣5|＝22（km），将第6位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离是：|﹣3+6﹣11﹣9﹣5+13|＝9（km），将第7位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离是：|﹣3+6﹣11﹣9﹣5+13+9|＝0（km），将第8位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离是：|﹣3+6﹣11﹣9﹣5+13+9﹣6|＝6（km），答：将第5位乘客送到目的地时，小何距离轨道龙头寺公园站距离最远；（3）小何将所有乘客接送完毕，再次回到轨道龙头寺公园站，所行驶路程为：（3+6+11+9+5+13+9+6）+6＝68（km），∴出租车共消耗天然气是：68×0.2＝13.6（立方米），答：出租车共消耗天然气13.6立方米．27．（10分）如图1，已知在数轴上有A、B两点，点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，另有一动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝1时，数轴上点P表示的数是9；点Q表示的数是2．（2）当t＝1时，数轴上有一点M到点P的距离与到点Q的距离之和最小，求出这个最小值，并指出此时M点所表示数m的取值范围．（3）若定义一个点O到点M、N其中一个点的距离是到另一个点距离的2倍，则称点O 是[M，N]的“嗨点”．已知点C是线段AB的中点，点P、Q分别从A、B两点同时出发，点P向左运动到C点立即返回，返回到A点时停止，动点Q一直向右运动到A点后停止运动．求当t为何值时，点C为[P，Q]的“嗨点”？【解答】解：（1）∵点B表示的数为最大的负整数，点A在点B的右边，AB＝12，∴点B表示的数为﹣1，点A表示的数为﹣1+12＝11．∵点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t秒，∴当t＝1时，点P表示的数为11﹣2×1＝9；∵点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，运动时间为t 秒，∴当t＝1时，点Q表示的数为﹣1+3×1＝2．故答案为：9；2．（2）当m≤2时，MP+MQ＝（9﹣m）+（2﹣m）＝﹣2m+11，∵k＝﹣2＜0，∴（MP+MQ）的长随着m的增大而减小，∴当m＝2时，（MP+MQ）的长取得最小值，最小值＝﹣2×2+11＝7；当2＜m＜9时，MP+MQ＝（9﹣m）+（m﹣2）＝7；当m≥9时，MP+MQ＝（m﹣9）+（m﹣2）＝2m﹣11，∵k＝2＞0，∴（MP+MQ）的长随着m的增大而增大，∴当m＝9时，（MP+MQ）的长取得最小值，最小值＝2×9﹣11＝7．∴点M到点P的距离与到点Q的距离之和的最小值为7，此时M点所表示数m的取值范围为2≤m≤9．（3）∵点B表示的数为﹣1，点A表示的数为11，点C为线段AB的中点，∴点C表示的数为5．∵12÷2÷2＝3（秒），3×2＝6秒，12÷3＝4（秒）．∴当0≤t≤3时，点P表示的数为﹣2t+11，点Q表示的数为3t﹣1，∵点C为[P，Q]的“嗨点”，∴﹣2t+11﹣5＝2|5﹣（3t﹣1）|或2（﹣2t+11﹣5）＝|5﹣（3t﹣1）|，即﹣2t+6＝12﹣6t或﹣2t+6＝6t﹣12或﹣4t+12＝6﹣3t或﹣4t+12＝3t﹣6，解得：t＝或t＝或t＝6（不合题意，舍去）或t＝；当3＜t≤4时，点P表示的数为2（t﹣3）+5＝2t﹣1，点Q表示的数为3t﹣1，∵点C为[P，Q]的“嗨点”，∴3t﹣1﹣5＝2（2t﹣1﹣5）或2（3t﹣1﹣5）＝2t﹣1﹣5，解得：t＝6（不合题意，舍去）或t＝（不合题意，舍去）；当4＜t≤6时，点P表示的数为2（t﹣3）+5＝2t﹣1，点Q表示的数为11，∵点C为[P，Q]的“嗨点”，∴11﹣5＝2（2t﹣1﹣5）或2×（11﹣5）＝2t﹣1﹣5，解得：t＝或t＝9（不合题意，舍去）．答：当t为或或或时，点C为[P，Q]的“嗨点”．。
重庆市巴蜀中学2022-2023学年高三上学期高考适应性月考(二)数学试题巴蜀数学(二)答案
数学参考答案·第1页（共9页）巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 78 答案 BCADCCDD【解析】1．由角的周期性变化可知：A B ⊂，故选B ． 2．cos 2x =解得π2π()6x k k =+∈Z 或π2π()6x k k =-+∈Z ，故选C ．3．0.10555551log 5log 4log 100a b a b =>==>=>=>>.，∵∴又π3ππ25<<，3πtan 05c =<∴，a b c >>∴，故选A ．4．由函数定义域可以排除C ，由函数奇偶性可以排除A ，又因当(01)x ∈，时，2e e e e0ln ||00ln ||x xxxx x x ----><<，，，所以B 选项错误，D 选项正确，故选D ．5．如图1所示，在等腰三角形中，30OB AOB =∠=︒，可得322B ⎛ ⎝⎭，，由题意，点B 的坐标6次一个循环，即以6为周期，23B 与5B 重合，故有322B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 6．由卷图可知05sin 0252π3π234A .,A .T ϕ⎧=⎪=⎪⎨⎪<<⎪⎩，又ππ||226ωϕωϕ*∈==N ，≤，，∴，1π()sin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴，1π12ππ12π()sin sin 3523562330g x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴，故选C ．7．8人中选5人，分三组的分组分配问题：2253353853C C C C A 84002⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选D ． 图1数学参考答案·第2页（共9页）8．设切点坐标32000(3)x x x -，，∵32()3f x x x =-，∴2()36f x x x '=-，∴曲线()f x 在3200(3)x x x -，处的切线斜率为20036x x -，又∵切线过点(2)P t ，，∴切线斜率为3200032x x tx ---，∴322000003623x x t x x x --=--，即3200029120x x x t -++=， ∵过点(2)P t ，可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程3200029120x x x t -++=有3个解．令320000()2912h x x x x t =-++，则0()h x 图象与x 轴有3个交点，∴0()h x 的极大值与极小值异号，2000()61812h x x x '=-+，令0()0h x =，得01x =或2，∴(2)(1)0h h <，即(4)(5)0t t ++<，解得54t -<<-，故选D ． 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案 BDABDABCABD【解析】9．对称轴为ππ32k x k =+∈Z ；对称中心为ππ0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，；π()2sin 26f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭π2cos 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；两个零点的距离：12π()2k x x k -=∈Z ，故选BD ．10．选项A ：()g x 有两条对称轴2x =，7x =，()(4)(14)g x g x g x =-=-，∵()(10)g x g x =+∴周期为10，所以正确；选项B ：()(14)(24)g x g x g x =-=-，12x =是()y g x =的对称轴，所以正确；选项C ：由对称性(1)(3)(11)0g g g ===，()0g x =至少有3个解，所以错误；选项D ：周期为10，[22022]，有202个周期，(1)0g =，至少有20221405⨯+=个解，所以正确，故选ABD ．11．对于A ：πsin sin sin sin sin cos 2A B A A A A ⎛⎫+<+-=+ ⎪⎝⎭，正确；对于B ：ππcos cos cos cos sin cos 124A B A A A A A ⎛⎫⎛⎫+>+-=+=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确；关于C ：cos()cos cos sin sin 0A B A B A B +=->，sin sin cos cos A B A B <，tan tan 1A B <∴，正确；关于D ：tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=<（也可用特殊值法排除）错误，故选ABC ．数学参考答案·第3页（共9页）12．选项A ：π02x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，，cos 0x x ≥，故2sin cos 2sin 2x x x x x x x x x ----=≤≤，所以正确；选项B ：()2sin cos f x x x x x =--，()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-，()cos 0f x x x ''=≥，(0)0f '=，π()002f x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭≥≤≤，()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，()0f x ≥，所以B 正确；选项C ：由选项B 可知当π02x <≤时，()0f x '>，单调递增，无零点；当ππ2x ≤≤时，()cos sin 1f x x x x '=+-单调递减；ππ1022f ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，(π)20f '=-<，由零点存在性定理知有唯一零点，()f x '在(0π)，有1个零点，所以C 错误；选项D ：0a “≤”由选项B 可知不等式成立；法一：若()f x ax ≥，则令()2sin cos h x x x x x ax =---，(0)0h =∵，()cos sin 1h x x x x a '=+--，(0)0h '≥∴即(0)0h a '=-≥，0a ≤；只需证明0a ≤不等式成立，显然；法二：令()2sin cos h x x x x x ax =---，()cos sin 1h x x x x a '=+--，π()cos 002h x x x x ⎡⎤''=∀∈⎢⎥⎣⎦≥，，，()h x '在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增，当0a ≤时，不等式成立，当0a >时，(0)0h a '=-<，ππ122h a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，0π02x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，0(0)()0x x h x '∀∈<，，，()h x 单调递减，(0)0h =∵，()0h x <∴即()f x ax <，不合题意，综上可知，0a ≤命题成立，所以D 正确，故选ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．ππ||2T ω==． 14．古典概型，样本空间样本点总数为55A 120=，事件所占样本个数为3234A A 72=，故723()1205P A ==．数学参考答案·第4页（共9页）15．()sin cos (sin cos )g x x x x x =-+；令πsin cos [4t x x x ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则22111(1)11222t y t t -⎡⎤=-=--∈-+⎢⎥⎣⎦． 16．2sin cos cos sin sin sin sin A B A B B A B =-∵，2sin sin sin sin sin cos cos A B A B B B A +=∴，sin (2sin sin )cos sin cos A B B A B B +=，22sin sin cos sin cos cos 2sin sin 3sin 2cos A B B B BA B B B B==++∴2tan 123tan 23tan tan B B B B==++，tan 12A =，当且仅当23tan 2B =，即tan 3B =时四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）证明：由sin sin tan cos 1cos A B A A B==+知： sin (1cos )sin cos sin sin cos sin cos sin()A B B A A B A A B B A +=⇒=-=-； ………（3分） 由πππ0sin 222A B A y x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增知：2B A =．…………………………………………………………………………（5分）（2）解：由锐角ABC △知π02π202π3π2A B A A B A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+=∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，，，，ππ64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，…………………………………………………………………………（7分）故tan tan tan()tan 11tan tan 3B AB A A A B ⎫-=-=∈⎪⎪+⎝⎭． ………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）21()cos cos 2(2sin 1)224A f x A x x x x ⎫=++--+⎪⎪⎝⎭数学参考答案·第5页（共9页）sin 2(cos 21)2cos 22sin 22cos 2244444A A A A x x x A x x ⎛⎫=++--+=+-+ ⎪⎝⎭sin(2)2x ϕ=++ ， …………………………………………………（4分）故max )22(f x +==+2A =．…………………………（6分）（2）由（1）知3π()2cos 2222223f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， ……………（8分）故37ππ2330ππ46x x -⎡⎤⎡⎤∈⇒∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-，，，故max 5()π212f x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，min 1()(0)2f x f ==， 故()y f x =的值域为122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． …………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：由AB CD AB BC ⊥，∥，22AB BC CD ==得AD BD ⊥， 平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，由PB PD =知PO ⊥平面ABCD ，故PO AD ⊥， ……………………………………（3分） 由AD BD ⊥，AD PO ⊥，BD PO O = ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ， 故AD ⊥平面PBD ．………………………………………………………………（5分）（2）解：OC ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点建立如图2所示的空间直角坐标系O xyz -，则(000)(0)00)O A B -，，，，，，(00)(00)C D ，，，设(00)P a ，，，则由PA PC ⊥知240PA PC a =-=，2a =，故(002)P ，，； …………………………………………………………（7分）设平面PBC 的法向量为()x y z m =，，，由(0)BC =，(02)BP = ，，有020m BC m BP z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，， 取1z =，则1)m = ；设平面PAD 的法向量为()n a b c =，，，图2数学参考答案·第6页（共9页）由02)DP = ，，(00)AD = ，，有200n DP c n AD ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩，， 取1c =，则(01)n =，，…………………………………………（11分）记平面PAD 与平面PBC 所成角为θ，则||cos |cos |15||||m n m n m n θ=〈〉===，．………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）记“小陈同学前3轮比赛答对至少2题”为事件A ，第1轮答错时没有损失奖金风险，故前2轮必答；前3轮比赛答对至少2题包含两种情况： 前2轮全对或前2轮1对1错且小陈同学选择参加第三轮作答且答对， ……………（2分）故212111115()C 13332327P A ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ． ………………………………（5分）（2）记小陈同学参加比赛获得的奖金为X （单位：元）， 在有损失奖金风险时：小陈同学选择继续作答且答对的可能性为16，选择继续作答且答错的可能性为13，选择停止作答的可能性为12，【法一】排异法：22112221211211121442252(0)C C 33333363333927818181P X ⎛⎫⎛⎫==+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………………………………………………………………（7分） 1211(100)3329P X === ，………………………………………………………（8分）2111(200)3329P X === ， ………………………………………………………（9分）21211(300)33227P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（10分）12111(400)336254P X ===， ………………………………………………（11分）故52111113(450)181992754162P X =-----=≥．………………………（12分）数学参考答案·第7页（共9页）【法二】21111(500)336254P X ===，………………………………（6分）311(600)(1000)327P X P X ⎛⎫=+===⎪⎝⎭， …………………………………………（7分）21211(700)33681P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（8分）21211(800)336162P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，…………………………………………………（9分）22111(900)336162P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ，………………………………………………（10分）故1111113(450)542781162162162P X =++++=≥． ……………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）由2c e a ==知a ==， ………………………………（2分）1O AB d →====直线，故b a ==， 故椭圆C 的标准方程为221332x y +=． ………………………………………………（4分） （2）0MN k =时：(01)(11)(11)Q M N -，，，，，，故||||2OQ MN = ； ……………（5分）0MN k ≠时：设直线l 的方程为x my t =+， 由直线l 与圆221x y +=相切，所以1d ==，即221t m =+，………………（6分）联立221332x y x my t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，得222(2)230m y mty t +++-=，由韦达定理：12221222232mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，……………………………………………（8分）数学参考答案·第8页（共9页）MN 中点Q 的坐标为22222tmt m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，故||OQ ===12|||MN y y =-===，…………………………………………………………………（10分）故222224222()()192212124(2)4414|4|||4m m mm m m O N m Q m M ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎤=+=+∈ ⎪ ⎪ ⎥+++⎝⎦⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝++⎭= ，， 综上：||||OQ MN 的取值范围是924⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）1()e 1x f x -'=-，……………………………………………………（1分）令()0f x '<得1x <，令()0f x '>得1x >，故()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增． ………………………（4分）（2）11()e ln ()(1)e 1x x ag g x x x x xa x x --'=+-=---⇒，(1)0g =恒成立(1)1g a '⇒=-，…………………………………………………………………（5分）当0a ≤时：1()(e 1)ln x g x x a x -=--，故(01)x ∈，时，()0g x <，(1)x ∈+∞，时，()0g x >， 只有1x =一个零点，不符合题意； …………………………………（6分）当01a <<时：1()(1)e 1x ag x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)10g a '=->， 由0lim ()x g x +→'=-∞知必存在0(01)x ∈，使得0()0g x '=， ()g x 在0(0)x x ∈，时单调递减，在0()x x ∈+∞，时单调递增；结合min 0()()(1)0g x g x g =<=，0lim ()lim ()x x g x g x +→+∞→==+∞知：数学参考答案·第9页（共9页）()g x 在0(0)x ，和0()x +∞，上各存在一个零点，共有两个零点；……………（8分）当1a =时：11()(1)e 1x g x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)0g '=，故min ()(1)0g x g ==，只有1x =一个零点，不符合题意； ……………………………………（9分）当1a >时：1()(1)e 1x ag x x x-'=+--在(0)x ∈+∞，时单调递增，且(1)10g a '=-<， 由lim ()x g x →+∞'=+∞知必存在0(1)x ∈+∞，使得0()0g x '=，()g x 在0(0)x x ∈，时单调递减，在0()x x ∈+∞，时单调递增，结合min 0()()(1)0g x g x g =<=，0lim ()lim ()x x g x g x +→+∞→==+∞知： ()g x 在0(0)x ，和0()x +∞，上各存在一个零点，共有两个零点， ………………（11分）综上所述：(01)(1)a ∈+∞ ，，． ………………………………………（12分）。
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二(下)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年重庆市巴蜀中学高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z满足z⋅i=1+i，则|z|等于()A. 1B. 2C. √2D. 02.二项式(√x−2x)5的展开式中x的系数为()A. −10B. 10C. −40D. 403.已知甲、乙两组是按大小顺序排列的数据.甲组：27，28，37，m，40，50；乙组：24，n，34，43，48，52.若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等，则mn等于()A. 127B. 107C. 43D. 744.从分别标有数字1、2、3、…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和为8的概率是()A. 121B. 27C. 17D. 1145.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加知识竞赛，决出第一名到第五名(无并列名次)，已知甲排第二，乙不是第五，丙不是第一，据此推测5人的名次排列情况共有()种A. 21B. 14C. 8D. 56.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=12nx(n>0)上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为()A. √33B. √3 C. √22D. 17.粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看作所有棱长均为4cm的正四棱锥.现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，蛋黄的半径为()A. √6+√2B. √6−√2C. √3+1D. √3−18.设实数m>0，若对任意的x∈(1,+∞)，不等式2e2mx−lnxm≥0恒成立，则实数m 的取值范围是()A. [12e ,+∞) B. [12,+∞) C. [1,+∞) D. [e,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为()A. A77⋅A1010B. A177⋅A1010C. A177+A1010D. A171710.在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球.设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是()A. P(X=1)=821B. 随机变量X服从二项分布C. 随机变量X服从超几何分布D. E(X)=8511.已知复数z1=2−2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，复数z2满足|z2−i|=1，则下列结论正确的是()A. P1点在复平面上的坐标为(2,−2)B. z1−=2+2iC. |z1−z2|的最大值为√13+1D. |z1−z2|的最小值为√5−112.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△ABF1为等边三角形，则下列结论一定正确的是()A. 双曲线C的离心率为√7B. △AF1F2的面积为2√3a2C. △BF1F2的内心在直线x=±a上D. △AF1F2内切圆半径为(√3−1)a三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=4√x在点(1,4)处的切线方程为______ ．14.甲、乙、丙三家公司生产同一种产品，已知三家公司的市场占有率分别是25%、25%、50%，且三家公司产品的次品率分别为2%、1%、4%，则市场上该产品的次品率为______ (结果用百分数表示)，该次品是甲公司生产的概率为______ ．15.有6名大学生到甲、乙、丙三所学校去实习，每名大学生只取一所学校，若甲、乙、丙三所学校都需要2名大学生，则不同安排方法的种数为______ .(用数字作答) 16.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=√2，E为AD1的中点，F为D1B上一点，则(EF+FC)2的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(x0,y0)在抛物线C上，且|PF|=x0+1．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．18.某公司开发了一款手机APP，为了解用户对这款APP的满意度，推出该APP3个月后，从使用该APP的用户中随机调查了50名用户，根据这50名用户对该APP满意度的评分，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100)．(1)求频率分布直方图中a的值，以及该数据的中位数(中位数的结果保留小数点后一位数)．(2)公司规定：用户对该APP满意度的评分不得低于75份，否则将对这款APP进行整改，用每组数据的中点值，试估计用户对该APP满意度评分的平均分，并据此回答公司是否需要进行整改．19.如图1所示，在等腰梯形ABCD中，BE⊥AD，BC=1，AD=5，BE=√3.把△ABE沿BE折起，使得AC=2√2，得到四棱锥A−BCDE.如图2所示．(1)求证：AE ⊥平面BCD ；(2)求平面ABC 与平面AED 所成锐二面角的余弦值．20. 小明和小亮是两名篮球运动爱好者，根据统计数据，他们进行投篮练习时，小明投篮成功的概率为23，小亮投篮成功的概率为34，每次投篮成功与否相互独立． (1)小明单独进行投篮练习，一旦投篮成功便停止，求停止时，投篮次数不超过3次的概率；(2)小明和小亮两人同时进行投篮练习，规定每人都投篮2次，记他们总共投篮成功的次数之和为X ，求X 的分布列与期望． 21. 椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，长轴长为2√6．(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)直线l 与圆C 2：x 2+y 2=2相切于点M ，交C 1于两点A ，B ，试问：|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．22.已知函数f(x)=e x−a(x−1)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(x>0)，函数g(x)的唯一极小值点为x0，点(2)设a>1，g(x)=f(x)+1xA(x1,g(x1))和B(x2,g(x2))是曲线y=g(x)上不同两点，且g(x1)=g(x2)，求证：x1⋅x2<x02．答案和解析1.【答案】C【解析】解：z⋅i=1+i，∴z⋅i⋅(−i)=(1+i)⋅(−i)，化为：z=1−i，则|z|=√2，故选：C．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：二项式(√x−2x )5的展开式的通项Tr+1=C5r⋅(−2)r⋅x5−3r2，令5−3r2=1，得r=1，所以二项式(√x−2x)5的展开式中x的系数为C51⋅(−2)1=−10，故选：A．得到通项Tr+1=C5r⋅(−2)r⋅x5−3r2，x的幂指数为1可求得r=1，从而可得答案．本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质与二项展开式的通项公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：因为30%×6=1.8，50%×6=3，所以第30百分位数为n=28，第50百分位数为37+m2=34+432，解得m=40，所以mn =4028=107．故选：B．利用百分位数的定义求解．本题主要考查了百分位数的定义，同时考查了学生的计算能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：从分别标有数字1、2、3、…7的7张卡片中一次性抽取2张的所有情况有C72=21种，抽到的2张卡片上数字之和为8的情况有(1,7)，(2,6)，(3,5)共3种，∴抽到的2张卡片上数字之和为8的概率是321=17．故选：C．计算抽到的2张卡片上数字之和为8的情况种数除以所有抽到的2张卡片种数即可解决此题．本题考查古典概型、组合数，考查数学运算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①乙是第一名，丙、丁、戊三人排在第三、四、五名，有A33=6种名次排列情况；②乙是第三名或第四名，丙不是第一，丙有2种可能，剩下2人有A22=2种可能，此时有2×2×2=8种名次排列情况；则有6+8=14种名次排列情况，故选：B．根据题意，分2种情况讨论：①乙是第一名，②乙是第三名或第四名，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(18n,0)，设P(2ny02,y0)，y0>0，所以FP的中点M(116n +ny02,y02)，所以k OM=y02116n+ny02=y018n+2ny02≤02√18n⋅2ny0=1，所以直线OM的斜率的最大值为1，故选：D．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，设P的坐标，求出PF的中点M的坐标，进而求出直线OM的斜率的表达式，由均值不等式可得直线OM的斜率的最大值．本题考查线段中点的求法及直线斜率的求法和均值不等式的应用，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由粽子的形状是所有棱长均为4cm的正四棱锥，得每个侧面三角形的面积为12×4×4×√32=4√3cm2．∴粽子的表面积为4×4√3+4×4=(16√3+16)cm2；球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个面都相切，正四棱锥的高为ℎ=√42−(2√2)2=2√2cm，设球的半径为r，∴四棱锥的体积V=13×(16√3+16)r=13×16×2√2，解得r=√6−√2cm．故选：B．由三角形面积公式求出侧面积，再由正方形面积公式求得底面积，则表面积可求，求出正四棱锥的高，再由等体积法求内切球的半径．本题考查空间几何体的结构特征及相关计算，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】A【解析】解：依题意，2me2mx−lnx≥0，即2mx⋅e2mx−xlnx≥0，即e2mx⋅lne2mx≥xlnx，设f(x)=xlnx(x>1)，f′(x)=lnx+1>0，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，∴e2mx≥x在(1,+∞)上恒成立，即2m≥lnxx在(1,+∞)上恒成立，设g(x)=lnxx (x>1),g′(x)=1−lnxx2，易知函数g(x)在(1,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减，∴2m≥g(x)max=g(e)=1e ，则m≥12e．故选：A．将已知不等式可以同构为e2mx⋅lne2mx≥xlnx，设f(x)=xlnx(x>1)，则f(e2mx)≥f(x)，由f(x)的单调性可知2m≥lnxx 在(1,+∞)上恒成立，再构造函数g(x)=lnxx(x>1)，求出函数g(x)的最大值即可得解．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：根据题意，法一：对于前排的7人，先在17人中选出7人，排成一排，有A177种排法，将剩下的10人排成一排，有A1010种排法，则有A177A1010种排法，B正确；法二：直接将17人排成一排，左边7人安排在第一排，后面的10人安排在第二排即可，有A1717种排法，D正确；故选：BD．法一：依次分析第一排和第二排的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；法二：直接将17人排成一排，左边7人安排在第一排，后面的10人安排在第二排即可，再计算出不同站法的种数．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：由题意知随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X=0)=C64C104=114，P(X=1)=C41C63C104=821，P(X=2)=C42C62C104=37，P(X=3)=C43C61C104=435，P(X=4)=C44C104=1210，∴E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85，故A，D正确．故选：ACD．由题意知随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．本题考查命题真假的判断，超几何分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】ABC【解析】解：复数z1=2−2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，则P1(2,−2)，z1−= 2+2i．复数z2满足|z2−i|=1，则z2对应的点的轨迹为：以C(0,1)为圆心，1为半径的圆．∴|z1−z2|的最大值为|CP1|+1=√22+(−2−1)2+1=√13+1；|z1−z2|的最小值为|CP1|−1=√22+(−2−1)2−1=√13−1．综上可得：ABC正确，D不正确．故选：ABC．复数z1=2−2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P1，可得P1(2,−2)，z1−.复数z2满足|z2−i|=1，可得z2对应的点的轨迹为：以C(0,1)为圆心，1为半径的圆．因此|z1−z2|的最大值为|CP1|+1；|z1−z2|的最小值为|CP1|−1．本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】BC【解析】解：显然C正确，若过F2的直线与双曲线交于A，B两点，当A，B都在双曲线的右支上时，因为△ABF1为等边三角形，则AB垂直于x轴，所以A，B关于x轴对称，可得A(c,b2a)，由题意可得b2a2c=√33，又b2=c2−a2，e=ca，所以可得e2−2√33e−1=0，e∈(1,+∞)，解得：e=√3，所以A不正确；且c=√3a，在△AF1F2中，设其内切圆的半径为r，由等面积法可得12r(6a+2√3a)=12×4a×2a×√32，∴r=(√3−1)a；当当A，B都在双曲线的左，右两支上时，设AB=BF1=AF1=m，AF2=2a，由双曲线的定义可知AF1−AF2=2a，得m=4a，在△AF1F2中由余弦定理，cos120°=4a2+16a2−4c22×2a×4a ，得e=ca=√7，设内切圆的半径为r′，则12⋅(6a+2√7a)r′=12⋅2a⋅4a⋅√32，得r′=√3a3+√7，故AD错误；不论什么情况下△AF1F2的面积为2√3a2，故选：BC．利用题中的条件以及双曲线的定义及其性质即可做出判断．本题考查了双曲线的定义及其性质，学生的数学运算能力，数据处理能力，属于中档题．13.【答案】y=2x+2【解析】解：y=4√x的导数为y′=4⋅2√x =√x，可得曲线y=4√x在点(1,4)处的切线斜率为k=21=2，则切线的方程为y−4=2(x−1)，即y=2x+2．故答案为：y=2x+2．求得曲线y=4√x的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】2.75%211【解析】解：根据题意，假设市场上该产品共有a件，则次品有a×25%×2%+a×25%×1%+a×50%×4%=2.75a%，则市场上该产品的次品率P=a×2.75%a=2.75%；该次品是甲公司生产的概率P′=a×25%×2%a×2.75%=211；故答案为：2.75%，211．根据题意，假设市场上该产品共有a件，求出次品的数目，计算可得该产品的次品率，进而计算可得该次品是甲公司生产的概率，即可得答案．本题考查互斥事件的概率的计算，注意概率的概念和计算公式，属于基础题．15.【答案】90【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①在6名大学生中选出2人，安排在甲学校，有C62=15种安排方法，②在剩下的4名大学生中选出2人，安排在乙学校，有C42=6种安排方法，③剩下2人安排到丙学校，有1种安排方法，则有15×6=90种安排方法；故选：根据题意，分3步进行分析：①在6名大学生中选出2人，安排在甲学校，②在剩下的4名大学生中选出2人，安排在乙学校，③剩下2人安排到丙学校，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】4+√3【解析】解：由题意得AD1=√2⋅√2=2，D1E=1，D1C=√D1D2+DC2=√2+4=√6将平面D1AB和平面D1BC在一个平面内展开，见平面展开图，根据三角形三边关系知，EF+FC≥EC，所以(EF+FC)2的最小值为EC2=D1E2+D1C2−2⋅D1E⋅D1C⋅cos∠AD1C=1+6−2⋅(cos45°cos30°−sin45°sin30°)=4+√3，故答案为：4+√3．把平面D1AB和平面D1BC在一个平面内展开，根据三角不等式及余弦定理求解．本题考查了长方体的结构特征，考查了两点间距离最小值问题，属于中档题．=x0+1，17.【答案】解：(1)根据焦半径公式可知|PF|=x0+p2解得：p=2，所以抛物线方程是y2=4x；(2)抛物线的焦点F(1,0)，直线l的斜率不可能为0，设直线l：x=my+1，与抛物线方程联立y2−4my−4=0，y1+y2=4mx1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4，解得：m=0，所以直线l的方程是x=1．【解析】(1)通过焦半径公式求解p，得到抛物线方程．(2)抛物线的焦点F(1,0)，直线l的斜率不可能为0，设直线l：x=my+1，与抛物线方程联立y2−4my−4=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解m，得到直线方程．本题考查抛物线的简单性质，抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．18.【答案】解：(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018)×10=1，解得a= 0.006，设该组数据中位数为x，则(0.004+0.006+0.022)×10+0.028×(x−70)=0.5，解得x≈76.4，所以该组数据的中位数为76.4；(2)由题中数据可得，对APP满意度评分的平均分为x−=45×0.004×10+55×0.006×10+65×0.022×10+75×0.028×10+85×0.022×10+95×0.018×10=76.2，因为76.2>75，所以公司不需要进行整改．【解析】(1)利用概率之和为1，列出方程求出a的值，再由频率分布直方图中中位数的求解方法计算中位数即可；(2)由平均数的计算公式求出对APP满意度评分的平均分，比较即可得到答案．本题考查了频率分布直方图的理解和应用，主要考查了由频率分布直方图求解频率的方法，由频率分布直方图求解中位数和平均数的方法，考查了逻辑推理能力与数据分析能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：在等腰梯形中，BC =1，AD =5，BE ⊥AD ，可知AE =2，DE =3， 由BE ⊥BC 可得CE =2．又AC =2√2，则AC 2=CE 2+AE 2， 则AE ⊥EC ，又BE ⊥AE ，BE ∩EC =E ， 可得AE ⊥平面BCD(2)解：AE ⊥EC ，BE ⊥AE ，BE ⊥ED ，则以点E 为原点，以EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A(0,0，2)，B(√3,0,0)，C(√3,1,0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)， 设平面ABC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则：{√3x =2z y =0⇒n 1⃗⃗⃗⃗ =(2,0,√3)， 注意到，面AED 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，设平面ABC 与平面AED 所成锐二面角的平面角为θ， 故cosθ=cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉=2√4+3=2√77．【解析】(1)证明BE ⊥AD ，BE ⊥BC ，推出AE ⊥EC ，然后证明AE ⊥平面BCD (2)以点E 为原点，以EB ，ED ，EA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABC 的法向量，面AED 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面ABC 与平面AED 所成锐二面角的平面角的余弦函数值即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)记小明用了i(i =1,2，3)次投篮就停止为事件A i ，小明在停止投篮时投篮次数不超过3次为事件M ，则P(M)=P(A 1)+P(A 1−⋅A 2)+P(A 1−⋅A 2−⋅A 3)=23+13×23+13×13×23=2627．(2)由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，3，4 则P(X =0)=(13)2⋅(14)2=1144，P(X =1)=C 21⋅23⋅13⋅(14)2+C 21⋅34⋅14⋅(13)2=572，P(X =2)=(23)2⋅(14)2+(13)2⋅(34)2+C 21⋅23⋅13⋅C 21⋅34⋅14=37144， P(X =3)=(23)2⋅C 21⋅34⋅14+(34)2⋅C 21⋅23⋅13=512，P(X =4)=(23)2⋅(34)2=14， 所以X 的分布列为：期望E(X)=0×1144+1×572+2×37144+3×512+4×14=176．【解析】(1)记小明用了i(i =1,2，3)次投篮就停止为事件A i ，小明在停止投篮时投篮次数不超过3次为事件M ，利用互斥事件的概率求解即可．(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到分布列，然后求解期望． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，ca =√2且2a =2√6，解得：a =√6，c =√3，所以b 2=a 2−c 2=3， 则椭圆C 1：x 26+y 23=1；(2)当直线l 的斜率不存在时，不妨令M(√2,0)， 故A(√2,√2)，B(√2,−√2)，则|MA|⋅|MB|=2，当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m ，M(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，故，圆心到直线的距离d =√1+k 2⇒m 2=2(k 2+1)，且k =−xy 0，联立：{y =kx +mx 2+2y 2=6⇒(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0， ∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，且x 02+y 02=2，由于A ，M ，B 三点共线，则|MA|⋅|MB|=−MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 0)(x 2−x 0)+(kx 1+m −y 0)(kx 2+m −y 0)=(1+k 2)x 1x 2+(km −ky 0−x 0)(x 1+x 2)+x 02+(m −y 0)2=(1+k 2)(2m 2−6)1+2k 2−4km(km −ky 0−x 0)1+2k2+x 02+y 02−2my 0+m 2 =2m(kx 0−m)1+2k 2+2，注意到k =−xy 0且y 0=kx 0+m ，则x 0=−km k 2+1，代入上式，即得：MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2m 2−2k 2m 2k 2+11+2k 2+2=−4(2k 2+1)1+2k 2+2=−2故|MA|⋅|MB|=−MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2．【解析】(1)利用椭圆的离心率，长轴长，求解a ，b ，定点椭圆方程．(2)当直线l 的斜率不存在时，推出|MA|⋅|MB|=2，当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m ，M(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，求出圆心到直线的距离，联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理的结果，由于A ，M ，B 三点共线，化简向量的数量积，推出结果．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】(1)f(x)的定义域为R ，f′(x)=e x −a ，当a ≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在R 上单调递增； 当a >0时，由f′(x)=0，得x =lna ，当x ∈(−∞,lna)时，f′(x)<0；当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)>0． 所以f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，f(x)在R 上单调递增；当a >0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增． (2)由题意g′(x 0)=0得a =e x 0−1x 02，不妨设x 1<x 2，由g(x 1)=g(x 2)，得e x 1−ax 1+a +1x 1=e x 2−ax 2+a +1x 2，即e x 1−e x 2x 1−x 2=a +1x1x 2，且a =e x 0−1x 02，所以e x 1−e x 2x 1−x 2−1x 1x 2=e x 0−1x 02，要证x 1x 2<x 02，即证√x 1x 2<x 0，显然ℎ(x)=e x −1x 2在(0,+∞)上是增函数，故只需证ℎ(√x 1x 2)<ℎ(x 0)，即证e √x 1x 2−1x 1x 2<e x 0−1x 02，即证e √x 1x 2−1x1x 2<e x 1−e x 2x 1−x 2−1x1x 2，即证e √x 1x 2<e x 1−e x 2x 1−x 2，又由于√x 1x 2<x 1+x 22，故只需证e x 1+x 22<e x 1−e x 2x 1−x 2，即证x 2−x 1<ex 2−x 12−ex 1−x 22，令ex 2−x 12=t(t >1)，则x 2−x 1=2lnt ，所以即证2lnt <t −1t ．令φ(t)=2lnt −t +1t (t >1)，则φ′(t)=−(t−1)2t 2<0，所以φ(t)在(1,+∞)上为减函数， 从而φ(t)<φ(1)=0，即有2lnt <t −1t ，从而x 1x 2<x 02成立．【解析】(1)对于f(x)求导，再对a 分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；(2)分析可得要证x 1x 2<x 02，x 2−x 1<ex 2−x 12−ex 1−x 22，令ex 2−x 12=t(t >1)，即证2lnt <t −1t ，令φ(t)=2lnt −t +1t (t >1)，利用导数求得φ(t)的单调性，从而证得φ(t)<0，即可得证．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式的证明，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。
[名师原创解析]2020届四川省巴蜀中学高考适应性月考卷(二)理科数学试题
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3
2
A.3
B.4
C.5
D.6
第九套 - 1
全国名校
合卷：河北邯郸焦子奇
【考点】三角函数的性质
【命题意图】本题考查了三角函数的性质，分类讨论的数学思想，考查了学生的逻辑思维能
力和运算能力。
答案：D.
解析：（浙江衢州汪强）
当 ω > 0 时， 5π ≤ ω ⋅ π + π < 13π ，即 2 ≤ ω < 6 ，所以 ω = 2，3，4，5 ；
全国名校
合卷：河北邯郸焦子奇
❿ 巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（二）
理数
10.（巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（二）理数）已知 AB ⋅ AC = 0, BC = 4, P 是三角
形 ABC 平面内任意一点，且满足| PA |= 1, PB ⋅ PC 的最小值是（ ）.
x
第九套 - 4
全国名校
合卷：河北邯郸焦子奇
f (x) 的导函数，若关于 x 的方程 f '(x) − f (x) = 0 有两个不等的根，则实数a 的取值范围是 x +1
________________.
【考点】导数与零点问题
【命题意图】此题对学生能力要求较高，是拉开学生得分档次的题目.本题考查了学生利，
第九套 - 2
全国名校
合卷：河北邯郸焦子奇
y′ = x ，所以 2k =
p
p
解法 3：极限法 2
l1,l2 重合时，直线 AM 即抛物线在点 A 处的切线，直线 BN 即抛物线在点 B 处的切线，
联立直线l1 与抛物线C 消去 y 得 xA + xB = 2pk ，由阿基米德三角形知 xA + xB = 2xE ，
重庆市鲁能巴蜀中学2018-2019学年度第二学期半期考试初2020届初二 数学试题
重庆市鲁能巴蜀中学2018-2019学年度第二学期半期考试初2020届（二下）数学试题命题人：曹瑶 魏正兵 审题人：赵平一、选择题：1.下列各式32x y -，23m m +，()2314y +，3a b -，1π其中分式共有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个 2.若分式12x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A.2x > B.2x < C.2x = D.2x ≠3.下列四个命题正确的是（ ）A.菱形的对角线相等B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.对角线互相垂直的平行四边形是正方形4.用配方法解一元二次方程2430x x --=，下列变形正确的是（ ）A.()24316x -=-+B.()24316x -=+C.()2234x -=+D.()2234x -=-+ 5.已知某多边形的内角和比该多边形外角和的2倍多180︒，则该多边形的边数是（ ）A.6B.7C.8D.96.关于x 的一元二次方程210x mx +-=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根7.有一张平行四边形纸片ABCD ，已知65B ∠=︒，按如图所示的方法折叠两次，则BCF ∠的度数等于（ ）A.55︒B.50︒C.45︒D.40︒8.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知10BD =，6AC =，BOC △的周长为15，则AD 的长为（ ）A.5B.6C.7D.89.如图，菱形ABCD 的两条对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 的中点，若6AC =，菱形ABCD 的面积为24，则OE 长为（ ）A.2.5B.3.5C.3D.410.如图，在ABC △中，6AB =，8AC =，10BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）A.245B.4C.5D.12511.如图，E 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一点，且AE AB =，F 为BE 上任意一点，FG AC ⊥于点G ，FH AB ⊥于点H ，则FG FH +的值是（ ）A.2C.2D.112.关于y 的分式方程6322a y y y --=--有正整数解，且关于x 的不等式组333223263x a x ⎧+<⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩无解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A.4-B.0C.8-D.12- 二、填空题：13.若分式11x x -+值为零，则x =________. 14.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=3cm ，AB 垂直于BD ，点O 是两条对角线的交点，OD=2cm，。
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级(下)入学数学试卷详细答案与答案解析
参考答案与试题解析
2020-2021学年重庆市渝中区巴蜀中学九年级（下）入学数学试卷
一、选择题（每题4分，共12小题）
1.
【答案】
D
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】
从上面看易得第一层有 个正方形，第二层有 个正方形．
2.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数的关系
【解析】
根据 求出第三边长的表达式，求出 即可．
【解答】
如图：
设 ＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ， ，
∴ ．
3.
【答案】
B
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
7.如图都是由同样大小的圆按一定规律摆出的图案，第①个图案有 个圆，第②个图案有 个圆，第③个图案有 个圆，…，依此规律，第 个图案圆的个数为（）
A. B. C. D.
8.如图，为了测量旗杆 的高度，小明在点 处放置了高度为 米的测角仪 ，测得旗杆顶端点 的仰角 ＝ ，然后他沿着坡度为 的斜坡 走了 米到达点 ，再沿水平方向走 米就到达了旗杆底端点 ．则旗杆 的高度约为（）米．（参考数据： ， ， ）．
现有 张完全相同的卡片分别写着数字 ， ， ， ．将卡片的背面朝上并洗匀，从中任意抽取一张，将卡片上的数字记作 ．再从余下的卡片中任意抽取一张，将卡片上的数字记作 ，则抛物线 ＝ 与 轴有交点的概率为________ ．
高考满分数学压轴题14 立体几何的动态问题(可编辑可打印)
一．方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.二．解题策略类型一 立体几何中动态问题中的角度问题例1. 已知平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，60A ∠=︒，沿对角线BD 将ABD △折起到PBD △的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，如图，若M ，N 均是线段PD 的三等分点，点Q 是线段MN 上（包含端点）的动点，则二面角Q BC D --的正弦值的取值范围为（ ）A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．14192⎡⎢⎣⎦C ．24193⎡⎢⎣⎦D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【来源】2021年浙江省新高考测评卷数学（第五模拟） 【答案】B【解析】在ABD △中，1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，所以由余弦定理得3BD =，所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，由翻折的性质可知，PB BD ⊥．又平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD 平面BCD BD =，所以PB ⊥平面BCD ，过点Q 作//QQ PB '，交BD 于点Q '，则QQ '⊥平面BCD ，所以QQ BC '⊥，过Q '作Q T BC '⊥，垂足为T ，连接QT ，则BC ⊥平面QQ T '，立体几何的动态问题所以QTQ '∠为二面角Q BC D --的平面角． 设2QD a =（1233a ≤≤），则QQ a '=，3DQ a '=，33BQ a '=-，()113322Q T BQ a ''==-，所以2222211(33)76322QT QQ Q T a a a a ⎡⎤''=+=+-=-+⎢⎥⎣⎦， 所以22222sin 136176373142QQ aQTQ QT a a a aa ''∠====⎛⎫-+-+-+ ⎪⎝⎭． 由二次函数的单调性知，21314y a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为19,164⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以221419sin ,2191314QTQ a ⎡⎤'∠=∈⎢⎥⎣⎦⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即二面角Q BC D --的正弦的取值范围为1419,219⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 故选：B.【举一反三】1．（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）．A ．23⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．33⎣⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】如图，设正方体棱长为1，()11101A PAC λλ=≤≤．以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,,1P λλ-，所以11,,122OP λλ⎛⎫=--⎪⎝⎭．在正方体1111ABCD A B C D -中，可证1B D ⊥平面11A BC ， 所以()11,1,1B D =---是平面11A BC 的一个法向量．所以122211()()122sin cos ,1113163222OP B D λλθλλλ-----===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以当12λ=时，sin θ30λ=或1时，sin θ取得最小值23． 所以23sin 3θ∈⎣⎦.故选A ． 2．（2020·广东高考模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1B E //平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )A ．13 B ．33 C ．12 D ．22【答案】B【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1， 设E(a,0，c)，0a 1≤≤，0c 1≤≤，1B (1,1，1)，B(1,1，0)， D(0,0，0)，1C (0,1，1)，()1B E a 1,1,c 1=---，DB (1,=1，0)，1DC (0,=1，1)，设平面1DBC 的法向量n (x,=y ，z)，则1n DB 0n DC 0x y y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x 1=，得()n 1,1,1=-，1B E //平面1BDC ，1B E n a 11c 10∴⋅=-++-=，解得a c 1+=，()222a c a c 2ac 12ac ∴+=+-=-，2a c 1ac 24+⎛⎫≤=⎪⎝⎭，设直线1B E 与直线AB 所成角为θ，AB (0,=1，0)，()()1221AB B E 1cos θAB B Ea 11c 1⋅∴==⋅-++-2a c 1ac 24+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，322ac 2∴-≥，1222ac 3∴≤-，()()()222211sin θ11a c 2a c 3a 11c 1∴=-=-+-++-++-221123111a c 122ac 33=-=-≥-=++-． ∴直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是33．3.（2020·浙江台州中学高三）如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --，Q OR P --，R OP Q --的平面角为,,αβγ，则（ ）A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βαγ<<【答案】D【解析】分析：建立空间直角坐标系，对动点O 选取一个特殊位置，然后求出三个侧面的法向量，根据向量夹角的余弦值求得三个二面角的余弦值，比较后可得二面角的大小．详解：建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．考虑点O 与点A 重合时的情况．设正方体的棱长为1，则()()111,,0,Q ,0,0,R 01,0,O 0,0,132P ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 设平面OPQ 的一个法向量为1(,,)n x y z =，由111(,,)(,0,1)02211(,,)(,,0)02323x n OQ x y z z x y n PQ x y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎪⎨⎪⋅=⋅--=--=⎪⎩，得322x y x z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令2x =，得1(2,3,1)n =-．同理可得平面OPR 和平面OQR 的法向量分别为23(2,3,3),(6,3,7)n n ==． 结合图形可得：1323521cos cos ,,cos cos ,7471147n n n n αβ====⨯⨯12cos cos ,711n n γ==⨯∴cos cos cos γαβ<<，又0,,γαβπ<<，∴γαβ>>．故选D ． 类型二 立体几何中动态问题中的距离问题【例2】（2020·山西高三）设点M 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，点P 在面BCC 1B 1所在的平面内，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则点P 到点C 1的最短距离是（ ） A 25B ．22C ．1D ．63【答案】A【解析】如图，过点P 作1D M 的平行线交BC 于点Q 、交11B C 于点E ，连接MQ ，则PQ 是平面1D PM 与平面11BCC B 的交线，MQ 是平面1D PM 与平面ABCD 的交线．EF 与1BB 平行，交BC 于点F ，过点F 作FG 垂直MQ 于点G ，则有，MQ 与平面EFG 垂直，所以，EG 与MQ 垂直，即角EGF 是平面1D PM 与平面ABCD 的夹角的平面角，且sin EFEGF EG∠=， MN 与CD 平行交BC 于点N ，过点N 作NH 垂直EQ 于点H ，同上有：sin MNMHN MH∠=，且有EGF MHN ∠=∠，又因为EF MN AB ==，故EG MH =， 而2EMQ S EG MQ MH EQ ∆=⨯=⨯，故MQ EQ =，而四边形1EQMD 一定是平行四边形，故它还是菱形，即点E 一定是11B C 的中点， 点P 到点1C 的最短距离是点1C 到直线BE 的距离，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，()2,1,2E ，()2,0,0B ， ()12,2,2C ，()0,1,2BE =， ()10,2,2BC =，∴点P 到点1C 的最短距离：22111||625||1()221()5||||58BE BC d BC BE BC =-=⨯-=⨯．故选：A ．【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值. 【举一反三】1．（2020·四川高三（理））已知三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，且SA 、SB 、SC 两两垂直，P 是三棱锥S ABC -外接球面上一动点，则P 到平面ABC 的距离的最大值是（ ）A ．33B ．3C ．233D ．433【答案】C 【解析】【分析】,,SA SB SC 是棱长为1的正方体MNQB ADCS -上具有公共顶点S 的三条棱,以B 为原点,,,BM BQ BS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系,三棱锥S ABC -外接球就是正方体MNQB ADCS -的外接球，由正方体及球的几何性质可得点P 与N 重合时，点P 到平面ABC 的距离最大，求出平面ABC 的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果. 【详解】三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且,,1SA SB SC =，∴如图,,SA SB SC 是棱长为1的正方体MNQB ADCS -上具有公共顶点S 的三条棱,以B 为原点,,,BM BQ BS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系, 则()()()()()0,0,0,1,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0B A C S N ，()()()1,0,1,0,1,1,1,1,0BA BC BN ===，设平面ABC 的法向量(),,n x y z =，则00n BA x z n BC y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1n =-，三棱锥S ABC -外接球就是棱长为1的正方体MNQB ADCS -的外接球，P 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，∴由正方体与球的几何性质可得，点P 点与N 重合时，点P 到平面ABC 的距离最大，∴点P 到平面ABC 的距离的最大值为1102333BN n d n⋅++===.故选C. 2．已知四边形ABCD 是边长为5的菱形，对角线8BD =（如图1），现以AC 为折痕将菱形折起，使点B 达到点P 的位置.棱AC ，PD 的中点分别为E ，F ，且四面体PACD 的外接球球心落在四面体内部（不含边界，如图2），则线段EF 长度的取值范围为（ ）A ．14,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．141,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．14,62⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．()3,4【来源】江西省鹰潭市2021届高三高考二模数学（文）试题 【答案】A 【解析】由题意可知△APC 的外心1O 在中线PE 上， 设过点1O 的直线1l ⊥平面APC ,可知1l ⊂平面PED , 同理△ADC 的外心2O 在中线DE 上,设过点2O 的直线2l ⊥平面ADC ，则2l ⊂平面PED , 由对称性知直线12,l l 的交点O 在直线EF 上.根据外接球的性质,点O 为四面体PACD 的外接球的球心. 由题意得3,4EA PE ==,而2221111,4O A O E EA O A O E PE =++==所以178O E =. 令PEF θ∠=,显然02πθ<<,所以cos 4cos 4EF PE θθ==<. 因为1cos EF O EPE OEθ==， 所以172OE EF O E PE ⋅=⋅=， 又OE EF <，所以272EF >，即142EF >. 综上可知1442EF <<. 故选：A.3（2020广西柳州市模考）如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）A ．当时，平面B ．当为中点时，四棱锥的外接球表面为C ．的最小值为D ．当时，平面【答案】C【解析】对于，连结，，，则，，，设到平面的距离为，则，解得，∴.∴当时，为与平面的交点．∵平面∥平面， ∵平面，∴∥平面，故A 正确． 又由以上分析可得，当时，即为三棱锥的高，∴平面，所以D 正确． 对于B ，当为中点时，四棱锥为正四棱锥， 设平面的中心为，四棱锥的外接球为，所以，解得，故四棱锥的外接球表面积为，所以B 正确．对于C ，连结，，则， ∴，由等面积法得的最小值为，∴的最小值为．所以C 不正确．故选：C.类型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】（2020·河南高三（理））在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 是底面ABCD 所在平面内一动点，设1PD ，PE 与底面ABCD 所成的角分别为12θθ，（12θθ，均不为0），若12θθ=，则三棱锥11P BB C -体积的最小值是（ ） A ．92B ．52C ．32D ．54【答案】C【解析】建系如图，正方体的边长为3，则(3E ，0，3)2，1(0D ，0，3)，设(P x ，y ，0)(0x ，0)y ，则(3PE x =-，y -，3)2，1(PD x =-，y -，3)，12θθ=，(0z =，0，1)，12cos cos θθ∴=，即11||||||||||||PD z PE z PE z PD z =，代入数据，得：222233299(3)4x y x y =++-++，整理得：228120x y x +-+=，变形，得：22(4)4(02)x y y -+=， 即动点P 的轨迹为圆的一部分，过点P 作PF BC ⊥，交BC 于点F ，则PF 为三棱锥11P BB C -的高∴点P 到直线AD 的距离的最大值是2．则min 321PF =-=．1111119332212BB C BB B C S ∆=⋅⋅=⨯⨯=，1111193132213P BB C BB C V PF S -∆=⨯⨯⋅⋅=∴=故选：C ．【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD 的距离的最大值，选择公式，可求最值. 【举一反三】1.（2020·四川高三期末）长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，P 为该正方体侧面11CC D D 内（含边界）的动点，且满足tan tan 22PAD PBC ∠+∠=.则四棱锥P ABCD -体积的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．22,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】如图所示：在RT PAD 中，tan PD PAD PD AD ∠==，在RT PBC 中，tan PCPBC PC BC∠==， 因为tan tan 22PAD PBC ∠+∠=，所以22PD PC +=.因为222PD PC CD +=>=，所以点P 的轨迹是以,C D 为焦点 222a =的椭圆. 如下图所示：2a =1c =，211b =-=，椭圆的标准方程为：2212x y +=.1(0,1)P联立22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：2y =.所以22()P -，32P . 当点P 运动到1P 位置时，此时四棱锥P ABCD -的高最长， 所以max 1112()21333P ABCD ABCD V S PO -=⨯⨯=⨯⨯=. 当点P 运动到2P 或3P 位置时，此时四棱锥P ABCD -的高最短，所以min 21122()23323P ABCD ABCD V S P D -=⨯⨯=⨯⨯=. 综上所述：2233P ABCD V -≤≤. 2．如图，长方形ABCD 中，152AB =，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14 B ．23 C 151-D 51- 【答案】A【解析】设过A 与DE 垂直的线段长为a ，则tan AE α=，150tan 2α<<，1cos DE α=，sin a α=，则四棱锥A BCDE '-的高πsin sin sin sin cos 2h a βαααα⎛⎫=⋅=⋅-=⎪⎝⎭， 则111515tan 1sin cos 3222A BCDE V ααα'-⎛=⨯⨯-+⨯⨯ ⎝⎭)115tan sin cos 6ααα=⨯ )2115cos sin 6ααα=- )11152cos 21212αα=+- 115112cos 234412αα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()11sin 2312αϕ=+-，15tan 15ϕ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴四棱锥A BCDE '-体积的最大值为1113124-=. 故选：A.3．（2020·重庆市松树桥中学校高三）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值；②三棱锥1D BPC -的体积为定值；③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值； ④二面角1P BC D --的大小为定值．其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D【解析】对于①，异面直线1A P 与1BC 间的距离即为两平行平面11ADD A 和平面11BCC B 间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于11D BPC P DBC V V --=，而1DBC S ∆为定值，又P ∈AD 1，AD 1∥平面BDC 1，所以点P 到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥1D BPC -的体积为定值．故②正确．对于③，由题意得在正方体1111ABCD A B C D -中，B 1C ⊥平面ABC 1D 1，而C 1P ⊂平面ABC 1D 1，所以B 1C ⊥C 1P ，故这两条异面直线所成的角为90︒．故③正确；对于④，因为二面角P −BC 1−D 的大小，即为平面ABC 1D 1与平面BDC 1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角1P BC D --的大小为定值．故④正确．综上①②③④正确．选D ．类型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】（2020南充高考一模）如图，直二面角AB αβ--，P α∈，C β∈，D β∈，且AD AB ⊥，BC AB ⊥，5AD =，10BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是（ ）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.一条直线D.两条直线【答案】A【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点(),P x y ，()30A -,，()3,0B ，AD AB ⊥，BC AB ⊥，则AD α⊥，BC α⊥，5AD =，10BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，Rt APDRt CPB∴∆∆，()()22223511023x y APAD BPBC x y ++∴====-+ ，即()()2222343x y x y ⎡⎤-+=++⎣⎦，整理得：()22516x y ++=，故点P 的轨迹是圆的一部分，故选A .【指点迷津】空间轨迹问题的求解策略：1.利用侧面展开或展到一个平面上寻求轨迹；2.利用圆锥曲线定义求轨迹；3.这辗转过程中动点的轨迹；4.利用函数观点探求轨迹 【举一反三】1．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为23M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB 内，且三角形PMN 的面积63PMN S =△P 的轨迹长度为（ ）A ．269π B ．263π C ．469π D ．463π 【答案】B【解析】如图所示：连接11BC B C O =，因为四边形11BCC B 是正方形，所以11BC B C ⊥，因为11D C ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，所以11D C ⊥1B C ， 又11111,BC D C C BC =⊂平面11BC D ，11D C ⊂平面11BC D ，所以1B C ⊥平面11BC D ，所以11B C D B ⊥， 同理可知：11B A D B ⊥，又因为1B C ⊂平面1ACB ，1B A ⊂平面1ACB ，111B C B A B =，所以1D B ⊥平面1ACB ，根据题意可知：11136,26D B AB AB BC AC =====所以1ACB 为正三角形，所以160∠=︒B AC ，所以11326266322ACB S=⨯⨯⨯=，设B 到平面1ACB 的距离为h ， 因为11B ACB B ABC V V --=，所以111133ACB ACBSh S BB ⋅⋅=⋅⋅，所以11ACB ACBSh SBB ⋅=⋅，所以()232323262342h ⨯⨯⨯=⨯，所以1123h D B ==，所以h BN =， 所以N 即为1D B 与平面1ACB 的交点，由题意可知：1D B ⊥平面1ACB ，所以MN PN ⊥，所以11262223PMNSMN PN PN PN =⋅=⋅⋅==，再如下图所示：在正三角形1ACB 中，高3sin 6026322AO AC =︒== 所以内切圆的半径16233r AO ==<，且623AN <=，取1B C 的两个三等分点,E F ，连接,EN FN ，所以1//,//NE AB NF AC ，所以NEF 是以PN 长度为边长的正三角形，所以P 的轨迹是以N 为圆心，半径等于263的圆，圆的周46π，在1ACB 内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为60︒，所以对应的轨迹长度是圆周长的一半为63π，故选：B. 2、（2020贵阳高考模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，已知点P 为平面11AA D D 中的一个动点，且点P 满足：直线1PC 与平面11AA D D 所成的角的大小等于平面PBC 与平面11AA D D 所成锐二面角的大小，则点P 的轨迹为（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 【答案】DF E P C 1B 1D 1A 1DCBA z yx3．几何中常用表示L 的测度，当L 为曲线、平面图形和空间几何体时，L 分别对应其长度、面积和体积．在ABC 中，3AB =，4BC =，5AC =，P 为ABC 内部一动点（含边界），在空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹为L ，则L 等于（ ） A ．612π+B ．2263π+ C ．20123π+ D ．22123π+ 【来源】安徽省合肥市2021届高三下学期第三次教学质量检测理科数学试题 【答案】D【解析】空间中，到点P 的距离为1的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面ABC 的角度看，如下图所示：其中：BCDF ，ACEI 和ABGH 区域内的几何体为底面半径为1的半圆柱；CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为,,C B A ；ABC 区域内的几何体是高为2的直三棱柱. 四边形BCDF 和ACEI 为矩形，2DCB ECA π∴∠=∠=，2DCE ACB ACB πππ∴∠=--∠=-∠，同理可得：FBG ABC π∠=-∠，HAI CAB π∠=-∠，()332DCE FBG HAI ACB ABC CAB ππππ∴∠+∠+∠=-∠+∠+∠=-=，∴CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体合成一个完整的，半径为1的球，则CDE ，BFG ，AHI 区域内的几何体的体积之和3144133V ππ=⨯=； 又BCDF ，ACEI 和ABGH 区域内的几何体的体积之和()221134562V ππ=⨯⨯++=；ABC 区域内的直三棱柱体积31342122V =⨯⨯⨯=，4226121233L πππ∴=++=+.故选：D.三．强化训练1．（2020·内蒙古高三期末）如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段1A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．①异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒②11DC D M ⊥③三棱锥1M DCC -的体积为定值 ④1AM MD +的最小值为2． A ．①②③ B ．①②④C ．③④D ．②③④【答案】A【解析】①∵AD ∥BC ，∴异面直线AD 与1CB 所成的角即为BC 与1CB 所成的角， 可得夹角为45︒，故①正确；②连接1CD ，∵1DC ⊥平面A 1BCD 1，1D M ⊂平面A 1BCD 1， ∴11DC D M ⊥，故②正确；③∵1A B ∥平面DCC 1D 1，∴线段A 1B 上的点M 到平面DCC 1D 1的距离都为1, 又△DCC 1的面积为定值12, 因此三棱锥M −DCC 1的体积1111326V =⨯⨯=为定值,故③正确； ④将面AA 1B 与面A 1BCD 1沿A 1B 展成平面图形,线段AD 1即为AP +PD 1的最小值， 在△D 1A 1A 中,∠D 1A 1A =135°, 利用余弦定理解三角形得111211135222AD cos =+-⨯⨯⨯︒=+<，故④不正确.因此只有①②③正确.故选：A .2.（2020河南省焦作市高三）在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在棱AA 1和AB 上，且C 1E ⊥EF ，则|AF|的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．2【答案】B【解析】以AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C 1（4，4，4），设E （0，0，z ），z ∈[0，4]，F （x ，0，0），x ∈[0，4]，则|AF|＝x ．＝（4，4，4﹣z ），＝（x ，0，﹣z ）．因为C 1E ⊥EF ，所以，即：z 2+4x ﹣4z ＝0，x ＝z ﹣．当z ＝2时，x 取得最大值为1．|AF|的最大值为1．故选：B ．3．（2020·重庆巴蜀中学高三（理））棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为1CC 的中点，P 在底面ABCD 内运动，1D P 与平面ABCD 所成角为1θ，NP 与平面ABCD 所成角为2θ，若12θθ=，则AP 的最小值为（ ） A ．2 B ．83C ．4D ．1【答案】A【解析】分析：先证明PD=2PC ，再在底面ABCD 内建立如图所示的直角坐标系，求出211680sin()99PA αϕ=-+，再利用三角函数的图象和性质求出|AP|的最小值. 【详解】设12θθθ==，所以12tan tan DD PD θθ==，1PC tan tan CN θθ==，所以PD=2PC. 在底面ABCD 内建立如图所示的直角坐标系，设点P(x,y),则2222(1)2(+1)x y x y -+=+整理得22516454(),cos ,sin 39333x y x y αα++=∴=-=， 所以2224841168011680(cos )(sin 2)sin()43339999PA αααϕ=-+-=-+≥-=， 即||2AP ≥,所以|AP|的最小值为2.故选：A4．已知三棱锥A BCD -的所有棱长均为2，E 为BD 的中点，空间中的动点P 满足PA PE ⊥，PC AB ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ） A ．1116πB 3πC 11πD 3π【来源】浙江省五校2021届高三下学期5月联考数学试题 【答案】C【解析】正四面体A BCD -2，建立空间直角坐标系如图所示，()()22,,2,2,2,0,0,2,222E C B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ，()22,,2,,,22PE x y z AP x y z ⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,2,PC x y z =---.由于PA PE ⊥，PC AB ⊥，所以00AP PE PC AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()()2220222220x x y y z z y z ⎧⎛⎫⎛⎫-+-+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=⎪⎩，即22222202220x x y y z z y z ⎧-+-+-=⎪⎨⎪+-=⎩， 即2222223442420x y z y z ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+-=⎪⎩， 22222234424x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示球心为222,,442⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径为32R =的球. 20y z +-=表示垂直于yAz 平面的一个平面.所以P 的轨迹是上述平面截球面所得圆.球心222,,442⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭到平面20y z +-=的距离为22222142411d +-==+， 所以截得的圆的半径2231114164r R d =-=-=， 所以截得的圆，也即P 点的轨迹的长度为11112242r πππ=⨯=. 故选：C5.（2020郑州一中高三期末）在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C．（2020九江高三一模）在长方体中，，，分别是棱6．的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，其中H 、Q 、R 分别为、的中点，易证平面ACD 1∥平面EFGHQR ，∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点， ∴D 1P∥面ACD 1，∴D 1P 面ACD 1，∴P ∈AC ，∴过P 作AC 的垂线，垂足为K ，则BK=,此时BP 最短，△PBB 1的面积最小， ∴三角形面积的最小值为，故选：C ．7．（2020·浙江高三期末）在三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB AC BC ======，点Q 为ABC ∆ 所在平面内的动点，若PQ 与PA 所成角为定值θ，π(0,)4θ∈，则动点Q 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】B【解析】建立空间直角坐标系，根据题意，求出Q 轨迹方程，可得其轨迹.由题，三棱锥P ABC -为正三棱锥，顶点P 在底面ABC 的射影O 是底面三角形ABC 的中心，则以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，以OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得1OA OP ==，设Q 为平面ABC 内任 一点，则()()()()()1,0,0,0,0,1,,,0,1,0,1,,,1A P Q x y PA PQ x y =-=- ，由题PQ 与PA 所成角为定值θ，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,221cos 21PA PQ x PA PQ x y θ⋅+==⋅++则()()22222cos11x y x θ++=+ ，化简得222cos22cos 2cos20x y x θθθ⋅+⋅-+= ，ππ0,,20,,cos 20,42θθθ⎛⎫⎛⎫∈∴∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故动点Q 的轨迹是椭圆.选B8．（2020·上海格致中学高三月考）在正方体''''ABCD A B C D -中,若点P (异于点B )是棱上一点,则满足BP 与AC '所成的角为45︒的点P 的个数为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．6【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P 的个数．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长1AB =，(1B ，0，1)，(1C ，1，1)． ①在Rt △AA C ''中，||tan 2||A C A AC AA '''∠'=='45A AC '∠'≠︒．同理AB ，AD 与AC '所成的角都为arctan 245≠︒．故当点P 位于（分别与上述棱平行或重合）棱BB '，BA ，BC 上时，与AC '所成的角都为arctan 245≠︒，不满足条件；②当点P 位于棱AD 上时，设(0P ，y ，1)，(01)y ，则(1BP =-，y ，0)，(1AC '=，1，1)-．若满足BP 与AC '所成的角为45︒，则22|||1||cos ,|2||||13BP AC y BP AC BP AC y '-+=<'>=='+， 化为2410y y ++=，无正数解，舍去； 同理，当点P 位于棱A D ''上时，也不符合条件； ③当点P 位于棱B C ''上时，设(1P ，y ，0)，(01)y ， 则(0BP =，y ，1)-，(1AC '=，1，1)-．若满足BP 与AC '所成的角为45︒，则22|||1||cos ,|2||||13BP AC y BP AC BP AC y '+=<'>=='+， 化为2410y y -+=，01y ，解得23y =-，满足条件，此时点(1,23,0)P -．④同理可求得棱C D ''上一点(532,1,0)P -，棱C C '上一点(1,1,324)P -． 而其它棱上没有满足条件的点P ．综上可知：满足条件的点P 有且只有3个．故选：B 9.（2020上海交通大学附属中学高三）如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【答案】C【解析】如图所示：∵PA ⊥平面ABC ，∴PD 与平面ABC 所成的角=∠PDA, 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接PE ，∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC ，∴BC⊥平面PAE ，∴BC⊥PE,在Rt△AED ，Rt△PAD ，Rt△PED 中：cos ，cos ，cos，∴coscoscos < cos ,又均为锐角， ∴，故选C.10．（2020·湖南长郡中学高三（理））在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，23AB =，Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45π B ．57πC ．63πD ．84π【答案】B【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形找出ABC △的外接圆圆心与三棱锥P ABC - 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．详解：三棱锥P ABC PA ABC 中，平面，-⊥ 设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ ，如图所示；则3PAsinPQ PQ ，θ== 由题意且θ的最大值是3π3PQ=，，解得PQ =即PQ 的最小值为∴AQ ，即点A 到BC ，AQ BC ∴⊥，AB BC ∴== 6BC ；∴= 取ABC △的外接圆圆心为O '，作OO PA ' ，62120r sin ∴=︒，解得r =；O A ∴'=M 为PA 的中点，32OM O A PM ∴='==，由勾股定理得CP R === ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积是224457S R πππ==⨯⨯=．故选B.11．在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是以B 为直角的等腰三角形，且3AB =，1AA =若点D 为棱1AA 的中点，点M 为面BCD 的一动点，则11 B M C M +的最小值为（ ）A ．B ．6C ． D【来源】江西省赣州市2021届高三二模数学（理）试题 【答案】C【解析】由题意知，BC AB ⊥，111ABC A B C -为直三棱柱，即面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC面11ABB A AB =，BC ⊂面ABC ，∴BC ⊥面11ABB A ，又BC ⊂面BCD ， ∴面BCD ⊥面11ABB A .∴易得1B 关于平面BCD 对称点E 落在1A A 的延长线上，且AE =1A E =11 B M C M +的最小时，1C 、M 、E 三点共线.∴221111111||992735B M C M EM C M EC AC A E +=+≥=+=++=. 故选：C12．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足433PA PB +=，则PD 的最大值为（ ） A ．3B ．2103C ．393D ．2【来源】河南省鹤壁市2021届高三一模数学（文）试题 【答案】B【解析】如图所示，在平面ABC 内，4323PA PB +=>， 所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则椭圆的半焦距1c =，长半轴a =b ==所以，椭圆方程为()2233104x y z +==.点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，11333OE OC ===， 故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，23CE OC ==，则DE ==， 因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值.设(),,0P x y ，则E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则22222241543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=--+ ⎝⎭，当y ⎡=⎢⎣⎦时，2EP 取最大值，即22max516393939EP ⎛⎛=-⨯---+= ⎝⎭⎝⎭，因此可得2241640999PD ≤+=，故PD . 故选：B.13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直，当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是（ ）A ．1B ．54C D【来源】北京市朝阳区2021届高三一模数学试题 【答案】C【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,1A 、()1,0,0B 、()11,0,1B 、()1,1,0C 、()11,1,1C 、()0,1,0D 、()10,1,1D ， 设点()1,,P t t ，其中01t ≤≤.①当0t =时，点P 与点B 重合，()1,1,0BD =-，()1,1,0AC =，()10,0,1AA =， 所以，0BD AC ⋅=，10BD AA ⋅=，则BD AC ⊥，1BD AA ⊥， 1AC AA A ⋂=，BD ∴⊥平面11AAC C ，此时平面α即为平面11AAC C ，截面面积为12S AA AC =⋅= ②当1t =时，同①可知截面面积为2S =③当01t <<时，()1,1,DP t t =-，()11,1,1AC =-， 1110DP AC t t ⋅=+--=，1A C PD ∴⊥，则1A C α⊂， 设平面α交棱1DD 于点()0,1,E z ，()1,0,CE z =-，10DP CE tz ⋅=-+=，可得11z t=>，不合乎题意. 设平面α交棱AB 于点(),0,0M x ，()1,1,0CM x =--，()110DP CM x t ⋅=---=，可得x t =，合乎题意，即(),0,0M t ，同理可知，平面α交棱11C D 于点()1,1,1N t -，()11,1,0A N t MC =-=，且1A N 与MC 不重合，故四边形1A MCN 为平行四边形，()11,1,1AC =-，()11,1,0A N t =-，1112112cos 322AC A N t CA N AC A N t t ⋅-∠==⋅⋅-+，则()()2211221sin 1cos 322t t CA N CA N t t -+∠=-∠=-+，所以，截面面积为()1221111362sin 2122242CA NS S AC A N CA N t t t ⎡⎤⎛⎫==⋅∠=-+=-+=<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦△. 综上所述，截面面积的最小值为62. 故选：C.14．如图，斜线段AB 与平面α所成的角为π4，B 为斜足．平面α上的动点P 满足π6PAB ∠=，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,1,0),(0,0,1),(,,0)(0,1,1),(,,1)B A P x y AB AP x y ⇒=-=-22223cos ,62(2)1121AB AP x y x y ⇒<>=⇒+-=⋅++ 所以点P 的轨迹是椭圆． 故选：B.15．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，则MT NT +的最小值是（ ）A ．2B ．233C ．62D ．1【答案】B【解析】A 点关于BC 的对称点为E ，M 关于BB '的对称点为M '， 记d 为直线EB '与AC 之间的距离，则MT NT M T NT M N d ''+=+≥≥， 由//B E D C ''，d 为E 到平面ACD '的距离， 因为111111333D ACE ACEV S '-=⨯⨯==⨯⨯=，而()21332346D ACE E ACD V V d d ''--==⨯⨯⨯=，故233d =， 故选：B.16．如图，ABC 是等腰直角三角形，AB AC =，点D 是AB 上靠近A 的三等分点，点E 是AC 上靠近C 的三等分点，沿直线DE 将ADE 翻折成A DE '，所成二面角A DE B '--的平面角为α，则（ ）A ．A DB A EC α∠≥∠'≥' B ．A EC A DB α∠≥∠'≥' C ．A DB A EC α≥∠'∠≥'D ．A EC A DB α≥∠'∠≥'【答案】B【详解】如图，在等腰直角三角形中，过B 作直线//l DE ，作BM ED ⊥交直线DE 于点M ，过C 作直线DE 的垂线，垂足为R ，交直线l 与T ，过A 作DE 的垂线，垂足为O ，且交l 于N ，不妨设3AB =，则1,2AD CE BD AE ====， 在直角三角形ADE 中，255AO ==， 因为BMD AOD ，故12AO AD BM BD ==，故455BM =，同理52522155DM DO ==⨯⨯= 所以45ON =，35BN OM ==，同理5RC OS ==65NT =.在几何体中连接,,A B A S A C '''，如图，因为,,A O DE NO DE '⊥⊥故NOA '∠为二面角A DE B '--的平面角，故NOA α'∠=，而A O NO O '⋂=，故DE ⊥平面AON '，所以TB ⊥平面AON '，而A N '⊂平面AON '，故BN A N '⊥.24162545162cos 4cos 55555A N αα'=+-⨯=-， 故216929164cos cos 5555A B αα'=-+=-，故29165cos 4155cos cos 21255A DB αα-+'∠==-⨯⨯， 同理14cos cos 55A EC α'∠=-，11cos cos cos 055A DB αα'∠-=--<，故cos cos A DB α'∠<，同理cos cos A EC α'∠<，33cos cos cos 055A DB A EC α''∠-∠=+>，故cos cos A DB A EC ''∠>∠，因为(),,0,A DB A EC απ''∠∠∈，故A EC A DB α''∠>∠>， 故选B.17．如图，棱长为2的长方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上动点(包括端点).则以下结论正确的为（ ）A ．三棱锥1P A BD -中，点P 到面1A BD 2B ．过点P 平行于面1A BD 的平面被正方体1111ABCD A BCD -3C ．直线1PA 与面1A BD 所成角的正弦值的范围为36⎣⎦D ．当点P 和1B 重合时，三棱锥1P A BD -3【来源】广东省普宁市2020-2021学年高三上学期期末数学试题 【答案】C【解析】对于A 中，由111142222323P A BD A PBD V V --==⨯=，1A BD 为等边三角形，面积为11226232A BD =⨯=△S ,设点P 到面1A BD 的距离为h ，由142333h ⨯=，求得23h =所以A不正确；对于B 中，过点P 平行于平面1A BD 的平面被正方体截得的多边形平面11B D C ， 此时三角形11B D C 为边长为221226=232⨯B 不正确； 对于C 中，由正方体的结构特征和性质，可得点P 到平面1A BD 23当点P 在线段11B D 上运动时，1max 2PA =（P 为端点时），in 1m 2PA =设直线1PA 与平面1A BD 所成角为θ，则36sin ,33θ∈⎣⎦，所以C 正确；对于D 中，当点P 与1B 重合时，此时三棱锥为11B A BD -，设1B D 的中点为O ，因为11190B BD B A D ∠=∠=︒，可得11OA OB OD OB === 所以三棱锥1P A BD -的外接球的球心为1B D 的中点，其半径为3，所以三棱锥1P A BD -的外接球的体积为34(3)433ππ⨯=，所以D 不正确.故选：C.18．如图，在棱长为33的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足15213DP PB +=+，则直线1B P 与直线1AD 所成角的取值范围为（ ）(参考数据：43sin 53,sin 3755==)A ．37,143⎡⎤⎣⎦B ．37,90⎡⎤⎣⎦C ．53,143⎡⎤⎣⎦D ．37,127⎡⎤⎣⎦【来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题 【答案】B【解析】如图，建立空间直接坐标系，连结1B D ，交平面11A BC 于点O ，()0,0,0D ，()133,33,33B ，()133,0,33A ，()33,33,0B ，()10,33,33C ，()133,33,33DB =，()10,33,33A B =-，()133,0,33BC =-，110DB A B ⋅=，110DB BC ⋅=，111111,DB A B DB BC A B BC B ∴⊥⊥⋂=，，1DB ∴⊥平面11A BC ，根据等体积转化可知111111B A BC B A B C V V --=， 即()()23111311363332232B O ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得：13B O =， 13339B D =⨯=，16D O ∴=,11//AD BC ，∴异面直线1AD 与1B P 所成的角，转化为1BC 与1B P 所成的角，如图，将部分几何体分类出来，再建立一个空间直角坐标系，取1BC 的中点E ，过点O 作1//OF BC ，则以点O 为原点，1,,OF OE OB 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系(),,0P x y ，()10,0,3B ，()0,0,6D -，3326,22B ⎫⎪⎪⎭，13326,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,,3B P x y =-，()136,0,0BC =-, 15213PB PD +=+，22229365213x y x y ++++=+2222936x y x y ++<++，即15PB =22925x y ∴++=，即2216x y +=，[]4,4x ∈-1111113644cos ,,555365B P BC x x B P BC B P BC ⋅-⎡⎤<>===-∈-⎢⎥⨯⎣⎦，因为异面直线所成的角是锐角，并设为θ，则4cos 0,5θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，4sin 535=，4cos375∴=，37,90θ⎡⎤∴∈⎣⎦ 故选：B19．如图，在三棱锥D ABC -中，,1,1AD BC BC AD ⊥==．且2AB BD AC CD +=+=，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）A ．14B ．212C ．36D ．524【来源】浙江省衢州市五校联盟2020-2021学年高三上学期期末联考数学试题 【答案】B【解析】作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，如图，因为,AD BC ⊥,BE BC 再平面BEC 内相交，所以AD ⊥平面BEC ， 因为CE ⊂平面BEC ，所以CE ⊥AD ， 因为2AB BD AC CD +=+=，所以B 与C 都是在以A 、D 为焦点的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ， AB ＋BD = AC +CD =2，显然ABD ACD ≅，所以BE =CE . 取BC 中点F ，,,BC E AD E F F ⊥∴⊥ 要求四面体ABCD 的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC 的面积最大， 因为BC 是定值,所以只需EF 最大即可，当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大， 因为AB ＋BD = AC +CD =2，1AB ∴=，22222131121,(1)22222EB EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以几何体的体积为11221132212⨯⨯⨯⨯=故选：B20．如图，三棱锥A BCD -的底面BCD 在平面α内，所有棱均相等，E 是棱AC 的中点，若三棱锥A BCD -绕棱CD 旋转，设直线BE 与平面α所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．36⎤⎥⎣⎦B ．5,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．110,6⎡⎢⎣⎦D ．330,6⎡⎢⎣⎦【来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期末数学试题 【答案】A【解析】取AD 的中点F ，连接EF 、BF ，如下图所示：。
【解析版】重庆市巴蜀中学中考数学二模试卷
重庆市巴蜀中学中考数学二模试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共计48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．下列各数中，既不是正数也不是负数的数是（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D．2．计算2a+a的结果是（）A． 3a2B． 2a2C． 3a D． 2a3．下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．正六边形的内角和为（）A． 1080°B． 900°C． 720°D． 540°5．在中，a的取值范围是（）A． a≥0 B． a≤0 C． a＞0 D． a＜06．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2=0.90，S乙2=1.22，S丙2=0.43，S丁2=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．分式方程=的解为（）A． x=﹣3 B． x=﹣1 C． x=1 D． x=38．如图，已知AB∥CD，∠DFE=135°，则∠ABE的度数为（）A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°9．如图，BC与⊙O相切于点C，BO的延长线交⊙O于点A，连结AC，若∠ACB=120°，则∠A 的度数等于（）A． 30°B． 40°C． 50°D． 60°10．自从政府补贴为某农村学校购买了校车后，大大缩短了该校学生小明的上学时间．某天，小明先步行一段路程后，等了一会儿校车，然后坐上校车来到学校．设小明该天从家出发后所用的时间为t，与学校的距离为s．下面能反映s与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．11．下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆，…，则第⑦个图形中圆的个数为（）A． 67 B． 92 C． 113 D． 12112．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A． 12 B． 9 C． 6 D． 4二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为．14．计算：（﹣1）5﹣（﹣1）0+=．15．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为．16．如图，直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．17．现有6张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使得关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣2=0有实数根，且关于x的分式方程+2=有解的概率为．18．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、CP，若BP=，CP=，∠BPA=135°，则正方形ABCD的边长为．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．19．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．20．我校艺术节期间，开展了“巴蜀好声音”歌唱比赛，在初赛中，学生处对初赛成绩做了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图（如图），请你根据图表提供的信息，解答下列问题：分组74.5～79.5 79.5～84.5 84.5～89.589.5～94.5 94.5～100.5合计频数2 a 20 16 4 50频率0.04 0.16 0.40 0.32 b 1（1）频数、频率分布表中a=，b=；（2）补全频数分布直方图；（3）初赛成绩在94.5﹣100.5分的四位同学恰好是初一、初二、高一、高二年级各一位，学生处打算从中随机挑选两位同学谈一下决赛前的训练，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一名初中和一名高中同学的概率．四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．21．化简：（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）．（2）（﹣1）÷．22．如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）说明点B是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由．23．某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？24．对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.46＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜3.5＞=＜4.28＞=4，…试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞=（π为圆周率）；②如果＜2x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为；（2）试举例说明：当x=，y=时，＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；（3）求满足＜x＞=x的所有非负实数x的值．五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．25．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；（2）求证：CE=EF；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，2），与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为抛物线第四象限上的一个动点，连接BC，BP，CP，请求△BCP的面积的最大值；（3）若点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，连接BD．点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请求出线段BM的长．重庆市巴蜀中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共计48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．下列各数中，既不是正数也不是负数的数是（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D．考点：实数．分析：既不是正数也不是负数的数只有0．解答：解：0既不是正数也不是负数．故选B．点评：本题考查了实数的知识，注意熟练掌握：既不是正数也不是负数的数只有0．2．计算2a+a的结果是（）A． 3a2B． 2a2C． 3a D． 2a考点：合并同类项．分析：根据合并同类项的法则进行计算即可．解答：解：原式=（2+1）a=3a．故选C．点评：本题考查的是合并同类项，即把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．3．下列图形是几家电信公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形；中心对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选C．点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．4．正六边形的内角和为（）A． 1080°B． 900°C． 720°D． 540°考点：多边形内角与外角．分析：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，据此即可求解．解答：解：正六边形的内角和为（6﹣2）×180°=720°．故选C．点评：本题考查了多边形的内角和定理，理解定理是关键．5．在中，a的取值范围是（）A． a≥0 B． a≤0 C． a＞0 D． a＜0考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质：被开方数大于等于0，就可以求解．解答：解：a的范围是：a≥0．故选；A．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．6．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是S甲2=0.90，S乙2=1.22，S丙2=0.43，S丁2=1.68，在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁考点：方差．分析：根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙丙丁的方差可直接作出判断．解答：解：∵0.43＜0.90＜1.22＜1.68，∴丙成绩最稳定，故选：C．点评：本题主要考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7．分式方程=的解为（）A． x=﹣3 B． x=﹣1 C． x=1 D． x=3考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x=3x﹣3，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选D点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8．如图，已知AB∥CD，∠DFE=135°，则∠ABE的度数为（）A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°考点：平行线的性质．专题：探究型．分析：先根据两角互补的性质得出∠CFE的度数，再由平行线的性质即可得出结论．解答：解：∵∠DFE=135°，∴∠CFE=180°﹣135°=45°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE=45°．故选B．点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．9．如图，BC与⊙O相切于点C，BO的延长线交⊙O于点A，连结AC，若∠ACB=120°，则∠A 的度数等于（）A． 30°B． 40°C． 50°D． 60°考点：切线的性质．分析：如图，连接OC．根据切线的性质知∠OCB=90°，则易求∠A=∠ACO=120°﹣90°=30°．解答：解：如图，连接OC．∵BC与⊙O相切于点C，∴OC⊥BC，即∠OCB=90°．∵A=OC，∴∠A=∠ACO=∠ACB﹣∠OCB=120°﹣90°=30°．故选A．点评：本题考查了圆的切线性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．10．自从政府补贴为某农村学校购买了校车后，大大缩短了该校学生小明的上学时间．某天，小明先步行一段路程后，等了一会儿校车，然后坐上校车来到学校．设小明该天从家出发后所用的时间为t，与学校的距离为s．下面能反映s与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．分析：分三段考虑，①刚开始距离学校最远，步行的过程，距离缓慢减小，②等校车的过程，距离不变，③坐校车去学校的过程，路程快速减小，结合选项进行判断即可．解答：解：①刚开始距离学校最远，步行的过程，距离缓慢减小；②等校车的过程，距离不变；③坐校车去学校的过程，路程快速减小；综上可得D选项的函数图象符合．故选D．点评：本题考查了函数的图象，解答本题的关键是仔细审题，明白每个过程距离的变化情况．11．下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有29个圆，…，则第⑦个图形中圆的个数为（）A． 67 B． 92 C． 113 D． 121考点：规律型：图形的变化类．分析：第（1）个图形中最下面有1个圆，上面有一个圆；第（2）个图形中最下面有2个圆，上面有1+3+1个圆；第（3）个图形中最下面有3个圆，上面有1+3+5+3+1个圆，那么可得第（7）个图形最下面有7个圆，上面有1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1个圆，相加即可．解答：解：第（1）个图形中最下面有1个圆，上面有1个圆；第（2）个图形中最下面有2个圆，上面有1+3+1个圆；第（3）个图形中最下面有3个圆，上面有1+3+5+3+1个圆；…第（7）个图形最下面有8个圆，上面有1+3+5+7+9+11+13+15+13+11+9+7+5+3+1个圆，∴共有7+（1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1）=92，故选B．点评：考查图形的变换规律；根据图形的排列规律得到最下面圆的个数与图形的序号相同，上面圆的个数与n个连续奇数的和相关是解决本题的关键．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A． 12 B． 9 C． 6 D． 4考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题．分析：△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．解答：解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．点评：本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是210000000人一年的口粮．将210000000用科学记数法表示为 2.1×108．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将210000000用科学记数法表示为：2.1×108．故答案为：2.1×108．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．计算：（﹣1）5﹣（﹣1）0+=﹣5．考点：实数的运算；零指数幂．分析：首先分别求出（﹣1）5、（﹣1）0、的值各是多少；然后根据实数的运算顺序，从左向右依次计算，求出算式（﹣1）5﹣（﹣1）0+的值是多少即可．解答：解：（﹣1）5﹣（﹣1）0+=﹣1﹣1﹣3=﹣2﹣3=﹣5故答案为：﹣5．点评：（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．15．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为9：16．考点：相似三角形的性质．分析：由△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为3：4，∴△ABC与△DEF的面积比为9：16．故答案为：9：16．点评：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．16．如图，直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是4﹣π（结果保留π）．考点：扇形面积的计算．分析：连结AD．根据图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积﹣三角形ACD的面积﹣扇形ADE 的面积，列出算式即可求解．解答：解：连结AD．∵直角△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=4，∴∠C=60°，AB=4，∵AD=AC，∴三角形ACD是等边三角形，∴∠CAD=60°，∴∠DAE=30°，∴图中阴影部分的面积=4×4÷2﹣4×2÷2﹣=4﹣π．故答案为：4﹣π．点评：考查了扇形面积的计算，解题的关键是将不规则图形的面积计算转化为规则图形的面积计算．17．现有6张正面分别标有数字﹣1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使得关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣2=0有实数根，且关于x的分式方程+2=有解的概率为．考点：概率公式；根的判别式；分式方程的解．分析：先由一元二次方程x2﹣2x+a﹣2=0有实数根，得出a的取值范围，求出分式方程的解为：x=，然后根据分式方程+2=有解，得到：2﹣a≠0且x≠2，求得：a≠2且a≠1，然后根据统计使分式方程有解情况数，最后根据概率公式进行计算即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣2x+a﹣2=0有实数根，∴4﹣4（a﹣2）≥0，∴a≤3，∴a=﹣1，0，1，2，3．∵关于x的分式方程+2=的解为：x=，且2﹣a≠0且x≠2，解得：a≠2且a≠1，∴a=﹣1，0，3，∴使得关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣2=0有实数根，且关于x的分式方程+2=有解的概率为：，故答案为：．点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使一元二次方程x2﹣2x+a﹣2=0有实数根和分式方程有解的情况数是解决本题的关键．18．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、CP，若BP=，CP=，∠BPA=135°，则正方形ABCD的边长为．考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理；正方形的性质．分析：将△ABP绕点B沿顺时针方向旋转90°到△BCQ的位置，连接PQ；先求出PQ的长，再求出∠PQC=90°，利用勾股定理求出QC的长，最后利用余弦定理求出BC的长．解答：解：如图，将△ABP绕点B沿顺时针方向旋转90°，到△BCQ的位置，连接PQ；则BQ=BP=，∠BQC=∠BPA=135°，则△PBQ是等腰直角三角形，即PQ=，故∠BQP=∠BPQ=45°，∠PQC=135°﹣45°=90°；由勾股定理得：QC===2，在△BQC中，∠BQC=135°，BQ=，CQ=2，由余弦定理可得：cos135°===﹣，解得：BC=，故答案为．点评：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理以及余弦定理等知识，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．19．已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．解答：证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即：∠EAD=∠BAC，在△EAD和△BAC中，∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．20．我校艺术节期间，开展了“巴蜀好声音”歌唱比赛，在初赛中，学生处对初赛成绩做了统计分析，绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图（如图），请你根据图表提供的信息，解答下列问题：分组74.5～79.5 79.5～84.5 84.5～89.589.5～94.5 94.5～100.5合计频数2 a 20 16 4 50频率0.04 0.16 0.40 0.32 b 1（1）频数、频率分布表中a=8，b=0.08；（2）补全频数分布直方图；（3）初赛成绩在94.5﹣100.5分的四位同学恰好是初一、初二、高一、高二年级各一位，学生处打算从中随机挑选两位同学谈一下决赛前的训练，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两位同学恰好是一名初中和一名高中同学的概率．考点：列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．分析：（1）总人数为50即可求出a的值和b的值；（2）根据（1）的结果即可补全频数直方图；（3）根据题意画出树状图或列表，再根据概率公式计算即可．解答：解：（1）a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=8，b=4÷50=0.08故答案为：8，0.08；（2）补全频率分布直方图得：（3）列表得：初一初二高一高二初一初二初一高一初一高二初一初二初一初二高一初二高二初二高一初一高一初二高一高二初一高二初一高二初二高二高一高二P（初中高中）=．点评：此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．21．化简：（1）（a﹣2b）2﹣（2a+b）（b﹣2a）﹣4a（a﹣b）．（2）（﹣1）÷．考点：分式的混合运算；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用平方差公式化简，第三项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解答：解：（1）原式=a2﹣4ab+4b2﹣b2+4a2﹣4a2+4ab=a2+3b2；（2）原式=•=•=﹣．点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）说明点B是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：应用题．分析：（1）求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于点D，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；（2）本题实际上是问，C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值，（1）已经求出，只要进行比较即可．解答：解：（1）作CD⊥AB于点D，设BC为x，在Rt△BCD中∠CBD=60°，∴．．在Rt△ACD中∠CAD=30°，∴．∴x=18．∴B点不在暗礁区域内；（2）∵，∵，∴若继续向东航行船有触礁的危险．点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．23．某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？考点：二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）题中有两个等量关系：购买A种商品进价+购买B种商品进价=36000，出售甲种商品利润+出售乙种商品利润=6000，由此可以列出二元一次方程组解决问题．（2）根据不等关系：出售甲种商品利润+出售乙种商品利润≥8160，可以列出一元一次不等式解决问题．解答：解：（1）设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意得：，解得：．答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件．（2）设乙种商品每件售价z元，根据题意，得120（z﹣100）+2×200×（138﹣120）≥8160，解得：z≥108．答：乙种商品最低售价为每件108元．点评：本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润=售价﹣进价．24．对于非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.46＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜3.5＞=＜4.28＞=4，…试解决下列问题：（1）填空：①＜π＞=3（π为圆周率）；②如果＜2x﹣1＞=3，则实数x的取值范围为；（2）试举例说明：当x=0.6，y=0.7时，＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；（3）求满足＜x＞=x的所有非负实数x的值．考点：一元一次不等式组的应用．专题：新定义．分析：（1）根据取近似值的方法确定x的取值范围即可，反过来也可确定未知数的值；（2）分0≤a＜时和≤a＜1时两种情况分类讨论即可；（3）据取近似值的方法确定x的取值范围即可．解答：解：（1）①3＜π；②如果＜2x﹣1＞=3，可得；故答案为：3；；（2）说明：设x=n+a，其中n为x的整数部分（n为非负整数），a为x的小数部分（0≤a＜1）分两种情况：（Ⅰ）当0≤a＜时，有＜x＞=n∵x+y=（n+y）+a，这时（n+y）为（x+y）的整数部分，a为（x+y）的小数部分，∴＜x+y＞=n+y又＜x＞+y=n+y∴＜x+y＞=＜x＞+y．（Ⅱ）当≤a＜1时，有＜x＞=n+1∵x+y=（n+y）+a这时（n+y）为（x+y）的整数部分，a为（x+y）的小数部分，∴＜x+y＞=n+y+1又＜x＞+y=n+1+y=n+y+1∴＜x+y＞=＜x＞+y．综上所述：＜x+y＞=＜x＞+y，此时x=0.6，y=0.7；故答案为：0.6；0.7；（3）设（k为非负整数），则x=，根据题意可得：，即﹣2≤k≤2，则k=0，1，2，x=0，．点评：本题考查了一元一次不等式的应用，关键是根据取近似值的方法确定x的取值范围．五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上．25．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；（2）求证：CE=EF；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．考点：几何变换综合题．分析：（1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=3，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=3，BE=4，可知BD=5，又F是线段BD的中点，所以EF=BD=2.5；（2）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；（3）思路同（1）．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．解答：解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3，∴AE=DE=3，在Rt△BDE中，∵DE=3，BE=4，∴BD=5，又∵F是线段BD的中点，∴EF=BD=2.5；（2）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE；解法1：∵∠AED=∠ACB=90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF=CF=FD=FB，∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE，∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°∴∠ECF=45°=∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE=EF．。
高中数学选择性必修二 4 3 等比数列(精讲)(含答案)
4.3 等比数列考点一 等比数列基本量计算【例1】（1）（2020·四川仁寿一中开学考试）在等比数列{}n a 中，126a a +=，33a =，则公比q 的值为（ ）A ．12-B ．12-或1 C ．－1D ．12-或－1 （2）（2020·哈密市第十五中学月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．2（3）（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））等比数列{}n a 的前n 项和131n n S a -=⋅+，则a =（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【答案】（1）B （2）C （3）C【解析】（1）由题意112163a a q a q +=⎧⎨=⎩，解得131a q =⎧⎨=⎩或11212a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选：B ．【答案】C（2）设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．（3）因为数列是等比数列故满足2213a a a ，111a S a ==+ ，232,6.a a a a ==代入2213a a a 得到 3.a =- 故答案选C ．【一隅三反】1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知{}n a 是等比数列，a 1=2,a 4=14,则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．12【答案】D【解析】∵{}n a 是等比数列，∴34111428a q a ===，∴12q =．故选：D ．2．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高一期末（文））已知数列{}n a 满足112n n a a +=，若48a =，则1a 等于 A ．1 B ．2C ．64D ．128【答案】C【解析】因为数列{}n a 满足112n n a a +=，所以该数列是以12为公比的等比数列，又48a =，所以188a =，即164a =；故选C.3．（2020·合肥市第十一中学高二开学考试）各项都是正数的等比数列{}n a 中，2311,,2a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）AB．12CD【答案】B【解析】由题得2231211112,,102a a a a q a a q q q ⨯=+∴=+∴--=，所以q = 因为{}n a 是各项都是正数的等比数列，所以0q >，所以2q =.故选：B4．（2020·全国高二月考（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a ，且13213,,22a a a 成等差数列，则4567a a a a ++的值是（ ） A ． B ．16C ．D ．19【答案】D【解析】各项均为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，则q >0， 由13213,,22a a a 成等差数列，可得31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 所以2230q q --=，解得3q =或1q =-（舍），所以34344511565623267111119a a a q a q q q q a a a q a q q q q q q ++++======++++.故选：D. 5．（2020·贵州省思南中学月考）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，10103020102(21)0S S S -++=，则公比q 等于（ ） A ．12B ．13C ．14D ．2【答案】A【解析】因为10103020102(21)0S S S -++=，所以()()103020201020S S S S ---=所以302010201012S S S S -=-，即102122301011122012a a a q a a a +++==+++ 因为0n a >，所以12q =故选：A 考点二 等比数列中项性质【例2】（1）（2020·自贡市田家炳中学开学考试）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+（2）（2020·河南高二月考）在等比数列{}n a 中，若1358a a a =，则42a a =（ ） A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】（1）B （2）B【解析】（1）由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=则()5313231031103log log log log 5log 910a a a a a +++===故选B.（2）由等比中项的性质可得313538a a a a ==，解得32a =，因此，2224324a a a ===.故选：B.【一隅三反】1．（2020·安徽滁州·期末）在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A． B ．2 C ．1 D ．2-【答案】A【解析】由题得3153156,8a a a a +=⎧⎨=⎩所以211798a a a ==，因为3153156080a a a a +=>⎧⎨=>⎩，所以315990,0,0,a a a a >>∴>∴=所以1179a a a==故答案为A 2．（2019·福建高三学业考试）若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =（ ）A ．8B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】因为1,2,m 为等比数列，故212m=即4m =，故选：B. 3．（2020·宁夏二模（理））已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A B ．2 C 或2 D ．2【答案】A【解析】∵1，m ，9构成一个等比数列，∴m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2x m +y 2=1；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1．故选A ． 考点三 等比数列的前n 项和性质【例3】（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32 D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ． 【一隅三反】1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ） A ．48 B ．90C ．105D ．106【答案】C【解析】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=.故选：C2．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期中）等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1 B ．6:1C ．7:1D ．9:1【答案】C【解析】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m-=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =.故选：C. 3．（2020·眉山市彭山区第一中学高二开学考试）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 20＝（ ） A ．80 B ．120C ．150D ．180【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，故可得510515102015,,,S S S S S S S ---依然成等比数列， 因为51010,30S S ==，故可得10520S S -=，故该数列的首项为10，公比为2，故可得()420101215012S-==-.故选：C .4．（2020·运城市景胜中学高二开学考试）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q qq++=++=++==.故选：D.考点四 等比数列的单调性【例4】（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列{}n a 满足156a =，()*11133n n a a n N +=+∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）1123n na =+. 【解析】（1）()*11133n n a a n N +=+∈，111111111132332362111132222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---⎪⎝⎭∴====----， 因此，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由于115112623a -=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以13为公比的等比数列，111112333n n na -⎛⎫∴-=⨯=⎪⎝⎭，因此，1123n n a =+. 【一隅三反】1．（2020·湖北高一期末）已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ．2．（2020·四川成都·高一期末（文））已知单调递减的等比数列{}n a 中，10a >，则该数列的公比q 的取值范围是（ ） A ．1q = B ．0q < C ．1q > D ．01q <<【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 单调递减，所以0q >，()11111110nn n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，因为10a >，所以()110n q q --<，又因为1n ≥，所以10,10n qq ->-<，所以01q <<，故选：D3．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（理））若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是递增数列，则10,0a q << B ．若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C ．若0q >，则4652S S S +>D ．若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D【解析】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.4．（2020·宁夏兴庆·银川一中期末）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论： ①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．11a >，0q ∴>．又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；②299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误； ③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．∴正确的为①④，故选：B ．考点五 证明判断等比数列【例5】（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 等差中项.（1）证明数列{}n a 等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）13-=n n a【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-， 故113log 1n n a a +=-，所以13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列.（2）因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+，所以()1112329a a a +=+，解得11a =，数列{}n a 的通项公式为-13n n a =.【一隅三反】1．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一月考）数列0,0,0,...,0,...（ ）A ．既不是等差数列又不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．是等差数列但不是等比数列【答案】D【解析】数列0,0,0,...,0,...是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以数列0,0,0,...,0,...是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以数列0,0,0,...,0,...不是等比数列，故选D. 2．（2020·山东省泰安第二中学高三月考）已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n a C ．1{}n n a a ++ D ．12{}n n n a a a ++++【答案】AD 【解析】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}n a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ．3．（2020·浙江金华·期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+．设n n a b n=． （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）详见解析；（2）12n n a n -=⋅． 【解析】（1）()121n n na n a +=+，n n a b n =，由条件可得121n n a a n n +=+，即12n n b b +=，又111b a ==， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （2）由（1）可得12n n b -=，12n n a n -=，所以12n n a n -=⋅．。
重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学试卷数学试题(二)
重庆市渝中区巴蜀中学2023-2024学年八年级上学期开学试卷数学试题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（）A．31B．48C．17D．3310．如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且CE＝BD，若∠CBD＝20°，则∠A的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．70°二、填空题17．如图，在△ABC中，∠A＝60°若BE＝2，CF＝4，则EF的长为三、解答题（1）把△ABC 向右平移5个单位，再向下平移△111A B C ，点1A 的坐标为________；（2）请在图中作出△ABC 关于x 轴对称的△21．已知：如图，在Rt ABC △中，ACB ∠(1)请用尺规作图的方法，作CAD ∠的角平分线，交保留作图痕迹）；(2)求证：CFE CEF ∠=∠．(1)AOD ∠与COB ∠的数量关系是：(2)求证：AOG COE ≌△△；(3)若OA OB =，当A O C ，，三点共线时，恰好24．在爱心义卖活动中，厦门一中科创社团准备了小坦克模型（记作（记作B ）共100台，若售出3台A 模型和2台B 模型收入130元，售出4台A 模型和3台B 模型收入180元．(1)求两种模型的售价各是多少元；(2)已知A 模型的数量不超过B 模型的2倍，在可以全部售出的情况下，准备两种模型各多少台的时候总收入最多，并求出总收入的最大值．25．已知在平面直角坐标系中有三点()()(),1,3,1,24,1A B C --．请完成下列问题：（1）在坐标系内描出点,,A B C 的位置，并画出ABC ．（2）求出以,,A B C 三点为顶点的三角形的面积．（3）在x 轴上是否存在点P 使以,,A B P 三点为顶点的三角形的面积为10．若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知C 是线段AB 垂直平分线m 上一动点，连接AC ，以AC 为边作等边三角形ACD ，点D 在直线AB 的上方，连接DB 与直线m 交于点E ，连接BC ，AE ．(1)如图1，点C 在线段AB 上；①根据题意补全图1；②求证：EAC EDC ∠=∠；(2)如图2，若030CAB ︒<∠<︒，用等式表示线段,,BE CE DE 之间的数量关系，并证明．。
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2020届重庆市巴蜀中学高三高考适应性月考(二)
数学（理）试题
一、单选题
1．已知α是第二象限角，且sin 45α=
，则cosα＝（ ） A ．45 B ．45- C ．35
D ．35- 2．集合A ＝{x |（x ﹣1）（x ﹣7）≤0}，集合B ＝{x |x ＝2k +1，k ∈N }，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，7}
B ．{3，5，7}
C ．{1，3，5，7}
D ．{1，2，3，4，5，6，7}
3．向量a =（1，2），b =（2，λ），c =（3，﹣1），且（a b +）∥c ，则实数λ＝（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．7 D ．﹣7 4．已知随机变量X 服从正态分布N （3，σ2），且P （x ≤1）＝0.1，则P （3＜X ≤5）＝（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 5．函数π
sin(2)3
y x =-的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．π12
x =
B ．π12x =-
C ．π6x =
D ．π6x =- 6．定义H （x ）表示不小于x 的最小整数，例如：H （1.5）＝2，对x ，y ∈R ，则下列正确的是（ ）
A ．H （﹣x ）＝﹣H （x ）
B ．H （2﹣x ）＝H （x ）
C ．H （x +y ）≥H （x ）+H （y ）
D ．H （x ﹣y ）≥H （x ）﹣H （y ） 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b +c ＝acosB +acosC ，则A ＝（ ）
A ．2π
B ．3π
C ．6π
D ．23π 8．对任意x ∈R ，存在函数f （x ）满足（ ）
A ．f （cosx ）＝sin 2x
B ．f （sin 2x ）＝sinx
C ．f （sinx ）＝sin 2x
D ．f （sinx ）＝cos 2x
9．在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且SA ＝2，AB ＝1，BC =棱锥S ﹣ABC 外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．6π
C ．8π
D ．10π
10．已知AB •AC =0，|BC |＝4，P 是三角形ABC 平面内任意一点，且满足|PA |＝1，则PB
•PC 的最小值是（ ）
A ．﹣4
B ．﹣3
C ．﹣2
D ．﹣1
11．已知f （x ）＝sin （ωx 6π+
）（ω∈Z ）x ∈（0，3π]时f （x ）12=有唯一解，则满足条件的ω的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0），直线l 1：y ＝kx +t 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 点在B 点右侧），直线l 2：y ＝kx +m （m ≠t ）交抛物线C 于M ，N 两点（M 点在N 点右侧），直线AM 与直线BN 交于点E ，交点E 的横坐标为2k ，则抛物线C 的方程为（ ） A ．x 2＝y
B ．x 2＝2y
C ．x 2＝3y
D ．x 2＝4y 二、填空题
13．设复数z 满足12z i
=+2+i ，则|z |＝_____ 14．函数f （x ）＝log 13（x 2﹣2x ﹣24）的单调递增区间是_____
15．sin 20°+2sin 20°cos 40°＝_____.
16．已知函数f （x ）＝lnx 1x ++a ，f ′（x ）是f （x ）的导函数，若关于x 的方程f ′（x ）1f x x -=+（）0有两个不等的根，则实数a 的取值范围是_____
三、解答题
17．已知函数f （x ）＝sinxcosx +cos 2x +1 （1）求f （x ）的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时x 的集合；
（2）将f （x ）的函数图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数g （x ）是偶函数，求φ的最小值.
18．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E 是线段SD 上一点.
（1）若E 是SD 的中点，求证：SB ∥平面ACE ；
（2）若SA ＝AB ＝AD ＝2，SC ＝，且DE 23
=DS ，求二面角S ﹣AC ﹣E 的余弦值. 19．甲、乙两名射击运动员在进行射击训练，已知甲命中10环，
9环，8环的概率分别是13，13，13，乙命中10环，9环，8环的概率分别是18，14，58
，任意两次射击相互独立. （1）求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率；
（2）现在甲、乙两人进行射击比赛，每一轮比赛两人各射击1次，环数高于对方为胜，环数低于对方为负，环数相等为平局，规定连续胜利两轮的选手为最终的胜者，比赛结束，求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率
20．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率e 2
=.
（1）若点P （1）在椭圆E 上，求椭圆E 的标准方程；
（2）若D （2，0）在椭圆内部，过点D E 于M .N 两点，|MD |＝2|ND |，求椭圆E 的方程.
21．已知函数f （x ）＝()21211x x x e
-+- （1）求f （x ）＞0的解集；
（2）若x ∈R 时，2221mx x x e e +≥+恒成立，求实数m 的取值范围.
22．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，
直线C 2的参数方程为1x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩
（t 为参数）. （1）求曲线C 1的直角坐标方程和直线C 2的普通方程；
（2）若P（1，0），直线C2与曲线C1相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值. 23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣m|
（1）当m＝2时，求f（x）≤9的解集；
（2）若f（x）≤2的解集不是空集，求实数m的取值范围.。