初三数学难题集锦(1)

初三数学难题集锦(1) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

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初中数学难题集锦

1．（本小题满分10分）

如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°.

⑴求∠A 的度数；

⑵若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积.

2．（本小题满分10分）

已知抛物线2y ax bx =+(a ≠0)的顶点在直线1

12

y x =--上，且过点

A (4，0)．

⑴求这个抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为P ，是否在抛物线上存在一点B ，使四边形OPAB 为梯形若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶设点C (1，－3)，请在抛物线的对称轴确定一点D ，使AD CD -的值最大，请直接写出点D 的坐标.

3．（本小题满分12分）

已知在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB =40cm ，AD =BC =20cm ，∠

ABC =120°．点P 从点B 出发以1cm/s 的速度沿着射线BC 运动，点Q 从点C 出

3

发以2cm/s 的速度沿着线段CD 运动，当点Q 运动到点D 时，所有运动都停止. 设运动时间为t 秒．

⑴如图1，当点P 在线段BC 上且△CPQ ∽△DAQ 时，求t 的值；

⑵在运动过程中，设△APQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；

参考答案

1．（本小题满分10分）

⑴解：连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°. ………………………………(1分)

∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. …………………

∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝30°. ………………⑵∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝(5∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ……………………∴2BOC 6048

3603

S ππ⨯扇形＝

＝，EOC 1

22S ⨯⨯＝…………………………(8分)

∴

EOC BOC S S S π阴影扇形8

＝－＝－3

…………………………………………………

(10分)

2．（本小题满分10分）

⑴∵抛物线过点(0，0)、(4，0)，

图1Q P D C

B A

4

∴抛物线的对称轴为直线2x =. ………………………………………………………(1分)

∵顶点在直线1

12y x =--上， ∴顶点坐标为(2，－2). …………………………

(3分)

故设抛物线解析式为2(2)2y a x =--， ∵过点(0，0)，∴1

2

a =

，∴抛物线解析式为2

122

y x x =

-………………………(5分) ⑵当AP ∥OB 时，

如图，∠BOA ＝∠OAP ＝45°，过点B 作BH ⊥x 轴于H ，则OH ＝BH . 设点B (x ，x )，故2

122

x x x =

-，解得x ＝6或x ＝0(舍去)…………………………(6分)

∴B (6，6). …………………………………………………………………………(7分) 当OP ∥AB 时，同理设点B (4－x ，x )

故21

(4)2(4)2

x x x =---，解得x ＝6或x ＝0(舍去)，∴B (－2，

6) .……(8分)

⑶D (2，－6).………………………………………………………………………………(10分)

H

5

3．（本小题满分12分）

解：⑴如图1，分别过点作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，∵BC ＝20，∠C ＝180°－∠ABC ＝60°，

∴CN ＝10＝DM ，BN

＝CD ＝60.

∵△CPQ ∽△DAQ ，∴CP CQ

DA DQ

=， ∴

20220602t t

t

=-－，∴110t =，260t =(不合题意)， ∴t ＝10.………(5分)

图1 图2

⑵当点P 在线段BC 上时，如图2，过P 作FG ⊥CD 于G ，交AB 延长线于F. ∴PF ＝

，PG )t -， ∴1

2

ABP

S

AB PF =

⨯=，1(20)2CPQ

S CQ PG t =

⋅=-， ADQ CPQ ABP

ABCD S

S

S

S S =梯形－－－＝1

602)2

t ⨯（－ －(20)t -－220400)t t -+.

(020t <≤)(8分)

当点P 在线段BC 的延长线上时，如图3，过P 作PH ⊥AB 于H ，则

设AP 与CD 交于点E ， ∵EC PC AB

PB

=，∴40800t EC t

-=,

∴QE ＝CQ －CE ＝2

240800t t t

-+.

图1Q

P

D C

B A

M

N

图1Q

P

D

C

B A

F G