2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4直接证明与间接证明课件理
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.3合情推理与演绎推理学案理(2021年整理)
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11。
3 合情推理与演绎推理［知识梳理］1．推理（1）定义:根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．(2)分类：推理一般分为合情推理与演绎推理．2．合情推理（1）定义:根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫做合情推理．（2）分类：数学中常用的合情推理有归纳推理和类比推理．（3)归纳和类比推理的定义、特征3．演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理,简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理．(2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提—-已知的一般原理；②小前提-—所研究的特殊情况；③结论—-根据一般原理，对特殊情况做出的判断．［诊断自测］1．概念思辨(1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．（)(2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．（)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( )（4）演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．( ）答案(1)×(2）√（3）×(4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P75例题)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7,a5＋b5＝11，…，则a10＋b10为（）A．28 B．76 C．123 D．199答案C解析记a n＋b n＝f(n）,则f(3）＝f(1)＋f（2)＝1＋3＝4；f（4）＝f （2)＋f（3)＝3＋4＝7；f（5)＝f(3）＋f(4）＝11。
全国近年高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明增分练(2021
（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明增分练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明增分练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第4讲直接证明与间接证明板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·绵阳周测]设t＝a＋2b,s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s的大小关系中正确的是( )A．t〉s B．t≥s C．t〈s D．t≤s答案D解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1）2≥0，∴s≥t,选D项．2．若a，b，c为实数，且a〈b〈0，则下列命题正确的是( ）A．ac2〈bc2B．a2〉ab〉b2C.错误!<错误!D.错误!>错误!答案B解析a2－ab＝a（a－b)，∵a<b〈0，∴a－b〈0，∴a2－ab〉0，∴a2>ab。
①又ab－b2＝b（a－b）>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2。
3．下列不等式一定成立的是( ）A．lg 错误!〉lg x（x〉0)B．sin x＋错误!〉2（x≠kπ，k∈Z）C．x2＋1≥2｜x|（x∈R）D.错误!〈1（x∈R）答案C解析对于A,当x〉0时，x2＋错误!≥2·x·错误!＝x所以lg 错误!≥lg x，故A不正确；对于B，当x≠kπ时，sin x正负不定,不能用基本不等式,所以B不正确；对于D，当x＝0时，错误!＝1，故D不正确．由基本不等式可知选项C正确．4．若a>0,b〉0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是( )A．a2＋b2≥错误!B．ab≤错误!C。
近年高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4直接证明与间接证明课后作业文(2021年
2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4 直接证明与间接证明课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4 直接证明与间接证明课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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11．4 直接证明与间接证明［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·无锡质检)已知m〉1，a＝错误!－错误!,b＝错误!－错误!，则以下结论正确的是（)A．a〉b B．a〈bC．a＝b D．a,b大小不定答案B解析∵a＝错误!－错误!＝错误!，b＝错误!－错误!＝错误!.而错误!＋错误!〉错误!＋错误!〉0（m〉1）,∴错误!<错误!,即a〈b。
故选B。
2．设x，y，z〉0，则三个数错误!＋错误!，错误!＋错误!，错误!＋错误!（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2答案C解析由于错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!≥2＋2＋2＝6，∴错误!＋错误!,错误!＋错误!，错误!＋错误!中至少有一个不小于2.故选C.3．若用分析法证明：“设a〉b〉c,且a＋b＋c＝0，求证：错误!<错误!a"索的“因”应是( )A．a－b〉0 B．a－c>0C．(a－b)（a－c)〉0 D．（a－b)(a－c)〈0答案C解析错误!<错误!a⇔b2－ac〈3a2⇔(a＋c）2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2〈0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2〉0⇔(a－c）（2a＋c)>0⇔（a－c)(a－b)〉0。
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习讲义： 第十一章 推理与证明 11.2 直接证明与间接证明讲义
������
2 =-1 + 4������2 , 2 =k· 2 +m=1 + 4������2.
( ) 4������������ ������
-
,
所以 AC 的中点为 M 1 + 4������2 1 + 4������2 .
1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为-4������.
(2)证明:由(1)知,当 x∈(-1,+∞)时,有 f(x)≥f(0)=0,即 (1+x)r+1≥1+(r+1)x,且等号当且仅当 x=0 时成立,
故当 x>-1 且 x≠0 时,有 (1+x)r+1>1+(r+1)x.①
( ) 1
1 + 1 ������ + 1 ������ + 1
在①中,令 x=������(这时 x>-1 且 x≠0),得 ������ >1+ ������ .
������ - ������ ������������ - ������������ ������������ - ������ - 1
2
只要证 2 >������������ + ������������ =������������ - ������ + 1=1-������������ - ������ + 1,
解析 (1)因为 f '(x)=(r+1)(1+x)r-(r+1)=(r+1)[(1+x)r-1],令 f '(x)=0,解得 x=0.
当-1<x<0 时, f '(x)<0,所以 f(x)在(-1,0)内是减函数;
近年高考数学一轮复习第11章复数、算法、推理与证明章末总结演练文(2021年整理)
2019高考数学一轮复习第11章复数、算法、推理与证明章末总结分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第11章复数、算法、推理与证明章末总结分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第11章复数、算法、推理与证明章末总结何意义A．－3 B．－2C．2 D．3T1（3）复数的运算与几何意义(2017·高考全国卷Ⅱ,T2,5分）（1＋i)（2＋i)＝（）A．1－i B．1＋3iC．3＋i D．3＋3i选修1。
2P60练习T1(2）复数的运算(2017·高考全国卷Ⅰ，T3，5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( ）A．i（1＋i)2B．i2（1－i）C．（1＋i）2D．i(1＋i)选修1.2P59例3（2)程序框图(2015·高考全国卷Ⅱ，T8，5分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝（)A．0 B．2C．4 D．14必修3P36例1（2017·高考全国卷Ⅱ,T8,5分）执行如图的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )必修3P41例4、P42程序框图A．2 B．3 C．4 D．5推理与证明(2017·高考全国卷Ⅲ，T19，12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1）证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．必修2P79B组T1一、选择题1．(选修1。
2019高考数学一轮复习第11章复数、算法、推理与证明章末总结分层演练文
第11章复数、算法、推理与证明章末总结2A . i(1 + i)2C . (1 + i)（2015 •高考全国卷n, T 8, 5分）下边程序框图的算法思路源于我国 古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图, 若输入的a , b 分别为14, 18,则输出的a =（）CW1（1）证明：AC 丄BD⑵ 已知△ ACD 是直角三角形，AB= BD 若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且 AE! EC 求四面体 ABCE 与四面体 ACD 啲体积比.B. i (1 — i) D. i(1 + i)A . 0 必修3 P 36C. 4D. 14程序框（2017 •高考全国卷n, T 8, 5分）执行如图的程序框图，如果输入的a =— 1,则输出的S =（C. 4推理与证明（2017 •高考全国卷川，T 19, 12分）如图，四面体 ABCD 中, △ ABC 是正三角形，AD= CD必修3 P 41 例 4、P 42 程序框图必修2 P 79B组T i/输人妤//B. 2 D. 5A . 2、根置教材，考在变中421034、选择题51. （选修1-2 P 61A 组T 5（4）改编）i 为虚数单位，则j （ 2+ j ）等于（ ）A. — 2-i B .— 2 + i C.— 1 + 2i D.— 1 — 2i"「丄555 （— 1 — 2i ）解析：选D.= =i （2+ i ） — 1 + 2i5=—1— 2i . 2.（选修1-2 P 33内文改编）有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁 4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有 3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有 2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有 3的卡片.结果显示甲、乙、丙、丁 4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁 4个人拿到卡片上的数字依次为（）A. 3、4、2、 1C. 2、3、1、4乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有 即甲、乙、丙、丁 4个人拿到卡片上的数字依次为 4、2、1、3.3.（选修1-2 P 30练习T 2改编）如图所示的数阵中，用A （m n ）表示第m 行的第n 个数,则依此规律A （15 , 2）为（）1 3 1 1 6 6丄］丄10 3 10 1 13 兰丄 15 30 30 15 1 1 13 ］丄 21 2 15 2 21B . 4、 2、 1、 3 D. 1、 3、 2、 4解析：选B .由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有 3的卡片，由乙的预测不正确可得4的卡片，故丙拿到标有1的卡片,42 105A.29B .76111 2解析：选c •由数阵知A , 2）= 6+6=6+丙，1111 2 A 4，2) = 6+6+帀=6 +莎解析：选C.该程序框图是求 495与135的最大公约数，由495 = 135X 3+ 90,135 = 90X1 + 45 , 90 = 45X 2,所以495与135的最大公约数是 45，所以输出的m ^ 45，故选C.、填空题 5.（选修1-2 PdA 组T 3改编）c .17 24 D.7310221 1 1 1 1 22A (52) = + -+ + —=一+ +4X5 f丿6 6 10 16 3X 4X525X6 ，1则 A (15 ,2) = 6 +22+4X52 +5X6 +2,. 11 =— + 63X4 11111 1 1 123- 4+4飞+…+ 亦—届=6+ 21 13 17 =6+2X 48= 24，选项 c 正确. 4. （必修3 P 34-案例1改编）如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著 《几何原本》 m,590中的“辗转相除法”，执行该程序框图 （图中“ m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的ABC［是复平面内的平行四边形，A、B、C三点对应的复数分别为1 + 2i , - i , 2+ i , O为复平面原点，则|0［= _____________ .解析：设D点对应的复数为x+ y i（x, y€ R）,因为ABC［是平行四边形，所以RB= DC即一i —(1 + 2i) = (2 + i) —(x + y i),421078即—1- 3i = (2 - x ) + (1 — y )i ,2 — x = — 1 所以* ，解得x = 3, y = 4. 1 -y =-3所以D 点对应的复数为3+ 4i . 所以 |0D = |3 + 4i| = 5, 答案：5sin a — COS a6. ----------------------------------------------------------- (选修 1-2 P 44B 组 T 1 改编)已知 z =— 1,则 tan 2 a =sin a + 2cos a -----------Sin a — COS a解析：由 =—1，可得 2sin a =— COS a ,sin a + 2cos a所以tan 2 a4答案：-3 三、解答题2 17.（选修1-2 P 35B 组T 1改编）已知数列｛a n ｝的前n 项和为S, a 1 = -石，且 S+ + 2 =3 S na n （n 》2）.计算 S 、$、$,并猜想 S.2解：n = 1 时，S = a 1 = — 3.31 2n = 2 时，S 2+ + 2= a 2= S 2— S = S +S 3 所以 Sl 2=—；. 4丄 1 3 n = 3 时，S 3+ + 2= a 3= S 3— S 2= S +S 4 4所以S 3=— 5,n +1所以猜想S n =— n +2 . 8.（必修2 P 45探究、P 52B 组T 1（1）改编）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：所以tan a2,2ta n a 1 — tan 2 a43(1)请将字母F, G, H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);⑵判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；⑶证明：直线DFL平面BEG解：⑴点F, G H的位置如图所示.⑵平面BEG/平面ACH证明如下：因为ABCDEFG助正方体，所以BC FG BC= FG 又FG/ EH FG= EH 所以BC// EH BC= EH 所以BCHE^平行四边形.所以BE// CH又CH?平面ACH BE?平面ACH所以BE//平面ACH X \同理BG/平面ACH又BEH BG= B,■TL firJ r \1所以平面BEG/平面ACH⑶证明：连接FH因为ABCDEFGH^正方体，所以DHL平面EFGH 因为EG 平面EFGH所以DHL EG又EGL FH, DH^ FH= H,所以EGL平面BFHD又DF?平面BFHD所以DF! EG同理DF L BG又E(T BG= G所以DFL平面BEG9。
2019-2020高考数学一轮复习第11章复数、算法、推理与证明第4讲直接证明与间接证明分层演练文
——教学资料参考参考范本——2019-2020高考数学一轮复习第11章复数、算法、推理与证明第4讲直接证明与间接证明分层演练文______年______月______日____________________部门一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )A．自然数a，b，c中至少有两个偶数B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b，c都是奇数D．自然数a，b，c都是偶数解析：选B．“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”．故选B．2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b ＋c＝0，求证：<a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：选C．<a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0．故选C．3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是( )A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b解析：选A．因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，且＋＞＋＞＋＞0，所以a＞b＞c．4．设x，y，z>0，则三个数＋，＋，＋( )A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2解析：选C．假设三个数都小于2，则＋＋＋＋＋<6，由于＋＋＋＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，所以假设不成立，所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2．故选C．5．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A解析：选A．因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f．6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m≥nC．m<n D．m≤n解析：选C．－<⇐＋>⇐a<b＋2·＋a－b⇐2·>0，显然成立，故m<n．选C．二、填空题7．已知点An(n ，an)为函数y ＝图象上的点，Bn(n ，bn)的函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N*，设cn ＝an －bn ，则cn 与cn ＋1的大小关系为________．解析：由条件得cn ＝an －bn ＝－n ＝， 所以cn 随n 的增大而减小，所以cn ＋1<cn ． 答案：cn ＋1<cn8．关于x 的方程ax ＋a －1＝0在区间(0，1)内有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：①当a ＝0时，方程无解．②当a ≠0时，令f(x)＝ax ＋a －1，则f(x)在区间(0，1)上是单调函数，依题意，得f(0)f(1)<0，所以(a －1)(2a －1)<0， 所以<a<1．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，19．设函数f(x)＝(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b ∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．解析：易知f(x)＝在定义域内是增函数， 由f(f(b))＝b ，猜想f(b)＝b ．反证法：若f(b)>b ，则f(f(b))>f(b)>b ，与题意不符， 若f(b)<b ，则f(f(b))<f(b)<b ，与题意也不符，故f(b)＝b ， 即f(x)＝x 在[0，1]上有解． 所以＝x ，a ＝ex －x2＋x ，令g(x)＝ex －x2＋x ，g′(x)＝ex －2x ＋1＝(ex ＋1)－2x ，当x∈[0，1]时，ex ＋1≥2，2x≤2，所以g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上是增函数， 所以g(0)≤g(x)≤g(1)⇒1≤g(x)≤e， 即1≤a≤e． 答案：[1，e]10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p －2)x －2p2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围是________．解析：法一：(补集法) 令解得p≤－3或p≥，故满足条件的p 的取值范围为． 法二：(直接法)依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0， 即2p2－p －1＜0或2p2＋3p －9＜0， 得－＜p ＜1或－3＜p ＜， 故满足条件的p 的取值范围是． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 三、解答题11．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且直线bx ＋ycos A ＋cos B ＝0与ax ＋ycos B ＋cos A ＝0平行，求证：△ABC 是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcos B －acos A ＝0，由正弦定理可知sin Bcos B －sin Acos A ＝0，即sin 2B －sin 2A ＝0，故2A ＝2B或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝．若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，两直线重合，不符合题意，故A ＋B ＝，即△ABC 是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcos B －acos A ＝0， 由余弦定理，得a·＝b·，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a ＝b 或a2＋b2＝c2． 若a ＝b ，则两直线重合，不符合题意， 故a2＋b2＝c2，即△ABC 是直角三角形．12．已知数列{an}满足a1＝，且an ＋1＝(n ∈N*)． (1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn ＝anan ＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n 项和记为Tn ，证明：Tn<．解：(1)由已知可得，当n∈N*时，an ＋1＝，两边取倒数得，＝＝＋3，即－＝3，所以数列是首项为＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为＝2＋(n －1)×3＝3n －1， 所以数列{an}的通项公式为an ＝． (2)证明：由(1)知an ＝， 故bn ＝anan ＋1＝1（3n－1）（3n＋2）＝，故Tn ＝b1＋b2＋…＋bn ＝×＋×＋…＋×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n－1－13n＋2 ＝＝－·． 因为>0，所以Tn<．。
2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第11章 复数、算法、推理与证明 第3讲
1 1 1 3 * (2)已知 f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋n(n∈N )， 经计算得 f(2)＝ ， f(4) 2 3 2 5 7 ＞2，f(8)＞ ，f(16)＞3，f(32)＞ ．据此猜想一个一般性的结 2 2 论为________(n∈N*)．
【解析】 (1)观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为 {an}， 则 a1＝1， a2＝a1＋2， a3＝a2＋3， … an＝an－1＋n．
a3 a4＝ ＝ 1＋a3 …
1 猜想{an}的通项公式为 an＝n．故选 A．
(选修 12 P35A 组 T3 改编)凸多面体的面数 F、顶点数 V 和 棱数 E 之间的关系如下表． 凸多面体 三棱柱 五棱柱 三棱锥 四棱锥 面数(F) 5 7 4 5 顶点数(V) 6 10 4 5 棱数(E) 9 15 6 8
4 5 6 7 3 4 5 (2)因为 f(2 )＞ ，f(2 )＞ ，f(2 )＞ ，f(2 )＞ ，所以当 n≥2 2 2 2 2
2
n＋2 n＋2 n 时，有 f(2 )＞ ．故填 f(2 )≥ ． 2 2
n
【答案】
(1)C
n＋2 (2)f(2 )≥ 2
n
(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的 结论超越了前提所包含的范围； (2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验 或试验的基础之上的； (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学 结论和科学的发现很有用．
所以 a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋ n（n＋1） n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝ ， 2 观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则 bn＝ n2．把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知 使得 n 都为正整数的只有 1 225．
2019版高考数学(理)高分计划一轮课件：第11章 算法、复数、推理与证明 11-3
解析 设等比数列{bn}的公比为 q，首项为 b1， 则 T4＝b41q6，T8＝b81q1＋2＋…＋7＝b81q28， T12＝b112q1＋2＋…＋11＝b112q66， ∴TT84＝b41q22，TT182＝b41q38， 即TT842＝TT182·T4，故 T4，TT84，TT182成等比数列． 故答案为TT84，TT182.
sinπ9－2＋sin29π－2＋sin39π－2＋…＋sin
8π－2
9
＝43×4×5；
……
照此规律，
sin2nπ＋1
－
2
＋
sin
2π
2n＋1
－
2
＋
sin
3π
2n＋1
－
2
＋
…
＋
sin22nn＋π1－2＝_4_n_n_3＋__1__.
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的 结论一定正确．( × ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是 一种合情推理．( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体 作为类比对象较为合适．( × ) (4)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时， 得到的结论一定正确．( √ )
两边同时对 x 求导，得 2yy′＝2p，则 y′＝py，所以过点 P 的切线的斜率 k＝yp0.类比上述方法求出双曲线 x2－y22＝1 在 P( 2， 2)处的切线方程为___2_x_－__y_－___2_＝__0__．
注意题意要求，类比上述方法求切线．
解析 将双曲线方程化为 y2＝2(x2－1)，类比上述方法
题型 3 演绎推理
2019届高考数学文科人教新课标版一轮复习课件：第11章 复数、算法、推理与证明 第4讲
a＋b＋c a＋b＋c c a 即证 ＋ ＝3，也就是证 ＋ ＝1， a＋b b＋c a＋b b＋c 只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证 c2＋a2＝ac＋b2． 又△ABC 三内角 A，B，C 成等差数列，故 B＝60°， 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°，即 b2＝c2＋a2－ac， 故 c2＋a2＝ac＋b2 成立． 于是原等式成立．
(2)因为 PC⊥底面 ABCD，所以 PC⊥AC， 因为 ABCD 是直角梯形，且 AB＝2AD＝2CD＝2， 所以 AC＝ 2，BC＝ 2． 因为 AB2＝AC2＋BC2，所以 AC⊥BC， 因为 PC∩BC＝C，所以 AC⊥平面 PBC， 因为 AC⊂平面 EAC， 所以平面 EAC⊥平面 PBC．
用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的 适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶 性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容 易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法 证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．
【对点通关】 1．(选修 12 P44B 组 T2)设实数 a，b，c 成等比数列，非零实 a c 数 x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等差中项，求证： ＋ ＝2． x y a c a 2 证明： 由题意得 b ＝ac， 2x＝a＋b， 2y＝b＋c， 所以 ＋ ＝ x y a＋b 2
) B．(0°，60°] D．[60°，90°]
(选修 12 P91 练习 T2 改编)求证： 1， 2， 3不成等差数列．
证明：假设 1， 2， 3成等差数列，即 2 2＝1＋ 3． 两边平方得 8＝4＋2 3， 即 2＝ 3， 两边再平方得 4＝3，显然不成立． 因此假设 1， 2， 3成等差数列是错误的， 所以 1， 2， 3不成等差数列．
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数，其否定有 a，b，c 均为奇数或 a，b，c 中至少有两个 偶数．故选 B.
(2)(选修 A2－2P89T2)设 a>b>0， m＝ a－ b， n＝ a－b， m<n. ． 则 m，n 的大小关系是________
解析 解法一：(取特殊值法)取 a＝2，b＝1，得 m<n. 解法二：(作差法)由已知得 m>0，n>0，则 m2－n2＝a ＋b－2 ab－a＋b＝2b－2 ab ＝2 b2－2 ab<0，∴m2<n2， ∴ m <n .
经典题型冲关
题型 1 典例
分析法的应用 已知 a>0，证明： 1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2. a a
2
本题证明时需要用分析法，在推导过程中 用到平方法．
证明
要证
2
1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2， a a
2
只需证
1 1 a ＋ 2≥a＋ － (2－ 2)． a a
第11章 算法、复数、推理与证明
11．4
直接证明与间接证明
基础知识过关
[知识梳理] 1．直接证明
2．间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证 法是一种常用的间接证明方法．
不成立 (1)反证法的定义：假设原命题____________( 即在原命
题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛
a2 b2 c2 (2)因为 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c， b c a 当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立， a2 b2 c2 故 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， b c a a2 b2 c2 即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c. b c a a2 b2 c2 所以 ＋ ＋ ≥1. b c a
3．小题热身 (1)若 a>0，b>0，且 a＋b＝4，则下列不等式中恒成立 的是( ) 1 1 B. ＋ ≤1 C. ab ≥2 a b 1 1 D. 2 ≤ a ＋b2 8 1 1 A. > ab 2
解析 ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝16. 1 1 ∴a ＋b ≥8，∴ 2 ≤ .故选 D. a ＋ b2 8
以要证的不等式成立．
方法技巧 1．分析法证明问题的策略 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想． (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即 通过分析法找出某个与结论等价 (或充分)的中间结论，然后 通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
2．分析法的适用范围及证题关键 (1)适用范围 ①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接． ②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体． ③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推 导． (2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．
因为
1 a>0，所以a＋ － (2－ a
2)>0，
所以只需证
1 1 2 2 2 a ＋ 2 ≥a＋a－2－ 2 ， a 1 即 2(2－ 2)a＋ ≥8－ 4 2， a 1 只需证 a＋ ≥2. a 1 1 因为 a>0，a＋ ≥2 显然成立a＝ ＝1时等号成立 ，所 a a
冲关针对训练 (2018· 天津期末)已知 x>y>0， m>0.用分析法证明： xy (2 － xy)≤1.
证明 要用分析法证明： xy(2－ xy)≤1， 只需 2 xy－( xy )2≤1， 只需( xy)2－2 xy＋1≥0， 即( xy －1)2≥0， 因为 x，y>0，且( xy－1)2≥0 成立， 所以 xy(2－ xy)≤1.
原命题成立 的证明方 盾，因此说明假设错误，从而证明____________
法．
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的 结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛 盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的 结论成立．
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成 立的充要条件．( × ) (2)证明不等式 2 ＋ 7 ＜ 3 ＋ 6最适合的方法是分析 法．( √ ) (3) 反 证 法 是 指 将 结 论 和 条 件 同 时 否 定 ， 推 出 矛 盾．( × ) (4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法， 再用综合法展现解决问题的过程．( √ )
2 2
(2)设 a，b 是两个实数，给出下列条件： ①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出：“a ，b 中至少有
① 一个大于 1”的条件是________ ．(填序号)
解析 1. 用反证法证明如下： 假设 a≤1，且 b≤1，则 a＋b≤2 与 a＋b>2 矛盾． 因此假设不成立，所以 a，b 中至少有一个大于 1. 取 a＝－2，b＝－1，则 a2＋b2>2，从而②推不 出．①能够推出，即若 a＋b>2，则 a，b 中至少有一个大于
2．教材衍化 (1)(选修 A2－2P90 例 5)用反证法证明某命题时， 对结论 “自然数 a，b，c 中恰有一个是偶数”正确的反设为( A．a，b，c 中至少有两个偶数 B．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c 都是奇数 D．a，b，c 都是偶数 )
ห้องสมุดไป่ตู้
解析
a，b，c 中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶
方法技巧 1．利用综合法证题的策略 用综合法证题是从已知条件出发， 逐步推向结论， 综合 法的适用范围： (1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并 且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
题型 2 典例
综合法的应用 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1 ，证明：
1 a2 b2 c2 (1)ab＋bc＋ca≤ ；(2) ＋ ＋ ≥1. 3 b c a
证明
(1)由 a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1， 1 即 ab＋bc＋ca≤ . 3 当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．