2019版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.4直接证明与间接证明课件理

因为
1 a>0，所以a＋ － (2－ a
2)>0，
所以只需证
1 1 2 2 2 a ＋ 2 ≥a＋a－2－ 2 ， a 1 即 2(2－ 2)a＋ ≥8－ 4 2， a 1 只需证 a＋ ≥2. a 1 1 因为 a>0，a＋ ≥2 显然成立a＝ ＝1时等号成立 ，所 a a
2 2
(2)设 a，b 是两个实数，给出下列条件： ①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出：“a ，b 中至少有
① 一个大于 1”的条件是________ ．(填序号)
解析 1. 用反证法证明如下： 假设 a≤1，且 b≤1，则 a＋b≤2 与 a＋b>2 矛盾． 因此假设不成立，所以 a，b 中至少有一个大于 1. 取 a＝－2，b＝－1，则 a2＋b2>2，从而②推不 出．①能够推出，即若 a＋b>2，则 a，b 中至少有一个大于
冲关针对训练 (2018· 天津期末)已知 x>y>0， m>0.用分析法证明： xy (2 － xy)≤1.
证明 要用分析法证明： xy(2－ xy)≤1， 只需 2 xy－( xy )2≤1， 只需( xy)2－2 xy＋1≥0， 即( xy －1)2≥0， 因为 x，y>0，且( xy－1)2≥0 成立， 所以 xy(2－ xy)≤1.
数，其否定有 a，b，c 均为奇数或 a，b，c 中至少有两个 偶数．故选 B.
(2)(选修 A2－2P89T2)设 a>b>0， m＝ a－ b， n＝ a－b， m<n. ． 则 m，n 的大小关系是________
解析 解法一：(取特殊值法)取 a＝2，b＝1，得 m<n. 解法二：(作差法)由已知得 m>0，n>0，则 m2－n2＝a ＋b－2 ab－a＋b＝2b－2 ab ＝2 b2－2 ab<0，∴m2<n2， ∴ m <n .
题型 2 典例
综合法的应用 设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1 ，证明：
1 a2 b2 c2 (1)ab＋bc＋ca≤ ；(2) ＋ ＋ ≥1. 3 b c a
证明
(1)由 a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1， 1 即 ab＋bc＋ca≤ . 3 当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．
原命题成立 的证明方 盾，因此说明假设错误，从而证明____________
法．
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的 结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛 盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的 结论成立．
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成 立的充要条件．( × ) (2)证明不等式 2 ＋ 7 ＜ 3 ＋ 6最适合的方法是分析 法．( √ ) (3) 反 证 法 是 指 将 结 论 和 条 件 同 时 否 定 ， 推 出 矛 盾．( × ) (4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法， 再用综合法展现解决问题的过程．( √ )
第11章 算法、复数、推理与证明
11．4
直接证明与间接证明
基础知识过关
[知识梳理] 1．直接证明
2．间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证 法是一种常用的间接证明方法．
不成立 (1)反证法的定义：假设原命题____________( 即在原命
题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛
经典题型冲关
题型 1 典例
分析法的应用 已知 a>0，证明： 1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2. a a
2百度文库
本题证明时需要用分析法，在推导过程中 用到平方法．
证明
要证
2
1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2， a a
2
只需证
1 1 a ＋ 2≥a＋ － (2－ 2)． a a
2．教材衍化 (1)(选修 A2－2P90 例 5)用反证法证明某命题时， 对结论 “自然数 a，b，c 中恰有一个是偶数”正确的反设为( A．a，b，c 中至少有两个偶数 B．a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C．a，b，c 都是奇数 D．a，b，c 都是偶数 )
解析
a，b，c 中恰有一个偶数说明有且仅有一个是偶
以要证的不等式成立．
方法技巧 1．分析法证明问题的策略 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想． (2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即 通过分析法找出某个与结论等价 (或充分)的中间结论，然后 通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．
2．分析法的适用范围及证题关键 (1)适用范围 ①已知条件与结论之间的联系不够明显、直接． ②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体． ③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推 导． (2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．
a2 b2 c2 (2)因为 ＋b≥2a， ＋c≥2b， ＋a≥2c， b c a 当且仅当“a2＝b2＝c2”时等号成立， a2 b2 c2 故 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， b c a a2 b2 c2 即 ＋ ＋ ≥a＋b＋c. b c a a2 b2 c2 所以 ＋ ＋ ≥1. b c a
方法技巧 1．利用综合法证题的策略 用综合法证题是从已知条件出发， 逐步推向结论， 综合 法的适用范围： (1)定义明确的问题；(2)已知条件明确，并 且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．
3．小题热身 (1)若 a>0，b>0，且 a＋b＝4，则下列不等式中恒成立 的是( ) 1 1 B. ＋ ≤1 C. ab ≥2 a b 1 1 D. 2 ≤ a ＋b2 8 1 1 A. > ab 2
解析 ∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝16. 1 1 ∴a ＋b ≥8，∴ 2 ≤ .故选 D. a ＋ b2 8