高二数学圆与方程教学计划设计

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福建省德化三中高二数学《圆的一般方程》教案

三维目标：知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。

(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用教学过程：一、复习回顾：1、圆的标准方程：请同学们写出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．二、创设情境、新课引入：问题：回顾P119例2的解答过程求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．把圆的标准方程展开，并整理：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．取错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得错误！未找到引用源。

②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当错误！未找到引用源。

时，表示以（-错误！未找到引用源。

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高二数学圆的方程知识精讲人教版

高二数学圆的方程知识精讲人教版一. 本周教学内容：圆的方程［教学目标］掌握圆的标准方程、一般方程和参数方程。

会根据具体条件写出圆的相应的方程，给出圆的方程能求出圆心和半径；会由圆的方程和直线方程讨论圆与直线的位置关系；会用几何、代数等方法判断直线与圆相交、相切、相离，会求圆的切线方程。

二. 重点、难点： 1. 重点：圆的标准方程、一般方程、参数方程的推导和运用。

2. 难点：直线和圆、圆与圆的位置关系的讨论以及圆的相关性质的研究与应用。

3. 能力训练：进一步培养学生用坐标法研究几何法的能力，同时利用几何知识简化解析法中的运算能力；培养学生运用设参数、消参数解决问题的能力。

三. 教学过程：（一）知识提要：()()10222.()圆的标准方程：x a y b r r -+-=>20222.()圆的一般方程：x y Dx Ey F ++++=（）当时，方程表示圆，圆心，，半径：14022222D E F D E +->--⎛⎝ ⎫⎭⎪()r D E F =+-12422（）当时，方程表示一个点，。

24022222D E F D E +-=--⎛⎝ ⎫⎭⎪()（）当时，方程不表示任何图形。

340222D E F +-<()30.cos sin 圆的参数方程：（为参数，）x a r y b r r =+=+⎧⎨⎩>θθθ【典型例题】例1. 求经过点A （3，2），圆心在直线y ＝2x 上且和直线y ＝2x ＋5相切的圆的方程。

解析：∵已知条件与圆心、半径有关∴应设圆的方程为标准形式，求出（a ，b ）和r()()设：所求圆的方程为x a y b r -+-=222()()依题意：322255222-+-===-+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪a b r b a r a b解得：或a b r a b r ===⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪===⎧⎨⎪⎩⎪4585524522∴所求圆的方程为： ()()x y x y -⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-+-=458552452222或22探求：此题要注意数形结合，利用相切关系求出直线的斜率。

高二数学教案：圆的参数方程学案

高二数学教案：圆的参数方程学案
【摘要】欢迎来高二数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律, 培养学生自主学习习惯和能力。

因此小编在此为您编辑了此文：“高二数学教案：圆的参数方程学案”希望能为您的提供到帮助。

本文题目：高二数学教案：圆的参数方程学案
2.1.2 圆的参数方程
学习目标
1.通过求做匀速圆周运动的质点的参数方程，掌握求一般曲线的参数方程的基本步骤.
2.熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。

学习过程
一、学前准备
1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什幺?
二、新课导学。

高二数学圆的方程教学设计

高二数学圆的方程教学设计导语：圆是数学中非常重要的一个几何形状，它在生活中无处不在。

了解圆的方程及其相关概念对于高中数学学习者非常关键。

本文将以高二数学学生为目标群体，设计一堂关于圆的方程的教学活动。

通过本教学设计，学生将能够理解圆的基本特性及其方程，掌握圆的一般方程、标准方程以及与坐标系相关的圆的方程，能够灵活运用相关知识解决圆的相关问题。

一、教学目标：1. 理解圆的基本定义及其特性；2. 掌握圆的一般方程，能够将一般方程转化为标准方程；3. 理解与坐标系相关的圆的方程；4. 能够灵活运用所学知识解决圆的相关问题。

二、教学重点：1. 圆的一般方程的转化；2. 与坐标系相关的圆的方程。

三、教学难点：1. 能够将一般方程转化为标准方程；2. 理解与坐标系相关的圆的方程。

四、教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔、投影仪等教学用具；2. 准备题目库，包含一些综合性的圆的方程问题；3. 打印学生教材以及练习册。

五、教学步骤：步骤一：导入新知识（5分钟）教师可通过展示一些日常生活中与圆有关的图片，引起学生对圆形的注意，并简要介绍圆的定义和相关特性。

步骤二：讲授圆的一般方程（10分钟）1. 通过示意图展示一般方程的表达形式，并解释各个参数的含义；2. 举例说明如何根据已知条件推导出圆的一般方程；3. 讲解一般方程的标准形式，即$x^2+y^2+r^2+2gx+2fy+c=0$。

步骤三：练习一（10分钟）1. 放映练习题，并让学生尝试将一般方程转化为标准方程；2. 复习并纠正学生在转化过程中可能出现的常见错误。

步骤四：讲授与坐标系相关的圆的方程（15分钟）1. 引导学生了解平面直角坐标系，并讲解圆心与半径的坐标表示方法；2. 探讨圆在不同位置和大小的平移、缩放等运动中方程的变化。

步骤五：练习二（15分钟）1. 放映练习题，要求学生根据给定的条件写出相应的圆的方程；2. 强调解题思路和方法，引导学生独立思考和解决问题。

高二数学教案圆的方程9篇

高二数学教案圆的方程9篇圆的方程 1§7.6 圆的方程（第二课时）㈠课时目标1.掌握圆的一般式方程及其各系数的几何特征。

2.待定系数法之应用。

㈡问题导学问题1：写出圆心为（a,b）,半径为r的圆的方程，并把圆方程改写成二元二次方程的形式。

-2ax-2by+ =0问题2：下列方程是否表示圆的方程，判断一个方程是否为圆的方程的标准是什么？①；② 1③ 0；④ -2x+4y+4=0⑤ -2x+4y+5=0; ⑥ -2x+4y+6=0㈢教学过程[情景设置]把圆的标准方程展开得 -2ax-2by+ =0可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：+Dx+Ey+F=0 ①提问:方程表示的曲线是不是圆?一个方程表示的曲线是否为圆有标准吗?[探索研究]将①配方得 : ( ) ②将方程②与圆的标准方程对照.⑴当＞0时, 方程②表示圆心在 (- ),半径为的圆.⑵当 =0时,方程①只表示一个点(- ).⑶当＜0时, 方程①无实数解,因此它不表示任何图形.结论: 当＞0时, 方程①表示一个圆, 方程①叫做圆的一般方程.圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径,而一般方程突出了形式上的特点:⑴和的系数相同,不等于0;⑵没有xy这样的二次项.以上两点是二元二次方程A +Bxy+C +Dx+Ey+F=0表示圆的必要条件,但不是充分条件[知识应用与解题研究][例1] 求下列各圆的半径和圆心坐标.⑴ -6x=0; ⑵ +2by=0(b≠0)[例2]求经过O（0，0），A（1，1），B（2，4）三点的圆的方程，并指出圆心和半径。

分析：用待定系数法设方程为 +Dx+Ey+F=0 ，求出D，E，F即可。

[例3]已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。

分析：本题直接给出点，满足条件，可直接用坐标表示动点满足的条件得出方程。

反思研究：到O（0，0），A（1，1）的距离之比为定植k（k>0）的点的轨迹又如何？当k=1时为直线，k>0时且k≠1时为圆。

高中数学圆方程教案

高中数学圆方程教案
教学目标：
1. 掌握圆的一般方程和标准方程；
2. 理解不同参数对圆的位置、形状的影响；
3. 能够根据已知条件求解圆的方程。

教学内容：
1. 圆的一般方程和标准方程的表达；
2. 圆的圆心、半径和方程之间的关系；
3. 圆的位置、形状与参数之间的关系。

教学流程：
一、导入
教师引入圆的概念，讲解圆的定义及基本性质，激发学生对圆的兴趣。

二、讲解
1. 圆的一般方程和标准方程的表达形式；
2. 圆的圆心坐标和半径与圆的方程之间的关系；
3. 不同参数对圆的位置、形状的影响。

三、练习与实践
1. 给出不同圆的半径和圆心坐标，让学生求解圆的方程；
2. 给出圆的方程，让学生画出对应的圆图形。

四、总结与延伸
教师总结本节课的重点知识，并提出延伸思考题，拓展学生对圆方程的理解。

五、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生结合实际情况解决问题。

教学反馈：
教师根据学生的表现和作业情况，及时给予反馈与指导，以便学生及时纠正错误，提高学习效果。

教学资源：
1. 教科书《高中数学》；
2. PPT课件；
3. 相关练习题目。

教学评估：
通过课堂练习、作业表现以及考试成绩等多方面评估学生掌握情况，及时调整教学内容和方法，帮助学生提高学习效果。

高二数学选修4-4教案06圆的参数方程

高二数学选修4-4教案06圆的参数方程教学目的：学习圆的参数方程，理解参数θ的几何意义；会用圆的参数方程解题。

教学重点：圆的参数方程的推导及应用。

教学难点：参数θ的几何意义及应用。

教学方法：师生互动，培养创新思维。

教学过程：一、问题情景：【1】已知1y x 22=+，怎样求22y xy 2x -+的最大与最小值？【2】函数ϑϑcos 2sin 2y --=的值域怎么求？你知道有哪几种方法？二、数学构建.从上面的问题可以看到：圆的方程1y x 22=+与方程组⎩⎨⎧==θθsin y cos x 之间有着一定的对应关系，那么我们怎样来认识和理解它们的这种关系呢？事实上：1．设点P 在圆O ：222r y x =+上，从点P 0开始按逆时针方向运动到达点P ，且设∠P 0OP=θ.若设点P 的坐标是(x,y)，由三角函数的定义不难发现，点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是θ的函数，即⎩⎨⎧==θθsin r y ,cos r x ① 另一方面，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P （x,y ）都在圆O 上.这表明，方程①也可用来表示圆。

那么，我们就把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程。

其中θ是参数.注意：根据点与θ角的一一对应性质，我们一般设定)2,0[πθ∈。

2．对于圆心为O （a,b ）、半径为r 的圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，可以看成由圆心为原点O ，半径为r 的圆222r y x =+按向量ν=(a,b)平移得到的（如右图）.不难求出，圆心在（a,b ）、半径为r 的圆的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=.sin r b y ,cos r a x θθ (θ为参数且)2,0[πθ∈）② 注意：若将方程组①、②中的参数θ消去，则可得到这一圆的标准方程，即：222r y x =+和（x-a)2+(y-b)2=r 2。

反之，由圆的标准方程也可直接采用三角换元的方法得到圆的参数方程。

高二数学圆的标准方程教案人教版教案

高二数学圆的标准方程教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．(二)能力训练点通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．(三)学科渗透点圆基于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得知识的连续性；通过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．二、教材分析1．重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．(解决办法：(1)通过设问，消除难点，并详细讲解；(2)多多练习、讲解．)2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．(解决办法：使学生掌握分析这类问题的方法是先弄清题意，再建立适当的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题．)三、活动设计问答、讲授、设问、演板、重点讲解、归纳小结、阅读．四、教学过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．(二)建立圆的标准方程1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2． (1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．这时，请大家思考下面一个问题．问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r 三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．(三)圆的标准方程的应用例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；指出：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．例2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4教师指出：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．例3 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解(1)：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决．解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．这时，教师小结本题：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．3．以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)例4图2-10是某圆拱桥的—孔圆拱的示意图．该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到)．此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：(1)先要建立适当直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；(2)用待定系数法求圆的标准方程；(3)要注意P2的横坐标x=-2＜0，纵坐标y＞0，所以A2P2的长度只有一解．(四)本课小结1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．五、布置作业1．求下列条件所决定的圆的方程：(1)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；(2)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．2．已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)．证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．4．赵州桥的跨度是，圆拱高约为，求这座圆拱桥的拱圆的方程．作业答案：1．(1)(x-3)2+(y+5)2= 322．因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04．如图2-11建立坐标系，得拱圆的方程：≤y≤0)六、板书设计。

2.4.1 圆的标准方程(教案)-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程2.4.1 圆的标准方程教学设计一、教学目标1理解用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征.2能根据所给条件求圆的标准方程，并能应用圆的标准方程解决简单的数学问题. 3会判断点与圆的位置关系.二、教学重难点1、教学重点圆的标准方程.2、教学难点圆的标准方程及其应用.三、教学过程1、新课导入多边形和圆是平面几何中的两类基本图形. 建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”图形，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题. 类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程. 这节课我们就来一起学习一下圆的标准方程.2、探索新知一、圆的几何要素圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.二、圆的标准方程如图，在平面直角坐标系中，A 的圆心A 的坐标为(,)a b ，半径为r ，(,)M x y 为圆上任意一点，A 就是以下点的集合{||}P M MA r ==.根据两点间的距离公式，点M 的坐标(,)x y 满足的条件可以表示为r =，两边平方，得222()()x a y b r -+-=.（1）由上述过程可知，若点(,)M x y 在A 上，点M 的坐标就满足方程（1）；反过来，若点M 的坐标(,)x y 满足方程（1），就说明点M 与圆心A 间的距离为r ，点M 就在A 上.这时，我们把方程（1）称为圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的标准方程.三、点与圆的位置关系点000(,)M x y 在圆222x y r +=内，则22200x y r +<；在圆222x y r +=外，则22200x y r +>.例1 求圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程，并判断点1(5,7)M -，2(2,1)M --是否在这个圆上.解：圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=.把点1(5,7)M -的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(52)(73)25-+-+=，左右两边相等，点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在这个圆上.把点2(2,1)M --的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(22)(13)20--+-+=，左右两边不相等，点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在这个圆上.例2 ABC △的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -，求ABC △的外接圆的标准方程.解：设所求的方程是222()()x a y b r -+-=.因为(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程222()()x a y b r -+-=.于是222222222(5)(1)(7)(3)(2)(8)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩，即222222222102261465841668a b a b r a b a b r a b a b r ⎧+--+=⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩.三式两两相减，得281a b a b -=⎧⎨+=-⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，代入222(5)(1)a b r -+-=，得225r =.所以，ABC △的外接圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=.例3 已知圆心为C 的圆经过(1,1)A ，(2,2)B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=上，求此圆的标准方程.解法1：设圆心C 的坐标为(,)a b .因为圆心C 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=.①因为A ，B 是圆上两点，所以||||CA CB =.，即330a b --=.②由①②可得3a =-，2b =-. 所以圆心C 的坐标是(3,2)--.圆的半径||5r AC ==.所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=.解法2：如图，设线段AB 的中点为D .由A ，B 两点的坐标为(1,1)，(2,2)-，可得点D 的坐标为31(,)22-，直线AB 的斜率为21321AB k --==--. 因此，线段AB 的垂直平分线l '的方程是113()232y x +=-，即330x y --=. 由垂径定理可知，圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组33010x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解.解这个方程组，得32x y =-⎧⎨=-⎩. 所以圆心C 的坐标是(3,2)--.圆的半径||5r AC ==.所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=.3、课堂练习1.圆()()22232x y -++=的圆心坐标和半径分别是( )A.(2,3)-，1B.(2,3)-，3C.(2,3)-D.(2,3)- 答案：D解析：由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,3)-2.圆()()2221249x y -++=的周长等于( )A.6πB.3πC.3π2D.9π答案：B 解析：圆的方程可化为()2219224x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，所以圆的半径为32，因此圆的周长为32π3π2⨯=. 3.圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程为( )A.22(2)1x y ++=B.22(2)1x y +-=C.22(1)(3)1x y -+-=D.22(3)1x y +-=答案：B 解析：设圆心坐标为(0,)b ，由半径为1，可得圆的标准方程为22()1x y b +-=.又圆过点(1,2)，所以21(2)1b +-=，解得2b =，故圆的标准方程为22(2)1x y +-=，故选B.10.若点M 在圆22(1)26x y -+=的内部，则实数a 的取值范围是___________. 答案：[0,1)解析：2211)26a -+=，因为点M 在圆的内部，所以2626a <，又0a ≥，所以01a ≤<.故实数a 的取值范围是[0,1).4、小结作业小结：本节课学习了圆的标准方程及其简单应用.作业：完成本节课课后习题.四、板书设计2.4.1 圆的标准方程1.圆的标准方程：若点(,)M x y 在A 上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的标准方程.2.点与圆的位置关系：点000(,)M x y 在圆222x y r +=内，则22200x y r +<；在圆222x y r +=外，则22200x y r +>.。

高二数学最新教案-第二十八教时圆的参数方程精品

第二十八教时圆的参数方程【教材】：7.7圆的方程【目的】：1.理解圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程,能较熟练地求出圆心在原点,半径为r的圆的参数方程.2.明确参数θ的意义,能说明参数θ与圆上一点的坐标变量x 、y 之间的联系.3.理解圆心不在原点的圆的参数方程,能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程.4.了解一般曲线的参数方程与普通方程的意义5.能将圆的参数方程和普通方程进行相互转化,会用圆的参数方程去解决一些简单的问题.【过程】：一、引入(可利用多媒体演示)让学生观察圆心在原点上一点P ,从圆O 与x 轴的正半轴的交点0P 开始,按逆时针方向旋转运动到点P 时θ=∠OP P 0与P 的位置变化之间的关系, 得出教材上的结论. 二、新课1.圆心在原点的圆的参数方程引导学生根据三角函数的定义,找出点P 的横坐标x 与纵坐标y 关于θ的函数关系,从而得出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数) 2.圆心不在原点的圆的参数方程得出圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程后提出问题:怎样得到圆心在),(1b a O ,半径为r 的圆的参数方程呢?引导学生观察分析得出:可将圆心在原点、半径为r 的圆按向量),(b a v =平行移动后得到,所以圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x3.一般曲线参数方程的定义由圆的参数方程概念对照比较引导学生得出一般的参数方程的概念如教材所述.强调指出:参数方程中的参数,可以是有物理的(如时间、位移、离心角)几何意义的参数,也可以是没有明显几何意义的参变量,要注意参数的取值范围与x 、y 的取值范围的制约关系.相对于参数方程来说,以前所学过的关于x 、y 的直角坐标方程,叫做曲线的普通方程.4.例题例1.(教材第80页例6)例2.已知)0,1(-A 、)0,1(B ,P 为☉C :4)4()3(22=-+-y x 上的一点,求22PB PA +的最大值和最小值以及对应P 点的坐标.解:☉C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 24cos 23y x (θ为参数),22PB PA +=2222)sin 24()cos 22()sin 24()cos 24(θθθθ+++++++ =)sin(4060)sin 4cos 3(860ϕθθθ++=++,其中54cos =ϕ,53sin =ϕ.当1)sin(=+ϕθ时, 22PB PA +有最大值100. ∵1)sin(=+ϕθ,0)cos(=+ϕθ53sin )sin(cos )cos(])cos[(cos =+++=-+=ϕϕθϕϕϑϕϕθθ 54sin )cos(cos )sin(])sin[(sin =+++=-+=ϕϕθϕϕθϕϕθθ∴P 点的坐标为(528,521).当1)sin(-=+ϕθ,22PB PA +有最小值20.∵1)sin(-=+ϕθ,0)cos(=+ϕθ,22ππϕθ-=+k53sin )22cos(])cos[(cos -=-=--=-+=ϕϕππϕϕθθk 54cos )22sin(])sin[(sin -=-=--=-+=ϕϕππϕϕθθk ,∴P 点的坐标为(512,59).指出:凡是涉及圆上的点旋转和有关距离时,可考虑采用圆的参数法,最后归结到三角运算.例3.点)0,3(A 是圆922=+y x 上的一个定点,在圆上另取两点B 、C ,使3π=∠BAC求△ABC 的重心轨迹.分析:因为圆上的B 、C 两点间的相对位置关系是圆周角为3π,所以圆上的点用参数法比较方便.解:不妨设)sin 3,cos 3(θθB 、))32sin(3),32cos(3(πθπθ++C (340πθ<<). 设重心为),(y x G ,则)]32cos(3cos 33[31πθθ+++=x =)3cos(1πθ++,)]32sin(3sin 30[31πθθ+++=y =)3sin(πθ+,消去θ得1)1(22=+-y x .∵340πθ<<,3533ππθπ<+<,21)3cos(1<+≤-πθ,∴230<≤x .故重心G 的轨迹方程是圆1)1(22=+-y x 中230<≤x 中的一段圆弧.指出:求动点轨迹除要写出轨迹方程以外,还要说明曲线特征.例4.求圆422=+y x 上与034=++m y x (0≠m )的距离最大的点P 的坐标.解:圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),圆上的点到直线034=++m y x 的距离为5)sin(105sin 6cos 8ϕθθθ+=++=md ,其中53cos =ϕ,54sin =ϕ. ∵10)sin(1010≤+≤-ϕθ,∴当0>m 时,d 的最大值为510m +,此时1)sin(=+ϕθ,22ππϕθ+=+k ,54sin )22cos(])cos[(cos ==-+=-+=ϕϕππϕϕθθk ,53cos )22sin(])sin[(sin ==-+=-+=ϕϕππϕϕθθk ,P 点的坐标为(56,58).当0<m 时, d 的最大值为510m -,此时1)sin(-=+ϕθ,22ππϕθ-=+k ,P 点的坐标为(56,58--).5.练习:教材第81页练习第1,2,3题.三、小结:圆心在原点以及圆心不在原点的圆的参数方程的形式;一般参数方程的定义;用三角消元法将圆的参数方程化为普通方程,用三角换元法将圆的普通方程化为参数方程.四、作业:习题7.7 № 9,10,11。

高中的高二数学必修二第四章圆与圆的方程学习知识点优秀总结计划

第四章圆与方程★1、圆的定义：平面内到必定点的距离等于定长的点的会合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

设 M （x,y ）为⊙ A 上随意一点，则圆的会合能够写作：P = { M | |MA| = r }★2、圆的方程（ 1）标准方程x a 2 y b 2 r 2，圆心a,b ，半径为 r ；点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的地点关系：当( x0 a) 2 ( y0 b)2>r2，点在圆外; 当 ( x0 a)2 ( y0 b) 2=r2，点在圆上当 ( x a) 2 ( y0 b)2<r2，点在圆内;（ 2）一般方程x2 y 2 Dx Ey F 0（x+D/2) 2+(y+E/2) 2=(D 2+E2-4F)/4 （ D 2 E 2 4F 0 ）当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示圆，此时圆心为 D , E ，半径为 r 1 D2 E 2 4F2 2 2当 D 2 E 2 4F 0 时，表示一个点；当 D 2 E 2 4F 0 时，方程不表示任何图形。

（ 3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。

确立一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；直接法：直接依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。

此外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确立圆心的地点。

★3、直线与圆的地点关系：直线与圆的地点关系有相离，相切，订交三种状况：（ 1 ）设直线l : Ax By C 02 22，圆心 C a, b 到l 的距离为，圆 C : x a y brAa Bb C，则有 d r l与 C相离； d r l 与 C相切； d rl与 C订交dB 2A2（ 2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，①若求得两个不一样的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个同样的解，带入切线方程，获得一条切线；接下来考证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线必定为另一条切线）(3)过圆上一点的切线方程：圆 (x-a)2+(y-b) 2=r 2，圆上一点为 (x0， y0) ，则过此点的切线方程为0 0-b)(y-b)= r 2(x -a)(x-a)+(y两圆的地点关系判断条件公切线条数外离ｄ＞ｒ 1+ｒ2 4 条外切ｄ＝ｒ1+ｒ2 3 条订交| ｒ1-ｒ2| ＜ｄ＜ｒ1+2 条ｒ2内切ｄ＝ | ｒ1-ｒ2| 1 条内含ｄ＜ | ｒ1-ｒ2| 0 条★4、圆与圆的地点关系：经过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确立。

高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程教案

第二章直线和圆的方程2.4 圆的方程2.4.2 圆的一般方程一、教学目标1．掌握圆的一般方程，正确转化为圆的标准方程.2．掌握圆的标准方程和一般方程的形状和熟练相互转化3．通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.二、教学重点、难点重点：圆的一般方程难点：根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的方程.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】【思考】已知圆的方程22(1)(2)4x y -++=，方程的特征是容易知道圆心为(1,2),2r -=，方程可化为222410x y x y +-++=，是一个二元二次方程.【问题】圆的标准方程222()()x a y b r -+-=可以化为方程220x y Dx Ey F ++++=的形式，反之，方程220x y Dx Ey F ++++=能够化为圆的标准方程吗？（二）阅读精要，研讨新知【思考】下列方程能够化为圆的标准方程吗？若能，写出圆心坐标和半径.（1）22106300x y x y +-++=（2）2246130x y x y +-++=（3）22122400x y x y ++-+=解：（1）22106300x y x y +-++=可化为22(5)(3)4x y -++=，表示圆心为(5,3),2r -=的圆.（2）2246130x y x y +-++=可化为22(2)(3)0x y -++=，表示点(2,3)-，不表示圆.（3）22122400x y x y ++-+=可化为22(6)(1)3x y ++-=-，不表示任何图形.【推演】方程220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程. 配方可得22224()()224D E D E F x y +-+++= （1）当2240D E F +->时，方程表示圆心为(,)22D E --，r =的圆. （2）当2240D E F +-=时，方程表示点(,)22D E --. （3）当2240D E F +-<时，方程不表示任何图形.【例题研讨】阅读领悟课本86P 例4、例5（用时约为3-4分钟，教师作出准确的评析.）例4求过三点12(0,0),(1,1),(4,2)O M M 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.解：设圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=因为三点12,,O M M 都在圆上，所以0820642200F D D E F E D E F F ==-⎧⎧⎪⎪+++=⇒=⎨⎨⎪⎪+++==⎩⎩所以，所求圆的方程为22860x y x y +-+=（一般方程），可化为22(4)(3)25x y -++=（标准方程）圆心为(4,3),5r -=.例5已知线段AB 的端点(4,3)B ，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 解：设点(,)M x y ,点00(,)A x y ，由已知，0043,22x y x y ++== 所以0024,23x x y y =-=- ①因为点A 在圆上运动，所以2200(1)4x y ++=，将①代入，得 22(241)(23)4x y -++-= 整理得2233()()422x y -+-=，为线段AB 的中点M 的轨迹方程，表示圆心为33(,)22，半径为1的圆. 【小组互动】完成课本88P 练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知圆的方程是222680x y x y +-++=,那么经过圆心的一条直线的方程是 ( )A. 210x y -+=B. 210x y ++=C. 210x y --=D. 210x y +-=解：由已知得，圆心为(1,3)-,代入各选项，可知直线210x y ++=过圆心. 故选B.2.（多选）以下结论中，正确的是（）A. 若圆22:630C x y x y ++-+=上有,P Q 两点关于直线40kx y -+=对称,则2k =B. 若点(3,0)M 在圆2284100x y x y +--+=内,则过M 的最长弦的方程是260x y --=C. 若点(1,0)Q 在圆224250x y x y m +-++=外，则3(,1)5m ∈D. 圆22:2210C x y x y +--+=上的点到直线20x y --=解：对于A ，依题意，直线过圆心1(,3)2-，所以13402k --+=，解得2k =，正确；对于B ，由已知，过M 的最长弦为直径，可知圆心为(4,2)，所求直线为032043y x --=--，即260x y --=，正确；对于C ，依题意有2210412050m +-⨯+⨯+>且22(4)2450m -+-⨯>，解得315m <<，正确；对于D ，圆心为(1,1)C ，半径1r =，圆心C 到直线20x y --=的距离为d ==所求圆上的点到直线的最大距离为1d r +=，D 错误，故选ABC（四）归纳小结，回顾重点（五）作业布置，精炼双基1. 完成课本88P 习题2.4 5、6、7、8、9、102. 阅读课本89P 《坐标法与数学机械化》3. 预习2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系五、教学反思：（课后补充，教学相长）。

高二数学必修二第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案

高二数学必修2 第四章圆与方程第四章圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上⇔2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外⇔2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内⇔2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径⇔点在圆外⇔_________________.2°点到圆心的距离等于半径⇔点在圆上⇔_________________.3°点到圆心的距离小于半径⇔点在圆内⇔_________________.二、合作探究例1：ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆； (ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________； (ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。

高二上学期数学教学计划：圆与方程

高二上学期数学教学计划：圆与方程讲授新课前，及时做好教学计划安排，上课有利于调动学生的积极性，为大家提供了高二上学期数学教学计划模板，希望能帮助到大家。

教学要求：1.了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题;掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识。

2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。

3.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式。

4.通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。

教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。

教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。

教学过程：一.知识要点:学生阅读教材的小结部分.二.典例解析：1.例1。

(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2_─y─3=0上的圆的方程;(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程解：(1)设圆心P(_0,y0),则有,解得 _0=4, y0=5,∴半径r=,∴所求圆的方程为(_─4)2+(y─5)2=10(2)采用一般式,设圆的方程为_2+y2+D_+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=02.例2。

设A(-c，0)、B(c，0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化;主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题解：设动点P的坐标为(_，y)，由=a(a>0)得=a，化简，得(1-a2)_2+2c(1+a2)_+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0当a=1时，方程化为_=0当a≠1时，方程化为 =所以当a=1时，点P的轨迹为y轴;3.例3。

2.4.2圆的一般方程教学设计+-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程教学设计【学习目标】1.会推导圆的一般方程，能够说出圆的一般方程的特点以及满足的条件.2.会根据已知条件运用待定系数法求圆的方程.3.会求动点的轨迹方程.【重点难点】重点：圆的一般方程及限制条件.难点：动点轨迹方程.【新课导入】1. 复习圆的标准方程，说出圆心和半径；2. 标准方程展开式：x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2-r 2=03. 抽象为：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0提问：二元二次方程一定表示圆吗？设计意图：复习巩固圆的标准方程，展开后，类比直线的一般方程，抽象出二元二次方程的形式，由问题引入本课主题。

任务一：探究圆的一般方程问题一：圆的一般方程是什么？有什么限制条件？思：认真阅读课本85-86页，在课本上圈画关键知识。

1. 结合以下问题认真阅读课本85-86页，在课本上圈画关键知识并回答以下问题：2. 小组研讨:一般方程022=++++C Ey Dx y x 配方得（x +D 2)2+（x +E 2)2=D 2+E 2−4F 4 （1）当D 2+E 2−4F =0时，方程表示一个点，该点的坐标为(−D 2,−E 2).（2）当D 2+E 2−4F <0时，方程不表示任何图形.（3）当D 2+E 2−4F >0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为(−D 2,−E 2)，半径为r =√D 2+E 2−4F 4. 小结：一般方程转化为标准方程的常用方法：配方法训练：（教材88页练习 1题和第2题）第1题：求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形：（1）圆心：(3,0)半径：r=3（2）圆心：(0,-b)半径：r=|b|（3）圆心：(a ,√3a )半径：r=|a|第2题：求下列各圆的方程，并画出图形：（1）表示一个点(0,0)（2）表示一个圆，圆心为(1,-2)，半径为√11（3）当a 2+b 2=0表示点（0，0）：当a 2+b 2>0表示圆，圆心为（−a,0)，半径为r =√a 2+b 2 设计意图：通过学生自主学习教材知识，小组讨论方程的特点，认识圆的一般方程及其成立的条件。

2.3.2圆的一般方程教学设计2023-2024学年高二上学期数学人教B版(2019)选择性必修一

《圆的一般方程》教学设计教材处理与课程资源开发教材分析：本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，是在学生学习了圆的标准方程之后，初步具备了数形结合思想及数学运算能力的基础上学习的，并为以后学习圆锥曲线问题奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。

本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

课程资源开发：利用网络等资源，搜集与课程相关的考纲、课标、高考真题、模拟题等，进行整理、归纳。

注意教研与教学的结合，注重生生资源的开发，激发学生学习兴趣。

姓名学段及学科高三数学课题圆的一般方程学情分析本节内容是学生在学生学习了圆的标准方程之后进行研究的，但由于学生学习解析几何的时间还不长，学习程度较浅，且对坐标法的运算还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。

另外，学生在探究问题的能力、合作交流的意识等方面还有待加强。

教学目标1、通过师生及小组合作探究，对圆的标准方程进行展开，从二元二次方程的结构入手，抽象出圆的一般方程结构形式，并对其进行讨论，培养我们数学抽象核心素养以及严密的逻辑思维和严谨的科学态度；2、通过探求点与圆的位置关系，渗透数形结合及几何问题代数化的解析几何思想，培养学生严谨的逻辑思维及全面看待事物的意识；3、通过对圆的方程求解训练，培养我们分析问题的能力，提升我们数学运算核心素养，树立优选方程结构形式、简化计算量的数学意识，进而引导我们对所学知识进行初步整合，以形成网络体系。

重点圆的一般方程的探求过程及其特点，圆的一般方程与标准方程的互化难点根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题课型“发现—探究—归纳”型教学媒体利用PowerPoint课件以及交互式希沃白板辅助教学，讲课过程中会利用几何画板作动态图的演示。

教学策略教法选择：游戏激趣、情境创设、探索发现、几何画板、思维导图总结归纳。

学法引导：以学生发现探究，自主合作交流为主，教师点拨指导为辅。

2.4.1圆的标准方程教学设计教学设计高二上学期数学人教A版选择性

教学设计定义出发推导方程简单应用巩固所学追问 1 确定圆的要素又是什么呢？确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.问题2 已知圆心为A(a，b)，半径为r，圆上点的集合如何表示？设圆上任一点M(x，y) ，P={M | |MA|＝r}追问2 能否在此基础上找到圆上任一点横坐标x、纵坐标y 之间的关系？由两点间的距离公式，得两边平方，得(x − a)2 + (y − b)2 = r2小结：确定圆的标准方程需要两个条件：.例 1 求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)以两点A(－3,－1)和B(5,5)为直径端点.合作探究圆C： 2 = r2 其圆心为C(a，b)，半径为r，点P，设d＝|PC| ＝完成下表。

位置关系点在圆外 d r(x0－a)2＋(y0－b)2 r2点在圆上 d r(x0－a)2＋(y0－b)2 r2点在圆内 d r(x0－a)2＋(y0－b)2 r2例2 如图所示，一桥洞内设双行线公路，其截面由一个半圆（半径为3 米）构成，已知一货车宽2 米(|OB|=2m)，车高为 2 米（|BC|=2m），请问该货车可以通过桥洞吗？小结判断点与圆的位置关系的两种方法(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断.(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.问题 4 红蓝两军演练，蓝军一战士遭遇三辆敌军坦克，他持有一反坦克手榴弹，假设手榴弹攻击范围为圆形，请问他投掷到何处最优？手榴弹的攻击范围至少为多大？他方可击溃敌方三辆坦克。

追问 1 如何确定三辆坦克的位置，量化它？建系点——三角形追问2 攻击范围为圆形，题目与圆相关，那么投掷到何处对应？圆的圆心追问3 攻击范围对应？圆的半径追问4 那么该圆与三角形有何关联？三角形的外接圆问题4（转化）△ABC的三个顶点分别为A(5,1)，B(7,3)，C(2,8)，求△ABC的外接圆的标准方程。

高二数学上学期7.7圆的方程第三课时教案一

高二数学上学期7.7圆的方程第三课时教案一●教学目标1．了解参数方程的概念；2．理解圆的参数方程中θ的意义，熟练掌握圆心在原点与不在原点的圆的参数方程；3．会把圆的参数方程与普通方程进行互化.●教学重点圆的参数方程●教学难点圆的参数方程的理解和应用.●教学方法启发式●教具准备三角板、圆规●教学过程Ⅰ.复习回顾师：前两节，我们学习了圆的标准方程与一般方程及其应用，首先，我们进行简要的回顾. 生：（回答略）师：这一节，我们重点研究圆的参数方程.Ⅱ.讲授新课1．参数方程与普通方程：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x . 并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M （x,y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程.其中t 叫参变数，简称参数.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫曲线的普通方程. 说明：参数方程中的参数可以有物理、几何意义，也可以没有明显意义.2．圆的参数方程：①圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x 推导：设圆O 的圆心在原点，半径是r ,圆O 与x 轴的正半轴的交点是P 0（图7—36）设点在圆O 上从点P 0开始按逆时针方向运动到达点P ，∠P 0OP =θ，若点P坐标为（x,y ）,根据三角函数的定义，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==θθsin cos ry r x 即⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ②圆心为(a,b )，半径为r 的圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）推导：圆心为O 1（a,b ）、半径为r 的圆可以看成由圆心为原点O 、半径为r 的圆按向量v =（a,b ）平移得到.即对于圆O 上任意一点P 1（x 1,y 1）,在圆O 1上必有一点P （x,y ），使OO P ==11 因为P 11+=，即（x,y ）=(x 1，y 1)+（a ,b ）所以⎩⎨⎧+=+=by y a x x 11，由于点P 1（x 1,y 1）在以原点为圆心，r 为半径的圆上，所以存在参数θ，使⎩⎨⎧==θθsin cos 11r y r x 所以⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x . 3．圆的参数方程化普通方程：方程组⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x 由①得 x －a =r cos θ ③由②得 y －b =r sin θ ④③2+④2得：（x －a ）2+(y －b )2=r 2即圆的普通方程.4．例题讲解例6 如图7—38，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0）当点P 在圆上运动时，线段P A 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M 的坐标是（x,y ）.因为圆x 2+y 2=16的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x 所以可设点P 的坐标为（4cos θ,4sin θ）.由线段中点坐标公式得点M 的轨迹的参数方程为 ⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 26y x 所以，线段P A 的中点M 的轨迹是以点（6，0）为圆心，2为半径的圆.Ⅲ.课堂练习课本P 81 练习1，2，3.●课堂小结师：通过本节学习，要求大家了解曲线的参数方程，掌握圆的参数方程并能加以简单的应用. ●课后作业习题7.7 9，10，11●板书设计 ① ②。