期中复习：初三数学倪老师答案版-- 第六章图形的相似

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2.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感。如图2，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 （ C ）

A.4 cm

B.6 cm

C.8 cm

D.10 cm

解：618.01656.0165=++⨯x

x

cm x 8≈

3.如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形，请你以图3中的线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC. 解：作图步骤如下：

图2 图3

三、探索三角形相似的条件

考点：四种方式判定：平行、两角、两边加一角、三边

① 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; ② 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似 ③ 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似 ④ 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似

1.如图1，在△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，下列条件：

①ACB ABD ∠=∠;②AC AD AB •=2

;③BD AB BC AD •=•;④BD AC BC AB •=•.其中，单独能够判定

△ABD ∽△ACB 的个数是 （ B ）

A.1

B.2

C.3

D.4

解：正确的选项为：①②，③④都错在只有对应边成比例，无对应夹角相等。

2.如图2，AD 是△ABC 的中线，AE=EF=FC ，BE 交AD 于点G ，则AD AG = 2

1

. 解：关键在DF 为△CBE 的中位线，DF//BE.

3.如图3，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，它们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，则图中的相似三角形共有 （ C ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对

解：△BAE ∽△HDE,△HDE ∽△HCB,△BAE ∽△HCB(容易遗漏),△ABG ∽△FHG

图1 图2 图3

四、相似三角形的性质

考点：相似三角形性质的活用。

①相似三角形对应角相等，对应边成比例。

②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形周长的比等于相似比。 ④相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

1.如图1，在四边形ABCD 中，AD//BC,AD=1，BC=3，AC 、BD 相交于点E ，=∆∆CBE ADE S S : 1:9 .

2.如图2，在△ABC 中，DE//AB//FG,且FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2，若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2,则△CFG 的面积为 （ B ）

A.6

B.8

C.10

D.12

解： CDE s ∆:CAB s ∆=1：16，CE:CB=1：4， FG 到DE 、AB 的距离之比为1:2,∴EG:GB=1：2. 设CE=a ，CB=4a,则EB=3a ，EG=a ，CG=2a ，CE:CG=1：2，CDE s ∆:CFG s ∆=1：4，CFG s ∆=8

图1 图2

五、相似分类讨论专题

考点：相似三角形对应边情况的分类讨论，抓住已知的对应角！

1.如图1，点A 、B 、C 、D 的坐标分别是（1,7）、（1,1）、(4,1)、（6，1），以C 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是 ( B )

A.(6,0)

B.(6,3)

C.(6,5)

D.(4,2)

解：方法1：代入法：将每个点画在直角坐标系中，根据新三角形与△ABC 的边角关系判断；

方法2：找点法：由题意可得原△ABC 为直角三角形，且直角边的比值为1:2,可得新三角形必为直角三角形，且直角边的比值为1:2，现有一边为2，则另一直角边的长为1或4，可得有（4，0）（6，0）（4，2）（6，2）（4，5）（6，5）六个点。

2.如图2，在平面直角坐标系中有两点A （4,0）、B （0,2），如果点C 在x 轴上（点C 与点A 不重合），那么当点C 的坐标为 (1,O)(-1,0)(-4,0) 时，由B 、O 、C 三点连接成的三角形与△AOB 相似。 解：找点法：抓住△OAB 的的角和边的特点，∠AOB 为直角，直角边的比值为1:2，△OBC 中∠OBC 为直角，OB 为2，则OC 为1或4，可得C(1,O)(-1,0)(-4,0)

3.如图3，AD//BC,∠D=90︒，AD=2，BC=5，DC=8.若在边DC 上有一点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则这样的点P 有 （ C ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解：找点法：抓住△PAD 与△PBC 相似,已知∠D=∠C=90︒，对应线段成比例会出现两种情况，即设PD=x ，①△PDA ∽△PCB ② △PDA ∽△BCP

BC AD PC PD = PC AD

BC PD =

528=-x x x

x -=

82

5 x =7

16

64;6421-=+=x x

图1 图2 图3 图4

4.如图4，在△ABC 中，AB=8 cm ，BC=16 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，经过几秒后△PBQ 和△ABC 相似？ 分析：观察△PBQ 和△ABC 相似，可得∠B 为公共角可知其为对应角，边成比例会出现两种情况，需

要分类讨论，①BC BQ BA BP =，即△BPQ ∽△BAC ②BA

BQ

BC BP =,即△BPQ ∽△BCA 解：设经过t 秒后△PBQ 和△ABC 相似； 则AP=2t ，BQ=4t ，BP=8-2t ，

①当△BPQ ∽△BAC ， ② △BPQ ∽△BCA

BC BQ BA BP = BA

BQ

BC BP =