厦门大学软件学院08级离散数学期末试卷及答案

厦门大学软件学院2008级离散数学期末试卷（A ）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1. 下列语句为命题的是（ ）
A. 勿踏草地；
B. 你去图书馆吗？；
C. 月球上有水。

；
D. 本命题为假。

2. 下列推理中，（ ）是错误的
A. 如果x 是有理数，则它为整数。

1/2是有理数。

所以，1/2是整数。

B. 若周末气温超过30度，小红就去游泳。

小红周末没去游泳。

所以，周末气温没有超过30度。

C. 下午小明或者去看电影，或者去打篮球。

下午小明没去打篮球。

因此，下午小明去看电影了。

D. 若a 能被4整除，则a 能被2整除。

a 能被2整除。

因此，a 能被4整除。

3. 谓词公式())()()()()(x Q y R y x P x →∀∨∃中的x （ ）
A. 只是约束变元；
B. 只是自由变元；
C. 既非约束变元又非自由变元；
D. 既是约束变元又是自由变元
4. 下列关系中，（ ）不是等价关系
A. 非空集合的幂集的元素间的包含关系；
B. 集合之间的等势关系；
C. 公式之间的等价关系；
D. 图之间的同构关系。

5. 下面等价公式中，（ ）是不正确的
A. ())()()()()()()(x B x x A x x B x A x ∀∧∀⇔∧∀
B. ())()()()()()()(x B x x A x x B x A x ∃∨∃⇔∨∃
C. ()B x A x B x A x →∃⇔→∃)()()()(
D. ())()()()(x B x A x B A x ∀→⇔→∀
6. 下列关于集合的势的叙述中，（ ）是错误的
A. 实数集势小于或等于自然数集；
B. 任一无限集合都存在与自己等势的真子集；
C. 集合之间的势小于或等于关系是偏序关系；
D. 有理数集势小于整数集。

7. 设A ，B ，C 是集合，F 是关系，B A G →:，A D ⊆，则下列式子中不正确的是（
） A. B B A B A =⇔φ=- ; B. D D G G ⊇-))((1;
C. ][][][B F A F B A F =; C. )()(C B A C B A ⊕⊕=⊕⊕ 8. 以下序列中，（ ）是简单可图的
A. (4,4,3,3,2,2);
B. (3,3,3,1);
C. (5,4,3,2,2);
D. (6,6,3,2,2,2,1) 9. 下列叙述中错误的是（ ）
A. )2(≥n n 阶竞赛图都具有哈密顿通路；
B. 非平凡树不是偶拉图，也不是哈密顿图；
C. 3(≥n n 且为奇数）阶的二部图一定不是哈密顿图；
D. 欧拉图回路包含图的所有顶点，哈密顿回路包含图的所有边。

10. 下列关于图的连通性的叙述中正确的是（ ）
A. 有向图是连通的是指它是强连通的；
B. 任一无向图的点连通度都不超过它的连通度；
C. 在一n 阶圈)4(≥n C n 上任意去掉两个顶点得到的图都有2个连通分图；
D. n 阶无向完全图的点连通度为n 。

二、填空题（共8分，每题3分，共24分）
1. 令)(x F ：x 是汽车；)(x G ：x 是火车；),(y x H ：x 比y 快。

则命题“不存在比所有火车都快的汽车”符号化形式为
2. 公式r q p ∧→)(的主析取范式为
3. 集合},,,{d c b a A =上的等价关系共有 个。

4. 自对偶的顶点数n 和边数m 之间满足关系式为=m
5. 设T 是有t 片树叶的2叉正则树，则T 应该有 个顶点
6. ()=ΦΦ}}{,{P
7. 在1到100之间（包含1和100）既不能被2也不能被3还不能被5整除的自然数有 个
8. “p 当且仅当q ”， “只有p 才有q ”， “除非q 才有p ”这三个命题符号化分别为 ， ， （请按顺序填写）
三、应用、计算和证明题（共6题，46分）
1.（6分）在命题逻辑的自然推理体系中构造下面推理的证明:
前提：)(Q P ⌝∧⌝，R Q ∨⌝，R ⌝
结论：P ⌝
2.（8分）设集合},,,{d c b a A =，A 上的关系},,,,,,,,,,{><><><><><=c b d c a b b a a a R 。

（1）画出R 的关系图；（2分）
（2）画出R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系图（2分，2分和2分）。

3.（8分）设><R A ,为一偏序集，其中}12,,2,1{ =A ，R 是A 上的整除关系。

（1）画出><R A ,的哈斯图（4分）；
（2）求A 的所有极大元和极小元(2分)；
（3）求}6,3,2{B 的最小元和最大元（2分）。

4.（8分）（1）判断左图是否为欧拉图，若是，请给出一欧拉回路（用阿拉伯数字在边上标明顺序
即可），若不是，请说明原因；（4分）
（2）判断右图是否为哈密顿图，若是请给出一哈密顿回路（用阿拉伯数字在顶点上标明
顺序即可），若不是请说明原因。

（4分）
5.（8分）设G 是无向简单图且2)(≥≥δk G ，试证明G 中存在长度大于等于1+k 的初级回路（圈）。

6.（8分）
在一棵有3个2度顶点，2个4度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中，应该有几片树叶？（2分） 请画出所有这样的非同构的无向树（6分）
答案及评分标准
一、选择题
CDDAC DCADD
二、1. ))),()()(()()((y x H y G y x F x →∀∧∃⌝或者))),()()(()()((y x H y G y x F x ⌝∧∃→∀
2. 731m m m ∨∨
3. 15
4. 22-=n m
5. 12-t
6. }}}{,{}},{{},{,{ΦΦΦΦΦ
7. 26
8. q p →，q p →，q p →（该小题每空1分）
三、1. 析取三段论置换）（前提引入）（析取三段论）（前提引入前提引入)5)(3()
6(5)(4)2)(1(Q
3)
2()
1(P Q
P Q P R R Q ⌝∨⌝⌝∧⌝⌝⌝∨⌝ （若为注明推理规则或标注有错，扣1分）
2. （1）图略
(2) ==A I R R r )((略)，1)(-=R R R S =（略），
},,,,,,,,,,,,,,,,,{)(2><><><><><><><><><==c b d c a b d b b b d a c a b a a a R R R t （该题要求画出三个闭包的关系图，每个关系图2分，共6分，边少画或多画一律判错）
3.（1）图略
（2）A 的极大元为：7，8，9，10，11，12，A 的极小元为：1
（3）B 的最小元无，最大元为6
（哈斯图如果出现水平边扣1分）
4.左图：因为该图是连通图且图中没有奇数度顶点，所以该图是欧拉图（只要判断正确给2分）欧拉回路标序如下：
右图：该图不是哈密顿图（2分）。

取}8,6,4{=V ，从中删除V ，得到5个连通分支，所以该图不是哈密顿图（2分）
另证（反证）
2 4 9 8 3
由于5，7，9顶点都是2度点，因此该哈密顿图必包含边（4，5），（6，7），（7，8），(8,9),(9,4)，而这6条边构成一个圈。

矛盾
5.证明：不妨设G 是连通图。

若G 不连通，因为G 的各连通分支的最小度也都大等于k ，因而可以对它的某个连通分支进行讨论。

设v u ,为G 中任意两个顶点，由G 是连通图，因而v u ,之间存在路径。

用扩大路径法扩大这条路径。

设最后得到的极大路径为t t v v v 10=Γ，则k t ≥。

事实上，若存在极大路径s s v v v 10=Γ，且k s ≤，则0v 只能与s Γ中的顶点相邻，因为G 是简单图，所以与0v 相邻的顶点最多有s 个，而k s ≤，这与k G ≥δ)(矛盾，所以“极大路径”长度大等于k 。

在t Γ上构造圈。

由于2)()(0≥≥δ≥δk G v ，因而0v 除与t Γ上的1v 相邻外，还存在t Γ上的1-k 个顶点121,,-k i i i v v v ，)1(121t i i i k ≤<<<<- 与0v 相邻，则00121v v v v v k i i i - 为一个圈且长度大等于1+k 。

（注意，也可以直接设Γ是G 的最长路径）
6.设树叶有x 片，则边数x x m +=-++=4123，由握手定理，
∑++==+=x v d x m i 4*22*3)()4(*22，得6=x
所以应该有6片树叶，共10个非同构无向树：
（1） 两个4度相邻的情况（5）
（2） 两个4度点间有一个2度点的情况（3）
（3）
（4）两个4度点间有三个2度点的情况（1）
（请酌情扣分）。