【2021高考数学压轴题】构造函数证明不等式

2021高考数学压轴题命题区间探究与突破专题
第一篇
函数与导数
专题04巧妙构造函数，应用导数证明不等式问题
一．方法综述
利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．二．解题策略
类型一“比较法”构造差函数证明不等式
【例1】【2020·湖南长沙一中月考】已知函数()ln f x ax x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若21,a e ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝
⎦，求证：()1
2ax f x ax xe -≥-.【解析】（Ⅰ）由题意得()11
'ax f x a x x
-=-
=，①当0a ≤时，则()'0f x <在()0,+∞上恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递减.②当0a >时，
则当1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()()'0f x f x >，单调递增，当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
，时，()()0f x f x '<，单调递减．
综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；
当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.（Ⅱ）令()()1
2ax g x f x ax xe
-=-+1ln ax xe ax x -=--，则()1
1
1
'ax ax g x e
axe
a x
--=+--
()()()
1
111
11ax ax ax xe ax e x x
--+-⎛
⎫=+-
=
⎪⎝
⎭，设()1
1ax r x xe
-=-，
则()()1
'1ax r x ax e -=+，
∵10ax e ->,
∴当10,x a
⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭
时，()()'0r x r x >，单调递增；
当1
,x a
⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
时，()()0r x r x '<，单调递减．
∴()2max 1110r x r a ae ⎛⎫⎛⎫
=-=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（因为21a e ≤-），
∴11
0ax e x
--≤.
∴()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()min
1g x g a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，设(
210,t e a
⎤=-∈⎦，则()22
1ln 1(0)t g h t t t e a e ⎛⎫
-==-+<≤ ⎪⎝⎭，()211
'0h t e t
=
-≤，()h t 在(
20,e ⎤⎦上递减，∴()()2
0h t h e ≥=；
∴()0g x ≥，故()1
2ax f x ax xe
-≥-.
说明：判断11
ax e x
--的符号时，还可以用以下方法判断：
由110ax e x --
=得到1ln x a x -=，设()1ln x p x x -=，则()2
ln 2'x p x x -=，
当2x e >时，()'0p x >；当20x e <<时，()'0p x <.
从而()p x 在()20,e 上递减，在()2
,e +∞上递增.
∴()()
22
min 1p x p e e ==-
.当21a e ≤-时，1ln x a x -≤，即11
0ax e x
--≤.
【指点迷津】
当题目中给出简单的基本初等函数，例如()()3 f x x g x ln x ＝，＝，进而证明在某个取值范围内不等式()()f x g x ≥成立时，可以类比作差法，构造函数
()()()()()()h x f x g x x g x f x ϕ＝－或＝－，进而证明()()00min max h x x ϕ≥≤或即可，在求最
值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明()()()00g x f x >>的前提下，也可以类比作商法，构造函数()()()
()()
f x f x h x x
g x g x ϕ＝
(()=)，
进而证明()()()11min max h x x ϕ≥≤．
【举一反三】【2020·河北衡水中学月考】已知函数
1
()ln (1),f x x a a R x
=+-∈.（Ⅰ）若()0f x ≥，求实数a 取值的集合；
（Ⅱ）证明：21
2ln (2)x e x x e x x
+
≥-++-.【解析】（Ⅰ）由已知，有
221()(0)a x a
f x x x x x
-'=-=>当0a ≤时，
1
(ln 202
f a =-+<，与条件()0f x ≥矛盾,当0a >时，若(0,)x a ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减,若(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，则()f x 单调递增.
所以()f x 在(0,)+∞上有最小值1()ln (1)ln 1f a a a a a a
=+-=+-，由题意()0f x ≥，所以ln 10a a +-≥.令()ln 1g x x x =-+，所以1
1()1x g x x x
-'=-=
，
当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()g x 在(0,)+∞上有最大值(1)0g =，所以()ln 10g x x x =-+≤，ln 10a a -+≤，
ln 10a a -+=，1a =，
综上，当()0f x ≥时，实数a 取值的集合为{}1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：1a =时，()0f x ≥，即1
ln 1x x ≥-在0x >时恒成立.要证212ln (2)x e x x e x x
+≥-++-，只需证当0x >时，2(2)10x e x e x ----≥令2()(2)1(0)
x h x e x e x x =---->()2(2)x h x e x e '=---，令()2(2)x u x e x e =---，
则()2x u x e '=-，令()20x u x e '=-=，解得ln 2x =，
所以，函数()u x 在(0,ln 2)内单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增.即函数()h x '在(0,ln 2)内单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增.而(0)1(2)30h e e '=--=->.(ln 2)(1)0
h h '<'=∴存在0(0,ln 2)x ∈，使得0()0
h x '=当0(0,)x x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增；当0(,1)x x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减.当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>单调递增，又(0)110,(1)11(2)0h h e e =-==----=，
∴对0,()0x h x ∀>≥恒成立，即2(2)10x e x e x ----≥，
综上可得：212ln (2)x e x x e x x
+≥-++-成立.类型二“拆分法”构造两函数证明不等式
【例2】【2020·安徽阜阳统测】设函数()1f x x x
=-，()ln g x t x =，其中()0,1x ∈，t 为正实数.
（1）若()f x 的图象总在函数()g x 的图象的下方，求实数t 的取值范围；
（2）设()()()22
1ln 1e 11x H x x x x x ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭
，证明：对任意()0,1x ∈，都有()0H x >.
【解析】（1）因为函数()f x 的图象恒在()g x 的图象的下方，
所以
()()1
ln 0f x g x x t x x
-=--<在区间()0,1上恒成立.设()1
ln F x x t x x =--，其中()0,1x ∈，
所以()222
111t x tx F x x x x
-+'=+-=，其中2
4t ∆=-，0t >.①当240t - ，即02t < 时，()0F x ' ，
所以函数()F x 在()0,1上单调递增，()()10F x F <=，故()()0f x g x -<成立，满足题意.
②当240t ->，即2t >时，设()()2
101x x tx x θ=-+<<，
则()x θ图象的对称轴12
t
x =>，()01θ=，()120t θ=-<，
所以()x θ在()0,1上存在唯一实根，设为1x ，则()1,1x x ∈，()0x θ<，()0F x '<，所以()F x 在()1,1x 上单调递减，此时()()10F x F >=，不合题意.综上可得，实数t 的取值范围是(]0,2.
（2）证明：由题意得()()2
1e ln 1e 1x
x H x x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭()()21e 1e ln x
x x x x x x
--+=-，因为当()0,1x ∈时，e 10x x x -+>，ln 0x <，所以()()()2
1e 10e ln x x
x x x H x x x
--+>⇔>
2e 1
e 1ln x x x x x x x
-⇔<-+.令()()e 101x h x x x =--<<，则()e 10x
h x '=->，
所以()h x 在()0,1上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，
所以()2
e 1111x
x x x x x x -+>+-+=+，从而2e e e 11
x x
x x x x <-++.
由（1）知当2t =时，12ln 0x x x --<在()0,1x ∈上恒成立，整理得
21
2ln x x x ->.令()()2e 011
x
m x x x =<<+，则要证()0H x >，只需证()2m x <.
因为()()
()
2
2
2
e 101x x m x x
-'=
>+，所以()m x 在()0,1上单调递增，
所以()()e
122
m x m <=<，即()2m x <在()0,1上恒成立.综上可得，对任意()0,1x ∈，都有()0H x >成立.【指点迷津】
当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为()()f x g x ≤的形式，进而证明()()max min f x g x ≤即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．
【举一反三】【2020届福建厦门双十中学月考】已知函数
22()1ln ()f x x a x ax a R =-+-∈.
（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当0a =且(0,1)x ∈，求证：
()1
1x f x x e x
+-<.【解析】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，
2
1()2f x a x a x '=-+-22
21(21)(1)a x ax ax ax x x
--+-==.
①若0a =时，则()0f x <，()f x 在(0,)+∞上单调递减；②若0a >时，1102a a >>-，令1
()02f x x a >⇒<-或1x a
>.又0x >，
()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；
③若0a <时，11
02a a -
>>，令1()0f x x a
>⇒<或1
2x a >-.
又0x >，
()f x ∴在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增；
（2）要证
()11x f x x e x +-<，只需证1ln 11x x x e x
-+-<，(0,1)x ∈ ，只需证()
2(1ln )1x x x x x e -<+-，
设()(1ln )g x x x =-，()2()1x
h x x x e =+-，
()ln 0g x x '=->在(0,1)x ∈上恒成立，
所以()g x 在(0,1)上单调递增.所以()(1)1g x g <=，
()2()2(2)(1)0x x h x x x e x x e '=--+=-+->，
所以()h x 在(0,1)上单调递增，所以()(0)1h x h >=，
所以当(0,1)x ∈时，()()g x h x <，即原不等式成立.
类型三“换元法”构造函数证明不等式
【例3】【2020湖北宜昌一中期中】已知函数()()1x
f x e a x =--有两个零点.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）设1x 、2x 是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x <+⋅.
【解析】（1）函数()()1x f x e a x =--，
所以()x
f x e a '=-，
当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，
()f x 至多只有一个零点，不符合题意，
当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，
所以(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，
所以ln x a =时()f x 取得极小值，也是最小值，
()f x 要有两个零点，则()ln 0f a <，
即()2ln 0a a -<，解得2a e >，所以ln 2a >，
当1ln x a =<时，得()10f e =>，
当2ln ln x a a =>时，()()2
2ln 2ln 2ln 1f a a a a a a a a =-+=-+，
设()2ln 1a a a ϕ=-+，则()2210a a a a
ϕ-'=-
=>所以()a ϕ单调递增，则()()22
140a e e ϕϕ>=+->，
所以()()2ln 2ln 10f a a a a =-+>，
所以()f x 在区间()1,ln a 上有且只有一个零点，在()ln ,2ln a a 上有且只有一个零点，所以满足()f x 有两个零点的a 的取值范围为2()e +∞.
（2）1x 、2x 是()f x 的两个零点，则()()120f x f x ==，要证1212x x x x <+⋅，即证()()12111x x --<，根据()()120f x f x ==，
可知()1
11x e a x =-，()2
21x
e a x =-，
即证()()12
122111x x e x x a
+--=<，
即证1
2
2x x e a +<，即证122ln x x a +<，
即证212ln x a x <-，设1ln x a <，2ln x a >，
由（1）知()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，故只需证明()()212ln f x f a x <-，
而()()21f x f x =，所以只需证()()112ln f x f a x <-令()()()2ln g x f a x f x =--，且ln x a
<所以()2
22ln x x a g x e ax a a e =-+-，ln x a <，
()22222x x x
x x a a e ae g x e a e e +-'=--+=-
()2
x
x
e a e -=-
<所以()g x 在(),ln a -∞上单调递减，
所以()()()()ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a >=--=，所以()()2ln f a x f x ->在(),ln a -∞上恒成立，所以()()112ln f a x f x ->，故原命题得证.
【指点迷津】
若两个变元x 1，x 2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于m(x 1，x 2)的表达式(其中m(x 1，x 2)为x 1，x 2组合成的表达式)，进而使用换元令m(x 1，x 2)＝t ，使所要证明的不等式转化为关于t 的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元．
【举一反三】【2020山西太原五中期中】已知函数2()2ln f x x x x =++.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程.
（2）若正实数12,x x 满足12()()4f x f x +=，求证：122x x +≥.【解析】（1）2(1)2ln111=2f =++，切点为(1,2).
2
()21f x x x
'=
++，(1)5k f '==.切线为：25(1)y x -=-，即530x y --=.
（2）2212111222()()2ln 2ln 4
f x f x x x x x x x +=+++++=221112222ln 2ln 4x x x x x x +++++=.212121212()()42(ln )
x x x x x x x x +++=+-令12x x t =，()ln g t t t =-，0t >，
11
()1t g t t t
-'=-=，
(0,1)t ∈，()0g t '<，()g t 为减函数，
(1,)t ∈+∞，()0g t '>，()g t 为增函数，
min ()(1)1g t g ==，所以()1g t ≥.
即21212()()426x x x x +++≥+=.得：1212(3)(2)0x x x x +++-≥，得到1220x x +-≥，即：122x x +≥.
类型四“转化法”构造函数证明不等式
【例4】【2020·天津南开中学月考】已知函数1
()ln f x x a x x
=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若
()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：
()()1212
2f x f x a x x -<--．
【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222
11
1a x ax f x x x x -+=--+-
'=.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.
（ii ）若2a >，令()0f x '=得，42a x =或42
a x =.
当0,,22a a x ⎛⎛⎫
+∈⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
时，()0f x '<；
当,22a a x ⎛+∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x
在0,,,22a a ⎛⎛⎫
++∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
单调递减，在,22a a ⎛-+ ⎪⎝⎭
单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.
由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于
()()121212212
121212
22ln ln ln ln 2ln 1
1221f x f x x x x x x a a a
x x x x x x x x x x ----=-
-+=-+=-+----，所以
()()1212
2f x f x a x x -<--等价于222
1
2ln 0x x x -+<.
设函数()12ln g x x x x
=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当
()1,x ∈+∞时，()0g x <.
所以222
1
2ln 0x x x -+<，即
()()12122f x f x a x x -<--.【指点迷津】
在关于x 1，x 2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x 1，x 2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的．
【举一反三】【2020·吉林省实验期末】已知函数()2
ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．
（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：121
2x x a
+>．【解析】（I ）()ln 24f x x ax +'=-．∴()f x 在()0,∞+内单调递减，
∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，
即ln 2
4x a x x ≥
+在()0,∞+内恒成立．令()ln 2x g x x x =+，则()2
1ln x
g x x --'=，∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内为增函数；当1x e >
时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
内为减函数．∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，∴e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪
⎢⎣⎭
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ，
由（I ），知e 04
a <<．
由1122ln 240ln 240
x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-．不妨设120x x <<，
∴要证明1212x x a +>，只需证明()()121212
142ln ln x x a x x a x x +<--．
即证明
()121212
2ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明121
12
2
21ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭>+．
令函数．
∴2
2
(1)'()0(1)x h x x x --=
≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减．∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴
2(1)
ln 1
x x x ->+．即不等式12112
2
21ln 1x x x
x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立．
综上，得1212x x a
+>．三．强化训练
1.【2020·辽宁本溪一高期末】已知a R ∈，函数2()x f x e ax =+.
（1）()f x '是函数数()f x 的导函数，记()()g x f x '=，若()g x 在区间(,1]-∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；
（2）设实数0a >，求证：对任意实数12,x x ()12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
成立.
附：简单复合函数求导法则为[()]()f ax b af ax b ''+=+.
【解析】（1）由已知得()2x f x e ax '=+，记()2x g x e ax =+，则()2x
g x e a '=+.
①若0a ≥，()0g x '>，()g x 在定义域上单调递增，符合题意；②若0a <，令()0g x '=解得()ln 2x a =-，()g x '自身单调递增，要使导函数()g x 在区间(],1-∞上为单调函数，
则需()ln 21a -≥，解得2
e
a ≤-，
此时导函数()g x 在区间(],1-∞上为单调递减函数.
综合①②得使导函数()f x '在区间(],1-∞上为单调函数的a 的取值范围是
[),0,2e ⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦
.（2）因为12x x ≠，不妨设12x x <，取1x 为自变量构造函数，
()()()1212122f x f x x x F x f ++⎛⎫=-
⎪⎝⎭
，则其导数为()()11211222f x x x F x f '+⎛⎫''=
- ⎪⎝⎭()121122x x f f x ⎡+⎤⎛⎫
''=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
0a > ()2x
f x e ax ∴'=+在R 上单调递增
而且1221
1
022x x x x x +--=>，所以()1212x x f f x +⎛⎫''> ⎪⎝⎭
，即()10F x '>.
故关于1x 的函数()1F x 单调递增，()()120
F x F x <=即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
证得.2.【2020·湖北随州一中期末】高三月考（理））已知函数()ln f x ax x =-.（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）若1a =-，1b ≥，()()x
g x f x be =+，求证：()0g x >.
【解析】（Ⅰ）()()1
0f x a x x
'=-
>，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递减，()f x 无极值；当0a >时，令()0f x '>，得1x a >
；令()0f x '<，得1
0x a
<<，
则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，()f x 有极小值为1ln a +，无极大值；
（Ⅱ）当1a =-，1b =时，()()ln 0x
g x e x x x =-->，()11x g x e x
'=--，
令()()h x g x '=，则()2
1
0x h x e x =+
>'，所以()h x 在()0,∞+上单调递增.
又1302h ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，()120h e =->，
所以01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()000110x h x e x =--=，即0
011x e x =+，所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，
所以函数()g x 的最小值为()0000000
1
ln 1ln x
g x e x x x x x =--=
+--，又函数11ln y x x x
=
+--在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上是单调减函数，所以()011ln1110g x >+--=>，
又1b ≥，()()x x
f x be f x e +≥+，
故()0g x >．
3.【2020·湖北黄石一高月考】已知函数2()1f x e x e =+--.（1）若()f x ax e ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的值；
（2）若存在不相等的实数1x ，2x ，满足12()()0f x f x +=，证明：122x x +<.【解析】（1）令()()()(1)1x g x f x ax e e a x =--=+--，则()1x g x e a '=+-，
由题意，知()0g x ≥对x ∈R 恒成立，等价min ()0g x ≥.当1a ≤时，由()0g x '≥知()(1)1x g x e a x =+--在R 上单调递增.
因为
1
(1)(1)10g a e
-=---<，所以1a ≤不合题意；当1a >时，若(,ln(1))x a ∈-∞-，
则()0g x '<，若(ln(1),)x a ∈-+∞，则()0g x '>，
所以，()g x 在(,ln(1))a -∞-单调递减，在(ln(1),)a -+∞上单调递增.所以min ()(ln(1))2(1)ln(1)0g x g a a a a =-=-+--≥记()2(1)ln(1)(1)h a a a a a =-+-->，则()ln(1)h a a '=--.
易知()h a 在(1,2)单调递增，在(2,)+∞单调递减，所以max ()(2)0h a h ==，即2(1)ln(1)0a a a -+--≤.
而min ()2(1)ln(1)0g x a a a =-+--≥，所以2(1)ln(1)0a a a -+--=，解得2a =.（2）因为()()120f x f x +=，所以1
2
122(1)x x e e x x e +++=+.
因为121
2
2122,x x x x e e e
x x ++≥≠，
所以121
2
2
2x x x x e e e
++>令12x x t +=，则2
2220t e t e +--<.记2()2220t
m t e t e =+--<，
则2()10t m t e '
=+>，所以()m t 在R 上单调递增.
又(2)0m =，由22220t
e t e +--<，得()(2)m t m <，所以2t <，即122x x +<.
4．【2020·浙江高温州三中期末】已知函数()11
114x x e e ax a f x ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
，其中
2.718e =⋅⋅⋅是自然对数的底数，()()'g x f x =是函数()f x 的导数.
（1）若()g x 是R 上的单调函数，求a 的值；（2）当7
8
a =
时，求证：若12x x ≠，且122x x +=-，则()()122f x f x +>.【解析】（1）()()11
12
'1x x e e ax g x f x ++⎛⎫=-- ⎝=⎪⎭
，()()11'1x x e e x g x a a ++=---，由题意()110x e ax a G x +=---≥恒成立，由于()10G -=，所以()'10G -=，解得1a =.
方法一：消元求导死算
（2）()11171488x x e x e f x ++⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()11
17314
84x x e e x ++⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令1x t +=，120t t +=，不妨设210t x =+>，()173484t t
h e e t t ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭，令()()()H t h t h t =+-1731734844
84t t
t t e e t e e --⎛⎫⎛⎫=-++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原题即证明当0t >时，()2H t >，()1711712882
88't t
t t e e t e e H t t --⎛⎫⎛⎫=---+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()171288
t t t t t t t t
e e e e t e e e e ----=
+--+--()()()()711208216t t t t t t t t e e e e t e e e e ----⎡⎤⎡⎤=
+--+-+-≥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，其中()()11'1022t t t t e e t e e --⎡⎤--=+-≥⎢⎥⎣⎦
，因为()02H =，所以当0t >时，()2H t >，得证.5.【2020·安徽黄山期末】已知函数()()2e 12e x x f x a a x =+--.
（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个不同零点1x ，2x ，证明：1a >且120x x +<.【解析】（1）()()()()22e 12e 1e 12e 1x x x x f x a a a '=+--=-+.
因为0a <，由()0f x '=得，0x =或1ln 2x a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.i ）1ln 02a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭即12a <-时，()f x 在1,ln 2a ⎛⎫
⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在1ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
单调递增，在()0,∞+单调递减；
ii ）1ln 02a ⎛
⎫
-=
⎪⎝⎭
即1
2
a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递减；iii ）1ln 02a ⎛⎫->
⎪⎝⎭即102
a -<<时，()f x 在(),0-∞单调递减，在10,ln 2a ⎛
⎫
⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
单调递增，在1ln ,2a ⎛⎫⎛
⎫
-+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
单调递减.（2）由（1）知，12
a <-时，()f x 的极小值为11
1ln 1ln 10242f a a a ⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫
-=--->> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
，1
02
a -<<时，()f x 的极小值为()0110f a =->>，1
2
a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调，
故0a <时，()f x 至多有一个零点.
当0a ≥时，易知()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增.要使()f x 有两个零点，则()00f <，即120a a +-<，得1a >.
令()()()F x f x f x =--，（0x >），则()()()F x f x f x '''=+-()()
22e 12e 1x x a a =+--()()22e 12e 1x x a a --++--()()()2e e 1e e 2e e 20x x x x x x a ---=+++-++-≥，所以()F x 在0x >时单调
递增，()()00F x F >=，()()f x f x >-.不妨设12x x <，则10x <，20x >，20x -<，
()()()122f x f x f x =>-.
由()f x 在(),0-∞单调递减得，12x x <-，即120x x +<.
6.【2020·山东东营期末】已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+.(1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立;(2)求函数()g x 的极值;
(3)当1
2a =
时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249
x x m <.
【解析】(1)()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，
1cos 1x -≤≤ ,()11cos 0a f x a x '∴≤=-≥，,()sin f x x a x =-在()0+∞，上为增函数,
所以当()0,x ∈+∞时,恒有()()00f x f >=成立;(2)由()()()ln ,10m x m
g x x m x g x x x x
+'=+∴=+
=>当()00m g x '≥>，()g x 在()0+∞，
上为增函数,无极值当()()0,00;0
m x m g x x m g x ''<<<-<>->，，()g x 在()0m -，上为减函数,在(),m -+∞上为增函数,
()x m x ∴=-，g 有极小值()ln m m m -+-,无极大值,
综上知:当()0m g x ≥，无极值,
当()0m g x <，有极小值()ln m m m -+-,无极大值.
(3)当
()11
sin 22
a f x x x ==-，在()0+∞，上为增函数,由(2)知,当0m ≥,()g x 在()0+∞，
上为增函数,这时,()()f x g x +在()0+∞，
上为增函数,所以不可能存在()12,0,x x ∈+∞,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+且12x x ≠所以有0
m <
现不防设()()()()1211220x x f x g x f x g x <<+=+，得:
111222
11
2sin ln 2sin ln 22
x x m x x x m x -+=-+()()()2121211
ln ln 2sin sin 2m x x x x x x --=---①
1122sin sin x x x x -<-()()212111
sin sin 22
x x x x -
->--②由①②式可得:()()()2121211
ln ln 22
m x x x x x x -->---即()()21213ln ln 02
m x x x x -->->又1221ln ln ,ln ln 0
x x x x <->2121
302ln ln x x m x x -∴->⨯>-③
又要证
12249x x m <，即证2
1294
m x x >12
0,0m x x <<<
即证m ->
……④所以由③式知,只需证明
:2121
ln ln x x x x ->-
2
1
2
1
ln 1
x x x x ->
设211x t x =
>,
只需证1ln t t ->即证
()ln 01t t ->>令(
)()
ln 1h t t t =
>由(
)
()()2
101h t t h t -'=>>，在()1+∞，
上为增函数,()()10h t h
∴>=21
21
ln ln x x x x -∴
>-成立
,
所以由③知,0m ->
>成立,
所以12
24 9
x x
m 成立.
7.【2020届四川省成都一诊】已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：.
【解析】（1）由题意，又，
所以，
因此在点处的切线方程为，即（2）证明：因为，所以
由于，
等价于，令，
设函数
当时，，所以，
所以在上是单调递增函数，又，
所以，
所以，即
等价于，
令，
设函数
当时，，所以，
所以在上是单调递减函数，又，所以
所以，即综上①②可得：
.8.【2020·天津南开期末】已知2()46ln f x x x x =--，
（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；
（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭
恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.
【解析】（1）2()46ln f x x x x
=-- 所以定义域为()
0,+¥
6()24f x x x
'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；
2()(1)(3)f x x x x
'=+-，令()0f x '>解得3
x >令()0f x '<解得03
x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.
（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝
⎭等价于min ln ()1
x x x k h x x +<=-；22ln ()(1)x x h x x --'∴=-，
记()2ln m x x x =--，1()10m x x
'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数，且(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x =即002ln 0x x --=，
所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，
且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.
（3）2()ln g x x a x =-
，()20a
g x x x x -'=-==
得0x =，
当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<
，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭
，()0g x '>；所以()g x
在⎛ ⎝
上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，
即2
ln 02g a a e =-<⇒>；
因为10x <<
2x >，令21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，
即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，
212ln 1
a t
x t ∴=-而要证12034x x x +>，
只需证1(31)t x +>即证：221(31)8t x a
+>即：22ln (31)81
a t t a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>，
令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t
'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t -'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；
故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；
12034x x x ∴+>.
9．【2020·湖南洪湖期末】已知函数()1,f x xlnx ax a R
=++∈（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（2）当*n N ∈时，证明：2223122421
n n n ln ln ln n n n +<+++<++ ．【解析】（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥(0)x >.整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝
⎭.令()1
ln F x x x =+.则()22111'x F x x x x
-=-=.∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.∴函数()1ln F x x x
=+的最小值为()11F =.
∴1a -≤，即1a ≥-.
∴a 的取值范围是[)1,-+∞.
（2）∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.∴只需证明()()211ln 12n n n n +<++()11n n <+即可.
由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1ln x x x ≥-.令11n x n +=>，即得1ln 11n n n n +>-+11
n =+.∴2211ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭()()1
12n n >++1112
n n =-++.
现证明()211ln 1n n n n +<+，
即<
=
=()
*现证明12ln (1)x x x x <->.构造函数()12ln G x x x x
=--()1x ≥，则()212'1G x x x =+-22210x x x
-+=≥.∴函数()G x 在[)1,-+∞上是增函数，即()()10G x G ≥=.
∴当1x >时，有()0G x >，即12ln x x x <-成立.
令x =，则()*式成立.综上，得()()
211ln 12n n n n +<++()11n n <+.对数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩
⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭分别求前n 项和，得223ln 2ln 242n n <++21ln 1
n n n n ++⋅⋅⋅+<+.10.【2020·全国高三专题】已知函数()ln a f x x x
=+
，其中a R ∈．（1）试讨论函数()f x 的单调性；
（2）若1a =，试证明：()e cos x x f x x +<．【解析】（1）由221()a x a f x x x x -'=
-=(0)x >知：（i ）若0a ≤，2
()0(0)x a f x x x -'=
>>，∴()f x 在区间()0,∞+上为增函数．（ii ）若0a >，∴当x ∈()0,a 时，有()0f x '<，∴()f x 在区间()0,a 上为减函数．
当x ∈(),a +∞时，有()0f x '>，∴()f x 在区间(),a +∞上为增函数．综上：当0a ≤时，()f x 在区间()0,∞+上为增函数；
当0a >时，()f x 在区间()0,a 上为减函数；()f x 在区间(),a +∞上为增函数．
（2）若1a =，则1()ln (0)
f x x x x =+>要证e cos ()x x f x x +<，只需证ln 1e cos x x x x +<+，
即证：ln e cos 1x x x x <+-.
（i ）当01x <≤时，ln 0x x ≤，而e cos 11cos11cos10x x +->+-=>∴此时ln <e cos 1x x x x +-成立.
（ii ）当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，()0,x ∈+∞，∵()e sin ln 1x g x x x '=---，
设()()e sin ln 1x h x g x x x '==---，则1
()e cos x h x x x
'=-- 1x >，∴1
()e cos e 110
x h x x x '=-->-->∴当1x >时，()h x 单调递增，∴()(1)e sin110h x h >=-->，即()0g x '>∴()g x 在()1,+∞单调递增，∴()(1)e cos110
g x g >=+->即()e cos ln 10x g x x x x =+-->，即ln <e cos 1x x x x +-，∴e cos ()<x x f x x
+综上：当0x >时，有e cos ()<x x f x x +成立.。