数学物理方程

取c2 T / ，f (x,t) F(x,t) / ， 得：
受迫振动方程
自由振动方程
1 2u 2u c2 t 2 x2 f (x, t)
1 2u 2u c2 t 2 x2 0
13
问题 1
u
umax
将[0, Lm]分成N小段：
umax 1L1 nLn
o
Lm L x
umax 1L1 nLn
圆形和别的几何图形
牛顿
数学和物理学的完美结合——牛顿定律 《自然哲学的数学原理》
我在这本书里，培养数学直至它 联系到哲学时为止，…，所以我 献出这本书作为哲学的数学原理
“Mathematical Principles of Natural Philosophy”
从此，在力学和物理学其他领域，物理学和数学变得密不可分，几 乎所有物理定律都需要通过数学公式给出，数学成了物理学的语言 （language of physics）； “数学物理” (mathematical physics) 就是要用数学语言来描述，用数学方法来研究物理问题。
n
正比于导热体温度升高所需的热量
x
W Cmu, (t时间间隔内） y
17
由微元体各侧面流入热量之和
Q1
n1
qyz
(i 0 j 0k ) (q1i q2 j q3k )yz
yz K u
x
(
x
1 2
x,
y,
z
)
Q2
yz
K
u x
(x
1 2
x,
y,z)
y
从1、2两个侧面流入微元体的热量之和
9
第一章
第二节 三类方程的导出
10
弦振动方程
两端固定绷紧的弦的横向振动 u
➢ 横向位移 u(t,x) （tP0， 0<x<L）
➢ 初始张力T （0<x<L）
α
o [x, x+dx]
x L
➢ 均匀线密度ρ，单位长度弦所受外力F(x, t)(垂直于弦）
前提假设
1）理想弦：只有沿弦切线方向的张力，忽略弯曲力
cos(x ct)
exp[ (x ct)2 ]
sinx / Lsinct / L
…
物理问题的解 否 否
可能 唯一
L x
24
定解条件——初始条件
常微分方程
x V
x t0 x0（初始条件）
x a
x
t 0
x0 ,
x t 0
v0（初始条件）
偏微分方程
x Vt x0
x
1 2
at 2
v0t
伽利略
倡导用数学方法研究物理问题 但是缺乏系统性和严密性
哲我学们写可在以那说本，永现远在我是们第眼一前次的把伟一大个书拥里—有—许 我里多指所奇的用妙是的结宇语果宙言的。，新但掌方是握，书法如 里公果 的开我 符出们 号来不 ，；先 就在不学未能会了书来解本的 它岁。月这里书，是它用将数赢学得语言别写人出的的重，视符号是三角形，
0
u f (x, y, z), u g(x, y, z),
t 0
t t0
(x, y, z)
➢将弦从静止放开
u
A
(2h / L)x x [0,L / 2]
u(x,0) (2h / L)(l x) x[L / 2, L]
h
ut (x,0) 0
o
L/2
➢A点以速度V运动，运动到h位置的时候放开
5
三种基本偏微分方程
波动现象（声波、弹性波和振动）
波动方程：
2u t 2
c2
2u x2
2u y 2
2u z 2
0
热传导现象（扩散现象）
热传导方程：
u t
a
2
2u x2
2u y 2
2u z 2
f
(x, y, z,t)
平衡态（热平衡、静电势、理想不可压无旋流动等）
Poisson方程：
2u 2u 2u x2 y2 z 2 g(x, y, z)
物理问题 （未知函数，多元）
物理定律 空间几何关系
微分方程
函数及其导数之 间的制约关系
15
从物理问题导出微分方程的过程（参考）
➢ 分析物理问题
• 明确物理定律 • 明确已知的和要求解的物理量（偏微分方程的未知函数） • 为了简化问题，可能需要做出合理的假设
பைடு நூலகம்➢ 建立空间坐标系
将空间几何（圆，矩形，各种曲线，曲面）和数学关联起来
-BERNHARD RIEMANN
8
数学物理方法课程的内容
以三类基本偏微分方程——波动、热传导和 调和方程为学习对象
从物理问题中导出数学描述——偏微分方程 经典的解析求解方法——行波法，分离变量
法，积分变换法和格林函数法 分析解的物理意义，了解一些基本的数学物
理概念：特征线，自然频率，本征值，模态 频谱，点源函数等
Hamilton 算子：
i
j
j
x y z
q Ku
K
u
i
K
u
j
K
u
k
x
y
z
Qn q nA
流入任一平面热量,瞬时值
u
u
i
u
j
u
j
x y z
z
(q1i q2 j q3k ) (i cos j cos j cos )
q1 cos q2 cos q3 cos
A
q
2）能量守恒：净流入的和内部生成的热量之和
3. 最总必定作用某一变量
Laplac e算子： 2 2 2
x2 y2 z2
u
( x
i
y
j
z
k ) • (u1i u2 j u3k )
x
u1
y
u2
z
u3
2 2 2
( i x
y
j k)•( i z x
y
j k) z
x
x y
y
z
z
x 2
y2
z 2
2u 2u 2u u ( )u u x2 y2 z2
20
• 任意形状控制体的情况
z
经过控制体表面任一面积元的热量瞬时值
dQ n qdS n (Ku)dS
经过整个表面热量瞬时值
Q dQ n(Ku)dS
y
x
(K
u x
)
y
(K
u y
Lx
(2h / L)x x [0,L / 2]
(2V / L)x x [0,L / 2]
u(x,0) (2h / L)(L x) x[L/ 2, L] ut (x,0) (2V / L)(L x) x[L / 2, L]
➢ 选择控制体，应用物理定律，列出数学方程
1．基于微分思路，选微元作为控制体（关于质点的物理定律） 2．基于积分思路，选取“任意”的控制体（关于系统的物理定 律）
➢ 得出关于未知函数的偏微分方程
将数学方程中的所有变量都以未知函数或其偏导数表示
16
热传导方程
物理定律
1) 傅立叶定律：热流强度与温度梯度成正比
6
偏微分方程的应用实例
流体运动的控制方程——Navier-Stokes方程
• 绝大多数的自然流动现象 • 各种流体机械的设计原理（压气机） • 十分复杂，至今尚未被完全了解 （如何解释湍流现象）
弹性力学基本方程
• 叶片的振动问题
传热学基本方程
• 涡轮叶片的冷却
7
气动声学基本方程
• Lighthill方程、FW-H方程等 • 航空发动机噪声辐射
)
z
(K
u z
)dV
dS n q
x
n
fdS
fdV
f1 x
f2 y
f3 z
dV
t
x
(K
u x
)
y
(K
u y
)
z
(K
u z
)dv
CudV
x
(K
u x
)
y
(K
u y
)
z
(K
u z
)
C
u t
dv
0
c
u t
x
K
u x
y
K
u y
z
K
u z
0
21
Poisson方程和Laplace方程
2）弦做小幅振动，即弦切线与横轴所成角 L
umax 1L1 2L2 max (L1 L2 ) max L L
物理定律
11
F
ma
微分思想
弦微段
动力平衡方程
推导过程
u
T2
TT22
cos2 sin 2
(T1 cos1) 0 (T1 sin1) F(
x,
t
)ds
(ds)utt
电磁运动的Maxwell方程组 描述微观粒子运动的Schrödinger方程
“Partial differential equations are the basis of all physical theorems. In the theory of sound in gases, liquids and solids, in the investigations of elasticity, in optics, everywhere partial differential equations formulate basic laws of nature which can be checked against experiments.”
弦长度变化可忽略 张力不随时间变化
张力恒等于T
在u向动力方程中代入近似关系，得：
T tan2 T tan1 F(x,t)dx uttdx T[ux (x dx,t) ux (x,t)] F(x,t)dx utt dx
utt (T / ) [ux (x dx,t) ux (x,t)] / dx F(x,t) /
3
工程中数学与物理的结合
定量是工程的基本要求
卡门涡街 (Karman
vortex street)
对机理的深入认识需要通过数学模型
工程设计依靠数学模型的预测性
工程问题
实验检验
数学模型 及求解
4
微分方程－物理学的语言
常微分方程[复习]
➢由一元函数及其导数构成的方程
m
d 2x dt 2
dx dt
α1 T1
α2
一些近似关系：
o
x
x+dx
x
cos1 112 / 2 1, cos2 1
sin1
1
tan1
ux
,
x
sin2 2 tan2 ux xdx
ds 1 tan2 1 (112 / 2)dx dx
弦长度变化可以忽略
12
在x向动力方程中代入近似关系，得：
T1 T2 弦上各点处张力近似相等
数学物理方法
主讲教师：景晓东
办公室：北配电楼204 电 话： 82338085 电子邮件：jingxd@buaa.edu.cn
1
第一章
第一节 引 言
2
“数学物理”思想
亚里士多德
物理学作为哲学的一个分支
依靠主观猜想和推理讨论物理学问题——非数学的亚里士多德物理（Nonmathematical Aristotelian physics）
1L1 nLn max (L1 Ln ) max Lm L
问题 2
u
如何理解 tan u (x,t) ？
x 牛顿第二定律的瞬时性
α
ox
Lx
在固定时刻，弦的形状不变，在此情况下考虑几何关系
14
从物理问题到微分方程——弦振动方程小结
导出微分方程是求解物理问题的第一步
1 2u 2u c2 t 2 x2 f (x, t)
x0
➢作用于物理问题的所有空间点，是空间坐标的函数
➢若物理量的时间偏导数是N阶，那么必需给出0到N-1阶时间偏导数
➢平衡态问题（与时间无关）不需要初始条件
实例——热传导问题
u (x, y, z), (x, y, z) t 0
25
实例——波动问题
2u t 2
c2
2u x2
2u y 2
2u z 2
kx
0
x
偏微分方程
➢由多元函数及其偏导数构成的方程
2u t 2
c2
2u x2
0
练习：验证函数u(t,x)=cos(ct-x)满足上面的偏微分方程
u / t csin(ct x) , u / x sin(ct x) 2u / t2 c2 cos(ct x) , 2u / x2 cos(ct x)
z
n1
Δz
(x, y, z)
n2
Δx Δy
x
Q1
Q2
K
u x
(x
1 2
x,
y,z)
K
u x
(x
1 2
x,
y,z)
yz
K u xyz x x
f (x x, y y, z z) f f x f y f z
x y z
18
同理：
Q3
Q4
y
K
u y
xyz
Q5
Q6
K
u z
F
(x,
y,
z,t)
均匀导热体
一维情况
u a2u f (x, y, z,t) (a2 K , f F )
t
C
C
u a2 2u f (x, y, z,t)
t
x 2
19
扩散现象
（1）q Du （2）质量守恒
算子运算：
1. 遵循矢量和标量运算规则
2. 运算顺序从左到右，微分运算 只向右作用
• Poisson方程
如果源的强度不随时间变化，当热传导或扩散过程 达到平衡态时，温度或粒子浓度不随时间变化
u g(x, y, z)
• Laplace方程
u 0
22
第一章
第三节 定解条件
23
泛定方程
泛定方程：指一个偏微分方程
泛定方程
2u t 2
c2
2u x2
0
？ u 物理问题
泛定方程的解, u(x,t)
z
K
u xyz z
温度升高所 需要的热量
流入微元体的热量（瞬时值）
内部产生热量 （瞬时值）
(Cxyz)u
x
K
u x
y
K
u y
z
K
u z
xyzt
F(x, y, z,t)xyzt
u(x, y, z,t t) u(x, y, z,t)
C
u t
x
K
u x
y
K
u y
z