北师大版八年级上册第二章实数知识点梳理及题型解析

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第二章《实数》知识点梳理及题型解析

一、知识归纳

（一）平方根与开平方

1. 平方根的含义

如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x =2

，x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示

⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：a ±

（根指数2省略）

0有一个平方根，为0，记作00= ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算

开平方：求一个数a 的平方根的运算。

a a =2==⎩⎨⎧-a a 00<≥a a

()a a =2

（0≥a ）

⑷a 的双重非负性

0≥a 且0≥a （应用较广）

例：y x x =-+-44 得知0,4==y x

⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地

向右或向左移动一位。 区分：4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方后，

得____

3.计算a 的方法⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧精确到某位小数　

＝非完全平方类

＝完全平方类 773

294 *若0>>b a ，则b a >

（二）立方根和开立方

1．立方根的定义

如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a 2. 立方根的性质

任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 3. 开立方与立方

开立方：求一个数的立方根的运算。

()a a =3

3

a a =3

3 33a a -=- （a 取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

*０的平方根和立方根都是０本身。

（三）推广： n 次方根

１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方

根。

当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。

２. 正数的偶次方根有两个：n a ±；０的偶次方根为０：00=n ；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。

（四）实 数

1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：

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① 按属性分类： ② 按符号分类 2. 实数和数轴上的点的对应关系：

实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数．

2的画法：画边长为1的正方形的对角线

在数轴上表示无理数通常有两种情况：

①尺规可作的无理数，如2

②尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.0…… 思考：

（1）－a 2

一定是负数吗？－a 一定是正数吗？ （2）大家都知道

是一个无理数，那么

－1在哪两个整数之间？

（3）15的整数部分为a,小数部分为b ，则a= , b= 。 （4）判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

① 无限小数都是无理数； ② 无理数都是无限小数； ③ 带根号的数都是无理数；

④ 有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥ 实数的绝对值都是非负实数； ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。 3. 实数大小比较的方法

一、平方法： 比较2

3

和3的大小

二、根号法： 比较32和23的大小 三、求差法： 比较2

15-和1的大小

4.实数的三个非负性及性质

(1)在实数范围内，正数和零统称为非负数。 (2)非负数有三种形式

①任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a|≥0；

②任何一个实数a 的平方是非负数，即a 2≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即0≥a （3）非负数具有以下性质

①非负数有最小值零；

②非负数之和仍是非负数；

③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0

二、题型解析

题型一、有关概念的识别 例1.下面几个数：.

1.23 ，1.0…，

，3π，，，其中，无理数的个数

有（ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 【变式1】下列说法中正确的是（ ）

A 、的平方根是±3

B 、1的立方根是±1

C 、

=±1 D 、

是5的平方根的相反数

题型二、计算类型题 例2.设

，则下列结论正确的是（ ）

A. B.

C.

D.

例3.计算：

例4.先化简，再求值：

11()

b

a b b a a b ++

++，其中51+51- 例5.若312-a 和331b -互为相反数，求

b

a

的值。

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题型三、实数非负性的应用

例6．已知实数a 、b 、c 满足，2|a-1|+2b c ++2)21(-c =0,,求a+b+c 的值.

例7.若111--+-=

x x y ，求x ，y 的值。

例8.已知：=0，求实数a, b 的值

【变式1】522y 2++-+-=x x x ，求x

y 的平方根和算术平方根。 【变式2】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。

题型四、数形结合题

例9、如图，实数a 、b 在数轴上的位置， 化简 ：222()a b a b ---

类型五、实数应用题

例10．有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。 类型六、拓展提升 例11.已知

的整数部分为a ，小数部分为b ，求a 2-b 2的值.

例12.把下列无限循环小数化成分数：①

②

③