第二章、有阻尼受迫振动自编22
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2 2 2 2 2
F k (1 2 ) 2 (2 ) 2
2 arctan arctan 2 2 2 1
2
式中：
为频率比
y0
考虑初始条件得有阻尼受迫振动的通解：
y (t ) et y0 cos d t e t ( et A( cos
d
Baidu Nhomakorabea
y0 )sin d t e t A sin cos d t d
sin )sin d t A sin(t ) d
式中第一、二项为自由振动，三、四项为伴生振动，由于 阻尼这四项将很快衰减掉。第五项为纯受迫振动。
第五项也称为稳态受迫振动，展开可以表示为：
R Fs Fd ky +c y (kA)2 +(cA )2 sin ( t - + )
2 2 (kA） +（cA） Rmax 设TR= F F
机器由隔振器作用于地基上的反力为 :
将A、c代人，得：
2 1+（2） 2 2 （ 1- 2） +（2）
TR =
隔振的目的是要使传到地基的动反力要小于主动力的最大值F，即 TR 1 ，且 越小越好。
1 / (1 2 / 2 ) 2 ( 2 / ) 2 2.49
A yst 0.0568 (mm)
2.4 减震与隔振简述 一、减震与隔振的常用方法 1、消除振源： 机器中转动部分（如发电机、电动机等）的不均衡，消除之。 2、远离振源： 尽可能远离运输繁忙的铁路、公路或有大型振动设备的工厂 3、避免共振 设计房屋或机械时，应使其固有频率与振源的频率相差较大， 不致发生共振。 4、采用动力消振器 振动的隔离有两种：一种是将振源隔离起来，不使其产生的振 动向周围传播，这种隔振称为主动隔振；另一种是将仪器设备 用隔振材料保护起来，使之不受外界振动的影响，这种隔振称 为被动隔振。
3.0
0.05
2.0
1.0
1.0
0
0 1 2 3
2 arctan 0 2 (1 )
180
0.25 0.20 0.15
90
0.30 0.50 0.70 1.0 0.05 0
0 0 1
y (t )=dd sin ( t - ) 其中d = 1 （ 1- ）+（2）
2 2 2
m
，
当m重，k很小， 很小，而
很高，即 ，则d 0物体的振幅 0
装运易碎货物时，四周垫以柔性材料相当于k 很小，物体可免受振动。
机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为P=30kN.求竖向 振动时的振幅。 解：
P(t ) P sin t
P 30 3 y st 0 . 0228 10 m 3 K 1314 .5 10
K 1314 .5 106 91.79(1 / s) 3 m 15610 N 2 83 .78(1 / s) 60
F sin t m
y* (t )
式中 为阻尼比，方程的解包括两部分，即齐次解y(t )与特解
y(t ) y(t ) y *(t )
齐次解为 y (t ) et (C1 sin d t C2 cos d t )
用待定系数法求特解 y* (t ) D1 cos t D2 sin t
二、隔振的基本原理
图示机器与地基间装上隔振 器，设电机与基础质量为m， 电机的不均衡动荷载为： F (t )=F sin t
电机
地基
基础
设隔振器的弹簧常数为k，阻尼系数为c，则电机与基础的受迫振动解为： y(t )=A sin ( t - ) yst F 其中A= ，yst = 2 2 k （ 1- 2） +（2）
TD 2 / 4 0.5(s)
T TD 1 2 0.4998 (s)
4.重量
c 2m 3601 ( N s/m)
2
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比 为多少 5
2 12 .57 (1 / s) T 2 m k11 / 5190 (kg)
由表达式可知，只有当
3
TR
1 2 1即 2
才可能使
=0 =0.2 =0.25 =0.33 =0.5 =1.0 =2.0
2
TR 1
1
才有隔振效果。
对不同的
值，可作出TR与频比
0 0 1 2 2
变化曲线如图
5
2.5 5
3
以后，TR递减很慢，进一步减少k或增大m，对改善隔振效果不大，故实用上常取 显然当 2 时， TR 1 特别是 1 时， 而 即：隔振器反而使传到地基的动反力增大；
2.3单自由度系统简谐荷载作用下的受迫振动
二、有阻尼受迫振动
1、有阻尼受迫振动方程的解 设动力荷载为简谐荷载则有阻尼受迫振动运动方程为：
m y (t ) c y (t ) ky (t ) F sin t
即：
y (t ) 2 y (t ) 2 y (t )
与频比 之间的关系 2、动力放大系数 d 及相位角
1）有阻尼时，d 不会出现无限大；
dmax 可由 d d
2） 近似发生在 3） =1
d max
=0
求得： d max =
1 2 1- 2
1 2
=1 处。
0.75< >1.25称为共振区，共振区内阻尼 变化，d变化明显，
式中：
F 2 D1 =m ( 2 2 ) 2 (2 ) 2 2
F 2 D2 = m ( 2 2 )2 (2 ) 2 2
2
于是特解可表示为： 其中： A D 2 D 2
1 2
y* (t ) A sin(t ) F
m ( ) (2 )
2
3
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 1 2 ln 0.0276 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 2 4 1 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求 1.阻尼比 2.刚度系数 2.刚度系数 2cm 3 16 . 4 10 3.无阻尼周期 k11 8.2 105 ( N / m) 16.4kN 4.重量 0.02 5.阻尼系数 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少 3.无阻尼周期 5.阻尼系数
y(t ) A sin(t ) F k (1 ) (2 )
2 2 2
sin(t )
引入静力位移 yst 则 同时，设
d
1
yst
F k
(1 2 )2 (2 )2
为有阻尼动力放大系数
稳态受迫振动解为:
y(t ) yst d sin(t )
较小时， TR的值很大，
隔振器起了反作用，设计时应避免。
练习
质量为m的物体挂在弹簧常数为k的弹簧一端，另一端B 沿铅直线按规律 y=dsin t 作简谐运动，设物体受粘滞 阻尼力作用，不计弹簧质量，试求物体的运动规律
y=dsin t
B o
m y (t ) c y (t ) ky (t ) k sin t
8.2 10 136.89(1 / s 2 ) 5190 800 11.70(1 / s)
T 2 / 0.537(s)
W m g 50.86(kN)
c / 2m 0.0257
3 m 156 10 kg 例.图示为块式基础.机器与基础的质量为 ;地基竖向 刚度为 K 1314 .5 103 kg/m;竖向振动时的阻尼比为 0.2
d
时，共振。 共振外内阻尼 变化， 变化不明显。故可不考虑阻尼影响。
动力放大系数
d 及相位角 与频比 之间的关系曲线
2
增大， 增加。见教材图2-11b 从0 1时， 从0 从1 时， 从 =1时，不论 多少， =
2 2
d
4.0
F k (1 2 ) 2 (2 ) 2
2 arctan arctan 2 2 2 1
2
式中：
为频率比
y0
考虑初始条件得有阻尼受迫振动的通解：
y (t ) et y0 cos d t e t ( et A( cos
d
Baidu Nhomakorabea
y0 )sin d t e t A sin cos d t d
sin )sin d t A sin(t ) d
式中第一、二项为自由振动，三、四项为伴生振动，由于 阻尼这四项将很快衰减掉。第五项为纯受迫振动。
第五项也称为稳态受迫振动，展开可以表示为：
R Fs Fd ky +c y (kA)2 +(cA )2 sin ( t - + )
2 2 (kA） +（cA） Rmax 设TR= F F
机器由隔振器作用于地基上的反力为 :
将A、c代人，得：
2 1+（2） 2 2 （ 1- 2） +（2）
TR =
隔振的目的是要使传到地基的动反力要小于主动力的最大值F，即 TR 1 ，且 越小越好。
1 / (1 2 / 2 ) 2 ( 2 / ) 2 2.49
A yst 0.0568 (mm)
2.4 减震与隔振简述 一、减震与隔振的常用方法 1、消除振源： 机器中转动部分（如发电机、电动机等）的不均衡，消除之。 2、远离振源： 尽可能远离运输繁忙的铁路、公路或有大型振动设备的工厂 3、避免共振 设计房屋或机械时，应使其固有频率与振源的频率相差较大， 不致发生共振。 4、采用动力消振器 振动的隔离有两种：一种是将振源隔离起来，不使其产生的振 动向周围传播，这种隔振称为主动隔振；另一种是将仪器设备 用隔振材料保护起来，使之不受外界振动的影响，这种隔振称 为被动隔振。
3.0
0.05
2.0
1.0
1.0
0
0 1 2 3
2 arctan 0 2 (1 )
180
0.25 0.20 0.15
90
0.30 0.50 0.70 1.0 0.05 0
0 0 1
y (t )=dd sin ( t - ) 其中d = 1 （ 1- ）+（2）
2 2 2
m
，
当m重，k很小， 很小，而
很高，即 ，则d 0物体的振幅 0
装运易碎货物时，四周垫以柔性材料相当于k 很小，物体可免受振动。
机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为P=30kN.求竖向 振动时的振幅。 解：
P(t ) P sin t
P 30 3 y st 0 . 0228 10 m 3 K 1314 .5 10
K 1314 .5 106 91.79(1 / s) 3 m 15610 N 2 83 .78(1 / s) 60
F sin t m
y* (t )
式中 为阻尼比，方程的解包括两部分，即齐次解y(t )与特解
y(t ) y(t ) y *(t )
齐次解为 y (t ) et (C1 sin d t C2 cos d t )
用待定系数法求特解 y* (t ) D1 cos t D2 sin t
二、隔振的基本原理
图示机器与地基间装上隔振 器，设电机与基础质量为m， 电机的不均衡动荷载为： F (t )=F sin t
电机
地基
基础
设隔振器的弹簧常数为k，阻尼系数为c，则电机与基础的受迫振动解为： y(t )=A sin ( t - ) yst F 其中A= ，yst = 2 2 k （ 1- 2） +（2）
TD 2 / 4 0.5(s)
T TD 1 2 0.4998 (s)
4.重量
c 2m 3601 ( N s/m)
2
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比 为多少 5
2 12 .57 (1 / s) T 2 m k11 / 5190 (kg)
由表达式可知，只有当
3
TR
1 2 1即 2
才可能使
=0 =0.2 =0.25 =0.33 =0.5 =1.0 =2.0
2
TR 1
1
才有隔振效果。
对不同的
值，可作出TR与频比
0 0 1 2 2
变化曲线如图
5
2.5 5
3
以后，TR递减很慢，进一步减少k或增大m，对改善隔振效果不大，故实用上常取 显然当 2 时， TR 1 特别是 1 时， 而 即：隔振器反而使传到地基的动反力增大；
2.3单自由度系统简谐荷载作用下的受迫振动
二、有阻尼受迫振动
1、有阻尼受迫振动方程的解 设动力荷载为简谐荷载则有阻尼受迫振动运动方程为：
m y (t ) c y (t ) ky (t ) F sin t
即：
y (t ) 2 y (t ) 2 y (t )
与频比 之间的关系 2、动力放大系数 d 及相位角
1）有阻尼时，d 不会出现无限大；
dmax 可由 d d
2） 近似发生在 3） =1
d max
=0
求得： d max =
1 2 1- 2
1 2
=1 处。
0.75< >1.25称为共振区，共振区内阻尼 变化，d变化明显，
式中：
F 2 D1 =m ( 2 2 ) 2 (2 ) 2 2
F 2 D2 = m ( 2 2 )2 (2 ) 2 2
2
于是特解可表示为： 其中： A D 2 D 2
1 2
y* (t ) A sin(t ) F
m ( ) (2 )
2
3
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比 丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 1 2 ln 0.0276 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 2 4 1 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅 降为1cm.求 1.阻尼比 2.刚度系数 2.刚度系数 2cm 3 16 . 4 10 3.无阻尼周期 k11 8.2 105 ( N / m) 16.4kN 4.重量 0.02 5.阻尼系数 6.若质量增加800kg体系 的周期和阻尼比为多少 3.无阻尼周期 5.阻尼系数
y(t ) A sin(t ) F k (1 ) (2 )
2 2 2
sin(t )
引入静力位移 yst 则 同时，设
d
1
yst
F k
(1 2 )2 (2 )2
为有阻尼动力放大系数
稳态受迫振动解为:
y(t ) yst d sin(t )
较小时， TR的值很大，
隔振器起了反作用，设计时应避免。
练习
质量为m的物体挂在弹簧常数为k的弹簧一端，另一端B 沿铅直线按规律 y=dsin t 作简谐运动，设物体受粘滞 阻尼力作用，不计弹簧质量，试求物体的运动规律
y=dsin t
B o
m y (t ) c y (t ) ky (t ) k sin t
8.2 10 136.89(1 / s 2 ) 5190 800 11.70(1 / s)
T 2 / 0.537(s)
W m g 50.86(kN)
c / 2m 0.0257
3 m 156 10 kg 例.图示为块式基础.机器与基础的质量为 ;地基竖向 刚度为 K 1314 .5 103 kg/m;竖向振动时的阻尼比为 0.2
d
时，共振。 共振外内阻尼 变化， 变化不明显。故可不考虑阻尼影响。
动力放大系数
d 及相位角 与频比 之间的关系曲线
2
增大， 增加。见教材图2-11b 从0 1时， 从0 从1 时， 从 =1时，不论 多少， =
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