图论与网络基本知识

图论与网络基本知识
表示方法
① 按定义用顶点和边的交替序列,
=v0e1v1e2…elvl ② 用边序列, =e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点序列, =v0v1…vl
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实例
初级通路
非初级的简单通路
初级回路
非初级的 简单回路
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无向图连通与连通分支
设无向图G=<V,E>, u,vV u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总是连通的. 连通图: 任意两点都连通的图. 平凡图是连通图 连通关系 :R={<u,v>| u,v V且u与v连通}. 连通分支: 连通的子图. 连通分支数:p(G)=k
e1
a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
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图中的元素及关系
端点： ek=(vi, vj)E, 称vi, vj为ek的端点； 关联： ek与vi ( vj)关联； 相邻：具有公共端点的两条边；或者与同一条边关联的两个点称为
相邻；
平行边：具有相同端点的两条边
环：两个端点为同一个点的边
简单图：无平行边无环的图 e1
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
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有向图
定义：有向图D=<V,E>, 其中V称为顶点集, 其元素称
为顶点或结点; E是V V的多重子集, 称为边集, 其元
素称为无向边，简称边. 有时用V(D)和E(D)分别表示V 和E。
G是连通图 p(G)=1
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无向图中的最短路与距离
u与v间的最短路:u与v之间长度最短的通路(设u与v连通)
u与v间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度
若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
(1) d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
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e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
有向图顶点的度数
+=4, +Hale Waihona Puke Baidu0, =3, =1, =5, =3
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a
e4
e2
d
e6e3
b
e7
e5
c
握手定理
定理 任何图(无向图和有向图)的所有顶点度数之和都 等于边数的2倍。 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度。
推论 任何图(无向图和有向图)都有偶数个奇度顶点。
设D=<V,E>为有向图, vV,
v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和
v的入度d(v): v作为边的终点次数之和
v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
d(v)= d+(v)+ d-(v)
+(D), +(D), (D), (D), (D), (D)
悬挂顶点, 悬挂边
e1
例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,
[问题] 能否从某一块陆地出发，走遍每一座桥，且 每一座桥只能走一次，最后回到出发点。
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四色猜想
[问题]在任何平面或球面上的地图，只用四种颜色涂 色，就可使得相邻区域涂上不同颜色。
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Hamilton 环游世界问题
[问题] 能否从某一顶点出发，走遍每一个顶点一次且 仅仅一次，最后回到出发点。
❖ 无向图 ❖ 有向图 ❖ 图中的元素及关系 ❖ 网络 ❖ 顶点的度数
图论与网络基本知识
无向图
定义：无向图G=<V,E>, 其中V称为顶点集, 其元素称 为顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素 称为无向边，简称边. 有时用V(G)和E(G)分别表示V和 E。
例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5} E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3),
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Ramsey 问题
❖ 任何六个人中，或有三个人互相认识，或有三个人互 不认识，二者必居其一。
❖ 更一般性的问题：若一群人中或有m个人互相认识，或 有n个人互不认识，则这群人最少得有多少人？记为 Ramsey(m,n)
[例] Ramsey(3,3)=6
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图与网络的基本定义
图论与网络基本 内容
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授课提纲
❖ 几个有意思的例子 ❖ 图与网络的基本定义 ❖ 图的连通性 ❖ 图的矩阵表示 ❖ 几种特殊的图
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几个有意思的例子
❖ 哥德堡七桥问题 ❖ 四色猜想 ❖ Hamilton周游世界游戏 ❖ Ramsey 问题
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哥德堡七桥问题
a
e4
e2
d e7
e6e3 e5
b 图论与网络基本知识
e1 v1 e2 v2
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4
带权图（网络）
图G的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e的权. 图G连 同附加在边上的权称作带权图（网络）, 记作G=<V,E,W>.
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无向图顶点的度数
设G=<V,E>为无向图, vV, v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
路与圈
定 义 ： 给 定 图 G=<V,E> , G 中 顶 点 与 边 的 交 替 序 列
=v0e1v1e2…elvl.若i(1il), ei=(vi1,vi), 则称为v0到
vl的通路, v0和vl分别为通路的起点和终点, l为路的长 度.
又若v0=vl, 则称为回路.
若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异, 则称 为初级通路或路(初级回路或圈). 长度为奇数的圈称作 奇圈,长度为偶数的圈称作偶圈。
定理 有向图所有顶点的入度之和等于出度之和等于边数 证 每条边恰好提供1个入度和1个出度。
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图的连通性
❖ 路与圈 ❖ 无向图的连通性与连通分支 ❖ 无向图中的最短路与距离 ❖ 点割集与边割集 ❖ 点连通度与边连通度 ❖ 有向图的连通性及其分类 ❖ 有向图中的最短路与距离
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