第7章排队管理知识讲解

例：单服务台无限队列模型[M/M/1]:[//FCFS]
➢顾客到达的时间间隔是负指数分布(λ) ➢服务时间是负指数分布(μ) ➢一个服务台 ➢排队系统和顾客源的容量都是无限 ➢实行先到先服务的一个服务系统
[M/M/1]:[//FCFS]的分析
假设在t+t时刻系统中顾客数为n的概率Pn(t+t)
Pn(t)
▪ （2）服务企业实际上是将顾客作为存货来提高 服务过程的整体效率。
哈哈，我好开心啊，原 来我在这挤369公交车 客观上提高了公交车的
运营效率！
❖2、顾客满意度
❖ 顾客满意度是指顾客通过对一个产品或服务绩效 的感知与其期望值相比较后形成的感觉状态。 ——菲利普.科特勒
系统的过渡状态与稳定状态
dPn (t) 0 dt
dPn (t) 0 dt
过渡
稳定
Hale Waihona Puke Baidu
稳定状态下的状态概率
P0 P1 Pn ( )
0
Pn1
Pn1
0
n 0 n 1
P1
P2
Pn
P0
2
P1
P0
n
Pn
P0
由 得到
Pk 1
k0
1 2 nP01
令
称为服务强度，则
有1辆车的概率为：P1=(1-)=0.417×0.583=0.243 有2辆车的概率为：P2=2(1-)=0.4172×0.583=0.101 有3辆车的概率为：P3=3(1-)=0.4173×0.583=0.0421
Little公式
L W
Lq W q
L Lq
W
W
q
1
[M/M/1]:[//FCFS]的系统指标
W 1 1 0.025(小时) 90(秒) 240 200
Wq
W
5 6
90
75(秒)
7.2 排队与服务
1、排队管理的权衡 ❖权衡什么？
▪ 内部员工（设施）的服务成本 ▪ 外部顾客的等待成本（与无差异的库存的差别？）
❖权衡等待成本与服务成本 ❖克服之道？
❖排队权衡论：
▪ （1）服务设施的超负荷使用是以顾客的等待为 代价的；
WqL q W1
例：高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽 车到达服从Poisson分布，平均到达速率为200辆/ 小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间 为15秒/辆。求L、Lq、W和Wq。
根据题意，=200辆/小时，=240辆/小时，=/=5/6。
L
5 6
5
1
1
5 6
Lq
L
5 6
5
4.17
机型的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳
负指数分布
ex ,
f (x) 0,
F (x) 1 ex
x0 x0
( 0)
长尾分布
❖ （2）排队规则：描述顾客排队等待的队列 和接受服务的次序。包括：
▪ 即时制还是等待制
等待制下队列的情况
➢单列还是多列 ➢能否中途退出 ➢多列间能否转移 ➢……
等待制下的服务次序
❖N –– 系统中的顾客数 ❖ ––平均到达率，即单位时间内平均到达的顾客数 ❖ –– 平均服务率，即单位时间内服务完毕的顾客数 ❖ Sn(t)––时刻t系统中有n个顾客 ❖Pn(t)–– 时刻t系统状态Sn(t) 的概率
❖C –– 服务台的个数 ❖M–– 顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布 ❖D–– 顾客相继到达的时间间隔服从定长分布
Sn
(1 t)•(1 t)
无到达，无离开
Pn-1(t) Sn-1
t•(1t)
到达一个，无离开
(1t)•t
Sn
Pn+1(t) Sn+1
无到达，离开一个
Pn(t)
Sn
t时刻
t•t
到达一个，离开一个
t +t时刻
P n ( t t )
P n ( t ) 1 ( t ) 1 ( t ) P n 1 ( t ) t ( 1 t ) P n 1 ( t ) 1 ( t ) t o ( t )
➢先到先服务 ➢后到先服务 ➢随机服务 ➢有优先权的服务 ➢……
❖（3）服务机构：描述服务台(员)的机构形 式和工作情况。包括：
▪ 服务台（员）的数目和排列情况
• 串联、并联或混联
▪ 服务台（员）的服务方式（单个或成批）； ▪ 服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数
是什么，是否独立，是否平稳。
常用符号
P n ( t t t ) P n ( t ) P n ( t ) () P n 1 ( t ) P n 1 ( t ) o ( t t )
令t 0得：
d dd dn 0P P((tttt)) P P0 n((tt))(P1()t)Pn1(t)Pn1(t)nn01
P0k11 01 k0
得 Pn n (1 ) n 0,1,2
[M/M/1]:[//FCFS]的状态转移分析
P0 P1 P2
λ
Pn1
Pn
Pn1
0
1
2 n-1 n n+1
PPn0(P1) Pn1 Pn1
n0 n 1
例：高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车 到达服从Poisson分布，平均到达速率为100辆／小 时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15 秒／辆。求
1、收费处空闲的概率；
2、收费处忙的概率；
3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
根据题意, =100辆/小时,1/=15秒=1/240（小时/辆）, 即＝240（辆/小时）。=/=100/240=5/12； 系统空闲的概率为：P0=1-=1-(5/12)=7/12=0.583； 系统忙的概率为：1-P0=1-(1-)==5/12=0.417；
第7章 排队管理 ❖7.1 排队模型 ❖7.2 排队与服务 ❖7.3 快速服务策略
7.1 排队模型
1、排队过程的一般表示 ❖（1）输入过程 ❖（2）排队规则 ❖（3）服务规则
顾客源
排队
顾客离开
服务
输入过程
排队规则
服务规则
❖（1）输入过程：描述顾客来源以及顾客到达 排队系统的规律。包括：
▪ 顾客源中顾客的数量是有限还是无限； ▪ 顾客到达的方式是单个还是成批到达； ▪ 顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随
系统中的平均顾客数L
L kPk kk(1)(1) kk
k0
k0
k0
(1)
(1)2 1
队列中的平均顾客数Lq
Lq (k1)Pk (k1)k(1)(1) (k1)k
k1
k1
k1
2
2
(1)
(1)2 1
顾客在系统中的平均逗留时间W (服从μ-λ的负指数分布）
WL 1
顾客在队列中的平均逗留时间Wq