矩阵论考博真题
14-15(1)-14级-矩阵论试题与答案
中国矿业大学2014～2015学年第1学期研究生《矩阵论》试卷答题时间:120分钟 考试方式:闭卷姓名_ _____学号____________院系__________任课老师____________得分______ 【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。
【二】（15分） 已知矩阵313729214A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭（1）求A 的不变因子、初等因子； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使1P AP J -=。
【三】（15分）已知矩阵010865A ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）求A 的特征多项式； （2）求A 的最小多项式；（3）把矩阵Ate 表示成关于A 的多项式。
【四】（10分）已知矩阵111032A ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的QR 分解。
【五】（10分） 已知矩阵0.20.70.30.6A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求1,A A ∞； （2）讨论矩阵幂级数0kk A∞=∑的敛散性；若收敛，求其和。
【六】（15分）已知下面矛盾方程组123131311221x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ （1）求系数矩阵A 的满秩分解； （2）求A 的广义逆矩阵A +；（3）求该方程组的极小范数最小二乘解。
【七】（15分）()n n ij A a R ⨯=∈，证明：2,,max max ij ij i ji ja An a ≤≤⋅【八】（10分）假设A 是n 阶方阵，若A 不与任何对角阵相似，证明：存在多项式()f λ及正整数k ，使得()f A O ≠但[()]k f A O =。
参 考 答 案【一】（10分）已知矩阵a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭，定义22R ⨯上的线性变换 (),T X AX X =∈22R ⨯求T 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵。
矩阵论试题及答案
一．（10分）已知n n C ⨯中的两种范数a ⋅和b ⋅，对于n n C A ⨯∈，证明b a A A A +=是n n C ⨯中的范数. 解：⑴非负性：由于b a ⋅⋅,是两种范数，故当A=0时，0,0==b a A A ，所以000=+=+=b a A A A ； 当A ≠0时，0,0>>b a A A ，所以0>+=b a A A A⑵齐性：()A A A A A A A A b a b a b a ααααααα=+=+=+= ⑶三角不等式：B A B A B A B A B A B A b b a a b a +=+++≤+++=+二．(每小题10分,共20分)已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101121103A ,()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=002t e t b , 1. 求At e2. 用矩阵函数方法求微分方程()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+=T x t b t Ax t x dt d1,0,10的解.解：1. ()1112113det ----=-λλλλA I ()()3211132-=----=λλλλ显然, )det(A I -λ的一阶子式的公因子为1, 容易知道)det(A I -λ 的二阶子式的公因子为2-λ,所以A的最小多项式为()()()23222-=--=λλλλm ,即()()022=-=I A A m ,设()()()b a g m e f t ++==λλλλλ,则()a te f t =='λλ 对于特征值2=λ有()()⎩⎨⎧=='+==a te f b a e f t t 22222,()⎩⎨⎧+-==ttet b te a 2212 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+=+=t t t t t t e bI aA e t At1010122. ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰--ds e s s s ss s e e ds s b e x e t x s t s At t As At 001010110102020 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t e t e t At 1001012三．(15分)用Givens 变换求⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2100421132403100A 的QR 分解. 解：()T01001=β,构造()s c T ,13=,1101sin ,0100cos 22232132223211=+=+===+=+==xx x s x x x c θθ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=210031002340421121421132403100100000010010010013A T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=21312A , 构造),(12s c T , ()21sin ,21111cos 222122222211=+==-=+--=+==x x x s x x x c θθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1052212131111121212A T⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2/1002/12/1002/10010010013122T T I T ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2/12/100000100102/12/100TT Q ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/522344211R四．(10分)用Gerschgorin 定理证明⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8110260110410100A 至少有两个实特征值. 解：A 的4个盖尔圆为:{}1|1≤=z z G ,{}2114|2=+≤-=z z G , {}3216|3=+≤-=z z G , {}2118|4=+≤-=z z G ,它们构成的两个连通部分为11G S =,4322G G G S =.易见,1S ,2S 都关于实轴对称且各含有1个和3个特征值,因为实矩阵的复特征值必成对出现, 故1S ,2S 必各含有一个实特征值,从而A 至少含有2个实特征值.五．(20分)已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=221221*********A ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=44111b 1. 求A 的满秩分解.2. 求+A3. 用广义逆矩阵的方法判别方程组b Ax =是否相容.4. 求方程组b Ax =的极小范数解或极小范数最小二乘解并指出所求解的类型.解 1。
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
①: , A
*
( A )
*
T
( A ) A
* *
*
, ;
( k , ) k A k ( , );
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U* ∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在 前面,则(*)式即给出所需答案.
习题3-20 试证:两个半正定矩阵之和是半正 定;半正定矩阵与正定矩阵之和是正定矩阵
08级-北航博士-矩阵论试题与答案
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求10d Ate t ⎰（用矩阵A 或其逆矩阵表示）； （2）设1234(,,,)Ta a a a =α是给定的常向量，42)(⨯=ij x X 是矩阵变量，求Td()d X αX ；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求kk A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组d d (0)xAx t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，508316203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，0111x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求Ate ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax =312312111x x x x x x =⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设1113A ⎫=⎪⎭求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。
五（10分） 设(0,,2)TnA R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2()tr()m A λλλ=-；（2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ⨯∈，（1）证明rank()n I A A n r +-=-；（2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-∀∈。
七（10分）证明矩阵2121212311122222224333333644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
八（15分） 设A 是可逆矩阵，11,B A Aαβ-=-=（这里矩阵范数都是算子范数）， 如果βα<，证明（1）B 是可逆矩阵；（2）11B αβ-≤-；（3）11()B A βααβ---≤-。
矩阵论考博题选
设矩阵()n n ij A a C ⨯=∈满足（i ）A 是非奇异矩阵。
（ii ）11diag(,,)nn D a a = ，1B I D A -=-，证明()1B ρ< 证明（i ）反证。
假设A 是奇异矩阵（即0A =），则0Ax =有非零解：12(,,,)T n x x x x = 。
设1max 0k i i nx x ≤≤=≠，由10nkjj j ax ==∑，得1nkk k kj j j j ka x a x =≠=-∑，两边取绝对值又得111nnnk kk kj j kkjkk kj j j j j kj kj kx a a x x aa a ===≠≠≠≤≤⇒≤∑∑∑这与A 是严格对角占优矩阵矛盾。
故A 是非奇异矩阵。
证毕。
（ii ）11()B I D A D D A --=-=-，B 的特征多项式为11det()det(())det()det(())I B D D A D D D A D λλλ---=+-=+- （1）如果B 的某个特征值10≥λ，则显然0()D A D λ+-也是严格对角占优矩阵。
由结论（i ），0d et (())0D A D λ+-≠。
把式（1）中λ换成0λ，左边等于零，右边不等于零，矛盾。
从而B 的任一特征值1λ<，即()1B ρ<。
A 是非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()g λ使得()g A O =。
证明 设A 的特征多项式为11100()((1))n n n n f I A a a a a A λλλλλ--=-=++++=-由Hamilton-Cayley 定理，()f A O =。
必要性：如果A 是非奇异的，则00a ≠，取()()g f λλ=，即得证。
充分性：设11100()(0)m m m g a a a a λλλλ--=++++≠ ，且1110()m m m g A A a A a A a I O --=++++=移项121101()m m m A A a A a I I a ---⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭，说明A 可逆。
东南大学考博矩阵论复习题
2011矩阵论复习题1.设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为yx y x ⋅=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为kx x k =⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为),(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为)2)1(,(2121x k k kx kx x k −+=⊗问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim .4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim .5.设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(ji j T −=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵;2)若j i e −=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@ ，收到后立即删除，谢谢!6.设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T −=++)(i k j T =+)(kj i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵;2)求T 的零空间和像空间的维数.7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足21321)32(y y x x x T +=++12323(24)T x x x y y ++=+31321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵;2)求)(1y T 在基(I)下的坐标.8.在线性空间)(3R P 中321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=32321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性.9.在22R ×中求由基(I)12101A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠20122A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠32112A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41312A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠到基(II)11210B ⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠21111B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠31211B −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠41101B −−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的过渡矩阵.10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=−1(1,1,1,1)β=−2(1,1,3,7)β=−设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.11.在)(2R P 中,对任意的)()(),(2R P x g x f ∈定义内积为∫=10)()())(),((dx x g x f x g x f 若取)(2R P 的一组基},,1{2x x ,试用Schmidt Gram −正交化方法,求)(2R P 的一组正交基.12.求矩阵10002i A i +⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的奇异值分解.13.设A 为n 阶实矩阵,证明A 可表示为一对称矩阵和一反对称矩阵之和.(提示:若A A T =,称A 为对称矩阵。
10-11(1)-10级-矩阵论试题与答案
参考答案‘1 0 0、一(15 分〉、设 A= 0 3 1 ,- b(1)求可逆矩阵P使得P'AP=J ,其中丿为A的Jordan标准形；(2)计算0；(3)求微分方程组斗卩=Ax(t), x(0) = 的解。
解：(1) |27-4| = (2-1)(2-2)2‘1 0(P21 — A= 0 —1 -1 , rank(2/ — A) = 2, dim N(2/ — A) = 3 — 2 = 1 w 1 1 > 故A的Jordan标准形为<1 、J= 2 1<1 、记P = [a^a2,a3],由P~l AP = J = 2 1 得1 2丿Aa x = a x T r 0、了Aa2 = 2a2=> «)=0 ,0 =J 1 ,巾= 0Aa, =G2+ 2a30 、一1丿1‘1 0 0、p =0 1 0 (不唯一)9P-}AP = J = 2 11°-1 b < J （2）根据te严=p e J,p-10 (T 2 、0 0、'e!0 0 0 1 0 e" te210 1 0 = 0 e"(l+f) te21-1 1/ X e21z1 b 0 -te2'戶(1-»(3) x(t) = e At x(0) = e2t二（15分人设51 0、0A = 1 2 1 ,b =1<0 1 1> kb（1）求A的满秩分解A = FG,（2）求A的广义逆矩阵?r：（3）求Ax=b的最小2—范数最小二乘解X”。
(2)fl2(3) x Ls. = A'b = — 29br (1 o -n1 2'0 1 0 ,<0 1> \ /FG（不唯一）解：(1) A =5三（15分人设6? =（q卫2卫3“妇）「是给左的常向咼，X=（勺）2站是矩阵变量, 计算d（“）T和d（X叫dX dX解由Xa =(a}x n +a2x}2 +。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
矩阵论试题(2011级硕士试题)一、(10分)设函数矩阵 ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()⎰tdt t A 0和(()⎰20t dt t A )'。
解：()⎰t dt t A 0=()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰tttt tdt tdt dt t dtt 00sin cos cos sin =⎪⎪⎭⎫⎝⎛---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()⎰2t dt t A )'=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅22222sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1202α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1013α变为基 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0111β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2303β(1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ；(2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。
解：(1)不难求得：()2111ααβασ-==()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-== 因此σ在321,,ααα下矩阵表示为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=110211111A(2)设()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321,,k k k αααξ，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321111021101321k k k解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。
()ξσ在321,,ααα下坐标可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛133223*********1111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6151941001111110194101A()ξσ在基321,,βββ下坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---94101332230111111011332231A三、(20分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301010200A ，求At e 。
中南大学矩阵论考试试题及参考答案
中南大学2010年秋季硕士研究生《矩阵论》考试试题考试形式：开卷 时间：120分钟 总分100分姓名 学号一、 (16分) 已知3阶Hermite 矩阵A 的特征值为1，2，2，且()(),0,1, 1,0,TTi i ξη==是A 的属于特征值2的两个相互正交的特征向量． 1.(10分) 求A ；2.(6分) 求A 的不变因子与最小多项式．二、(20分) 对任何()C ij n nA a ⨯=∈，定义111n nij m i j Aa ===∑∑．1.(8分) 证明1m ⋅是Cn n⨯上一种矩阵范数；2.(6分) 证明1m ⋅与向量∞-范数相容； 3.(6分) 证明1m ⋅与矩阵范数m ∞⋅等价，其中1,max ij m i j nAn a ∞≤≤=⋅．三、(20分) 设020i A i ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭． 1.(6分) 验证A 是否为收敛矩阵； 2.(6分) 判断矩阵幂级数()1012kk kk ∞+=-∑的敛散性；3.(8分) 求Ate ．四、(14分) 设113242212A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．求A 的QR 分解．五、(15分) 设1211141111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭．利用特征值隔离法和盖尔圆定理证明：A 的三个特征值全为实数，且分别位于实数区间()()0.5, 2.5, 2.5, 5.5 -和[]10, 14内．六、（15分）设1121, 1101A b -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．1. （8分）求A 的全部{}1逆；2. （7分）利用{}1逆判断Ax b =是否有解，并在有解时求其通解．2010年矩阵论试题参考答案一、解. 1．因为A 为3阶Hermite 矩阵，所以有3个相互正交的特征向量，且酉相似于对角形122⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ ． 设A 的属于特征值1的特征向量为()123,,T x x x x =，则, ,x x ξη⊥⊥ 即 131300ix x x ix -+=⎧⎨-=⎩，解得 ()0,1,0, 0Tx k k =≠任意． 将, , x ξη单位化得12301,0, 00p p p ⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．令()12301000,,U p p p ⎛⎪ ⎪ ⎝==，则U 是酉矩阵且122H U AU ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭从而0010112100202200212HU UA ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎝⎭． 2．由A 相似于对角形122⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭知，A 的初等因子为 1, 2,2λλλ---，从而得A 的不变因子为 ()() 123()1,()2, ()12d d d λλλλλλ==-=--， 最小多项式为 ()()3()()12A m d λλλλ==--．二、1．证明． 1）()ij n nA a ⨯∀=∈C，显然有0A =时，10m A=，0A ≠时10m A>．2）(), n nij A a λ⨯∀∈∀=∈C C，111111nnnnij ji j m j m i i Aa aAλλλλ====⋅===∑∑∑∑．3）()(), ij ij n nA aB b ⨯∀==∈C，()11111111111nnnnn n n nij ij ij ij ij ij i j i j i j i m j m m a b a b a A BAb B=========++=≤+++=∑∑∑∑∑∑∑∑．4）()(), ij ij n nA aB b ⨯∀==∈C，1111111nnnnnnik kj ik kji j k i j m k a b a b AB=======≤⋅∑∑∑∑∑∑1111111111nnn n n nn nik kj ikkj i j k k i k j k m m a b a b AB========⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⋅⎝⎭⎝≤⎭⎭∑∑∑∑∑∑∑∑．由定义知1m A是n n⨯C上的矩阵范数．2．证明．()()12, ,,,Tn nn n ij A a x ξξξ⨯∀=∀=∈∈CC ，()11111111111111maxmax max m ma ax max m x x a n nnijnnnij ij jij ij i ni ni n j j j j j j m ni nj i j jj j nj na a AxAa xa a ξξξξξ≤≤≤≤≤≤===≤≤≤∞≤≤≤≤∞=≤===≤⋅≤⋅=⋅≤⋅⋅=∑∑∑∑∑∑所以矩阵范数1m ⋅与向量∞-范数相容．3．对任何()n nij A a ⨯=∈C，121,1,11ax x 1m ma m m nnij ij ij i j ni j nm i j n a A n a AAna ∞∞≤≤≤≤===≤=≤=∑∑所以矩阵范数1m ⋅与m ∞⋅等价．三、解. 1．2222122ii I A iλλλλλ--===+--，故A()A ρ=1()A ρ<，所以A 为收敛矩阵． 2．矩阵幂级数对应的复变量幂级数的收敛半径为()()1112lim212kk k kk r ++→+∞-⋅-==，而()A r ρ=<，故题中的矩阵幂级数绝对收敛．3．设()()()2101,2tet q t t b b λλλλ⎛⎫=++ ⎪⎝+⎭(()(()1010sin sin i b t b t e i b t b t ⎧==+⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩解得()()01 b t b t ==． ()()10c 100.2010Ate b t A b i i t I ⎛⎫⎛=+⎫⎪=+=⎪⎪⎭⎪⎪⎭⎭四、解．记1231132, 4, 2,212a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 先将A 的第一列1a 用Householder 变换化为与1100e ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共线．易得123a =， 11111211232-30=2202a a e a e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令1111213131a e u a e -⎛⎫-⎪==⎪-⎪⎭，31122121232212HI u H u ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=-=，则 ()()11311111132221111222103212210H H a I uu a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1211132411114031113H a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1333221121112210314H a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，从而()()112311112133********H a a a H a H a H a H A ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎝⎭-⎪．再记103b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．则123b =， 113303b -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．令11213101130b v b ⎛⎫- ⎪-⎫⎝⎭==⎪-⎛⎫⎭- ⎪⎝⎭， 221011012011110H H I vv -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22101011H H ⎛⎫⎪-⎛⎫== ⎪⎝ ⎝⎭⎪⎪-⎭， 有2133103433100001010003140H H A R ⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪-⎫ ⎪⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝-⎭ ．令()1122121221121201322110HH HQ H H H H H H ⎛⎫⎛⎫⎪⎪====-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭12233312221321221332123233123--⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪⎪-== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎭⎪⎝-⎪， 则Q 为酉矩阵，且A 的QR 分解为122333221331034333212030303QR A --⎛⎫⎪ ==⎪- ⎪⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝ ⎪⎪⎭⎭- ⎝．五、证明．A 的三个行盖尔圆和列盖尔圆都为：{}{}{}123 122, 42 1 ,2 n n n z G z G z z z G z =∈=∈=-≤-≤≤∈-C C C ． 1G 为孤立的盖尔圆，而2G 与3G 相交．由盖尔圆定理知1G 中有A 的一个特征值，2G 与3G 的并中有A 的两个特征值．对任何0ε>，取 1232, 1d d d ε=+==．令2113,12221412112 1 B DAD d D d d εεεε-⎛⎫ ⎪+-- ⎪⎪==- ⎪+ ⎪⎪-+⎝⎛⎫ ⎪=⎭⎪ ⎪⎝⎭，则B 与A 相似，从而与A 有相同的特征值．B 的三个盖尔圆为：{}12 1242 41, 1, 2n n G z G z z z εε⎧⎫=∈=∈⎨⎬+-≤+-≤+⎩⎭C C 3 1121n z z G ε-≤⎧⎫=∈⎨+⎬+⎩⎭C ．它们是三个孤立的盖尔圆，故由盖尔圆定理知，B 的三个特征值中分别位于这三个盖尔圆中．由于B 为实矩阵，其特征多项式为实系数多项式，从而其特征值如为复数，则必共轭成对出现．注意到 123, , G G G 的圆心都在实轴上， 123, , G G G都关于实轴对称，如果含有复特征值，则其共轭的特征值也在同一个盖尔圆中，与每个孤立盖尔圆中只有一个特征值矛盾．因此，B 的特征值，从而A 的特征值都为实数．综上，A 的特征值分别位于孤立的盖尔圆1G ， 2G和 3G 的实轴上，即位于实数区间 []10, 14，113,522εε⎡⎤-+⎢⎥++⎣⎦ 和11, 2 22εε⎡⎤-+⎢⎥++⎣⎦中．注意到0ε>知，A 的特征值分别位于[]10, 14，()2.5, 5.5 和 ()0.5, 2.5 -中．六、解．1．11221122232100100000000000000110101111110112010000000001010S T I I AI --⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ，11112222111122221011001101001a ab T S ab ab b a b --++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪=-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故A 的全部{}1逆为{}11221122 1 , ab A ab aa b b -++⎛⎫⎪-- ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎭任意． 2．取A 的一个{}1逆()11221112200A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由 ()112211221111211121011011101000AA b b --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知Ax b =有解，其通解为()()()111122221111222121100111201011100000100A b I A A y x y -⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+- 110010100100110001000y -⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1233100100011010110001y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎫ ⎪ ⎪⎪=+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭⎭，3y 任意，或写成110101x k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， k 任意．中南大学2011年秋季硕士研究生《矩阵论》考试试题考试形式：开卷 时间：120分钟 总分：100分姓名 学号一、 (18分) 已知3阶方阵A 的不变因子为()()()()1231, ,6.d d d λλλλλλ===- 1.(6分) 求A 的谱半径()A ρ；2.(6分) 求()lim kk A A →+∞⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ρ；3.(6分) 判断矩阵幂级数()()012kkkk A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑的收敛性.二、(20分) 设a ⋅和b ⋅是n n ⨯C 上的任意两种矩阵范数. 对任何()n n ij A a ⨯=∈C ，定义A =．1.(8分) 证明⋅也是n n ⨯C 上一种矩阵范数；2.(6分) 若v ⋅是n C 上一种向量范数，且a ⋅和b ⋅都与v ⋅相容，证明⋅也与v ⋅相容；3.(6分) 若n n A ⨯∈C 且20A A =≠，证明1a A ≥．三、(20分) 设4332A ⎛⎫=⎪--⎝⎭．1.(6分) 求()TdF x dx ，其中12x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()T F x x A =； 2.(8分) 求sin At ； 3.(6分) 求1cos Atdt ⎰.四、(16分) 设222112222243333644A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 利用Gerschgorin 定理,1.(8分) 证明A 可逆且有3个线性无关的特征向量；2.(8分) 证明A 的特征值全为实数，并求它们所在的实数区间．五、（26分）设101, 1001i A i b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．1.（10分）求A 的奇异值分解；2.（8分）求A 的加号逆A +；3.（8分）利用A +判断Ax b =是否有解，并在有解时求其极小范数解，无解时求其极小范数最小二乘解．2011年矩阵论试题参考答案一、 (18分) 已知3阶方阵A 的不变因子为()()()()1231, , 6.d d d λλλλλλ===- 1.(6分) 求A 的谱半径()A ρ；2.(6分) 求()lim ;kk A A →+∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ρ3.(6分) 判断矩阵幂级数()()012kkkk A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑的收敛性. 解. 1．A 的特征多项式为：()()()()12326I A d d d λλλλλλ==--，故A 的特征值为0, 0, 6, 从而()6A ρ=.2．因为A 的最小多项式()()()36A m d ==-λλλλ无重根（或者A 的初等因子均为一次的，它们是：, , 6-λλλ），从而A 可对角化, 故存在可逆矩阵P 使1006A P P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()10061A A P P A -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ρ， 从而()1100lim lim 00.611kkk k A A P P P P A --→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ρ 3．解法1. 记()AB A =ρ. 则 ()()()01122kkkk k k k k A B A ρ∞∞==⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑. ()() 166A A B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ρρρ，复变量幂级数()12kk kk ∞=-∑的收敛半径 ()()1112lim212kkk k k r +→+∞+-==-, ()B r <ρ, 故矩阵幂级数 ()()012kkkk A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑绝对收敛. 解法2. 记()2AB A =ρ. 则 ()()()0112kkk kk k k A B A ρ∞∞==⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑. ()()112122A A B ρρρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，复变量幂级数 ()01k kk z ∞=-∑的收敛半径 ()()11lim 11kk k r +→+∞-==-, ()B r <ρ, 故矩阵幂级数()()012kkkk A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑绝对收敛. 解法3. ()()()0011 212kkkk k k k k A A A ρ∞∞==⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ ，复变量幂级数()112kk k k ∞=-∑的收敛半径 ()()11112lim 12112kkk k k r +→+∞+-==-, ()A r <ρ, 故矩阵幂级数 ()()012kkk k A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 绝对收敛.二、(20分) 设a ⋅和b ⋅是n n ⨯C 上的任意两种矩阵范数. 对任何()n n ij A a ⨯=∈C ，定义A =．1.(8分) 证明⋅也是n n ⨯C 上一种矩阵范数；2.(6分) 若v ⋅是n C 上一种向量范数，且a ⋅和b ⋅都与v ⋅相容，证明⋅也与v ⋅相容；3.(6分) 若n n A ⨯∈C 且20A A =≠，证明1a A ≥．1．证明． 1）当0A =时，0a b A A ==，故0A =；当 0A ≠时，0, 0,a b A A >>故0A >． 2）, n nA ⨯∀∈∀∈C C λ，A A λλ===⋅．3）, n nA B ⨯∀∈C，记 , ,a a b b x y A B A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 22, ,x A B y ==222 .A B x y x y A B +=≤=++≤=+4）, n nA B ⨯∀∈C，.AB A B =≤≤=⋅由定义知A 是n n⨯C上的矩阵范数．2．证明．, ,n nn A x ⨯∀∈∀∈C C 由已知条件有, ,v a v v b v Ax A x Ax A x ≤⋅≤⋅故,v v Ax A x ≤≤=⋅ 即⋅与v ⋅相容.3．证法1． 2aa a aAA A A =≤⋅，而0A ≠，故 0a A >，从而 1a A ≥.证法2． 2, A A A =∴ 的特征值只能为0或1，而0A ≠，故A 的特征值不全为0，从而 ()()1, 1a A A A ρρ=≥=.证法3．由 2A A = 可得：1k ∀≥ 有 k A A =，故 lim 0kk A A →+∞=≠，因而A 不是收敛矩阵，从而()()1, 1a A A A ρρ≥≥≥. 三、(20分) 设4332A ⎛⎫=⎪--⎝⎭．1.(6分) 求()TdF x dx ，其中12x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()TF x x A =； 2.(8分) 求sin At ； 3.(6分) 求1cos Atdt ⎰.解. 1．()()121243,32F x x x x x =--，()()()()124, 3, 3, 2,F x F x x x ∂∂==--∂∂ 故()()()()12, 4, 3, 3, 2TdF x F x F x dx x x ∂∂⎛⎫==-- ⎪∂∂⎝⎭． 2．()243312I A λλλλ--=+--=，A 的特征值为121==λλ. 设 ()()()()210sin 1t g b t b t λλλλ=-++，则()()()101111 sin sint b t b t d tb t d λλλλλλλ===⎧=+⎡⎤⎣⎦⎪⎨=⎪⎩， 即()()()101 sin cost b t b t t t b t =+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得()()01 sincos cosb t t t t b t t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩． 故()()()104310sin cos sin cos 3201sin 3cos 3cos .3cos sin 3cos At b t A b t I t t t t t t t tt t t tt t t ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+⎛⎫= ⎪--⎝⎭3．解法1. 43132A ==--，A 可逆且12334A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由2知sin13cos13cos1sin 3cos1sin13cos1A +⎛⎫= ⎪--⎝⎭.又 1sin cos d AtAt Adt-=，故 111111000sin cos sin sin 23sin13cos13cos12sin13cos13sin13cos1.343cos1sin13cos13sin13cos14sin13cos1d At Atdt A dt A At A A dt---===--+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰解法2. 用2中同样的方法可算得()43103sin cos 3sin cos sin sin cos ,32013sin 3sin cos t t tt t At t t t t t t t t t t -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而11003sin cos 3sin 2sin13cos13sin13cos1cos .3sin 3sin cos 3sin13cos14sin13cos1t t t t t Atdt dt t t t t t -+--+-+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎰⎰四、(16分) 设222112222243333644A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 利用Gerschgorin 定理,1.(8分) 证明A 可逆且有3个线性无关的特征向量；2.(8分) 证明A 的特征值全为实数，并求它们所在的实数区间．解．1．A 的3个盖尔圆{}()123 2, , , 1, 2, 3C i i G G z i R G G z i =∈-≤=的半径依次为1232221132283315, , 2243394416R R R =+==+==+=. 显然 310kk G=∉，由Gerschgorin 定理1知，A 的3个特征值都不等于0， A A =的3个特征值的乘积0≠，从而A 可逆.因为A 的任意两个相邻盖尔圆圆心的距离为2，而每个盖尔圆的半径都小于1，故A 的3个盖尔圆互不相交，由Gerschgorin 定理2知，A 有3个互异的特征值，从而有3个线性无关的特征向量.2．因为A 为实矩阵，其盖尔圆圆心都在实轴上，故A 的所有盖尔圆都关于实轴对称. 又实矩阵A 的复特征值必共轭成对出现，它们同时位于或同时不位于A 的某一个盖尔圆. 而由1知A 的每个盖尔圆中只有A 的一个特征值，从而A 只有实特征值，它们分别位于A 的3个盖尔圆的实轴上，由此得到A 的3个特征值所在的3个实数区间分别为338815152, 2, 4, 4, 6, 6, 44991616⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 511284481111, , , , , . 44991616⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦同理，A 的3个实特征值也分别位于A 的3个列盖尔圆{}()123 2,, ''''i 'i z G G i G G z R -=∈≤C的实轴上，123, , '''G G G 的半径依次为123222231713111217, , 341224162336'''R R R =+==+==+=. 综合前面的结论可知A 的3个特征值所在的3个实数区间分别为33111117172, 2, 4, 4, 6, 6, 4416163636⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即 5115375199233, , , , , . 441683636⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦五、（26分）设101, 1001i A i b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．1.（12分）求A 的奇异值分解；2.（6分）求A 的加号逆A +；3.（8分）利用A +判断Ax b =是否有解，并在有解时求其极小范数解，无解时求其极小范数最小二乘解．解．1．110221102200Hi i i A A i i i ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， ()22422H iI A A i ---==--λλλλλ， H A A 的特征值为：4, 0, A 的奇异值为：2，()2∑=.由 ()40HI A A x -= 求得HA A 的属于特征值4的特征向量为：1i ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由 ()00HI A A x -= 求得HA A 的属于特征值0的特征向量为：1i -⎛⎫⎪⎝⎭，将这两个特征向量单位化后组成矩阵V得：11i i V -⎫==⎪⎪⎭⎪⎭.取11i V ⎫=⎪⎭，令11111112000i i U AV i -⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎫⎛⎫ =∑=-=⎪⎪ ⎝⎭⎭ ⎝ ⎪ ⎪⎝⎭，00001U ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 由奇异值分解定理知，A 的奇异值分解为02000000000001HA U V⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫∑⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭． 2．解法1. 由1得A 的加号逆为1010*******000001H i i A V U -+⎫⎪⎪⎛⎫-⎛⎫∑⎫⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭101.104i i -⎛⎫= ⎪--⎝⎭解法2. 用初等行变换将A 化成行最简形111000000i i A i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取 ()1, 10F i G i ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭得A 的满秩分解为 A FG =.A 的加号逆为()()()()()1111111110100H H H H A G GG F F F i i i i i i ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1111012210104i i i i ---⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. 3．由10101111110420010i i i AA b i b i +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭知Ax b =无解，其极小范数最小二乘解为0010111101441i i x A b i +⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭.中南大学2012年秋季硕士研究生《矩阵论》考试试题考试形式：开卷 时间：120分钟 总分：100分姓名 学号一、 (16分) 已知4阶方阵A 的特征值为1, 2, 2, 2，且其一阶和二阶行列式因子分别为()()121, 2.D D λλλ==-1.(6分) 求A 的不变因子和最小多项式；2.(4分) 求A 的Jordan 标准形；3.(6分) 求实数t 的取值范围，使cos At 为收敛矩阵.二、(16分) 设a⋅和b ⋅分别是m C 和n C 上的向量范数. 对任何()11, , , , , Tm n m m m n x +++=∈C ξξξξ，定义 a b x u v =+，其中()1, , Tm u = ξξ，()1, , Tm m n v ++= ξξ．1.(10分) 证明⋅是m n +C 上的一种向量范数；2.(6分) 若11122122, , , ,m m m n n m n n A A A A ⨯⨯⨯⨯∀∈∈∈∈C C C C 及, m n u v ∀∈∈C C 有11111111121221212222, , , ,a m a a mb b m a b m b A u A u A v A v A u A u A v A v ≤⋅≤⋅≤⋅≤⋅其中1m ⋅是矩阵1m 范数．证明()()m n m n +⨯+C 上的矩阵1m 范数与上面定义的向量范数⋅相容．三、(18分) 1.(8分)设()ijn nX x ⨯=是矩阵变量，且det 0X ≠．求()1det TdX dX-； 2.(10分)设1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭．求矩阵幂级数()()12211121!k k k k A t k --+∞=--∑的和．四、(14分) 设112010232A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．1.(8分)求矩阵A 的Crout 分解；2. (6分)利用Crout 分解求方程Ax b =的解，其中()1, 1, 1Tb =-.五、(14分) 利用Gerschgorin 定理及特征值的隔离方法判断矩阵1211621111A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否有小于零的特征值，并估计A 的每个特征值的分布范围．六、（22分）设101101, 102112A D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1.（8分）求A 的全部{}1逆；2.（8分）求A 的加号逆A +；3.（6分）判断矩阵方程AX D =是否有解．2012年矩阵论试题参考答案一、(16分) 已知4阶方阵A 的特征值为1, 2, 2, 2，且其一阶和二阶行列式因子分别为()()121, 2.D D λλλ==-1.(6分) 求A 的不变因子和最小多项式；2.(4分) 求A 的Jordan 标准形；3.(6分) 求实数t 的取值范围，使cos At 为收敛矩阵.解. 1．因为()4D λ即为A 的特征多项式，且A 的特征值为1, 2, 2, 2，故()()()3412D λλλ=--. 再由行列式因子与不变因子的性质与相互关系知()()232D λλ=-，从而A 的不变因子为()()()()()()123412, , 2,12 d d d d λλλλλλλλ====----，A 的最小多项式为 ()()()()412A m d λλλλ==--．2．由A 的不变因子知，A 的初等因子为, , 12 2,2λλλλ----，故A 的Jordan 标准形为 1222J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 3． cos At 的特征值为 cos , cos 2, cos 2, cos 2t t t t ，谱半径为(){cos max cos ,At t ρ= }cos 2t . cos At 为收敛矩阵当且仅当其谱半径小于1，即cos 1, cos 21t t ≠≠，故实数t 的取值范围是：,2k k t ππ≠.二、(16分) 设a⋅和b ⋅分别是m C 和n C 上的向量范数. 对任何()11, , , , , Tm n m m m n x +++=∈C ξξξξ，定义 a b x u v =+，其中()1, , Tm u = ξξ，()1, , Tm m n v ++= ξξ．1.(10分) 证明⋅是m n +C 上的一种向量范数；2.(6分) 若11122122, , , ,m m m n n m n n A A A A ⨯⨯⨯⨯∀∈∈∈∈C C C C 及, m n u v ∀∈∈C C 有11111111121221212222, , , ,a m a a mb b m a b m b A u A u A v A v A u A u A v A v ≤⋅≤⋅≤⋅≤⋅其中1m ⋅是矩阵1m 范数．证明()()m n m n +⨯+C 上的矩阵1m 范数与上面定义的向量范数⋅相容．证明．1． 1）非负性. 当()11,, , , , 0Tm m m n x ++== ξξξξ时，()1, , 0Tm u == ξξ，()1, , 0T m m n v ++== ξξ，故0a b x u v =+=. 当()11, , , , , 0Tm m m n x ++≠= ξξξξ时，0u ≠或0v ≠，故0au>或0b v >，从而0a b x u v =+>．2）齐次性. ()11, , , ,, , Tm m m n m nx λξξξξ+++∀∈∀=∈ C C，()a b a b a bx u v u v u vx λλλλλλλ=+=+=+⋅=⋅⋅⋅．3）三角不等式.()()1111, , , , , , , , , , , TTm m m n m m m n m n x y ξξξξηηηη+++++∀==∈ C ，记()()()()11112121, , , , , , , , , , , TTTTm m m n m m m n u v u v ξξξξηηηη++++==== ，则12121212aba ab bu u v v u v x y u y v x =+++++++=≤+．由定义知⋅是m n +C 上的一种向量范数． 2．()()()11, , , , , , m n Tm m n m n m m n A x ξξξξ+⨯++++∀∀∈=∈ CC ，将A 和x 分块为11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭及u x v ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中11122122, , , ,m m m n n m n n A A A A ⨯⨯⨯⨯∈∈∈∈C C C C mu ∈C ，n v ∈C ，则1112111221222122A A A u A v u Ax A A A u A v v +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1112212211122122a b a a b b A u A v A u A v A u A v A u v A A x =+++≤+++111111122122m m m m a b ba u u A v vA A A ⋅+⋅+⋅+⋅≤()()11111111211222aa m m m m bbm m AA u u vA vA AA⋅+⋅⋅+=+⋅+≤()11,bm m a v u x AA=+=⋅⋅所以()()m n m n +⨯+C 上的矩阵范数1m ⋅与上面定义的向量范数⋅相容．三、(18分) 1.(8分)设()ijn nX x ⨯=是矩阵变量，且det 0X ≠．求()1det TdX dX-； 2.(10分)设1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭．求矩阵幂级数()()12211121!k k k k A t k --+∞=--∑的和． 解. 1．()111det , det det n nik ik ij ij ik ik k k jX X x X x X x X X -=≠===+∑∑，其中ik X 是ik x 的代数余子式，()det ij ijX X x ∂=∂，从而()()()()122det 11det det det det ij ijij ijX X X x x Xx X X -∂∂∂⎛⎫==-⋅=-⎪∂∂∂⎝⎭， ()()()()111*22de 1det de t 1de det t t TTij i Tj d X X dX X X X X x X X ---⎛⎫⎛⎫∂ ⎪==-=-= ⎪ ⎪- ⎪∂⎝⎭⎝⎭． 2．()()()()11221221111si 1121!!n 21k k k k k k k k A t A t A A At k k ----+∞+∞==---==--∑∑.()210111I A λλλλ--==---. 设()()()()120sin ,1b t b q t t t λλλλ=-++．在该式及对其两边关于λ求导后的式子中，将1λ=代入得()()()101sin ,cos ,t b t b t t t b t =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得()()01sin cos co s , b t t t t b t t t =-=． 从而()()()101010cos sin cos .110sin 0sin cos sin 1t t t t tAt b t A b t I t t t t ⎛⎫=+⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎪⎭⎪⎭⎝()()()()112212211111011sin 1121!21!sin 0cos sin k k k k k k k k A t A t A A At k k t t t t ----+∞+∞=-=--⎛⎫===⎪-⎛-⎝⎭⎫⎪⎝⎭∑∑ sin 0sin cos sin t t t t t +=⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、(14分) 设112010232A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．1.(8分)求矩阵A 的Crout 分解；2. (6分)利用Crout 分解求方程Ax b =的解，其中()1, 1, 1Tb =-.解．1.设111213212223313233001001001l r r A l l r ll l ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由Crout 分解的紧凑计算格式得 11111l a ==, 212131310, 2l a l a ====, 1312121311111, 2,a a r r l l ==== 222221121,l a l r =-=- 323231121,l a l r =-= ()232321132210,r a l r l =-= 3333311332232,l a l r l r =--=-故A 的Crout 分解为111201102120010000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎝-⎭-⎪⎭．2. 由 123101212001011y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭--⎝ 解得123111y y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝-⎪⎝⎭⎭， 再由 123101*********x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得123011x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝-⎪⎝⎭⎭， 即方程Ax b =的解的解为 011x ⎛⎫ =-⎪⎪ ⎪⎝⎭．五、(14分) 利用Gerschgorin 定理及特征值的隔离方法判断矩阵1211621111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否有小于零的特征值，并估计A 的每个特征值的分布范围．证明．1. A 有小于零的特征值.A 的三个行盖尔圆为{}{}{}123 , 136,311 2 n n n G z G z z z z G z +-=∈=∈-≤=∈≤≤C C C ，三个列盖尔圆为{} {} {}123 , 126,311 3 n n n Gz G z z z z G z +-=∈=∈-≤=∈≤≤C C C ． 1G 与 1G 均为孤立的盖尔圆，且 11G G ⊂，而2G 与3G 相交， 2G 与 3G 也相交．由盖尔圆定理知 1G 中有A 的一个特征值，() ()2323G G G G 中有A 的两个特征值． 令111115522251611521, 1215B D D AD -⎛⎫ ⎪ ⎪===⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪， 则1B 与A 相似，从而与A 有相同的特征值．1B 的三个列盖尔圆为{}1112, ,41665 n B n B z z G z G z ⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭-≤+≤C C139 2 11n B z z G -⎧⎫=∈⎨⎩⎭≤⎬C ． 11B G仍为孤立的盖尔圆．由盖尔圆定理知 11B G 中仍有且仅有1B 的一个特征值. 由于1B 为实矩阵，其特征多项式为实系数多项式，从而其特征值如为复数，则必共轭成对出现．注意到 11B G的圆心为()1, 0-，在实轴上， 11B G 关于实轴对称，如果含有复特征值，则其共轭的特征值也在 11B G 中，与每个孤立盖尔圆中只有一个特征值矛盾．因此，含于 11B G中的该特征值必为实数，即位于实轴上．再注意到 11B G 的半径为45知，该特征值位于闭区间91, 55⎡⎤--⎢⎥⎣⎦中，故1B ，从而A ，有一个小于零的特征值．2. 令122228433324351, 31161114B D D AD -⎛⎫ ⎪ ⎪===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪，则2B 与A 相似，从而与A 有相同的特征值．2B 的三个行盖尔圆为{}123117146114, , 4 n n n G z G z G z z z z ⎧⎫⎧⎫=∈=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭≤≤+-⎭-≤⎩C C C ， 它们是3个孤立的盖尔圆，从而每个盖尔圆中各有2B ，即A 的一个特征值．由与上面相同的推理知，每个特征值均为实数，都位于实轴上，故A 的特征值分别位于[]5, 3-，1335, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦和 3751, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中．综合1.的结果知，A 的3个特征值分别位于91, 55⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，1335, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和 3751, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中．六、（22分）设101101, 102102A D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1.（8分）求A 的全部{}1逆；2.（8分）求A 的加号逆A +；3.（6分）判断矩阵方程AX D =是否有解．解．1．3221010101210111111111100002000001000000000000000000000AI TI I S ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝--⎭- ， 1001010101201001010121211a a a a a T S b b b b b ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭，故A 的全部{}1逆为{}12 , 112a a a b a A b b b ⎧⎫-⎛⎫⎪⎪=⎨⎬ ⎪--+⎝⎭⎪⎪⎩⎭任意． 2．A 为列满秩矩阵，故A 的加号逆为111010210252102010110112201121A --+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22212221021250116516-⎛⎫⎛⎛⎫⎪-⎫== ⎪⎪--⎝⎝-⎝⎭⎭⎭． 3. 在A 的{}1逆的集合{}1A 中取A 的一个{}1逆()1A =100010⎛⎫⎪-⎝⎭．由教材定理 6.5知AX D =有解的充要条件是()1AA D D =．计算得()1101110011110110010101021022100212100010AA D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎛⎫⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭≠-， 故矩阵方程AX D =无解．中南大学2013年秋季硕士研究生《矩阵论》考试试题考试形式：开卷 时间：120分钟 总分：100分姓名 学号一、 (16分) 设A 为3阶Hermite 矩阵，||12A =−, ()1tr A =，且()1, 0, 2T i 为()40A I x ∗−=的一个解，其中I 为单位矩阵, A ∗为A 的伴随矩阵.1. (8分) 确定t 的取值范围，使ln()I At +有定义；2. (8分) 求A .二、(16分) 记所有形如00A M B =的矩阵（其中,A B 分别为m 和n 阶方阵）的集合为Ω．对每个00A MB Ω=∈（其中()ij m m A a ×=，()pq n n B b ×=），定义 1,11||||||max ||m mijpq p q ni j M an b ≤≤===+⋅∑∑．1.(10分) 证明M 是Ω上的一种矩阵范数；2.(6分) 证明M 与C m n +上的向量1范数相容．三、(18分) 1.(8分) 设()ijm nA a ×=是给定的矩阵，()ijn mX x ×=是矩阵变量，且()()f X tr XA =．求()Tdf X dX； 2.(10分)设2102A − =．求||A e 及AtAe ．四、(14分) 设313010431A=−−．求矩阵A 的QR 分解．五、(16分) 利用Gerschgorin 定理及特征值的隔离方法判断矩阵1.511121219A −=是否可逆，并估计A 的每个特征值的分布范围．六、（20分）设1001010, 02100A b=−=．1.（12分）求A 的加号逆A +；2.（8分）利用加号逆判断方程Ax b =是否有解，并在有解时求其极小范数解，无解时求其极小范数最小二乘解．2013年矩阵论试题参考答案一、 (16分) 设A 为3阶Hermite 矩阵，||12A =−, ()1tr A =，且()1, 0, 2Ti为()40AI x ∗−=的一个解，其中I 为单位矩阵, A ∗为A 的伴随矩阵. 1. (8分) 确定t 的取值范围，使ln()I At +有定义； 2. (8分) 求A . 解 1. 设A 的三个特征值为123,,λλλ.依题意有12312312,,1λλλλλλ=−++=.记()11, 0, 2,T iξ= 则()140A E ξ∗−=，()11240E A ξ−−=，即()130E A ξ−−=，从而3−是A 的一个特征值，1ξ是对应的特征向量.代入前面的式子可算得A 的另两个特征值为2, 2. 所以()3,()3||A At t ρρ==. 故使ln()I At +有定义的t 须满足()3||1At t ρ=<， 即1||3t <. 2. 由Hermite 矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交知，特征值2所对应的特征向量与1ξ正交，从而满足方程1320z iz −=，由此解得特征向量()()230, 1, 0, 2, 0, 1T Ti ξξ==. 将三个特征向量正交化单位化得酉矩阵00100U =， 满足322H U AU − =，从而0033102201020100202220200H i A U U i −−===−−.二、(16分) 记所有形如00A M B= 的矩阵（其中,A B 分别为m 和n 阶方阵）的集合为Ω．对每个00A M B Ω=∈（其中()ijm mA a ×=，()pqn nB b ×=），定义1,11||||||max ||m mijpq p q ni j M an b ≤≤===+⋅∑∑．1.(10分) 证明M 是Ω上的一种矩阵范数；2.(6分) 证明M 与C m n +上的向量1范数相容．证明 1．易知1||||||||||||m m M A B ∞=+，1||||,||||m m A B ∞都是矩阵范数．1）非负性. 当0M =时，必有0,0A B ==，从而1||||||0||||0||0m m M ∞=+=. 当0M ≠时，必有0A ≠或0B ≠，从而1||||0m A >或||||0m A ∞>， 1||||||||m M A =||||0m B ∞+>．2）齐次性. 0 0,C A M B λ∀∈∀=∈Ω，有00A M B λλλ = ，()111m m m m m m M A BA BA BMλλλλλλλ∞∞∞=+=⋅+⋅=⋅+=⋅．3）三角不等式. 12121200,00A A M M B B ∀==∈，12121200A A M M B B ++= +，111121212121212m m m m m m M M A A B B A A B B M M ∞∞∞+=+++≤+++=+．4）乘积不等式. 12121200,00A A M M B B ∀==∈，12121200A A M M B B=， 1111212121212m m m m m m M M A A B B A A B B ∞∞∞=+≤+()()11112212m m m m A B AB MM ∞∞≤++=⋅．由定义知M 是Ω上的一种矩阵范数．2．00A M B ∀=∈ Ω，12C m n x x x + = ∈ ，其中12,C C m nx x ∈∈， 12Ax Mx Bx =．由1||||,||||m m A B ∞都与向量1范数相容得1112121111111m m m m Mx Ax Bx A x Bx A x Bx ∞∞=+≤+≤+()111m m A BxM x ∞=+=⋅，所以Ω上的矩阵范数M 与C m n +上的向量1范数相容．三、(18分) 1.(8分) 设()ijm nA a ×=是给定的矩阵，()ijn mX x ×=是矩阵变量，且()()f X tr XA =．求()Tdf X dX； 2.(10分)设2102A − =．求||A e 及AtAe ． 解 1．()1111()n mn m kl lk ij ji kl lkij ji k l k l f X tr XA x a x a x a x a =======+− ∑∑∑∑，()ji ij f X a x ∂=∂，故 ()()()()TT ji ijTij df X f X a a A dX x∂====∂．2． ()221202I A λλλλ−−==−−，故A 的特征值为2,2，A e 的特征值为22,e e ，故224||.A e e e e ==再设()()()()210,2te q t b t b t λλλλ=−++．在该式及对其两边关于λ求导后的式子中，将2λ=代入得()()()210212,,tteb t b t te b t =+ = 解得 ()()222012, tttb t e te b t te =−=．从而()()()2222210221102.02010t t Att t t t e te e b t A b t I te e te e −− =+=+−=2222222212202002t t tt t At t t e te e te e Ae e e −−−− ==.四、(14分) 设313010431A=−−．求矩阵A 的QR 分解．解 用Givens 变换求A 的QR 分解．A 的第一列为304，取 133405501043055T = −得 133403135315501001001043431013055T A=−=− −− −． 13T A 的右下角的2阶矩阵第一列为11− ，再取2310000T=得23131005315310010*******T T A R=−= −3． 令132333410005550100043040555H HQ T T−===， 则Q 为酉矩阵，且A 的QR 分解为35315004005A QR== ．五、(16分)利用Gerschgorin定理及特征值的隔离方法判断矩阵1.511121219A−=是否可逆，并估计A的每个特征值的分布范围．解A的三个行盖尔圆为：{}{}{} 1231.52,,2293 n n nzG z G z zz G z=∈=∈=+≤−≤≤∈−C C C．三个列盖尔圆为：{}{}{} 1231.5,,32292 n n nG z Gz z z G z z′′′=∈=∈+≤−≤−≤=∈C C C．3G与3G′都为孤立的盖尔圆，且33G G′⊂，而1G与2G相交，1G′与2G′也相交．由盖尔圆定理知3G′中有A的一个特征值，1G与2G的并中有A的两个特征值．取12391,,4d d d===．令112341.5194,12999924dD d B DADd−−===，则B与A相似，从而与A有相同的特征值．B的三个行盖尔圆为：1231313271.52, 99,94 n n nG z G zz z G z z+≤−=∈=∈=∈≤−≤C C C1G是一个孤立的盖尔圆， 2G与 3G相交，由盖尔圆定理知， 1G中有A的一个特征值，2G与 3G的并中有B的两个特征值．而 1G及 2G与 3G的并都不包含原点，故B的三个特征值中都不等于零，B可逆，从而A也可逆．由于A，B都为实矩阵，其特征多项式都为实系数多项式，从而其特征值如为复数，则必共轭成对出现．注意到123,,G G G 及 123, , G G G 的圆心都在实轴上，123,,G G G 及 123, , G G G都关于实轴对称，如果含有复特征值，则其共轭的特征值也在同一个盖尔圆中，与每个孤立盖尔圆中只有一个特征值矛盾．因此，B 的特征值，从而A 的特征值都为实数．综上，A 有两个特征值分别位于孤立的盖尔圆 1G 和3G ′的实轴上，即位于实数区间 531, 1818 −− 和[]7, 11中．而另一个特征值位于 () ()123123\\G GG G G G G G 的实轴上，即位于155, 2, 6, 21899 −=中．所以，A 的特征值分别位于区间531, 1818 −− ，5, 29 和 []7, 11中．六、（20分）设1001010, 02100A b=−=．1.（12分）求A 的加号逆A +；2.（8分）利用加号逆判断方程Ax b =是否有解，并在有解时求其极小范数解，无解时求其极小范数最小二乘解．解 1. 100100010010, 210000A=−→A 的满秩分解为101000101021A=−，1101010100100100010101010010010212121HH HH HA −+ −−− 1110101052102221021010101220112501160000−−− = −−−。
2291博士研究生《矩阵论和随机过程》科目
2291 博士研究生《矩阵论和随机过程》科目入学考试大纲第一部分考试说明一、考试性质博士生入学考试是为华中科技大学招收博士研究生而设置的。
其中，“矩阵论和随机过程”主要是针对报考计算机类的考生而设置的。
该课程的评价标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的专业理论素质并有利于招收单位和导师择优选拔。
考试对象为参加博士生入学考试的硕士毕业生，以及具有同等学历的在职人员。
二、评价目标1．掌握矩阵论和随机过程的基本知识、基本理论和基本方法。
2．用矩阵论和随机过程的算法和结论计算或证明相关的命题。
三、考试形式和试卷结构1．考试形式：闭卷、笔试2．答题时间：180分钟3．试卷题型：计算题、证明题4．各部分内容的考试比例：矩阵论60%，随机过程40%四、参考书目1．《高等工程数学》，于寅，华中理工大学出版社。
2．《随机过程》，刘次华，华中理工大学出版社。
第二部分考察要点一、矩阵论部分1．基础知识：矩阵的乘法、矩阵的初等变换、线性空间和线性子空间、线性变换、向量的相关和无关、向量的正交化2．特征值和特征向量线性变换的特征值与特征向量、Jordan标准型3．矩阵分析和矩阵函数矩阵函数的微分和积分、向量和矩阵的范数、矩阵函数及计算、矩阵的幂级数二、随机过程部分1．基础知识随机变量及其分布、随机变量的数字特征2．随机过程的概念与基本类型随机过程的基本概念、随机过程的分布律和数字特征、几种重要的随机过程3．泊松过程泊松过程的定义、泊松过程的基本性质、非齐次泊松过程、复合泊松过程4．马尔可夫链定义、转移概率、状态分类、状态空间的分解、转移概率的渐进性质、平稳分布5．平稳随机过程定义、联合平稳过程及相关函数的性质、平稳过程的各态历经性6．平稳过程的谱分析平稳过程的谱密度、谱密度的性质。
矩阵理论试题
−7 4 −4 −0.7778 0.4444 −0.4444 1 则 H 为 4 8 1 = 0.4444 0.8889 0.1111 9 −4 1 8 −0.4444 0.1111 0.8889
敛 Gauss-Seidel 迭 代 G=(D − L)
-1
0 0 0.5 0 0.5 ， 显 然 ρ (G ) < 1 ， 所 以 U, 为 0 0 −0.25 0
Gauss-Seidel 迭代收敛
6、 表格 50 60 65 体重 1.2 1.3 1.4 身高 （1） 计算协方差矩阵以及体重与身高的相关系数 （2） 求出此数据的主成分 （3） 写出 Matlab 程序 解：协方差矩阵
∈ P2(x) ，
d 2 ( p ( x) + q ( x)) d ( p ( x) + q ( x)) + (1 + x) − ( p ( x) + q ( x)) 2 dx dx (1 − x + x 2 ) d 2 p( x) dp ( x) + (1 + x) − p( x) 2 dx dx
其
中
0 0.4 0 = D 0 = 0.4 0 , L 0 0 0.4
−1
0 0 0 0 0 0 ,U = −0.2 0 0
0 0.2 0 0 0 0.2 0 0 0
0.5 0 0 0 0.5 ，显然 ρ (G ) < 1 ，所以 Jacobi 迭代收 Jacobi 迭代的 G=D (L +U)，为 0 −0.5 0 0
07-08(1)-07级-矩阵论试题与答案
一（20分） 设矩阵10112043A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， （1）求A 的初等因子组； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使得J AP P =-1； （4）求k A 。
答案：（1）21111120(2)(2)(1)4343I A λλλλλλλλλ+-⎡⎤+-⎢⎥-=--=-=--⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦观察得，21231,1,(2)(1)D D D λλ===--因此，初等因子组为2(1),(2)λλ-- 5分 （2）1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10分 （3）设123[,,]P ααα=，由1P AP J -=，得1121233(1)(2)2(3)A A A ααααααα=⎧⎪=+⎨⎪=⎩由（1），1()0I Aα-=，解得1112α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中20110.05110010.54200I A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由（2），21()I A αα-=-，解得2011α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中12011100.50.5[,]1101010.50.542200I A α----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦由（3）3(2)0I A α-=，解得3010α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中30110021000014100I A -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1100100111,201210111P P -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦15分 （4）1001002kkk J⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12102122124021k k k kk k kA PJ P k k k k --+⎡⎤⎢⎥==+---+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦20分二（20分） 设微分方程组0d d (0)xA x tx x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，其中311202113A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）求A 的最小多项式)(λA m ； （2）求A te； （3）求该方程组的解。
矩阵论试题及答案可编辑全文
2006矩阵论试题答案一．填空（每题4分，共40分）1． 设−−=41311221222832A ，则A 的值域4(){,R }R A y y Ax x ==∈的维数=)(dim A R 2 .2． 设A 的若当标准型−−−=10000011000001100000020000012000002J ，则A 的最小多项式=)(λψm 32(1)(2)λλ+−.3． 设110430102A −=−，则()5432333h A A A A A A =−++−=110430102−− −−. 4． 设埃尔米特阵为 −−+=2005111i i i i A ， 则矩阵A 为 正定的 埃尔米特阵.5． 在3R 中有下列两组向量：()13,1,2Tα=−−，()21,1,1Tα=−，()32,3,1Tα=−； ()11,1,1Tβ=，()21,2,3Tβ=，()32,0,1Tβ=，则由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵=P 619113421270−−−−−− −− .6．设33CA ×∈，21332211{}ij m j i A a ===∑∑，H AA 的非零特征值分别为15 ,5 ,3，则=2mA.7． 设12102101, 11111137A B −== −−，12,V V 分别为齐次线性方程组 0Ax =，0Bx =的解空间，则=)dim(21V V ∩ 1 .8． 设1(1)1(1)121()321nn n n n n n A n n n n +−−=++ −，则lim n n A →∞=1311e .9． 设213121202A −=，则A 的 LDU 分解为 A =100121012/51 2001123205200115004/5001− − − 10．设 −=5221A ，=0242B ，则2448204048102040100A B−−−⊗=. 二．（10分）设T 为n 维欧氏空间V 中的线性变换，且满足：),(),(Ty x y Tx −=，试证明：T 在标准正交基下的矩阵A 为反对称阵（T A A −=）证明：设n ααα,,,21 为V 的标准正交基，n n ij a A ×=}{，下证：ji ij a a −=： 由=),,,(21n T ααα A n ),,,(21ααα 知n ni i i i a a a T αααα+++= 2211，n nj j j j a a a T αααα+++= 2211， ),(),(j i j i T T αααα−=；=),(j i T ααji j n ni i i a a a a =+++),(2211αααα ， =),(j i T ααij n nj j j i a a a a =+++),(2211αααα , 所以：ji ij a a −=.三．（10分）在复数域上求矩阵−−−=7137341024A 的若当标准形J ，并求出可逆矩阵P 使得J AP P =−1.解： A 的若当标准形210021002J=. 令123(,,)P p p p =，则有112123232,2,2Ap p Ap p p Ap p p ==+=+;1213262100621062104170,417,4173150315315p p p p p −−−−=−=−= −−−解得：123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,1)T T Tp p p ===− , 201112101P=−.四. （10分）已知 =654321x x x x x xX ，162534()sin()x x f X e x x x x =++，求dXdf . 解答：16161234652543225516cos()cos()x x x x ff f x x x df dX ff f x x x x e x x x x x x x x x e ∂∂∂∂∂∂== ∂∂∂ ∂∂∂. 五.（10分）已知311202113A −=−−−，求4sin()A π，Ae .解：3||(2)E A λλ−=−，A 的最小多项式2)2()(−=λλϕ .待定系数一：令24sin ()(2)q a b πλλλλ=−++，则21,0a b b +==,4sin()A E π=;令2()(2)e q a b λλλλ=−++，则222,a b e b e +==.222211212112A e e e E e A −−=−+=− −−.待定系数二：令324sin ()(2)q a b c πλλλλλ=−+++，则22222414018,8,32216a b c b c a b c c ππππ ++=+=⇒=−==− =− ; 224sin()(44)32A E E A A E ππ=−−+=.令32()(2)e q a b c λλλλλ=−+++，则2222222414,,22a b c e b c e a e b e c e c e++= +=⇒==−== ; 2221()2211212112A e e E A A e −−− =− +−−= .六.（10分）设−=01200110A ，求A 的奇异值分解. 解答一：=5002A A H ，A 的奇异值为5,2; 00Σ= , 25H HV A AV = ，1001V =; 1100100100200100U AV −−− =Σ==; 00000000U− =; 0000010001 0 000 0 000A=.解答二：=5002A A H ，那么A 的奇异值为5,2，A A H对应于特征值5，2的标准特征向量为 = =01,1021x x ，=0110V ; 再计算H AA 的标准正交特征向量，解得分别与5，2，0，0对应的四个标准正交特征向量=0520511υ， −=2102102υ，−=0510523υ，=2102104υ，−−=210210051052210210052051U ; 所以=∆=HV UA 0000000000000110.七．（10分）设n n i A ×∈≠C 0，2rank rank i i A A =),,2,1(n i =，且当i j ≠时),,2,1,(0n j i A A j i ==.试用归纳法证明存在同一个可逆阵n n P ×∈C 使 得对所有的i ),,2,1(n i =有1−=P PE a A ii i i ，其中C ∈i a . 证明：1n =时，命题显然.假设n k ≤时，命题成立. 当1n k =+时，设1rank A r =.由若当分解11111000D A P P − =，其中1C r rD ×∈可逆; 当2,,j n = 时，由110j j A A A A ==可得1(1)(1)1100, C 0n n j jj A P P B B −−×− =∈(直接推出的j B 为()()n r n r −×−的) 再由0i j A A =得0i j B B =(,,2,,)i j i j n ≠= ;0j B ≠,2rank rank j j B B =也是明显的.由假设知存在可逆阵(1)(1)C n n Q −×−∈使得1j j jj B a QE Q −=，其中C j a ∈，2,,j n = .此时,再由110j j A A A A ==得到11111111110101010000000a A P P a P P Q Q −−− == ; 记1100P P Q =，则 11111111100000000 (2,,).0 j j j jj j j jj jj A P P P P B a QE Q a P P a P E P j n E −−−−− =====由归纳原理知命题为真.。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
2012年前所有的东南大学工程矩阵考博试卷
1. 2.
A
B
3
14%
0 1
8 6 5
A100-2A50
A
3
2 0
10%
n
A
A2=7I-6A
A+7I
r
det
A+2I
14%
f
n
V
,
V
(f ( ), )=( ,f ( ))
1. 2.
V V
f f
Hermite
26% 1. 2. A2 3. 4.
n
A A
A
1 A3=A2
A A2=A BA A Hermite a B A BA=A*A
⎛ −1 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ 四 (15 分)已知 A = ⎜ −1 0 3 ⎟ 。 ⎜ −1 −1 4 ⎟ ⎝ ⎠
1.求 sin At ； 2.计算 d sin At 。 dt
⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ 五 (10 分)求矩阵 A = ⎜ 0 0 1⎟ 的 QR 分解。 ⎜ 1 2 1⎟ ⎝ ⎠
六 （10 分） 设 T 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， 证明： T (V ) ⊆ T −1 (0) 的充要条件是 T 2 = 0 。 七 (10 分) 设 ⋅ 是 C n×n 上的 F-范数。证明：若 A < 1 , E 为 n 阶单位 阵，则矩阵 E − A 可逆，且
1 1 ≤ ( E − A) −1 ≤ 。 1− A E−A
E21=
0 0 1 0
0 1 0 0
E22=
0 0 0 1
M 3. 4. 2 2
f
R
f f
K
K
f
C2 2= R
f
12%
a
矩阵考试题及答案详解
矩阵考试题及答案详解一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵的行列式为零，意味着什么？A. 矩阵是奇异的B. 矩阵是偶数阶的C. 矩阵是对称的D. 矩阵是单位矩阵答案：A2. 矩阵A和矩阵B可以相乘的条件是？A. A的列数等于B的行数B. A的行数等于B的列数C. A和B的行数相同D. A和B的列数相同答案：A3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的什么？A. 行列数B. 元素位置C. 行列式值D. 秩答案：B4. 矩阵的逆矩阵存在的条件是？A. 矩阵是方阵B. 矩阵是满秩的C. 矩阵的行列式非零D. 所有以上条件答案：D5. 矩阵的秩是指？A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中最大线性无关行或列的数量D. 矩阵的行数和列数之和答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果矩阵A的行列式为1，则称矩阵A为________矩阵。
答案：单位2. 矩阵的________是指矩阵中任意两行（或两列）的元素对应相乘后求和的结果。
答案：元素3. 矩阵的________是指矩阵中所有元素的平方和的平方根。
答案：范数4. 矩阵A和矩阵B相乘得到单位矩阵，称矩阵B为矩阵A的________。
答案：逆矩阵5. 如果矩阵A和矩阵B的秩相等，则称矩阵A和矩阵B是________的。
答案：等价三、解答题（每题10分，共20分）1. 给定矩阵A和矩阵B，求它们的乘积AB，并说明结果矩阵的行列式。
答案：首先计算矩阵A和矩阵B的乘积AB，然后根据行列式的性质，结果矩阵AB的行列式等于矩阵A的行列式乘以矩阵B的行列式。
2. 证明矩阵的秩等于其行秩和列秩。
答案：矩阵的秩是指矩阵中最大线性无关行或列的数量。
由于矩阵的行和列可以相互转换（通过转置操作），因此矩阵的行秩和列秩实际上是相等的，即矩阵的秩等于其行秩和列秩。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。
答案：设矩阵A的行列式为det(A)，矩阵A的转置为A^T。
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北京航天航空大学2020年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：矩阵论考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）—————————————————————————————————--1、已知β=(1，3，-3)T，α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，求当a,b 为何值时，(1)β不能用α1…α3线性表示；(2)β能用α1…α3唯一表示，并写出表示式；(3)β能用α1…α3线性表示且不唯一，并写出表示式。
2、f(x 1,x 2,x 3)=2x 12+3x 22+3x 32+2ax 2x 3(a>0)，通过正交线性替换化为标准形f=y 12+2y 22+5y 32，求a 及所用的正交线性替换。
3、x 0是Ax=b 的一个解向量，α1…αn-r 为齐线性方程组的基础解系，求：(1)x 0,α1…αn-r 线性无关；(2)x 0，x 0+α1…x 0+αn-r 是Ax=b 的n-r+1个线性无关的向量；(3)Ax=b 任何一个解可表示成x=x 0k 0+k 1(x 0+α1)+…+k n-r (x 0+αn-r )，且k 0+k 1+…+k n-r =1。
4、A、B、C、D 是n*n 矩阵，A 可逆且AC=CA，证：A B AD CBCD=-5、发v1、v2为线性空间，证dim(v1)+dim(v2)=dim(v1+v2)+dim(v1∩v2).6、画出A 的所有盖氏圆盘，各圆盘表达式，并用盖氏圆盘定理证A 至少有2个实特征值，也至多有2个虚特征值，指出各特征值所在区间。
7、设010301010A =可代为对角矩阵，并求A 9的谱分解式。
8、A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010001000，计算e At，t 为实变量。
9、A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120000001101，求A{1}。
北京航天航空大学2018年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：矩阵论考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）—————————————————————————————————--一.(18分)填空：设.1111,0910⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A 1.A -B 的Jordan 标准形为J =2.是否可将A 看作线性空间V 2中某两个基之间的过渡矩阵（）。
3.是否可将B 看作欧式空间V 2中某个基的度量矩阵。
（）4.()pvec B =（），其中+∞<≤p 1。
5.若常数k 使得kA 为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（）。
6.A ⊗B 的全体特征值是（）。
7.=⊗2B A （）。
8.B 的两个不同秩的{1}-逆为⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=)1()1(,B B 。
二.(10分)设nm CA ⨯∈,对于矩阵的2-范数2A 和F -范数F A ，定义实数222FA A A +=，（任意nm CA ⨯∈）验证A 是n m C ⨯中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。
三.(15分)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011)0(,0)(,11120211133x e e t b A t t 。
1.求Ate ；2.用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dt d+=满足初始条件x (0)的解。
四.(10分)用Householder 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4021030143010021A 的QR 分解。
五.（10分）用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i A 116864120的特征值。
（要求画图表示）六.(15分)已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3131,1212010121211010b A 。
1.求A 的满秩分解； 2.求A +；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax =b 是否有解；4.求线性方程组Ax =b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x 0。
（要求指出所求的是哪种解）七.(15分)已知欧式空间R 2⨯2的子空间,0032414321⎭⎬⎫⎩⎨⎧=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x x x x x xx x X V R 2⨯2中的内积为,,),(222112112121⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==a aa a Ab a B A ij i j ij ,22211211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b B V 中的线性变换为T (X )=XP +XT ,任意X ∈V ，.0110⎪⎭⎫⎝⎛=P 1.给出子空间V 的一个标准正交基；2.验证T 是V 中的对称变换；3.求V 的一个标准正交基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.八.(7分)设线性空间V n 的线性变换T 在基n x x x ,,,21 下的矩阵为A ，T e 表示V n 的单位变换，证明：存在x 0≠0，使得T (x 0)=(T e -T )(x 0)的充要条件是21=λ为A 的特征值.北京航空航天大学2017年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：矩阵论考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）—————————————————————————————————--一.填空：1.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=2101120100102201A 的Jordan 标准形为J =2.设,4321,1001021001201001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=x A 则⎪⎩⎪⎨⎧===∞Ax A A F23.若A 是正交矩阵，则cos(πA )=4.设nm CA ⨯∈，A +是A 的Moore -Penrose 逆，则(-2A ,A )+=5.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛--=300220111,4221B A ，则A ⊗B +I 2⊗I 3的全体特征值是（）。
6.设向量空间R 2按照某种内积构成欧式空间，它的两组基为)1,1(),1,1(21-==αα和),12,6(),2,0(21==ββ且i α与j β的内积为3),(,1),(,15),(,1),(22122111=-===βαβαβαβα则基21,αα的度量矩阵为（）。
二.设nm n m ij C a A ⨯⨯∈=)(,定义实数ijji a n A ,max =1.证明A 是n m C ⨯中的矩阵范数.2.证明该矩阵范数与向量的∞-范数相容.三.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=321)0(,211)(,211121221x e t b A t 。
1.求Ate ；2.用矩阵函数方法求微分方程)()()(t b t Ax t x dt d+=满足初始条件x (0)的解。
四.用Givens 变换求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=4300041220513003400054321A 的QR 分解。
五.用Gerschgorin 定理隔离矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=i i A 22.03.005.245511.02011.002的特征值。
（要求画图表示）六.已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=1321,01111211111101110100b A 。
1.求A 的满秩分解；2.求A +；3.用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax =b 是否有解；4.求线性方程组Ax =b 的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x 0。
（要求指出所求的是哪种解）七.设3维欧式空间V 中元素0α在V 的标准正交基321,,ξξξ下的坐标为(1，-1，0)T .定义V 的变换如下)(),()(00V T ∈∀+=αααααα1.证明T 是线性变换；2.证明T 是对称变换；3.求V 的一个标准正交基n ηηη,,21，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.八.设V 是数域K 上的2维线性空间，V 的一组基为21,αα，V 的两个子空间为{}{}0,,)(21212211202101=+∈+=∈+=k k K k k k k W K k k W 且αααα证明：V =W 1⊕W 2.答案：1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11111; 2.8,3,14;3.I -2A ;4.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++A A251;5.1,1,1,-2,-5,-8;6.⎪⎭⎫ ⎝⎛2112三.1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+--=t t t t t t t t t e e t At112221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=t t t e t x t 2321)(.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=500000500051300412205432154530000001000100535400000001A北京航天航空大学2019年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：矩阵论考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）一、计算题二、三、四、五、六、七、北京航天航空大学2016年攻读博士学位研究生入学考试试题考试科目：矩阵论考试时间：月日（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）—————————————————————————————————--一．填空题1.已知33⨯矩阵()αγαβ2,,2-=A ，其中γβα,,均为三位列向量，且已知行列式4=A ，则行列式=γβα,,22.设A 为3阶方阵，B 为2阶方阵，且211==B A ，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--123A B3.设矩阵A 满足042=-+E A A ，其中E 为单位矩阵，则()=--1EA 4.已知3阶矩阵A 相似于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-013，此时相似特征向量[]321P P P P =，则当[]123P P P P =时，A相似于5.已知方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+03121232121321x x x a a 无解，则a =6.若二次型()3221222132122,,x tx x x x x x x x f +++=是正定的，则t 的取值范围是7.设S,T 是n 为酉空间V 的两个子空间，则S,T 互为正交补的充要条件是二．选择题1.设A 是任一n （n ≥3）阶方阵，*A 为其伴随矩阵，且1,0±≠k ，则必有()=*kA A ．*kA B ．*1A k n -C ．*A k n D ．*1A k -2.设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩为1r ，则A ．1r r >B ．1r r <C ．1r r =D ．r 与r 1关系依C而定3.已知A 是n 阶方阵，其秩n r <，那么在A 的n 个行列式中AA ．必有r 个行向量线性无关B ．任意r 个行向量线性无关C ．任意r 个行列向量都构成极大线性无关组D ．任意一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表示4.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=96342321t Q ，P 为3阶非零矩阵，且满足0=PQ ，则A ．t =6，P 的秩必为1B ．t =6，P 的秩必为2C ．t ≠6，P 的秩必为1D ．t ≠6，P 的秩必为25.已知A 为实对称矩阵，P 为正交矩阵，Q 为可逆矩阵，则下列哪个矩阵为A 的相似矩阵（A ）。