集合论-第三四章习题

二、性质 定理1 设A,B,C是三个任意的集合，则 (1)若A⊆B，则|A|≤|B| ； (2)若|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C| ； 推论：设A是无穷集合，则|N|≤|A|。
前面介绍了要证明两个集合基数相等必须在两个集 合之间建立起一个一一对应，但这往往是比较困难的。 下面介绍证明两个集合基数相等的一个比较简单的方 法，表示成下面的两个定理形式，这两个定理的证明 是冗长和复杂的，故略去。 定理2 (Zermelo)设A,B是两个任意集合，则|A|=|B|, |A|>|B|, |A|<|B|,三者中恰有一个成立。
(1)≌是S上的等价关系; (2)求等价类的集合。 例15 P113 (2) 例16 P113 (3) 例17 设N是自然数，定义N上的关系R如下：
R={(x,y)|x∈N，y∈N，x+y是偶数}，则 (1)证明：R是一个等价关系； (2)求关系R的等价类。
例题（5）
例1 非空集合A上存在二元关系R，使得R既是A上的等
习题课（2）
例1 设R是A上的二元关系，下面的结论是否正确？并 证明你的结论.
（1）R是自反的，则R·R也是自反的 （2）R是对称的，则R·R也是对称的。 （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的。
（正确\正确\正确） 例2 设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对 称的吗？ 例3 是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系 的反对称闭包？为什么？ 例4 是否存在X(|X|=n)上的一个二元关系R，使得
第二章 习题课（1）
例1 设X＝{a,b,c}，给出X上的一个二元关系，使其同 时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称和传递 性的二元关系，并画出R的关系图。 例2 设A是集合，R,S⊆X×X且R,S都是传递的，则
(1) R∪S是否传递的？ (2) R∪S是否是不传递的？ [不一定是传递的; 不一定不是传递的（有可能传递）] 例3 设有集合X，|X|=3,求X上具有反自反且反对称性的 二元关系的数目，并写出计算过程。
[若|X|=n，结果又如何？]
例4 设X是一个集合，|X|＝n，求： (1) X上的二元关系有多少？ (2) X上的自反的二元关系有多少？ (3) X上的反自反的二元关系有多少？ (4) X上的对称的二元关系有多少？ (5) X上的反对称的二元关系有多少？ (6) X上既是自反的也是反自反的关系有多少？(0) (7) X上既不是自反的也不是反自反的关系有多少？ (8) X上自反的且对称的关系有多少？ [ “反自反的且对称的关系有多少？”是一样多] (9) X上自反的或对称的关系有多少？ (10)X上既是反自反的也是反对称的关系有多少？ (11)X上既是对称的也是反对称的关系有多少？ (12)X上既不是对称的也不是反对称的关系有多少？
例如：对于“5”这个数。世界上有“5”这个事物吗？没有。 有的只是具体的5个事物，如5个人，5只笔，5张桌子等等，而 这个“5”无非就是一个符号，它表明具有5个事物所形成的集 合的共性。它们的共性就是它们相互对等，即它们的元素之间 可以建立起一一对应。于是， “5”这个符号就是赋给每个含 有五个元素的集合的一个记号，即若与含有五个元素的集对等， 则都赋以相同的记号“5”。实际上，这就是“5”的本质。
12
6
10
4
9
如图(b)所示
2
3
2
3 11
最大元:无 极大元:8,9,10,11 1 (a)
(b)
最小元:无 极小元:2,3,11
(元素11既是极大元又是极小元)
例3 设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下：
R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。
(1)R是A上的等价关系；(2)确定由R对集合A的划分。 例11设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系。在 S=A×B上定义关系R如下：
(x1,y1)R(x2,y2)(x1,x2)R1且(y1,y2)R2 证明：R是S上的等价关系。
例12设X={1,2,…,n}, S=X×X。R是S上的如下的关系：
例5 设 A={1,2,3}，R是A的幂集2A上的二元关系且 R={(a,b)|a∩b≠¢}，则R不满足下列哪些性质？ 为什么？
(1) 自反性 (2) 反自反性 (3) 对称性 (4) 反对称性 (5) 传递性
[aRb a∩b≠¢]
例6 设R是复数集合C上的一个二元关系且满足
xRyx-y=a+bi，a,b为非负整数，试确定R的性质。
(I,j),(k,l)∈S，(I,j)R(k,l)i+j=k+l。证明：
（1）R是等价关系；（2）求等价类个数。
例13 设f :XY，定义X上的等价关系R如下： x1,x2∈X,x1Rx2f(x1)=f(x2)，求R等价类。
例14 设X={1,2,3},Y={1,2},S={f|f:X→Y}。≌是S上 的二元关系：f,g∈S，则f≌gIm(f)=Im(g)。证明:
例5设[a,b]是一个有限区间。令S是区间[a,b]上的有限
划分的集合，[a,b]的一个划分∏是形如: a=x1<x2<…<xn=b,n∈N的点的集合。在S上定义二元关
系R如下：∏1,∏2∈S,∏1R∏2∏2的每个分点也是∏1的 分点。
证明：R是S上的偏序关系。
（注意，这里的划分与等价关系中的划分不同）
f(a)f(b)。
总结
二元关系
二元运算
aRb
a·b
{是，否}
结果是对象
X,Y=>映射、运算、关系—数学模型
概念：二元关系、性质，合成，闭包R+,R*， 等价关系、等价类、集合的划分，偏序关系、 全序关系。
第四章 无穷集合及其基数
P142 1.找一个初等函数,使得它是(0,1)到实数R的一一对应. 2.试给出一个具体的函数，使得它是从(0,1)到[0,1]的 一一对应。 3.用对角线方法证明：若A是可数集，则2A是不可数集。 4.用对角线方法证明：所有0,1的无穷序列所构成的集 合是不可数集。
例7 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯一 的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体 例子；若没有，请证明之。
例8 设R是X上的偏序关系，证明： R是X上的全序关系X×X=R∪R-1。
例9设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a}, 证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有
价关系又是A上的偏序关系吗？
解：存在,A上的恒等关系就满足。
例2在A＝{1,2,3,4,6,8,12,24}和B＝{2,3,4,8,9,10,
11}上定义的整除关系“|”，画出Hasse图，指出最大
(小)元，极大(小)元。
解：如图(a)所示
24
8
最大元：24 最小元：1 8 极大元：24 极小元：1 4
也是等价关系。 说明：本题可以证明R＝S。
例8 设{A1,A2,…,An}是集合A的划分，若Ai∩B≠φ，
1≤i≤n，证明：{A1∩B,A2∩B,…,An∩B}是集合A∩B
的划分。
例9设S={1,2,3,4},并设A＝S×S,在A上定义关系R为: (a,b)R(c,d)a+b=c+d。
证明:(1) R是A上的等价关系；(2) 计算A/R。 例10 设A={1,2,3,4}×{1,2,3,4}，A上的二元关系R定 义为：(x,y)R(u,v)|x-y|=|u-v|，证明：
R1,R2,…,Rn两两不相等。 例5 证明：如果R是对称的，则R＋也是对称的。
习题课（3）
例1在集合A={1,2,3}上求出尽可能多的等价关系。 推广：A={1,2,3,4},|R|=15个；
A={1,2,3,4,5},|R|=52个。 例2给定集合 A={1,2,3,4,5}，找出A上的等价关系，此 关系R能产生划分{1,2}，{3}，{4,5}，并画出关系图。
1.写出R的关系矩阵； 2.验证(A,R)是偏序集; 3.画出Hasse图; 4.若A上的关系如下：
R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？
例4 证明：每个由n2+1个实数组成的数列中必有一个 长至少为n+1的不减子序列，或有一个长至少为n+1 的不增子序列。
1
1
Hale Waihona Puke Baidu
2
3
2
3
例4 设R1,R2是A上的等价关系,则R1∪R2也是A上的等价 关系吗？
例5 设R是A上的对称和传递的关系。若对A中每个a， 存在b∈A,使得(a,b)∈R，证明：R是A上的等价关系。 例6 设R是集合A上的一个自反的和传递的关系；
T是A上的一个关系，使得(a,b)∈T(a,b)∈R且 (b,a)∈R。证明：T是A上的等价关系。 例7 设R是A上的二元关系，S={(a,b)|c∈A,使得 (a,c)∈R且(c,b)∈R}。证明：若R是等价关系，则S
§3 基数及其比较
在抽象地研究集合时，最根本的是考虑集合的
“大小”，而集合中元素的性质是可以不加考虑的。 对给定的集合Ａ和Ｂ，它们的“大小”是否相同？哪 一个集合元素“较多”？
对于有限集合来说，集合的“大小”就是集合中
元素的个数，称为集合的基数。基数越大的集合所含 元素的个数越多，也就是说这个集合越大。
但对于无穷集合来说，元素的“个数”这个概念是没有意 义的。因为按通常的理解它是指一个有限数，而不是无限数。 至于一个无限数比另一个无限数大，更是不可思意的了。但凭 着我们的直觉与前面的定理可知，这种说法是符合我们的看法 的，只不过是现在说不清楚，之所以说不清楚，是因为这里面 有几个概念未加定义。
于是，我们下面就要把有限集合个数的概念推广，使它对
3.3无穷集合基数的比较 例：教室里人多还是椅子多？不用数完人再数椅子，然后比
较。只要看一下教室里是否有空座即可。实际上，这就是利用一 一对应的概念。
用A表示教室里人的集合，B表示教室里椅子的集合； 若教室里有空座，则说明A与B之间没有建立起一个一一对应， 而与B的一个真子集B1建立了一个一一对应。于是说|A|<|B|。 下面给出基数大小的定义，它提供了比较两个无穷集合大小的 基础。 一、定义 定义1 设A、B为任意两个集合，则 (1) 若存在从Ａ到Ｂ的单射，则称Ａ的基数小于或等于Ｂ的基数， 记为|A|≤|B|； (2) 若存在从Ａ到Ｂ的单射，但不存在一一对应，则称Ａ的基数 小于Ｂ的基数，记为|A|<|B|。 显然，这个定义是比较两个有限集合元素个数多少概念的推广。
例6 设(S,≤1),(T,≤2)是偏序集。在S×T上定义二元 关系≤3如下：(s,t),(s1,t1)∈S×T，
(s,t)≤3(s1,t1)(s≤1s1)且(t≤2t1)。 证明:(1)≤3是S×T上的偏序关系；
(2)若(s,t)≤3(s1,t1)(s≤1s1)或(t≤2t1)，则 ≤3是S×T上的偏序关系吗？
3.2 无穷集合的基数 定义1 集合Ａ的基数是一个符号，凡与Ａ对等的每个 集，对应着同一个符号。 定义2(等价定义) 所有与集合Ａ对等的集形成的集族 （的共性）称为集合Ａ的基数，记为|A|。 说明: (1) 现在已经把有限集合元素个数的概念推广到无穷 集合上了，于是，无穷集合元素个数的概念也有了明 确的定义，这就是基数的概念。 (2) 这两个定义实质上等价的。从定义1可知，凡与 Ａ对等的各个集合基数也都是|A|，于是有: 定义3 集合Ａ与集合Ｂ的基数相等Ａ～Ｂ。
习题课（4）
例1 R是整数集I上的关系，mRn定义为m2＝n2，则 (1) 证明：R是等价关系；(2) 确定R的等价类。
例2设R是A上的一个自反关系，证明： R是等价关系若(a,b)∈R且(a,c)∈R,则(b,c)∈R 。
例3 设A={1,2,3}，A上的两个关系如图所示，则它们是 否是等价关系？
无穷集合也有精确的定义，这就是无穷集合基数的概念；然后 确定比较两个集合基数大小的方法。
3.1基数的本质 由于我们已经定义了有限集合的基数的概念，即集合中所
含元素的个数，现在便从此进行分析和推广。 有限集合的基数是一个具体的数，可是这个数又是什么呢？
实际上，数只是一个抽象的概念，给一个具体的数只不过是对 这个概念的一种符号表示。