数分第一章第六节单调数列与单调有界原理

第一章 实数和数列极限
第六节 单调有界原理与
闭区间套定理
我们知道，有界数列不一定收敛。

我们就问，对有界数列再加上什么条件，就能使它收敛呢。

在本节中将要引入一类特殊 的数列—单调数列；单调有界的数列必有极限，对单调数列而言，有界性和收敛性是等价的。

一 、单调数列 的概念 定义 1.8 设}{n a 是一个数列。

（1）如果数列}{n a 满足 1+≤n n a a ， ,2,1=n
则称此数列为递增数列；
（2）如果数列}{n a 满足 1+≥n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递减数列；
（3）如果上面两个不等式都是严格的，即1+<n n a a （或1+>n n a a ）， ,2,1=n ， 则称此数列为严格递增的 （或严格递减的）。

（4）递增或递减的数列通称为单调数列 。

显然，递增的数列有下界， 递减的数列有上界。

显然，}{n a 是递增数列
等价于}{n a -是递减数列。

（递增数列与递减数列两者可以互相转换，所以只讨论一种就可以了。

）
例如 （1）n
a n 1211+++= ，*N n ∈，
}{n a 是递增数列；
（2）121211-+++=n n a ，
*N n ∈，}{n a 是递增数列， （3）!
1!211n s n +++= ，*N n ∈， }{n s 是递增数列 。

（4）}1{n 是递减数列，
}{2n 是递增数列，
}1
{+n n 是递增数列 （11)1(1+-+++n n n n 0)1](1)1[(1>+++=n n ）。

例 设21=x ，并定义
n n x x +=+21，*N n ∈
则}{n x 是递增数列。

事实上 222+=x ，,,2223 ++=x
可以从中观察出来有
1321+<<<<<n n x x x x x ，*N n ∈；
或者从考察
1122-++-+=-n n n n x x x x
)(22111
---+++=n n n n x x x x ， 由此递推，得
1321+<<<<<n n x x x x x ，*N n ∈； 故}{n x 是递增数列。

二 、 单调有界原理
关于单调数列，有下列重要的结果。

定理 1.8 单调且有界的数列一定有极限。

对递增数列只要有上界，它就有界了；对递减数列只要有下界，它就有界了。

这个定理是判断数列极限存
在的一个重要方法（极限值不需要预先知道）。

对有些数列判断出极限存在后，进一步可求出极限。

它的重要意义在于不能知道极限值的情况下，就能判断出极限存在。

例如（1）1
111+-=+=n n n a n ，*N n ∈， }{n a 是递增数列，且11<+=n n a n ，*N n ∈
}{n a 是单调且有界的数列，它的极限1)1
11(lim lim =+-=∞→∞→n a n n n 存在； （2）1
21211-+++=n n a ，*
N n ∈，}{n a 是递增数列， 22
111211)21(1=-<--=n n a ，*N n ∈ }{n a 单调且有界的数列，它的极限2lim =∞
→n n a 存在 。

根据单调有界原理，对单调数列收敛性与有界性等价。

（对其它类数列不成立。

）
定理 设}{n a 是单调递增数列， 且a a n n =∞→lim ，
则有（1）a a n ≤，（*N n ∈）；
（2）如果}{n a 又是严格递增的，
则成立a a a n n ≤<+1，（*N n ∈）
证明 因为}{n a 是递增数列，
所以对任意固定的*N n ∈成立
p n n a a +≤，一切*N p ∈，
在上式中，令∞→p ，取极限得
a a n ≤，（*N n ∈） 。

对递减数列，同理可证 定理 设}{n b 是单调递减数列，b b n n =∞
→lim ， 则有（1）n b b ≤，（*N n ∈）；
（2）如果}{n b 又是严格递减的， 则成立
n n b b b <≤+1，（*N n ∈）。

定理 设}{n a 是递增数列，}{n b 是递减数列，且有n n b a <，
（*N n ∈），
则成立m n b a <，*,N n m ∈∀。

证明 因为由条件得
m m n m n n b b a a ≤<≤++，
所以成立m n b a <，*,N n m ∈∀。

定理 设}{n a 是严格递增数列，
}{n b 是严格递减数列，
且有n n b a <，（*N n ∈），
如果lim()0n n n b a →∞
-=， 则存在唯一α，
使得n n a b α<<，（*N n ∈），
即1
{}
n n I α∞
==，(,)
n n n I a b = 。

证明 由条件可知
11n n p n p n a a a b b b ++<<<<<； 数列}{n a ，{}n b 都是严格单调有界的，
所以a a n n =∞→lim ，lim n n b b →∞
=存在；
且有n n a a b b <≤<， 显然0n n b a b a ≤-<-，
利用lim()0n n n b a →∞
-=， 可得a b =，存在性得证； 惟一性的证明是显然的,(上面已蕴含了惟一性的证明)。

可以证明，对单调数列，如果有一个子列收敛，那么原数列也必收敛。

定理 设}{n a 是单调的数列，如果存在一个子列}{k n a ，使得a a k n k =∞→lim ，则有a a n n =∞→lim 。

证明 对}{n a 是单调递增的情况给出证明（对}{n a 是单调递减的情况同样可给出证明）。

显然}{k
n a 亦是单调递增的，且有 a a k
n ≤，对任一正整数n ，n k n n k n ≥≥，于是a a a n k n n ≤≤， 故得a a n ≤，*N n ∈
由于a a k n k =∞→lim ，
对0>∀ε，*N K ∈∃，当K k >时，有a a a k n ≤<-ε， 取k n N =，当N n >时，成立 a a a a n n k ≤≤<-ε，
这就证明了a a n n =∞→lim 。

可以证明，如果递增数列无上界，则该数列必趋于∞+； 如果递减数列无下界，则该数列必趋于∞- 。

三 单调有界原理的
运用方法举例
例1 设21=x ，并定义
n n x x +=+21，*N n ∈
求证： n n x ∞
→lim 存在。

证明 我们已知道，}{n x 是递增数列，显然221<=x ，
2212<+=x x ，
若2<n x ，则有
22221=+<+=+n n x x ，
从而对一切*N n ∈，有2<n x ，
即得}{n x 有上界。

根据单调有界原理，
n n x ∞
→lim 存在。

进一步可求出极限，
设a x n n =→∞
lim ，在n n x x +=+21中两边取极限，得a a +=2，a a +=22，022=--a a ，
0)2)(1(=-+a a ，解得
2,1=-=a a ， 由于n x x <<22，2lim >=→∞
a x n n ， 舍去1-=a ，故有2lim =→∞
n n x 。

例 2设101=x ，并定义
n n x x +=+61，*N n ∈
求 n n x ∞
→lim 。

例3 设21=x ，并定义
n n x x 21=+，*N n ∈
求 n n x ∞
→lim 。

例 4 设11=a ，又设 n n n a a a 11+=+ ，
,2,1=n
求证：+∞=∞
→n n a lim 。

证明 显然有
111≥>+=+n n
n n a a a a ， ,2,1=n
即}{n a 是递增数列，我们只须证}{n a 无上界。

用反证法，假若}{n a 有上界， 根据单调有界原理， n n a ∞
→lim 存在，设a a n n =∞→lim ， 显然1lim ≥=∞
→a a n n 在 n n n a a a 11+=+两边取极限，得a a a 1+=，
a 10=这是矛盾的。

所以}{n a 无上界；
从而有 +∞=∞
→n n a lim 。

四 闭区间套定理
定理 1.9（闭区间套定理）设闭区间列],[n n n b a I =， ,2,1=n ，并且
⊃⊃⊃⊃⊃⊃+1321n n I I I I I （意即n n n n b b a a ≤<≤++11， ,2,1=n 。

）
如果这一列区间的长度)(0||∞→→-=n a b I n n n ，
那么交集n n I ∞
=1含有惟一的一点。

（直观上看，例如一列半径趋零的同心圆盘的圆心。

旋涡与旋涡中心；闭区间套思想方法在生活
中的体现，在一地区搜索一个目标，包围圈的逐渐缩小，最终目标被搜索到；两人在一条路的两端同时相向而行，最终在一点处会面；前堵后追过程及结果，两面夹击的过程及结果，两军会师，等等。

）
证明 由这一列区间的包含关系可知：它们的左端点组成递增的数列}{n a ，而右端点组成递减的数列}{n b ，显然，}{n a 有上界1b ，}{n b 有下界1a 。

因此，根据单调有界原理，以下的两个极限存在：
a a n n =∞→lim ，
b b n n =∞
→lim ， 且a a n ≤，n b b ≤ ， （ ,2,1=n ）
由于n n b a <，（ ,2,1=n ），可见b a ≤。

因此，不等式 n n b b a a ≤≤≤
对一切*
N n ∈成立。

由此式可得 ||0n n n I a b a b =-≤-≤， 由)(0||∞→→-=n a b I n n n
可知，我们必有0=-a b ，a b =， 这时n n b a a ≤≤，
对一切*
N n ∈成立， 即],[n n n b a I a =∈， ,2,1=n ，
由此得到n n I a ∞
=∈1，（存在性得证）
再证惟一性，假设还有一点n n I ∞
=∈1
ξ，
则有],[n n n b a I =∈ξ，对一切*
N n ∈成立，这时n n b a ≤≤ξ，两边取极限得，b a ≤≤ξ，则有 b a ==ξ，（惟一性得证） 命题证毕。

（利用闭区间套定理也能证明 单调有界原理。

）
应当特别指出：定理中的闭区间的闭是不可以去掉的。

请看下面的例子： 设开区间)1,0(n
I n =， ,2,1=n 显然
⊃⊃⊃⊃⊃⊃+1321n n I I I I I ， 而且)(,01||∞→→=n n
I n ，但是 是空集。

∅=∞=n
n I 1
将开区间，条件加强后，有如下定理
定理 设开区间列 (,)n n n G a b =， ,2,1=n ， 满足
11n n n n a a b b ++<<<， ,2,1=n 。

如果这一列区间的长度 ||0,()n n n G b a n =-→→∞，
那么交集1
n n G ∞=含有惟一的一点。

例5 设129311110-+⋅=n n x n ， 求n n x lim ∞→。

解
)9(,112101><++=+n n n x x n n ， )9(,1><+n x x n n ， 显然0>n x ， 于是}{9+n x 递减数有下界，根据
单调有界原理，9lim +∞→n n x 存在，
从而n n x lim ∞→存在，设a x n n =∞→lim
n n n x n
n x n n x 1210112101++=++=+， 两边取极限，得a a 21=，所以
0=a ，
于是 0lim =∞→n n x 。

例6 设n
n n a 1)!(=，*N n ∈，
（1）求证：}{n a 是递增数列； （2）求n n n 1)!(lim ∞→；
（3）求21)!(lim n n n ∞→ 。

证明 （1） n
n n n n n a a 1111)!(])!1[(+++= )1(111)!()1(+++=n n n n n ， 利用不等式 )2(,)21(!≥+<n n n n 得12111>>++n n n a a ，n n a a >+1，
故}{n a 是递增数列。

（2）由2
)
2(!n
n n ≥，得出
2
11)2()!(n
n n ≥，
于是
+∞
=∞
→n
n n 1
)!(lim ；
（3）由n
n n ≤≤!1，得出
n
n n n 112
)
!(1≤≤，
我们已经知道
1
1lim =∞
→n
n n ，
根据夹逼定理，得
1
)
!(2
1
lim =∞
→n n n 。

例 7
设)21
1()211)(211(2n n x +++= ，
求证
n
n x lim ∞
→存在。

证明 显然
12
1
111>+=++n n n x x ，n n x x >+1，
即}{n x 是单调增加的。

再证}{n x 是有界的。

方法一：利用不等式
设n a a a ,,,21 （2≥n ）都是正实数，
且121<+++n a a a ，则成立
)1(111
1∏∑==+>-n
k k n
k k
a a ∑=+
>n
k k a 1
1 。

得出
)
211(2111
1∏∑==+<+n
k k n
k k ∑∏==-+<++=n
k k
n k k 222
1
11)
2
1
1()211()211(
21212<∑=n
k k
，21
2
112>-∑=n
k k ，
22
1112<-∑=n
k k
于是3)21
1(2111
1<+<+∏∑==n
k k n
k k
， 3<n x ，
方法二：利用几何—算术平均不
等式。

)2
1
1()211)(211(2n n x +++=
n
n n ))
21
1()211()211((2++++++≤ n n
n )1(+≤3)11(<+=n n ， 方法三：用取对数法
利用m m 1
)11ln(<+，
)
21
1ln()211ln()211ln(ln 2n n x ++++++= 12
1
21212<++++<n ， e x n <；
即得}{n x 是单调增加且是有界
的，故
n
n x lim ∞
→存在。

同样的方法可证得， 例8
若)1
1()311)(211)(111(222n x n ++++= ，
则n n x lim ∞
→存在。

例9 设
11=x ，n
n
n x
x x ++=+111，
,2,1=n ，求n n x lim ∞
→。

例 10 设0>a ，01>x ，
)(211n
n n x a
x x +=+， ,2,1=n ，
求
n
n x lim ∞
→。

（提示：
a x a x x a x x n
n n n n =⋅≥+=+)(211，
0212
1≤-=-+n
n
n n x x a x x , 2,3,
n =）。

例 11 设0>a ，01>x ，
121(2)3n n n
a
x x x +=+， ,2,1=n ，
求n n x lim ∞
→。

（提示：
12211(2)()33n n n n n n a a x x x x x x +=+=++≥=
312103n n n n
a x x x x +--=≤ , 2,3,n =）。