数分第一章第六节单调数列与单调有界原理
函数的单调有界定理
函数的单调有界定理
设函数f: [a, b] → R 是一个定义在闭区间 [a, b] 上的实
值函数，如果 f 在 [a, b] 上单调递增（或单调递减），则 f 在[a, b] 上有界。
换句话说，如果一个函数在一个闭区间上是单调递增的，那么
它在这个闭区间上是有上界的；如果一个函数在一个闭区间上是单
调递减的，那么它在这个闭区间上是有下界的。
这个定理的证明可以通过反证法来进行。
假设函数 f 在闭区间[a, b] 上单调递增且无上界，那么可以构造一个无限逼近于无穷大
的数列，使得这个数列对应的函数值也无限逼近于无穷大。
然而，
这与 f 在 [a, b] 上单调递增矛盾，因为单调递增的函数不会无限
逼近于无穷大。
类似地，可以证明函数在闭区间上单调递减且无下
界的情况也是不可能的。
通过函数的单调有界定理，我们可以在一些实际问题中得到一
些有用的结论。
例如，在经济学中，如果某种商品的需求函数是单
调递减的，那么我们可以得出结论，当价格上升时，需求量会下降，但需求量不会无限下降，因为函数在闭区间上有下界。
类似地，在
物理学中，如果某个物体的速度随时间的增加而单调递增，我们可以得出结论，物体的速度不会无限增加，因为函数在闭区间上有上界。
总之，函数的单调有界定理是一个重要的数学定理，它告诉我们在一些特定条件下，函数的单调性和有界性之间存在着紧密的联系。
这个定理在数学分析和实际问题中都有广泛的应用。
单调有界原理及函数极限的定义
xn
a xn
．
证：
lim
n
xn
存在，并求
lim
n
xn
．
例用S1t单e2p调1设 有. 说界a 明原0极理, 限x求1存极 在0限, ；，xn应1st完ep12成2.x求n 出xa极n 限．值
求
lim
n
xn
．
EXE
设 x1 1,
xn
1
xn1 1 xn1
(n
2,
3,L
)
，求
lim
n
xn
．
例 思用考1单3 S调设te设有px1n界.M原说0，理，明使求极且对极限lnim限存n，x在xnn应；1 完 ， srt成e有 p12，. 求则出lnim极 x限n 值 0 ．
An a2 a1 a3 a2 L an an1 M ．
证 (1) An收敛； (2) an收敛．
§3 函数的极限
数列
1 n
，
lim 1 0, n n
f (x) 1 , x
y
f (x) 1 x
ox
x 无限增大时，函数 f ( x) 的值无限地接近于 0 ．
x 记作 x ．
0 x 2且 x 1．于是要使
x1 1 x2 1 2
x1
2(1 x)
x1 ，
2
Proof. 对 0 ，限制 0 x 1 1 ，则
0 x 2且 x 1．于是要使
x1 1 x2 1 2
x1
2(1 x)
x1 2
，
只要 x 1 2 . 因此取 min1, 2 ，
则对 0 ，当 0 x 1 时，恒有
例9
设
an
1
1 22
数学分析-单调有界定理及其应用
由极限的不等式性质 a b.
因此有不等式 a n a b bn ( n N* ).
由此式可得 :
0 b a bn an | I n | 由 | I n | 0 (n )可知, a b.
此时a n a bn 对n N*成立, 即a I n ( n N * ).
| an a | 10 m .
即 lim an A. x1 x2一个子列收敛,则这个数列收敛；
(2)若单调数列的一个子列趋向去穷 ,则此数列发散； (3)一个单调数列要么极限存在,要么趋向无穷；
(4)单调数列收敛的充分必要条件是数列有界
i
pi , qi , ri {0,1,2,,9}, i 1,2,3,
由于{an }有界、递增， 可知{ An }在某一行 考察{ Ai }, N 0达到最大值A， 并不随行的增加而改变.
再考察第二列 p1 , q1 , r1 ,， 设x1是在第N 0行后本列 出现的最大的数 , 设出现在第N 1行, 易见N 1 N 0 .
3 2
所以xn递增.
1 n lim en lim(1 ) 存在， n n n 即 lim en e, 且 e s .
n
( 3)
对n m,
1 1 1 1 1 m 1 en 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n m! n n 固定m, 令n ，得 1 1 1 e 1 sm 1! 2! m!
2 n2 5 例5 求 lim(1 2 ) n n 2 n2 5 解： lim(1 2 ) n n
2 5 2 lim(1 2 ) lim(1 2 ) n n n n
单调有界定理及其应用
本科生毕业论文（设计）题目：单调有界定理及其应用学生姓名：学号：专业班级：指导教师：完成时间： 2013年5月10日目录0 引言 (3)1 单调有界定理的内容及其证明 (3)2 单调有界定理的应用 (4)2.1 定理在证明区间套定理中的应用 (4)2.2 定理在证明柯西收敛准则中的应用 (5)2.3定理在证明致密性定理中的应用 (6)2.4定理在证明有限覆盖定理的应用 (6)2.5定理在证明级数的敛散性的应用 (7)3 总结 (12)参考文献 (13)致谢 (13)【摘要】单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中应用广泛.本文浅淡单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明实数完备性的几大定理.同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.【关键词】单调有界,连续,收敛 ,可积.【Abstarct】Monotone bounded theorem is an important theorem in the theory of limit which has extensive applications in mathematical analysis. In this article, we study its applications in the real number completeness. For example, we can make use of the theorem to prove some theorems about real number completeness. Furthermore, on the base of monotone bounded theorem of series , we prove that non-regular integral and positive series can be denoted as comparable object for each other in order to justify the other convergence by the monotonicity and integral of non-negative functions.【Keywords】monotone bounded , continuous , convergence, integrable.0.引言在现行的《数学分析》教材中, 通常都把确界原理作为公理给出, 用来反映实数集的连续性(完备性).以此公理作为理论基础, 先证单调有界定理, 用以判别单调数列极限的存在性.至于判别更一般的数列极限是否存在, 就要引用柯西准则, 但柯西准则的充分性证明, 却要放到很后的位置, 作为较难的问题专门处理, 与此相关的判别函数极限存在的柯西准则, 以及在闭区间上连续的函数具有的各种性质的证明, 也就建立在这样一种不甚踏实的基础之上.因此，我们应该用的技能是一个多元关系的观点，自觉的开发技能，引导师范生开发技能.1.单调有界定理的内容及其证明所谓单调有界定理指的是，实数范围内有界的单调数列必然存在极限，也就是说当实数数列单调上升（或单调下降）且有上界（或下界）时，该数列极限必存在.（注：在本篇论文中以单调上升有上界的情况作为论述对象，单调下降有下界情况与此相同） 现对单调有界定理进行证明，证明如下：不妨设{n a }为有上界的递增数列，由确界原理，数列{n a }有上界，记{}sup n a a =.下面证明a 就是{n a }的极限.事实上，任给0ε>,按上确界的定理，存在数列{n a }中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{n a }的递增性，当n N ≥时有N n a a a ε-<≤.另一方面，由于a 是{n a }的一个上界，故对一切n a 都有n a a a ε≤<+.所以当n N ≥时有n a a a εε-<<+,这就证得lim n n a a →∞=.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.通过以上对单调有界定理的证明，对单调有界定理有了一定的认识与了解，单调有界定理在数学理论证明中应用很广,接下来我将应用单调有界定理来证明区间套定理、柯西收敛准则、致密性定理、有限覆盖定理及数列的敛散性.2.单调有界定理的应用2.1 以单调有界定理来证明区间套定理设{[n n a b ]}是一个区间套，根据区间套定理可知在实数系中存在唯一的一个点ξ∈{[n n a b ]}，n=l,2…,即：n a <ξ<n b , n=l,2…. 具体证明如下:由区间套的定义可知{n a }为递增有界数列，由单调有界定理可知，数列{n a }存在极限ξ，且n a ≤ξ，n=l,2….同理，根据区间套的定义可知,{n b }为递减有界数列，同样根据单调有界定理可知 {n b }存在极限也是ξ，n b >ξ，n=l,2….这样根据n a ≤ξ，n b >ξ（n=l,2…）就可知n a <ξ<n b （n=l,2…）.下面证明ξ的唯一性.设'ξ同样满足不等式n a ≤'ξ≤n b ，n=l,2…,根据n a <ξ<n b （n=l,2…）可知 |ξ- 'ξ|≤n b -n a ，n=l,2…，再由区间套定义就可得出|ξ-'ξ|≤()lim 0n n n b a →∞-=，由此就可得出结论'ξ=ξ，到此证明完毕.注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间那么才能保证定理的结论成立.对于开区间列，如1(0,)n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且1lim(0)0n n →∞-=，但不存在属于所有开区间的公共点.2.2 以单调有界定理来证明柯西收敛准则柯西收敛准则：数列{n a }收敛的充分必要条件为：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n ，m>N 时有n m a a ε-<. 具体证明如下： ①必要性证明：当{n a }有极限时（设极限为a ），ε>0，N （N 为正整数）.当n ，m>N 时，|n a -a|<2ε,|m a -a|<2ε，所以|n a -m a |≤|n a -a|+|m a -a|<ε，由此可得出{n a }是一个柯西数列. ②充分性证明：先证明柯西数列{n a }是有界的.取ε=1，由于{n a }是柯西数列，所以{n a }存在一个正整数0N ，当n>0N 时，有|n a -01N a +|<1.也就是说，当n>0N 时|n a |≤|01N a +|+1，即{n a }有界.然后设a ≤n a ≤b ，我们可用如下方法取得{n a }的一个单调子列{k n a }， （1）取{k n a }⊂{n a }，这样就使得[a, k n a ]或[k n a ,b]中都含有无穷多的{n a }的项. （2）在[a, k n a ]或[k n a ,b]的区间中取1k n a +∈{n a }且满足条件（1），并且让1k k n n +>. （3）在取顶时要保持方向的一致性，即要么由a b →，要么由b a →，这时通过数列{n a }的性质可知，以上三点可以做到，这样取出的一个数列{k n a }⊂{n a }，且{k n a }是一个单调有界数列，由此可知该数列必存在极限，设该极限值为a. 接下来要证明的是数列{n a }收敛于a.由于lim k n n a a →∞=，则对于任意给定的ε>0，都存在正整数K ，在当k>K 时存在|k n a -a|<2ε.且由于{k n a }为柯西数列，因而存在正整数N ，当n,m>N 时|n a -m a |<2ε.取0n =max(k+1,N+1)时，有0n ≥1k n +>N 和0n >k+l>k ，所以当n>N 时，|n a -a|≤|n a -0n n a |+|0n n a -a|<ε，由此可知{n a }收敛于a.通过必要性及充分性的证明可知数列{n a }收敛的充分必要条件为{n a }为柯西数列.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题.柯西准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实: 收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.另外，柯西收敛准则把N ε-定义中的n a 与a 的关系换成了n a 与m a 的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a ，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性.2.3 以单调有界定理证明致密性定理致密性定理：有界数列必含有收敛子列.下面通过单调有界定理来证明该定理，先要证明的是有界数列必含有单调子列.首先设{n a }为有界数列，记n a =sup{n a ,1n a +,…}，n a =inf{n a ,1n a +…}， 下证{n a }为递减有界数列，{n a }为递增有界数列.由定义知n a =sup{n a ，1n a +，…},1n a +=sup{1n a +,2n a +，…}而n a =inf{n a ,1n a +,…}，1n a +=inf{1n a +,2n a +，…},因为{1n a +,2n a +，…}⊂{n a ,1n a +,…},所以n ∈N +，则存在1n a +≤n a 及1n a +≥n a ，即为{n a }递减数列，为{n a }递增数列，又因为{n a }为有界数列，{n a }及{n a }为其子列，所以{n a }及{n a }也是有界数列，即{n a }为递减有界数列，为{n a }递增有界数列.以上是对致密性的证明，致密性定理在很多方面都有应用，如用它证数列的柯西收敛准则中的充分性，在此不给以证明.2.4 以单调有界数列证明有限覆盖定理有限覆盖定理：设H 为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].下面用单调有界数列来进行证明，具体证明如下：用反证法：假设定理的结论不成立，即不能用H 中有限个开区间的覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间，则在这两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，将这个子区间记为[1a ,1b ]，则[1a ,1b ]包含于[a,b]，且1b -1a = 1()2b a -.再讲等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为[2a ,2b ]⊂[1a ,1b ]，且2221()2b a b a -=-. 接着讲上述的步骤重复进行就可以得到一个闭区间列{[n n a b ]}，所以得出{n a }为递增有界数列，然后根据单调有界数列可知{n a }存在极限ξ，同理可得递减有界数列{n b }也存在极限且lim lim n n n n b a ξ→∞→∞==.通过上述的证明可知{n a ，n b }只需要H 中的一个开区间(,)αβ就能覆盖，这与挑选{n a ，n b }时的假设“不能用H 中有限个开区间的覆盖”矛盾，由此可知当H 为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].注：此定理只对闭区间[a,b]成立，而对开区间则不一定成立.例如，开区间集合1(,1)1n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭(1,2,3)n L =构成了开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住(0,1).2.5 级数的敛散性在高等数学中，如何判别级数的敛散性，我们一般采用达郎贝尔判别法，柯西判别法，比较原则等.然而这些方法在解决某些级数的敛散性问题时，有时显得不那么方便，不那么有力，为此将以单调有界原理为基础给出一个应用广泛，行之相当有效的定理，并就此定理及其应用展开讨论.定理：若（I ）f(x)在[1,+∞)上单调递减且f(x)为非负函数，（II ）11()()(1,2,3)nnn k a f k f x dx n ==-=∑⎰L ，则（1）0(1)()n a f n Z +≤≤∈, （2）1(1,2,3)n n a a n +≤=L , （3）{}n a 收敛记lim n n a α→∞=,（4）0(1)f α≤≤,（5）(0,)n n n a n αεε=+→→∞,（6）11()()(0,)nnn n k f k f x dx n αεε==++→→∞∑⎰,（7）11()()nnn k f x dx f k αε==--∑⎰,（8）1()n k f k =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑收敛{}1()nf x dx ⇔⎰收敛,（9）1()n f n ∞=∑收敛1()f x dx ∞⇔⎰收敛,单调有界原理：任何有界的单调数列一定有极限.换言之：（1）若{}n a 是递增有上界数列，则{}n a 收敛且极限为sup {}n a = α， 即lim n n a α→∞=.（2）若{}n a 是递减有下界数列，则{}n a 收敛且极限为inf {}n a =β， 即lim n n a β→∞=.有关单调有界原理的证明方法很多，这里我们略去不证.在满足单调有界条件后，运用单调有界原理处理有些问题是很方便的.更为重要的是由单调有界原理出发可以证明前面开篇给出的定理. 证明定理分两步进行：（1） 先证{}n a 有下界（11()()nnn k a f x f x dx ==-∑⎰）(1)(1)(21)0f f =-≥ 111(1)()(1)0a f f x dx f =-=≥⎰(2)(2)(32)f f =- 221(1)(2)()a f f f x dx =+-⎰21(1)(21)()(2)0f f x dx f =--+≥⎰M M M11()()nnn k a f x f x dx ==-∑⎰(1)(2)()f f f n =+++L-23121(()()())nn f x dx f x dx f x dx -+++⎰⎰⎰L11(()())()0nk kk f k f x dx f n +==-+≥∑⎰这说明{}n a 有下界. （2） 再证{}n a 单调: 因为 1111111(()())(()())n nn nn n k k a a f k f x dx f k f x dx +++==-=---∑∑⎰⎰111(1)()()n n f n f x dx f x dx +=++-⎰⎰111(1)()(()())n nn nf n f x dx f x dx f x dx +=++-+⎰⎰⎰1(1)()0n nf n f x dx +=+-<⎰⇒{}n a 单调递减1n n a a +≤123(1)0n f a a a a =≥≥≥≥≥L因为{}n a 单调递减有下界,据单调有界原理⇒{}n a 收敛 , 记lim n n a α→∞=⇒(0,)n n n a n αεε=+→→∞又由 0(1)n a f ≤≤ ⇒0(1)f α≤≤ 从 11()()nnn k a f k f x dx ==-∑⎰可以推出11()()nnn n f n f x dx αε==++∑⎰11()()nnn k f x dx f k αε==--∑⎰不难得出 1()n k f k =⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑收敛{}1()nf x dx ⇔⎰收敛1()n f n ∞=∑收敛1()f x dx ∞⇔⎰收敛完成定理的证明后，我们不妨来看一下华师大数学分析上册P46的一个例题： 例1：设11111,2,323n a n n ααα=++++=L L ,这里实数α≥2，证明{n a }收敛.书中是这样证明的： 因为{n a }递增又 222111123n a n ≤++++L 11111122334(1)n n≤+++++⨯⨯⨯-⨯L 111111(1)()()2231n n=+-+-++--L122(1,2,3)n n=-<=L 于是由单调有界定理{n a }收敛. 显然，在α≥2 时用上述方法证明是完全可取的，但如果问当0<α<2 时，α≤0 时{an}的敛散性，书中的方法就显得力不从心了.那么若运用前面给出的定理，这一问题将迎刃而解.例2. 设11111,2,323n p p pa n p R n =++++=∈L L ,证明:{n a }当p>1时收敛，当p ≤1 时发散.（I ）当p=1 时111123n a n =++++L 即是我们常见的调和级数，它是发散的.运用定理，同样可以判断它是发散的. 因为1()f x x =在[1,+∞)单调递减且非负 11()()n nn k A f k f x dx ==-∑⎰ 极限存在 记lim n n A α→∞=11()()n nn n k a f k f x dx αε===++∑⎰又 111()ln n n f x dx dx n x ==⎰⎰ 当n →∞ 时，1()ln nf x dx n =⎰是发散的，所以lim n n a →∞=+∞即 {n a }在p=1 时是发散的 取1()p f x x =在[1,+∞)，p>0 时是递减的且非负，11()()n n n k A f k f x dx ==-∑⎰ 极限存在 记为lim n n A α→∞=，111111()123nn n p p p p k k a f k kn =====++++∑∑L =1()nn f x dx αε++⎰.（II ）当p>1 时11n n n p a dx x αε=++⎰因为11111111111n p np p dx x n x p p p--==----⎰，且p>1，所以当n →∞ 时，有 11111111n p p dx x p p n -=---⎰趋于11p - 即 11n p dx x ⎰收敛1()n n k a f k =⇒=∑在p>1 时收敛. （III ）当0<p<1 时，11n n n p a dx xαε=++⎰因为11111111111n p np p dx x n x p p p--==----⎰，且0<p<1，所以当n →∞ 时， 有 11111111np p dx x p p n-=---⎰发散， 即 1()nn k a f k ==∑在0<p<1 是发散的.（IV ）当p ≤0 时{n a }是单调递增无上界lim n n a →∞=+∞,所以是发散的. 通过对例2 的讨论，我们可以看出运用定理不仅解决了α≥2 的情况而且当α<2 的情况也清楚了.从中不难发现运用定理将级数敛散性问题转化为积分与数列的敛散性问题，从而降低了难度，也使许多问题归纳成系统.所以在今后判断敛散性问题上，可依据题意要求灵活运用定理加以判断.3.总结单调有界定理是极限理论中的一个重要定理，它在数学分析中常用于数列及函数的收敛性，并且单调有界定理与实数完备性也密切相关.以上通过利用单调有界定理在实数完备性中的应用，即运用单调有界定理证明了实数完备性的几大定理（区间套定理、柯西收敛准则、致密性定理、有限覆盖定理）;同时在数列的单调有界定理基础上，利用非负函数的单调性和积分性质，论证了非正常积分和正项级数可以互为比较对象，判断对方的敛散性，并推广应用之.参考文献[1]胡永生.浅谈致密性定理的不同证明方法[J].中国校外教育,2008,(3).[2]马爱江.单调有界数列必有极限与柯西收敛准则等价性证明[J].新疆教育学院学报，2004，（55-57).[3]华东师范大学数学系编.数学分析（上，下）[M].高等教育出版社.[4]闫彦宗,陈海鸿,岳晓红.可积性与原函数存在性的关系[J];安庆师范学院学报(自然科学版)，2006年02期.[5]华东师范大学数学系，数学分析第三版[M]，北京：高等教育出版社，2001:52-63.[6]East China noemal university mathenatics Ed,[J],Mathematical analysis of higher education,2001.[7]冯孔荣，用有限覆盖定理直接证明关于实数的其它几个定理[J]，恩施师专学报，1982（02）.致谢：感谢我的导师方爱香老师，她严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样,在这里请接受我诚挚的谢意！。
高等数学：（8）数列的单调有界准则（第一章极限）
高等数学：（8）数列的单调有界准则（第一章极限）
【【可爱的高等数学】高等数学：（8）数列的单调有界准则（第一章极限）】/group/6561324146716836365/?iid=159**** ****&app=explore_article×tamp=1528473075&tt_from= copy_link&utm_source=copy_link&utm_medium=toutiao_ios&u tm_campaign=client_share
在极限这一章中，我们会遇到类似这样的问题：给出一个递推数列，然后让我们证明该数列收敛。
那么我们该怎么做呢，答案就在这一节的标题中——单调，有界。
（8）数列的单调有界准则
若数列单调递增，且有上界（或单调递减，且有下界），那么数列极限必存在。
一般我们证明递推数列的单调性或有界会用到数学归纳法：
即先验算n=1时成立，假设n=k成立，最后证明n=k 1成立
下面我们来看一道例题体会一下：
有时候除了证明一个递推数列的极限存在外，题目还会要求我们求出极限，我们只需要设极限为A，再对等式两段数列取极限，解出A 即可，具体操作如下面的例题：
谢谢观看
限于作者水平，若有不妥之处，望广大读者指正，共同进步。
数列单调有界准则
数列单调有界准则数列单调有界准则是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们判断一个数列是否收敛。
在本文中，我将介绍数列单调有界准则的定义和原理，并通过一些例子来说明其应用。
我们来看数列单调有界准则的定义。
一个数列是单调递增的，如果对于任意的n，都有an≤an+1。
类似地，一个数列是单调递减的，如果对于任意的n，都有an≥an+1。
而一个数列是有界的，如果存在一个实数M，使得对于任意的n，都有|an|≤M。
数列单调有界准则的原理是，如果一个数列既是单调递增的又是有界的，那么它一定是收敛的。
同样地，如果一个数列既是单调递减的又是有界的，那么它也一定是收敛的。
这个原理可以帮助我们判断一个数列是否收敛，而不需要求出其极限值。
下面，我将通过一些例子来说明数列单调有界准则的应用。
例子1：考虑数列an=1/n，我们可以证明它是单调递减的。
首先，对于任意的n，我们有an=1/n≥1/(n+1)=an+1。
所以，数列an=1/n是单调递减的。
同时，我们可以发现数列an=1/n是有界的，因为对于任意的n，都有0≤an≤1。
根据数列单调有界准则，我们可以得出结论：数列an=1/n是收敛的。
例子2：考虑数列an=(-1)n，我们可以证明它是有界的。
对于任意的n，我们有|an|=1。
所以，数列an=(-1)n是有界的。
然而，我们可以发现数列an=(-1)n既不是单调递增的，也不是单调递减的。
所以，根据数列单调有界准则，我们无法判断数列an=(-1)n是否收敛。
通过以上例子，我们可以看到数列单调有界准则的应用。
当我们需要判断一个数列是否收敛时，我们可以先观察它是否单调递增或单调递减，然后再观察它是否有界。
如果一个数列同时满足单调递增和有界的条件，那么我们可以得出结论：这个数列是收敛的。
反之，如果一个数列既不是单调递增也不是单调递减，或者不是有界的，那么我们无法判断它是否收敛。
数列单调有界准则是一个重要的判断数列收敛性质的准则。
单调有界收敛定理
单调性
序列中的元素按照某种顺序排列，即对于 任意两个元素，要么前者大于后者，要么 前者小于后者。
定理的证明
定理的证明
证明过程 首先，假设序列不收敛。
如果序列是无界的，那么它不满足有界性。
主题的重要性
单调有界收敛定理是数学分析中的一个基础定理，它为研 究数列的收敛性提供了重要的理论依据。
单调有界收敛定理在解决一些数学问题中具有广泛的应用， 例如在求解极限、积分和级数等数学问题中，单调有界收 敛定理常常作为重要的工具。
单调有界收敛定理也是数学分析中其他一些重要定理的基 石，例如极限的运算法则和微积分学基本定理等。
单调有界收敛定 理
目录
• 引言 • 单调有界收敛定理的概述 • 单调有界收敛定理的证明 • 单调有界收敛定理的应用实例 • 结论
01
引言
主题简介
单调有界收敛定理是数学分析中的一 个基本定理，它主要涉及到数列的单 调性和有界性与其收敛性的关系。
单调有界收敛定理指出，如果一个数 列是单调递增且上界有界，或者单调 递减且下界有界，那么这个数列必定 收敛。
04
单调有界收敛定理的应用 实例
应用实例一
序列求和
单调有界收敛定理可以应用于求和序列的收 敛性判断。如果一个数列是单调递增且有上 界，那么该数列收敛。
积分计算
在积分计算中，单调有界收敛定理可以用于 确定积分的存在性和计算方法。例如，在计 算定积分时，如果被积函数在积分区间上单 调有界，则该定积分存在。
应用实二
级数求和
单调有界收敛定理可以应用于级数求和的问题。如果一个级数是单调递减且有下界，那 么该级数收敛。
单调有界原理证明极限存在
单调有界原理证明极限存在在数学分析中，单调有界原理是一个非常重要的定理，它表明如果一个数列是单调递增（或递减）且有上界（或下界），则该数列必定收敛。
现在，我们将利用这个原理来证明一个极限存在。
首先，我们需要明确单调有界原理的表述：单调有界原理：如果数列{a n}满足以下条件：1.单调性：对于所有n∈N，都有a n≤a n+1（单调递增）或a n≥a n+1（单调递减）；2.有界性：存在某个实数M，使得对于所有n∈N，都有a n≤M（有上界）或a n≥M（有下界）；那么数列{a n}必定收敛。
现在，假设我们有一个数列{a n}，它满足单调递增且有上界的条件。
我们的目标是证明这个数列的极限存在。
证明过程：第一步：根据题目条件，数列{a n}是单调递增的，即对于任意n∈N，都有a n≤a n+1。
第二步：同样根据题目条件，数列{a n}有上界。
这意味着存在某个实数M，使得对于所有n∈N，都有a n≤M。
第三步：由于数列{a n}单调递增且有上界，根据单调有界原理，我们可以断定数列{a n}必定收敛。
即存在某个实数L，使得当n趋向于无穷大时，a n趋近于L。
第四步（可选，用于进一步说明）：为了更具体地描述这个极限，我们可以考虑数列{a n}的上确界。
由于数列有上界，根据实数的完备性，它必然有一个上确界，记为sup{a n}。
由于数列是单调递增的，它不会超过其上确界，并且会随着n的增大而越来越接近这个上确界。
因此，数列{a n}的极限就是其上确界，即lim n→∞a n=sup{a n}。
综上所述，我们利用单调有界原理证明了数列{a n}的极限存在，并且这个极限等于数列的上确界（如果进一步说明的话）。
这个推理过程逻辑清晰，步骤详细，完整地展示了如何利用单调有界原理来证明极限的存在性。
06-单调有界准则ppt
n s n +1 rs
ns
练习 利用夹逼准则证明极限1 im«= 0.
n!
提示
n
0
V
21=2.丄...2.2丄
4(n
e
乂)
n!• n n -13 2 1 n +
般有
lim — = 0 (a e R) n!
例6设工1=72,内+ = J2 +x (n = 1,2,・・・)，证明数列｛｝收
并求其极限. 证X]=V2 v2,假设x <2成立，则
数列一定单调 例如:收敛于1,不单调
n
注1）准则II是数列收敛的充分非必要条件； 2） 准则II只能确定数列收敛，不能求出极限；
3） 函数极限也有类似的单调有界准则（准则II'）
例5利用单调有界准则证明数列Xn
Q—n =1,2，...）收敛, n!
并求出极限lim Xn.
ns
证・.・户 Xn （n + 】）!/"! 2
Xn+1 =
<J2+2=2
由数学归纳法知，数列｛X〃｝有上界.
^又 X1 = yf2 < J 2 + \/2 = X2 , 设 < Xn Xn
成立，则
Xn+1 =
< J2 + Xn+1 = X
X1 = xn + = J2 + x > 0
由数学归纳法知，数列｛x〃｝单调也 1 增加 = 1
根据单调有界准则，数列｛Xn ｝收敛
X
a lim xn = A < M n—s
若数列｛弟单调递减有下界m即
m V …< j V V • • • < x V x
单调有界原理及函数极限的定义
单调有界原理及函数极限的定义在数学中，我们定义一个数列是单调递增的（monotone increasing）当且仅当对于任意的正整数$n$，都有$a_n \leq a_{n+1}$，反之，数列被称为单调递减（monotone decreasing）当且仅当对于任意的正整数$n$，都有$a_n \geq a_{n+1}$。
而数列若同时满足单调递增和单调递减的性质，我们称其为单调的（monotone）。
一方面，我们定义一个数列是有上界的（bounded above）当且仅当存在一个实数$M$，使得对于所有的正整数$n$，都有$a_n \leq M$。
另一方面，我们定义一个数列是有下界的（bounded below）当且仅当存在一个实数$m$，使得对于所有的正整数$n$，都有$a_n \geq m$。
若数列既有上界又有下界，我们称其为有界的（bounded）。
数学上，单调有界原理可以表示为以下两个定理：定理1：如果一个数列是单调递增且有上界的，那么该数列必定存在极限，并且极限等于其上界。
具体表达式为：若数列$\{a_n\}$是一个单调递增数列，且存在一个上界$M$，则该数列存在极限，且极限$\lim_{n→∞}a_n=M$。
定理2：如果一个数列是单调递减且有下界的，那么该数列必定存在极限，并且极限等于其下界。
具体表达式为：若数列$\{a_n\}$是一个单调递减数列，且存在一个下界$m$，则该数列存在极限$\lim_{n→∞}a_n=m$。
函数极限的定义：在数学中，函数极限是描述函数行为的概念，它使我们能够研究函数在不同点的趋势与特性。
函数极限可以帮助我们描述函数的连续性、收敛性以及数值的稳定性等。
设$f(x)$是定义在一些区间上的函数，$x_0$是这个区间上的一个聚点，那么当$x$无限接近于$x_0$时，函数$f(x)$的极限为$L$，即表示为$\lim_{x→x_0}f(x)=L$，如果对于任意给定的逼近区间长度$\varepsilon>0$，总存在对应的$\delta>0$，使得当$0<，x-x_0，<\delta$时，就有$，f(x)-L，<\varepsilon$。
考研数学二----单调有界准则
一、 单调有界定理
单调数列的定义：
若数列{an }满足：an an1(an an1 ), n 1,2,3, 则称{an }是单调递增（递减）数列.
若数列{an }满足：an an1(an an1 ), n 1,2,3, 则称 {an }是单调递增（递减）数列.
23 n
（１）因为
1 n 1
ln 1
1 n
1 n
因此 1 ln n 1 ln n 1
n 1
n
1
n
1
ln n
1
ln
n
1 n
n
1
2
ln n
2 ln n
1
1 n 1
固有
n
1
3
ln n
⑵ xn1 xn xn yn xn xn2 xn 0,xn
yn1
yn
xn
2
yn
yn
0,yn
⑶
0
yn1 xn1
yn1
xn
yn
xn 2
yn xn1 yn1 xn1
2
22
LL
y1 x1 2n
lim ( yn1 xn1) 0, n
ln
n
1 n
1 1 ....... 1 ln n 1 1 1 .... 1
23
n 1
2
数列的单调性与有界性例题和知识点总结
数列的单调性与有界性例题和知识点总结在数学的学习中，数列是一个重要的概念，而数列的单调性和有界性更是其中的关键知识点。
理解和掌握这两个性质，对于解决数列相关的问题具有重要的意义。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨数列的单调性与有界性，并对相关知识点进行总结。
一、数列单调性的定义数列的单调性指的是数列中的项随着项数的增加而呈现出递增或递减的趋势。
如果对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意两项\（a_n\）和\（a_{n+1}＼），都有\（a_{n+1} ＼geq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递增；如果都有\（a_{n+1} ＼leq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递减。
二、数列有界性的定义数列的有界性指的是数列中的项存在上界和下界。
如果存在一个正数\（M\），使得对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意一项\（a_n\），都有\（｜a_n| ＼leq M\），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）有界。
三、例题分析例 1：判断数列\（＼｛a_n\｝＝ n^2 2n ＋ 3\）的单调性。
解：我们设\（f(n) ＝ n^2 2n ＋ 3\），对其求导得\（f^＼prime(n)＝ 2n 2\）。
当\（n ＼geq 1\）时，令\（f^＼prime(n) ＞ 0\），即\（2n 2 ＞ 0\），解得\（n ＞ 1\）。
令\（f^＼prime(n) ＜ 0\），即\（2n 2 ＜ 0\），解得\（n ＜ 1\）。
所以数列\（＼｛a_n\｝＼）在\（n ＼geq 2\）时单调递增，在\（n＝ 1\）时为最小值。
例 2：判断数列\（＼｛b_n\｝＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＼）的单调性。
解：＼（b_{n ＋ 1} b_n ＝＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 2} ＼frac{n}｛n ＋1} ＝＼frac{（n ＋ 1)＾2 n(n ＋ 2)｝｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＝＼frac{1}｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＞ 0\）所以数列\（＼｛b_n\｝＼）单调递增。
单调有界定理求极限
单调有界定理求极限单调有界定理（Monotone Convergence Theorem，也称为单调收敛定理或单调逼近定理）是实数理论中的一条重要定理，它主要陈述了单调递增（或递减）的有界序列必定收敛。
在形式上，这条定理的现代形式如下：如果一个序列在给定的范围内，并且对每个自然数n，an+1>=an（或an+1<=an），那么序列a的极限存在。
这条定理在网络分析和拓扑学中有重要应用，也被用于度量空间、凸分析等研究领域。
该定理的证明主要基于正整数n的归纳法，通过对n进行归纳来证明。
首先，考虑n=1的情况，序列a的单调性保证了a的存在性和唯一性。
然后假设当n=k时成立，即ak<=ak+1（或ak>=ak+1），那么当n=k+1时，根据假设，ak和ak+1是序列a中的两个连续元素，所以它们之间的所有元素都是存在的。
因此，对于所有的自然数n，序列a的所有元素都是存在的，并且满足an<=an+1（或an>=an+1）。
这就完成了归纳步骤的证明。
单调有界定理的另一个重要方面是有界性的定义。
一个序列是有界的，当且仅当它在某个范围内有上界和下界。
换句话说，如果存在两个实数M和m，使得m<=a<=M对于序列a中的所有元素a都成立，那么这个序列是有界的。
这个定义可以很容易地扩展到任何类型的单调序列上。
单调有界定理的一个重要应用是求取数列或函数列的极限。
例如，考虑数列an=(1/n)，这个数列是一个单调递减的有界序列，因此根据单调有界定理，该序列收敛。
事实上，该序列的极限是0。
此外，单调有界定理还可以用于证明一些重要的不等式。
例如，不等式ex>=x+1可以这样证明：设f(x)=ex-x-1，则f'(x)=ex-1。
因此，当x>0时f'(x)>0，这表明f(x)在[0,x]上单调递增。
因此，当0<=x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，即ex1-x1-1<ex2-x2-1。
§1.2.4单调有界原理
∵ x n 0 ，∴ A 0 ，
1 5 ∴ lim xn 。 n 2
例 4．证明数列 xn (1)n 发散。
n N 时，恒有 xn a 0 ，N N ， lim xn a 。
n
0 0 N N n0 N 时，恒有 xn a 0 lim xn a 。
1 n 例 2.证明数列 xn (1 ) 的极限存在。 n
1 n 1 n(n 1) 1 2 xn (1 ) 1 n ( ) n n 2! n
1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 11 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) 2! n 3! n n n! n n n
1 n x x ， 可以证明 比较 x n 与 x n 1 lim 的展开式可知， (1 ) e n n 1 n n 故 x n 是单调增加数列。 (e 2.7182818284 59045 )
（2）证明数列xn 有上界。
1 1 1 1 2 1 1 2 n 1 xn 11 (1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) 2! n 3! n n n! n n n
xn1 1 2 xn1 由已知 xn 1 ， 1 xn1 1 xn1
得 lim xn
n
1 2 lim xn1 1 lim xn1
n n
，
1 2 A 即 A ， A2 A 1 0 ， 解得 A 1 5 ， 1 A 2
∴ x2 x1 。
假设 x k x k 1 成立，
xk xk 1 ) (1 ) 则 有 xk 1 xk (1 1 xk 1 xk 1 xk xk 1 xk xk 1 0, 1 xk 1 xk 1 (1 xk )(1 xk 1 )
数列极限的单调有界定理
数列极限的单调有界定理数列极限的单调有界定理，这个听上去有点高深的概念，实际上就像是生活中那些不起眼的小道理。
想象一下，你每天都要喝水，水龙头一直开着，水流涓涓而下。
可是你注意到，无论怎么喝，水总是有限的，对吧？这就像是数列的极限。
数列就像那一桶水，虽然可以无限地往里加，但总有个“上限”。
好啦，先别急，这里面的门道可不少呢！单调性就像是你每天都在健身房坚持锻炼，一开始也许只能举起小哑铃，但随着时间的推移，力量逐渐增强。
你会发现，自己能举起越来越重的哑铃，没错，这就是单调递增。
如果有一天，你开始放弃健身，反而每次都只举更轻的，那就是单调递减。
数列的单调性，就在这儿呢！它不怕你慢慢来，只要不退步，肯定能进步。
再来说说有界。
想象一下你最喜欢的冰淇淋，如果你每天都吃，但忽然发现，冰淇淋的供应有限。
即使你再爱吃，也不能无限制地往肚子里塞。
数列也是如此，它有个“边界”，不可能一直增加到无穷大。
就像咱们生活中，任何事情都有个“限度”，太过了反而不妙。
再进一步，极限就像是一场马拉松，起跑的时候兴奋无比，奔跑间却慢慢找到节奏。
每一步都是在向着终点前进，最终会发现，随着时间的推移，你的脚步越来越稳，目标也越来越清晰。
数列的极限就是那终点，不管它再怎么波动，最终都会朝着一个方向靠近。
这就是数学中的一种神奇现象，数列虽变，极限不变。
哎呀，刚才说的这些，听起来是不是有点枯燥？数列和极限就像生活中的起起伏伏，有快乐也有挑战。
比如你在考试前复习，难免会有压力，有时候感觉“哎呀，怎么就记不住呢？”但是只要你坚持，总能找到解题的方法。
数列的极限就像这个过程，慢慢积累，最终会有收获。
数列的极限也教会我们一个重要的道理：坚持和界限的重要性。
在生活中，无论是学习、工作还是感情，都需要一个明确的方向和目标。
不能胡子眉毛一把抓，要有自己的原则和底线，才能在复杂的环境中找到属于自己的那条路。
这就是数列极限的单调有界定理，虽然听上去复杂，但实际上它与我们生活息息相关。
数学分析-单调有界定理及其应用PPT课件
在物理学中，单调有界定理可用 于研究物理系统的动态演化过程， 例如在热力学、流体动力学等领
域。
在计算机科学中，单调有界定理 可用于研究算法的收敛性和稳定 性，例如在优化算法、控制算法
等方面。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
性。
02 单调有界定理的应用
在数列中的应用
总结词
确定数列收敛性
详细描述
单调有界定理在数列中主要用于判断数列的收敛性。如果一个数列是单调递增 且有上界，或者单调递减且有下界，那么这个数列就是收敛的。
在函数中的应用
总结词
研究函数性质
详细用于研究函数的性质，如函数的极限、连续 性和可导性等。通过单调有界定理，我们可以更好地理解函数的变化趋势和行为 。
数学分析-单调有界定理及其应用 ppt课件
contents
目录
• 单调有界定理简介 • 单调有界定理的应用 • 单调有界定理的扩展 • 案例分析 • 总结与展望
01 单调有界定理简介
单调有界定理的定义
总结词
单调有界定理是数学分析中的一个基本定理，它指出如果一个数列或函数在某个区间内单调增加或单调减少，且 存在上界或下界，则该数列或函数收敛。
单调有界定理的证明方法通常涉及到反证法 、序列的单调性和有界性以及极限的定义等 知识点。
详细描述
单调有界定理的证明方法通常采用反证法。 首先假设数列或函数不收敛，然后通过推导 得出矛盾，从而证明数列或函数的收敛性。 此外，还需要利用序列的单调性和有界性的 性质，以及极限的定义和性质等知识点来进 行证明。在具体证明过程中，需要注意逻辑 推理的严密性和准确性，以确保证明的正确
总结词
数列单调性的判断方法
单调有界数列收敛定理
= lim n→∞
1
1 −
1
= lim n→∞
xn+1xn = lim
xn − xn+1 n→∞
xn2 (1 − xn2
xn )
=
1。
xn
xn+1 xn
换言之，不管 0 < x1 < 1如何选取，当 n 充分大时，无穷小量{xn} 的
变化规律与无穷小量
⎧ ⎨ ⎩
1 n
⎫ ⎬ ⎭
愈来愈趋于一致，在许多场合，
+2
=
lim
k→∞
1 + 2b2k 1 + b2k
得到
a
=
1 + 2a 1+ a
；
由 lim k→∞
= b2k +1
lim
k→∞
1 + 2b2k −1 1 + b2k −1
得到
b
=
1 + 2b 1+b
。
这两个方程有相同的解 a =b = 1± 5 ,舍去负根，于是得出结论：在不
2
考虑兔子死亡的前提下，经过较长一段时间，兔群逐季增长率趋于
有上界，由定理2.4.1可知{ xn }收敛。
设 lim n→∞
xn
=
a
，对 xn+1 =
此方程，得到 a = 3 ，即
3 + 2xn 两边求极限，得到 a =
lim
n→∞
xn
= 3。
3 + 2a ，解
例2.4.4 “Fibonacci数列”与兔群增长率： 设一对刚出生的小兔要经过两个季度，即经过成长期后到达成熟 期，才能再产小兔，且每对成熟的兔子每季度产一对小兔。在不考虑 兔子死亡的前提下，求兔群逐年增长率的变化趋势。 解 设第一季度只有1对刚出生的小兔，则各季兔对总数见下表：
数列极限单调有界准则
数列极限单调有界准则数列极限的单调有界准则可是相当重要的呢！这一准则在我们研究数列是否存在极限的时候，就像一盏明灯一样指引着我们哦。
我们先来看看什么是单调数列吧。
单调数列分为单调递增数列和单调递减数列。
单调递增数列就是数列中的每一项都比它前面的那一项大啦，哎呀，是不是很容易理解呢？比如说数列\(a_{n}=n\)，\(1,2,3,4,\cdots\)这个数列就是单调递增的呢。
而单调递减数列呢，就是数列中的每一项都比它前面的那一项小呀，像数列\(b_{n}=\frac{1}{n}\)，当\(n = 1,2,3,\cdots\)时，\(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\)就是单调递减的啦。
那有界又是什么意思呢？有界就是说这个数列是有范围的呢。
如果存在一个正数\(M\)，使得对于数列\(\{a_{n}\}\)中的所有项\(a_{n}\)都满足\(\vert a_{n}\vert\leq M\)，那这个数列就是有界的呀。
比如说数列\(c_{n}=\sin n\)，因为\(\sin n\)的值始终是在\([ - 1,1]\)这个区间内的，所以这个数列就是有界的呢。
好啦，现在我们来谈谈单调有界准则吧。
单调有界准则就是说，如果一个数列是单调递增且有上界，或者是单调递减且有下界，那么这个数列的极限是存在的哦。
哇，这个准则真的很神奇呢。
我们来举个例子吧。
考虑数列\(a_{n}=\sqrt{2 + a_{n - 1}}\)，\(a_{1}=\sqrt{2}\)。
我们先来看这个数列是否单调。
计算\(a_{n}-a_{n - 1}\)，通过一系列的化简和推导（这里就不详细展开啦，因为过程有点小复杂呢），我们可以发现这个数列是单调递增的。
那这个数列有没有上界呢？我们可以用数学归纳法来证明它有上界。
当\(n = 1\)时，\(a_{1}=\sqrt{2}<2\)。
假设当\(n = k\)时，\(a_{k}<2\)，那么当\(n = k + 1\)时，\(a_{k + 1}=\sqrt{2+ a_{k}}<\sqrt{2 + 2}= 2\)。
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第一章 实数和数列极限第六节 单调有界原理与闭区间套定理我们知道，有界数列不一定收敛。
我们就问，对有界数列再加上什么条件，就能使它收敛呢。
在本节中将要引入一类特殊 的数列—单调数列；单调有界的数列必有极限，对单调数列而言，有界性和收敛性是等价的。
一 、单调数列 的概念 定义 1.8 设}{n a 是一个数列。
（1）如果数列}{n a 满足 1+≤n n a a ， ,2,1=n则称此数列为递增数列；（2）如果数列}{n a 满足 1+≥n n a a ， ,2,1=n 则称此数列为递减数列；（3）如果上面两个不等式都是严格的，即1+<n n a a （或1+>n n a a ）， ,2,1=n ， 则称此数列为严格递增的 （或严格递减的）。
（4）递增或递减的数列通称为单调数列 。
显然，递增的数列有下界， 递减的数列有上界。
显然，}{n a 是递增数列等价于}{n a -是递减数列。
（递增数列与递减数列两者可以互相转换，所以只讨论一种就可以了。
）例如 （1）na n 1211+++= ，*N n ∈，}{n a 是递增数列；（2）121211-+++=n n a ，*N n ∈，}{n a 是递增数列， （3）!1!211n s n +++= ，*N n ∈， }{n s 是递增数列 。
（4）}1{n 是递减数列，}{2n 是递增数列，}1{+n n 是递增数列 （11)1(1+-+++n n n n 0)1](1)1[(1>+++=n n ）。
例 设21=x ，并定义n n x x +=+21，*N n ∈则}{n x 是递增数列。
事实上 222+=x ，,,2223 ++=x可以从中观察出来有1321+<<<<<n n x x x x x ，*N n ∈；或者从考察1122-++-+=-n n n n x x x x)(22111---+++=n n n n x x x x ， 由此递推，得1321+<<<<<n n x x x x x ，*N n ∈； 故}{n x 是递增数列。
二 、 单调有界原理关于单调数列，有下列重要的结果。
定理 1.8 单调且有界的数列一定有极限。
对递增数列只要有上界，它就有界了；对递减数列只要有下界，它就有界了。
这个定理是判断数列极限存在的一个重要方法（极限值不需要预先知道）。
对有些数列判断出极限存在后，进一步可求出极限。
它的重要意义在于不能知道极限值的情况下，就能判断出极限存在。
例如（1）1111+-=+=n n n a n ，*N n ∈， }{n a 是递增数列，且11<+=n n a n ，*N n ∈}{n a 是单调且有界的数列，它的极限1)111(lim lim =+-=∞→∞→n a n n n 存在； （2）121211-+++=n n a ，*N n ∈，}{n a 是递增数列， 22111211)21(1=-<--=n n a ，*N n ∈ }{n a 单调且有界的数列，它的极限2lim =∞→n n a 存在 。
根据单调有界原理，对单调数列收敛性与有界性等价。
（对其它类数列不成立。
）定理 设}{n a 是单调递增数列， 且a a n n =∞→lim ，则有（1）a a n ≤，（*N n ∈）；（2）如果}{n a 又是严格递增的，则成立a a a n n ≤<+1，（*N n ∈）证明 因为}{n a 是递增数列，所以对任意固定的*N n ∈成立p n n a a +≤，一切*N p ∈，在上式中，令∞→p ，取极限得a a n ≤，（*N n ∈） 。
对递减数列，同理可证 定理 设}{n b 是单调递减数列，b b n n =∞→lim ， 则有（1）n b b ≤，（*N n ∈）；（2）如果}{n b 又是严格递减的， 则成立n n b b b <≤+1，（*N n ∈）。
定理 设}{n a 是递增数列，}{n b 是递减数列，且有n n b a <，（*N n ∈），则成立m n b a <，*,N n m ∈∀。
证明 因为由条件得m m n m n n b b a a ≤<≤++，所以成立m n b a <，*,N n m ∈∀。
定理 设}{n a 是严格递增数列，}{n b 是严格递减数列，且有n n b a <，（*N n ∈），如果lim()0n n n b a →∞-=， 则存在唯一α，使得n n a b α<<，（*N n ∈），即1{}n n I α∞==，(,)n n n I a b = 。
证明 由条件可知11n n p n p n a a a b b b ++<<<<<； 数列}{n a ，{}n b 都是严格单调有界的，所以a a n n =∞→lim ，lim n n b b →∞=存在；且有n n a a b b <≤<， 显然0n n b a b a ≤-<-，利用lim()0n n n b a →∞-=， 可得a b =，存在性得证； 惟一性的证明是显然的,(上面已蕴含了惟一性的证明)。
可以证明，对单调数列，如果有一个子列收敛，那么原数列也必收敛。
定理 设}{n a 是单调的数列，如果存在一个子列}{k n a ，使得a a k n k =∞→lim ，则有a a n n =∞→lim 。
证明 对}{n a 是单调递增的情况给出证明（对}{n a 是单调递减的情况同样可给出证明）。
显然}{kn a 亦是单调递增的，且有 a a kn ≤，对任一正整数n ，n k n n k n ≥≥，于是a a a n k n n ≤≤， 故得a a n ≤，*N n ∈由于a a k n k =∞→lim ，对0>∀ε，*N K ∈∃，当K k >时，有a a a k n ≤<-ε， 取k n N =，当N n >时，成立 a a a a n n k ≤≤<-ε，这就证明了a a n n =∞→lim 。
可以证明，如果递增数列无上界，则该数列必趋于∞+； 如果递减数列无下界，则该数列必趋于∞- 。
三 单调有界原理的运用方法举例例1 设21=x ，并定义n n x x +=+21，*N n ∈求证： n n x ∞→lim 存在。
证明 我们已知道，}{n x 是递增数列，显然221<=x ，2212<+=x x ，若2<n x ，则有22221=+<+=+n n x x ，从而对一切*N n ∈，有2<n x ，即得}{n x 有上界。
根据单调有界原理，n n x ∞→lim 存在。
进一步可求出极限，设a x n n =→∞lim ，在n n x x +=+21中两边取极限，得a a +=2，a a +=22，022=--a a ，0)2)(1(=-+a a ，解得2,1=-=a a ， 由于n x x <<22，2lim >=→∞a x n n ， 舍去1-=a ，故有2lim =→∞n n x 。
例 2设101=x ，并定义n n x x +=+61，*N n ∈求 n n x ∞→lim 。
例3 设21=x ，并定义n n x x 21=+，*N n ∈求 n n x ∞→lim 。
例 4 设11=a ，又设 n n n a a a 11+=+ ，,2,1=n求证：+∞=∞→n n a lim 。
证明 显然有111≥>+=+n nn n a a a a ， ,2,1=n即}{n a 是递增数列，我们只须证}{n a 无上界。
用反证法，假若}{n a 有上界， 根据单调有界原理， n n a ∞→lim 存在，设a a n n =∞→lim ， 显然1lim ≥=∞→a a n n 在 n n n a a a 11+=+两边取极限，得a a a 1+=，a 10=这是矛盾的。
所以}{n a 无上界；从而有 +∞=∞→n n a lim 。
四 闭区间套定理定理 1.9（闭区间套定理）设闭区间列],[n n n b a I =， ,2,1=n ，并且⊃⊃⊃⊃⊃⊃+1321n n I I I I I （意即n n n n b b a a ≤<≤++11， ,2,1=n 。
）如果这一列区间的长度)(0||∞→→-=n a b I n n n ，那么交集n n I ∞=1含有惟一的一点。
（直观上看，例如一列半径趋零的同心圆盘的圆心。
旋涡与旋涡中心；闭区间套思想方法在生活中的体现，在一地区搜索一个目标，包围圈的逐渐缩小，最终目标被搜索到；两人在一条路的两端同时相向而行，最终在一点处会面；前堵后追过程及结果，两面夹击的过程及结果，两军会师，等等。
）证明 由这一列区间的包含关系可知：它们的左端点组成递增的数列}{n a ，而右端点组成递减的数列}{n b ，显然，}{n a 有上界1b ，}{n b 有下界1a 。
因此，根据单调有界原理，以下的两个极限存在：a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ， 且a a n ≤，n b b ≤ ， （ ,2,1=n ）由于n n b a <，（ ,2,1=n ），可见b a ≤。
因此，不等式 n n b b a a ≤≤≤对一切*N n ∈成立。
由此式可得 ||0n n n I a b a b =-≤-≤， 由)(0||∞→→-=n a b I n n n可知，我们必有0=-a b ，a b =， 这时n n b a a ≤≤，对一切*N n ∈成立， 即],[n n n b a I a =∈， ,2,1=n ，由此得到n n I a ∞=∈1，（存在性得证）再证惟一性，假设还有一点n n I ∞=∈1ξ，则有],[n n n b a I =∈ξ，对一切*N n ∈成立，这时n n b a ≤≤ξ，两边取极限得，b a ≤≤ξ，则有 b a ==ξ，（惟一性得证） 命题证毕。
（利用闭区间套定理也能证明 单调有界原理。
）应当特别指出：定理中的闭区间的闭是不可以去掉的。
请看下面的例子： 设开区间)1,0(nI n =， ,2,1=n 显然⊃⊃⊃⊃⊃⊃+1321n n I I I I I ， 而且)(,01||∞→→=n nI n ，但是 是空集。
∅=∞=nn I 1将开区间，条件加强后，有如下定理定理 设开区间列 (,)n n n G a b =， ,2,1=n ， 满足11n n n n a a b b ++<<<， ,2,1=n 。