§4.6 系统方框图和信号流图

H1 ( s ) + H 2 ( s )
Y ( s)
一．系统方框图
（3）反馈 ） 等效系统函数为
X (s)
E ( s)
H1 ( s )
H 2 (s)
Y ( s)
H1(s) H(s) = 1m H1(s)H2(s)
对于负反馈， 对于负反馈，总有
± B( s)
X (s)
H1(s) H(s) = 1+ H1(s)H2(s)
方程两边积分三次得到
d2 y1(t) dy1(t) y1(t) = ∫∫∫ −a2 −a −a0 y1(t) + x(t)dt 1 2 dt dt 是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。 说明 y (t)是某信号积分三次得到，可以画出部分框图。 1
∫
d 2 y1 (t ) dt 2
X → X1 → X2 →Y
P = H1H2 H7 3
所以系统函数为
∆3 = 1+ H4G 1
H1H2H3H4H5 + H1H5H6 + H1H2H7 (1+ H4G ) 1 H= 1+ (H4G + H2H3H4H5G2 + H5H6G2 + H2H7G2 ) + H2H4H7G G2 1 1
四．系统模拟
X4 = X1H14 + X2H24 + X3H34
三．Mason公式 公式
节点: 节点 支路: 支路 表示系统中的变量或信号的点称为节点。 表示系统中的变量或信号的点称为节点。 连接两节点间的有向线段称为支路。 连接两节点间的有向线段称为支路。 支路增益就是两节点间的增益。 支路增益就是两节点间的增益。 输入节点（源点） 仅有输出支路的节点， 般为系统的输入。 输入节点（源点）: 仅有输出支路的节点， 一 般为系统的输入。 输出节点（阱点）: 仅有输入支路的节点，一般为系统的输出 输出节点（阱点） 仅有输入支路的节点， 混合节点: 混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点
d3 y1(t) d2 y1(t) dy1(t) + a2 + a1 + a0 y1(t) = x(t) 3 2 dt dt dt
由线性时不变系统的性质知道存在下面关系
d2 y1(t) dy1(t) y(t) = b2 +b +b0 y1(t) 1 2 dt dt
四．系统模拟
d3 y1(t) d2 y1(t) dy1(t) + a2 + a1 + a0 y1(t) = x(t) 3 2 dt dt dt
三．Mason公式 公式
Mason公式为 公式为
k Y(s) k=1 k H(s) = = X(s) ∆(s)
∑P (s)∆ (s)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
其中
H(s) ∆(s) P (s) k ∆k (s)
从输入节点到输出节点之间的系统函数 特征式
∆(s) =1−∑L + ∑LLj −∑LLj Lk +L i i i
∆1 =1− 0 + 0 −L=1
三．Mason公式 公式
− G1
H1
X
H2
H3
− G4
X3
H5
X1
− G2
X2
H4 X 4
− G5
Y
系统函数为
H1H2H3H4H5 H= 1+ (H2G2 + H4G4 + H5G5 + H2H3H4H5G ) + (H2H4G2G4 + H2G2H5G5 ) 1
系统模拟指用一些标准的部件通过一定的连接方式实现同样的 系统模拟指用一些标准的部件通过一定的连接方式实现同样的 系统函数。 系统函数。 对于连续时间动态LTI系统的模拟，通常由加法器、标量乘法 系统的模拟，通常由加法器、 对于连续时间动态 系统的模拟 加法器 积分器三种部件构成 三种部件构成。 器和积分器三种部件构成。 系统模拟可以理解为就是用这三种部件画出系统的信号流图或 是系统的方框图，使得流图或方框图实现了同样的系统函数。 是系统的方框图，使得流图或方框图实现了同样的系统函数。
X (s)
H (s)
Y (s)
X 2 (s)
H 24
H 14
H 45 H 46
X 5 ( s)
X1 (s)
X 4 (s)
X (s)
H (s)
Y (s)
X 3 (s )
H 34
多输入多输出节点
X 6 ( s)
信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系， 而且可以有不同方向输出。
四．系统模拟
用加法器、 例： 用加法器、标量乘法器和积分器三种部件模拟下面微分方程描 述的系统
d3 y(t) d2 y(t) dy(t) d2x(t) dx(t) + a2 + a1 + a0 y(t) = b2 +b +b0x(t) 1 3 2 2 dt dt dt dt dt
解：首先考虑下面的系统
Y
b0
其中
1 s
表示积分器（拉普拉斯变换的性质） 表示积分器（拉普拉斯变换的性质）
从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益 从输入节点到输出节点的第 条前向通路增益 将与第k条前向通路相接触 在 ∆(s) 中，将与第 条前向通路相接触 的回路所在项去掉后余下的部分 所有不同回路增益之和 所有两两互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
∑L ∑LL ∑LL L
i i i j j
k
三．Mason公式 公式
例：用Mason公式求图所示系统的系统函数 公式求图所示系统的系统函数
− G1
H1
X
H2
H3
− G4
X3
H5
X1
− G2
X2
H4 X 4
− G5
Y
先求环路，一共有4个环路 个环路， 解：先求环路，一共有 个环路，即
L = −H2G2 1
L2 = −H4G4
L3 = −H5G5
四．系统模拟
d2 y1(t) dy1(t) y(t) = b2 +b +b0 y1(t) 1 2 dt dt
可以画出完整的系统框图
b2 b1
x(t )
∫
− a2
∫
− a1
− a0
∫
y1 (t )
y (t )
b0
四．系统模拟
对应的信号流图为
1
X
1 s
b2
1 s
− a1
b1
1 s
Y1
1
− a2
− a0
∫
dy1 (t ) dt
∫
y1 (t )
四．系统模拟
第一个积分器的输入信号实际是
可以画出部分系统框图
d2 y1(t) dy1(t) −a1 −a0 y1(t) x(t) −a2 2 dt dt
d 2 y1 (t ) dt 2
x (t )
∫
− a2
∫
dy1 (t ) dt
∫
y1 (t )
− a1
− a0
H(s) = H1(s)H2 (s)
X (s)
H(s) = H1(s) + H2 (s)
Y (s)
H1 ( s )
X ( s)
Y1 ( s )
H 2 ( s)
X ( s)
H1 ( s )
H 2 ( s)
Y1 ( s )
Y ( s)
Y2 ( s )
Y ( s)
H1 ( s ) H 2 ( s )
X ( s)
H1 ( s ) Y (s) 1 m H1 ( s ) H 2 ( s )
二．信号流图
系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。 系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式 就是用线段端点代表信号，称为节点。 就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方 节点 一般称为支路 所以每一条支路相当于乘法器 支路， 乘法器。 向，一般称为支路，所以每一条支路相当于乘法器。
三．Mason公式 公式
例： 用Mason公式求图所示系统的系统函数 公式求图所示系统的系统函数
H6
H1
X
H7 X3
H4
H2
H3
X2
H5
X4
Y
X1
− G1
解：先求环路，一共有 个环路，即 先求环路，一共有4个环路 个环路，
− G2
L = (X3 → X4 → X3) =−H4G 1 1
L2 = (X1 →X2 →X3 →X4 →Y →X1) =−H2H3H4H5G 2
三条前向通路之(1) 三条前向通路之
X → X1 → X2 → X3 → X4 →Y
P = H1H2H3H4H5 1
三条前向通路之(2) 三条前向通路之
∆1 =1− 0 + 0 −L=1
X → X1 → X4 →Y
P = H1H5H6 2
∆2 =1
三．Mason公式 公式
三条前向通路之(3) 三条前向通路之
L4 = −H2H3H4H5G 1
其中L1、 ， 、 是两两不接触的回路 没有三三不接触的回路。 是两两不接触的回路， 其中 、L2，L1、L3是两两不接触的回路，没有三三不接触的回路。
三．Mason公式 公式
− G1
H1
X
H2
H3
− G4
X3
H5
X1
− G2
X2
H4 X 4
− G5
Y